设U为特征向量V（a）的N×N矩阵，即U的ath列为向量V（a）：Uij≡ V（j）i（6）设∧为特征值λ（a）∧ij的对角矩阵≡ δijλ（j）（7）在j上没有求和。然后C U=U∧（8）注意，因为C是对称的，U可以选择为正交的：UTU=1。勒特≡ UTw（9）那么波动率R由R=I给出√ewT∧ew=IvuutNXi=1λ（i）ewi（10），因此，如果CIJI不是正半限定，即如果其任何特征值λ（a）为负，则波动率R不确定。此外，如果Cijis（几乎）退化，即，如果其任何特征值λ（a）为零（或小），则Nxi=1V（a）iαi（11）给出的阿尔法的相应线性组合对波动率r的贡献为零（或小），从而将不稳定性引入系统。近简并是由几乎100%相关或反相关的α引起的，可以通过简单地移除这些“冗余”α来治愈：对于每个αi，只要|ψij |>ψ，每个αj（j 6=i）都被移除*, 其中0<ψ*< 1是允许关联的模量上限（例如，ψ*= 0.9). 在接下来的章节中，我们将假设t |ψij |≤ Ψ*< 1.然而，在实践中，近简并通常是由M<< N.事实上，当M<N时，只有M个Cijare的特征值是非零的，而其余的具有“小”值，可以是正的或负的。这些小值通过计算舍入进行零校正。在这种情况下，解决方案不是移除任何字母（因为它们不一定是“多余的”），而是变形共价矩阵，使其成为正定义。3.1一种简单的方法如果一个人只想解决积极的不确定性问题，有多种方法可以做到这一点。

一种不需要去除任何α的简单方法是矩阵Cijis退化当且仅当ma trixψij退化：det（C）=det（ψ）QNi=1σi。实际上，这假设在任何α时间序列中都没有N/As。如果某些或所有阿尔法时间序列以非均匀方式包含N/A，并且通过省略此类成对N/A来计算相关矩阵，则所得的相关矩阵可能具有负特征值，这些特征值在所使用的意义上不是t“小”，即，它们不是因计算舍入而扭曲的t零。我们上面讨论的变形方法也适用于这种情况。原始（未变形）关联矩阵的非正不确定性通常不是第一个主要组成部分（见下文）和营业额减少的主要影响；然而，在实践中，一个人通常会使用正定义（变形）相关矩阵，变形可能会产生相当大的影响——参见（Kakushadze，2014a）的第7节，以获得说明性的经验示例。如下（Rebonato和J¨ackel，1999年）。假设一些特征值λ（a）为负或为零。删除∧≡ 诊断eλ（a）（12） eλ（a）≡ 最大值λ（a），λ*, a=1，N（13），其中选择λ*> 0.下一步，letZ≡ diag（zi）（14）zi≡CiiPNj=1Uijeλ（j）（15）最后，leteU≡√Z-Upe∧（16）eC≡eUeUT（17）注意到ECIJIS是正定义的，我们有ECIi=Cii（18），也就是说，通过这种方式，我们在保留Cij的对角元素的同时，获得了一个新的正定义协方差。请注意，与其将该方法应用于方差矩阵Cij，还可以选择将其直接应用于相关矩阵ψij，因为该方法适当地保留了ψij的单位对角线元素。4光谱模型第一个观察结果是→ ζTi，我们一定有T→ ζT，其中ζ>0。接下来，leteV（p）ibe是与特征值ψ（p）对应的ψij的特征向量，p=1。

N：ψeV（p）=ψ（p）eV（p）（19）在这里，我们假设，如果需要的话，第3.1小节中审查的方法已经应用，并且所有ψ（p）>0。此外，lphasαiis的基础（即选择αi的符号）使得pni，j=1ψij≡ Nρ′≡ N（1+（N- 1） ρ）最大化（ρ是平均相关性）。因此，考虑均匀相关性ψij=ρ，i6=j的情况，研究见（Kakus hadze a and L iew，2014）。在这种情况下，在大N限值下，营业额减少系数（见下文）ρ*=ρ=ρ（Kakushadze和Liew，2014）。然而，如果我们把一些字母αi的符号→ -αi（然后我们还必须计算相应权重的符号wi→ -wi），这不会改变投资组合的周转率，平均相关系数ρ将不再等于ρ，因此前面选择了αi的基础。我们将更详细地讨论这一点，并在下面给出一个精确的定义。现在我们要记住这一点。LeteUijbe特征向量Sev（p）的N×N矩阵，即，u的第pth列是向量（p）：eUij≡eV（j）i（20）eU可以选择为或t荣誉：eUTeU=1，这将确定eV（p）的标准化。注意ev（p）构成N向量的正交基：NXi=1eV（p）ieV（q）i=δpq（21）Letψ（1）>ψ（2）>。（soeV（p）是ψij的主成分）。莱特（p）≡NXi=1eV（p）iTi（22）这是ψij对角化的基础：eUTψeU=diag（ψ（p））（2 3）在这个基础上，唯一相关的构建块完全由天ψijaret（p）和ψ（p）以及ψij的标量不变量构成。

因此，我们有如下周转率的谱模型：T=κNXp=1ψ（p）eT（p）= κNXp=1ψ（p）NXi=1eV（p）iTi（24）式中，κ是常数，必须由ψij的标量不变量构成。唯一合适的标量不变量是轨迹。然后T由T=pTr（ψ）NXp=1ψ（p）给出NXi=1eV（p）iTi=√NNXp=1ψ（p）NXi=1eV（p）iTi（25）Tr（ψ）的幂和总系数固定如下。让ψij的所有有效对角线元素相同：ψij=ρ（i6=j）。另外，让所有的TIB都相同。注：t det（ψ）不合适，因为当ψij几乎失谐时，预计et不会有特殊的行为。此外，只有基于轨迹的标量不变量再现了下面讨论的特殊情况。此外，请理解（24）中的相对系数为何不会改变最终结果。然后，回想一下ψ（1）是最大的特征值，我们得到nxi=1eV（1）iTi=√xi=1tin=1，NXi=1- 1） ρ（28）ψ（p）=1- ρ、 p>1（29）T=1+（N- 1） ρNNXi=1Ti（30），重现了（Kakushadze和Liew，2014）中的等式（19）。光谱模型（25）简化了大氮极限。首先，我们确定阿尔法αias的基础如下。在αi的反射下→ ηiαi（因此，wi→ ηiwi），其中|ηi |=1，我们有ψij→ ηiηjψij，eV（p）i→ ηieV（p）i，而ψ（p）是不变的。因此，我们总是可以选择alleV（1）i≥ 0 . 我们总是在这个基础上工作。在la r ge N极限中，除非Ti具有高度偏态分布，否则（25）中的p>1贡献被抑制为O（1/N）。

因此，在大N极限下，以下简化模型是一个很好的近似值：T≈ψ(1)√NNXi=1eV（1）iTi（31），其中ψ（1）是ψij的最大特征值，andeV（1）是相应的特征向量（在alleV（1）i≥ 0）也不允许Nxi=1eV（1）i= 1（32）因此，假设权重wi=1/N相等，τi=τ相同，我们有≈ ρ*τ（33），其中ρ*≡ψ（1）N√NNXi=1eV（1）i（34），例如，在一致相关关系的情况下，ψij=ρ（i6=j），我们有ev（1）i=1/√N、 而其余特征向量的和为零。在这方面，即使我们允许等式（24）中p的和中存在不均匀的相对系数，在大N极限中，次级p>1项被抑制，我们仍然有（31）。对于一般的相关矩阵t，这个量与N是常数，具有高的t-统计量。有关示例，请参见图1。图1中y对x的回归（不含干涉）的F统计量超过1.5×10（带圆的上线）和5×10（带三角形的下线）。这证实了（Kakushadzeand Liew，2014）中的观点，即当N较大时，基于相关矩阵的营业额减少会达到一个非消失极限，即ρ*不会在这个极限下消失。4.1空洞光谱模型（25）正是一个模型。它的前提是T完全由Tiadψij构建的积木构建而成。它的目的是在更大范围内工作，并用于Ti的一般配置。例如，如果除T之外的所有Tiare都为零l, 1.≤ l ≤ N（即wi=δil, 所以Tl= τlTi=0，i6=l), 然后weexp ect T=Tl因为没有内部交叉。等式（25）不具有此属性。事实上，我们可以尝试如下构造这样的T。LetT=NXp=1B（p）eT（p）=NXp=1B（p）NXi=1eV（p）iTi（35）式中，B（p）是根据以下要求确定的系数：lτl我们有T=Tl:NXp=1B（p）eV（p）i= 1，i=1。

N（36）如果矩阵Aij≡eV（j）i是可逆的。然而，对于一般的ψij，一些系数B（p）将为负。无论如何，我们不会在这里追求这一方向，因为我们的目标是在Ti的通用配置中进行更大限度的培训，这就给我们带来了下一个“警告”。对于某些ψij，某些元素sev（1）iin（31）可以很小，从而抑制相应αi的影响。我们可以通过以下近似来弥补这一点：T≈ ρ*NXi=1Ti（37），即在（31）中，用横截面平均值代替（33），并在单个营业额均匀的情况下复制（33）。我们强调形容词“说明性”的原因是，由于这些数据中的各种对冲基金都转换了相同的基础工具，而且相应的时间序列没有100%重叠（一些对冲基金已经死亡，一些比其他对冲基金更新，等等），因此假设它们的交易可能会被交叉是不必要的。因此，我们使用这些数据只是为了说明相关矩阵的各种特性，而不是在这些阿尔法流实际跨越其交易时得出任何关于营业额减少的结论。替换ρ可能很有诱惑力*按ρ′计算≡ψ*N（38）式中ψ*≡NNXi，j=1ψij（39）是近似“特征值”方程的最小二乘解：ψV≈ ψ*V（40）NXi=1NXj=1ψij- ψ*!→ min（41），式（41）中的最小值为w.r.t.ψ*, ndVi≡ 1/√N是适当的标准化单位向量。然而，使用ρ′会导致低估营业额（即高估营业额减少）。在图1的例子中，对于上面的线（圆），我们有ρ*≈ 0.282和ρ′≈ 0.252，对于较低的直线（三角形），我们有ρ*≈ 0.127和ρ′≈ 0.110.实际上，ρ之间有一个更精确的关系*ρ′。

因此，从ψij=NXp=1eV（p）ieV（p）jψ（p）（42）我们得到ρ′=NNXi，j=1ψij=NNXp=1“NXi=1eV（p）i#ψ（p）≈N“NXi=1eV（1）i#ψ（1）（43），其中我们已经考虑到，在大的极限中，求和中的p>1项是次负荷。结合（43）和（34），我们得到ρ*≈pρ（1）ρ′（44），其中ρ（1）≡ ψ（1）/N.等式（43）表明了为什么在大N极限中选择alleV（1）i的基≥ 0相当于最大化ρ′≈ρ（见脚注8）。4.2为什么所有这些都有用？在现实交易中，当一个人将数千个不太相关的阿尔法（带有某些权重）组合在一起，并在单个交易上交易如此组合的单个“未定义”阿尔法时，一个人可能希望使用max（ρ*, ρ′），它们的平均值或ρ之间的其他值*ρ′。平台（与在各自的执行平台上为ms交易所有这些Alpha不同），一个人会得到一个自动奖励：不同Alpha之间的内部交易交叉，因此营业额会大幅减少。为什么这很重要？因为阿尔法组合的权重是通过优化（或类似程序）确定的，并将交易成本（和影响）纳入该优化需要对营业额减少进行建模，否则成本的影响（可能严重）被高估，从而导致（可能实质上）次优阿尔法权重。我们的主要方程（31）、（34）、（37）和（44）通过阿尔法相关矩阵的第一主成分和相应特征值（这是通用的）来模拟营业额减少。年（Kakushadze和Liew，2014年）的旋转过度教育模型是我们模型的一个特殊简单案例，其中所有成对相关性都是一致的。

这个特例是（Kakushadze和Liew，2014）中使用的一个不切实际的toymodel，其目的是通过简单性来说明——通过相关性来建模营业额减少，并发现存在一个不确定的极限f，即当N变为单位时的营业额（而不是天真地猜测营业额在大的N极限下变为零）。然而，玩具模型（Kakushadze and Liew，2014）只是一个玩具模型。它不是为实际应用而设计的——在现实生活中，相关性并不一致。相比之下，我们在本文中给出的光谱模型是在考虑实际应用的情况下精确设计的，因为它适用于一般（和现实的）阿尔法相关结构。换言之，如果在一般情况下使用（Kakushadze and Liew，2014）的等式（20），则不清楚该公式中的ρ应该是什么。我们在这里得到的是，我们给出了一个简单的ρ的显式公式，我们称之为ρ*这里——在一般（也就是说，实际上很有趣）的情况下，通过（34）。此外，我们在这里强调的结果是，ρ*通过FirstPrincipal分量和相应的特征值表示——仅在大范围内；较高的主成分被1/N的幂抑制，当N足够大时，1/N的幂很小。到目前为止，没有理由认为这样的贡献会很小。请注意，这是关于我们是考虑一般情况还是玩具模型的问题（Kakushadze和Liew，2014）。事实上，（Kakushadzeand Liew，2014）的等式（19）明确表明，除非N很大，（Kakushadzeand Liew，2014）的等式（20）是我们模型的特例，否则不成立。光谱模型中出现的一个明显问题是out-o f-samplestability。通常，样本协方差（相关）矩阵的反对角线元素预计不会太过样本外稳定。

因此，相关矩阵的主成分继承了这种不稳定性。尽管如此，第一个主成分——令人高兴的是，我们的光谱模型使用的是——通常是样本最稳定的，主成分越高，不稳定性就越大。平淡地说，进一步缓解稳定性问题的事实是，如果Alpha在第一种情况下有大量的营业额，即持有期较短，因此，相关的历史回顾也较短，那么营业额减少就很重要。通过短时间回溯，可以重新计算相关矩阵及其相应高频上的第一个主分量等数量。事实上，如果能够按照（Kakushadze，2014b）的思路为阿尔法建立多因素风险模型，那么还有另一种处理稳定性问题的方法，即使用构造的模型，而不是样本相关矩阵，该模型通过其本身的构造——如果这种构造在第一种情况下是可能的，也就是说，预计将大幅提高样品外稳定性。总而言之，在现实生活中，一个人会利用自己所拥有的，并尽力做到最好，无论是建模翻转减少、阿尔法协方差矩阵等。5结论性评论结果是，正如在理论物理学中（t Hooft，1974）一样，大的Nlimit（Kakushadze和Liew，2014）为定量融资提供了一个强大的工具。在本文中，我们给出了一个明确的频谱模型，在阿尔法数较大的极限下，一般阿尔法相关矩阵的周转率减少。在这种情况下，该模型可用于估计交易成本，以及考虑成本的投资组合优化问题（Kakushadze，2015a，2015b）。我们的光谱模型有望为个体阿尔法转换的一般分布提供良好的近似值。

在大氮限制下，基于光谱模型的周转减少系数似乎不会消失，但接近一个固定值。在（Kakushadze，2014a）中，我们使用补充因子模型方法进一步证实了本文的结果。参考文献[1]Ackerman，C.，McEnally，R.和Revenscraft，D.（1999）边缘基金的业绩：风险、回报和激励。金融杂志54（3）：833-87 4。[2] Agarwal，V.和Naik，N.Y.（2000年a）关于采取“替代”路线：对冲基金的风险、风险和业绩持续性。另类投资杂志2（4）：6-23。[3] Agarwal，V.和Naik，N.Y.（2000b）对冲基金来源的多期业绩持续性分析。金融与定量分析杂志35（3）：327-342。[4] Amin，G.and Kat，H.（2003）股票、债券和对冲基金：不是免费午餐！投资组合管理杂志29（4）：113-120。[5] Asness，C.S.，Krail，R.J.和Liew，J.M.（2001）对冲基金对冲吗？投资组合管理杂志28（1）：6-19。[6] Brooks，C.和Kat，H.M.（200 2）对冲基金指数回报的统计特性及其对投资者的影响。另类投资杂志5（2）：26-44。[7] Brown，S.J.，Goetzmann，W.和Ibbotson，R.G.（1999）离岸对冲基金：生存与业绩，1989-1995年。商业杂志72（1）：91-117。[8] Chan，N.，Getmansky，M.，Haas，S.M.和Lo，A.W.（2006）系统风险和对冲基金。摘自：Carey，M.和Stulz，R.M.（编辑）金融机构的风险。芝加哥大学出版社，第6章，第235-33页。[9] Edwards，F.R.和Caglayan，M.O.（2001）对冲基金和大宗商品基金在牛市和熊市的投资。投资组合管理杂志27（4）：97-108。[10] Edwards，F.R.和Liew，J.（1999a）管理商品基金。《未来市场杂志》19（4）：377-411。[11] F.R.爱德华兹和J.刘。

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