营业额能降到零吗？

2022-5-6 06:33:31

营业额能降到零吗？Zura Kakushadze§+1§QuantigicResolutions LLC1127 High Ridge Road#135，南塔姆福德，CT 06905+康涅狄格大学物理系，康涅狄格州斯坦福大学广场，CT 06901（2014年5月30日；修订：2014年7月14日）摘要多个阿尔法流之间的内部交易交叉导致投资组合成交量减少。营业额减少可以使用阿尔法流的相关结构建模。随着Alpha的增加，营业额通常会减少。在本说明中，我们使用因子模型方法来解决当alphas N的数量变为单位时，营业额是变为零还是变为一个有限的极限的问题。我们认为，极限翻转值是由阿尔法团簇F的数量决定的，而不是阿尔法团簇N的数量。该极限值的行为符合“幂律”~ F-3/2.因此，为了实现零限制营业额，alpha集群的数量必须与alpha集群的数量一致。我们进一步从总体上论证，如果基础可交易工具的数量是有限的，那么营业额就不能为零，这意味着阿尔法集群的数量似乎也是有限的。关键词：对冲基金、alpha stream、交叉交易、订单周转率、factormodel、相关性结构电子邮件：zura@quantigic.comDISCLAIMER当前位置通讯作者使用此地址的目的仅限于按照出版物惯例表明其专业职责。

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2022-5-6 06:33:34

特别是，本文内容不作为投资、法律、税务或任何其他此类建议，也不代表Quantigic Solutions LL C网站www.Quantigic的观点。或他们的任何其他伙伴。1简介和总结当多个alpha流在同一对冲基金平台上重新交易时，如果执行平台允许，在不同的alpha流之间交叉交易是有意义的，从而节省交易成本。当采用内部交叉时，投资组合周转率降低。随着越来越多的Alpha的加入，通常美元周转占美元总投资的百分比——我们简称之为“周转率”——预计会下降。交易越相关，阿尔法越相关，交易越相关，预期内部交叉越低。因此，虽然翻转归约不一定是阿尔法相关性的简单（例如线性）函数，但很明显，它与阿尔法相关性有某种关联，因此可以尝试基于阿尔法相关性对翻转归约进行建模。在（Kakushadze，2014a）中，利用阿尔法相关矩阵的主成分分析，提出了基于阿尔法相关结构的营业额减少的光谱模型。该模型的简化版本在（Kakushadze and Liew，2014）中被用来论证，当Alpha的数量很大时，投资组合的周转率有一个不消失的极限。在本说明中，我们使用事实上的r模型a方法——作为（Kakushadze，2014a）的主要组成部分方法的补充——来解决随着字母数的增加，营业额是变为零还是有一个有限的限制的问题。我们认为，周转率极限值是由α簇F的数量决定的，而不是由α簇N的数量决定的。

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2022-5-6 06:33:37

该极限值符合“幂律”~ F-3/2. 因此，为了实现零限制营业额，AlphaCluster的数量必须与alphas的数量一致。我们进一步论证了一个普遍的理由，即如果基础可交易工具的数量是有限的，那么营业额不能为零，这意味着阿尔法集群的数量似乎也是有限的。大氮限制（Kakushadze and L iew，2014），（Kakushadze，2014a）在我们的讨论中起着重要的简化作用。本文的其余部分组织如下。定义见第2节。我们将在第3节讨论lpha流的因子模型方法。在第4节中，webrie fly回顾了员工流失减少的光谱模型（Kakushadze，2014a）。第5节我们使用第3节中的因子模型方法来研究在大N限制下的营业额发生了什么，包括阿尔法聚类、特殊性、事实r协方差矩阵的对角元素，以及风格和一般非二元风险因素对营业额的影响。在第6节中，我们将在第5节中讨论我们的结果的一个实际应用。在第7节中，我们讨论了估算lowerAn的方法。内部交叉及其益处的说明性讨论可参见（Kakushadze andLiew，2014）。我们在本说明中讨论的营业额减少的光谱模型最近在（Kakushadze，2014a）中提出。有关对冲基金文献的部分列表，请参见，例如（Ackerman等人，1999），（Agarwal和Naik，2000a，2000b），（Amin和Kat，2003），（Asness等人，20 01），（Brooksand Kat，2002），（Brown等人，1999），（Chan等人，2006），（Edwards和Caglayan，2001），（Edwardsand Liew，1999a，1999b），（冯和谢，19 99，2000，2001），（高，2002），（梁，1999，2000，2001），（Lo，20 01），（Schneeweis等人，1996年）。以及阿尔法星团数量的上限。

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2022-5-6 06:33:40

在第8节中，我们进一步论证了——这是一个不严格的“定理”——其一般理由是，如果基础可转换工具的数量是有限的，那么周转率不能为零，这意味着α簇的数量似乎也是有限的。我们的主要结果由等式给出。（29）和（8.3），以及第8.2节定义中的“定理”，我们有N个αi，i=1，N.每个α实际上是一个时间序列αi（ts），s=0，1，M、这是最近的一次。αi以下是toαi（t）。设Cijbe为N个时间序列αi（ts）的协方差矩阵。设ψij为相应的相关矩阵，即Cij=σiσjψij（1），其中ψii=1。在论文（Kakushadze和Liew，2014）和（Kakushadze，2014a）中，有人认为，在较大的N限制下，营业额不一定会变为零，而会变为有限的限制，这取决于相关矩阵的结构。本文的目标是解决以下问题：在拉格恩极限下，什么会使营业额变为零？三因素模型通常，协方差矩阵CIJC具有以下不良性质。首先，它可能（几乎）退化。其次，它可能不是正（半）定义。近简并是由几乎100%相关或反相关的阿尔法引起的，只需去除这些“冗余”阿尔法即可治愈。然而，在实践中，近简并通常是由M<N（实际上，在大多数实际应用中，M<< N）而且只有M个Cijare的特征值是非零的，而其余的都有“小”值，可以是正的，也可以是负的。这些小值是由于计算舍入而扭曲的零。在这种情况下，解决方法是不删除任何字母（因为它们不一定是“多余的”），而是对协方差矩阵进行变形，使其为正定义。

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2022-5-6 06:33:44

（Kakushadze and Liew，2014）和（Kakushadze，2014a）中讨论了其中一种变形，以及使用相关矩阵对内部交叉和周转减少进行建模的局限性，因此我们在此不再重复。有关更详细的讨论，请参见（Kakushadze，2014a）。实际上，这假设在任何alpha时间序列中都没有N/As。如果某些或所有阿尔法时间序列以非均匀方式包含N/A，并且通过省略此类成对N/A来计算相关矩阵，则所得相关矩阵可能具有负特征值，这些特征值在上述意义上不“小”，即，它们不是因计算舍入而扭曲的零。下面提到的变形方法也可以应用于这种情况。基于（Rebonato和J¨ackel，1999）的讨论见（Kakushadze，2014a）（见其中第3.1小节）。另一种可能更常用的方法是采用因子模型方法。当M<N时，上述问题在概念上与由大量股票组成的投资组合的风险建模问题相同。除非相应时间序列中的观测数MS+1比stock数大，否则基于此类时间序列的协方差矩阵不会非常稳定。此外，如果MS<NS，如上所述，相关矩阵退化。在股票的情况下，规避这个问题的一种方法是建立一个因子模型，在该模型中，我们不处理NSstocks，而是处理FSRisk factors，其中FS<< NSand FS~<女士，阿尔法也是如此。而不是N字母，一个处理F<< n风险因子和协方差矩阵Cijis被Γij代替，由Γ给出≡ Ξ + Ohm Φ OhmT（2）Ξij≡ ξiδij（3），其中ξi是每个αi的特定风险；OhmIa是一个N×F因子载荷矩阵；Φabi是因子协方差矩阵，A，B=1，F

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2022-5-6 06:33:47

也就是说，与N个α相关的随机过程ΥI通过N个随机过程zi（对应于特定风险）和F个随机过程fA（对应于因子风险）建模：ΥI=zi+FXA=1OhmiAfA（4）hzi，zji=Ξij（5）hzi，fAi=0（6）hfA，fBi=ΦAB（7）hΥi，Υji=Γij（8）我们现在有了一个F×F协方差矩阵ΦAB，它比Cij稳定得多。构建Alpha因子模型的一种方法是将Fstyle风险因子和Fclustercluster风险因子结合起来。就股票而言，集群风险因素通常被称为行业风险因素。因为这里我们讨论的是阿尔法，所以我们将这些风险因素称为集群风险因素。一般来说，聚类可以被认为是基于一些相似性标准的阿尔法分组，这在很大程度上归结为阿尔法彼此之间的关联程度，尽管这种相似性标准不需要（但可以）基于样本相关性ma t r ix–见下文。另一方面，风格风险因素不基于任何相似性标准；相反，它们是基于阿尔法的一些估计（或测量）特性——因此，更常用于股票。高水平的数学形式主义是相同的，尽管细节不同（Kakushadz e，2014b）。在一个给定的簇中，我们可以得到一个lpha s，其给定的stylefactor的值相差很大。就阿尔法而言，至少当标的交易对象是股票时，以下风格因素似乎是可能的：1）波动性、2）成交量和3）动量。人们可能希望考虑的另一个（可能更难实施）风格因素是容量，即每个alpha可以吸收多少资本。

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能者818

2022-5-6 06:33:50

人们可能还希望根据Alpha的构造方式添加其他风格因素，等等。在股票的情况下，集群因素（通常）基于行业分类。在Alpha的情况下，可以使用Alpha的t轴法，即根据其构造方式对Alpha进行分类——如果所需数据可用，也就是说。在成千上万个字母中，有许多与每个字母的结构非常相似。很明显，这种相似性使它们更具相关性，就像属于同一行业的股票更具相关性一样。因此，与股票一样，将集群视为风险因素，并基于此类风险因素对阿尔法之间的相关性进行建模是有意义的，而不是直接基于与单个阿尔法对应的大量时间序列N来计算它们。请注意，因子模型方法的一个优点是，如果所有ξ均为非零，且因子协方差矩阵为正定义，则矩阵Γi为自动正定义（尽管该条件可以放宽）。4光谱模型在本文（Kakushadze，2014a）中，我们讨论了tur-nover约化的光谱模型，这表明，在大氮极限下的周转行为可以近似如下：≈ ρ*NXi=1τi | wi |（9），其中（模数|·|代表总和的绝对值）ρ*≡ψ（1）N√NNXi=1V（1）i（10）有关阿尔法因子模型的一般框架的讨论，请参见（Kakushadze，2014b）。相反，如果M>> N、样本相关矩阵ix中阿尔法的高（反）相关性意味着它们的相似性。

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2022-5-6 06:33:53

然而，实际上我们有M<N，实际上是M<< N、因此，从样本相关矩阵推导相似性并不是那么简单。存在基于样本相关矩阵和/或其主成分构建二进制集群的（通常是专有）算法。这类簇通常至少在很大程度上继承了样本c相关矩阵的作用对角线的样本外不稳定性。然而，如果无法获得有关如何构建Alpha的详细信息，例如，唯一可用的数据可能是位置数据，即在某些时间T，T这样的算法可能会派上用场。让我们注意到，在论文（Kakushadze，2014a）中，通过在光谱模型中观察到，ψij的最大eig环境值在大N极限下对T的影响，得到了以下等式（10）。若其他贡献并没有被抑制，那个么（10）可以被认为是营业额减少的近似下限。ψ（1）是相关矩阵ψij的最大特征值，而V（1）是ψij相应的右特征向量，因此nxi=1V（1）i= 1（11）此外，wi是组合α的权重，PNi=1 | wi |=1，τi对应于单个αi的转换。为了说明目的，让我们考虑相关矩阵ψij的所有对角元素相同的情况：ψij=ρ（i6=j）。还有，让所有人≡ τi | wi |相同，设ψ（p）为ψij的特征值，设V（p）为相应的特征向量。然后，在ψ（1）是最大特征值的基础上，我们有（注意V（1）i）≡ 1/√N、 i=1，N在这种情况下）：NXi=1V（1）iTi=√NNXi=1Ti（12）NXi=1V（p）iTi=0，p>1（13）ψ（1）=1+（N- 1） ρ（14）ψ（p）=1- ρ、 p>1（15）ρ*=1+（N）- 1） ρN（16），它再现了等式。

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2022-5-6 06:33:56

（12）年（Kakushadze a and Liew，2014）。前两个等式可以捕捉到（Kakushadze，2014a）的光谱模型在大范围内被认为是一个很好的近似值的本质，即使在一般相关矩阵的情况下也是如此：对于Ti的一般配置（即Tia不太倾斜，并且合理地分布在其平均值周围），贡献ρ*由于第一主成分（对应于最大特征值）占主导地位，而其他主成分的贡献则被1/N的幂所抑制。在上述一致相关性的情况下，让我们考虑ρ的两个极值。首先，当ρ=1时，也就是说，当所有的字母都是100%相关的，我们有ψ（1）=N和ρ*= 1，并且没有营业额减少。另一方面，当ρ=0时，当所有字母都不相关时，我们得到ψ（1）=1和ρ*= 1/N，在大N极限下，营业额为零。上述极端情况与我们根据营业额减少的直观情况所预期的情况一致（Kakushadze和Liew，2014）。这里取αiI的基（即，选择αi的符号），使得Pni，j=1ψij≡ Nρ′=N（1+（N- 1） ρ）最大化（ρ是平均相关性）。这是因为在第0近似ρ中*由ρ′给出（Kakushadze，2014a）。例如，如果我们只有两个α和α，且ψ<0，我们可以取α′≡ α和α′≡ -α、因此，得到的相关性ψ′>0。考虑这一点的另一种方式是，第一个主分量V（1）最接近完整的SO（N）旋转不变性，即，最接近归一化单位向量VI≡ 1/√N、 i=1。

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kedemingshi

2022-5-6 06:33:59

.N.5因素模型和离职率在本节中，我们的目标是使用因素模型研究大范围内的离职率减少，该模型为理解离职率减少系数ρ的行为提供了一个简单的计算框架*随着N的增加，使用主成分分析（Kakushadze，2014a）获得的频谱模型f公式（10）为估计营业额减少系数ρ提供了一个明确的公式*对于给定的阿尔法相关矩阵。然而，我们的目标是直观地了解ρ的大N行为*. 在这方面，因子模型方法提供了一个方便的计算平台：我们有F风险因子s（通过N×F因子载荷矩阵指定）OhmiA），F×F因子协方差矩阵ΦAB和对角线N×N特定风险矩阵Ξij。例如，我们可以问：ρ的依赖性是什么*在大N极限下的F？我们将从一个简化的fa-cto r模型开始，其中i）特定风险ξi设置为零，ii）没有风格风险因素，所有集群风险因素都是“二元”的，即每个αi都指向一个且仅指向一个集群，以及iii）因子协方差矩阵ΦABis对角线：ξi≡ 0 (17)OhmiA=δG（i），A（18）ΦAB=φAδAB（19），其中G:{1，…，N}7→ {1，…，F}（20）是alphas和集群之间的映射。我们有：Γij=φG（i）δG（i），G（j）（21）σi≡ Γii=φG（i）（22）ψij≡σiσjΓij=δG（i），G（j）（23），即使M<N，即样本相关矩阵奇异时，（10）仍然适用。这是因为它使用第一主成分V（1）和最大特征值ψ（1），依赖于M不会显著改变结果。

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2022-5-6 06:34:02

一种方法是使用（Kakushadze，2014年a）第3.1小节中讨论的方法，基于（Rebonato和J¨ackel，1999年）将非正特征值替换为最小的正特征值，对一个矩形相关矩阵进行变形，如第7节所示。因此，对于我们在第7节中使用的对冲基金数据，对于最大特征值，未变形和变形情况之间的差异仅约为24%。我们增加了低复杂性，包括非二元因子加载——简化因子模型的目的是阐明关键问题，而不使用不必要的数学知识将其过度复杂化。为了便于计算，我们选择了二元因子加载。正如我们将在下面看到的，简化的fa c tor模型捕捉到了大型行为的关键特征。此外，请注意，简化模型（Kakushadze and Liew，2014）是一般单因素模型的特例。在这里，因子加载元素的值不需要是“二进制的”。如果OhmiA=ωiAδG（i），a对于非二进制ωiA，结果不变，在这里和第5.2子节（非对角因子方差矩阵）。这里重要的是alpha在集群中的二进制成员身份。相关矩阵是块对角的，F块对应于F簇，每个对角块的所有元素都等于1。相关矩阵ψijas（N- F）零本征值和F本征值to：ψ（A）=NA（24），其中NA≡NXi=1δG（i），A（25）是属于A标记的簇的字母数。注意fxa=1NA=N（26）。此外，与特征值ψ（A）对应的右特征向量V（A）i由V（A）i给出=√NAδG（i），A（27）和被归一化，使得nxi=1V（A）i= 1（28）注意ρ*=N*N~>F（29）其中*≡ 最大值（NA，A=1。

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2022-5-6 06:34:06

，F）（30）因此，对于固定的F，仅仅增加N并不能完全减少营业额。这是因为加入越来越多属于同一集群的Alpha并不能使它们多样化，因为同一集群中的Alpha相互关联。降低ρ*我们还需要增加F，即属于新集群的dd Alpha。此外，请注意，如果F固定，则添加越来越多的a lpha s可以降低ρ*（除非所有的alpha都添加到带有最短NA的集群中），但它不会将其减少到零。在这方面，让我们考虑以下情况：→ ∞ F=固定值。从（29）可以得出ρ*当N*最小化，其中N*是最大的。然后，N*= 天花板（N/F），其中天花板（x）≡ 十、指的是不小于x的最小整数，与之类似的是F（x）≡ 十、指最大值，无需报警——这些特征值为零，因为我们将特定风险设置为零——见下文。不大于x的整数。因此，在N中→ ∞ 限制ρ的最小值*isat（ρ*)闵≡ F-3/2. 对于任何定义，相应的分布都有F-NA=楼层（N/F）和F+NA=天花板（N/F）的值，其中F-≡ F-F+andF+≡ N- 楼（N/F）。请注意，0≤ F+<F，如果F+=0，我们有上限（N/F）=楼层（N/F）=N/F。5.1上述特定风险的影响，我们假设为零特定风险。在本小节中，我们研究非零特定风险的影响。为了保持简单，我们假设ξi=eξG（i）（31）OhmiA=δG（i），A（32）ΦAB=φAδAB（33），其中eξA，A=1，F是每个集群对应的一些特定风险。也就是说，我们假设每个集群内的特定风险是一致的，这对应于每个集群内的特定风险被替代的近似值（无论是直接的还是逻辑的），例如，通过该集群的平均值（或中值）特定风险或均数平方根（中值）特定方差。

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2022-5-6 06:34:09

我们在这里这样做是为了计算的简单性——正如我们将看到的，特定风险对营业额减少的影响是在更大的限度内转租的，每个集群内不均匀特定风险的影响也是如此。根据以上假设，我们现在有：Γij=eξG（i）δij+φG（i）δG（i），G（j）（34）σi≡ Γii=eξG（i）+φG（i）（35）ψij≡σiσjΓij=eξG（i）eξG（i）+φG（i）δij+φG（i）eξG（i）+φG（i）δG（i），G（j）（36）该相关矩阵具有以下特征值结构。对于每个A=1，F，它有（NA）- 1）特征值方程ψ（A）=eξAeξA+φA，edA=NA- 1，A=1，F（37），式中，d是每个本征值的简并度。这给出了N的总数- 费根价值观。剩余的F本征值（每个本征值的单位简并度为dA=1）由：ψ（a）=eξa+NAφAeξa+φa，dA=1，a=1，F（38）这将减少到之前的结果，当≡ 与前面一样，与特征值ψ（A）对应的右特征向量V（A）i由V（A）i给出=√NAδG（i），A（39），所以我们有：ρ*=1+N*ζ*1 + ζ*N*N（40）式中ζA≡eξAφA（41）和ζ*≡ ζA表示NA=N的A值*（为了简单起见，假设所有这些都是独一无二的）。正如我们所见，特定风险不会影响ρ的大N行为*; 相反，它只是降低了ρ的总系数*, 但这并不影响我们在零特定风险案例中得出的结论。在这方面，假设保持不变（见下文），特定风险不会在质量上影响较大限额下的营业额减少，尽管这很重要，例如，即使在较大限额下的重量优化中。此外，以上我们假设特定风险在每个集群中是一致的，但放松这一假设并不会改变上述关于大N限制下营业额减少的结论。下面是一句澄清的话。如上所述，特定风险确实会进一步降低整体营业额降低系数。

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2022-5-6 06:34:12

如果我们取ζ*→ ∞,i、例如，与特定风险相比，因子风险可以忽略不计，然后营业额为零。实际上，在这种情况下，我们只有N个不相关的字母，在大极限下我们有ρ*~pN*/N→ 0.在上述分析中，当讨论行为或ρ时*在大N极限下，我们假设N→ ∞ （因此，N*→ ∞) ζ*= 固定。然后我们有ρ*~ （N）*/N） 3/2/（1+ζ）*) → 康斯特。5.2非对角因子协方差矩阵上述另一个简化假设是fa-cto r协方差矩阵是对角的。在本小节中，我们放松了这个假设。由于我们已经知道特定风险不会影响定性情况，我们将其设置为零，以避免事情过于复杂，但我们不会对影响因素矩阵进行假设：ξi≡ 0 (42)OhmiA=δG（i），A（43）我们现在有：Γij=ΦG（i），G（j）（44）σi≡ Γii=ΦG（i），G（i）（45）ψij≡σiσjΓij=bψG（i），G（j）（46），其中bψabi是因子相关矩阵：ΦAB≡pΦAApΦBBbψAB（47）那么非对角ΦAB的特征向量（27）的推广可以如下所示。有F个这样的特征向量。它们的形式是v（A）i=pNG（i）χ（A）G（i）（48）注意NXj=1ψijV（A）j=NXj=1bψG（i），G（j）pNG（j）χ（A）G（j）=pNG（i）FXB=1bψ′G（i），Bχ（A）B（49），其中Bψ′AB≡pNAbψABpNB（50）注意Bψ′是一个对称矩阵，χ（a）表示Bψ′的特征向量：FXB=1bψ′CBχ（a）B=Bψ（a）χ（a）C（51），其中Bψ（a）是Bψ′的特征值。所以我们有nxj=1ψijV（A）j=bψ（A）V（A）i（52）和1=NXi=1V（A）i=FXB=1χ（A）B（53）确定χ（A）B的标准化。接下来，注意对角线元素BψAA≡ 1，和（用矩阵表示法）bψ′=QbψQ（54），其中Q≡ 诊断pNA（55）是对角F×F矩阵。这意味着，既然bψabi是正定义，那么isbψ′AB也是正定义bψ′=FXA=1NA=N（56）这意味着bψab的反对角线元素对Igenv值bψ（A）有以下影响。当bψ的反对角线元素为零时，这些特征值等于NA。

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kedemingshi

2022-5-6 06:34:15

当它们不为零时，这些特征值通常不同于na，但它们仍然是正的，它们的和仍然等于N：A=1，F:bψ（A）>0（57）FXA=1bψ（A）=N（58）NXi=1V（A）i=FXB=1pNBχ（A）B（59）这意味着（V）*iis对应于tobψ的特征向量*)bψ*≡ 最大值bψ（A），A=1，F~>NF（60）NXi=1V*我~>rNF（61）和上述关于大N限制下营业额减少的结论保持不变，即使因子协方差ma trixΦabi不是对角的——对角元素通常会增加下限。附录A更详细地讨论了（61）。增加特定风险不会改变这一结果。5.3风格因素的影响将风格风险因素添加到组合中不会改变上述结论。假设类型风险因素数量有限，且数量较少，当集群风险因素数量较大时，其包含会产生转租效应。一个快速了解这一点的方法是考虑一个简单的因子模型，该模型具有零特殊性和单一风格因子Ohmi、 1×1因子协方差矩阵可以吸收到定义Ohmi、然后我们有Γij=Ohm我Ohmj（62）σi≡ Γii=Ohmi（63）ψij≡σiσjΓij=1（64）这不是一个不合理的假设。就股票而言，影响因素的数量远小于行业风险因素的数量。在Alpha的案例中，它似乎认为基本类型风险因素的数量应该更小，尽管要有效地确定它们的数量存在困难——详情见（Kak ushadze，2014b）。这个矩阵有（N- 1）零特征值和单个非零特征值等式。再加上几个样式因子，相关矩阵的最大特征值只会减少1阶因子。

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能者818

2022-5-6 06:34:18

它需要大量的风险因素，无论是二元的还是其他的，才能实质性地导出相关矩阵的最大特征值，这就是我们在上面发现的。5.4非二元因子加载为简单起见，我们假设因子加载Ohm它们是二进制的。在本小节中，我们考虑ar位r进制非二进制因子加载的情况。在这种情况下，可以方便地将因子协变量矩阵吸收到因子载荷的定义中：Γ=Ξ+eOhmEOhmT（65）eOhm ≡ OhmeΦ（66）eΦeΦT=Φ（67），其中eΦabi是ΦAB的Cholesky分解，假设为正定义。为了简单起见，正如我们在5.1小节之前所做的那样，让我们将speci crisk设置为零——我们在下面对speci crisk的影响进行评论。然后协方差矩阵显示：Γij=FXA=1eOhm依斯克拉OhmjA（68）σi≡ Γii=FXA=1eOhmiA（69）ψij≡σiσjΓij=FXA=1∧iA∧jA（70），其中∧iA≡σieOhmiA（71）相关矩阵ψijhas N-F零特征值和F非零特征值。后者由ma t rixQAB的特征值ψ（A）给出≡NXi=1∧iA∧iB（72），其性质也决定了ψij的相应特征向量。更准确地说，假设下面定义的矩阵QABde是非奇异的，这些F特征值是非零的——见下文。LetQ=W Z WT（73）Z=diagψ（A）（74）其中W是F×F矩阵，标准化为WTW=1，其列为QAB的右特征向量。我们可以假设llψ（a）>0，a=1，F–矩阵QABis正定义，前提是N向量y（A）i≡ λiA，A=1，票价是线性独立的，我们假设情况是这样的，不会失去一般性。此外，乐视（A）i≡pψ（A）FXB=1∧iBWBA（75）那么我们有nxj=1ψijV（A）j=ψ（A）V（A）i（76）NXi=1V（A）iV（B）i=δAB（77），因此，V（A）是与eigenvaluesψ（A）相对应的ψij的适当归一化的F特征向量，具有以下性质：NXA=1ψ（A）=）=Tr（Q）=Tr（ψ）=）=N（78）ψ*≡ 最大值bψ（A），A=1。

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可人4

2022-5-6 06:34:21

F~>NF（79）我们仍然需要估计NXi=1V*我（80）其中V*iI最大特征值ψ对应的特征向量*. 详细信息归入附录B——因此，在非二元因素负荷的情况下，我们也在大N限值中找到了营业额减少系数的确定限值。增加特定风险不会改变这一结果。6实际应用我们在上文中看到，在阿尔法因子模型的背景下，营业额减少不一定会通过增加越来越多的阿尔法而变为零。人们需要添加越来越多不同类型的新字母，以实现不确定的教育。在因子模型上下文中，这转化为一个添加Alpha以形成新集群，而不是将Alpha添加到旧集群中。凭直觉，这一结果并不令人惊讶——为了实现营业额减少，需要添加越来越多（几乎）与现有Alpha不相关的Alpha。然而，因子模型k提供了一种量化这种说法的方法。特别是，它允许设计一个简单的测试，测试新的Alpha是否有可能减少营业额。所以，假设我们有N个α，它是F型簇，带有因子载荷OhmiA，i=1，N、 A=1，F假设开发了新的Alpha，我们需要评估它们是否有减少营业额的潜力。问题是这些新的阿尔法是否形成了一个新的集群。为了简单起见，让我们考虑这样一种情况，即新的阿尔法都是这样，它们形成了一个新的集群。让old加上新的字母是α′i′，i′=1，N′，其中N′是旧字母和新字母的总数-N）是新字母的编号。假设newfactor-loadings矩阵为Ohm′i′A′，A′=1，F′，其中F′=F+1。现在我们可以进行两次回归（无截距），第一次是αOhmiA，第二个α\'i\'结束Ohm′我是。

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mingdashike22

2022-5-6 06:34:24

R表示法：α~ -1 + Ohm (81)α′~ -1 + Ohm′（82）现在可以比较每种回归的F统计量。实际上，αi和α′i′是时间序列：αi（ts）和α′i′（ts），s=0，1，例如，我们可以观察F统计量的两个时间序列向量，并评估新阿尔法形成新簇的假设是否具有更好的总体F统计量。上述讨论假设系数荷载Ohm已知与现有星团相对应的I。问题是，人们首先如何识别这些现有集群？建立二元alpha分类的一种有点“原始”的方法是递归地使用本节的方法，尽管这种方法可能很实用。如果这里有许多独立的阿尔法源（开发者），在零近似中，他们有效地标记了集群。每次开发新的Alpha时，都需要过滤掉与现有Alpha高度相关的内容。如果有一个具有K个簇的二元分类，那么可以使用K+1簇构建一个分类，并递归地重复这个过程。当K值较低时，最需要注意的是——一旦K值较大，就有更多的统计数据可用于过滤多余的新字母。为了在低K下改进该方法，可以使用脚注10中提到的算法进行补充，其中使用样本相关矩阵和/或主成分获得二元因子载荷。如第5.1小节所述，特定风险会降低营业额。如果新的Alpha属于现有集群，但具有更高的特定风险，则营业额可能会降低。

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2022-5-6 06:34:28

然而，在识别所有相关风险因素（包括任何聚类）后，在风险因素模型中计算特定风险。在比较两个F-统计向量时，可以移除（或通过标准技术平滑，例如Winsorization）异常值，以提高比较的统计意义。这种（通常是专有的）alg算法通常基于排名技术。当K值较低时，它们预计会更准确地工作，因为M.7“幂律”和Cl群的数量有一个实际界限。我们上面的主要结果是，使用因子模型方法，我们得出了“幂律”（29），这表明营业额减少系数ρ*由簇数F:ρ控制*~>F（83）这里我们问两个问题。首先，对于给定的相关矩阵ψij，我们能估计F吗？第二，我们可以通过增加N来不确定地增加F，还是有限制？为了回答第一个问题，让我们首先回顾等式（60）中的ψ*~>NF（84）这为我们提供了一种估算F:F的简单方法~>Nψ*（85）下面的评论是正确的。下限（85）适用于~<M、因此，相关矩阵不是奇异的。如果M<N，则相关矩阵是奇异的，簇的数目为F≤ M、因此，根据M的不同，下限（85）可能提供信息，也可能不提供信息。作为一个示例，让我们使用与图1和图f（Kakushadze和Liew，2014）相同的晨星数据。其中1项（Kakushadze，2014a），即1990-2014年N=657个月对冲基金回报率（HF）的数据a。对于原始HF的未变形相关矩阵，我们有ψ*≈ 207和F~>3.17，对于原始HF的相应变形相关矩阵，我们有ψ*≈ 158 a和F~>4.15.

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mingdashike22

2022-5-6 06:34:32

对于针对RF（其影响较小）调整的HF残差（加上截距，其没有影响）的未变形相关矩阵，并在Mkt RF和Fama-French风险因素SMB、HML、WML上回归，我们得到ψ*≈ 93.9和F~>7.00，对于相应的变形相关矩阵，我们有ψ*≈ 71.1和F~>9.24. 然而，回归Mkt RF和Fama FRANCE风险因素（在原始HF中明显占主导地位）可以改善下限。还要注意，在这个例子中，M实际上比我们得到的下限大，所以后者是有用的。我们强调形容词“说明性”的原因是，由于该数据中的各种对冲基金都交易相同的基础工具，而且相应的时间序列没有100%重叠（一些对冲基金已经死亡，一些比其他对冲基金更新，等等），因此假设它们的交易可能被交叉并不一定是正确的。因此，我们使用这些数据只是为了说明相关矩阵的各种性质，而不一定直接得出任何关于营业额减少的结论，因为这些阿尔法流实际上跨越了它们的交易。原始HF具有非均匀的N/A，因此通过省略此类N/A计算相关矩阵，如脚注6所述，具有负特征值，通过使用（K akushadze，2014a）第3.1小节中使用的方法对相关矩阵进行变形，以（Rebonato和J¨ackel，1999）为基础，将非正特征值替换为最小的正特征值（这不是计算舍入变形的零），也可参见第7.1节的e和o。这里我们给出了rψ的值*F和F是两个重要的数字。7.1回归相关上述我们讨论了如何获得聚类数的下限。

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2022-5-6 06:34:36

下面是估算F上界的一种非对称方法。设∧iA，A=1。K是ψij的前K个主分量的N×K矩阵，即∧i的列是前K个主分量。接下来，让i（ts）是回归残差的时间序列，在R表示法中读取（即，无截距且具有平凡权重的回归）：eα~ -1+λ（86），其中（见第2节）eαi≡αiσi（87）注意cov（eαi，eαj）=Cor（αi，αj）=ψij（88）在矩阵符号中我们有：（ts）=（1- Y）eα（ts）（89）其中≡ Λ∧T∧-1∧T（90）是一个投影矩阵：Y=Y。注意：Cov（i，j）=[（1- Y）ψ（1）- Y]ij≡ Φij（91）设ξi≡ Φii（92）ei≡iξi（93）TheneΦij≡ Cov（ei，ej）=Cor（ei，ej）=ξiξjΦij（94），即eΦij是回归残差i的相关矩阵。此外，为了计算，我们不需要知道αi；我们只需要知道相关矩阵ψij。让ζ≡ 意思是eΦij，i6=j(95)ζ≡ 中值的eΦij，i6=j（96）构建∧iA还有其他方法，但出于我们的目的，我们在这里将其构建在主要组件的基础上。通过将ζ和ζ视为K的函数，我们可以确定ζ和ζ不再显著降低的Kabove值。这个K值估计了相关矩阵ψij的簇数F（上界）。对于上述HF数据的情况，ζ和ζ作为K are函数的图由图1和图2给出。从这些图中我们可以推断F在5到10之间，这与基于最大特征值法的上述下限结果一致。注意，后一种方法基于二元聚类假设，而前一种方法基于使用主成分的非二元分析。这些互补的方法可用于在N大得多的情况下估计簇的数量。

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kedemingshi

2022-5-6 06:34:39

此外，请注意，要使用主成分法，相关矩阵必须为正定义，如图1和图2所示。2我们使用第3小节中讨论的方法对相关矩阵进行变形。（Kakushadze，2014a）中的1基于（Rebonato和J¨ackel，1999），非正特征值被最小的正特征值所取代（见脚注24）。8是否存在减少新特征值的限制？答案是肯定的——假设基础可交易工具的数量是有限的。事实上，在这种情况下，投资水平是有限的，如果我们假设通过增加越来越多的字母，即通过取N→ ∞, 我们可以确切地减少营业额，我们将得出一个固定基础可转换工具的静态投资组合。美元中性（或者更一般地说，“市场中性”）静态por TFOLIOCA不会有高的夏普和回报。只存在正回报的长期静态投资组合——标准普尔就是一个例子，尽管其夏普比率很低。然而，具有高Sharpe和高回报率的adollar中性静态投资组合无法在toolong持续。但愿如此。我做多做空美元头寸。然后，通过加入I美元多头标准普尔，我们可以合成一个净I美元多头投资组合，包括以下P&L、波动率和夏普：P=P+P（97）R=qR+R+2ρRR（98）S=PR（99），其中，对美元-中性端口对账单和标准普尔的P&L进行比较，并得出相应的波动率，而ρ是P&L之间的关系，可以假设P&L较低：|ρ|<< 1.那么很明显，如果美元中性投资组合显著优于标准普尔，那么静态的合成长期投资组合优于标准普尔。

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2022-5-6 06:34:42

然而，这种情况不会持续太久，因为它会迅速消失——合成投资组合是静态的，因此没有明显的障碍。更准确地说，即使标准普尔指数不是静态的，由于周期性的重新平衡，它也是准静态的，但这种影响对我们这里的讨论并不重要。此外，就非负基准而言，回报是否为正并不重要。上述讨论表明，减少营业额是有限度的。这反过来意味着，只要基础可交易工具的数量是有限的，集群的数量就是有限的。一旦达到这一限制——并且可以使用第7节中讨论的方法估计任意给定N个字母集合的群集数量——开发越来越多的字母不再有助于减少营业额，而是通过i）回收性能下降的alpha，并ii）有效地扩大权重空间，从而改进alpha权重优化，从而提高投资组合的回报率。由于集群的数量是有限的，因此应确定并使用这些集群，以优化对新Alpha的搜索，从而最大限度地发挥上述i）和ii）的影响。而大N极限——正如在理论物理学中（\'t Hooft，1974年）被证明是一个强大的工具，用于理解由大量N个字母组成的投资组合的营业额减少和其他方面。9评论我们在结束本说明时发表了一些澄清性评论。F ir st，（Kakushadze and Liew，2014），（Kakushadze，2 014a）和本文假设所有Alpha都在同一执行平台上交易。在实践中，这意味着N alphasαi与一些权重wi（通常通过优化（Kakushadze，2014c））组合成一个alpha，交易的正是这个组合的alpha。这是最有效的方法；内部交叉是自动的。

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2022-5-6 06:34:46

其次，正如（Kakushadzeand Liew，2014）和（Kakushadze，2014a）中更详细地讨论的那样，一般来说，准确描述内部交叉和营业额减少并非易事。在由大量基础可交易工具（如股票）组成的投资组合中，内部交叉的精确细节取决于详细的投资组合头寸和交易数据。a.通过阿尔法相关性建模转换减少正是建模。例如，交易之间的相关性和头寸之间的相关性并不相同。然而，正如（Kakushadze，2014a）中所述，尽管有警告，对于合理分配的单个营业额和权重，光谱模型预计在大N限值下是一个很好的近似值。在这方面，一个lpha s被优化，也就是说，组合成一个单一的阿尔法，这使得一个显着的简化——这避免了不同阿尔法之间的时间交易问题，这是一个必须要做的事情，如果阿尔法真的被单独翻译。此外，在大范围内（在1/N扩展中），对营业额减少系数的主要贡献具有类似于相关性的结构（Kakushadze和Liew，20 14），并且，正如（Kakushadze，2014a）中所述，该主要贡献通过阿尔法相关矩阵的第一个组成部分的贡献很好地近似（在上述条件下）。第三，如上所述，事实r模型方法和（二元）聚类的使用是一种方便的计算工具，它使我们能够直观地了解营业额减少，这是对主成分方法的补充（Kakushadze，2014a）。我们在第5.2小节中详细阐述了（61）的特征向量扭转器的性质，这可能并不明显。

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可人4

2022-5-6 06:34:49

为此，我们将研究一个更简单的情况，而不是处理一般的r相关矩阵xbψAB≡ ρ、 A 6=B（100）删除χ（A）≡FXB=1pNBχ（A）B（101）那么从（51）我们有：χ（A）C=ρeχ（A）√NCbψ（A）- (1 - ρ） NC（102）两边乘以√n求和C=1，F，我们得到：ρFXC=1NCbψ（A）- (1 -ρ） NC=1（103）本征值Sbψ（A）是该方程的F根（为了简单起见，假设所有NC都是不同的）。fr om（103）进一步得出ρFXC=1bψ（A）- (1 -ρ） NC=φ*bψ（A）（104）式中φ*≡ 1+ρ（F）- 1）（105）是bψAB的非简并本征值，另一个（F-1）特征值φ′≡ 1.-ρ.对于a6=B，我们有FXC=1χ（A）Cχ（B）C=ρeχ（A）eχ（B）FXC=1NChbψ（A）- (1 - ρ） NCi hbψ（B）- (1 -ρ） NCi==ρeχ（A）eχ（B）（1）- ρ)bψ（b）-bψ（A）FXC=1“bψ（A）bψ（A）- (1 - ρ）北卡罗来纳州-bψ（b）bψ（b）- (1 -ρ） NC#==0（106），因此不同的特征向量a应该是相互正交的。从（53）我们得到：1=FXC=1χ（A）C= ρeχ（A）FXC=1NChbψ（A）- (1 -ρ） NCi（107）最后一笔款项可按如下方式处理。允许表示导数w.r.t.ρ，例如：bψ（A）≡bψ（A）ρ（108）微分（104）w.r.t.ρ和重新排列项，我们得到：ρhbψ（A）+（1- ρ) bψ（A）iFXC=1NChbψ（A）- (1 -ρ） NCi=φ*- ρ φ*（109）加上（105）和（107），这给出了以下简单表达式：eχ（A）=bψ（A）+（1）- ρ) bψ（A）（110）在这里，我们不需要f的显式形式bψ（A）。我们感兴趣的是了解NXi=1V*我= |eχ*| （111）其中eχ*≡ eχ（A）表示A f的值，其中bψ（A）=bψ*. 随着ρ从0 t增加到1，最大特征值单调增加，即：。，bψ*> 这意味着（61）和我们（60）一样。

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2022-5-6 06:34:52

另外，注意det（bψ′）=det（bψ）QFA=1NA，这意味着当ρ接近1时，（F- 1）特征值变为零，而最大的特征值变为N——记得tbψ有一个等于φ的特征值*= 1+（F）- 1） ρ和（F）- 1）特征值等于φ′=1- ρ.图3是bψ的曲线图*对于F=50和N=2061的随机构造矩阵，与ρ之比。此外，F=2提供了对特征值结构的分析见解。设N>N，特征值由ψ（1）给出=N+N+q（N- N） +4nnρ（112）eψ（2）=N+N-q（N）- N） +4nnρ（113）对于ρ=0，特征值为Nand N。较大的特征值单调增加到N=N+Nasρ从0增加到1，而较低的特征值则减少到0。B非二进制情况我们的目标是估计（80）。为此，让（这里我们使用第5.4小节的符号）a∧≡ λA+e∧iA（114）NXi=1e∧iA≡ 0（115）即∧Ia是通过降低∧Ib的列的值而获得的。我们有ζA≡NXi=1V（A）i=Npψ（A）FXB=1λBWBA（116）QAB=NλAλB+eQAB（117）eQAB≡NXi=1e∧iAe∧iB（118）LeteQ=fWeZfWT（119）eZ=diag（qA）（120），其中fw是F×F矩阵，标准化为fwtfw=1，其列是qabc对应于特征值qA的右特征向量。注意，根据相似性转换，QABis由一个单因素模型给出：Q=fWbQfWT（121）bQ≡ qAδAB+bλABλb（122）bλA≡√NFXB=1λBfWBA（123）这里我们假设特征值qA是相同的，而不是处理最一般的情况：qA≡ q、这可以被认为是一个近似值，用平均（或中值）波动率代替上述单因素模型中的波动率（直接或对数）。这种近似将有助于我们在这里简化数学，使其具有启发性。haveQAB=NλAλB+qδAB（124）ψ*= Nχ+q（125）χ≡vUtfxa=1λA（126）ψ′=q（127）WA*=λAχ（128）这里ψ*是QAB的最大特征值，而ψ′是另一个（退化）F- 1情报价值。

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2022-5-6 06:34:56

还有，WA*是qabc对应于ψ的右特征向量*. 因此：ζ*=N√ψ*FXB=1λBWB*=Nχ√ψ*（129）这类似于我们在5.1小节中的简化近似，在该小节中，我们假设了整个ea ch集群的单一特定风险。这里我们需要了解χ和q的可能值。首先，请注意χ不能消失。的确，如果是这样，那么所有λA≡ 0，这意味着Pnj=1ψij≡ 0，i=1，N.这意味着至少有一些ψij的反对角线元素是负的。对于某些i6=j，设ψij<0。然后，通过计算对应于j的α′j的αlpha的符号≡ -αj（并保持所有其他α的变化，α′j≡ αj，j 6=j），我们将得到相应的相关矩阵ψ′ij，即tPNj=1ψ′ij=-2ψij>0。所以，χ>0。另外，回想一下Tr（Q）=N，它给出Nχ+fq=N，因此Q<N/F和ψ*= Nχ+q=N-（F）-1） q>N/F，与（79）一致。然而，χ上有一个更强的界。下面是一个简单的答案。注意pni，j=1ψij=NPNA=1λA=Nχ。另一方面，PNi，j=1ψij=Nρ′=N（1+（N-1）ρ），其中ρ是平均相关性（见脚注12）。总体而言（Kakushadze，2014a），我们预计ρ*= γρ′，其中γ~ 1（通常γ>1）。然后它允许≈pρ*/γ和ρ*= ψ*ζ*/N3/2，式中ζ*由（129）给出，我们得到ρ*≈ψ*γN~>γF（130）所以，在非二元情况下，我们得到了ρ的一个更高的界*而不是二进制的情况。这是因为在二元情况下，我们实际上有对角线QAB=NAδAB（第5节中定义的NAisde）和ζa=√在这种情况下（对于对角因子协方差矩阵）。参考萨克曼，C.，麦克纳利，R.和Revenscraft，D.（1999）边缘基金的表现：风险、回报和激励。《金融杂志》54（3）：833-874。Agarwal，V.和Naik，N.Y.（2000年a）采取“替代”路线：对冲基金的风险、风险和业绩持续性。另类投资杂志2（4）：6-23。纽约州阿加瓦尔和奈克。

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能者818

2022-5-6 06:34:59

（2000b）对冲基金来源的多期业绩持续性分析。《金融与定量分析杂志》35（3）：327-342。Amin，G.and Kat，H.（2003）股票、债券和对冲基金：不是午餐！投资组合管理杂志29（4）：113-120。Asness，C.S.，Krail，R.J.和Liew，J.M.（200 1）对冲基金对冲吗？投资组合管理杂志28（1）：6-19。Brooks，C.和Kat，H.M.（2002）对冲基金指数回报的统计特性及其对投资者的影响。另类投资杂志5（2）：26-44。Brown，S.J.，Goetzmann，W.和Ibbotson，R.G.（1999）离岸对冲基金：生存与业绩，1989-1995年。商业杂志72（1）：91-117。Chan，N.，Getmansky，M.，Haas，S.M.a and Lo，a.W.（2006）系统风险与对冲基金。摘自：Carey，M.和Stulz，R.M.（编辑）金融机构的风险。芝加哥大学出版社，第6章，第235-33页。Edwards，F.R.和Caglayan，M.O.（2001）对冲基金和大宗商品基金在牛市和熊市的投资。投资组合管理杂志27（4）：97-108。Edwards，F.R.和Liew，J.（1999a）管理商品基金。《未来市场杂志》19（4）：377-411。Edwards，F.R.和Liew，J.（1999b）对冲基金与管理期货作为资产类别。衍生工具杂志6（4）：45-64。冯W.和谢D.（1999）对冲基金入门。《经验金融杂志》6（3）：309-331。冯文和谢德德（2000）对冲基金和商品基金的表现特征：自然与虚假偏见。金融定量分析杂志35（3）：291-307。冯文和谢德德（2001）对冲基金策略中的风险：理论和来自以下趋势的证据。金融研究回顾14（2）：313-341。Kakushadze，Z.和Liew，J.K.-S.（2014）是否有可能在Alpha上进行OD？SSRN工作文件，http://ssrn.com/abstract=2419415（2014年4月2日）；arXiv:1404.0746。卡库沙泽，Z。

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