多人博弈未定权益的套利定价

2022-5-6 05:23:52

多人博弈的套利定价*澳大利亚悉尼新南威尔士大学数学与统计学院，2006年，2014年4月6日摘要我们引入了一类涉及多方的金融合同，将两人博弈期权的概念扩展到一个合同中，其中涉及任意数量的方，每个方都可以在任何时候做出广泛的决策，不局限于“行使选择权”。然后，各方决定的集合决定了合同的终止日期以及各方的最终支付。我们提供充分的条件，在此条件下，多人博弈选择具有唯一的套利价格，该价格与合同的任何分割有关。关键词：多人博弈索赔、套利价格、斯奈尔包络、最优均衡数学主题分类（2010）：91A06、91A15、60G40*Ivan Guo和Marek Rutkowski的研究得到了澳大利亚研究委员会发现项目资助计划（DP120100895）的支持。2多人游戏或有索赔1在金融市场中，几乎所有交易的衍生品实际上只涉及两方，即发行人和持有人。此外，在大多数情况下，唯一有意义的决定在于持有人行使合同的形式。一些例外情况包括基弗[24]引入的双人游戏选项，发行人在其中也有决策权（另见多林斯基和基弗[6]、多林斯基等人[7]、卡尔森和科恩[20]、科恩e t等人[26]、基普里亚努[27]和基弗[25]的一篇评论文章）。从实用角度来看，人们可以将可转换债券称为现实世界中的金融衍生工具，这是由两人博弈期权的一般概念所发现的（例如，见Ayache等人[1]，Andersen and Buffium[2]，Bielecki e t.等人）。

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2022-5-6 05:23:55

[3] ，或卡尔森和库恩[21]）。难怪现有的金融衍生品定价数学理论主要与双边交易有关。相比之下，我们的目标是通过设计一个扩展框架来开辟一条新的途径，在这个框架中，我们可以定义和评估涉及多方的未定权益。在这项工作中介绍的多人连续索赔的一般版本中，涉及多个当事方，每个当事方都被允许在任何时候做出广泛的决定，而不是被限制为简单地“行使选择权”。然后，各方的决定决定了索赔的解决时间，以及各自的最终支付。由于在郭和鲁特科夫斯基[11,12,13]中研究的多人金融合同机制和一般随机博弈机制之间可能存在等价关系，我们提出了多人博弈目标或多人博弈选项的名称。我们一直在离散或连续时间无套利市场模型中工作，目的是将多人博弈未定权益添加到该市场中。本文提出的广义框架并不局限于一个特定问题，而是有几个目的。首先，它允许创建和评估涉及多方的新复杂衍生工具。其次，它为现有外来衍生品的估值提供了新的见解。最后，该框架可以作为在外部因素存在的情况下对金融衍生品进行建模的统一方法的起点，例如：信用风险、融资成本和保证金账户（例如，见[4,31]）。例如，有人可能会问，外部出资人能够根据自身利益做出有意义的决定，这一事实可能会如何影响两个或多个交易对手之间合同的估值。本文的组织结构如下。

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2022-5-6 05:23:58

在第2节中，我们给出了一个多人博弈或有权益的定义，它与一个完全信息的多人随机博弈有关。该索赔涉及合同部分（称为部分）的几名持有人及其发行人。由于每一方都能够观察到其他方的行为，因此这些信息反映在其决策和对冲组合中。因此，可接受的交易策略被重新定义为H-可预测交易策略，也包括对各方可观察行为的反应。进入和持有套利被自然地定义为通过Holdingtrances和H-predic表交易策略获得保证利润的机会，直到索赔得到解决。第3节重点讨论特定组合部分的定价，即固定集合部分。为了确定合并交易的无套利界限，必须考虑该部分的持有人，并假设发行人持有合同的所有剩余部分。本节的主要结果分别是离散时间和连续时间情况下的定理3.1和3.3。它们表明，在某些合理的支付条件下，如果且仅当固定组合份额的价格在特定区间内时，就不可能进行进入和持有套利。然后用超级对冲策略来解释这个区间的界限。在第4节中，我们还考虑了不同组合部分之间的相互作用。

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2022-5-6 05:24:01

特别是，我们证明了多人套利期权的单批价格必须是可加的，以避免第二类套利，即即时转售套利。我们证明了价格的可加性也消除了双方之间的价格分歧。定理4.1给出了两类套利机会均不存在的充分必要条件。定理4.2证明，如果关联多人博弈存在最优均衡，那么博弈合约的所有单独部分都有唯一的ar比特价格，这与博弈的价值相匹配。此外，如果支付满足次零和条件，I.Guo和M.Rutkowski 3则每个组合交易都有一个唯一的套利价格，该价格也是可加的。为了方便读者，附录中收集了博弈论的一些定义和结果。1.1具有可出售份额的多人合同为具体起见，让我们考虑一个单一股票的连续时间完整市场模型，例如Black-Scholes模型。我们的目标是研究涉及多方的合同套利定价。其中一位被称为发行人的人扮演着特殊的角色——他发起（“出售”）合同，并根据下文规定的规则进行结算。所有其他m方被称为合同部分的持有人。下面我们举一个发行人和m持有人之间简单合同的例子。在第4.5节中，我们将展示如何使用无风险原则对本合同进行估价。1.1.1两期设置我们考虑日期0<T<T=T，并假设在时间0时，每个持有人购买一部分，正式代表为欧洲或美国风格的看涨期权或看跌期权。期权可能具有不同的行使权，但它们具有相同的到期日T，并且不能在T日之前行使。

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2022-5-6 05:24:04

在时间T时，每个持有人都有权向发行人返还（即，投入）交易凭证。如果第i位持有人决定将其持有的份额出售，则他将从发行人处获得合同中规定的可计量金额。我们用E表示这类持有人的集合。如果所有持有人决定在时间T将该份额交给发行人，那么他只需支付所有金额X，给持有者。然而，如果至少有一名持有人决定保留其份额，则合同规定，发行人在时间T计算其总偏差（“总损失”），如Sumpi所示∈E（Xi）- Pi）式中，Pi是时间T时第i个期权的价格，发行人的总损失由决定保留其份额的股东承担。为简单起见，我们假设重新分配在决定保留该份额的持有人之间平均分配，以便他们每个人都应向发行人支付KPI金额∈E（Xi）- Pi）其中k=m- |E |是持有该等股份的人数，但也可以实施更一般的再分配规则（见[11,12,13]）。我们注意到可以选择K，Km，期权类别（看涨期权或看跌期权），以及金额X，XM确保所有持有人在T时将其份额交给发行人不是“最佳”的。具体而言，金额X，XM可能被选择得足够小，以便至少存在一个持有人，该持有人可能不太适合将其份额出售，即使所有其他持有人都愿意这样做。在这种情况下，发行人的“总估值”问题将归结为单个期权的估值，这是很自然的，因为持有人当时的决定不会影响发行人。这意味着时间0时“部分”的价格之和应等于期权价格之和。

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2022-5-6 05:24:07

然而，由于T.1.1.2多期设置时的支付分配，一批债券在时间0时的价格不一定与相应期权的价格一致。现在让我们考虑日期0<T<T<··<Tn<Tn+1=T。每位持有人购买一份在T到期的期权，该期权不能在Tn之前行使。为了描述合同的机制，让我们假设一些l=1，2，n、在Tl时，每个当前持有人都有权将该部分股份转让给发行人。如果第i个持有人决定这样做，那么他将收到预先确定的FTl可测量金额Xil。我们用El来表示这类持有者的集合。如果所有款项在Tl时返还给发行人，则发行人支付所有款项Xl，给持有者。如果至少一名持有人决定保留其份额，则发行人计算其在Tl时的“总损失”，由sumPi给出∈El（Xil）- Pil），其中Pil是Tl时ITH批的市场价格（续存价值）。第一批的价格Pilof的计算假设Tl时未发生任何批的出售（换句话说，在Tl时重新宣布持有人决定之前）。发行r的总损失由决定保留其份额的持有人承担。重新分配是4个多人博弈或有索赔，在决定保留a t Tl份额的持有人之间平均分配，这意味着他们每个人通过在时间Tl向发行人支付KPI金额来补偿发行人∈El（Xil）- 式中m=k- |El |是此类持有人的数量。在重新分配阶段完成后，我们将进入下一个日期Tl+1，发行人将成为所有i期的i期新持有人∈ 艾尔。然后，他可以在Tl+1开始时做出第一批持有人可以做出的任何决定。他还可以将这些交易的部分或全部出售给新的持有者，从而放弃相应的决策能力。

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2022-5-6 05:24:10

我们重复这些步骤，直到完成决策和再分配。此时，这些份额将恢复到原来的选项。2多人博弈选项以下所有定义均指潜在概率空间(Ohm, F、 P），这与过滤F={Ft:t有关∈ [0，T]}代表所有市场参与者观察到的信息流。在连续时间设置中，过滤F也被假定为满足支持随机演算的“通常条件”。我们用B，S，SDF适应过程代表主要交易资产的价格。为了简单起见，我们假设基础市场模型（基本上没有具体说明）是无摩擦、无套利且完整的。因此，根据FTAP的经典版本，唯一的鞅测度可用Q表示。有关离散时间情况（连续时间情况等）的详细说明，werefer to Jacod和Shiryaev[17]（Jeanblanc等人[18]，resp.）。关于连续时间模型的进一步技术假设将在第3.5.2.1节“行动、结果和战略”中说明。考虑一个任意游戏G，玩家集M={1,2，…，M}，行动空间SA=Qi∈市场关注度指数。我们假设每个AI都是一个有限的（或有限的，但可计数的）集合，可随时供玩家i使用。除非另有说明，定义涵盖离散时间和连续时间两种情况。特别地，[t，u]表示研究离散时间框架时的set{t，…，u}。还要注意约定[0，t）=[0，t- 1] ：={0，…，t- 1} 在这种情况下，t=1，2，T定义2.1。第一方的结果是F-ada pted过程hi=（点击：t∈ [0，T]），具有Ai中的值。它代表了一方长期以来的行为。

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2022-5-6 05:24:13

第一方的成果空间由Hi表示。我们写h=（h，…，hm）和h=Qi∈MHito分别表示结果的m元组及其空间。我们将经常考虑一系列行动，包括一定时间内的行动≤ T对于任何结果，h∈ H、时间t之前的历史是H对时间间隔[0，t]的限制。我们用H[0，t]来表示它，我们写H[0，t）来表示这种历史的空间。此外，我们以类似的方式定义H[0，t]和H[0，t]。以下技术假设仅适用于连续时间情况，在这种情况下，这一假设确实至关重要。假设2.1。每一个结果嗨∈ 每一次我∈ M是一个正确的连续过程。一场比赛的许多方面只取决于过去的历史。为了量化这个概念，让我们考虑一个映射f:H×[0，T]×Ohm → 在某个空间C中具有值s的C。对于任何h，h′∈ H、我们定义了随机时间ρ（H，H′）：=infT∈ [0，T]：ht6=h′T∧ T.（2.1）那么ρ（h，h′）是F-停止时间，因为结果h和h′是F-适应的。显然，对每个人来说∈ [0，T]，事件{h[0，T）=h′[0，T}与{T]重合≤ ρ（h，h′）}。定义2.2。一个映射f:H×[0，T]×Ohm → C是H适应的（分别是H可预测的）如果每一个，h′∈ H、等式f（H）=f（H′）分别适用于随机区间[[0，ρ]（分别适用于[[0，ρ]]）当reρ=ρ（h，h′）时。I.Guo和M.Rutkowski 5显然，如果映射f是H-可预测的，那么它也是H-适应的。直观地说，映射F是H适应的（分别是H可预测的）如果，为了一个小t∈ [0，T]，值ft（h）仅取决于h[0，T]（onh[0，T），分别）。

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2022-5-6 05:24:18

非正式地说，对于H适应（H可预测，分别）因此，映射f可以为每个h分别写eft（h）=ft（h[0，t]）（ft（h）=ft（h[0，t]）∈ H和t∈ [0，T]。玩家i的策略规定了她应该如何应对其他方的可观察行为。它从结果的空间H映射到一组变量，这也考虑了过滤定义2.3所代表的信息流。第一方的策略是F适应和H可预测的映射si:H×[0，T]×Ohm → 人工智能。策略s=（s，…，sm）的m元组称为策略文件。我们用Si（S，resp.）第一方所有可能战略的spa c e（分别为战略文件）。我们定义了映射s[0，t）∈ S[0，t）和si[0，t）∈ Si[0，t）以一种明显的方式。还要注意的是，无论上标i∈ M似乎可以用任意子集N代替d M来描述与N有关的相应概念。此外-N是M\\N的简写符号。写入=（τ，σ）=（sN，s）通常会很方便-N）∈ SN×S-N.（2.2）定义2.4。对于任何战略文件∈ S、我们用h（S）来表示∈ H与tos相关的结果，即在[0，T]上播放策略文件时获得的唯一结果。通过首先指定每个玩家可用的所有策略的类别，然后将Hia和H定义为与所有可能策略相关的所有结果集，这是很自然的∈ 该规范支持下文所述的所有定义和结果。现在让我们考虑时间t的博弈。我们假设在任何时间t，所有各方都观察到历史h[0，t）（s）（但不是用于生成该样本路径的映射s[0，t]）的样本路径。对于任何固定的s=（τ，σ）∈ S和N M、在策略文件s[0，t]之后，我们定义了在时间t时可从集合N中获得的策略集SNt∈ S[0，t]被播放。

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2022-5-6 05:24:21

形式上，子组SNt（τ，σ） SNis g iven bySNt（τ，σ）：=τ′∈ SN:h[0，t）（τ′，σ）=h[0，t）（τ，σ）. （2.3）2.2多人游戏或有权益首先制定多人游戏合同的一般定义。合同的一个重要组成部分是终止合同的决定，我可以选择任何一方，当然，前提是这种可能性属于行动集Ai。在游戏声明的抽象表述中，通过以下定义引入终止映射的概念就足够了。假设2.2。终止映射Θ：H×[0，T]×Ohm → {0,1}满意度：（i）每小时∈ H、过程Θ（H）是F适应的、不递减的和RCLL，（ii）映射Θ是H-a适应的。不管怎样∈ H、终止日期由θ（H）=inf{t确定∈ [0，T]：ΘT（h）=1}。（2.4）注意θ（h）∈ 每小时T[0，T]∈ H、其中T[0，T]代表所有F停止时间的类别，其值在[0，T]中。假设2.2中的条件（ii）意味着每h，h′∈ H、如果H[0，t]=H′[0，t]和θ（H）=t，那么θ（H′）=t。给定策略文件和相关结果H（s），我们用θ（s）表示终止日期（H（s））。让Vθ（s）（s）=（Vθ（s）（s），Vmθ（s）（s））代表随机支付的向量，如果策略文件被执行，或同等地，如果实现了输出，则持有人在时间θ（s）收到随机支付。每个特定的支付将与合同的一个单独部分确定。6多人游戏或有权益消费2.3。支付映射V:H×[0，T]×Ohm → rmsaties：（i）每小时∈ H、过程V（H），Vm（h）aref-适应和RCLL，（ii）映射V是h-适应的。在基弗[24]中定义的两人博弈期权的经典案例中，一人交易两部分，分别由持有人和发行人持有。

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能者818

2022-5-6 05:24:24

请注意，尽管被赋予了不同的名称，但它们的权限在这里是相同的。因此，应该强调的是，在多人博弈中，发行人的角色将与普通持有人的角色基本不同。我们使用符号G表示一个通用博弈，它支持多人或有权益的具体化。对于明确定义的多人随机停止博弈类，以及最优均衡的存在性，我们参考[11,12,13]。附录中还给出了最优平衡的定义和基本性质。定义2.5。多人博弈未定权益MGC（G）是发行人和最多m名持有人之间关于[0，T]的合同，该合同由m部分组成。在时间0时，第一牧场的预期持有人必须向发行人支付一些费用（可能是负数）才能签订合同；我们用πi（G）表示这个量。任何一方，包括发行人，都可以持有任何组合的份额。一旦合同生效，第一批债券持有人可以选择一种战略债券∈ Si和所有持有人的决定构成一个战略文件s=（s，…，sm）。本合同于时间θ终止∈ T[0，T]发行人向第一批持有人支付所有i=1，m、在现实世界的金融合同中，所有现金流本质上都是零和的。由于博弈G不被假定为零和，发行人在MGC（G）中的关键作用是吸收0和θ的任何盈余或超过任何亏损。因此，mtranches持有人与发行人之间的净现金流始终为零。如果G恰好是零和，这意味着π∈MVθ（s）（s）=0表示所有s∈ S、那么发行人就是多余的，因为持有人可以在时间0时在自己之间达成交易，然后在没有发行人同意的情况下在他们之间一次性支付报酬。

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2022-5-6 05:24:27

在实践中，发行人的角色被简化为清算所或中介机构。备注2.1。人们也可以将发行人重新解释为发行人份额的所有者，这样MGC（G）就变成了与m+1份额的零和博弈合同，其中（m+1）份额的持有者不允许采取任何行动。这相当于[13]中的虚拟玩家的概念。从形式上讲，博弈分析将简化为零和情况。备注2.2。定义2.5中引入的合同特别扩展了Kifer[24]中引入的经典游戏选项，该选项与两名玩家之间的Dynkin停止游戏相关。“持有人”拥有交易，允许“行使”，而第二持有人（称为“发行人”）保留允许“取消”的份额。在经典游戏选项中，没有必要引入定义2.5意义上的发行人，因为经典游戏选项与azero和停止游戏相关。除了游戏中的两个角色外，我们还可以通过分析游戏中的两个角色来限制游戏中的两个角色。2.3适应性交易策略let MGCt（G，s）表示策略文件[0，t]之后[t，t]的多人博弈或有权益∈ 严格地说，MGCt（G，S）只取决于历史h[0，t）（S），这意味着如果等式h[0，t）（S）=h[0，t）（S′）成立，其中S′是任何策略文件，那么游戏规则MGCt（G，S）和MGCt（G，S′）实际上是相同的。为了简化表述，我们在事件{977s（S）下隐式工作≥ t} 在处理MGCt（G，s）时。

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何人来此

2022-5-6 05:24:30

换句话说，我们只考虑MGCt（G，s）在时间t之前尚未终止的情况。表示每个单独的第一期∈ M由MGCi（G）和单个tr分支的集合N M，被MGCN（G）称为联合N期。我们只会在没有歧义的情况下使用“分期付款”一词。每一次我∈ M和N M、让MGCit（G，s）和MGCNt（G，s）分别表示时间t处的分支i和分支N。I.Guo和M.Rutkowski 7现在让我们描述一下合同生效后的交易安排。在交割时间之前的任何时间t，MGCt（G，s）的所有份额均可自由转让，以便该份额的持有人可以将其出售给新的持有人。然后，新持有者继续与其他当前持有者的游戏，并有能力选择策略τ∈ 从时间t开始坐下。表示第一期（第N期）的时间t价格通过πit（G，s）（分别为πNt（G，s））。我们需要强调的是，任何人，包括发行人，都可以在任何时候持有任意数量的交易记录。游戏期权的定价取决于无ar比特率参数和支付的复制（或超边缘化）。在当前框架下，各方（发行人和持有人）可以持有股票和债券的一对投资组合，以对冲其未来负债。由于G是一种有效的信息博弈，在这种博弈中，行动先于θ（s），并被各方观察到，因此发行人和持有人自然会根据其当前和过去的观察结果调整其交易策略。特别是，如果一个战略文件∈ 交易策略应与可观察结果h（S）具有非预期依赖性∈ H

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可人4

2022-5-6 05:24:33

这导致了以下定义，其中简单地假设给定市场模型（B，S）的可接受（尤其是自我融资）交易策略类别已经明确（例如，通过关注贴现财富为a（Q，F）-martinga le的交易策略）。定义2.6。H-可预测交易策略是一个映射φ：H×[0，T]×Ohm → Rd+1满足以下条件：（i）每小时∈ H、 φ（H）是一个可容许的转移策略，（ii）φ是一个H-可预测映射。所有H-可预测交易策略φ的类别用Φ（H）表示。对任何人来说∈ Φ（H），corres-ponding财富映射Z:H×[0，T]×Ohm → R、由等式zt（φ（h））=dXl=0φlt（h）Slt给出， T∈ [0，T]也是H-可预测的。我们需要进一步扩展定义2.6。对于固定的σ∈ s-N、我们用Hσ来表示当策略yσ发挥作用时，所有可达到的结果集，即Hσ：=H∈ H:H=H（τ，σ），τ∈ 锡. （2.5）在某些情况下，如果可能的结果被假定为b延伸至Hσ，我们可能只对具有相同约束条件的交易策略感兴趣，且仅限于区间[t，t]。定义2.7。对于任何σ∈ s-Nand t∈ [0，T]，我们用ΦT（Hσ）表示所有Hσ-可预测交易策略的类别φ：Hσ×[T，T]×Ohm → Rd+1。类Hτ和Φt（Hτ）以类似方式定义。直观地说，定义2.7有以下解释：当一个战略文件σ固定时，对于每一个∈ [t，t]和τ，τ′∈ SN，等式h[0，u）（τ，σ）=h[0，u）（τ′，σ）意味着Zu（φ（τ，σ））=Zu（φ（τ′，σ））。因此，可以非正式地为每个τ写Zu（φ（τ，σ））=Zu（φ（τ[0，u），σ））∈ 斯南杜∈ [t，t]。

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2022-5-6 05:24:36

在连续时间框架中，后一个属性将支持（bS，H）-可预测映射φ的定义（见第3.5节）。3组合批次的套利边界在多人博弈或有权益中的一个重要概念是持有一组批次的能力 M.例如，同时持有i和j档的人可能比两个单独持有i和j档而没有共谋的人有更大的支付潜力。这是因为第一期和第j期持有人可以协调策略SIA和SJ，以提高第六期和第七期的综合收益。因此，N={i，j}8多人博弈或有索赔组合的价格不一定等于个人价格之和，即使从实际角度来看，这种可加性属性似乎是可取的。第4节将进一步探讨所有部分的价格可加性和一致估值问题。在本节中，我们将重点放在一些公司的预定组合分支MGCNt（G，s）的定价上∈ [0，T]和战略文件∈ 我们解决以下问题，在这个问题中，我们隐式地处理{θ（S）事件≥ t} （因为如果不是这样，这个问题将毫无意义）：o考虑游戏或有索赔MGC（G），假设策略文件s[0，t]一直玩到时间t。在时间t，新持有人以πNt（G，s）a的价格从其前持有人处购买N批，并计划将其持有到结算时间。

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2022-5-6 05:24:40

如果发行人和持有人在（B，s，N）中的套利都不可能发生，那么cπNt（G，s）的可能估值是多少？3.1套利机会我们首先从固定组合份额持有人以及假设持有所有剩余单一份额（即组合份额）的发行人的角度定义套利机会-N回想一下符号sN=（si，i）∈ N）和VNθ（s）（s）=Pi∈任何子项的NViθ（s）（s） M.我们强调，在本节的其余部分中，通过h[0，t）（s）生成历史的数据t、组合N批和策略文件是固定的。我们在本节中的目标是推导固定组合N批的套利边界t时间t。尽管如此，该集合中的支付规范-N仍然很重要，因为股东的决定-N可能会影响N的分期付款。在下一个定义中，我们将∈ [0，T]我们假设游戏契约mgct（G，s）的N部分在时间T以πNt（G，s）的价格进行交易。为了简化符号，如果不出现混淆，我们将简单地编写（B，S，N）而不是更精确的符号（B，S，πNt（G，S））。定义3.1。（B，s，N）中的持有人套利是一对（φτ，τ）∈ 存在事件A的Φt（Hτ）×SNt（s）∈ Ft的正概率为：Zt（φτ（s））<-πNt（G，s），Zθ（s）（φτ（s））≥ -VNθ（s）（τ，σ）， σ ∈ s-新界(s)。发行人在（B，s，N）中的套利是一对（φσ，σ）∈ Φt（Hσ）×S-存在事件A的Nt（s）∈ 在a:Zt（φσ（s））<πNt（G，s），Zθ（s）（φσ（s））上≥ VNθ（s）（τ，σ）， τ ∈ SNt（s）。如果（B，S，N）中既不存在发行人的套利，也不存在持有人的套利，那么（B，S，N）中就不存在套利。注：定义3.1取决于一个隐含的假设，即交易在所有各方重新选择的时间t之前的时间t进行。

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2022-5-6 05:24:42

换言之，在时间t发生交易之前，各方只观察到历史h[0，t）和σ-场FTA。持有人套利指的是[t，θ（s）]上N批买方的担保利润。t时的价格应足够高，因此，潜在持有人不应通过将买入并持有策略与一些聪明的行动和由交易的主要资产组成的动态组合相结合，从而在没有风险的情况下获得资产。同样，发行人的套利是指MGC（G）发行人在t时出售N批债券并持有该批债券的担保利润-N到时间θ。从这个角度来看，价格应该足够低，这样就可以防止发行人在没有风险的情况下进行盈利，即使他可以对该批债券做出决定-N当发行人不持有该份额时-N，我们可以将发行人的套利行为解释为N批持有人的担保损失。很明显，根据定义3.1，N批债券的估值问题可以正式简化为研究N批债券持有人和发行人之间的两人零和博弈，发行人也持有N批债券-NI.郭和M.Rutkowski 9定义3.1中引入的风险取决于进入和持有策略，即从时间t到结算时间保持份额。当然，套利机会的其他定义也是可能的。在第4节中，我们将用额外的条件来补充定义3.1，这些条件将确保所有批次具有财务意义的独特价格的存在和唯一性。3.2超级对冲策略对于欧洲未定权益，可通过允许的投资组合频繁复制最终支付。在博弈或有索赔的情况下，由于不可能预测其他方的行动，复制通常是不可能的。

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2022-5-6 05:24:45

相反，相关各方可能会试图对自己的头寸进行超级对冲。超级对冲交易策略的定义与双人期权的定义非常相似。如前所述，我们考虑了时间t对策。我们关注的是N批债券持有人和发行人，他们也持有该批债券-N回想一下，我们表示s=（τ，σ）a，我们将自己置于时间t∈ [0，T]。定义3.2。持有者的超级对冲策略是一对（φτ，τ）∈ Φt（Hτ）×SNt（s）使得zθ（s）（φτ）≥ -VNθ（s）（τ，σ）， σ ∈ s-新界(s)。发行人的超级对冲策略是一对（φσ，σ）∈ Φt（Hσ）×S-Nt（s）使zθ（s）（φσ）≥ VNθ（s）（τ，σ）， τ ∈ SNt（s）。如前所述，超hedg策略与博弈未定权益交易价格的套利边界密切相关。提议3.1。假设游戏合约MGCt（G，s）的N部分以πNt（G，s）的价格进行交易。如果不存在发行人在（B，s，N）中的套利行为，那么对于任何发行人的超级套利策略（φσ，σ）∈ Φt（Hσ）×S-Nt（s）我们有ZT（φσ）≥ πNt（G，s）。（3.1）如果（B，s，N）中不存在持有人的套利，那么对于任何持有人的超级对冲策略（φτ，τ）∈Φt（Hτ）×SNt（s）我们有zt（φτ）≥ -πNt（G，s）。（3.2）证据。让我们证明，如果违反了上限（3.1），则存在发行人的rbitrage。我们可以用一个类似的论点来检验违反下限（3.2）会导致霍尔德套利。出于矛盾的考虑，让我们假设（3.1）的上界不满足。

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2022-5-6 05:24:48

关于这件事πNt（G，s）>Zt（φσ）, 通过定义发行人的超级套期保值策略，我们可以得到zt（φσ）<πNt（G，s），Zθ（s）（φσ）≥ VNθ（s）（τ，σ）， τ ∈ SNt（s）。因此（φσ，σ）是发行人在（B，s，N）中的套利，这与我们的假设相矛盾。3.3 Hσ——可预测的斯奈尔包络[33]首次引入斯奈尔包络的概念，是评估美式期权和博弈期权的重要工具。对于给定的随机过程Y，斯奈尔包络是smalles t RCLL supermartingale支配的Y。在时间t时，斯奈尔包络线不相等于s upτ∈T[T，T]E（Yτ| Ft），因此它代表Yτ在所有停止时间τ的选择上的Ft条件期望的绝对上确界∈ T[T，T]。本文将在多人游戏MGC（G）的背景下发展一个类似的r概念。它将取决于在所有可能的策略集合上最大化一个期望值，而不是所有停止时间的10个多人博弈或有索赔。回想一下，子集N∈ M现在已经确定，我们处理的是一个组合牧场，具体来说，是一个针对所有i的单一i期集合∈ N除非另有说明，否则我们定义了Astraegy pro fi file s=（τ，σ）∈ τ在哪里∈ SNandσ∈ s-N.回想一下，我们始终在离散时间（或连续时间）市场模型的唯一鞅测度Q下工作，该模型在通常情况下被假定为完全且无套利。LetbVθ（s）（s）=B-1θ（s）Vθ（s）（s）是折扣支付，letbVNθ（s）（s）=Pi∈NbViθ（s）（s）。在这项工作的剩余部分中，我们在以下假设下工作。假设3.1。

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能者818

2022-5-6 05:24:51

对于每N，贴现支付满足以下关于Q的可积条件 M、情商ess s ups∈sbVNθ（s）（s）< ∞.3.3.1 Hσ-第一类的可预测斯奈尔包络我们定义了Hσ-第一类的可预测斯奈尔包络，它直接基于对N期持有人在时间t之前的决策观察和截至时间t的市场数据。请注意-N对[0，T]的固定策略σ有着先验的充分了解，但她只观察到T时的结果h[0，T）（τ，σ）。定义3.3.对于MGCN（G）和固定σ的组合部分∈ s-N、第一类的Hσ-可预测Snellenvelope是映射Uσ：Hσ×[0，T]×Ohm → R由Uσt（τ）=Uσt（h（τ，σ））：=ess supτ′给出∈SNt（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺. （3.3）备注3.1。我们注意到，Uσt（τ）的定义并不局限于事件{θ（τ，σ）≥ t} 。事实上，在事件{θ（τ，σ）<t}上，按照惯例，我们可以设置σt（τ）：=bVNθ（s）（τ，σ）≤ Uσθ（s）（τ）。回想一下，SNt（τ，σ）是由NT（τ，σ）定义的=τ′∈ SN:h[0，t）（τ′，σ）=h[0，t）（τ，σ）. （3.4）由于σ和τ在这里是x e d，因此类SNt（τ，σ）仅取决于h[0，t）（τ，σ）。因此，（3.3）中的右侧确实是输出h（τ，σ）的明确映射∈ Hσ，而不是策略（τ，σ）。尽管如此，为了简洁起见，我们更喜欢写Uσt（τ），而不是Uσt（h（τ，σ））。Uσ（τ）中的上标σ用于强调σ和τ在定义3.3中发挥不同的作用。具体地说，在任何日期t，我们假设知道发行人的策略σ超过[0，t]，但我们只假设持有人的策略τ在[0，t]上被观察到。下一个结果正式化了这一特征，直观地表明，对于所有t，Uσt（τ）=Uσt（τ[0，t]）∈ [0，T]，其中τ[0，T）是持有者策略τ对区间[0，T]的限制。引理3.1。

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2022-5-6 05:24:56

映射Uσ是Hσ-可预测的。证据从（3.3）中可以明显看出τ∈ snr和om变量Uσt（τ）是可测量的。对于Uσ的hσ可预测性，我们需要证明，对于所有的τ，τ′∈ SN，等式Uσ（τ）=Uσ（τ′）holdson[[0，ρ]]式中（见（2.1））ρ：=infT∈ [0，T]：ht（τ，σ）6=ht（τ′，σ）∧ T.（3.5）回想一下，根据假设2.3，Payoff映射VN（以及贴现Payoff bVN）是H适应的（尽管不一定是Hσ-可预测的）。无论如何∈ [0，T]，事件{T≤ ρ} 属于F区和s区bVNθ（eτ，σ）（eτ，σ）1{t≤ρ} ：eτ∈ SNt（τ，σ）和bVNθ（bτ，σ）（bτ，σ）1{t≤ρ} ：bτ∈ SNt（τ′，σ）I.由于SNt（τ，σ）和SNt（τ′，σ）的定义（见（3.4）），郭和M.鲁特科夫斯基11是相同的。因此，等式Uσt（τ）=Uσt（τ′）适用于{t≤ ρ} 假设每一个∑-Snell都有可预测的解释-N扮演战略角色∈ s-N的持有者执行策略τ时，非[0，T]∈ SNon[0，t）。nuσt（τ）是最大的预期收益，如时间t所示，它可以由n的持有者通过改变其在[t，t]上的策略来实现。因此，很自然地推测过程Uσt（τ）是（Q，F）-超鞅。证明这一小节中的主要结果（命题3.2）需要几个引理。引理3.2。修正t∈ [0，T]，N M和s∈ 然后，以下集合dt具有晶格属性dt:=nEQbVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺: τ′∈ SNt（τ，σ）o.证明。让我成为一个任意集，让Y:=（Yi）I∈Ibe是一组随机变量，带有eq（ess-supi∈I|Yi |）∞.

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2022-5-6 05:24:59

那么说Y具有latt-ice属性，如果，对于所有i，j∈ 一、这里有k，l∈ 我就是这样≥ 易∨ Yj，Yl≤ 易∧ Yj。在我们的例子中，集合dt可以表示为{Yτ′：τ′∈ SNt（s）}其中每个Yτ′都是可测量的，根据假设3.1，等式（ess supτ′）∈SNt（s）| Yτ′|）∞.我们首先表明，它具有以下特性：对于任何事件∈ F和任意τ′，τ′′的∈ SNt（s）τ′A=τ′A==> Yτ′A=Yτ′A.（3.6）考虑到结算时间θ和贴现收益bVNθ（τ，σ）的H-适应性，质量τ′A=τ′目标为bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）1A=bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）1A。由于1aft是可测量的，我们得到Yτ′A=Yτ′A，从而建立（3.6）。现在让我们检查一下Dt的属性。对于任意τ′，τ′\'∈ SNt（s），我们通过设置τ=1{Yτ′来定义策略τ，τ≥Yτ′}τ′+1{Yτ′<Yτ′}τ′，τ=1{Yτ′≥Yτ′}τ′+1{Yτ′<Yτ′}τ′。自{Yτ′事件以来≥ Yτ′}是Ft可测的，很明显，τ，τ是F-a适应的，H可预测的映射，满足H[0，t）（τ，σ）=H[0，t）（τ，σ）=H[0，t）（τ′，σ）=H[0，t）（τ′，σ）=H[0，t）（τ′，σ）=H[0，u）（s）， σ ∈ s-新界(s)。因此，τ和τ属于SNt（s）。利用条件（3.6），我们还得到了Yτ=Yτ′∨ Yτ′安迪τ=Yτ′∧ Yτ′。这就建立了集合Dt的晶格性质。以下结果是[9]中定理a.32的一个小扩展（有关证明，请参见[10]中的引理7.18）。引理3.3。让我∈Ibe一类具有格性质的Fu可测随机变量，使得E（ess supi∈I|Yi |）∞. 那么下面的陈述是有效的：（i）n中存在两个序列∈N、（jn）N∈Nof指数使得序列（Yin）n∈Nand(-Yjn）n∈纳雷几乎肯定是非递减的安第斯山脉upi∈IYi=supn∈尼因=林→∞尹，ess infj∈IYj=infn∈NYjn=limn→∞Yjn，（ii）对于任何t≤ u、我们有尤比∈艾伊英尺= 苏皮女士∈IE易|英尺, 情商ess infj∈IYj英尺= ess infj∈IEYj |英尺.12多人游戏或有索赔3.4。

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2022-5-6 05:25:03

（i）以下等式适用于任何t≤ u、情商UσU（τ）英尺= ess supτ′∈SNu（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺. （3.7）（ii）对于任何τ∈ SN，过程Uσ（τ）在Q证明下是非均匀可积的。（i）让我们考虑一下t≤ u、根据引理3.2，我们推导出，对于固定σ∈ s-Nandτ∈ SN，setDu=nEQbVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）傅: τ′∈ SNu（τ，σ）o（3.8）具有晶格性质。使用引理3.3中的第（ii）部分和调节的塔属性，wethus获得UσU（τ）英尺= 情商ess-s-upτ′∈SNu（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）傅英尺= ess supτ′∈SNu（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺所以（3.7）是有效的。（ii）根据假设3.1，过程M由Mt=EQ（Mt | Ft）给出，其中Mt:=ess s ups∈sbVNθ（s）（s）,是一个非负且一致可积（Q，F）-鞅。利用条件Fatou引理，我们得到，对于任何t∈ [0，T]，Uσt（τ）=ess-s-upτ′∈SNt（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺≤ ess supτ′∈SNt（τ，σ）等式|bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）|英尺≤ 情商ess-s-upτ′∈SNt（τ，σ）bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺≤ 情商ess s ups∈sbVNθ（s）（s）英尺= 因此，过程Uσ（τ）在Q命题3.2下是一致可积的。（i）对于任何τ∈ SN，过程Uσ（τ）是（Q，F）-超鞅。（ii）在连续时间的情况下，如果过程Uσ（τ）有一个RCLL修正，那么它是（D）类的（Q，F）超鞅。证据（i）显然，Uσ（τ）是一个F-适应过程。Uσ（τ）的超常性质直接来自引理3.4中的第（i）部分和明显的夹杂物SNu（τ，σ）所有t的SNt（τ，σ）≤ u、从那时起UσU（τ）英尺= ess supτ′∈SNu（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺≤ ess supτ′∈SNt（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺= Uσt（τ）。（ii）回想一下，如果过程X是RCLL且族{Xρ：ρ，则称其为（D）类∈ 随机变量的T[0，T]}是一致可积的。我们假设σU。让M是鞅M的RCLL版本。

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2022-5-6 05:25:07

然后| Uσρ（τ）≤ 对于任何停止时间ρ，Mρ∈ T[0，T]其中{Mρ：ρ∈ T[0，T]}是一致可积的。因此{Uσρ（τ）：ρ族∈ T[0，T]}是一致可积的，因此Uσ（τ）是（D）类的上鞅。I.Guo和M.Rutkowski 133.3.2 Hσ调整后的斯奈尔包络线在时间t的第3.4条运营定义取决于所有各方在时间t的决策已经已知的假设。换言之，现在假定，在时间t时-N观察截至时间t的市场数据，以及结果h[0，t]（τ，σ）。因此，很明显，Hσ适应的斯奈尔包络线并不直接适用于超级套期保值目的。然而，它将作为在连续时间设置中引入第二类Hσ-可预测斯奈尔包络的关键工具（见第3.5.2节）。定义3.4。对于合并的MGCN（G）和固定σ∈ s-N、我们定义了Hσ-适应的snell包络uσ：Hσ×[0，T]×Ohm → R通过设置eUσ（τ）=eUσt（h（τ，σ））：=ess supτ′∈eSNt（τ，σ）等式bVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺（3.9）其中子测试（τ，σ） SNI由ESNT（τ，σ）给出：=τ′∈ SN:h[0，t]（τ′，σ）=h[0，t]（τ，σ）. （3.10）引理3.5。（i）映射euσ是Hσ自适应的。（ii）修复t∈ [0，T]，N M和s∈ S.那么下面的S etedt具有晶格性质yedt:=nEQbVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺: τ′∈eSNt（τ，σ）o.证明。第（i）部分（第（ii）部分）的证明类似于引理3.1的证明（分别是引理3.2）因此它被省略了。提议3.3。（i）以下等式适用于任何t≤ u、情商eUσu（τ）英尺= ess supτ′∈eSNu（τ，σ）EQbVNθ（τ′，σ）（τ′，σ）英尺.（ii）过程uσ（τ）在Q下是不均匀可积的女服务员∈[0，T]eUσt（τ）< ∞.（iii）对于任何τ∈ SN，过程uσ（τ）是（Q，F）-上鞅。证据

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2022-5-6 05:25:11

根据引理3.5，所有陈述都可以类似于映射Uσ（τ）的类似陈述的方式建立（见引理3.4和命题3.2的证明）。3.4离散时间案例我们现在假设一个具有有限潜在概率空间的离散时间无套利完整市场模型（B，S）Ohm. 因此，对于任何到期日为T的欧洲未定权益，存在一种自融资交易策略∈ [0，T]，Zt（φ）：=dXi=0φitSit=EQ（XT | Ft）。注意，投资组合是在时间t建立的- 1，所以它是Ft-1-可测量，意味着过程sφ是F-可预测的，φt可能取决于结果h[0，t-1]. 在时间t时，投资组合从φtφt+1修改为dXi=0φitSit=dXi=0φit+1Sit，14个多人博弈或有权益φt+1是可测的，它可能依赖于h[0，t]。由于该模型是无套利的，所有复制X的交易策略都有相同的财富过程。然而，复制策略的唯一性并不能保证，因为整个市场（B，S）可能仍然存在冗余。我们回到本节开头提出的问题，也就是说，对于某一固定价格的πNt（g，s）的可能价格，对于一个活跃期Nwe sear ch∈ [0，T]和s∈ 避免套利（B，S，N）。我们将首先关注离散时间的情况，然后再讨论连续时间的情况。回想一下公约[0，t）=[0，t- 1] ：={0，…，t- 1} 每t=1，2，T我们用Bz（φ）表示贴现后的财富，即Bz（φ）=B-1Z（φ）。我们需要下面的引理。引理3.6。

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能者818

2022-5-6 05:25:15

假设映射cm:H×[0，T]×Ohm → 满足以下特性：（i）对于任何∈ S、过程cM（S）=cM（h（S））是（Q，F）-鞅，（ii）cM是h-可预测的。这里存在一个H-可预测映射φ，对于每一个s∈ S、折旧策略的贴现财富φ（S）满足bz（φ（S））=cM（S）。证据对于任何人来说∈ S、我们只是将φ定义为索赔BTcMT的复制品（因此必须允许）交易策略。因此，φ（s）的存在紧随着离散时间市场模型（B，s）的假设完整性和Cmt（s）的Q-可积性。很难证明可以选择映射φ的H-可预测版本（有关详细信息，请参阅郭[10]中的第7.2.2节）。备注3.2。注意，如果我们分别用Hσ和[T，T]替换H和[0，T]，引理的陈述仍然成立。下一个结果表明，对于任何固定的（τ，σ）∈ 科技∈ [0，T]，存在发行人在[T，T]上的超边际策略（φσ，σ），其在T时的贴现财富与第一类Hσ-可预测斯奈尔包络的值UσT（τ）一致。该性质是确定orem 3.1中上限的基本工具。提议3.4。拿一个任意的例子∈ s-Nand t∈ [0，T]。如果策略τ∈ 持牌人在[0，t]上玩SNI- 1] 然后存在一个交易策略φσ（τ）∈ Φt（Hσ），使得（φσ（τ），σ）是Anisuer在[t，t]上的超级套期保值定价策略，其贴现时间t财富等于第一类Hσ-可预测斯奈尔包络的值Uσt（τ）。更明确地说，贴现财富过程bzu（φσ（τ））：=B-1uZu（φσ（τ）），u∈ [t，t]，关于事件{θ（τ，σ）的满意度≥ t} ，bZt（φσ（τ））=Uσt（τ）（3.11）和bzθ（τ，σ）（φσ（τ））≥ Uσθ（τ，σ）（τ）≥bVNθ（τ，σ）（τ，σ）。（3.12）证据。我们确定σ∈ s-Nandτ∈ SN。

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可人4

2022-5-6 05:25:17

回想一下，斯奈尔包络Uσ是Hσ-可预测的，根据命题3.2，对于任何τ∈ SN，过程Uσ（τ）是（Q，F）-超鞅。通过应用doob分解定理，我们得到了唯一的分解Uσ（τ）=Mσ（τ）- Aσ（τ），其中mσ（τ）是（Q，F）-鞅，Aσ（τ）是一个递增的、可积的、F-可预测的过程，如tAσ（τ）=0。让我们取任意τ，τ′∈ S让我们定义F停止时间ρ=ρ（τ，τ′）：=infU∈ [0，T]：hu（τ，σ）6=hu（τ′，σ）∧ T.（3.13）由于映射Uσ是Hσ-可预测的，等式Uσ（τ）=Uσ（τ′）保持[[0，ρ]]，这意味着Uσ·∧ρ（τ）=Uσ·∧ρ(τ′). 通过Doo-b分解的唯一性，我们得到了mσ·∧ρ（τ）=Mσ·∧ρ（τ′），Aσ·∧ρ（τ）=Aσ·∧ρ（τ′），（3.14）I.Guo和M.Rutkowski 15对于固定t，我们定义过程Cmσu（τ）：=Mσu（τ）-Aσt（τ），u∈ [t，t]，这是一个（Q，F）-鞅。然后我们从（3.14）推导出，[[t，ρ]]上的cMσ（τ）=cMσ（τ′）。我们得出结论，ma ppingcMσ：Hσ×[t，t]×Ohm → R是Hσ-可预测的，因此它满足引理3.6对[t，t]的假设（另见备注3.2）。让我们来看看∈ Φt（Hσ）是emma 3.6和备注3.2给出的映射Cmσ。为了确定（3.11）和（3.12），我们观察到∈ [t，t]，bZu（φσ（τ））=cMσu（τ）=Mσu（τ）- Aσt（τ）=UσU（τ）+AσU（τ）- Aσt（τ）≥ UσU（τ），其中当U=t时不等式变为等式。这表明（3.12）中的所有不等式都是有效的。3.4.1 Di screte TimeProposition 3.4中的无套利界限有以下解释。假设发行人也持有该部分-Nand选择策略σ。假设我们在时间t，并且N档的持有者在[0，t]上玩了迷路τ- 1].

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2022-5-6 05:25:22

然后，通过实施Hσ调整的交易策略φσ（τ），发行人为所有美国投资者对冲其头寸∈ [t，t]，这样他的投资组合中的财富Zu（φσ（τ））将始终覆盖N档持有人所需的支付，无论N档持有人决定如何使用[t，t]。通过构造，φσ（τ）也是最便宜的（截至时间t）超高收益交易策略，用于预定σ，且发行r的投资组合在时间t的贴现财富等于第一类Hσ-可预测斯奈尔包络的值Uσt（τ）。根据命题3.1，当N批债券的价格高于任何发行人的超级对冲策略的价值时，发行人的套利被排除。这意味着Uσt（τ）是时间t的贴现套利价格的上界。在定理3.1中，我们证明了通过取Uσt（τ）在σ的所有可能选择上的最大值来获得最佳上界∈ s-新界。定理3.1。让我们来看看 M，让我们考虑第MGCNt（G，s）部分。当且仅当折扣价格BπNt（G，S）=B时，在时间t的（B，S，N）中不存在任意性-1tπNt（G，s）满足度s upτ∈SNt（s）ess infσ∈s-Nt（s）EQbVNθ（s）（τ，σ）英尺≤ bπNt（G，s）≤ ess infσ∈s-Nt（s）ess s upτ∈SNt（s）EQbVNθ（s）（τ，σ）英尺其中Q是市场模型（B，S）的唯一鞅测度。证据我们将证明，当且仅当不存在发行人的套利时，上界成立。关于下限的陈述可以通过将类似的论据应用于博弈未定权益MGC（eG）以及EV定义的支付来建立-N（τ，σ）=-VN（τ，σ）。注意，上界可以重写为bπNt（G，s）≤ inf-essσ∈s-Nt（s）Uσt（τ）。（3.15）第一步。我们首先表明，如果在时间t没有iss ue r的套利，那么（3.15）成立。

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