股票市场的量子布朗运动模型

2022-5-6 05:30:22

股票市场的量子布朗运动模型，*北京大学电子工程与计算机科学学院高级光通信、系统与网络国家重点实验室和量子信息技术中心，北京100871，中国北京大学物理学院，北京100871，中国波士顿大学物理系，马萨诸塞州波士顿02215，今天的大多数人认为，由于市场的非理性，有效市场假说是不完善的。利用量子力学的物理概念和数学结构，我们构建了一个股票市场的经济物理学框架，在此基础上，我们将大量的单个股票类似地映射到一个由许多量子谐振子及其股票指数组成的储库中，形成一个典型的量子开放系统——量子布朗粒子。特别是，在海森堡量子力学的不确定性关系中，股票交易的非理性被定量地视为普朗克常数。我们分析了中国上海证券交易所的真实股票数据，借助量子布朗运动模型研究了股票指数的厚尾现象和非马尔可夫行为，从而从量子开放系统动力学的新视角解释和研究了经典布朗运动模型对有效市场假说的局限性。关键词：经济物理学、股市非理性、量子布朗运动、厚尾现象、非马尔可夫行为1。

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nandehutu2022

2022-5-6 05:30:25

引言自从统计物理学中的各种概念和方法被成功地引入经济学，特别是由于曼特尼亚和斯坦利在20世纪90年代的开创性工作[1,2]，经济物理学从此获得了发展势头，并产生了无数强大的工具，将统计物理学和经济学结合起来[3]。早期的基础研究迄今为止经历了广泛的发展，并进行了多方向的研究，例如各种市场的标度和幂律行为[4-7]、金融指数的分形/多重分形[8-11]、微观经济动力学的复杂网络[12-14]等。即使从一般物理角度来看，自然概念和精细的微观模型都有助于探索市场效率和稳定性的基本经济问题[15–19]。最近，人们认真尝试将量子力学融入金融领域。路径积分方法首次成功应用于期权定价[20]之后，一系列使用量子力学概念和工具的金融分析就开始了[21–29]。尽管金融工具的量子力学模型在数学上取得了成功，但迄今为止，很少有研究试图利用基于开放系统概念的量子统计动力学。在标准金融工具中，股票市场是最具象征意义的，一直备受关注。Fama首次系统地指导了股票市场随机动力学的研究[30]。在他的研究中，布朗运动（随机游走）被用来解释股票市场价格的不可预测性，这是为了建立卓越的有效市场假说（EMH）[30]。然而，今天大多数人怀疑EMH中完全市场理性这一主要理念背后的理论基础。

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nandehutu2022

2022-5-6 05:30:28

由于非马尔可夫记忆[31,32]和fattail偏差[33,34]等负面经验证据经常被发现，很明显，股票市场不满足经典布朗分布*通讯作者。电话：+86 10 6275 7035电子邮件地址：hongguo@pku.edu.cn（洪果）提交给Physica Amotion模型（cBm（m））的预印本。因此，行为经济学家认为，股市肯定受到市场非理性的影响。现有的经济物理模型更多地涉及复杂的量。然而，市场非理性的量化仍然是一个有趣的话题，对它的考虑应该更多地是概念性的，而不是数学性的。例如，对将多重分形分析应用于日内股市指数[35]的批评，意味着过度使用数学工具而不是识别指导性的经济学物理概念时注意力的缺失。1933年，弗里希提出了阻尼谐振子模型[36]。作为动态经济学中最具影响力的模型之一，它假定，考虑到股票交易及其辅助费用，单个股票的价格应该像阻尼谐振子一样在外部时变信息的推动下振荡并消散到平衡[29]。尽管弗里希的模型有直观的物理观点，但它无法解释为什么股票价格总是存在持续的波动[37]。初始脉冲后，一个质量阻尼谐振子的振荡强度应迅速指数衰减并达到平衡[38]。均衡价格应反映股票的实际价值。然而，经验数据显示，如果没有信息推动股价，单个股票的波动性就会存在[21]。参考文献建议。

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2022-5-6 05:30:31

[21]我们可以使用量子阻尼谐振子模型而不是经典模型来描述单个股票的价格波动，价格概率分布由量子波函数描述。对于股价波动~ ~, 在动态经济学中重新定义普朗克常数的概念是很自然的。正如我们稍后将发现的，~，作为额外不确定性的来源，可能被认为是股票市场中股票交易的非理性。因此，它可能在动态经济学和行为经济学之间起到桥梁的关键作用。论文的其余部分组织如下。第二节利用中国上海证券交易所的数据研究了有效市场假说及其局限性。第三节详细介绍了量子布朗运动模型（qBm（m））及其到股票市场的映射。关于厚尾非高斯分布和非马尔可夫记忆，股票市场qBm（m）的矩和非马尔可夫自相关随后在第4节和第5节中计算和分析。第6.2节最后给出了讨论和结论。股票市场中的布朗运动首先，我们介绍股票市场的cBm（m）及其数学描述。在经典布朗运动的数学描述下，一个一维自由布朗粒子，其随机动力学由环境的波动和耗散引起，在长时间t后满足一个随机游走过程。其坐标x（t）作为一个随机变量，具有方差为σt的高斯概率分布，其中σ等于kT/Mγ，关于粒子M的质量、耗散系数γ和环境温度kT。

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2022-5-6 05:30:34

相空间中布朗粒子的概率分布函数通常由马尔可夫克莱因-克莱默斯方程描述【39】tP（x，p，t）=-下午xP+2γp（pP）+2γMkTpP，（1）其中二阶偏微分项有助于高斯形状解[40]。给定动量p（t）=Mdx/dt，我们知道p（t）/M是一个白噪声过程，其自相关函数R（τ）ishp（t+τ）p（τ）i/M=σδ（τ）关于时间间隔τ，证明了cBm（M）是一个马尔可夫过程。在预测经济学研究中，EMH的经典概念假定股票市场指数S（t）的运动是一个随机过程，即d（ln S）=u - σ/2dt+σdW。u和σ代表股票指数的漂移率和波动率。σdw是一个经典的随机游走过程。为了检验EMH对真实股票指数的有效性，我们分析了5,10,15。。。，1999年至2013年中国上海综合指数（SCI）的100分钟线数据。从图1（a）可以明显看出，σ和u分别与τ1/2和τ成正比。股票市场指数的动态似乎服从假定的随机过程。然而，在图1（b）中，股票指数收益率的概率分布（即股票指数对数的两个连续数据点的差异）不符合高斯分布函数，而是以厚尾偏离，而这种偏离随着τ的增加而消失。因此，这意味着高斯分布的假设仅在长期极限下有效。此外，图1（c）显示，股票指数的自相关函数R（τ）在τ=0时不是完美的狄拉克峰值函数，但即使在|τ|>20分钟时也是非零的。

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2022-5-6 05:30:38

这次分析表明，股票市场不是马尔可夫市场，因此再次让我们相信cBm（m）是不完美的。图1：1999年至2013年中国上证综合指数的特征：（a）漂移率（蓝线）和波动率（红线），从5、10、15、。。。，100分钟的索引行；（b）股票指数收益率的频率分布 lns（τ）=[lns（t+τ）- ln S（t）]/τ（漂移项已被消除），τ=5,10,20,40,80分钟，从顶部到底部，然后是高斯分布；（c） 1999-2013年六个任意选择时间段的股票指数收益率的自相关特征。（关于本图例中对颜色的解释，读者请参阅本文的网络版。）3.量子布朗运动模型基于量子力学对单个股票价格的描述为处理股票市场中的动力学问题提供了一个有指导意义的观点[21,29]。在基于量子力学的描述下，单个股票i由波函数|ψii描述。X和P表示与（对数）价格和价格趋势相关，然后在数学中，它们被视为股票的标准坐标和动量，即xi=ln sian和pi=mid（ln si）/dt。参数Mi是股价相对于可能趋势的惯性，通常可被视为股票的资本[29]。概率分布hψi | xihx |ψii=|ψi（x，t）|描述了用结果x测量价格的概率密度。由于量子力学中的不确定性关系[x，P]=i~，我们对坐标了解得越多，我们对动量的了解就越少（反之亦然）[41]。

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可人4

2022-5-6 05:30:41

这个最初的想法适用于股票，因为我们对股票价格了解得越多，我们可以用来估计其趋势的信息就越少[21]。在实际交易中，我们只能获得一定范围内可能的交易价格分布的知识，因此无法准确衡量股票的实际价值。作为补充，我们可以在一定程度上通过分析其分布来估计价格的趋势[21]。在更详细的意义上，单个股票价格被视为一个量子谐振子，其哈密顿量Hi=P/2mi+miωiX/2是一个封闭系统，其中ωi是股票的特征振荡频率[21,29]。基态|ψ（x，t）|的概率分布不是狄拉克峰分布函数。换言之，即使股票没有外部影响，股票价格仍将是一个很小的波动不确定性。这种被揭示的现象不能用股票的经典振荡理论来解释[36]，但可以用非理性交易的不确定性来解释[29]：如果交易是完全理性的，那么股票价格应该确定（并且应该等于股票的实际价值），而交易的不合理性将带来额外的价格波动，从而导致有限的小而持久的不确定性。描述股票指数的量子力学方法自然类似于单个股票的情况：weregard将股票指数视为一个粒子，与大量单个股票（一个热储层）相互作用。因此，股票指数被视为一个系统，与一个承载着大量和声发生器的环境相结合。指数和股票之间的相互作用是纯线性的。

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2022-5-6 05:30:44

宏观外部的影响表1：量子封闭系统和单个股票之间的映射[21,29]。量子封闭系统单股票坐标表示Xi（对数）股票价格ln simomentium表示股票价格的趋势mid（ln si）/dt质量Mi股票的惯性能量i交易量i波动函数（振幅）|ψi（x，t）|股票价格的概率密度分布不确定性关系[x，P]=i~非理性交易的不确定性表2:量子开放系统和股票指数。量子开放系统股票指数密度算符（总体）ρA（x，x，t）股票指数势阱的概率密度分布V（x）宏观外部影响股票指数热储层ρe股票大数温度kT波动强度热储层耗散系数γ耗散强度热储层自相关系数J（ω）特征信息（如政治事件和自然灾害）通常被视为V（x）势阱。由于整个股票市场的巨大自由度，股票指数被视为一个开放系统至关重要[42]。因此，我们可以引入一个密度算子ρ=PiCi |ψiihψi |来描述股票指数。通过计算系统与环境之间交互的平均值，我们可以求解开放系统的动力学。这被称为量子主方程方法[42]。将布朗粒子视为开放系统A，将热储层视为环境E，得到哈密顿量H=HA+HE+HI=2MP+V（X）+Xi2mipi+miωixi！- XXiκixi，（2）其中κii是谐振子i和布朗粒子之间的耦合强度。我们在等式上使用quantummaster方程方法。

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2022-5-6 05:30:46

（2）简单推导出Caldeira-Leggett主方程[43]ddtρA（t）=-i~[HA，ρA（t）]-iγ~[X，{P，ρA（t）}]-2MγkT~[X，[X，ρA（t）]（3）及其欧姆洛伦兹谱密度J（ω）=Piκiδ（ω）- ωi）/2miωi≈ 2π-1MγωOhm切/Ohm切+ω反映系统的自动相关功能。截止频率Ohm然而，由于这里已经使用了马尔可夫近似，所以在公式（3）中不必考虑光谱密度的变化。只有当环境的特征时间小于弛豫时间（即最大值）时，马尔可夫近似才有效{Ohm-1切，~/2πkT}<< γ-1.我们将在后面的第5节中看到OhmCut及其特殊形式出现在相应的量子布朗运动的非马尔可夫主方程中。我们注意到，量子系统和这里指定的股票市场之间的映射在数学上可能不是唯一的。从统计物理意义的角度考虑qBm（m）更有趣。一方面，外部信息V（x）影响股票指数，通过该指数，信息被传递到由大量股票组成的环境中；另一方面，股票交易对未来信息的线性响应被反馈到股票指数。物理动力学基于量子耗散定理，反映了量子开放系统与其环境之间的能量交换[44]。总之，量子系统和股票市场之间的映射如表1和表2.4所示。量子布朗运动模型的矩借助等式（3），它能够计算X和P的不同阶矩，例如方差、峰度等。为了方便起见，我们选择一阶矩hXi和hPi为零，所有物理参数为无量纲。

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nandehutu2022

2022-5-6 05:30:49

我们有σx=DXE，实际上是一个随时间变化的方差，σx（t）=σx（0）+1- E-2γt2Mγ！σp（0）+1- E-2γt2Mγσpx（0）+kTMγ“t+γe-2γt-4γE-4γt+3#, （4）其中σp=dpean，σpx=hXP+PXi[42]。对于qBm（m），股票指数的波动性受到参数kT和γ的不同影响（见等式4）；而对于cBm（m），只有一个有效参数kT/mγ。qBm（m）和cBm（m）之间σX的差异在图中进一步比较。2（a）和2（b）。在相对较高的温度下（kT>10-2），量子布朗运动的σx（t）几乎等于经典布朗运动的σx（t）；尽管温度较低，等式（4）右侧的第二项满足σp（0）≥ ~/4σx（0）（由于不确定性关系），且不可忽略（见图2（a））。因此，应考虑到股票指数的波动有一个额外的最小方差，该方差是由非理性因素引起的，当kT<< ~γ. 从图2（b）可以看出，当10<γ<10时，线性耗散系数γ导致σx（t）→ （kT/Mγ）t。然而，如果γ>10，渐近行为是σx（t）→ σx（0）。非零σx（0）在现象学上可以被视为量子测量的噪声，即测量不精确引起的外部方差[45]，如果我们考虑到股票指数实际计算的不精确性，这是有意义的。对于具有最小不确定度σp（0）=~/4σx（0）的初始状态，如果（γt<< 1）（弛豫过程不能忽略），式（4）的近似值变成σx（t）≈ σx（0）+~t/Mσx（0）+4kTγt/3M[42]。

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2022-5-6 05:30:54

第三项以Θ（t）的速度增加，表示弛豫过程；而第二项以Θ（t）的速度增加，这是来自不确定性关系的独特量子效应，反映了波包的展宽[42]。实际上，尽管qBm（m）的σxO与cBm（m）的σxO具有不同的行为，但SCI的波动率与τ1/2的良好匹配（见图1（a））意味着差异可以忽略不计，除非在某些情况下，参数skt和/或γ具有极值，例如，当股票市场发生突然下跌或强烈阻力时。事实上，高阶矩可以揭示更明显的差异：通过计算SCI的峰度κxof，我们发现非零κx（τ）相对于τ呈指数递减（见图2（c））。非零κx（τ）是概率密度分布偏离高斯形状的异常证据，如图1（b）所示。给出κx（t）=DXE/DXE- 3.理论上认为，qBm（m）峰度的时间演化明显依赖于初始态。通过多次尝试，我们发现，以非零正Xe为初始条件，κx（t）与SCI的实际峰度一样呈指数递减（见图2（c））。当τ相当大时，即当测量频率较低时，κxis小到足以使偏差消失；相比之下，高频测量将导致对κx的噪声型干扰。噪声对初始状态和测量频率的依赖性不应是由于测量的不精确性，而是测量[45]对股票指数的反作用噪声。有趣的是，两种量子噪声——不精确和反作用噪声——是共轭asX和P are[45]。

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2022-5-6 05:30:57

因此，从量子测量理论的角度来看，对股票指数非高斯厚尾分布的解释与现在的量子布朗运动在现象学上是一致的。5.量子布朗运动模型的非马尔可夫特征一般来说，量子布朗运动的耗散和耗散特征的非马尔可夫行为都会受到环境引入的非马尔可夫量子噪声的影响[45]。总量子噪声的频率响应相对于±ω是不对称的，可分别分为+ω的单边响应函数（耗散作用）和ω的“可测量”对称函数（耗散作用）[45]。从式（2）我们导出[46]滴滴涕ρA（t）=-i~[HA，ρA（t）]+K（t）ρA（t）（5）QBMCBMkT2x（A）2xQBMCBM（b）20 40 60 804xQBMSCI（c）图2：量子布朗运动（红色实线）和经典布朗运动（黑色虚线）相对于（A）温度kT（当γ=10）和（b）耗散系数γ（当kT=0.1）的方差之间的比较。M=10，~=0.01，t=10，σx（0）=10-两个图都设置了7。（c）图中显示了1999年至2013年期间，量子布朗运动（红线）的峰度与上海综合指数（蓝线）的峰度之间的比较，其中M=20，kT=~=γ=1。当τ=0时，DXE=DPE=~/2，hXP+PXi=0，DXE=50。（关于本图例中对颜色的解释，读者请参阅本文的网络版。）k（t）ρA（t）=-iγ~[X，{P，ρA（t）}]-2~ZtdτD（τ）[X[X，ρA（τ）]]+2M~Ztdτ（τD（τ）[X[P，ρA（τ）]）。（6）在等式6中，如果我们只考虑量子布朗运动的“可测”部分，而忽略了非马尔可夫行为的耗散部分，那么γ与时间无关。

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2022-5-6 05:31:00

D（τ）=2~R∞dωJ（ω）coth（~ω/2kT）cosωτ是关于热储层J（ω）的函数的“可测量”自相关函数[42]。如果D（τ）不是aDirac峰分布，则记忆核K（t）是时间相关的，由此引入量子布朗运动的非马尔可夫行为。在图3（a）中，股票市场的非马尔可夫行为由自相关函数R（τ）表示。三个不同时期的数据用于计算R（τ）。三条线的局部最大点都出现在附近的τ=120min和τ=240min处，而局部最小点大多出现在τ=60min和τ=180min处，表明股票市场的自相关性对τ的周期依赖性。还表明R（τ）平均指数衰减。在图3（b）中，模拟的自相关函数（τ）=ξe-ητcosOhmτ=ξe-ητ（cos 2）Ohm引入τ+1）（7）来拟合股票市场的非马尔可夫自相关函数。ξ表示非马尔可夫效应的强度，η表示衰变率，和Ohm 为整个股票市场的周期性引入的频率。D（τ）由两个独立项组成，D（τ）=8MγkTδ（τ）+8MγR（τ）。（8）将式（8）代入式（6），并将无时间卷积扰动近似[47,48]取为二阶（ρA（τ）→ Derit（A）ρ-iγ~[X，{P，ρA（t）}]- （t） [X[X，ρA（t）]+λ（t）[X[P，ρA（t）]，（9）其中（t） =2MγkT+2Mγξ~(η1.- E-ηt+ηη+ 4Ohm\"1 - E-ηtcos 2OhmT-2.Ohmηsin 2Ohmt！#），（10）（a）（b）图3:1999-2004年（绿线）、2004-2010年（红线）、2010-2013年（蓝线）上证综合指数（SCI）的三个时段，其中（a）计算了股票指数收益率的实际自相关，并且（b）引入了模拟的非马尔可夫自相关R（τ）。

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2022-5-6 05:31:03

安装参数为1999-2004年：η=5.56×-3分钟-1.Ohm = 8.33 × 10-3πmin-1, ξ = 5.48 × 10-4[ln S]分钟-1.2004-2010: η = 4.55 × 10-3分钟-1.Ohm = 8.33 ×-3πmin-1, ξ = 4.47 × 10-4[ln S]分钟-1.2010-2013: η = 3.33 × 10-3分钟-1.Ohm = 8.33 × 10-3πmin-1, ξ = 3.46 ×-4[ln S]分钟-1.（关于本图例中颜色的解释，读者可以参考本文的网络版。）和∧（t）=2Mγξ~ηh1-（1+ηt）e-ηti+2Mγξ~η+ 4Ohm(η- 4.Ohmη+ 4Ohm- E-ηt“η- 4.Ohmη+ 4Ohm+ ηt！cos 2Ohmt+4ηOhmη+ 4Ohm+ 2.OhmT罪2Ohmt#）。（11）此外，J（ω）的渐近解是J（ω）2Mγπω+MγξηπkT“η+ω+η+（ω- 2.Ohm)+η+(ω + 2Ohm)#ω（12）当ω→ 0.式（12）的第二项由三个不同的欧姆洛伦兹截止函数组成，并对非马尔可夫行为起作用。方程（5）中K（t）紧跟在方程（9）之后，这是一个适用于上海股市的非马尔可夫动力学方程。值得注意的是，在qBm（m）中，观察到的股票市场自相关必须是基本的。自相关直接来自于谱密度J（ω）=Piκiδ（ω- ωi）/2miωi，它引入了特定单一股票振荡器ω对股票指数的贡献权重。当欧姆谱密度J（ωi）=2Mγωi/π时，权重与股票i的能量量子ωi/2成正比，结果D（τ）=8MγkTδ（τ），这是马尔可夫股票指数的符号。相反，如果使用欧姆洛伦兹光谱密度式（12），股票指数显然是非马尔可夫的。这意味着人们可以通过指数本身的非马尔可夫行为来理解股票与其指数之间的对应关系。方程式（7）只是单频。由于相互作用的线性，我们可以附加频率为2的高阶项Ohm, 3.Ohm... 进行更复杂的计算。此外，我们应该注意到自相关函数应该产生R（τ）e-事实上我知道。

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能者818

2022-5-6 05:31:06

然而，我们只能通过假设相位信息φ是完全时间不相关的量来关注振幅R（τ）。6.讨论和结论公式（2）的精确非马尔可夫解表明，主方程不仅包含类似公式（6）的二阶项，还包含X和P的高阶乘积[49]。通过引入Wigner函数Wρ（x，p，t）=R+∞-∞dsρA（x）- s/2，x+s/2，t）exp（ips/~）在相空间中，可以导出类似于式（1）的科尔莫戈罗夫方程[50]，tWρ（x，p，t）=-下午xWρ+2γPpWρ+ ~（t）pWρ- ~∧（t）十、pWρ+G（Wρ），（13）式中G（Wρ）=X∞k=3Xkr=0(-1） kr！（k）- r） !！卡（k）-r、 r）Wρixk-Rpr（14）具有时间相关系数A（k-r、 r）（x，p，t）=h[x（t+dt）- x（t）]k-下钻p（t+dt）- p（t）ri/dt（dt→ 0）。方程（14）负责对方程（13）的长期解进行修正，如果存在G（Wρ）项，则不能保证方程（13）是高斯解。现在它似乎是无效的，因为任何股票指数的随机动力学在长期极限下都应该满足高斯分布。然而，Pawula定理[51]证明了如果有A（k-r、 r）（x，p，t）为零，我们必须都有A（k）-r、 r）≡ 0代表r≥ 3.G（Wρ）因此在大多数情况下等于零，保证Wρ的长期解是高斯的。关于qBm（m）的另一个可能的困惑是完全使用量子力学的数学结构的冗余性。已经证明，非对易算子的不确定性关系（或更普遍的李代数结构）是量化交易非理性的合适框架[21,29]。然而，我们不知道密度算符的非对角元素（相干性）作为附加自由度是否有任何实际意义。

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2022-5-6 05:31:09

我们不认为连贯性只是多余的辅助变量，而是认为连贯性是一种描述单个交易之间相关性的隐藏变量，这与行为经济学中对同步行为的预期一致[16]。综上所述，为了克服有效市场假说和经典布朗运动模型的某些局限性，本文针对股票市场引入了量子布朗运动模型（qBm（m））（本文主要研究中国上海证券交易所）。借助量子开放系统理论，提出了从量子封闭/开放系统到股票市场的类似映射（见表1和表2）。使用Caldeira-Leggett主方程，计算不同阶数的qBm（m）矩，与经典模型进行比较。股票指数（上证综合指数）的非零峰度表明非高斯厚尾分布符合qBm（m）。解释细节涉及量子测量理论中的不精确和反作用噪声的概念。为了描述股票市场的非马尔可夫行为，得到了一个非马尔可夫主方程。自相关的谱密度与单个股票对股票指数贡献的权重直接相关。通过构造股票指数的qBm（m），整个股票市场现在可以完整地建模到量子力学框架中[29]。我们未来的研究目标将集中在理论和实证研究上，尤其是将该模型应用于定量金融以及经济物理学中的其他主题。感谢俞秀梅和张玲泽的宝贵建议和帮助。

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能者818

2022-5-6 05:31:12

我们还感谢北京大学2012年挑战杯技术工程办公室的财务支持。参考文献[1]R.N.Mantegna，H.E.Stanley，《经济指数动态中的标度行为》，自然（伦敦）376（1995）46-49。[2] R.N.Mantegna，H.E.Stanley，《经济物理学导论：金融中的相关性和复杂性》，剑桥大学出版社，剑桥，1999年。[3] 布坎南先生，经济物理学为我们做过什么？，纳特。菲斯。9 (2013) 317–317.[4] L.A.N.阿马拉尔、S.V.布尔迪列夫、S.哈夫林、H.莱施霍恩、P.马斯、M.A.塞林格、H.E.斯坦利、M.H.R.斯坦利，《非经济学中的标度行为：公司增长的实证结果》，J.Phys。I法国7（1997）621-633。[5] S.V.Buldyrev，L.A.N.Amaral，S.Havlin，H.Leschhorn，P.Maass，M.A.Salinger，H.E.Stanley，M.H.R.Stanley，非经济学中的标度行为：II。公司成长模型，J.Phys。I法国7（1997）635-650。[6] B.Podobnik，P.C.Ivanov，K.Biljakovic，D.Horvatic，H.E.Stanley，I.Grosse，《具有幂律关联常数和量级的分数积分过程》，Phys。牧师。E 72（2005）026121。[7] 颜俊华，张永华，张永华，唐永宁，中国股票市场的幂律性质，Physica A 353（2005）425–432。[8] B.B.Mandelbrot，J.W.van Ness，分数布朗运动，分数噪声和应用，暹罗修订版。10 (1968) 422–437.[9] E.E.Peters，《资本市场中的分形结构》，Financ。肛门。J.45（1989）32-37。[10] 姜志强，周文星，基于配分函数方法的中国股票波动性多重分形分析，Physica A 387（2008）4881–4888。[11] 袁彦，庄X-T，刘志勇，量价多重分形分析及其在中国股市中的应用，Physica A 391（2012）3484–3495。[12] M.E.J.纽曼，《复杂网络的结构和功能》，暹罗修订版。45 (2003) 167–256.[13] L.A.Braunstein，P.A.Macri，J.R。

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