股票市场的量子布朗振子

nandehutu2022

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收藏 2022-06-11

英文标题：
《Quantum Brownian oscillator for the stock market》
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作者：
Jasmina Jekni\\\'c-Dugi\\\'c, Sonja Radi\\\' c, Igor Petrovi\\\'c, Momir
Arsenijevi\\\'c, Miroljub Dugi\\\'c
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
We pursue the quantum-mechanical challenge to the efficient market hypothesis for the stock market by employing the quantum Brownian motion model. We utilize the quantum Caldeira-Leggett master equation as a possible phenomenological model for the stock-market-prices fluctuations while introducing the external harmonic field for the Brownian particle. Two quantum regimes are of particular interest: the exact regime as well as the approximate regime of the pure decoherence (\"recoilless\") limit of the Caldeira-Leggett equation. By calculating the standard deviation and the kurtosis for the particle\'s position observable, we can detect deviations of the quantum-mechanical behavior from the classical counterpart, which bases the efficient market hypothesis. By varying the damping factor, temperature as well as the oscillator\'s frequency, we are able to provide interpretation of different economic scenarios and possible situations that are not normally recognized by the efficient market hypothesis. Hence we recognize the quantum Brownian oscillator as a possibly useful model for the realistic behavior of stock prices.
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中文摘要：
我们利用量子布朗运动模型，对股票市场的有效市场假说提出量子力学挑战。我们利用量子Caldeira-Leggett master方程作为股票市场价格波动的可能现象学模型，同时引入布朗粒子的外部谐波场。有两个量子区特别令人感兴趣：卡尔德拉-莱格特方程的纯退相干（“无后坐力”）极限的精确区和近似区。通过计算可观测粒子位置的标准差和峰度，我们可以检测量子力学行为与基于有效市场假说的经典行为的偏差。通过改变阻尼因子、温度以及振荡器的频率，我们能够解释不同的经济情景和可能的情况，而这些情况通常不被有效市场假说所认识。因此，我们认识到量子布朗振子对于股票价格的现实行为可能是一个有用的模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：General Finance 一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Physics 物理学
二级分类：Quantum Physics 量子物理学
分类描述：Description coming soon
描述即将到来
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Quantum_Brownian_oscillator_for_the_stock_market.pdf
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何人来此

2022-6-11 12:35:21

股票市场的量子布朗振荡器Jasmina Jekni'c-Dugi'ca、Sonja Radi'cb、Igor Petrovi'cc、Momir Arsenijevi'cb、Miroljub Dugi'c*博伊尼大学，科学与数学学院，Viˇsegradska 3318000 Niˇs，塞尔维亚克拉古耶瓦茨大学，科学学院，Radoja Domanovi\'ca 1234000 Kragujevac，塞尔维亚萨维亚茨维托格省98，18230 Sokobanja，SerbiaAbstractWe通过使用量子布朗运动模型来研究量子力学对股市有效市场假说的挑战。我们利用量子Caldeira-Leggett主方程作为股票市场价格波动的可能现象学模型，同时引入布朗粒子的外部谐波场。有两个量子区特别令人感兴趣：Caldeiralegett方程的纯退相干（“无后坐力”）极限的精确区和近似区。通过计算可观测粒子位置的标准偏差和峰度，我们可以检测量子力学行为与经典对应物的偏差，而经典对应物是基于有效市场假说的。通过改变阻尼因子、温度以及振荡器的频率，我们能够解释不同的经济场景和可能的情况，而这些情况通常不被有效市场假设所识别。因此，我们认识到量子布朗振子对于股票价格的现实行为可能是一个有用的模型。关键词：经济物理学、股市非理性、量子布朗运动、谐振子、厚尾现象*通讯作者：mdugic18@sbb.rs1.

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能者818

2022-6-11 12:35:24

简介回报率的高斯（所谓正态）分布的偏差是不同市场的普遍经验事实，从发达国家（如德国[1]和美国[2，3]）的市场到发展中国家（如印度[4]和中国[5]）。除其他外，它表现为“厚尾”以及收益概率分布的正超额峰度。在足够长的时间间隔【6-8】之后，预计该分布将收敛到标准高斯行为，从而证明了某些（希望是普遍的）规律存在于复杂的金融系统中【9-11】。肥尾偏差和正超额峭度显示非马尔可夫行为的出现，表明股票市场不满足经典布朗运动模型，这是显著有效市场假说（EMH）的特征【12】。作为一种自然而然的进步，这些尝试包括了某些量子模型[13-15]，这导致了许多不同的方法和模型在定量金融领域遵循量子范式[15-23]。作为量子力学方法的一种理性，它经常被称为马尔科非理性，与EMH形成鲜明对比。行为经济学家承诺，代理人的非理性在现实股票交易中扮演着重要角色，因此，即使没有信息推动股票价格，非理性也会对股票价格的持续波动（经验上众所周知）做出重大贡献。

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何人来此

2022-6-11 12:35:27

作为非理性的一个可能模型，量子力学的不确定性因此被解释为市场不确定性，驱动了相对性【18,20,22】（以及其中的参考文献）。已经使用了不同的量子模型，如势阱中的粒子【19,20】、量子阻尼振子【20】、谐波振子【21,23】、量子布朗运动【22】等。考虑到量子布朗运动可以被视为经典布朗运动的量子力学对应物，量子布朗运动尤其有趣，支持深刻的市场假说[1 2]。因此，对于值得追求的有效市场假说，有一个详细的量子力学讨论，尤其是参考文献[22]。在本文中，我们利用由著名的Caldeira Leggett（CL）ma ster方程[22,24,25]模拟的量子布朗运动。我们超越了现有的模型，因为我们引入了布朗粒子的外磁场，而另一方面，我们特别关注CL-Master方程的纯退相干（所谓的“无后坐力”）极限。消相干限值与o f-对角线项ρ（x，x′）=hx |ρ| x′i有关，这通常仍是一个悬而未决的问题[22]。与类似的方法不同，weregard将CL方程视为“唯象”主方程，这意味着我们不关心导致该方程的潜在微观物理细节。

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何人来此

2022-6-11 12:35:31

相反，我们在经济物理学研究的背景下研究谐振子方程的有用性。一般来说，外部领域的出现是为了模拟外部宏观对股票市场的影响，例如中国股票市场的每日价格限制[21,22,26]，或者区分英国金融时报股票交易所（FTSE）所有股票指数中的“正常”和“非正常”回报[19]。在这方面，我们认为我们的谐振子布朗粒子模型可能比自由布朗运动模型更真实。根据标准智慧，我们计算了量子调和布朗粒子的精确极限和无后坐力极限的标准偏差和峰度，并将所得结果与经典结果进行了比较。比较不仅可以得到阻尼率γ或镀液温度，还可以得到振荡器的频率ω。我们对简谐布朗粒子模型的解释也来自于类似的考虑[21,23]，以及（经典）阻尼谐振子的类似模型[27]，该模型被认为是EMH的可能物理基础[12]。在一定程度上，经典谐波布朗nparticle正确地建立了EMH，我们提供了一些证明市场效率的证据，以及可能有用的股票市场物理（量子力学）模型。在第2节中，我们介绍并简要讨论了该模型。在第3节中，我们提供了本文的主要结果。在第4节中，我们通过特别注意在可能的经济情景和情况下解释我们的发现，对所获得的结果进行了讨论和总结。2.

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nandehutu2022

2022-6-11 12:35:34

简谐振荡器的Caldeira-Leggett主方程在Schr¨odinger图中，一维系统的Caldeira-Leggett主方程（“密度矩阵”）为：【24,25】：d^ρ（t）dt=-i～[^H，^ρ（t）]-γ~[x，{p，ρ（t）}]-2mγkBT～[^x，[^x，^ρR（t）]]。（1）在等式（1）中，粒子的唯一自由度是笛卡尔坐标^x，而^p代表其共轭动量；交换关系，[^x，^p]=^x^p- ^p^x=i~。系统的哈密顿量^H产生由等式（1）rhs上的第一个换向器描述的幺正动力学，而第二项和第三项分别模拟量子力学耗散和退相干（有时也称为“退相”），这两项均由非负阻尼系数γ和时间无关阻尼系数γ确定。我们用m表示系统的质量，而kb和T分别表示玻耳兹曼常数和热基温度。系统的哈密顿量（忽略La-mb位移项）^H=^T+^V=^p2m+V（^x），（2）其中，外电势^V=0描述自由布朗粒子，而^V=mω^x/2考虑频率ω和零平衡位置的外谐波粒子。方括号代表换向器，而花括号代表反换向器，{A，B}=AB+BA。在本文中，我们采用给定的、规定的方程（1），而不需要借助其微观起源的细节。这为我们提供了改变参数γ、m、T、ω–T值的自由。在CL方程（1）的微观推导中，温度高和相互作用弱的假设限制了这些变化【24,25】。对于非常大的T和/或非常大的质量m，可以近似精确的方程式（1），从而产生退相干极限（所谓的“无后坐力极限”）【25】。

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大多数88

2022-6-11 12:35:37

在这个极限下，第三个（退相干）项支配着系统的动力学，因此允许f或忽略等式（1）的第二个（耗散）项。然后粒子经历了环境诱导的相干（25,29），而没有耗散。考虑到（在海森堡图片中）CL方程（1）有一个以朗格文方程的形式定义的经典对应物【24,25】，将退相干极限结果与已知和精确的经典表达式进行比较尤其有趣。一般模型假设在经济物理学背景下的规定是标准的，例如，【22】：自由度^x表示（对数）价格，动量^p表示价格趋势，而m现在表示量化市值的股票惯性。浴槽的温度量化了外部感应的温度，而阻尼系数γ量化了外部感应的阻尼强度【22】。因此，参数变化可能会考虑股票交易的不同场景，例如市值（m）和外部干预频率（ω）。表征分布ρ（x，x′）的矩均为形式tr（^A^ρ（t））（薛定谔图中与时间无关的^A）。通过使用恒等式tr（A[B，C]）=tr（[A，B]C）和tr（A{B，C}）=tr（{A，B}C），它很容易遵循力矩的微分方程，一般形式如下：d（tr^A^ρ（t））dt=-i~ tr（[^A，^H]^ρ）-iγ~tr（{[^A，^x]，^p}ρ）-2mγkBT~tr（【^x，【^x，^A】】^ρ）。(3)3. 结果使用公式（3），在本节中，我们提供了^x标准偏差的结果，以及量子调和布朗粒子的峰度的结果。

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mingdashike22

2022-6-11 12:35:40

提供了两组结果：精确的量子力学表达式和退相干极限，其中假设忽略等式（3）中的第二项。这些结果（分别）与简谐布朗运动的精确经典物理结果进行了比较。除了阻尼系数γ和温度T的变化外，我们还考虑了由于振子频率ω引起的变化，这在考虑自由布朗粒子时是不存在的。3.1标准偏差使用公式（3）获得标准偏差很简单，但很繁琐^x，我们从参考文献[30]中的方程式（B.2）中超越，同时将旋转器的量与平移运动的量交换：(^x（t））=kBTmωOhmOhm+ e-2γt（ω- γcosh（2Ohmt）- γOhm 新罕布什尔州（2Ohmt）（）+(^p（0））mOhme-2γtsinh(Ohmt）+(^x（0））Ohme-2γt(-ωcosh(Ohmt） +γcosh（2Ohmt） +γOhm 新罕布什尔州（2Ohmt））+e-2γtσ（0）2mOhm（2γsinh(Ohmt） +Ohm 新罕布什尔州（2Ohmt））。（4）式（4）中：Ohm= γ-ω、而量子方差σ≡ h^x^p- ^p^xi-2h^xih^pi。放置经典允许的零初始力矩，^x（0）=0，^p（0）=0，σ（0）=0，而在没有任何一般性损失的情况下，方程式（4）中的h^x（0）i=0=h^p（0）i仍然是第一项，即经典布朗谐振子的x（t）[30]（及其参考文献）：(^x（t））=kBTmωOhmOhm+ e-2γtω- γcosh（2Ohmt）- γOhm 新罕布什尔州（2Ohmt）. （5）对于退相干极限，忽略等式（1）rhs上的第二项，遵循相应的表达式^x（t）。为此，我们直接超越了参考文献[30]中的方程式（C.2），其中平移运动的量为：(^x（t））=(^x（0））cosωt+(^p（0））mωsinωt+σ（0）2mωsin 2ωt+2γkBTmωt-γkBTmωsin 2ωt。

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何人来此

2022-6-11 12:35:43

（6）当然，作为一种纯量子力学效应，纯退相干方程（6）没有一个杰出的经典对应物。因此，我们将精确（方程式（4））和退相干极限（方程式（6））量子表达式与（精确）经典方程式（5）进行比较。的依赖关系(分别研究了每个参数γ、Tandω的x（t））。图1和图2中分别显示了初始值的图形结果（对数曲线图）(^x（0））=10-7, (^p（0））=10，σ（0）=0.01，符合不确定度关系[^x，^p]=i~（keeping ~=1）和（量子力学）Cauchy-Schwartz不等式σ≤ 2.^x^p，而选择长时间间隔t=10。为简洁起见，weplacex代替(^x）。选择参数值和范围以及初始条件，以便于将获得的结果与参考文献[22]中给出的自由粒子结果进行比较，如图1标题中明确强调的那样。10-40.1kBT0.001D2X图1：精确量子（实线）和精确经典（虚线）表达式的比较。（左）ω=0.1，m=0.1，γ=10，变量kBT∈ [10-7, 10]; （中间）ω=10，m=10，kBT=0.1，变量γ∈ [10-2, 10]; （右）m=10，γ=1，kBT=0.1，变量ω∈ [10-2, 10].图2：量子退相干极限（实线）和精确经典（虚线）表达式的比较。曲线图和参数各自值的含义与图1相同，除了选择非常大的质量m=1000.3.2峰度外，请记住第3.1节，在本节中，我们仅考虑精确量子力学表达式公式（4）的峰度（κ=h^xi/（h^xi））。

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能者818

2022-6-11 12:35:46

在附录A中，我们为计算自由（κ自由）和调和（κ调和）布朗粒子的峰度提供了依据。对于自由布朗粒子和调和布朗粒子，我们得到了（附录A）微分方程的闭集，而无需使用（或计算）任何高阶动量。由于我们发现分析表达式超出了简洁的表述范围，并且在物理上是不透明的，因此我们在此给出了所选参数值以及相关力矩初值的结果。图3提供了κfree（虚线）和κharmonic（实线）结果的比较，作为时间t的函数，用于选择参数（欠阻尼状态）：m=20，γ=0.001，kBT=0.38。中国股市有一个价格限制规则：一个交易日的回报率与前一天的收盘价相比不能超过±10%，这适用于中国大多数股票。为此，我们选择圆频率的实际值ω=18·10-3分钟。因此，图3的时间单位为1min。图3：两个时间间隔的欠阻尼区域（假设~=1）的峰度f。两个图的时间刻度均为1min。实线表示谐振子的结果，虚线表示自由粒子的结果。对于t≥ 120（右），谐波振荡在κ=3的渐近极限附近显示小振荡。接近自由粒子极限的速度较慢，几乎是单调的。结果对感兴趣的力矩（高达四阶）的初始值的选择相当敏感，并且给出的结果为cho sen，以便提供谐振子模型的“最佳”拟合，并提供参考文献中图2c中蓝线所示的证据da t a。

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何人来此

2022-6-11 12:35:49

[22].以下初始值用于第一和第二时刻：h^xi=0=h^pi，h^xi=1/2=h^pi和h^xi=50.3.3注释量子和经典动力学的闭合性，图1显示了振荡器的近似经典动力学。量子与经典布朗动力学的偏离在性质上是一种期望的行为，这得到了不同股票市场证据的支持【1-5】。对于较小的参数值（γ，T，ω），精确的量子力学行为，如图1所示，表现出与经典对映体的偏差，远远大于自由布朗运动所观察到的偏差【22】。虽然对于较大的T和ω，其行为与经典行为几乎无法区分，但对于较大的γ参数值，其偏差很小，但可以观察到，并且在数量上与参考文献[22]中图2b所示的结果相当。另一方面，图2所示的近似量子行为与经典量子行为完全不同。也就是说，大质量极限（退相干极限）揭示了与经典预测不同的行为；布朗刚性旋转的类似结果见参考文献附录C。[30 ]. 不可避免的是，量子退相干过程对于量子布朗振子的类经典行为并不有效。正如我们所观察到的，由于对精确的经典行为的了解，在量子力学动力学的背景下，只有退相干和耗散的一些相互作用提供了经典上众所周知的布朗效应。因此，我们对密度矩阵的反对角线项的相关性问题给出了答案。

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何人来此

2022-6-11 12:35:53

考虑到有效诊断元素的动态消失，即ρ（x，x′）≡ hx |ρ| x′i∝ 经验值(-Γ（x- x′），[退相干极限中唯一的效应]，虽然退相干抵消了量子相干，但这对于经典观测到的布朗效应是不够的，这也需要系统中的耗散。换言之，动态消失的theof-对角线元素构成了量子谐波布朗振荡的类经典行为的必要但不充分的条件。图3（右图）清楚地展示了κ调和到κ=3的交感高斯值的更快方法，这大约是在150分钟内达到的。对于自由布朗粒子，这种方法不是s平滑的，并且在质量上与参考文献[22]中图2c上的蓝线所示的证据一致。表1给出了我们的结果与参考文献[22]中图2c的证据估计结果的比较。从表1中我们可以看到，最初，自由布朗粒子与证据的吻合较好，而当t>60时，调和布朗粒子与证据的吻合较好。获得的证据峭度值是根据参考文献中的图2得出的（近似）估计值。[22]. 因此，至少对于时间窗口t∈ （61100），我们发现与自由粒子的情况相比，谐振子模型与证据在定性和定量上都更好地匹配。表1：峰度与证据估计值的比较。t=40 t=60 t=80 t=100κ证据12 11 7 7无κ14.4 13.61 11.8 10κ和谐15.3 13.65 9.8 6.44。讨论和结论我们使用Caldeira-Leggett主方程作为“现象学”方程，而不诉诸模型的微观细节或量子力学解释。

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能者818

2022-6-11 12:35:56

这使我们偏离了标准的高温和弱相互作用假设[24,25,28]。对类量子效应的观察并不能证明，甚至不能表明感兴趣的系统具有量子力学性质。正如参考文献[31]反复强调的那样，量子力学效应是结果，即量子力学形式的逻辑含义（必要条件），但不一定相反。也就是说，证据与量子力学预测的可能匹配并不意味着观测系统的量子力学性质。量子贡献，图1，增加了标准偏差测量的波动性。此外，由于在短时间间隔内重复某些快速动作，量子贡献甚至可能额外增加。实际上，CL模型方程（1）中未考虑的快速作用通常会导致标准偏差的增加。在短时间间隔内发生的一系列此类重复动作（必须考虑量子修正）会导致^x【30】。这使得整体动态更不可预测。从图1中，我们可以了解到，对于大温度T和大频率ω，以及对于不太小和不太大的阻尼因子γ，动力学本质上是经典的。从图2中，我们可以看到，对于非常大的质量m，动力学与经典对应物从来没有相似之处。因此，人们可能会认为，对于足够大的T和ω以及“中”γ和小质量m，量子修正基本上是无效的。然而，对这一期望有一个警告。一方面，在T的极限内→ 0且γ=0时，系统变为“闭合”，即即使在经典极限下也具有酉性和确定性。

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可人4

2022-6-11 12:36:00

另一方面，在限制m→ 0，方程（4）-（6）给出了完全不可控系统，因为在这个极限下x（t）→ ∞, t、因此，应小心选择非常小的t、γ和m。图e 3给出的结果对高动量初始值的选择非常敏感，高动量初始值用于自由和HarmonicBrown粒子模型。从图3和表1中，我们可以看到，与自由布朗粒子的情况相比，具有获得结果的证据的谐波粒子模型具有更好的定性（图3中的波浪部分）和定量（表1）。因此，我们可以得出结论，谐振子模型可能有助于描述现实的股票市场。第3节的结果具有明确的经济学解释。虽然分别由温度T和阻尼系数γ量化的外部诱导的波动和阻尼实际上是失控的，但在实际情况下，原则上可以控制资本化m和频率ω。从图2中我们可以了解到，太大的资本化导致系统相对远离经典模型，因此与EMH相反【12】。图1（右图）显示，外部影响的频率很低，推动了市场动态进一步偏离传统的对手。也就是说，在相对较大的频率ω下，波动性实际上消失了，而在相对较小的频率ω下，波动性相当大。因此，“适度”资本化和不太频繁的外部干预可能会降低波动性，从而降低风险。为了使这一观察更加准确，让我们假设存在一种期权或其他金融衍生品，可以用来管理风险，其波动性最初很小（标准偏差）。

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能者818

2022-6-11 12:36:03

然后，在短时间间隔内由大量代理形成的一系列此类操作可能会导致波动性急剧、无可忽视的增加，从而导致市场的初始稳定性突然下降。也就是说，在短时间内，特别是在股市开盘后，许多代理人的行为不可避免地会导致波动性的量子贡献增加，从而可能导致初始市场稳定性的急剧破裂。这是一种典型的未知情景【30】，这让我们想起明斯基的金融不稳定假说【32】，“危机时期可能会产生虚假的安全感，并诱使代理人进行风险更高的投资，为危机做好准备”【33】；为此，另见【34】。综上所述，我们可以说，避免量子贡献以使股票价格“更可预测”可能被视为一种优化问题，而不是一个具有或多或少弱相关参数的简单过程。因此，在全球范围内，第3节明确强调：可能存在经典布朗模型无法预测的额外不确定性，虽然在数量上近似于证据数据（尤其是图3（右）），但无法提供避免可能风险的简单方法。相反，需要一些优化策略来优化参数值的选择。至少出于两个原因，此类战略的制定超出了本文的范围。首先，我们需要更详细的定量数据进行比较。其次，这种策略甚至对理想化的理论模型也构成了挑战。为此，研究正在进行中，研究结果将在其他地方公布。然而，某些教训是毫无疑问的。例如。

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mingdashike22

2022-6-11 12:36:06

通过控制外部行为和资本化的频率，市场动态可以部分揭示市场上的有效“温度”和“阻尼”，从而提供对市场动态和条件的更深入了解。最后，预计在短时间内迅速和大量的代理将增加投资的灵活性，从而使投资风险更大。我们预计，股票价格真实行为的量子力学建模的进展可能被视为行为经济学家所认可的投资者非理性思想的一种证明。也就是说，可以假设量子经济物理学研究为代理人的非理性提供了论据。然而，这提出了一个影响深远的问题：如果[假定]非理性是经济行业的典型特征，那么它怎么可能是对其他人类努力的背离呢？我们相信，量子经济物理学研究为不同的人文科学和社会科学，包括社会物理学，开辟了一个新的广阔视角，这一次有了更详细的量化标准。致谢本文由塞尔维亚科学部资助，grantno 171028。附录AFrom公式（3）遵循了四阶动量的微分方程组（为了简化符号，我们省略了“帽子”操作符t或符号），可以以矩阵形式表示：ddtX（t）=MX（t）+F（t），（7），其中矩阵M的读数为：0 2/米0 0 0-2mΩ-2γ3/m 0 00-2mΩ-4γ2/m 00 0-3mΩ-6γ2/m0 0-2mΩ-8γ（8）（转置）向量xt=（h^xi，h^x^p+p^xi，h^x^p+p^xi，h^x^p+p^xi，h^pi），（9），而（转置）非同源部分读取：FT（t）=（0，3 ~/m，-4~γ+8mγkBT(^x（t）），-3～mω+12mγkBTσxp（t），24mγkBT(^p））。

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kedemingshi

2022-6-11 12:36:10

（10）方程式（10）中出现的二阶矩使方程式（7）中的微分方程组闭合——不存在大于四阶的矩。式（7）的通解可以写成asX（t）=eMtX（0）+ZtdseM（t-s） F（s）。（11）通过在等式（8）中设置ω=0并重复与调和布朗粒子相同的过程，可以获得自由布朗粒子。无论是自由粒子还是谐波粒子，hxi的分析表达式都相当大且不透明。因此，我们仅提供适当选择mo初值和系统参数（γ、kBT、ω）的结果，如正文第3.2节所述。自由布朗粒子的二阶矩h^xi的精确解析表达式众所周知，见R ef中的公式（3.438）。[25]:(^x（t））=(^x（0））+1.- e-2γt2γ(^p（0））m+1- e-2γtσxp（0）+kBTmγγt- (1 - e-2γt）+1- e-4γt. （12）这就为计算自由粒子和调和布朗粒子的峰度提供了必要的数据。参考文献【1】T.Lux，《稳定的帕累托假说和大回报的频率：对德国主要股票的检验》，Appl。鳍经济。6(1996) 463-475.[2] P.Gopikrishnan、M.Meyer、L.A.Nunes Amaral、H.E.Stanley，《股票价格变动分布的反证券法》，欧元。物理。J、 B 3（1998）139-140。[3] P.Gopikrishnan，V.Plerou，L.A.Nunes Amaral，M.Meyer，H.E.Stanley，《金融市场指数波动分布的比例》，Phys。修订版。E 60（1999）5305-5316。[4] K.Matia、M.Pal、H.Salunkay和H.E.Stanley，《印度股市的规模依赖价格波动》，EPL 66（2004）909-914。[5] 黄志福，《香港股市的前20分钟》，PhysicaA 287（2000）405-41 1。[6] R.Balvers，Y.Wu，E。

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2022-6-11 12:36:13

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