二元动态传染过程的平稳性

2022-5-6 06:09:26

二元动态传染过程的平稳性*, 辛东+摘要二元动态传染过程（BDCP）是一类二元点过程，其特征是强度是一类一般的分段确定马尔可夫过程。BDCP描述了一个丰富的动态结构，其中系统分别受到散粒噪声协同过程和广义霍克斯过程建模的外部和内部因素的影响。在本文中，我们主要讨论BDCP的平稳性问题，这在应用中很重要。我们将马尔可夫理论应用于BDCP的分支系统近似表示来研究平稳分布。我们发现了BDCP强度存在唯一平稳分布且由此产生的BDCP具有平稳增量的条件。平稳强度的矩由我们根据马尔可夫性质提供。二元动态传染过程；分段确定马尔可夫过程；平稳性。数学主题分类（2010）60G55、60F05、60G351简介多变量点过程用于模拟系统内不同类型的事件到达。有很多潜在的应用；公司破产、保险索赔到达、疾病发生率、机器故障等事件都需要s-ToCastic模型。以捕获丰富依赖结构的方式对点过程进行建模成为一个基本问题。此外，平稳性是许多统计应用中的一个重要且常见的假设，也是随机过程研究中最重要的概率性质之一。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:09:29

因此，需要研究具有平稳增量和平稳强度的点过程的存在性。为了描述一个既能反映外部影响又能反映内部传染效应的系统，我们引入了双变量动态传染过程（BDCP）。BDCP是一个广泛的二元点过程家族，其强度过程被定义为Davis[15]研究的非扩散分段确定马尔可夫过程（PDMP），但也包含反馈机制（内部传染）。BDCP涵盖两类重要的点过程。第一类由散粒噪声Cox过程组成，通常描述外部因素影响下的点过程系统。例如，考克斯和伊沙姆[9]、莫勒[27]、达索斯和张[12]、克勒堡和米科什[24]研究了肖特噪声-考克斯过程。这门课有广泛的应用。例如，Altmann在建模保险索赔到达和破产概率时采用了该方法*伦敦经济与政治学院统计系，伦敦WC2A 2AE，英国。电子邮件：a。dassios@lse.ac.uk+英国伦敦皇家学院数学系SW7 2AZ。电子邮件：x。dong10@imperial.ac.uketal.[3]、Albrecher和Asmussen[2]以及Macci和Torrisi[26]。第二类是具有相互激励强度的广义霍克斯过程。在这门课中，点过程中的跳跃将内部反馈引入到潜在的强度过程中，影响因子由带有随机标记的向上跳跃建模。这门课能够模拟集群和传染效应。霍克斯工艺由霍克斯和奥克斯[21]介绍，Daley和Vere Jones[10]、Liniger[25]和Embrechts等人对其进行了研究。[17].

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:09:32

最近，霍克斯过程被广泛应用于金融和保险模型中，如豪奇[6]、Ait-Sahalia等人[1]、巴克里等人[4]和艾瑞斯等人[18]。在单变量情况下，Dassios和Zhao[13]引入了单变量动态传染过程（UDCP），包括外部和内部因素的影响。它们可用于信用风险和保险建模，如Dassios和Zhao[28]和[14]所述。然而，在实践中，单变量模型不足以模拟具有丰富依赖结构的异质群体。为了解决这个问题，我们引入了一个二元系统。边缘人之间的依赖可以用几种方式来描述。Dassios和Jang[22]研究了一个具有相关散粒噪声分量和自激分量的双变量系统，但由于交叉激励传染效应而缺乏相关性。我们在定义BDCP时提到了这一点。请注意，交叉激励的依赖性引入了一种环路结构，使得系统很难解耦。因此，它从根本上不同于单变量情况。此外，BDCP也不同于二元Hawkes过程，因为Cox过程建模的额外外部因素和跳跃大小的随机性如何影响系统的概率特性并不明显。原则上，可以使用BDCP扩展霍克斯或散粒噪声过程的应用，以合并更丰富的结构。一旦指定了点过程的动态性，平稳性就成为一个需要解决的重要问题。这是一个合理的假设，许多问题可以在此基础上简化。利用强度的平稳性，Dassios和Zhao[14]讨论了使用UDCP进行保险建模时的破产概率。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:09:35

此外，Dassios和Dong[11]探讨了基于平稳性假设的过滤应用对BDCP的影响。之前，Costa[8]讨论了分段确定性马尔可夫过程的平稳性条件。Dassios和Zhao[13]证明了UDCP存在平稳分布。Br’emaud和Massoulie[7]讨论了Hawkes过程的平稳性和稳定性。此外，在我们的方法中，BDCP可以被视为有限维过程的一个极限，其中维度趋于完整。这本身就是一个有趣的案例，到目前为止还没有在一篇文献中讨论过。我们可以看看杜菲等人[16]，凯勒·雷塞尔等人。[23]和其他一些关于有效过程的研究。我们注意到，平稳性结果仅适用于少数几种扩散过程。例如，Glassermand Kim[20]和Barczy等人[5]对双因素扩散过程的平稳性进行了讨论。在本文中，BDCP强度的分析是基于基于聚类表示的有限分支系统的近似。我们将Davis[15]开发的PDMPtheory应用于分支系统，以探索极限分布→ ∞. 此外，还探讨了平稳分布和极限分布之间的联系。第2节提供了BDCP的定义和集群表示，其中我们介绍了一个近似BDCP强度（λ，λ）的有限系统（λ1，n，λ2，n）和一个有限关节系统（λ（1），λ（2n））是由一个d平移引起的。然后第3节，从有限节理系统（λ（1）开始，λ（2n））是一个马尔可夫过程，是d-e-耦合的，我们应用PDMP理论得到了极限分布为t→ ∞ 拉普拉斯变换的中间部分。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:09:38

分支系统近似为n→ ∞,研究了（λ，λ）极限分布存在的条件。极限分布结果见定理3.4，存在条件为条件3.1。在第4节中，再次从fr om（1）开始，λ（2n）），我们在引理4.1中提供了一个平稳性条件，这是基于马尔可夫理论的拉普拉斯变换。正如我们在第3节中发现的，作为自然候选的有限节理系统的极限分布，我们确认极限分布也是（λ（1），定理4.2和推论4.7中的∧（2n））和（λ1，n，λ2，n）。在定理4.4和推论4.7中，应用近似参数来推断BDCP强度（λ，λ）的平稳性，以及BDCB（N，N）。在第5节中，我们提供了强度过程的平稳矩（λ，λ）。我们在第6.2节中总结了模型2。1 ModelLet(Ohm, F、 P）是一个概率空间，在此空间上，我们将二元动态传染过程（BDCP）作为一类定义在R+上的二元点过程Nt=（Nt，Nt）。让F成为一种过滤，使N适应F。对于i=1，2，Nit=Xn≥1{Tin≤t} 其中{Tin}n≥0是有序的F-停止时间，表示T=0的事件到达时间。通过Doob-Meyer分解，存在一个唯一的非递减过程a从0开始，这样N- A是一个F-lo-cal鞅。假设每t存在一个非负的、F-可预测的、可积的强度过程λ，s.t≥ 0，At=Rtλsds a.s.假设过滤满足通常条件。对于NTA作为BDCP，其强度过程λt=（λt，λt）被指定为Davis[15]引入的分段确定性马尔可夫过程（PDMP）。定义2.1（双变量动态传染过程（基于强度））。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-6 06:09:42

BDCP的强度λt=（λt，λt）Nt=（Nt，Nt）与t∈ R+由λt=λe定义-δt+XSj<tYje-δ（t）-Sj）+XTj<tZ1,1je-δ（t）-Tj）+XTj<tZ1,2je-δ（t）-Tj），λt=λe-δt+XSj<tYje-δ（t）-Sj）+XTj<tZ2,1je-δ（t）-Ti）+XTj<tZ2,2je-δ（t）-Tj）。（1）对于k，k′=1，2，oλk≥ 0是t=0时的初始强度δk>0是指数衰减的恒定速率{Skj}j=1,2，。。。是Mkt的跳跃时间，这是一个泊松过程，具有恒定的强度ρk.{Ykj}j=1,2，。。。i.i.d跳跃大小与分布函数Hk（·）和拉普拉斯变换^Hk（·）；·Nk的{Tkj}jare跳跃时间，{Zk，k′j}j=1,2，。。。i.i.d.跳跃大小与分布函数Gk，k′（·）和拉普拉斯变换^Gk，k′（·）；·{Skj}j=1,2，。。。和{Tkj}j=1,2，。。。独立于{Ykj}j=1,2，。。。和{Zk，k′j}j=1,2，。。。。由于指数衰减，λt=（λt，λt）是一个分段确定性马尔可夫过程（PDMP）。对于k，k′=1，2，标记点pSkj<tYkje-δk（t）-Skj）描述了对外部因素的依赖。PTkj<tZk，kje-δk（t）-Tki）和ptk′j<tZk，k′je-δk（t）-Tk′j）fork′6=k分别表征了自激和交叉激励效应的内在依赖性。请注意，影响因子由独立于N的随机标记建模。从基于强度的定义来看，BDCP是一个广泛的点过程类别，涵盖两个不同且重要的点过程类别。第一类是散粒噪声协过程，可通过设置Zk，k′j获得≡ 0代表所有j≥ 1，k，k′∈ {1, 2}. 第二类是通过设置Ykj得到的具有指数衰减的二元Hawkes过程≡ 所有j，k，k′的0和Zk，k′jas常数∈ {1, 2}. 我们总是假设以下情况。条件2.2。（C1）对于k，k′=1，2，所有随机标记{Ykj}jand{Zk，k′j}j具有有限的第一时刻。i、 e.uHk，uGk，k′是有限的。我们可以很容易地检查在条件2.2的（C1）下，Rtλsds<∞ a、美国。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:09:45

每一个t≥ 因此，BDCP N是非爆炸性的。2.2平稳性首先是对马尔科夫过程的平稳分布和平稳过程的定义（如Ethier和Kurtz[19]第9.4节）。假设状态空间E上a的一个鞅问题定义良好，则E上p的概率测度u是a的平稳分布，如果（a，u）的鞅问题的每个解X是平稳过程，即p（Xt+s）∈ Γ, . . . , Xt+sk∈ Γk）独立于t≥ 0代表所有k≥ 1,0 ≤ s≤ ··· ≤ sk和Γ，Γk∈ B（E）。此外，对于ifand，u是一个固定分布，仅当XT对所有t具有分布u时≥ 0.对于用域（a）解（a，u）鞅问题的马尔可夫过程X，Ethier and Kurtz[19]第4章命题9.2提供了一个平稳性定理：平稳分布u存在的充要条件是f∈ D（A），ZEAf（x）Du（x）=0。（2）在本文中，我们在条件3.1中找到了一个有效条件（C2），在此条件下，存在λ的唯一平稳分布，在第4.2.3节分支结构中BDCP N也存在唯一平稳分布。注意，强度过程λt=（λt，λt）表示为具有分支结构的集群过程。这种表述有助于下面的分析。定义2.3（双变量动态传染过程（基于集群））。二元动态传染过程N=（N，N）是一个两型泊松聚类过程（C，C），其分支解释如下：o对于k=1,2，k型聚类中心是到达{Tk，（0）m}m=1,2，。。。作为强度为λk的散粒噪声过程，（0）t=λke-δkt+PMktm=1Ykme-δk（t）-Skm），其中{Skm}m:=Tk，（0）m.oTk处k型的每个集群中心，（0）m生成一个包含k型事件的集群，以及集群中心本身。然后c lu ster Ck=∪∞m=1公里。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:09:48

在branchingterm，每一个Ckmis都是k型移民，他们抵达Tk（0）及其后代表示簇Ckmas Ck（n）m中k型第n代弹簧的集合，则所有簇中k型第n代弹簧的集合为Ck（n）=∪∞m=1Ck，（n）m.表示Ck中的春季出生过程，（n）表示为Nk，（n）表示到达时间NTK的两倍，（n）Jojan和强度λk，（n）t。递归地，所有簇的（n+1）第（n+1）代是以强度λk，（n+1）t=N1，（n）tXj=1Zk，1，（n）je生成的-δk（t）-T1，（n）j）+N2，（n）tXj=1Zk，2，（n）je-δk（t）-T2，（n）j），其中对于k，k′=1，2，随机标记Zk，k′，（n）jare是Zk，k′jforall n的独立副本。从所有集群中收集k型直至第n代的所有个体，表示为asCk，n，然后是Ck，n=∪nj=1Ck（j）。Ck，nis Nk，nt的春季出生过程，包括出生时间Ntk，Njoj和强度过程λk，nt。因此，我们有nk，nt=nXi=0Nk，（i）t，λk，nt=kXi=0λk，（i）t，nTk，njoj=∪ni=0nTk，（i）joj。显然，Ck=limn→∞Ck，n=limn→∞∪nj=1Ck，（j）=limn→∞∪nj=1∪∞m=1Ck，（j）m.通过构造，所有簇{Ckm}m=1,2，。。。他们是独立的。此外，我们还有pathwise，Nkt=limn→∞Nk，nt=limn→∞nXi=0Nk，（i）t，λkt=limn→∞λk，nt=limn→∞nXi=0λk，（i）t。我们称Nn=（N1，n，N2，n）为具有强度为λn=（λ1，n，λ2，n）的膨胀有限系统的BDCP。在下一节中，从二元系统到单元系统，我们将应用马尔可夫理论分析1型和2型世代的联合分布。为了简化多类型问题，我们将二元分支系统合并成一个单变量系统，使得第i代1型和第2型分支成为（2-1） -在新的单变量系统中，第二代是第二代。将新系统中第n代的出生时间表示为{T（n）j}，计数过程表示为n（n）乘以强度∧（n）T，然后对于i=1，2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:09:51

，λ（2i）-1） t=λ1，（i）t，∧（2i）t=λ2，（i）t。因此，∧（1）t=λe-δt+MtXi=1Yie-δT-T1，（0）i,∧（2）t=λe-δt+MtXi=1Yie-δT-T2，（0）i,∧（2i+1）t=N（2i）-1） tXj=1Z1,1je-δT-T（2i）-1） j+N（2i）tXj=1Z1,2je-δT-T（2i）j,∧（2i+2）t=N（2i）-1） tXj=1Z2,1je-δT-T（2i）-1） j+N（2i）tXj=1Z2,2je-δT-T（2i）j.此外，通过构造，原始分支系统恢复为：λ1，nt=nXi=1∧（2i）-1） t，N1，nt=nXi=1N（2i-1） t，λ2，nt=nXi=1∧（2i）t，N2，nt=nXi=1N（2i）t。因此，将截断到第n代的原始二元系统转换为截断到第m代的单元系统，截断到第m代，m=2n。我们将mand n分别称为转换系统和原始系统的系统索引。表示极限分布→ ∞ 而平稳分布：oΛ(1), . . . , ∧（m）: πmAandπmSoλ1，n，λ2，n: uNa和unSoλ, λ: u*A和u*S3马尔可夫性质和极限分布在本节中，我们使用马尔可夫性质和PDMP理论来探索强度的极限分布。在下一节中，我们将建立极限分布和平稳分布之间的关系。3.1马尔可夫性质虽然强度（λt，λt）是一个马尔可夫过程，但由于交叉激励分量的耦合，很难用PDMP理论来探索平稳性。此外，我们还不清楚如何找到强度过程的条件，以便分析存在性和平稳性。因此，具有上述分支结构的有限系统将用于平稳性分析。有限系统（λ1，nt，λ2，nt）不是马尔可夫系统，而不是联合系统∧（1）t，∧（2）t，∧（m）t是发电机t、 ∧（1）t，∧（2）t，∧（m）t是具有域D（Am）的AMD。对于任何f∈D（Am），Amf（t，λ，λ。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:09:55

，λm）=FT-mXi=1δiλiFλi+ρZ∞f（λ+ey）dH（y）-f（λ）+ ρZ∞f（λ+ey）dH（y）-f（λ）+N-1Xk=1λ2k- 1.Z∞f（λ+e2k+1z）dG1,1（z）- f（λ）+Z∞f（λ+e2k+2z）dG2,1（z）- f（λ）+N-1Xk=1λ2kZ∞f（λ+e2k+1z）dG1,2（z）- f（λ）+Z∞f（λ+e2k+2z）dG2,2（z）- f（λ）,式中λ：=（λ，…，λm）和ei:=（0，…，0，1，0，…）∈ 其中只有第i个元素为1，其他元素均为0。以f为例t、 ∧（1）t，···∧（m）t= E-B（t）∧（1）t-···-假设它是一个鞅。考虑任何T>0，并假设Bi（T）=via和cm（0）=0，则∧（1）T的拉普拉斯变换，以初始条件∧=（1），在（v，…，vm）处∧（m）∈ Rm+isEhe-v∧（1）T-···-vm∧（m）Ti=Ehe-B（T）∧（1）T-···-Bm（T）∧（m）Ti=e-B（0）∧（1）-···-Bm（0）∧（m）-cm（T）。对于任意t，{λi}mi=1，ρ，ρ在R+上，即0=Amff=n，f是鞅的有效条件是Amf（t，λ，λ，…，λm）=0-1Xk=1λ2k- 1小时-˙B2k- 1（t）+δB2k- 1（t）+（^g1,1（B2k+1（t））- 1） +（^g2,1（B2k+2（t））- 1） i+n-1Xk=1λ2kh-˙B2k（t）+δB2k（t）+（^g1,2（B2k+1（t））- 1） +（^g2,2（B2k+2（t））- 1） i+λ2n-1小时-˙B2n-1（t）+δB2n-1（t）i+λ2nh-˙B2n（t）+δB2n（t）i+˙cm（t）+ρ^h（B（t））- 1.+ ρ^h（B（t））- 1..因此，函数序列（Bi（t））mi=1解决了反向递归ODE系统（k=1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:09:58

N- 1)-˙B2n（t）+δB2n（t）=0，B2n（t）=v2n，-˙B2n-1（t）+δB2n-1（t）=0，B2n-1（T）=v2n-1.-˙B2k- 1（t）+δB2k- 1（t）+（^g1,1（B2k+1（t））- 1） +（^g2,1（B2k+2（t））- 1） =0，B2k- 1（T）=v2k- 1.-˙B2k（t）+δB2k（t）+（^g1,2（B2k+1（t））- 1） +（^g2,2（B2k+2（t））- 1） =0，B2k（T）=v2k。此外，˙cm（t）+ρ^h（B（t））- 1.+ ρ^h（B（t））- 1.= 0，厘米（0）=0。我们通过取lk（t）：=Bm+1将系统索引和时间向后的系统转换为向前的系统-k（T）- t） =B2n+1-k（T）- t）。通过构造∧（1）=λ，∧（2）=λ和∧（j）≡ 当j>2时，拉普拉斯变换为0-v∧（1）T-···-vm∧（m）Ti=e-lm（T）∧（1）-···-l（T）∧（m）-cm（T）=e-l2n（T）λ-l2n-1（T）λ-cm（T），（3）其中li（T）和cm（T）求解正向常微分方程组：k=1，N- 1，˙l（t）+δl（t）=0，l（0）=v2n，˙l（t）+δl（t）=0，l（0）=v2n-1，˙l2k+1（t）+δl2k+1（t）- (1 - ^g1,2（l2k（t）））- (1 - ^g2,2（l2k）- 1（t））=0，l2k+1（0）=v2（n-k），˙l2k+2（t）+δl2k+2（t）- (1 - ^g1,1（l2k（t）））- (1 - ^g2,1（l2k）- 1（t））=0，l2k+2（0）=v2（n）-（k）-1，˙厘米（t）- ρ1.-^h（l2n（t））- ρ1.-^h（l2n）-1（t））= 0，厘米（0）=0。（4）注意，ODE系统（4）有一个递归形式L（t）=v2ne的唯一显式解-δt，l（t）=v2n-1e-δt，l2k+1（t）=v2（n-k） e-δt+e-δtZteδs[1- ^g1,2（l2k（s））+1- ^g2,2（l2k）- 1（s））]ds，l2k+2（t）=v2（n-（k）-1e-δt+e-δtZteδs[1- ^g1,1（l2k（s））+1- ^g2,1（l2k）- 1（s））]ds。（5）此外，cm（T）=ρZTh1-^h（l2n（t））idt+ρZTh1-^h（l2n）-1（t）idt。3.2限制分配我们不引入以下关键条件。条件3.1。（C2）矩阵“uG2,2ΔuG1,2ΔuG2,1ΔuG1,1Δ#”的光谱半径小于1。备注3.2.上述条件下的光谱半径条件等同于以下条件：uG1,1δ+uG2,2δ+suG1,1δ+uG2,2δ+ 4uG1,2ΔG2,1Δ< 1.（6）下面的引理给出了极限分布存在的一个必要条件。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:10:02

它还表明极限分布与初始条件无关（3）。引理3.3。对于任何一个，m、和（v，…，vm）∈ Rm+，极限→∞li（t）=0。证据见A.1节。然后是一元有限系统（λ（1）极限分布的拉普拉斯变换（3），任意（v，…，vm）处的∧（m）∈ Rm+变成πmA（v，…，vm）：=limT→∞Ehe-v∧（1）T-···-vm∧（m）Ti=exp-ρZ∞h1-^h（l2n（t））idt- ρZ∞h1-^h（l2n）-1（t）idt.（7）下面我们给出了极限分布的存在条件。定理3.4（极限分布的存在性）。（1）在条件（C1）下，如t→ ∞, 极限分布πmAofΛ(1), . . . , ∧（m）还有nAofλ1，n，λ2，n存在（2）在条件（C1）和（C2）下→ ∞, 极限分布*Aofλ, λ出口。证据（1）因为任何k∈ N、一,-^h（l2k（t））=Z∞td^h（l2k（u））=Z∞t^h′（l2k（u））˙l2k（u）du≤ uHl2k（t）。（8）亨瑟∞h1-^h（l2k（t））idt≤ uHR∞l2k（t）dt和（7）变成πmA（v，…，vm）≥ 经验-ρuHZ∞l2n（t）dt- ρuHZ∞l2n-1（t）dt. （9）为了证明极限分布πmA的存在，有必要证明R∞l2n-1（t）dtR∞l2n（t）dt是有限的，因此该过程不会随着时间的推移而爆发→ ∞.从（5）开始，对于所有j=1，2n和t≥ 0时，函数lj（t）随初始值v2n+1增加-j、我们构造了一个函数序列{Lj（t）}2nj=1，这是前向ODE系统（4）的初始值为L2K的解- 1（0）=v*= maxi=1，。。。，nv2i，L2k（0）=v*= maxi=1，。。。，nv2i-1对于k=1，n、（10）因此lj（t）≤ Lj（t）对于i=1，2n，和R∞l2n-1（t）dtR∞l2n（t）dt≤R∞L2n-1（t）dtR∞L2n（t）dt.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:10:06

那就有足够的证据证明这是怎么回事R∞L2n-1（t）dtR∞L2n（t）dt< ∞.对于（10）中的相同初始值，从显式递归解（4）中，我们可以通过归纳法简单地检查每个t≥ 0，L2k- 1（t）和L2k（t）随着k的增加而增加。因此，我们可以定义非负距离函数sk=1:d（1）（t）：=L（t），d（2）（t）：=L（t）。K≥ 2:d（1）k（t）：=L2k- 1（t）- L2k- 3（t），d（2）k（t）：=L2k（t）- L2k- 2（t）。第A.3节证明了以下不等式：d（1）k+1（t）≤ E-δtZteδshuG2,2d（1）k（s）+uG1,2d（2）k（s）ids，d（2）k+1（t）≤ E-δtZteδshuG2,1d（1）k（s）+uG1,1d（2）k（s）ids。（11） Z∞d（1）i+1（t）dt≤Z∞t=0e-δtZts=0eδsuG2,2d（1）i（s）+uG1,2d（2）i（s）ds=Z∞s=0Z∞t=se-δtdteδsuG2,2d（1）i（s）+uG1,2d（2）i（s）ds=uG2,2δZ∞d（1）i（s）ds+uG1,2δZ∞d（2）i（s）ds。类似地，Z∞d（2）i+1（t）dt≤uG2,1δZ∞d（1）i（s）ds+uG1,1δZ∞d（2）i（s）ds。i、 e.“R”∞d（1）i+1（t）dtR∞d（2）i+1（t）dt#≤ A“R”∞d（1）i（t）dtR∞d（2）i（t）dt#，其中A:=“uG2,2ΔuG1,2ΔuG2,1ΔuG1,1δ#≥ 1，“R∞d（1）i（t）dtR∞d（2）i（t）dt#≤ 艾岛-1英寸R∞d（1）（t）dtR∞d（2）（t）dt#=Ai-1“v*δv*δ#.用ρ表示A的光谱半径。从矩阵理论来看，对于任何>0，并表示∧ρ：=ρ+，存在一个范数k·k，即kAk≤ ~ρ. 那么，不管怎样，我≥ 1，凯≤ 卡基≤ ■ρi.此外，取欧几里德范数，由于范数的等价性，存在常数C>0，因此kaik≤ 卡克≤ 通过定义，C|ρi.L2n-1（t）=Pni=1d（1）i（t）和L2n（t）=Pni=1d（2）i（t），然后R∞L2n-1（t）dtR∞L2n（t）dt=nXi=1“R∞d（1）i（t）dtR∞d（2）i（t）dt#≤nXi=1Ai-1.“五*δv*δ#.表示Ln：=R∞L2n-1（t）dtR∞L2n（t）dt, 然后≤nXi=1kAi-1k“五*δv*δ#≤ C1- ρn1- ρs五、*δ+五、*δ< ∞.亨瑟∞L2n-1（t）dt≤~Ln<∞ 安德烈∞L2n（t）dt≤~Ln<∞, 这表明π马克思主义者。从上面的分析可以看出极限分布unAof（λ1，n，λ2，n）的存在。通过服用v2i，我成功了-1=vand v2i=vfor i=1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:10:09

，n，则拉普拉斯变换蛋白（7）变成^unA（v，v）：=limT→∞Ehe-vλ1，nT-vλ2，nTi=exp-ρZ∞h1-^h（l2n（t））idt- ρZ∞h1-^h（l2n）-1（t）idt,（12） l2n在哪里-1（t），l2n（t）来自初始值为l2i的ODE系统（4）的解-1（0）=vand l2i（0）≡ vfor i=1，n、在这种情况下，对于j=1，…，lj（t）=lj（t），m、因此，不存在极限分布。（2）我们探讨了极限分布的存在条件*Aof（λ，λ）使用unA的收敛。注意，对于拉普拉斯变换^unAin（12）、l2n（t）和l2n-1（t）是从显式解到（4）。也就是说，对于k=0，N-1，l（t）=ve-δt，l（t）=ve-δtl2k+1（t）=ve-δt+e-δtZteδs[1- ^g1,2（l2k（s））+1- ^g2,2（l2k）- 1（s））]dsl2k+2（t）=ve-δt+e-δtZteδs[1- ^g1,1（l2k（s））+1- ^g2,1（l2k）- 1（s））]ds。（13）注意l2k- 1（t）和l2k（t）是k对所有k和t的增函数≥ 0，因此由单调收敛定理（l2n）-1（t），l2n（t））收敛到极限（l）*（t），l*（t））。（λt，λt）极限分布的拉普拉斯变换为^u*A（v，v）=limn→∞^unA（v，v）=exp-ρZ∞h1-^h（l）*（t））idt- ρZ∞h1-^h（l）*（t））idt.（14）展示*Ais是非退化的，遵循与（8）中相同的论点，有R∞L*（t） dtR∞L*（t） dt< ∞.在条件3.1和矩阵理论的（C2）下，取0<<1-ρ、存在一个k·k，这样kAk≤ ρρ=ρ+<1，然后从证明的第一部分开始，~Ln≤ C1- ρn1- ρsvδ+vδ< C1- ρsvδ+vδ.因此R∞L*（t） dtR∞L*（t） dt= 画→∞R∞l2n-1（t）dtR∞l2n（t）dt< ∞.4平稳分布有限系统和BDCP的极限分布通过定理3.4存在。在这一部分中，我们展示了平稳分布和极限分布之间的等价性。首先，有限系统的平稳性条件∧（1）t。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:10:12

，λ（m）t已提供。引理4.1（有限系统的稳态条件方程）。分布πmsi是∧（1）t，∧（m）t）当且仅当laplace变换^πmSat任意（v，…，vm）∈ Rm+满意度0=-mXk=1δkvk^πm（v，…，vm）+ρ（h（v）- 1） +ρ（^h（v）- 1） +n-1Xk=1πm（v，…，vm）v2k- 1[(1 - ^g1,1（v2k+1））+（1- ^g2,1（v2k+2））]+n-1Xk=1πm（v，…，vm）v2k[（1）- ^g1,2（v2k+1））+（1- ^g2,2（v2k+2））]。等价地，就ODE系统（4）而言，as0=nXk=1˙l2（n-k） +2（0）πmSv2k- 1+˙l2（n-k） +1（0）πmSv2k- ρ(1 -^h（v））^πmS- ρ(1 -^h（v））^πmS.（15）证明。证明基于（2）中的马尔可夫理论，详情见A.2节。下面的定理说明了极限分布和静态分布之间的等价性。定理4.2（有限系统的平稳性）。对于任何系统，对于∧（1）t，∧（m）t, 如果存在极限分布πmA，则存在唯一的平稳分布πmsa和πmSd=πmA。证据对于存在性，充分证明^πm:=^π满足条件方程（15）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-6 06:10:16

这种πM的唯一性源于πM的不唯一性。自limt以来→∞l2n（t）=limt→∞l2n-引理3.3中的1（t）=0，πmv2k- 1=πmρZ∞^h′（l2n（t））l2n（t）v2k- 1dt+ρZ∞^h′（l2n）-1（t））l2n-1（t）v2k- 1dtπmv2k=πmρZ∞^h′（l2n（t））l2n（t）v2kdt+ρZ∞^h′（l2n）-1（t））l2n-1（t）v2kdt1.-^h（v）=Z∞^h′（l2n（t））˙l2n（t）dt1-^h（v）=Z∞^h′（l2n）-1（t）˙l2n-1（t）dt。然后，平稳性方程（15）变成0=ρZ∞^h′（l2n（t））“nXk=1˙l2（n）-k） +2（0）l2n（t）v2k- 1+˙l2（n-k） +1（0）l2n（t）v2k-˙l2n（t）#dt+ρZ∞^h′（l2n）-1（t））“nXk=1˙l2（n）-k） +2（0）l2n-1（t）v2k- 1+˙l2（n-k） +1（0）l2n-1（t）v2k-˙l2n-1（t）#dt。由于函数lk独立于^hi和ρifor i=1，2的选择，对于系统指数m=2n，将lk（·）重新表示为l2nk（·），那么s how:nXk=1就足够了˙l2n2（n-k） +2（0）l2n（t）v2k- 1+˙l2n2（n-k） +1（0）l2n（t）v2k-˙l2n（t）=0，nXk=1˙l2n2（n-k） +2（0）l2n-1（t）v2k- 1+˙l2n2（n-k） +1（0）l2n-1（t）v2k-˙l2n-1（t）=0。（16）通过观察系统结构中的自相似性，我们利用系统指数m=2n的归纳法证明了（16）。（1）对于n=1，很容易观察到l（t）=ve-δtand l（t）=ve-δtsatis fies（16）。（2）假设m=2n满足（16），我们证明m=2（n+1）也满足（16）。第一个方程式如下所示，第二个方程式如下所示。也就是说，n+1Xk=1“˙l2（n+1）2（n+1-k） +2（0）l2（n+1）2n+2（t）v2k- 1+˙l2（n+1）2（n+1）-k） +1（0）l2（n+1）2n+2（t）v2k#-˙l2（n+1）2n+2（t）=0，（17），其中l2（n+1）2（n+1）-i+1（0）=对于i=1，2n。注意，从ODE系统和递归解来看，我们有L2（n+1）2（n+1）（0）=v，l2（n+1）2（n+1）（t）v=e-δt，l2（n+1）2（n+1）（t）v=0。然后，（17）中的k=1项变成˙l2（n+1）2n+2（0）e-因此，我们需要证明n+1Xk=2“˙l2（n+1）2（n+1-k） +2（0）l2（n+1）2n+2（t）v2k- 1+˙l2（n+1）2（n+1）-k） +1（0）l2（n+1）2n+2（t）v2k#=˙l2（n+1）2n+2（t）-E-δt˙l2（n+1）2n+2（0）。As（16）对所有（v。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:10:20

，v2n）∈ Rm+，我们可以构造函数{L2ni（·）}2ni=1，这样它们就可以满足（16）的初值（~v，~v2n）=（v，…，v2n+2）。因此，nXk=1˙L2n2（n-k） +2（0）l2n（t）~v2k- 1+˙L2n2（n-k） +1（0）l2n（t）~v2k-˙l2nn（t）=0nXk=1˙L2n2（n-k） +2（0）l2n-1（t）~v2k- 1+˙L2n2（n-k） +1（0）l2n-1（t）~v2k-˙l2n-1（t）=0。（18）用l2n-i+1（0）=vi=vi+2对于i=1，2n。特别是L2n（0）=v2n+2和L2n（0）=v2n+1。通过构造，对于k=1，n、 t≥ 0，l2（n+1）2k- 1（t）=L2n2k- 1（t），l2（n+1）2k（t）=L2n2k（t），和l2（n+1）2n（t）v2k- 1=l2n（t）v2k- 1=l2n（t）~v2k- 3.l2（n+1）2n（t）v2k=l2n（t）v2k=l2n（t）~v2k- 2.与k的条款≥ 2 in in（17），n+1Xk=2“˙l2（n+1）2（n+1-k） +2（0）l2（n+1）2n+2（t）v2k- 1+˙l2（n+1）2（n+1）-k） +1（0）l2（n+1）2n+2（t）v2k#=-中兴通讯-δ（t）-s） ^g′1,1l2n（s）n+1Xk=2˙L2n2（n+1-k） +2（0）l2n（t）~v2k- 3+˙L2n2（n+1-k） +1（0）l2n（t）~v2k- 2.ds-中兴通讯-δ（t）-s） ^g′2,1l2n-1(s)n+1Xk=2˙L2n2（n+1-k） +2（0）l2n-1（t）~v2k- 3+˙L2n2（n+1-k） +1（0）l2n-1（t）~v2k- 2.ds=-中兴通讯-δ（t）-s） ^g′1,1l2n（s）nXk=1˙L2n2（n-k） +2（0）l2n（t）~v2k- 1+˙L2n2（n-k） +1（0）l2n（t）~v2kds-中兴通讯-δ（t）-s） ^g′2,1l2n-1(s)nXk=1˙L2n2（n-k） +2（0）l2n-1（t）~v2k- 1+˙L2n2（n-k） +1（0）l2n-1（t）~v2kds。（19）到（18），（19）成为-中兴通讯-δ（t）-s） ^g′1,1l2n（s）˙l2n（s）ds-中兴通讯-δ（t）-s） ^g′2,1l2n-1(s)˙l2n-1（s）ds=Zte-δ（t）-（s）s1.- ^g1,1l2n（s）+ 1.- ^g2,1l2n-1(s)ds=Zte-δ（t）-（s）sh1- ^g1,1l2（n+1）2n（s）+ 1.- ^g2,1l2（n+1）2n-1(s)ids（4）=中兴通讯-δ（t）-（s）sh˙l2（n+1）2n+2（s）+δl2（n+1）2n+2（s）idsf（s）：=eδsl2（n+1）2n+2（s），则˙F（s）=eδs˙l2（n+1）2n+2（s）+δl2（n+1）2n+2（s）, 和˙F（0）=˙l2（n+1）2n+2（0）+δv（19）=e-δtZteδsdE-δs˙F（s）= E-δt˙F（t）-˙F（0）- δe-δt（F（t）-F（0））=˙l2（n+1）2n+2（t）+δl2（n+1）2n+2（t）- E-δt˙l2（n+1）2n+2（0）+δv- δe-δteδtl2（n+1）2n+2（t）- 五、=˙l2（n+1）2n+2（t）- E-δt˙l2（n+1）2n+2（0）。因此，通过定理4.2和定理3.4，我们可以得出结论，对于有限系统∧（1）t。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:10:24

. . , ∧（m）t, 存在一个与极限分布相等的奇异平稳分布。推论4.3。存在一个独特的平稳分布λ1，nt，λ2，nt, 它等于拉普拉斯变换（12）的极限分布。证据联合分发λ1，nt，λ2，nt无论如何≥ 0，k≥ 0和0≤ s≤ . . . ≤ 斯基普nt+1λ≤ x、 λ2，nt+s≤ 十、λ1，nt+sk≤ xk，λ2，nt+sk≤ xk= PnXi=1λ1，（i）t+s≤ x、 nXi=1λ2，（i）t+s≤ 十、nXi=1λ1，（i）t+sk≤ xk，nXi=1λ2，（i）t+sk≤ xk=ZDZD··ZDkZDkdPλ1，（1）t+s≤ z1，（1），λ2，（1）t+s≤ z2，（1），λ1，（n）t+sk≤ z1，（n）k，λ2，（n）t+sk≤ z2，（n）k,其中j=1，k、 j′=1,2，Dj′j=nzj′，（1）j，zj′（n）j∈ Rn:Pni=1zj′（i）j≤ xj\'jo。根据定理4.2，取λ1，（1）t，λ2，（1）t，λ1，（n）t，λ2，（n）t=Λ(1), . . . , ∧（m）作为唯一的静态分布πmS，那么上面的联合分布与t无关。因此，从上面的方程中，分布λ1，nt+s，λ2，nt+s；λ1，nt+sk，λ2，nt+sk也依赖于t。因此通过定义λ1，nt，λ2，nt是一个平稳的过程。由于极限分布存在且独立于初始条件，则unSd=uNa，唯一性随之而来。现在我们给出了（λt，λt）平稳分布的存在唯一性，这是本文的主要结果。定理4.4（平稳分布的存在性）。在（C1）和（C2）下，存在唯一的平稳分布*稳定发展局λt，λt, 而且*Sd=u*A.证据。设（λ1，n，λ2，n）从平稳分布unS开始，然后对于任何t≥ 0, 0 ≤s≤ . . . ≤ sk，λ1，nt+s，λ2，nt+s；λ1，nt+sk，λ2，nt+skd=λ1，ns，λ2，ns；λ1，nsk，λ2，nsk. （20）自从λ1，nt，λ2，nt汇聚到λt，λt路径意味着有限维分布的收敛。作为n→ ∞,λ1，nt+s，λ2，nt+s；λ1，nt+sk，λ2，nt+sk=>λt+s，λt+s。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:10:28

; λt+sk，λt+sk, N→ ∞,λ1，ns，λ2，ns；λ1，nsk，λ2，nsk=>λs，λs；λsk，λsk, N→ ∞.当左岸分布为πmS.By（20）且弱极限唯一时，我们有极限过程λt+s，λt+s；λt+sk，λt+skd=λs，λs；λsk，λsk.i、 e.有限维分布与t无关。因此（λ，λ）具有平稳分布*自限制发行以来*存在，且与初始值无关，则为u*Sd=u*A.作为*Ais是独一无二的，它是独一无二的*下面。备注4.5。注意，Br’emaud和Massouli’e[7]中的定理7有一个类似的结果，这是我们的特例，对于二元情况，结果可以通过（C1）恢复。备注4.6。从上面的分析中，除了BDCP系统（λ，λ）之外，我们还提供了（λ1，n，λ2，n）的非平稳和平稳版本在拉普拉斯变换方面的分布。注意，由于可以使用有限系统（λ1，n，λ2，n）为建模目的选择传染影响的程度。因此，对于应用和进一步分析来说，这本身就是一个有趣的过程。对于任何h>0，Nt+h-Nt |λt=λd=Nt+h-Nt |λt=λ。如果λ是静止的，则λtd=λt，且Nt+h- Ntd=Nt+h- 新界。因此我们得到以下结果：推论4.7。BDCP N在R+上具有平稳增量。5个平稳动量来自定理4.4，（λt，λt）具有唯一的平稳分布*根据Ethier和Kurtz[19]第4章第9.2号提案∈ D（A），我们有∞Z∞Af（λ，λ）u*S（λ，λ）dλdλ=0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:10:32

（21）在下文中，我们将使用（21）推导平稳均值、方差和相关性。5.1平稳均值取Af（λ，λ）=λi，表示mi=E[λit]作为平稳均值，我们得到-(δ- uG1,1）m+uG1,2m+ρuH=0-(δ- uG2,2）m+uG2,1m+ρuH=0。通过求解这个线性方程组，我们得到了平稳平均值asm=（δ）- uG2,2）uH（δ- uG1,1）（δ- uG2,2）- uG1,2uG2,1ρ+uG1,2uH（δ- uG1,1）（δ- uG2,2）- uG1,2uG2,1ρm=（δ- uG1,1）uH（δ- uG1,1）（δ- uG2,2）- uG1,2uG2,1ρ+uG2,1uH（δ- uG1,1）（δ- uG2,2）- uG1,2uG2,1ρ。标志i=δi- uGi，ifor i=1、2和 := - uG1,2uG2,1，然后我们可以重写第一个时刻=uHρ+uG1,2uHρ=：u1,1ρ+u1,2ρm=uG2,1uHρ+uHρ=: u2,1ρ+ u2,2ρ.备注5.1。如果没有交叉交换项，即uGi，对于I6=j，j=0，则结果包括Dassios和Zhao[13]中的单变量DCP。X X1,1X2,2X1,2XXXA-2.0 2uG1,2 2uH1ρ+u2G1,1u2G1,2u2H1ρB 0-2.2uG2,1u2G2,12uHρ+u2G2,2u2HρCuG2,1uG1,2-- uHρ+uG1,1uG2,1uHρ+uG1,2uG2,2表1：A、B、C的效率表，= δ- uG1,1>0和= δ- uG2,2>0.5.2平稳方差我们考虑（λt）、（λt）和λtλt的平稳矩。取f（t，λt，λt）=（λt）和f（t，λt，λt）=（λt），我们有a（λ）=-2δλ+ ρZ∞（λ+y）H（dy）- λ+λZ∞（λ+z）G1,1（dz）- λ+ λZ∞（λ+z）G1,2（dz）- λ= -2Δλ+ρ（2λuH+u2H）+λ（2λuG1,1+u2G1,1）+λ（2λuG1,2+u2G1,2）=-2(δ- uG1,1）λ+2uG1,2λλ+（2ρuH+u2G1,1）λ+u2G1,2λ+u2Hρ。类似地，我们有a（λ）=-2(δ- uG2,2）λ+2uG2,1λλ+（2ρuH2+u2G2,2）λ+u2G2,1λ+u2H2ρAλ=-（δ+δ）λ+ρλuH+ρλuH+λ（λuG2,1+λuG1,1uG2,1）+λ（λuG2,2+λuG1,2+）=uG2,1+λG1,2λ+(-(δ- u1,G1）- (δ- uG2,2））λλ+（ρuH+uG1,1uG2,1）λ+（ρuH+uG1,2uG2,2）λ。我们可以重写A（λ）=:A1,1λ+A1,2λλ+Aλ+Aλ+AA（λ）=:B2,2λ+B1,2λ+Bλ+BAλ=：C1,1λ+C2,2λ+C1,2λ+Cλ+Cλ。所有系数见表5.2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:10:35

注意，Ai，j，Bi，j，Ci，jdo不包含ρ，A，B，C与ρ成线性关系。我们表示mi=：E[（λit）]mi，j=：E[λitλjt]，然后通过（21）我们得到线性方程组：A1,1m+A1,2m1,2+Am+Am+A= 0B2,2m+B1,2m1,2+Bm+Bm+B= 0C1,1m+C2,2m+C1,2m1,2+厘米+厘米= 0.注意交叉项ism1,2=-Cm+Cm+C1,1m+C2,2mC1,2。（22）基于上一节中获得的第一阶矩m，我们通过求解线性方程组获得第二阶矩m。A1,1- A1,2C1,1C1,2M- A1,2C2,2C1,2m+~A-A1,2C1,2~C= 0B2,2- B1,2C2,2C1,2M- B1,2C1,1C1,2m+~B-B1,2C1,2~C= 0，其中A=Am+Am+AB=Bm+Bm+BC=Cm+Cm。表示γ：=C1,1C1,2和γ：=C2,2C1,2，然后A1,1- A1,2γ-A1,2B1,2γγB2,2- B1,2γm=-（B）-B1,2C1,2C）A1,2γB2,2- B1,2γ-~A-A1,2C1,2~C.m=-（B）-B1,2C1,2C）A1,2γB2,2-B1,2γ-~A-A1,2C1,2~CA1,1- A1,2γ-A1,2B1,2γγB2,2-B1,2γ=（B1,2γ- B2,2）~A- A1,2γ~B+A1,2C1,2B2,2~C4(-uG1,2uG2,1）。同样，我们也有=-B1,2γ~A- （A1,1）- A1,2γ）~B+B1,2C1,2A1,1~C4(- uG1,2uG2,1）。我们得到了m=（m）+γ1,1ρ+γ1,2ρm=（m）+γ2,1ρ+γ2,2ρ，其中γ1,1=2-2uG2,1uG1,2+ + （u2G1,1u1,1+u2G1,2u2,1+u2H）+2（uG1,2）+ （u2G2,2u2,1+u2G2,1u1,1）+uG1,2+ （uG1,1uG2,1u1,1+uG1,2uG2,2,1）γ1,2=2-2uG2,1uG1,2+ + （u2G1,1u1,2+u2G1,2u2,2）+2（uG1,2）+ （u2G2,2u2,2+u2G2,1u1,2+u2H2）+uG1,2+ （uG1,1uG2,1u1,2+uG1,2uG2,2u2,2）。类似地，γ2,1=2-2uG2,1uG1,2+ + （u2G2,2u2,1+u2G2,1u）+2（uG2,1）+ （u2G1,1u1,1+u2G1,2u2,1+u2H1）+uG2,1+ （uG1,1uG2,1u1,1+uG1,2uG2,2,1）γ2,2=2-2uG2,1uG1,2+ + （u2G2,2u2,2+u2G2,1u1,2+u2H2）+2（uG2,1）+ （u2G1,1u1,2+u2G1,2u2,2）+uG2,1+ （uG1,1uG2,1u1,2+uG1,2uG2,2u2,2）。因此，我们得出的平稳均值和方差为：m:=E[λt]=u1,1ρ+u1,2ρm:=E[λt]=u2,1ρ+u2,2ρ，v:=var（λt）=γ1,1ρ+γ1,2ρv:=var（λt）=γ2,1ρ+γ2,2ρ。备注5.2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:10:38

从上面，我们观察到平稳均值和方差都是ρ和ρ的线性函数。5.3平稳相关ρ1,2=E[λtλt]- E[λt]E[λt]pvar（λt）pvar（λt）=m1,2- 嗯√五、√v、其中m1，2来自（22）。注意，平稳相关性大于仅具有自激ju MPS的过程，因为交叉激励跳跃具有正平均值uG1,2和uG2,1.6结论通过使用分支系统近似的马尔可夫理论，我们发现了BDCP强度存在唯一平稳分布且由此产生的BDCP具有平稳增量的条件。平稳强度的所有矩都可以用马尔可夫性质来计算。此外，我们还利用拉普拉斯变换得到了强度近似序列的极限分布和平稳分布，这在实践中也很有用。参考文献[1]Ait-Sahalia，Y.，Cacho Diaz，J.和Laeven，R.J.（2010）。使用相互刺激的跳跃过程对金融传染进行建模。技术报告。国家经济研究局。[2] Albrecher，H.和Asmussen c，S.（2006）。散粒噪声Cox过程的破产概率和聚集索赔分布。斯堪的纳维亚精算杂志2006，86-110。[3] 阿尔特曼，T.，施密特，T.和斯图特，W.（2008）。Fin cialassets的散粒噪声模型。《国际理论与应用金融杂志》11，87–106。[4] Bacry，E.，Delattre，S.，Hoffmann，M.和Muzy，J.-F.（2013）。用相互激励的点过程模拟微观结构噪声。定量金融13,65–77。[5] Barczy，M.，D–oring，L.，Li，Z.and Pap，G.（2013）。一个有效的双因素模型的平稳性和能态性。应用概率的进展。也可在ArXiv上获得：http://arxiv.org/abs/1302.2534。[6] 鲍文斯，L.和豪奇，N.（2009）。使用点过程对金融高频数据进行建模。在《金融时间序列手册》中。埃德·T。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:10:42

Mikosch，J.-P.Kreiss，R.A.Davis和T.G.Andersen。施普林格柏林海德堡，953-979。[7] Br\'emaud，P.和Massouli\'e，L.（1996年）。非线性hawkes过程的稳定性。《概率年鉴》2463-1588。[8] O.科斯塔（1990年）。分段确定马尔可夫过程的平稳分布。应用概率杂志27，60–73。[9] 考克斯·D·R.和伊莎姆·V.（1980）。点过程第12卷S普林格。[10] Daley，D.J.和Vere Jon es，D.（2002年）。点过程理论导论第一卷斯普林格。[11] Dassios，A.和Dong，X.（2013）。二元动态传染过程的Kalman-Bucy滤波和差分离子近似。工作文件。[12] Dassios，A.和Jang，J-W.（2003）。使用具有散粒噪声强度的Cox过程对灾难再保险和衍生品进行定价。金融与随机7，73-95。[13] Dassios，A.和Zhao，H.（2011）。一个动态的传染过程。应用可能性的进展43814–846。[14] Dassios，A.和Zhao，H.（2012）。由动态传染索赔导致的破产。保险：数学与经济学51、93–106。[15] 戴维斯，M.H.（1984）。分段确定性马尔可夫过程：一类一般的非扩散随机模型。皇家统计学会杂志。Se rie s B（方法学）353–388。[16] 杜菲，D.，菲利波维奇，D.和沙切迈耶，W.（2003）。金融领域的一系列流程和应用。应用概率年鉴13984-1053。[17] Embrechts，P.，Liniger，T.和Lin，L.（2011）。多元霍克斯过程：金融数据的应用。应用概率杂志48367–378。[18] Errais，E.，Giesecke，K.和Goldberg，L.R.（2010）。一点流程和组合信用风险。暹罗金融数学杂志1642-665。[19] Ethier，S.N.和Ku rtz，T.G.（1986）。马尔可夫过程：特征和收敛。约翰·威利和他的儿子们。[20] Glasserm an，P.和Kim，K.-K.（2010）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:10:44

扩散模型中的力矩爆炸和平稳分布。数学金融20，1-33。[21]霍克斯，A.G.和奥克斯，d.（1974）。自激励过程的集群过程表示。应用概率杂志11493–503。[22]Jang，J.和Dassios，A.（2013）。保险的二元散粒噪声自激过程。保险：数学和经济学53524-532。[23]Keller Ressel，M.，Schachermayer，W.和Teichmann，J.（2011）。一个过程是有规律的。概率论及相关领域151591–611。[24]克洛佩尔伯格，C.安德·米科什，T.（1995）。爆炸泊松散粒噪声过程及其在风险储备中的应用。伯努利1125-147。[25]Liniger，T.J.（2009）。多元霍克斯过程。博士论文。不公正地批评2009年，第18403号，艾登-奥西谢技术公司Hochschule ETH Z–urich。[26]Macci，C.和Torrisi，G.L.（2011）。具有散粒噪声Cox索赔数过程和储备相关保险费率的风险过程。保险：数学与经济学48134–145。[27]Moller，J.（2003年）。散粒噪声。应用概率的进展35614–640。[28]赵，H.和达索斯，A.（2011）。一个动态的传染过程和对信用风险的应用。可通过SSRN 2039798获得。莱玛的证明。1引理的证明3.3。首先，我们有限制→∞极限（l）=→∞v2ne-δt=0，limt→∞l（t）=limt→∞v2n-1e-δt=0。然后，采取限制措施→∞l2k- 1（t）=0和极限→∞l2k（t）=0，然后限制→∞l2k+1（t）=极限→∞E-δtZteδs[1- ^g1,2（l2k（s））+1- ^g2,2（l2k）- 1（s））]dsL\'Hospital=limt→∞δ(1 - ^g1,2（l2k（t））+1- ^g2,2（l2k）- 1（t））=0。同样，我们也有限制→∞l2k+2（t）=0。因此，通过归纳，我们得出结论，对于任何i=1，m、极限→∞li（t）=0。A.2引理的证明4.1证明。根据Ethier和Kurtz[19]第4章第9.2条的建议，当d仅当f时，平稳分布u存在∈ D（A），RAf Du=0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:10:48

因此，我们展示了平稳分布π满足分布zamf（λ，λ，…，λm）π（λ，λ，…，λm）dλ·dλn=0。（23）我们现在导出等价的拉普拉斯变换方程。第一部分：漂移部分+-δkλkλkf（λ，…，λm）π（λ，…，λm）dλ·dλm=-δkZRm+λkf（λ，…，λm）Zλkλk（xπ（λ，…，x，…，λm））dxdλ··dλm=-δkZRm-1+Z∞λk=0Zλkx=0λkf（λ，…，λm）λk（xπ（λ，…，x，…，λm））dxdλ··dλm=-δkZRm-1+Z∞x=0Z∞λk=xλkf（λ，…，λm）λk（xπ（λ，…，x，…，λm））dxdλ·dλm=ZRm+f（λ，…，λm）δkλk（λkπ（λ，…，λm））dλ··dλm，其中我们使用了f（λ，…，λm）|λk这一事实=∞= 0.在（v，…，vm）isLm处进行拉普拉斯变换δkλk（λkπ（λ，…，λm））= δkvkLm[λkπ（λ，…，λm）]=-δkvkvk^π（v，…，vm）。第二部分：散粒噪声部分Zrm+ρZ∞y=0f（λ+y，λ，…，λm）dH（y）π（λ，…，λm）dλ·dλm=ρZRm-1+Z∞x=0f（x，λ，…，λm）Zxy=0π（x- y、 λ，λm）dH（y）dxdλ···dλm=ρZRm+f（λ，λ，…，λm）Zλy=0π（λ- y、 λ，λm）dH（y）dλ··dλm，thenZRm+ρZ∞f（λ+y，λ，…，λm）dH（y）-f（λ，…，λm）π（λ，…，λm）dλ··dλm=ρZRm+f（λ，λ，…，λm）Zλy=0π（λ- y、 λ，λm）dH（y）- π（λ，…，λm）dλ··dλm。我们有拉普拉斯变换asLmZλy=0π（λ- y、 λ，λm）dH（y）= ^π（v，…，vm）^h（v）。同样，我们也有Zλy=0π（λ，λ- Yλm）dH（y）= ^π（v，…，vm）^h（v）。第三部分：激动人心的部分：为k≥ 2，由λ2k激发的跳跃- 1isZRm+λ2k- 1.Z∞z=0f（·，λ2k+1+z，·）dG1,1（z）- f（…）+Z∞z=0f（·，λ2k+2+z，·）dG2,1（z）- f（…，）·π（λ，…，λm）dλ··dλm=ZRm+f（λ，…，λm）λ2k- 1.Zλ2k+1z=0π（λ，…，λ2k+1）- Zλm）dG1,1（z）- π（λ，…，λm）dλ·dλn+ZRm+f（λ，…，λm）λ2k- 1.Zλ2k+2z=0π（λ，…，λ2k+2）- Zλm）dG2,1（z）- π（λ，…，λm）dλ···dλn我们有λ2k- 1Zλ2k+1Z=0π（λ，…，λ2k+1）- Zλm）dG1,1（z）- λ2k- 1π（λ，…，λm）= Lm[λ2k- 1π(λ, . . . , . . .

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 06:10:52

，λm）]g1,1（v2k+1）- Lm[λ2k- 1π（λ，…，λm）]=v2k- π（v，…，vm）（1）- ^g1,1（v2k+1））。同样，Lmλ2k- 1Zλ2k+2z=0π（λ，…，λ2k+2）- Zλm）dG2,1（z）- λ2k- 1π（λ，…，λm）=v2k- π（v，…，vm）（1）- ^g2,1（v2k+2））。λ2k激发的跳跃与zrm+λ2k激发的跳跃相同Z∞z=0f（·，λ2k+1+z，·）dG1,2（z）- f（…）+Z∞z=0f（·，λ2k+2+z，·）dG2,2（z）- f（…，）·π（λ，…，λm）dλ···dλm。由于平稳分布π满足（23），我们从第（I）、（II）、（III）部分得到0=mXk=1δkλk（λkπ（λ，…，λm））+ρZλy=0π（λ- y、 λ，λm）dH（y）- π（λ，…，λm）+ρZλy=0π（λ，λ- Yλm）dH（y）- π（λ，…，λm）+N-1Xk=1λ2k- 1.Zλ2k+1z=0π（λ，…，λ2k+1）- Zλm）dG1,1（z）- π（λ，…，λm）+N-1Xk=1λ2k- 1.Zλ2k+2z=0π（λ，…，λ2k+2）- Zλm）dG2,1（z）- π（λ，…，λm）+N-1Xk=1λ2kZλ2k+1z=0π（λ，…，λ2k+1）- Zλm）dG1,2（z）- π（λ，…，λm）+N-1Xk=1λ2kZλ2k+2z=0π（λ，…，λ2k+2）- Zλm）dG2,2（z）- π（λ，…，λm）.在拉普拉斯变换方面，我们对任何（v，…，vm）∈ Rm+0=-2nXk=1δkvkπmSvk+ρ（^h（v）- 1） +ρ（^h（v）- 1） +n-1Xk=1πmSv2k- 1[(1 - ^g1,1（v2k+1））+（1- ^g2,1（v2k+2））]+n-1Xk=1πmSv2k[（1）- ^g1,2（v2k+1））+（1- ^g2,2（v2k+2））]。重新排列条款，我们有（15）。A.3（11）证据的证明。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝