线性向量优化与欧式期权定价

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收藏 2022-05-06

英文标题：
《Linear vector optimization and European option pricing under
proportional transaction costs》
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作者：
Alet Roux and Tomasz Zastawniak
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
A method for pricing and superhedging European options under proportional transaction costs based on linear vector optimisation and geometric duality developed by Lohne & Rudloff (2014) is compared to a special case of the algorithms for American type derivatives due to Roux & Zastawniak (2014). An equivalence between these two approaches is established by means of a general result linking the support function of the upper image of a linear vector optimisation problem with the lower image of the dual linear optimisation problem.
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中文摘要：
将Lohne&Rudloff（2014）提出的基于线性向量优化和几何对偶的比例交易成本下的欧式期权定价和超边际化方法与Roux&Zastawniak（2014）提出的美式衍生品算法的特例进行了比较。这两种方法之间的等价性是通过将线性向量优化问题的上图像的支持函数与双线性优化问题的下图像联系起来的一般结果来建立的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Linear_vector_optimization_and_European_option_pricing_under_proportional_transa.pdf
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大多数88

2022-5-6 11:45:05

比例交易成本下的线性向量优化与欧式期权定价*Tomasz Zastawniak+2018年8月22日摘要基于线性向量优化和几何对偶的比例交易成本下的欧式期权定价和超边缘化方法由L¨ohne&Rudloff（2014）开发，与Roux&Zastawniak（2014）提出的美式衍生品算法的特殊情况进行了比较。这两种方法之间的等价性是通过将线性向量优化问题的上图像的支持函数与对偶线性优化问题的下图像联系起来的一般结果来建立的。1导言我们比较了在存在比例交易成本的情况下，欧式期权计算定价和超边际的两种现有方法，并研究了它们之间的关系，强调了它们的相似性、差异性和相对优势。其中一种方法基于第3.3节中所述的primaland对偶构造，可以追溯到Roux、Tokarz&Zastawniak（2008）和Roux&Zastawniak（2014），在那里它是为更一般的美式衍生证券而开发的，其中欧洲期权是一种特例。另一种方法依赖于线性向量优化和几何对偶，由L–ohne&Rudloff（2014）提出，并由他们命名为SHP算法；见第3.4节。作为一个副产品，我们证明了一个一般结果，即一方面线性向量优化问题的上图像的支持函数与另一方面双线性向量优化问题的下图像之间建立了一对一的对应关系；见提案2.1。

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何人来此

2022-5-6 11:45:09

这一结果提供了定价和超边缘欧式期权两种方法之间的联系，它本身也很有趣。我们在卡巴诺夫（1999）货币兑换市场的一般模型中工作，以兑换率买卖价差的形式包含比例交易成本。例如，卡巴诺夫和斯特里克（2001）、卡巴诺夫、拉索尼和斯特里克（2002）和沙切梅耶（2004）对该模型进行了广泛的研究。*约克大学数学系，Heslington，YO105DD，英国。电子邮件：alet。roux@york.ac.uk.+约克大学数学系，英国约克郡赫灵顿，约克郡约克郡。电子邮件：tomasz。zastawniak@york.ac.uk.All三种算法，原始结构、对偶结构和SHP算法非常适合计算机实现。对于原始和双重构造，这是由Roux&Zastawniak（2014）在Franz（2009）开发的Maple软件包的帮助下完成的。为了实现SHP算法，L–ohne&Rudloff（2014）使用了Benson的线性矢量优化技术；见Benson（1998），Hamel，L–ohne&Rudloff（2013）。Weillustrate通过primaland对偶构造计算的数值示例来说明结果，并将其与采用SHP算法的byL–ohne&Rudloff（2014）给出的类似示例进行比较。最后，我们建议将SHP算法扩展到美式期权中卖方（空头）头寸的对冲和定价，并指出由于问题的本质非凸性，美式期权中买方（多头）头寸的对冲和定价存在固有困难。2.一般对偶结果在这一节中，我们给出了一个简单的观察结果，将线性向量优化中的支持函数与对偶性联系起来。Luc（2011）的相关工作为支持功能和二元性之间的联系提供了进一步的见解。

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mingdashike22

2022-5-6 11:45:14

这一结果将被证明有助于比较以下章节中的各种定价和对冲算法。对于圆锥体C Rqwe定义了部分订购≤Con Rqbyy≤Cz<==> Z- Y∈ C表示C+C的双（或正极）圆锥，即C+=十、∈ Rq:xTy≥ 0Y∈ C.在下面的内容中，我们假设C是一个多面体圆锥体，具有非空介质，并且存在一些C∈ cq=1的int C。假设matricesP∈ Rq×D B∈ Rm×d和a向量b∈ 给出了R，并考虑了线性向量优化问题关于≤封面x∈ S、（P）具有可行集={x∈ Rd:Bx≥ b} 。问题（P）的上图是setP=P[S]+C。问题（P）的对偶问题是D最大化*（u，w）关于≤科弗（u，w）∈ T、（D）*)其中线性算子D*: Rm×Rq→ RQI定义的asD*（u，w）=（w，…，wq）-1，bTu）t用于（u，w）∈ Rm×Rq，其中K=cone{eq}表示eq=（0，…，0，1）∈ Rq，和withT={（u，w）∈ Rm×Rq:u≥ 0，BTu=PTw，cTw=1，w∈ C++。问题（D）的下方图像*) 设定好了吗*= D*[T]- K.我们现在陈述并证明了一个一般结果，该结果与下面的图像D有关*of（D）*) 具有支持功能-P、其中P是（P）的上象。支持函数Z:Rq→ R of-P定义为（参见Rockafellar 1996，第28页）Z（x）=supxTz:z∈ -P为了所有的x∈ Rq。请注意，Z（x）是相对于加权向量x的P的标量化的负值（参见L–ohne 2011，第4.1.1节）。因此，以下结果可以被视为通过P命题2.1的标量化族对强几何对偶性的重新表述（见L¨ohne 2011，定理4.40，4.41）。如果C不包含行，即如果C∩ (-C） ={0}，然后*=（w）∈ Rq:-wq≥ Zw。wq-1, 1 -Q-1Xi=1ciwi！），（2.1）Z（w）=-啜饮Y∈ R:cTw（w，…，wq）-1，y）∈ D*如果cTw>0，如果w=0，∞ 否则（2.2）证据。如果C不包含直线，则L–ohne（2011）的定理4.40和4.41（另见Hamel等人。

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可人4

2022-5-6 11:45:18

2013年，注释3.7）给出*= {w∈ Rq:~n（y，w）≥ 0Y∈ P} ，式中，双向耦合函数：Rq×Rq→ R被定义为φ（y，w）=q-1Xi=1yiwi+yq1-Q-1Xi=1ciwi！- wqfor（y，w）∈ Rq×Rq。该函数首先由Heyde&L¨ohne（2008）为特例c=（1，…，1）Tb引入，由L¨ohne&Rudloff（2014）为一般c引入。观察以下情况：φ（y，w）≥ 0代表一切∈ P当且仅当-wq≥Q-1Xi-1yiwi+yq1-Q-1Xi=1ciwi！尽管如此∈ -P、也就是说，当且仅当-wq≥ sup（q）-1Xi-1yiwi+yq1-Q-1Xi=1ciwi！：Y∈ -P） =Zw。wq-1, 1 -Q-1Xi=1ciwi！。这证明了（2.1）。现在接受任何w∈ rdw，使cTw>0。然后-Y≥ Z（w）相当于-ycTw≥ ZwcTw因为支撑函数是正齐次的。通过（2.1），最后一个不等式反过来等价于tocTw（w，…，wq）-1，y）∈ D*.这表明z（w）=-sup{y∈ R:-Y≥ Z（w）}=-啜饮Y∈ R:cTw（w，…，wq）-1，y）∈ D*当cTw>0时。如果w=0，则Z（w）=0，由支持函数定义。最后，取任意w6=0，使cTw≤ 0.自从c∈ int C，ε>0，这样C- εw∈ C.因此（C）- εw）Tw=cTw- εwTw<0，因为wTw>0。对于任何固定的x，P=P+C∈ 对于每个λ>0，我们有x+λ（c）- εw）∈ P.因此，根据支持函数的定义，Z（w）≥ -（x+λ（c）- εw）Tw=-xTw- λ（c）- εw）tw，每个λ>0。自（c）- εw）Tw<0，这意味着Z（w）=∞, 完成（2.2）的证明。备注2.2。根据命题2.1，D*=（w，…，wq）-1，y）∈ Rq:（w，y）∈ -epi Z，cTw=1, （2.3）如此*可以通过圆锥体的截面来识别-超平面{（w，y）的epi Z∈ Rq+1中的Rq×R:cTw=1}。凸集D*（取决于c）捕捉到与支持函数Z相同的信息。考虑到Z独立于c的任意选择，这一点非常显著。还要注意（2.3）和Heyde（2013，p。

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kedemingshi

2022-5-6 11:45:23

828）在更一般的设置中显示双图像。本节以一个简单的例子结束。例2.3。假设是这样=1.-11 1, B=2 11 21 00 1, b=, C=圆锥体-3.,,fix c=（0,1）T∈ 对于这个数据，我们有p={（z，z）∈ R:z≥z+4，z≥ z、 z≥ -z+4}，D*= {（w，y）∈ R:-1.≤ W≤, Y≤ 4，y- 6w≤ 6} （完整细节见L–ohne&Rudloff 2011，示例6.4）。集合P和D*如图1所示。支持函数Z在其有效域上是有限的，有效域由向量w组成∈ 像这样的xTw≤ 每x 0∈ -P、索多玛Z={w∈ R:Z（w）<∞} = {（w，w）∈ R:w≥ -w、 w≥ 3w}。每个w∈ domz线性函数x7→ xTw在一个极值点（0，-4), (-6.-6）凸集的性质-P、亨塞兹（w）=sup{xTw:x∈ -P} =最大值{-4w，-6w- 6w}。Z-6 6zPw--1码*图1：示例2.3中的上部和下部图像这意味着{（w，y）∈ R:（w，y）∈ -epi Z，cTw=1}={（w，y）∈ R:y≤ -Z（w，w），（w，w）∈ domz，w=1}={（w，y）∈ R:y≤ -Z（w，1），-1.≤ W≤}= {（w，y）∈ R:y≤ 4，y≤ 6w+6，-1.≤ W≤} = D*.这表明*与-超平面{（w，y）的epi Z∈ R×R:cTw=1}={（w，w，y）∈ R:w=1}.3欧式期权的定价和套期保值低估了交易成本3。1货币模型该模型基于过滤概率空间(Ohm, F、 P；（英尺）Tt=0）。我们假设Ohm 最后，F={, Ohm}, FT=F=2Ohm对于所有ω，P（ω）>0∈ Ohm. 对于每个t，表示为Ohmt Ft的原子集合，称为相关股票价格树模型的时间t节点。注意Ohm= {Ohm} 和OhmT={w}：ω∈ Ohm}. 对于每个t<t a节点∈ Ohmt+1据说是一个节点的成功者∈ Ohmtifν u. 我们代表所有人∈ Ohmtsuccu={ν∈ Ohmt+1:ν是u}的后继者。对于每个t，让Lt=L（Rd；Ft）为Ft可测量的Rd值dRandom变量的集合。

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mingdashike22

2022-5-6 11:45:27

我们确定了LTC的元素和功能Ohm非常方便。我们考虑了卡巴诺夫（1999）提出的离散时间货币模型，以及其他人的研究。该模型包含d资产或货币。在每个交易日t=0，1，T每个资产的一个单位k=1，d可以通过交换πjkt>0单位的资产j=1，d、我们假设所有t和j，k的交换率πjktar是可测量的，πjjt=1∈ LTC可以被转换成一个投资组合y∈ 当存在Ft可测量的随机变量βjk时，在时间t处≥ 0，j，k=1，d使得对于所有k=1，dyk=xk+dXj=1βjk-dXj=1βkjπkjt，其中βjk表示由于交换了资产j的某些单位而收到的资产k的单位数。偿付能力锥Kt LTI是在时间t时有偿付能力的投资组合集合，即在时间t时可转换为持有所有d资产的非负资产的投资组合。很容易证明K是由正则基e生成的凸锥，edof-rdj与向量πjktej- 对于j，k=1，d、这是一个多面体圆锥体。请注意，KT包含Lt的所有非负面因素。自我融资策略y=（yt）Tt=0是一个可预测的Rd价值过程（即y∈ 陆地yt∈ 书信电报-1对于t=1，T）如此- yt+1∈ 对于所有t=0，T- 给你∈ Lis是最初的捐赠，yt∈ 书信电报-1对于每个t=1，是从时间T开始持有的投资组合吗- 1到t。让Φ成为一套自我融资策略。自我融资策略y=（yt）∈ Φ被称为套利机会ify=0，存在投资组合x∈ LT\\{0}持有非负资产，如yT- 十、∈ KT。

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何人来此

2022-5-6 11:45:32

Schachermayer（2004）考虑了这种套利的概念，它的缺失在形式上是不同的，但相当于Kabanov&Stricker（2001）引入的弱无套利条件。定理3.1（Kabanov&Stricker（2001），Schachermayer（2004））。当且仅当存在一个与P等价的概率测度qe和一个Rd值Q-鞅S=（St）这样的St时，该模型才允许无套利机会∈ K+t\\{0}对于所有t，（3.1），其中K+t是Kt的对偶锥。备注3.2。满足定理3.1条件的对（Q，S）称为一致定价对。可以等效地使用所谓的一致价格过程步骤（dQdP | Ft）来代替这一对（Q，S）；参见Schachermayer（2004）。3.2欧式期权到期时间T>0且付息ξ的欧式期权∈ LTI是一种合同，赋予其持有人（即期权买方）在T时获得货币组合ξ的权利。另一方面，期权的作者（卖方）有权将该投资组合交付给买方。为了避免这种责任，作者可以遵循一种自我融资策略∈ Φ以至于- ξ ∈ KT。这种策略y的初始捐赠Yo被称为超级边缘投资组合，而策略y本身被称为欧式期权ξ的超级边缘策略。欧式期权的要价（卖方价格、超边际价格）πai（ξ），货币i=1，d可以理解为最低值x，因此由x个单位的货币i和没有其他货币组成的投资组合是ξ的套期保值投资组合。换句话说，πai（ξ）=min十、∈ R:Xeis是ξ的一个超级边缘投资组合.另一方面，为了对冲自己的头寸，期权买家希望采用一种自我融资策略∈ Φ使得yT+ξ∈ KT。

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大多数88

2022-5-6 11:45:36

在这里-Yi是期权买方可以在时间0借入的货币组合，并且可以通过遵循策略y并使用在时间T行使期权时获得的收益ξ进行结算。我们打电话-你把左舷的左舷-y欧洲期权的分档策略ξ。欧洲期权的投标价格（买方价格、分包价格）πbi（ξ），货币i=1，d可以理解为最高值x，因此由x个单位的货币i和其他货币组成的投资组合是ξ，πbi（ξ）=max的次级投资组合十、∈ R:Xeis是ξ的子边缘投资组合.这是期权持有人通过使用期权作为抵押品所能筹集到的最高金额。注意-y是欧式期权的次边缘策略ξ当且仅当y是欧式期权的超边缘策略时-ξ. 紧接着πbi（ξ）=-πai(-ξ).由于这些关系，有必要开发算法，对欧式期权中卖方（空头）头寸进行筛选和定价。3.3原始结构和双重结构本文给出的欧式期权结构是Roux&Zastawniak（2014）开发的一个特例，用于在比例交易成本下对更广泛的美式期权进行对冲和定价。在Roux&Zastawniak（2014）中，构造4.2产生了一套超边缘投资组合，在这种特殊情况下，它采用了一种特别简单的形式：o对于每个ω∈ OhmTputZωT=ξω+KωT.o如果已经为一些T=0，1，…，构造了Zt+1，T-1，那么foreachω∈ OhmtputWωt=\\ω∈succyωZωt+1，Zωt=Wωt+Kωt（将其与Roux&Zastawniak（2014）中的构造4.2联系起来）观察到Wt的公式可以简洁地写成Wt=Zt+1∩ Lt.）对于每个t，集合ZT包括所有投资组合，允许卖方通过在t和t之间遵循自我融资策略来对冲期权。

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kedemingshi

2022-5-6 11:45:39

特别是，Zis是一组超级边缘投资组合。期权的要价可以用Zasπai（ξ）=min表示十、∈ R:xei∈ Z. （3.2）上述构造涉及多面体凸集的两个标准运算，即多个此类集合的交集以及此类集合与多面体凸锥的代数体。这两种操作都可以使用现有软件库中的标准几何方法来实现，例如，帕尔马多面体库（Bagnara，Hill&Zaffianella 2008）和PolyLib（Le Verge 1992，Wilde 1993，IRISA 2001，Loechner 2010等）。当以这种方式计算出集合Zof超边际投资组合时，使用（3.2）评估期权价格πai（ξ）就成了一项常规任务。Roux&Zastawniak（2014年）通过使用Maple软件包（Franz 2009年）在有交易成本的货币市场上对欧洲期权（以及更普遍的美国式期权）进行套期保值和定价，提供了这一程序的数值实现。此外，一旦构建了ZTY，就可以直接从任何超级边缘投资组合y开始计算超级边缘策略∈ Z.也就是说，如果yt∈ Zt已经计算了一些t=0，1，T-1，我们可以做yt+1∈ （yt）- （Kt）∩Wt.由于Zt=Wt+Kt，交叉点是非空的，因此始终可以找到这样的yt+1，尽管它可能是非唯一的。自融资条件yt- yt+1∈ KT显然令人满意。此外，由于WT=Zt+1∩ 因此，yt+1是Ft可测量的，所以以这种方式构建的y将是一个可预测的过程。也就是说yt+1∈ Zt+1，这使得迭代过程成为可能。也可以使用凸对偶对象跟踪Zt的构造。我们介绍了支持函数szt（x）=supxTz:z∈ -Zt, Wt（x）=supxTz:z∈ -Wt线性函数u（x）=-xTξ为所有x定义∈ 路。

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大多数88

2022-5-6 11:45:42

如果我们需要依赖ω∈ Ohm 在这些函数中，我们将写出Zωt，Wωt，Uω。上述结构（我们称之为原始结构）现在可以用以下等价形式书写（称为双重结构）；参见Roux&Zastawniak（2014）中的引理5.5:o对于每个ω∈ OhmTZωT=K+ωT上的Uω，∞ 否则这是限制在域K+ωT内的线性函数Uω。o假设Zt+1已经为一些T=0，1，T-1.然后，对于每个节点ω∈ Ohmtlet Wωt是由ω定义的凸函数族Zωt+1的凸包∈ suchω，并设Zωt为域K+ωt:Wωt=convnZωt+1:ω的限制∈ suchωo，Zωt=Wωton K+ωt，∞ 否则一旦计算出Zha，期权的要价可以得到（见Roux&Zastawniak（2014）中的定理4.4）πai（ξ）=-闵Z（x）：x∈ Rd，xi=1.这种双重结构也适用于计算机实现。取无数多面体凸函数的凸包，并将此类函数的域限制在给定的多面体凸锥上，这些操作相当于多面体凸集上的一些标准操作，这些操作在计算机软件包中广泛可用，例如Roux&Zastawniak（2014）使用的示例中的凸库。观察到，双重构造源自Roux&Zastawniak（2014）中专门针对欧式期权的引理5.5，相当于L–ohne&Rudlo off（2014）的推论6.3中的构造。唯一的区别是，双重结构用支持函数ZT和Wt表示，而L–ohne&Rudloff（2014）使用EVT（x）=-Zt（x）和Vt（x）=-为Rd中超平面上的所有x定义的Wt（x）由条件xi=1给出。两者都是对Roux等人算法4.1中所述构造的d资产的直接扩展。

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kedemingshi

2022-5-6 11:45:45

（2008）就2项资产而言。3.4 SHP algorithmL–ohne&Rudloff（2014）考虑了欧洲期权定价和对冲的相同问题（尽管不是美式期权）。特别是，上述原始结构中的相同集合由L–ohne&Rudloff（2014）asSHPt（ξ）=Zt表示。这些作者提出了一种基于线性向量优化方法和几何对偶性的ZT的不同构造。从这个角度来看，S=WT可以被视为线性向量优化问题（P）的可行集。如果偿付能力锥k不包含行，这意味着任意两种货币之间存在非零交易成本，那么（P）中的矩阵P就是d×d单位矩阵，排序锥isC=Kt。线性向量优化问题（P）的上图isP=P[S]+C=Wt+Kt=Zt。由于C不包含直线，Benson算法（见Benson（1998）或Hamelet al.（2013））可用于计算对偶问题（D）的解*)因此，对应的下图像是D*. Benson算法同时给出了（P）的一个解，并给出了上面的图像P=Zt。我们从命题2.1知道，如果C不包含线，那么D*可通过支持函数Z的题词部分识别-P.由于P=Zt，因此Z=Zt是第3.3节中双重结构的函数。当偿付能力账户包含一些行时，就会出现一种复杂情况，这意味着有一些货币可以相互兑换，而不会产生任何交易成本。这是通过将P作为表示所谓清算图的矩阵来处理的，这是一个线性映射，表示清算除一项资产外的所有资产，这些资产可以在没有交易成本的情况下相互交换；关于P的精确定义，请参见L–ohne&Rudloff（2014）中的（4.1）。

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mingdashike22

2022-5-6 11:45:49

在这种情况下，C=P[Kt]不包含行，因为不再有任何资产可以在没有交易成本的情况下相互交换。然后线性向量优化问题（P）的上图isP=P[S]+C=P[Wt+Kt]=P[Zt]。由于C不包含直线，因此在这种情况下，本森算法也可以用于计算对偶问题（D）的解*) 因此，相应的下限为D*. Benson算法同时给出了（P）的解，并给出了上部图像P=P[Zt]。然后给出Zt={x∈ Lt:Px∈ P} 作为P在P下的倒像。再一次根据命题2.1，因为C包含零行，所以它遵循D*可通过支持函数Z的题词部分识别-P=-P[Zt]。这与Zt有关，Zt是-Zt，由Z（x）=Zt（PTx）。4示例在本节中，我们提供了一个示例来说明第3.3节中讨论的数值过程。考虑一个涉及三个资产的模型，时间范围τ=1，时间步长T=4。其中两项资产具有相关回报的风险，并遵循Korn&M¨uller（2009）的两项资产重组模型和Cholesky分解。也就是说，在每个时间步t=0，…，股票价格St=（S，S）存在（t+1）可能性，T，索引字节对（j，j），其中1≤ j、 j≤ t+1，每个具有股票价格St（j，j）的非终端节点都有四个后续节点，与股票价格St+1（j，j）、St+1（j+1，j）、St+1（j，j+1）和St+1（j+1，j+1）关联。具有 =τTde为方便起见，股票价格由t（j，j）=Se给出R-σT+（2j）-T-2)σ√,St（j，j）=SeR-σT+（2j）-T-2） ρ+（2j）-T-2)√1.-ρσ√对于t=0，T和j，j=1，t+1，其中S=45和S=50是初始股价，σ=15%和σ=20%是回报率的波动率，ρ=20%是两种股票的对数回报率之间的相关性。

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能者818

2022-5-6 11:45:52

第三项资产为无风险债券，名义利率r=5%，估值Bt=（1+r）)-（T）-t）对于t=0，T.通过允许资产价格具有恒定（成比例）的买卖价差，即买卖价格为1bt=（1），引入了比例交易成本- k） St，S1at=（1+k）St，S2bt=（1）- k） St，S2at=（1+k）St，Bbt=（1）- k） Bt，Bat=（1+k）对于t=0，T，其中k=2%，k=4%，k=1%。在每一个时间步t的交换率矩阵是πtπtπtπtπtπtπtπtπtπt=S2atS1btBatS1btS1atS2btBatS2btS1atBbtS2atBbt,SHPZ图2：超级边缘基金集合和偿付能力锥的边界为kT=coneS2at-S1bt,球棒-S1bt,-S2btS1at,球棒-S1bt,-BbtS1at,-BbtS2at.L–ohne&Rudloff（2014年，第5.2节）也考虑了该模型；请注意，本文件中对资产进行了重新排序。考虑一个实物交付和支付的交换选项ξ=（1{S1aT≥S2aT}，-1{S1aT≥S2aT}，0）在时间步T处成熟。L–ohne&Rudlo off（2014，示例5.3）报告的SHP=conv0.584-0.260-7.760,0.498-0.3310.000,0.347-0.44613.341+ K、给出了交换期权的要价，即πa（ξ）=7.418。SHP的边界如图2所示。第3.3节producesZ=conv中原始构造的应用0.584-0.260-7.760,0.498-0.3310.000,0.399-0.4068.714,0.424-0.3886.564+ K、从中可以计算出三种资产的交换期权的要价，即πa（ξ）=0.152，πa（ξ）=0.146，πa（ξ）=7.418。SHPZ和SHPZ之间存在实质性的一致性，这在视觉上是可以确认的（见图2），鉴于在要价πa（ξ）上的一致性，图3：下图D*与Zascribe相关的是，根据Benson算法中选择的误差水平，描述SHP和ZT规格的差异。

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可人4

2022-5-6 11:45:55

最后，应用双结构3.3生成支持函数Zof-Z.赛特*= {（w，w，y）：y≤ -Z（w，w，1）}是对偶问题（D）的下映像*) 选择c=（0,0,1）T。它有12个顶点48.72651.9307.081,48.72651.6817.178,45.88854.0504.981,48.72655.2015.702,45.88849.9466.048,48.72650.9557.418,48.57350.7967.395,47.76149.9467.141,46.56554.9075.012,46.81555.2014.982,46.40554.7185.018,45.88854.1084.962,如图3所示。D的最大值*y方向上为πa（ξ）=7.418。我们通过演示从初始禀赋y=（0，0，πa（ξ））T开始寻找超边缘策略y=（yt）Tt=0的过程来总结这个数值示例∈ 扎龙的价格路径如表1所示。在每个时间步t，投资组合yt（由表1中ZT边界图上的点指示）被重新平衡为aportfolioyt+1∈ （yt）- （Kt）∩ Wt Zt+1。如表1所示，对于该特定路径，集合（yt- （Kt）∩ 在时间步长t=0和t=1时，WT为单态，这意味着yt+1只有一个选择。在时间步长t=2和t=3时，该集合是一个凸多面体，yt+1的选择不再是唯一的，这意味着可以使用其他考虑因素（例如，持有一种资产的偏好，或不交易的偏好）来选择yt+1in（yt）-（Kt）∩Wt.在本演示中，我们采用了最小交易规则，即只要可能，我们就选择yt+1=yt。

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何人来此

2022-5-6 11:45:58

在最后的时间步t=4，我们有- ξ =0.641-0.4910.000-1-1.0000.000=-0.3590.5090.000∈ K.5超边际价格的表示在本节中，我们简要介绍并比较了L–ohne&Rudloff（2014）和Roux&Zastawniak（2014）关于欧洲期权的超套期保值价格表示的结果，即支付的风险中性预期ξ：πai（ξ）=sup（Q，S）∈PiEQ（（ξTST）），（5.1），其中Pi是由满足定理3.1条件的Q下的概率测度Q和anRd值鞅S组成的对集（Q，S），且每t=0，T在L–ohne&Rudloff（2014）的定理6.1中，这一结果在Schachermayer（2004）的所谓稳健无套利条件下得到了证明，并且受制于偿付能力锥不包含任何t的线的简化假设（即，任何t的交易成本都不为零）。他们的证明基于Hamel&Heyde（2010）关于超边缘投资组合集双重代表性的标度化过程。相比之下，Roux&Zastawniak（2014）的结果不受这些限制：它是在第3.1节中定义的无套利机会的假设下工作的，该假设弱于稳健的无套利条件，且无需假设偿付能力不包含任何额度。这也是适用于美式衍生品的一个更为普遍的结果，对于欧式期权，这一结果降至（5.1）。

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可人4

2022-5-6 11:46:02

该证明基于第3.3节中的对偶构造，它实际上可以用来产生一对（Q，S）来实现（5.1）中的上确界（尽管一般来说，这样的一对不存在于Pias中），Q可能是退化测度，相对于P是绝对连续的，但不一定等同于P）。6结论我们已经建立了一个紧密的联系，事实上，这三种方法之间是等价的：上述原始和对偶构造，以及L–ohne&Rudloff（2014）的SHP算法。原始构造只涉及原始对象。双重构造专门处理双重对象（支持函数）。同时，SHP算法在原始对象和双重对象之间来回切换（在这种情况下，双重问题的较低图像（D*)). 根据命题2.1，这两种类型的双重对象是一一对应的，这意味着算法之间的明显差异是微不足道的。此外，这三种方法都适合于数值实现：原始结构和双重结构利用了可用的软件库fort（j，j）ytZt（yt）- （Kt）∩ Wt0（1,1）0.0000.0007.4180.498-0.3310.0001 (2,1)0.498-0.3310.0000.641-0.4910.0002 (2,1)0.641-0.4910.0003 (3,2)0.641-0.4910.0004 (3,2)0.641-0.4910.000N/ATable 1：沿着路径处理凸集的超边缘策略，而SHP算法创新地使用了Benson的过程。在这两种方法中，限制计算效率的程序都是顶点枚举。Benson算法的一个优势是能够通过选择错误级别来控制精度与效率。

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大多数88

2022-5-6 11:46:05

另一方面，Roux&Zastawniak（2014）使用的Maple package Convergent采用了有理数的精确算法，因此除了将输入数据从实数转换为有理数（根据需要精确）之外，没有任何进位。虽然精确的有理数算法会带来巨大的计算开销，但原始算法和对偶算法是有效的，因此这在已研究的实际多步骤和多组件样本中不会成为问题，在标准PC机上，计算时间约为几分钟。与SHP算法方法相比的一个主要区别是，Roux&Zastawniak（2014）针对更广泛的美式选项开发了原始和对偶结构，并且可以处理早期练习问题。在这种情况下，欧洲期权是一个特殊的系统性远期特例。L–ohne&Rudloff（2014）的HP算法是否可以扩展到美式期权，至少在对冲和定价卖方头寸的情况下，这仍然是一个悬而未决的问题。看到这一切会很激动人心。另一方面，对SHP算法的期望是有限的。美国的选择带来了一个特别的障碍，这种方法不太可能克服。也就是说，在套期保值和定价的情况下，买方（而不是卖方）在美式期权中的头寸会导致非凸优化问题，这不太可能屈服于线性向量优化方法和几何对偶的力量。出于同样的原因，双重结构会崩溃，因为首先没有凸面双重对象可以工作。尽管如此，原始结构仍然可以用来处理这个案件；详见Roux&Zastawniak（2014）中的示例7.1。参考Bagnara，R.，Hill，P.M.和Zaffanella，E。

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nandehutu2022

2022-5-6 11:46:08

（2008），“帕尔玛多面体库：为硬件和软件系统的分析和验证提供一套完整的数值抽象”，计算机编程科学72（1-2），3-21。Benson，H.P.（1998），“在多目标线性规划问题的结果集中生成所有有效极值点的外部近似算法”，全球优化杂志13（1），1-24。Franz，M.（2009），《凸面——凸面几何的枫叶包》。网址：http://www.math.uwo.ca/~mfranz/convex/Hamel，A.H.，L–ohne，A.和Rudloff，B.（2013），用于线性向量优化的Benson型算法及其应用。ar5v3.241。Hamel，A.和Heyde，F.（2010），“集值风险度量的对偶性”，金融数学学院学报1（1），66-95。Heyde，F.（2013），“凸向量优化问题的几何对偶性”，凸分析杂志20（3），813–832。Heyde，F.和L–ohne，A.（2008），“多目标线性规划中的几何对偶”，暹罗优化杂志19（2），836–845。IRISA（2001），Polylib–多面体函数库。网址：http://www.irisa.fr/polylib/Kabanov，Y.M.（1999），“交易成本引发市场下的对冲和清算”，金融与随机3，237-248。卡巴诺夫，Y.M.，R\'asonyi，M.和Stricker，C.（2002），“具有充分摩擦的金融市场的无套利标准”，金融与随机6，371-382。Kabanov，Y.M.和Stricker，C.（2001），“交易成本下的Harrison-Pliska套利定价定理”，《数学经济学杂志》35，185–196。Korn，R.&M¨uller，S.（2009），“多资产期权二项式定价的解耦方法”，计算金融杂志12（3），1-30。Le Verge，H.（1992），关于Chernikova算法的注释，出版物interne 635，伊里萨，雷恩。洛纳，V。

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mingdashike22

2022-5-6 11:46:13

（2010），PolyLib：多面体函数库。网址：http://icps.u-strasbg.fr/polylib/L¨ohne，A.（2011），向量优化，带最小和上下限，Springer。L–ohne，A.&Rudloff，B.（2011），一种计算具有交易成本的市场中超级对冲投资组合和策略集的算法。arXiv:1107.5720v2。L–ohne，A.和Rudloff，B.（2014），“计算具有交易成本的市场中超边际投资组合集的算法”，理论与应用金融国际期刊17（2），1450012–1–1450012–33。Luc，D.T.（2011），“关于多目标线性规划中的对偶性”，欧洲运筹学杂志210（2），158-168。Rockafellar，R.T.（1996），《凸分析》，普林斯顿大学出版社，普林斯顿数学和物理里程碑。Roux，A.，Tokarz，K.和Zastawniak，T.（2008），“按比例交易成本下的期权：定价和对冲的算法方法”，应用数学学报103（2），201–219。Roux，A.和Zastawniak，T.（2014），按比例交易成本下货币市场中的美国和百慕大期权。arXiv:1108.1910v3。Schachermayer，W.（2004），“有限离散时间内资产定价低于比例交易成本的基本定理”，数学金融14（1），19-48。王尔德·D·K.（1993），《多面体操作图书馆》，雷恩斯伊里萨，拉普拉特·德里切切2157。

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