带资本的跳扩散模型的最优红利问题

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收藏 2022-05-06

英文标题：
《Optimal dividend problems for a jump-diffusion model with capital
injections and proportional transaction costs》
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作者：
Chuancun Yin, Kam Chuen Yuen
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
In this paper, we study the optimal control problem for a company whose surplus process evolves as an upward jump diffusion with random return on investment. Three types of practical optimization problems faced by a company that can control its liquid reserves by paying dividends and injecting capital. In the first problem, we consider the classical dividend problem without capital injections. The second problem aims at maximizing the expected discounted dividend payments minus the expected discounted costs of capital injections over strategies with positive surplus at all times. The third problem has the same objective as the second one, but without the constraints on capital injections. Under the assumption of proportional transaction costs, we identify the value function and the optimal strategies for any distribution of gains.
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中文摘要：
本文研究了一个公司的最优控制问题，该公司的盈余过程演化为一个具有随机投资回报的向上跳跃扩散过程。通过支付股息和注入资本来控制其流动储备的公司所面临的三类实际优化问题。在第一个问题中，我们考虑了没有注资的经典股利问题。第二个问题的目标是在任何时候都有正盈余的策略下，最大化预期的贴现股息支付减去预期的资本注入贴现成本。第三个问题的目标与第二个问题相同，但没有对注资的限制。在交易成本成比例的假设下，我们确定了收益分配的价值函数和最优策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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Optimal_dividend_problems_for_a_jump-diffusion_model_with_capital_injections_and.pdf
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大多数88

2022-5-6 19:27:18

具有注资和按比例交易成本的跳跃式差分模型的最优红利问题山东曲阜师范大学统计学院ccyin@mail.qfnu.edu.cnbDepartment香港薄扶林道香港大学统计与精算科学系，邮编：kcyuen@hku.hkNovember本文研究了一家公司的最优控制问题，该公司的Surplus过程演化为一个具有随机投资回报的向上跳跃扩散过程。通过支付股息和注入资本来控制其流动储备的公司所面临的三类实际优化问题。在第一个问题中，我们考虑了没有注资的经典股利问题。第二个问题的目标是最大化预期贴现股息支付减去在任何时候都有正盈余的情况下注资的预期贴现成本。第三个问题的目标与第二个问题相同，但不受资本注入的限制。在比例交易成本的假设下，我们确定了任何收益分配的价值函数和最优策略。关键词和短语。障碍策略，对偶模型，HJB方程，跳跃扩散，最优红利策略，随机控制。数学学科分类（2000年）。小学：93E20，91G80中学：60J75。1引言对于最优红利问题，我们可以采用最大化贴现红利期望直到可能破产的目标。这个问题首先由De Finetti[16]提出，他考虑了一个步长为±1的离散时间风险模型，并表明最优股息策略是一种障碍策略。

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mingdashike22

2022-5-6 19:27:22

Miyasawa[21]将该模型推广到公司的周期性收益具有价值的情况-1,0,1,2,3，···，并证明了广义模型的最优股利策略是barr-ier策略。随后，寻找最优股息策略的问题在保险数学文献中引起了极大关注。关于这一主题的调查，请读者阅读Avanzi[3]和Schmidli[22]。除了保险风险模型外，近年来人们还广泛研究了所谓对偶模型中的最优红利问题。其中，Avanzi等人[6]讨论了当收益额服从指数分布或指数分布的混合分布时，如何计算对偶模型在破产前的贴现股息预期，并展示了如何确定最佳股息屏障的确切值；Ava nzi和Gerber[5]研究了受扩散干扰的对偶模型的相同问题，并表明对偶模型中的最优红利策略也是一种障碍策略。为了使这个问题更有趣，在对偶模型的最优红利研究中也考虑了注资问题。Yao等人[23]在具有比例交易成本的对偶模型中研究了股息支付和股权发行的最优问题，并得出了使股息支付的预期现值最大化减去破产前发行新股权的贴现成本的最优策略。Yao等人[24]考虑了固定交易成本和比例交易成本的相同问题。Dai等人[14,15]研究了与Yao等人[23]相同的问题，分别研究了具有有界增益和指数增益的双扩散模型。Avanzi等人。

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何人来此

2022-5-6 19:27:26

[7] 当收益分布在红利和资本注入的混合指数中时，导出了具有扩散的双模型中价值函数的显式表达式。具体而言，他们证明了BarrierDivided策略是最优的，并推测在具有差异的享乐模型中，最优股息策略应该是不公平的商品分配的障碍策略。Bayraktar等人[11]研究了相同的现金注入问题，并使用光谱正L’evy过程的波动理论来显示所有正L’evy过程的障碍策略的最优性。Bayraktar等人[12]将研究扩展到交易成本固定的情况。其他相关工作可在尹和文[26]、尹、文和赵[28]、Avanzi等人[8]、姚等人[25]和张[29]中找到。本文给出了一个统一的数学框架，分析了在有比例交易成本的情况下，具有红利和注资的对偶模型的最优控制问题。关联价值函数定义为股息的预期现值减去破产前的资本注入成本。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们给出了这个问题的数学公式。第3节研究的是不注资的模式，而第4节研究的是从不破产的注资模式。

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大多数88

2022-5-6 19:27:31

最后，我们解决了第5.2节问题公式中的一般随机控制问题，假设剩余发电过程Ptat时间t由pt=x给出- pt+σpWp，t+NtXi=1Xi，t≥ 0，（2.1）其中x>0是初始值，p和σpare正常数，{Wp，t}t≥0是一个独立于齐次复合泊松过程Pnti=1Xi的标准布朗运动，{Xi}是一系列独立且同分布的随机变量，具有公共分布函数F，F（0）=0。设λ为泊松过程的强度。通过本文，我们假设E[Xi]<∞ λE[Xi]- p>0。这里，我们考虑产生投资的过程的回报率rt=rt+σRWR，t，t≥ 0，（2.2）其中{WR，t}t≥0是另一个标准的布朗运动，r和σ是稀有的正常数。假设Wp，t=ρWp，t+p1以WR，t=ρWp，t+p1的方式相关- ρWp，t，其中ρ∈ [-1，1]是常数，Wp是一个标准的布朗运动，独立于Wwp，t。将风险过程定义为时间t时公司的总资产，即随机微分方程的解ut=Pt+ZtUs-dRs，t≥ （2.3）对（2.3）的解由（参见，例如Jaschke[19，定理1]）Ut=e（R）t给出x+ZtE（右）-1s-每股股息- ρσpσRZtE（R）-1s-ds,式中e（R）t=exp{（R）-σR）t+σRWR，t}。利用半鞅的^o公式，我们可以证明U={Ut，t的极小生成元≥ 0}由g（y）=（ry）给出- p） g′（y）+（σp+ρσRy）+σR（1）- ρ） yg′（y）+λZ∞[g（y+z）- g（y）]F（dz）。（2.4）模型（2.3）是Avanzi和Gerber[5]andAvanzi等人[6]中双重模型的自然延伸。正如Avanzi等人[6]所述，双重模型适用于具有确定性支出和偶然收益的公司，其金额和频率可以通过跳跃过程pnti=1Xi建模。

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何人来此

2022-5-6 19:27:35

例如，对于制药或石油公司这样的公司，这种跳跃可以解释为发明或发现未来收益的现值。另一个例子是风险投资或研发投资。风险投资基金筛选初创公司，并选择一些公司进行投资。当出现技术突破时，就会产生跳跃。更多的例子可以在Bayraktar和Egami[10]以及Avanzi a和G erber[5]中找到。在本文中，我们用Lt表示截至时间twith L0的累计股息金额-= 0，以及截至时间t和G0的注资总额-= 0.红利控制策略ξ由随机过程ξ=（Lt，Gt）描述。如果L a和G都是非递减{Ft}适应过程，并且它们的样本路径是左极限右连续的，则称为可容许。我们用Ξ表示所有可容许红利策略的集合。初始资本为x的风险过程≥ 由策略ξ控制，由Uξ={Uξt，t给出≥ 其中Uξ是随机微分方程duξt=dPt+Uξt的解-dRt- dLξt+dGξt，t≥ 0.此外，Lξt- Lξt-≤ Uξt-总的来说，股息的数额小于可用资本的规模。设τξ=inf{t≥ 0:Uξt=0}是破产时间。然后，关联的p性能函数由v（x；ξ）=ExαZτξ给出-0-E-δtdLξt- βZτξ-0-E-δtdGξt！，（2.5）其中δ>0是贴现率，1- α (0 < α ≤ 1）是分割交易的比例成本率，1≤ β < ∞ 是资本注入的比例交易成本率。符号Ex表示以Uξ=x为条件的期望，积分在Lebesgue-Stieltjes意义上是按路径理解的。

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能者818

2022-5-6 19:27:40

我们的目标是找到价值函数v*（x） =supξ∈ΞV（x；ξ），（2.6）与最优策略ξ*∈ 使得V（x；ξ）*) = 五、*（x）为了所有的x≥ 关于最优股利的研究已经进行了很多年。解决这些最优控制问题的常用方法是猜测候选最优解，构造相应的价值函数，然后通过验证结果验证其最优性。对于研究模型，即具有随机投资回报的跳跃扩散过程，最优控制问题仍有待解决。研究的问题可以被视为是贝拉克塔尔和伊加米[10]、阿凡兹、沈和黄[7]的自然延伸。此外，我们后来可以看到，Bayraktar、Kyprianou和Yamazaki[11]中使用的方法不能应用于我们的模型，因为它们的证明依赖于L’evy过程的某些特征。为了解决本文中的最优控制问题，我们将在接下来的两部分中首先考虑两个次最优问题。3.无资本注入的最优股利问题在本节中，我们首先考虑无资本注入的股利问题。我们要说明的是，障碍策略解决了最优红利问题，而不考虑利润分配。设Ξd={ξd=（Lξd，Gξd）：（Lξd，Gξd）∈ Ξ和Gξd≡ 0}. 相关的控制过程用Uξd={Uξdt，t表示≥ 0}，其中Uξdt是随机微分方程duξdt=dPt+Uξdt的解-dRt- dLξdt，t≥ 值函数由vd（x）=supξd给出∈ΞdV（x；ξd）≡ supξd∈ΞdExαZτξd-0-E-δtdLξdt, 十、≥ 0，（3.1）其中τξd=inf{t:Uξdt=0}是策略ξd下的破产时间。接下来，我们确定了价值函数vd的形式和最优策略ξ*d使Vd（x）=V（x；ξ*d） .3.1 HJB方程和验证引理为了便于记法，表示v（x）=v（x；ξ*d）。

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mingdashike22

2022-5-6 19:27:46

如果v是两次连续可微的，那么应用随机控制理论的标准参数（见Flemingand Soner[17]）或类似于Azcue和Muler[9]的方法，我们可以证明值函数满足动态规划原理Lev（x）=supξd∈ΞExZτξd∧Te-δsdLξds+e-δ（τξd）∧T）v（Uξdτξd∧（T）,对于任何停止时间T，关联的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程为max{Lv（x）- δv（x），α- v′（x）}=0，x>0，（3.2），v（0）=0，其中L是（2.4）中定义的U的扩展生成器。HJBequation（3.2）也可以通过Avanzi等人[7]的启发式论证获得。引理3.1。（验证引理）设v为（3.2）的解。那么，v（x）≥ V（x；ξd）对于任何可采策略ξd∈ Ξd和th us v（x）≥ Vd（x）。证据对于任何容许的策略ξd∈ Ξd，put∧={s:Lξds-6=Lξds}。半鞅的伊藤公式在e中的应用-δtv（Uξdt）给定性别[e]-δ（t）∧τξd-)v（Uξdt）∧τξd-)] = v（x）+ExZt∧τξd-E-δs（L）- δ） v（Uξds）-)ds+ExXs∈∧，s≤T∧τξd-E-δsnv（Uξds）- v（Uξds）-)o-ExZt∧τξd-0-E-δsv′（Uξds）-)dLξd，cs，（3.3），其中Lξd，csi是Lξds的连续部分。从（3.2）中，我们可以看到（L- δ） v（Uξds）-) ≤ 0和V′（x）≥ α. 因此，对于∈ ∧，s≤ T∧ τξd，v（Uξds）- v（Uξds）-) ≤ -α（Lξds）- Lξds-). （3.4）由（3.3）和（3.4）可知：-δ（t）∧τξd-)v（Uξdt）∧τξd-)] ≤ v（x）- αExZt∧τξd-0-E-δsdLξds。（3.5）让t→ ∞ 在（3.5）中得出了结果。3.2候选解决方案的构建假设股息根据屏障策略ξb支付。这种策略的屏障b水平大于0。当盈余超过界限时，盈余立即作为红利发放。让lbt作为截至时间t的股息总额。

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kedemingshi

2022-5-6 19:27:50

考虑股利策略时的受控风险过程ξbisUb={Ubt，t≥ 0}，其中Ubt是以下随机微分方程的解dubt=dPt+Ubt-dRt- dLbt，t≥ 0.用Vb（x）表示如果应用了障碍策略ξbis的预期贴现红利函数，即Vb（x）=αExZTxb-0-E-δtdLbt, （3.6）式中δ>0为感兴趣的力，Txb=inf{t≥ 0:Ubt=0}。以下结果表明，作为x的函数，Vb（x）满足具有特定边界条件的积分微分方程。引理3.2。对于（2.3）的风险过程U和（2.4）的最小生成元L，如果hb（x）解hb（x）=δhb（x），0<x<b，以及hb（x）=hb（b）+α（x- b）对于x>b，加上边界条件shb（0）=0，h′b（b）=α，则hb（x）与（3.6）给出的Vb（x）重合。证据伊藤半鞅公式在e中的应用-δthb（Ubt）-) 吉维斯-δthb（Ubt）-) - hb（Ub）=Zt-0-E-δtdNbs+Zte-δs（L）- δ） hb（瑞银）-)ds+Xs<t{△Ls>0}e-δshb（瑞银）-+ △附言- △Ls）- hb（瑞银）-+ △Ps）-Zt-0-E-δsh′b（Ubs）-)DLC（3.7），其中LCS是Ls的连续部分，NBT=Xs≤t{|△Ps |>0}hb（瑞银）-+ △Ps）- hb（瑞银）-)-ZtZ∞hb（瑞银）-+ y）- hb（瑞银）-)π（dy）ds+σZth′b（Ubs）-)dWs。注意，P(△Ls>0，△Ps<0）=0，而瑞银-+ △附言≥ 瑞银-+ △附言- △Ls≥ b继续{△Ls>0，△Ps>0}。因此，Ps<t{△Ls>0}e-δshb（瑞银）-+ △附言- △Ls）- hb（瑞银）-+ △Ps）= -αPs<t{△Ls>0}e-δs△是的。注意，nb是一个局部鞅，zt-0-E-δsh′b（Ubs）-)dLcs=Zt-0-E-δsh′b（Ubs）dLcs=αZt-0-E-δsh′b（b）类金刚石。因此，对于任何适当的停止时间序列{tn，n≥ 1} 我们有-δ（tn）∧Tb）hb（Ubtn）∧（Tb）- 附录B（Ub）=-αExZtn∧肺结核-0-E-δsdLs。（3.8）出租→ ∞ 在（3.8）中得出了结果。引理3.3。Vb（x）是（0，∞).证据为了证明引理，我们使用了类似于库伦科和施密德利[20]中的论点。设x>0，y>0，l∈ (0, 1). 考虑大写字母x和y的策略LX和LY。

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何人来此

2022-5-6 19:27:55

定义Lt=lLxt+（1）- l）莱特。那么，Lt=Llx+（1-l）嗯。由于{Pt，t≥ 0}和{Rt，t≥ 0}没有负跳跃，我们有τL=τLx∨ τLy。它是Vb（lx+（1- l） y）=αExZτL-0-E-δtdLt= α-莱克斯ZτL-0-E-δtdLxt+ α(1 - l） Ex公司ZτL-0-E-δtdLyt≥ α-莱克斯ZτLx-0-E-δtdLxt+ α(1 - l）前任ZτLy-0-E-δtdLyt= lVb（x）+（1）- l） Vb（y），因此Vb的凹度如下。Vb（x）的增加是微不足道的3.3最佳验证通过B确定屏障水平*= sup{b≥ 0:V′b（b-) = α}.我们推测势垒策略ξb*这是最优的。提议3.1。B*= 0当且仅当λR∞yF（dy）≤ p、证明。在这里，我们遵循姚等人[23]的方法来证明这个命题。假设b*= 0.然后，相关的值函数为Vd（x）=αx，满足HJBequation（3.2）。因此，我们得到（Γ）-δ） Vd（x）≤ 0，从而得到λR∞yF（dy）≤p、另一方面，假设λR∞yF（dy）≤ p、那么α（s=3.w）。通过引理3.1，我们得到了w（x）≥ Vd（x）。然而，w（x）≤ Vd（x），因为w（x）=αx是与立即支付股息的策略相关的性能函数。在这种情况下，破产立即发生。因此，w（x）=Vd（x）和最佳势垒水平B*= 0定理3.1。如果λR∞yF（dy）>p，然后是函数Vb*定义在（3.6）满意度vb中*（x） =Vd（x），x≥ 0，最优障碍策略ξ*解决方案如下：*dt=dPt+Uξ*dt-dRt- dLξ*dt，t≥ 0，条件为suξ*dt≤ B*, Gξ*dt≡ 0，Z∞{Uξ*ds<b*}dLξ*ds=0。证据使用Avanzi和Gerber[5]的方法，可以证明Vb*（x）在x=b时是否连续可区分*. 因此，Vb*∈ C（R+）。

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能者818

2022-5-6 19:27:59

注意（L）- δ） Vb*（x） =0和V′b*（十）≥ x的α∈ [0，b]*) 由于Vb的凹陷性*关于[0，b]*).自从Vb*（x） =α（x）- B*) + Vb*（b）*) 为了x≥ B*, 我们有- δ） Vb*（x） =-pα+αZ∞yF（dy）- α（x）- B*) - δVb*（b）*)< -pα+αZ∞yF（dy）- δVb*（b）*)= 利克斯→B*+（L）- δ） Vb*（x） =limx→B*-（L）- δ） Vb*（x） =0，因为Vb的连续性*, V′b*, 和V′b*在x=b时*. 因此，函数Vb*满足HJB方程（3.2）。然后，根据引理3.1，Vb*（十）≥ Vd（x）。然而，Vb*（十）≤ 定义的Vd（x），因此Vb*（x） =Vd（x）。3.4两个封闭形式的解由于方程的复杂性，通常无法以明确形式获得该解。以下两个例子表明，在某些特殊情况下，可以导出闭式解。例3.1。假设r=0，σr=0。然后，Vb*（x）满足以下积分微分方程*（x） =δVb*（x），0<x<b*, （3.9）和VB*（x） =α（x）- B*) + Vb*（b）*), x>b*, （3.10）具有边界条件SVB*（0）=0，Vb*′（x） |x=b*= α、（3.11）式中g（x）=σpg′（x）- pg′（x）- λg（x）+λZ∞g（x+y）F（dy）。根据尹、文和赵[28]中使用的拉普拉斯变换的参数，可以证明（3.9）-（3.11）的解是由VB给出的*（x） =-αZ（δ）（b）*- x） +αE[x]δ和b*= （Z（δ））-1.E[X]δ,式中，Z（δ）（x）=1+δZxW（δ）（y）dy，Z（δ）（x）=ZxZ（δ）（y）dy，x∈ R.在这里，W（δ）是所谓的δ-scale函数，定义方式为：对于allx<0，W（δ）（x）=0，并且其拉普拉斯变换在[0，∞ ) 是拜兹给的∞E-θxW（δ）（x）dx=ψ（θ）- δ、 θ>sup{θ≥ 0:ψ（θ）=δ}，其中ψ（θ）=pθ+σpθ+λZ∞（e）-θx- 1） F（dx）。关于更多细节，读者请参考《阴与文》[26]。例3.2。设σR=σp=0。假设xi与参数u呈指数分布。

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nandehutu2022

2022-5-6 19:28:04

然后，通过定理3.1和引理3.2，可以证明Vb*（x）满足以下积分微分方程（rx- p） V′b*（x） +λuZ∞Vb*（x+z）e-uzdz=（λ+δ）Vb*（x），0<x<b*, （3.12）和VB*（x） =α（x）- B*) + Vb*（b）*), x>b*, （3.13）具有边界条件SVB*（0）=0，Vb*′（x） |x=b*= α. （3.14）从方程（3.12）中，我们发现了thatzg′（z）+1.-λ+δr- Zg′（z）+δrg（z）=0，其中g（z）=Vb*（x），z=u十、-公共关系.请注意，这是Kummer的反超几何方程，其解由g（z）=CM给出-δr，1-λ+δr，z+ 铜-δr，1-λ+δr，z,式中，Cand Care常数，M（a，b，x）是标准的反几何函数，U（a，b，x）是其第二种形式；例如，见Abramowitz和Stugen[1，第504-505页]。然后，它就变成了VB*（x） =厘米-δr，1-λ+δr，u（x-（公共关系）+ 铜-δr，1-λ+δr，u（x-（公共关系）.使用边界条件（3.14）和公式em′（a，b，z）=abM（a+1，b+1，z），U′（a，b，z）=-aU（a+1，b+1，z），我们得到了系数c=αU(-δr，1-λ+δr，-upr）（b）*),andC=-αM(-δr，1-λ+δr，-upr）（b）*),哪里（b）*) = -δr- λ - δU-δr，1-λ+δr，-uprM1.-δr，2-λ+δr，u（b）*-（公共关系）+δrM-δr，1-λ+δr，-uprU1.-δr，2-λ+δr，u（b）*-（公共关系）,b*是第一项的最大化者/（b）尊重b，即b*= 阿格麦克斯（b）。4.有资本注入的最优股利问题在本节中，我们考虑有资本注入的最优股利问题。容许策略集由Ξc={ξc=（Lξc，Gξc）：（Lξc，Gξc）给出∈ Ξ和Uξct≥ 0}.受控剩余过程Uξctsatiesduξct=dPt+Uξct-dRt- dLξct+dGξct，t≥ 0，值函数定义为vc（x）=supξc∈ΞcV（x；ξc）≡ supξc∈ΞcExαZ∞0-E-δtdLξct- βZ∞0-E-δtdGξct, 十、≥ 0.（4.1）由于受控盈余过程始终保持积极，公司永远不会破产。

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能者818

2022-5-6 19:28:08

我们将确定价值函数vc的形式和最优策略ξ*C这样Vc（x）=V（x；ξ*c） .4.1 HJB方程和验证引理应用第3节中使用的技术，我们得到HJB方程和验证引理。最大值{Lw（x）- δw（x），α- w′（x），w′（x）- β} =0，x≥ 0.（4.2）引理4.1。（验证引理）设w为（4.2）的解。n，w（x）≥ V（x；ξc）对于任何可采策略ξc∈ Ξc，因此w（x）≥ 我们现在构造HJB方程（4.2）的凹C解H。由于贴现率的影响，很明显，最佳策略是尽可能长时间推迟注资，也就是说，我们只在盈余为零时注资。考虑上屏障B的屏障策略*下势垒0和策略π*= （Lπ）*, Gπ*) 其中（Uπ）*t、 Lπ*,xt，Gπ*,x）是以下系统的解决方案duπ*t=dPt+Uπ*T-dRt- dLπ*t+dGπ*t、（4.3）0≤ Uπ*T≤ B*, T≥ 0，（4.4）Lπ*,xt=最大值（x- B*, 0）+Zt-0-1（Uπ）*s=B*)dLπ*s、 t>0，（4.5）Gπ*,xt=最大值- inf0≤s≤t（Ps- Lπ*s），0, t>0。（4.6）引理4.2。对于（4.3）-（4.6）的问题，如果H（x）solv esLH（x）=δH（x），0<x<B*,H（x）=H（B*) + α（x）- B*) 对于x>B*边界条件sh′（0）=β，H′（B*) = α、其中最小生成元L由（2.4）给出，那么H（x）由H（x）=V（x；π）给出*) ≡ 前任αZ∞0-E-δtdLπ*,xt- βZ∞0-E-δtdGπ*,xt, 十、≥ 0.（4.7）证据。对于策略π*, 定义∧={s:Lπ*,xs-6=Lπ*,xs}。设Lπ*,x、 ctbe是Lπ的连续部分*,xt。由于过程是向下无跳的，Gπ*,这是连续的。此外，我们可以从（4.6）中看到Gπ*,xt≥ 0和Stieltjes测度dGπ的支持度*,包含在集合{t:Uπ的闭包中*t=0}。

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能者818

2022-5-6 19:28:13

伊藤半鞅公式在e中的应用-δtH（Uπ）*t） givesEx[e]-δtH（Uπ）*T-)] = H（x）+ExZte-δs（L）- δ） H（Uπ）*s） ds+ExXs∈∧，s≤te-δsH（Uπ）*（s）- H（Uπ）*s-)-ExZt-0-E-δsH′（Uπ）*s-)dLπ*,x、 cs+ExZt-0-E-δsH′（Uπ）*s-)dGπ*,xs。（4.8）注意（L）- δ） H（Uπ）*s） =0，那么exxs∈∧，s≤te-δsH（Uπ）*（s）- H（Uπ）*s-)= αXs≤te-δs（Lπ）*,xs- Lπ*,xs-),ExZt-0-E-δsH′（Uπ）*s-)dLπ*,x、 cs=ExZt-0-E-δsH′（Uπ）*s） dLπ*,x、 cs=αExZt-0-E-δsdLπ*,x、 cs，ExZt-0-E-δsH′（Uπ）*s-)dGπ*,xs=ExZt-0-E-δU（sH′）*s） dGπ*,xs=βExZt-0-E-δsdGπ*,xs。然后，它跟随着-δtH（Uπ）*T-)] = H（x）- αExZt-0-E-δsdLπ*,xs+βExZt-0-E-δsdGπ*,xs。（4.9）自limt→∞例如-δtH（Uπ）*T-)] ≤ 极限→∞例如-δtH（B）*)] = 0，让t→ ∞ 在（4.9）和中，使用单调收敛定理yieldH（x）=αExZ∞0-E-δsdLπ*,xs- βExZ∞0-E-δsdGπ*,xs=V（x；π）*).引理4.3。V（x；π）*) 是（0，∞).证据与引理3.3的证明类似，我们使用了Kulenko和Schmidli[20]的论点。设x>0，y>0，l∈ (0, 1). 考虑策略（Lπ）*,x、 Gπ*,x）和（Lπ）*,y、 Gπ*,y）对于首字母x和y，定义Lt=lLπ*,xt+（1）- l） lπ*,ytandGt=lGπ*,xt+（1）- l） Gπ*,嗯。那么，Lt=Lπ*,lx+（1）-l）嗯。我们有lx+（1）- l） y+ZtE（右）-1s-每股股息- ρσpσRZtE（R）-1s-ds-中兴通讯（R）-1s-（l dLπ）*,xs+（1）- l） dLπ*,ys）+中兴通讯（R）-1s-（l dGπ）*,xs+（1）- l） dGπ*,ys）=lx+ZtE（右）-1s-每股股息- ρσpσRZtE（R）-1s-ds-中兴通讯（R）-1s-dLπ*,xs+E（R）tZtE（R）-1s-dGπ*,xs+(1 - l）y+ZtE（右）-1s-每股股息- ρσpσRZtE（R）-1s-ds-中兴通讯（R）-1s-dLπ*,Y+E（R）tZtE（R）-1s-dGπ*,Y≥ 0.这表明策略（Lt，Gt）是可容许的，并且是thatGπ*,lx+（1）-l） yt≤ lGπ*,xt+（1）- l） Gπ*,嗯。它遵循t hatV（lx+）（1- l） y，π*) = EαZ∞0-E-δtdLπ*,lx+（1）-l） yt- βZ∞0-E-δtdGπ*,lx+（1）-l） yt≥ 乐αZ∞0-E-δtdLπ*,xt- βZ∞0-E-δtdGπ*,xt+(1 - l） EαZ∞0-E-δtdLπ*,yt- βZ∞0-E-δtdGπ*,yt= lV（x，π）*) + (1 - l） V（y，π）*),这意味着V的凹度。V（x；π）递增性的证明*) 这是例行公事。

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mingdashike22

2022-5-6 19:28:18

4.3最佳验证确定屏障水平asB*= sup{B≥ 0:H′（B）-) = α}.我们推测势垒策略π*这是最优的。定理4.1。（4.7）中定义的值函数H满足（x）=Vc（x）=supξc∈ΞcVξc（x），以及联合策略π*= （Lπ）*, Gπ*) 是最优的，其中（Lπ*, Gπ*) 由（4.5）和（4.6）给出。证据注意（L）- δ） H（x）=0和α≤ H′（x）≤ β代表x∈ [0，B]*) 由于[0，B]上的H是共通的*). 为了x≥ B*H（x）=α（x- B*) + H（B）*), 我们有- δ） H（x）=-pα+αZ∞y∏（dy）- α（x）- B*) - δH（B）*)< -pα+αZ∞y∏（dy）- δH（B）*)= 利克斯→B*+（L）- δ） H（x）=limx→B*-（L）- δ） H（x）=0。由于H的连续性，H′和H′在x=B时*. 因此，函数H表示HJBequation（4.2）。通过引理4.1，我们得到H（x）≥ Vc（x）。另一方面，H（x）≤ Vc（x）。因此，H（x）=Vc（x）。4.4两个闭式解我们现在给出两个可以导出闭式解的例子。例4.1。假设r=0，σr=0。然后，H（x）满足以下积分微分方程a（x）=δH（x），0<x<B*, （4.10）和h（x）=α（x- B*) + H（B）*), x>B*, （4.11）边界条件为sh′（0）=β，H′（B）*) = α、（4.12）式中g（x）=σpg′（x）- pg′（x）- λg（x）+λZ∞g（x+y）F（dy）。同样，使用拉普拉斯变换的参数，可以证明（4.10）和（4.11）的解由h（x）给出-αZ（δ）（B）*- x） +αE[x]δ和b*= （Z（δ））-1.βα,其中，示例3.1中定义了Z（δ）（x）和Z（δ）（x）。在α=1的情况下，这些公式是在Bayraktar、Kyprianou和Yamazaki[11]中通过使用光谱正L’evy过程的波动理论得到的。例4.2。设σR=σp=0。假设xi与参数u呈指数分布。

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能者818

2022-5-6 19:28:22

然后，通过定理4.1和引理4.2，H（x）满足以下积分微分方程（rx- p） H′（x）+λuZ∞H（x+z）e-uzdz=（λ+δ）H（x），0<x<B*, （4.13）和h（x）=α（x）- B*) + H（B）*), x>B*, （4.14）边界条件为sh′（0）=β，H′（B）*) = α. （4.15）重复实施例3.2中的步骤，我们得到h（x）=CM-δr，1-λ+δr，u（x-（公共关系）+ 铜-δr，1-λ+δr，u（x-（公共关系）.常数C和C可根据边界条件（4.15）确定。使用公式em′（a，b，z）=abM（a+1，b+1，z），U′（a，b，z）=-aU（a+1，b+1，z），我们得到c=β- α- ,andC=α- β- ,哪里= -δr- λ - δM1.-δr，2-λ+δr，-upr,=δrU1.-δr，2-λ+δr，-upr,= -δr- λ - δM1.-δr，2-λ+δr，u（B）*-（公共关系）,=δrU1.-δr，2-λ+δr，u（B）*-（公共关系）.给你，B*是关于b的下列方程的唯一解：-δr- λ - δCM1.-δr，2-λ+δr，u（b）-（公共关系）+δrU1.-δr，2-λ+δr，u（b）-（公共关系）= α、 5无约束问题的解决方案我们现在考虑控制问题（2.6），对注资没有任何限制。在这种情况下，r uin可能发生，并且控制策略ξ的r uin时间被定义为τξ=inf{t:Uξt=0}，这是由于扩散和无跳向下剩余过程。然后，对于所有x，它遵循（3.1）、（4.1）和（2.5）≥ 0，Vξ（x）≥ max{Vd（x），Vc（x）}。我们将决定*最优策略ξ*以至于*（x） =V（x；ξ）*).5.1验证Lemma对于不限制人均注射的控制问题，我们得到以下相关HJB方程：max{Lv（x）- δv（x），α- v′（x），v′（x）- β} =0，x≥ 0，（5.1）与边界条件max{-v（0），v′（0）- β} = 0. （5.2）引理5.1。（验证引理）如果v满足HJB方程（5.1）和边界条件（5.2），则v（x）≥ Vξ（x）对于任何可容许策略ξ。证据对于任何可容许的策略ξ∈ Ξ，put∧={s:Lξs-6=Lξs}。

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mingdashike22

2022-5-6 19:28:27

半鞅的伊藤公式在e中的应用-δtv（Uξt）给定性别[e]-δ（t）∧τξ）v（Uξt∧τξ-)] = v（x）+ExZt∧τξ-E-δs（L）- δ） v（Uξs）-)ds+ExXs∈∧，s≤T∧τξ-E-δsnv（Uξs）- v（Uξs）-)o-ExZt∧τξ-0-E-δsv′（Uξs）-)dLξ，cs+ExZt∧τξ-0-E-δsv′（Uξs）-)dGξs，（5.3）其中Lξ，csi是Lξs的连续部分。我们从（5.1）中看到：- δ） v（Uξds）-) ≤ 0和α≤ v′（x）≤ β. 因此，ExZt∧τξ-0-E-δsv′（Uξs）-)dGξs≤ βExZt∧τξ-0-E-δsdGξs，（5.4）和∈ ∧，s≤ T∧ τξ，v（Uξs）- v（Uξs）-) ≤ -α（Lξs）- Lξs-). （5.5）根据（5.3）和（5.5）得出-δ（t）∧τξ）v（Uξt∧τξ-)] ≤ v（x）- αExZt∧τξ-0-E-δsdLξs+βExZt∧τξ-0-E-δsdGξs.（5.6）最后，通过让t→ ∞ 在（5.6）中，注意到（通过Fat-ou引理）lim inf→∞例如-δ（t）∧τξ）v（Uξt∧τξ-)] ≥ Ex[lim inft→∞E-δ（t）∧τξ）v（Uξt∧τξ)] ≥ v（0）Ex[e-δτξ)] ≥ 0，我们证明了引理。5.2任何x的候选解决方案的构造≥ 0，我们将候选策略设置为ξ*=(ξ*d、如果V′b*(0) ≤ β,ξ*c、如果H（0）≥ 0，（5.7）和我们对beVξ的候选解*（x） =（Vd（x），如果V′b*(0) ≤ β、 Vc（x），如果H（0）≥ 0，（5.8），其中Vd和Vc分别由（3.1）和（4.1）以及Vb给出*和H分别由（3.6）和（4.7）给出。5.3最优性验证第5.1条。值函数Vξ*在（5.8）满足性ξ中定义*（x） =V*（x） =supξ∈ΞV（x；ξ），以及连接策略ξ*（5.7）中定义的是最佳的。证据如果V′b*(0) ≤ β、然后Vb*用条件（5.2）满足等式（5.1）。因此，Vb*（十）≥ 五、*（x）。另一方面，Vb*（x） =V（x；ξ）*d）≤ Vd（x）。接下来是vξ*（x） =Vb*（x） =Vd（x）。ξ的最优性*由定理3.1验证。如果H（0）≥ 0，则H满足HJB方程（4.1），因此H（x）≤ Vc（x）。由于H也满足方程（5.1）和条件（5.2），H（x）≥ V（x；ξ）*c）≥ Vc（x）。因此，我们有vξ*（x） =V（x；ξ）*c） =Vc（x）。ξ的最优性*cis由定理4.1验证。

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