然后是可测量的间隔Rpt（x，x）：=Pht（x，A，C），Pct（x，-A.-C）被称为套期保值r和交易对手之间OTC合同（A，C）t时的双边定价范围。请注意，在我们的讨论中，我们实际上讨论了至少三个不同的套利概念：（A.1）一级资产交易可能产生的套利机会的经典定义，（A.2）与某个合同中的长期对冲头寸相关的套利机会，以及同一合同中的短期未对冲头寸；在这种情况下，时间0的合同价格被认为是由市场外部给出的，也就是说，它是由供求规律驱动的（参见给定合同中套利的定义3.3），（a.3）套利机会与套期保值者和交易对手可能需要不同的溢价来实施各自的复制策略这一事实有关；如果这种套利机会a上升，则参与OTC合同的双方都可以同时获得这种套利机会，且价格由双方协商（定义3.11）。请注意，在案例（C.2）中，对于第三方，即可以同时从一方“购买”合同并向另一方“转售”的交易员，会出现立即转售套利机会。具体而言，如果Pht（x，A，C）≤ 0和Pct（x，-A.-C） >0，则第三方可以与套期保值者进行交易，以面对(-A.-C） 接受-Pht（x，A，C）≥ 0，同时与对方签订合同，以面对（A，C）并获得Pct（x，-A.-C） >0。这种绩效设置策略会立即产生Pct（x，-A.-C）- 对于第三方，Pht（x，A，C）>0。4定价BSDE和复制策略NEXT的目的是表明可以通过解决合适的BSDE找到套期保值者和交易对手的价格及其复制策略。

为此，我们将使用多维连续martinga-les驱动的BSDE的一些辅助结果（见[14]和其中的参考文献）。在提案4.1和4.2中，我们将表明如果xx≥ 然后是价格Pht（x，A，C）和pCT（x，-A.-C） 由公共（ePl，G）-loc al鞅esl，cld（当x≥ 0，x≥ 0）或公共（ePb，G）-loc al鞅b，cld（当x≤ 0，x≤ 0). 相反，当不平等性xx<0成立时，比如x>0和x<0，那么价格分别与ESL、cld和ESB、cld驱动的两个BSDE的解有关。因此，为了使用BSDE的比较定理确定公平（或可预测）双边价格的范围，我们首先需要为双方找到一个合适的BSDE定价变量，该变量将由一个共同的连续局部鞅驱动（见第5.2节）。4.1风险资产建模以显示BSDE定价解决方案的存在，我们需要通过对基础市场模型施加特定条件来补充假设3.1和3.2。对于任意d×d矩阵m，18 T.Nie和m.Rutkowski，m的范数由| | | | | | | |：=Tr（mm）给出*). 在下一个假设中，上标k代表l或b。假设4.1我们假设：（i）过程CLD是一个连续的、平方可积的（ePk，G）-鞅，并且对于ePk下的过滤G具有可预测的表示特性（PRP），（ii）存在一个Rd×d-值、G-适应过程MK，使得Hesk，cldit=Ztmku（mku）*du（4.1），其中mk（mk）*是可逆的，存在一个常数Km>0，这样，对于所有t∈ [0，T]，| | | | | | | | | |+| | | |（mkt）*)-|||| ≤ Km，（4.2）（iii）价格过程Si，i=1，2，风险资产的数量是有限的。请注意，条件（4.2）表示过程满足[14]中的假设5.2。

尽管假设价格为Si，i=1，2，d是有界的，这可以被视为一个相当合理的现实要求，但在常用的金融模型（包括古典布莱克和斯科尔斯模型）中，它很少得到满足。同样值得注意的是，条件（4.2）可能显得过于严格。为了放宽这一条件，我们需要对heSl、cldi过程施加更严格的条件。具体而言，我们定义了矩阵值过程SSt：=St0。00街。0............0 0 . . . Sdt.定义4.1如果存在常数∧>0dXi，j=1（γtγ），我们说γ满足椭圆度条件*t） Ijaij≥ ∧| a |=∧a*a、 尽管如此∈ RDT∈ [0，T]。（4.3）我们考虑以下假设，应将其视为假设4.1的替代方案。同样，上标k等于l或b。假设4.2我们假设：（i）过程k，cldis是一个连续的，平方可积的，（ePk，G）-鞅，并且具有关于过滤G的PRP，在ePk下，（ii）等式（4.1）与适应G的过程mk保持一致，使得mk（mk）*是可逆且令人满意的（mk）*= Sγγ*其中G适应过程的d维方阵γ满足椭圆度条件（4.3）。备注4。1我们将证明，当风险集合的价格由扩散型模型给出时，可以很容易地满足假设4.1或4.2。例如，我们可以假设每个有风险的ass etSi，i=1，2，d有P下的除息价格动态，由DSIT=Sit给出uitdt+dXj=1σijtdWjt, 或是维度S>0，过程S=*满意度=St（utdt+σtdWt）定价，含融资成本和担保19，其中W=（W，…，Wd）*是d维布朗运动，u=（u。

，ud）*是一个Rd值d，FW适应过程，σ=[σij]是满足椭圆度条件的FW适应过程的d维平方矩阵。我们现在设置G=FW，我们还记得，相对于自然过滤FW，d维布朗运动W具有可预测的表示性质；该财产由定义的流程（4.5）共享。假设相应的红利过程由Ait=RtκiuSiudu给出，我们得到desi，l，cldt=（Blt）-1.dSit+dAit- rltSitdt= （Blt）-1信息uit+κit- rltdt+dXj=1σijtdWjt.如果我们表示Sl，cld=（S1，l，cld，…，Sd，l，cld）*和u+κ- rl=（u+κ）- rl，ud+κd- rl）*, 然后是desl，cldt=（Blt）-第一ut+κt- rltdt+σtdWt.我们设定为：=σ-1t（ut+κt）- rlt）对于所有的t∈ [0，T]我们定义了概率度量(Ohm, FWT）bydePldP=exp-ZTatdWt-ZT | at | dt. （4.4）Neplis等价于P，根据Girsanov定理，过程fW:=（fW，fW，…，fWd）*是EPL下的布朗运动，其中dfwt:=dWt+atdt=dWt+σ-1t（ut+κt）- rlt）dt。（4.5）很明显，在EPLDESL下，cldt=（Blt）-第一σtdfWt。因此，如果过程u、σ和κ是有界的，那么过程sesi、l、cld、i=1、2、，d是连续的，平方可积的，（ePl，G）-鞅。此外，ESL，cldequalsheSl，cldit=Ztmlu（mlu）的二次变化*duml（ml）*= SγS和γ：=（Bl）-1σ. 显然，ml（ml）*是可逆的，因此假设4.2是满足的。此外，如果过程Si，i=1，2，d是有界的，那么过程满足条件（4.2），因此假设4.1在k=l.4.2套期保值者的价格和复制策略下有效。从现在起，我们在假设Qt=t的情况下工作，每t∈ [0，T]在假设3中。[14]中的1，以及[14]第3-5节中的所有结果（尤其是在定义spac ebH2的形式，dλ）。

请注意，这一假设与假设4.1和4.2中的任何一个都是一致的。此外，我们假设过程rl，rband ri，bfor i=1，2，d是非负的，有界的。以下结果描述了套期保值者的价格和套期保值策略。回想一下AC:=A+C+FCT和FCT=-Zt（不列颠哥伦比亚大学，波士顿大学）-1C+udBc，bu+Zt（Bc，lu）-1C-udBc，陆。在[14]之后，但Qt=t，我们用| X | bH2，d:=EP表示所有Rd值d，G-适应过程X的子空间ZTkXtkdt< ∞. （4.6）同样，让bL代表所有实值、GT可测随机变量η的空间，使得|η| bL=EP（η）<∞.20 T.Nie和M.RutkowskiDe定义4.2如果过程AC，lbelongs to hand the随机变量AC，Lt to lunderepl，则合同（A，C）可以不解除约束。合同（A，C）在过程AC，bbelongs tobHand随机变量AC，Btlunderepb下是可容许的。建议4.1（i）假设假设4.1或假设4.2中的k=l，然后对于任何实数x≥ 0和EPL下允许的任何合同（A，C），套期保值者的除息价格满足Ph（x，A，C）=Bl（Yh，l，x- 十）- 其中（Yh，l，x，Zh，l，x）是BSDE的唯一解决方案（dYh，l，xt=Zh，l，x，*tdeSl，cldt+eflt、 Yh，l，xt，Zh，l，xtdt+dAC，lt，Yh，l，xT=x。（4.7）独特的复制策略等于=ξ, . . . , ξd，ψl，ψb，ψ1，b，ψd，b，ηb，ηl在哪里，对每个人来说∈ [0，T]和i=1，2，d、 ξit=Zh，l，x，it，ψi，bt=-（英国广播公司Bi）-1（ξitSit）+，ηbt=-（不列颠哥伦比亚省，英国电信）-1C+t，ηlt=（Bc，lt）-1C-t、 ψlt=（Blt）-1.BltYh，l，xt+Pdi=1（ξitSit）-+,ψbt=-（Bbt）-1.BltYh，l，xt+Pdi=1（ξitSit）--.（ii）满足假设4.1或假设4.2中的k=b。

那么对于任何实数x≤ 0和EPB下允许的任何合同（A，C），套期保值者的除息价格满足（x，A，C）=Bb（Yh，b，x- 十）- 其中（Yh，b，x，Zh，b，x）是BSDE的唯一解决方案（dYh，b，xt=Zh，b，x，*tdeSb，cldt+efbt、 Yh，b，xt，Zh，b，xtdt+dAC、bt、Yh、b、xT=x。（4.8）独特的复制策略等于=ξ, . . . , ξd，ψl，ψb，ψ1，b，ψd，b，ηb，ηl在哪里，对每个人来说∈ [0，T]和i=1，2，d、 ξit=Zh，b，x，it，ψi，bt=-（英国广播公司Bi）-1（ξitSit）+，ηbt=-（不列颠哥伦比亚省，英国电信）-1C+t，ηlt=（Bc，lt）-1C-t、 ψlt=（Blt）-1.BbtYh，b，xt+Pdi=1（ξitSit）-+,ψbt=-（Bbt）-1.BbtYh，b，xt+Pdi=1（ξitSit）--.证据首先假设x≥ 0.然后，根据[14]中的定理4.1和5.1，我们知道，如果假设4.1或假设4.2中的k=l满足，并且AC，l∈班德AC，中尉∈然后BSDE（4.7）有一个独特的解决方案（Yh，l，x，Zh，l，x）。因此，从[2]中的命题5.2，我们得到ph（x，A，C）=Bl（Yh，l，x）- 十）- C.此外，如第2.3节所述，复制策略可以独特构建。鉴于[2]中的备注5.3，当初始捐赠满足x时，可以进行类似分析≤ 0 . 备注4。2让我们对命题4中复制策略的独特性给出一些评论。1.我们只考虑x时的情况≥ 0，因为类似的参数适用于案例x≤ BSDE（4.7）解的唯一性意味着如果（Y，Z）和（Y，Z）是BSDE（4.7）的两个解，则ZT | Yt- Yt | dt+ZTk（mlt）*Zt- （mlt）*Ztkdt= 0.（4.9）具有融资成本和抵押21的定价在假设4.1下，存在一个常数Kmt，使得| | | |（mlt）*|||| ≥ K和常数K，如| | | | | | | | | |≤ K.因此，从（4.9）中我们可以得出ZTkStZt- StZtkdt= 0

（4.10）在假设4.2下，k=l，我们得到了ml（ml）*= Sγγ*S和thusEePlZTk（mlt）*（Zt）- Zt）kdt= EePlZT（ZT- （Zt）*Sγγ*S（Zt）- Zt）dt.由于γ满足椭圆度条件，因此存在一个常数∧>0，因此ZT（ZT- （Zt）*Stγγ*St（Zt）- Zt）dt≥ ∧EePlZTkStZt- StZtkdt.我们得出结论，在假设4.1和4.2（k=l）中的任何一种情况下，等式（4.10）由BSDE（4.7）的任意两个解满足。从上述论点和复制策略的结构（见命题4.1）可以看出：=ξ, . . . , ξd，ψl，ψb，ψ1，b，ψd，b，ηb，ηl,我们知道唯一性是关于Pl的等价意义 l. 此外，对于ξ=（ξ，…，ξd）*, ψl，ψ带ψ=（ψ1，b，…，ψd，b）*唯一性存在于以下规范kаk:=EePl中ZTkStξtkdt+ZT（|ψlt |+|ψbt |）dt+ZTkψtkdt.4.3交易对手的价格和复制策略首先让我们注意到，鉴于第2.5条，我们(-（A）-C=-AC.使用定义3.8，可以为交易对手证明以下结果。提案4.2假设提案4.1中第（i）或（ii）部分的假设满足x≥ 0和x≤ 分别为0。然后，交易对手的除息价格满足每t∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C） =-Blt（Yc，l，xt）- x） +Ct{x≥0}-Bbt（Yc、b、xt）- x） +Ct{x≤其中（Yc，l，x，Zc，l，x）和（Yc，b，x，Zc，b，x）分别是BSDE的唯一解（dYc，l，xt=Zc，l，x，*tdeSl，cldt+eflt、 Yc，l，xt，Zc，l，xtdt- dAC，lt，Yc，l，xT=x，（4.11）和（dYc，b，xT=Zc，b，x，*tdeSb，cldt+efbt、 Yc，b，xt，Zc，b，xtdt- dAC、bt、Yc、b、xT=x。（4.12）独特的复制策略等于=ξ, . . . , ξd，ψl，ψb，ψ1，b，ψd，b，ηb，ηl在哪里，对每个人来说∈ [0，T]和i=1，2。

，d，ξt=Zc，l，xt{x≥0}+Zc，b，xt{x≤0}，ψi，bt=-（英国广播公司Bi）-1（ξitSit）+，ηbt=-（不列颠哥伦比亚省，英国电信）-1C-t、 ηlt=（Bc，lt）-1C+t和ψlt=（Blt）-1.BltYc，l，xt{x≥0}+BbtYc，b，xt{x≤0}+Pdi=1（ξitSit）-+,ψbt=-（Bbt）-1.BltYc，l，xt{x≥0}+BbtYc，b，xt{x≤0}+Pdi=1（ξitSit）--.22 T.Nie和M.Rutkowski5套利价格的性质要求我们考虑带有再抵押现金抵押品的外汇保证金账户的特殊情况。外生属性意味着C不依赖于策略和策略的价值。我们用x（分别，x）表示套期保值者（分别，交易对手）的初始捐赠。我们将研究双方在以下情况下的定价和套期保值问题：–初始捐赠满足x≥ 0和x≥ 0–初始捐赠满足x≤ 0和x≤ 0–初始捐赠满足xx≤ 0.我们的目标是为上述三种情况中的每种情况（分别见提案5.1、5.2和5.4）确定单边价格的不平等性，从而得出公平双边价格的范围。在最后一种情况下，即xx≤ 0我们还研究了单调契约类的性质（见第5.2.2节）。最后，我们研究了单边收益相对于初始禀赋的单调性，并推导了马尔可夫框架下的定价偏微分方程。5.1等号初始禀赋首先假设双方都有正初始禀赋，即x≥ 0和x≥ Nie和Rutkowski[14]（见[14]中的定理5.2）给出了命题5.1的证明，其中还证明了由多维鞅驱动的BSDE的可测比较定理。5.1假设4.1或假设4.2（k=l）成立。

如果x≥ 0和x≥ 0，那么对于任何合同（A，C），我们有∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePl- a、 因此，公平双边价格Rft（x，x）的范围几乎肯定是非空的。在第二步中，我们假设双方都有积极的初始禀赋，即x≤ 0和x≤ 0.正如Remar k 3.1中所解释的，我们现在需要假设rbt≤ ri，btfori=1，2，d、 5.2号提案的起草推迟到附录中。假设5.2假设4.1或假设4.2，k=b。如果x≤ 0，x≤ 0Rb≤ i=1，2，d、 那么对于EPBW下可接受的任何合同（A，C），我们有∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePb- a、 因此，公平双边价格Rft（x，x）的范围几乎肯定是非空的。5.2相反符号的初始捐赠我们现在考虑当双方的初始捐赠具有相反符号时的情况，具体来说，我们认为≥ 0和x≤ 0.从命题4.1和命题4.2中，得出ph（x，A，C）=Bl（Yh，l，x- 十）- 其中（Yh，l，x，Zh，l，x）是BSDE的唯一解（dYh，l，xt=Zh，l，x，*tdeSl，cldt+eflt、 Yh，l，xt，Zh，l，xtdt+dAC，lt，Yh，l，xT=x和Pc（x，-A.-C） =-（Bb（Yc，b，x）- x） +C）其中（Yc，b，x，Zc，b，x）是BSDE（dYc，b，xt=Zc，b，x，*tdeSb，cldt+efbt、 Yc，b，xt，Zc，b，xtdt- dAC、bt、Yc、b、xT=x。包含融资成本和抵押23的定价请注意，Yh、l、xis的BSDE由（ePl、G）-loc al鞅ESL、cld驱动，但Yc、b、xis的SDEB由（ePb、G）-loc al鞅ESB、cld驱动。现在，我们将尝试找到另一个与P和a（eP，G）-局部鞅CLD等价的概率度量，使得与Ph（x，a，C）和Pc（x，a，C）相关的BSD都由一个公共（ePb，G）-局部鞅CLD驱动。如果我们表示Yh，l，x=Bl（Yh，l，x- x） ，那么Ph（x，A，C）=eYh，l，x- C

鉴于（2.14）和（2.16），我们得到了deyh，l，xt=-xdBlt+Yh，l，xtdBlt+BltdYh，l，xt=- xrltBltdt+rltBltYh，l，xtdt+BltZh，l，x，*BLESDT+CLTDLt、 Yh，l，xt，Zh，l，xtdt+dACt=- xrltBltdt+rltBltYh，l，xtdt+Pdi=1Zh，l，x，itdSit- rltSitdt+dAit+ 佛罗里达州t、 BltYh，l，xt，Zh，l，xtdt- rltBltYh，l，xtdt+dACt=- xrltBltdt+Pdi=1Zh，l，x，itdSit- rltSitdt+dAit+Pdi=1rltZh，l，x，itSitdt-Pdi=1ri，bt（Zh，l，x，itSit）+dt+rltBltYh，l，xt+Pdi=1（Zh，l，x，itSit）-+dt- rbtBltYh，l，xt+Pdi=1（Zh，l，x，itSit）--dt+dACt=- xrltBltdt+Pdi=1Zh，l，x，itdSit+dAit+ g（t，BltYh，l，xt，Zh，l，xt）dt+dACtwhereg（t，y，z）=-Pdi=1ri，bt（ziSit）+rlty+Pdi=1（ziSit）-+- rbty+Pdi=1（ziSit）--. （5.3）Upo n表示Zh，l，x=Zh，l，x，我们得到了deyh，l，xt=Pdi=1eZh，l，x，itdSit+dAit- xrltBltdt+gt、 啊，我，xt+xBlt，以斯，我，xtdt+dACt。类似地，如果我们表示Eyc，b，x=-Bb（Yc，b，x- x） andeZc，b，x=-Zc，b，x，那么反对党的精神等于Pc（x，A，C）=eYc，b，x- C.考虑到（2.15），（2.17）和（5.3），我们得到了deyc，b，xt=xdBbt- Yc，b，xtdBbt- BbtdYc，b，xt=xrbtBbtdt- rbtBbtYc，b，xtdt- BbtZc，b，x，*tdeSb，cldt- Bltefbt、 Yc，b，xt，Zc，b，xtdt+dACt=XRBTBTDT- rbtBbtYc，b，xtdt-Pdi=1Zc，b，x，itdSit- rbtSitdt+dAit- fbt、 BbtYc，b，xt，Zc，b，xtdt+rbtBbtYh，l，xtdt+dACt=XRBTBTDT-Pdi=1Zc，b，x，itdSit+dAit- g（t，BltYc，b，xt，Zc，b，xt）dt+dACt=Pdi=1eZc，b，x，itdSit+dAit+ xrbtBbtdt- GT-eYc，b，xt+xBbt，-eZc，b，xtdt+dACt。以下假设分别基于假设4.1和4.2。假设5.1我们假设：（i）存在一个与P等价的概率度量，使得过程sesi，cld，i=1，2。

，dgiven bydeSi，cldt=dSit+dAit- β-itSitdt（5.4）对于某些G适应过程β-Isatizing rb≤ βi≤ ri，b是连续的平方可积（ePβ，G）鞅，且其PRP对ePβ下的过滤G有响应，（ii）存在一个Rd×d值，G-适应过程m，使得Hescldit=Ztmum*udu，（5.5）24 T.Nie和M.Rutkowskim（M）*是可逆的，存在一个常数Km>0，这样，对于所有t∈ [0，T]，| | | | | | | | |+| | | |（mt）*)-|||| ≤ Km，（5.6）（iii）价格过程Si，i=1，2，风险资产的数量是有限的。假设5.2我们假设：（i）存在一个与P等价的概率度量，使得过程sesi，cld，i=1，2，由（5.4）决定的是（ePβ，G）-c连续的平方可积鞅，并且在ePβ下过滤G的PRP，（ii）条件（5.5）与G-适应过程m保持一致，使得*是可逆的，由mm给出*= Sγγ*其中G适应过程的d维方阵γ满足椭圆度条件（4.3）。备注5。回忆一下-1.dSit- rltSitdt+dAit, deSi，b，cldt=（Bbt）-1.dSit- rbtSitdt+dAit.因为RLI是非负且有界的，所以我们得到C<（Bl）-对于某些常数C，1<1。然后假设5.1，βi=rli相当于假设3.1。类似的评论也适用于其他假设。我们在提案N3.2和rb中提到了这一点≤ βi≤ ri，b，我们知道，在假设5.1或假设5.2下，我们的部分净额结算模型是无套利的，考虑到套期保值者和反向交易方与x，x的任何合约∈ R.评论5。

2与备注4.1中的假设类似，上述假设很容易满足扩散型市场模型；细节留给读者。定义5.1我们认为，当AC∈班德法案∈失误β。对于（5.3）给出的g，让我们定义（t，x，y，z）：=dXi=1zitβitSit+(-xrltBlt+g（t，y+xBlt，z））1{x≥0}+ (-xrbtBbt+g（t，y+xBbt，z））1{x≤0}和gc（t，x，y，z）：=dXi=1zitβitSit+（xrltBlt-g（t，-y+xBlt，-z） ）1{x≥0}+（xrbtBbt）-g（t，-y+xBbt，-z） ）1{x≤0}.下一个结果是命题4.1和命题4.2的对比。鉴于本小节开头的讨论，命题5.3是[14]中定理4.1的一个相当直接的结果，因此省略了它的证明。建议5.3假设5.1或假设5.2有效。考虑一个在EPβ下可容许的任意合同（A，C）。那么Ph（x，A，C）=eYh，x-C和Pc（x，-A.-C） =eYc，x-其中（eYh，x，eZh，x）是BSDE的唯一解（deYh，xt=eZh，x，*tdeScldt+gh（t，x，eYh，xt，eZh，xt）dt+dACt，eYh，xt=0，（5.7）和（eYc，x，eZc，x）是BSDE（deYc，xt=eZc，x，*tdeScldt+gc（t，x，eYc，xt，eZc，xt）dt+dACt，eYc，xt=0，（5.8）带有融资成本和抵押的定价25此外，套期保值者的独特复制策略等于=ξ, . . . , ξd，ψl，ψb，ψ1，b，ψd，b，ηb，ηl每个t在哪里∈ [0，T]和i=1，2，dξit=eZh，x，it，ψi，bt=-（英国广播公司Bi）-1（ξitSit）+，ηbt=-（不列颠哥伦比亚省，英国电信）-1C+t，ηlt=（Bc，lt）-1C-t、 ψlt=（Blt）-1.呃，xt+xBlt{x≥0}+xBbt{x≤0}+Pdi=1（ξitSit）-+,ψbt=-（Bbt）-1.呃，xt+xBlt{x≥0}+xBbt{x≤0}+Pdi=1（ξitSit）--.联合国对交易对手的复制策略等于=ξ, . . . , ξd，ψl，ψb，ψ1，b，ψd，b，ηb，ηl每个t在哪里∈ [0，T]和i=1，2。

，dξit=-eZc，x，it，ψi，bt=-（英国广播公司Bi）-1（ξitSit）+，ηbt=-（不列颠哥伦比亚省，英国电信）-1C-t、 ηlt=（Bc，lt）-1C+t.和ψlt=（Blt）-1.-eYc，xt+xBlt{x≥0}+xBbt{x≤0}+Pdi=1（ξitSit）-+,ψbt=-（Bbt）-1.-eYc，xt+xBlt{x≥0}+xBbt{x≤0}+Pdi=1（ξitSit）--.对于一个ll x，可以检查gh（t，x，0，0）=gc（t，x，0，0）=0∈ R.认为任何合同（A，C）在EPβ下都是可接受的。此外，如果ACI是一个递减过程，那么对于任何x，x∈ R、 哦，x≥ 0andeYc，x≥ 0，其中（eYh，x，eZh，x）是BSDE（5.7）的唯一解，（eYc，x，eZc，x）是BSDE（5.8）的唯一解。因此，Ph（x，A，C）≥ -C和Pc（x，-A.-C）≥ -C.如果过程ACI增加，那么对于任何x，x∈ 我们有≤ 0安第依克，x≤ 0，所以ph（x，A，C）≤ -C和Pc（x，-A.-C）≤ -C.例5.1在例3.1中，我们考虑了At=P1[0，T]（T）+X1[T]（T）和C=0的合同（a，C）。首先假设X≤ 0; 例如，对于欧洲看涨期权X=-（坐下- K） +对于欧洲看跌期权X=-（K）- 坐）+。然后，很明显，这个过程- A=A- 人工智能在下降。那么，对于任何x∈ R、 Pht（x，A，C）和Pct（x，-A.-C） 是积极的，这意味着交易对手是卖方，交易对手是买方。类似地，如果X≥ 例如，对于欧洲看涨期权X=（SiT- K） +对于欧式看跌期权X=（K- 然后，对于任何x∈ R、 Pht（x，A，C）和Pct（x，-A.-C） 是负面的，意味着交易对手是卖方，套期保值者是买方。我不得不说，单边期权价格的这种性质是意料之中的。5.2.1总承包合同i，cld，i=1，2，在假设5.1下，我们可以将比较定理应用于BSDE（5.7）和（5.8），以建立以下命题（证明见第6节）。建议5.4假设5.1或假设5.2有效。假设x≥ 0，x≤0和rb≤ i=1，2，D

那么下面的陈述是有效的。（i） 如果xx=0，则对于任意契约（A，C），在epβ和所有t下可容许∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePβ- a、 因此，公平双边价格Rft（x，x）的范围几乎肯定是非空的。（ii）让rland rbt具有确定性，并满足所有t的rlt<rbt∈ [0，T]。然后不等式（5.9）适用于所有合同（A，C）的容许uβ和所有t∈ [0，T]当且仅当xx=0.26时，Nie和M.Rutkowskine注意到，如果xx=0，那么从命题5.1和命题5.2中，我们知道期望的不等式在各自的假设下成立。然而，在当前的命题中，我们是在假设5.1下工作的，因此不确定定价不平等是否仍然存在。最后，对于案例x≤ 0，x≥ 0，可以显示以下结果是有效的。赞成立场5.5的主张与主张5.4相似，因此被省略。假设假设5.1或假设5.2有效。假设x≤ 0，x≥0和rb≤ i=1，2，d、 那么以下陈述是有效的。（i） 如果xx=0，则对于任意契约（A，C），在epβ和所有t下可容许∈ [0，T]Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePβ- a、 因此，公平双边价格Rft（x，x）的范围几乎肯定是非空的。（ii）让rland rbt具有确定性，并满足所有t的rlt<rbt∈ [0，T]。然后不等式（5.10）适用于所有合同（A，C）的容许uβ和所有t∈ [0，T]当且仅当xx=0。备注5。3在命题5.4的假设下，可以证明命题5.1和命题5。2在EPβ下保持，即如果xx≥ 0，那么对于任何t∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePβ- a、 美国。

（5.11）事实上，使用与命题5.4的证明类似的论点，我们可以证明gh（t，x，y，z）- gc（t，x，y，z）≤Pdi=1 | ziSit|（rlt）- ri，bt）1{x≥0，x≥0}+（rbt）- ri，bt）1{x≤0，x≤0}≤ 因此，利用命题5.3和BSDE的比较定理，我们得到了期望的等式（5.11）。5.2.2单音现金流的合同如果xx<0，那么从命题5.4的证明中，我们知道对于一些合同（A，C），我们有Pcbt（x，-A.-C）≥ Phbt（x，A，C）表示某些bt∈ [0，T]。下一个定理表明，对于一些特殊的e s类合同（A，C），不等式Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x、A、C）适用于所有∈ [0，T]。定理5.1假设5.1或假设5.2有效。如果x≥ 0，x≤ 0，那么对于任意契约（A，C），在epβ下是可容许的，这样过程aci在（0，T）上减少，对于每T∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePβ- a、 因此，公平双边价格Rft（x，x）的范围几乎肯定是非空的。证据来自命题5.3和不等式x≥ 0，x≤ 0，我们知道对于EPβ下可容许的任何契约（A，C），我们有Ph（x，A，C）=eYh，l，x- C和Pc（x，-A.-C） =eYc，b，x- Cwhere（eYh，l，x，eZh，l，x）是BSDE（6.2）的唯一解决方案，（eYc，b，x，eZc，b，x）是BSDE（6.3）的唯一解决方案。由于l（t，x，0，0）=gc，b（t，x，0，0）=0，ACis是一个递减过程，那么，从BSDE的比较定理来看，我们得到了h，l，x≥ 0andeYc，b，x≥ 0

自从x≥ 0，BSDE（5.7）为零（deYh，l，xt=eZh，l，x，*tdeScldt+egh，l（t，x，eYh，l，xt，eZh，l，xt）dt+dACt，eYh，l，xt=0，（5.12）带有融资成本和抵押的定价27，其中，所有者egh，l（t，x，y，z）不依赖于x，由（回想一下，\'zit=ziSit）egh，l（t，x，y，z）：=Pdi=1βit\'zit给出-Pdi=1ri，bt（\'zit）++rlty+rltPdi=1（\'zit）-.自那时起，b（t，x，y，z）=Pdi=1βit¨zit+Pdi=1ri，bt(-\'zit）++xrbtBbt-rlt- y+xBbt+Pdi=1(-“‘青春痘’-++ rbt- y+xBbt+Pdi=1(-“‘青春痘’--≥Pdi=1βit-zit+Pdi=1ri，bt(-\'zit）++xrbtBbt- rbt- y+xBbt+Pdi=1(-“‘青春痘’-=Pdi=1βit-zit+Pdi=1ri，bt(-\'\'青春痘）+rbty- rbtPdi=1(-“‘青春痘’-,我们得到了g，l（t，x，eYh，l，xt，eZh，l，xt）- gc，b（t，x，eYh，l，xt，eZh，l，xt）≤ （rlt）- 是的，我是-Pdi=1ri，bt | eZh，l，x，itSit |+rltPdi=1（eZh，l，x，itSit）-+ rbtPdi=1(-以斯，l，x，itSit）-= （rlt）- rbt）eYh，l，xt+Pdi=1（rlt- （以斯，以斯，以斯，以斯，以斯）-+Pdi=1（rbt- 国际广播电台（英国电信）(-以斯，l，x，itSit）-≤ 0.BSDEs giveseYh，l，xt的比较定理≥eYc，b，Xt和Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），每t∈ [0，T]。定理5.2假设5.1或假设5.2有效。如果x≤ 0，x≥ 0，那么对于一个任意合约（A，C），在epβ下是可容许的，这样过程aci在（0，T）上增加，对于每T∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePβ- a、 因此，公平双边价格Rft（x，x）的范围几乎肯定是非空的。证据

来自命题5.3和x≤ 0，x≥ 我们知道Ph（x，A，C）=eYh，b，x- C和PC（x，-A.-C） =eYc，l，x- 其中（eYh，b，x，eZh，b，x）是以下BSDE的唯一解（deYh，b，xt=eZh，b，x，*tdeScldt+gh，b（t，x，eYh，b，xt，eZh，b，xt）dt+dACt，eYh，b，xt=0，（5.13），其中gh，b（t，x，y，z）：=Pdi=1zitβitSit- xrbtBbt+g（t，y+xBbt，z）。（eYc，l，x，eZc，l，x）是以下BSDE的唯一解决方案（deYc，l，xt=eZc，l，x，*tdeScldt+gc，l（t，x，eYc，l，xt，eZc，l，xt）dt+dACt，eYc，l，xt=0，（5.14），其中gc，l（t，x，y，z）：=Pdi=1zitβitSit+xrltBlt- g（t，-y+xBlt，-z） 。由于b（t，x，0，0）=gc，l（t，x，0，0）=0，并且假设过程是递增的，从[14]中的定理3.3，我们得到了h，b，x≤ 0andeYc，l，x≤ 0.因此，自从x≥ 0，我们看到gc，l（t，x，y，z）不依赖于x和gc，l（t，x，y，z）=egc，l（t，x，y，z）：=Pdi=1βit′zit+Pdi=1ri，bt(-“青春痘）+rlty- rltPdi=1(-“‘青春痘’-28 T.Nie和M.Rutkowski，其中我们通常表示“zit=ziSit”。此外，函数gh，b（t，x，y，z）满足sgh，b（t，x，y，z）=Pdi=1βit¨zit-Pdi=1ri，bt（\'zit）+- XRBTBT+rlty+xBbt+Pdi=1（\'zit）-+- rbty+xBbt+Pdi=1（\'zit）--≤Pdi=1zitβitSit-Pdi=1ri，bt（\'zit）+- xrbtBbt+rbty+xBbt+Pdi=1（\'zit）-=Pdi=1βit’zit-Pdi=1ri，bt（\'zit）++rbty+rbtPdi=1(-“‘青春痘’-和thusgh，b（t，x，eYh，b，xt，eZh，b，xt）- （下，下，下，下，下，下）≤ （加拿大皇家银行）- 是的，b，xt-Pdi=1ri，bt | eZh，b，x，itSit |+rltPdi=1(-（以斯，b，x，it）-+ rbtPdi=1（eZh，b，x，itSit）-= （加拿大皇家银行）- rlt）eYh，b，xt+Pdi=1（rlt）- 国际广播电台（英国电信）(-（以斯，b，x，it）-+Pdi=1（rbt- （以斯，b，x，itSit）-≤ 0.BSDE s giveseYh，b，x的比较定理≥eYc，l，x和Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C）ePβ-A.s.，每t∈ [0，T]。备注5。4.考虑一个契约（a，C），使得ACI是（0，T）上的一个递减过程≥ 然后，从命题的证明中，我们看到Ph（x，A，C）不依赖于初始财富x，也就是说，对于每个x，y∈ R+我们有Ph（x，A，C）=Ph（y，A，C）。

这取决于Ph（x，A，C）=eYh，l，x- C、 其中（eYh，l，x，eZh，l，x）是B SDE（5.12）的唯一解，它独立于x。请注意，上述关系取决于条件x≥ 确实，当x≤ 0，则Ph（x，A，C）不具有独立性。此外，对于anyx∈ R、 价格Pc（x，-A.-C） 没有这样的财产。最后，对于合约（a，C），比如在（0，T）上的递增过程，如果x≥ 0，然后是Pc（x，-A.-C） 不依赖于初始财富x，但Ph（x，A，C）不具备这种特性。从其财务解释来看，上述财产直观地清晰可见。本质上，套期保值者非负正财富价格的独立性是等式（2.8）中最后一个约束的结果，该约束规定套期保值者不能将其初始捐赠用于套期保值。当然，当他出售股票来复制期权时，就像看跌期权一样，那么，很明显，他的初始捐赠是正的这一事实也是相关的。备注5。5假设x>0且x<0。我们声称，如果rland RBA是确定性的，并且满足所有t的rlt<RBT∈ [0，T]，然后我们就可以找到一个数据库∈ [0，T]和一个合同（a，C），该合同具有一个递增的过程，例如PCBT（x，-A.-C） >Phbt（x，A，C），ePβ- a、 为此，必须考虑一个合同（a，C），其中C=0，At=p1[0，T]（T）+α1[T，T]（T），其中∈ （0，T），rt∈ （rlt，rbt）每t∈ [0，T]和α满意度0<α≤ 闵xBlt，-xBbt.我们设定x=x-α（Blt）-1.≥ 0，我们定义了策略=ξ, . . . , ξd，ψl，ψb，ψ1，b，ψd，b，ηb，ηl其中ξi=ψi，b=ψb=ηb=ηl=0，对于所有i=1，2。

，d和ψlt=x1[0，t）+（Blt）-1.xBlt+α[t，t]。那么我们就有vt（x，ν，A，C）=xBlT+αeRTtrludu=十、- α（Blt）-1.BlT+αeRTtrludu=x（BlT）=VT（x）。以融资成本和抵押物定价。因此，套期保值者的自我融资策略（x，~n，A，C）复制了[0，T]上的合同（A，C），事实上，这是唯一的复制策略。根据定义3.7，Ph（x，A，C）=x-x=-α（Blt）-1.现在让我们从对方的角度来考虑合同。外汇=x+α（Bbt）-1.≤ 0，我们定义了战略=eξ，eξd，eψl，eψb，eψ1，b，eψd，b，eηb，eηl其中eξi=eψi，b=eψl=eηb=eηl=0，对于所有i=1，2，d和ψbt=ex1[0，t）+（Bbt）-1.exBbt+α[t，t]。然后我们有VT（ex，e~n，A，C）=exBbT+αeRTtrbudu=xBbT=VT（x）。因此，自我融资策略（例如，-A.- C） 是合同的独特复制策略(-A.-C） 在[0，T]上，从定义3.8来看，Pc（x，-A.-C） =x- 前任=-α（Bbt）-1.此外，由于rl<rbandα>0，我们得到thatPh（x，A，C）=-α（Blt）-1< -α（Bbt）-1=Pc（x，-A.-C） 。因此，在rl<rb的假设下，我们找到了一个合同（a，C）和一个日期bt=0，这样Pc（x，-A.-C） >Ph（x，A，C）。这意味着（A，C）的双边优惠pric esRp（x，x）范围不为空。5.3价格的单调性关于初始捐赠，如前一小节所示，初始捐赠在价格平等中起着重要作用。在下文中，我们将更详细地研究初始捐赠对股息价格的影响。鉴于备注5.3，我们只需要在假设5.1下工作。建议5.6假设假设5.1或假设5.2有效，并假设合同（a，C）在EPβ下可接受。

然后套期保值者的价格满足：（i）如果≥ 十、≥ 0，然后是（\'x，A，C）≤ Pht（x，A，C），（5.15）（ii）如果0≥ \'x≥ x、 然后（\'x，A，C）≥ Pht（x，A，C），（5.16）和交易对手的价格满意度：（i）如果≥ 十、≥ 0，然后是Pct（\'x，-A.-C）≥ Pct（x，-A.-C） ，（5.17）（ii）如果0≥ \'x≥ x、 然后是Pct（`x，-A.-C）≤ Pct（x，-A.-C） 。（5.18）证据。让我们表示gl，h（x）：=-xrltBlt+g（t，y+xBlt，z），gb，h（x）：=-xrbtBbt+g（t，y+xBbt，z）和gl，c（x）：=xrltBlt- g（t，-y+xBlt，-z） ，gb，c（x）：=xrbtBbt- g（t，-y+xBbt，-z） 式中，t（y，z）=-Pdi=1ri，bt（ziSit）+rlty+Pdi=1（ziSit）-+- rbty+Pdi=1（ziSit）--.如果我们表示K:=y+Pdi=1（ziSit）-安德克：=-y+Pdi=1(-（齐西特）-, 然后，h（x）=-xrltBlt+rlt（xBlt+K）+- rbt（xBlt+K）-= -rlt（xBlt+K）+rlt（xBlt+K）+- rbt（xBlt+K）-+ rltK=rlt（xBlt+K）-- rbt（xBlt+K）-+ rltK=（rlt）- rbt）（xBlt+K）-+ rltK30 T.Nie和M.Rutkowskiandgb，h（x）=-xrbtBlt+rlt（xBbt+K）+- rbt（xBbt+K）-= -rbt（xBbt+K）+rlt（xBbt+K）+- rbt（xBbt+K）-+ rbtK=（rlt）- rbt）（xBlt+K）+rbtK。类似地，gl，c（x）=（rbt- rlt（xBlt+eK）-- rlteKandgb，c（x）=（rbt- rlt）（xBlt+K）+- rbtK。因此，函数egl，h（x）和egb，c（x）相对于x增加，而函数segb，h（x）和egl，c（x）相对于x减少。因此，根据BSDE的比较理论，如果≥ 十、≥ 0，然后是neyh，l，x≤其中（eYh，l，x，eZh，l，x）是BSDE（6.2）的唯一解决方案。此外，eYc，l，x≥其中（eYc，l，x，eZc，l，x）是BSDE（5.14）的唯一解决方案。然后从备注5.3中，我们推断（5.15）和（5.17）成立。为了0≥ \'x≥ 我们可以用类似的参数证明（5.16）和（5.18）是有效的。通过结合命题5.2–5.6，我们得到以下结果，总结了unilatera l价格的性质。定理5.3假设5.1或假设5.2有效。

那么，对于EPβ下可接受的任何合同（A，C），以下声明有效：（i）如果≥ 十、≥ 0，那么就算是t∈ [0，T]Pct（x，-A.-C）≤ Pct（`x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C）≤ Pht（x，A，C）。（5.19）（ii）如果0≥ \'x≥ x、 那么不管怎样∈ [0，T]Pht（\'x，A，C）≥ Pht（x，A，C）≥ Pct（x，-A.-C）≥ Pct（`x，-A.-C） 。（5.20）此外，如果rland rba是确定性的，并且满足所有t的rlt<rbt∈ [0，T]，那么对于\'x>0>x，存在（bt，A，C）这样的pcbt（x，-A.-C） >Phbt（`x，A，C）≥ 多氯联苯，-A.-C） 还有（bt，A，C）这样的phbt（\'x，A，C）≥ 多氯联苯，-A.-C） >Phbt（x，A，C）。推论5.1在命题5.6的假设下，对于任何合同（A，C）和任何日期∈ [0，T]Pct（0，-A.-C）≤ Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C）≤ Pht（0，A，C），（5.21），因此Rft（x，x） Rft（0,0）。上述推论表明，与初始财富为零的投资者相比，初始捐赠为正或负的投资者在任何时间t签订任何合同（a，C）都具有潜在优势。这一结论是合理的，因为借贷利率高于借贷利率。事实上，对于相同的策略，当初始捐赠为零的投资者需要在合同中借款或进行套期保值时，初始捐赠为正的投资者可以将其初始财富中的资金用于相同的目的。类似地，当初始捐赠为零的投资者需要借钱或贷款以实施其对冲策略时，初始捐赠为负的投资者可以使用ca sh的附加值来偿还其债务。这些特点创造了一个比较优势。利用推论5.1和命题5.6，我们可以检验Pht（x，A，C）和Pct（x，-A.-C） 当初始捐赠x趋于∞ 或-∞.提案n 5.7中包含融资成本和担保的定价使提案5.6中的假设有效。

对于任何合同（A、C）和任何日期t∈ [0，T]，存在G-适应过程，用Ph，A，C，+T，Ph，A，C表示，-t、 个人电脑，-A.-C、 +tandPc，-A.-C-t、 例如，thatPh，A，C，+t，Ph，A，C，-t、 个人电脑，-A.-C、 +t，Pc，-A.-C-T∈ [Pct（0，-A.-C） ，Pht（0，A，C）]=Rf（0，0）和LimX→+∞Pht（x，A，C）=Ph，A，C，+t≥ 个人计算机-A.-C、 +t=limx→+∞Pct（x，-A.-C） ，limx→-∞Pht（x，A，C）=Ph，A，C，-T≥ 个人计算机-A.-C-t=limx→-∞Pct（x，-A.-C） 。证据这句话很容易从命题5.6和推论5.1中得出。我们只能有Ph，A，C，+t≥ Pc，A，C，+和Ph，A，C，-T≥ Pc，A，C，-t、 这四个过程之间的其他比较结果尚不清楚。事实上，如果rland是确定性的，并且对于每个t∈ [0，T]，然后存在（bt，A，C），比如ph，A，C，+bt≥ Pc，A，C，+bt>Ph，A，C，-英国电信≥ Pc，A，C，-bt，以及存在的（bt，A，C），例如，-英国电信≥ Pc，A，C，-bt>Ph，A，C，+bt≥ 现在，我们考虑一个合同（A，C）和t的特殊情况∈ [0，T]这样，Ph，A，Ct:=minnPh，A，C，+T，Ph，A，C，-到≥ maxnPc，-A.-C、 +t，Pc，-A.-C-to=：Pc，-A.-计算机断层扫描。然后个人计算机-A.-Ct，Ph，A，Ct对于初始捐赠相同但随意的所有投资者，双边公平定价范围是否意味着个人计算机-A.-Ct，Ph，A，Ct=\\十、∈R[Pct（x，-A.-C） ，Pht（x，A，C）]=\\x∈RRft（x，x）。使用[14]中的Proposition 3.1，也可以确定以下关于初始捐赠的单边除息价格的稳定性。为了方便读者，我们回顾了[14]中使用的两种Lipschitz条件的替代版本（参见[14]中的定义2.1和3.1）。

让h：Ohm ×[0，T]×R×Rd→ R是一个G B（[0，T]） B（R） B（Rd）-可测量函数，使得h（·，·，y，z）是适用于任何固定（y，z）的G-适应过程∈ R×Rd，设m为假设5.1或假设5.2中引入的过程。定义5.2我们认为，如果存在一个常数，那么对于所有t∈ [0，T]和y，y∈ R、 z，z∈ Rd，| h（t，y，z）- h（t，y，z）|≤ L（| y）- y |+kz- zk），P- a、 s.（5.22）我们说，如果存在两个严格正的和G-适应的过程ρ和θ，那么h满足m-Lipschitz条件∈ [0，T]和y，y∈ R、 z，z∈ Rd，| h（t，y，z）- h（t，y，z）|≤ ρt|y- y |+θtkm*t（z）- z） k.（5.23）定理5.4让假设5.1或假设5.2有效。那么对于在epβ下可容许的任何契约（A，C），都存在一个常数k，如ep“supt”∈[0，T]| Pht（x，A，C）- Pht（x，A，C）|+支持∈[0，T]| Pct（x，-A.-C）- Pct（x，-A.-C）|#≤ K | x-x | 32 T.Nie和M.RutkowskiProof。

从备注5.3中，我们得到了Pht（xi，A，C）=eYh，xit-每一个t∈ [0，T），其中（eYh，xi，eZh，xi）是以下BSDE的解（deYh，xit=eZh，xi，*tdeScldt+gh（t，xi，eYh，xit，eZh，xi，*t） dt+dACt，eYh，xiT=0，（5.24），其中gh（t，x，y，z）：=Pdi=1βitzitSit+g（t，y+xBlt，z）- xrltBlt{x≥0}+g（t，y+xBbt，z）- xrbtBbt{x≤0}.不难检查，如果xx≥ 0，则存在常数K，它只取决于rland rb的界，因此| gh（t，x，y，z）- gh（t，x，y，z）|≤ K | x- x |。因此，如果xx<0，那么| gh（t，x，y，z）- gh（t，x，y，z）|≤ |gh（t，x，y，z）- gh（t，0，y，z）|+|gh（t，0，y，z）- gh（t，x，y，z）|≤ K | x |+K |x |=K |x- x |。我们得出结论，存在一个常数K，它只取决于rland rb的界，例如| gh（t，x，y，z）- gh（t，x，y，z）|≤ K | x- x |，对于所有x，x∈ R.根据假设5.1（分别为假设5.2），对于固定的x∈ R、 gh（t，x，y，z）满足（5.23），ρ=θ=bL，其中常数取决于rl，rb，ri，带Sifor i=1，2，d、 以及| m |的下界（分别，常数取决于下界rl，rband ri，b）。因此，始终存在一个常数，使得驾驶员通过ρ=θ=bL的过程满足L ipschitz条件（5.23）。因此，如[14]中的第3.2节所述，我们推断空间sbHλ和bh（分别是空间sblλ和bL）可以识别，因为相关规范是等效的。此外，可以检查α-1gh（t，x，0，0）∈波黑。通过应用[14]中的命题3.2，存在一个常数K，如thatEP监督∈[0，T]| Pht（x，A，C）- Pht（x，A，C）|= EP监督∈[0，T]|耶，xt-哦，xt|≤ Kα-1gh（t，x，eYh，xt- （表演，以斯，下）- α-1gh（t，x，eYh，xt- （表演，以斯，下）伯克希尔哈撒韦≤ K | x- x |。类似地，我们可以检查对方的价格是否存在同样的不平等。

5.4初始捐赠的价格独立性我们现在将证明，对于特定类别的合同，价格独立于初始捐赠。值得注意的是，在[15]中研究的伯格曼模型中，模拟ous结果并不成立。提议n 5.8让x≥ 0且假设5.1或假设5.2均有效。考虑EPβ下可容许的任意契约（A，C）。如果这个过程- ACis递减，那么价格Pht（x，A，C）与x，s无关，对于所有x，Pht（x，A，C）=Pht（0，A，C）≥ 0.证明。自从x≥ 根据命题5.3，套期保值者在EPβ满足Pht（x，A，C）=eYh，l，xt下的任何合约（A，C）的价格可容许-其中（eYh，l，x，eZh，l，x）是以下BSDE（deYh，l，xt=eZh，l，x，*tdeScldt+gh，l（t，x，eYh，l，xt，eZh，l，xt）dt+dACt，eYh，l，xt=0，（5.25）带有融资成本和抵押的定价33，其中gh，l（t，x，y，z）：=Pdi=1βitzist- xrltBlt-Pdi=1ri，bt（ziSit）+rlty+xBlt+Pdi=1（ziSit）-+- rbty+xBlt+Pdi=1（ziSit）--.因为gh，l（t，x，0，0）=0，过程AC- 当ACI减小时，我们从BSDE的比较定理（例如，参见[14]中的定理3.3，其中U=AC）中推断- A和U=0）即H，l，x≥ 0.从x开始≥ 因此，BSDE（5.25）可以表示为（deYh，l，xt=eZh，l，x，*tdeScldt+egh，l（t，x，eYh，l，xt，eZh，l，xt）dt+dACt，eYh，l，xt=0，（5.26），其中egh，l（t，x，y，z）的属独立于x和等于（回想一下，\'zit=ziSit）egh，l（t，x，y，z）：=Pdi=1βit\'zit-Pdi=1ri，bt（\'zit）++rlty+rltPdi=1（\'zit）-.显然，BSDE（5.26）的唯一解决方案独立于x，因此价格Pht（x，A，C）=eYh，l，xt- CTC也享有同样的优势。5.5套期保值者价格的正同质性我们再次考虑套期保值者的价格，并证明其与合同规模和非负初始收益正同质。

请注意，如果只有合同的规模（但不是初始捐赠）由非负的计数λ来衡量（当然，除非价格独立于初始捐赠，如提案5.8所示），则该地产不再有效。提议n 5.9让x≥ 0且假设5.1或假设5.2均有效。考虑EPβ下可容许的任意契约（A，C）。如果过程是C∈那么对于所有λ∈ R+Pht（λx，λA，λC）=λPht（x，A，C）。（5.27）证据。很明显，对于λ=0，（5.27）成立。假设λ>0。一次是从命题中获得的。我们知道Ph（x，A，C）=eYh，l，x-其中（eYh，l，x，eZh，l，x）是（5.25）的唯一解。此外，Ph（λx，λA，λC）=eYh，l，λx- λC，其中（eYh，l，λx，eZh，l，λx）是以下BSDE（deYh，l，λxt=eZh，l，λx，*tdeScldt+gh，l（t，λx，eYh，l，λxt，eZh，l，λxt）dt+λdACt，eYh，l，λxt=0。回想一下AC=A+C+FCt，其中FCt:=-RtrcuCudu。那么Ph（x，A，C）=Y这里（Y，Z）是下列BSDE的唯一解（因为（A，C）是可容许的，而C∈bH，该BSDE的位置易于检查）（dYt=Z1，*tdeScldt+gh，l（t，x，Yt+Ct，Zt）dt+d（At+FCt），Yt=0。类似地，Ph（λx，λA，λC）=Ywhere（Y，Z）是以下BSDE（dYt=Z2，*tdeScldt+gh，l（t，λx，Yt+λCt，Zt）dt+λd（At+FCt），Yt=0。（5.28）34 T.Nie和M.Rutkowski对于Y:=λYand Z=λZ，我们有（dYt=Z）*tdeScldt+λgh，l（t，x，λ-1Yt+Ct，λ-1Zt）dt+λd（At+FCt），YT=0。（5.29）因此，为了完成程序，必须观察等式λgh，l（t，x，λ-1y+Ct，λ-1z）=gh，l（t，λx，y+λCt，z）满足所有λ>0。5.6欧洲索赔和相关定价PDEs为简化陈述，我们假设d=1，因此只有一项风险资产S=S。然而，很明显，本小节中获得的结果可以轻松扩展到多资产情况。

此外，我们假设利率和利率是决定性的。我们研究从固定时间开始的未定权益的未合并欧元的评估和套期保值∈ [0，T]，也就是说，我们设置C=0。在到期日T>0时，欧元风格的通用路径独立声明支付单一现金流H（ST），因此- A=-H（ST）1[T，T]（T）。对于任何固定的t<t，风险资产S在P下具有除息价格动态，由以下表达式给出，即u∈ [t，t]，dSu=u（u，Su）du+σ（u，Su）dWu，St=s∈ O，（5.30），其中W是一维布朗运动，O是通过扩散过程S（通常为O=R+）获得的真实值的doma in。此外，系数u和σa re使得SDE（5.30）具有独特的强溶液。我们还假设波动系数σ有界且远离零。最后，红利过程等于At=Rtκ（u，Su）du。我们的第一个目标是推导套期保值者对路径独立的欧洲索赔的定价PDE。我们观察到Descldu=dSu+dAu- β（u，Su）du=u（u，Su）+κ（u，Su）- β（u，Su）du+σ（u，Su）dWu。根据Girsanov定理，如果我们表示au:=（σ（u，Su））-1.u（u，Su）+κ（u，Su）- β（u，Su）并定义概率测量值asdePdP=exp-ZTtaudWu-ZTt | au | du,其中Wu等于Wu，Wu等于Wu。很容易看出Descldu=σ（u，Su）dfwu，因此我们得出了teScldis a（eP，G）-鞅和heScldiu=Rut |σ（v，Sv）| dv的结论。因此，假设5.1或假设5.2成立，前提是我们假设布朗运动fw具有（G，eP）下的PRP。

当然，后一种假设在目前的情况下并不具有限制性。考虑融资成本和抵押的定价35A由于在时间T和C=0时只有一笔现金流，我们从命题5.3中推断，对于任何初始捐赠x∈ R、 套期保值者的价格满足Ph（x，A，C）=eYh，x，其中（eYh，x，eZh，x）是遵循布朗运动驱动的BSDE的唯一解决方案fw（deYh，xu=eZh，xuσ（u，Su）dfWu+gh（u，x，Su，eYh，xu，eZh），du，eYh，xT=H（ST），（5.31）其中对于x≥ 0gh（u，x，s，y，z）：=zβ（u，s）- xrluBlt- r1，bu（zs）+rluy+xBlu+（zs）-+- rbuy+xBlu+（zs）--对于x呢≤ 0gh（u，x，s，y，z）：=zβ（u，s）- XRUBBU-r1，bu（zs）+rluy+xBbu+（zs）-+-rbuy+xBbu+（zs）--.BSDE（5.31）的适定性在温和的假设下是众所周知的，因为我们假设FW在（G，eP）下具有PRP。套期保值者的独特复制策略等于=ξ、 ψl，ψb，ψ1，b式中ξu=eZh，xu，ψ1，bu=-（B1，bu）-1（ξuSu）+和ψlu=（Blu）-1.啊，徐+xBlu{x≥0}+xBbu{x≤0}+（ξuSu）-+,ψbu=-（Bbu）-1.啊，徐+xBlu{x≥0}+xBbu{x≤0}+（ξuSu）--.在下一步中，我们将确定日期t∈ [0，T）我们假设Ss，tt=s∈ O.请注意，对于所有美国∈ [t，t]，dSs，tu=（β（u，Ss，tu）- κ（u，Ss，tu））du+σ（u，Ss，tu）dfWu。很明显，解决方案（eYh，x，eZh，x）现在将取决于股票价格t时的初始值s；为了强调这一点，我们写了（eYh，x，s，eZh，x，s）。

此外，如果我们设置（Yh，x，su，Zh，x，su）：=（eYh，x，su，eZh，x，suσ（u，Ss，tu））和gh（u，x，s，y，z）=gh（u，x，s，y，zσ-1（u，s）），然后BSDE（5.31）产生（dYh，x，su=Zh，x，sudfWu+gh（u，x，Ss，tu，Yh，x，su，Zh，x，su）du，Yh，x，sT=H（Ss，tT）。（5.32）利用非n-线性费曼-卡克公式（见[17,18]），我们认为在系数u、σ、κ和β施加适当的光滑条件下，套期保值者的定价函数v（t，s）：=Yh，x，st属于C1,2类（[0，t]×O），并解出以下定价PDE(五、t（t，s）+Lv（t，s）=ght、 x，s，v（t，s），σ（t，s）五、s, （t，s）∈ [0，T]×O，v（T，s）=H（s），s∈ O、 （5.33）其中微分算子L由以下表达式给出：=σ（t，s）s+（β- κ） （t，s）s、 36 T.Nie和M.Rutkowski鉴于gh的定义，显然PDE（5.3）反过来相当于五、t（t，s）+σ（t，s）五、s（t，s）=κ（t，s）五、s（t，s）- xrltBlt{x≥0}- xrbtBbt{x≤0}- r1，英国电信s五、s（t，s）++ rltv（t，s）+xBlt{x≥0}+xBbt{x≤0}+s五、s（t，s）-+- rbtv（t，s）+xBlt{x≥0}+xBbt{x≤0}+s五、s（t，s）--, （t，s）∈ [0，T]×O，v（T，s）=H（s），s∈ O.（5.34）备注5。6值得强调的是，系数β并未出现在定价PDE中（5.34）。因此，为了推导偏微分方程，β可以任意选择，除了约束，因为模型是无套利的（见命题3.2）。因此，在不改变概率测量的情况下（即，对于所有t∈ [0，T]），我们仍然可以推导出偏微分方程（5.34）。相反，如果v∈ C1,2（[0，T]×O）解PDE（5.34），然后求对（v（u，Su），σ（u，Su）五、s（u，Su））解决BSDE（5.32）o n u∈ [t，t]其中，为了简洁起见，我们写S=Ss，t。根据上述讨论，（v（u，Su），五、s（u，Su））是BSDE（5.31）在美国的lso解决方案∈ [t，t]对于任意初始股价st=s。

因此，套期保值者的独特重复策略等于=ξ、 ψl，ψb，ψ1，b在哪里，为了你∈ [t，t]，ξu=五、s（u，Su），ψ1，bt=-（B1，bu）-1.苏五、s（u，苏）+,ψlu=（Blu）-1.v（u，Su）+xBlu{x≥0}+xBbu{x≤0}+苏五、s（u，苏）-+,ψbu=-（Bbu）-1.v（u，Su）+xBlu{x≥0}+xBbu{x≤0}+苏五、s（u，苏）--.（5.35）现在让我们关注交易对手的定价PDE。