回想一下Pc（x，-A.-C） =eYc，x，其中（eYc，x，eZc，x）是以下B SDE（deYc，xu=eZc，xuσ（u，Su）dfWu+gc（u，x，Su，eYc，xu，eZc，xu）的唯一解，其中对于x≥ 0，gc（u，x，s，y，z）：=zβ（u，s）+xrluBlu+r1，bu（zs）+-rlu-y+xBlu+(-zs）-++rbu-y+xBlu+(-zs）--对于x呢≤ 0gc（u，x，s，y，z）：=zβ（u，s）+xrubbu+r1，bu（zs）+-rlu-y+xBbu+(-zs）-++rbu-y+xBbu+(-zs）--.针对交易对手的独特复制策略=ξ、 ψl，ψb，ψ1，b式中ξu=-eZc，xu，ψ1，bu=-（B1，bu）-1（ξuSu）+和ψlu=（Blu）-1.-啊，徐+xBlu{x≥0}+xBbu{x≤0}+（ξuSu）-+,ψbu=-（Bbu）-1.-啊，徐+xBlu{x≥0}+xBbu{x≤0}+（ξuSu）--.对于固定的（t，s）∈ [0，T）×O，我们表示（Yc，x，su，Zc，x，su）：=（eYc，x，su，eZc，x，suσ（u，Ss，tu））和gc（u，x，s，y，z）=gc（u，x，s，y，zσ-1（美国）。以融资成本和抵押物定价，然后BSDE（5.36）变成（dYc，x，su=Zc，x，sudfWu+gc（u，x，Ss，tu，Yc，x，su）du，Yc，x，sT=H（Ss，tT）。（5.37）使用与套期保值者相同的论点，我们推导出定价函数v（t，s）：=Yc，x，st属于C1,2（[0，t]×O），并解出以下偏微分方程(五、t（t，s）+Lv（t，s）=gct、 x，s，v（t，s），σ（t，s）五、s, （t，s）∈ [0，T]×O，v（T，s）=H（s），s∈ O、 （5.38）或者更明确地说，五、t（t，s）+σ（t，s）五、s（t，s）=κ（t，s）五、s（t，s）+xrltBlt{x≥0}+xrbtBbt{x≤0}+r1，bts五、s（t，s）+- rlt- v（t，s）+xBlt{x≥0}+xBbt{x≤0}+- s五、s（t，s）-++ rbt- v（t，s）+xBlt{x≥0}+xBbt{x≤0}+- s五、s（t，s）--, （t，s）∈ [0，T]×O，v（T，s）=H（s），s∈ O.（5.39）相反，如果函数v∈ C1,2（[0，T]×O）解PDE（5.39），然后（v（u，Su），σ（u，Su）五、s（u，Su）在u上求解BSDE（5.37）∈ [t，t]其中我们写S=Ss，t。因此，这对（v（u，Su），五、s（u，Su）解BSDE（5.36）。

因此，套期保值者的独特复制策略等于=ξ、 ψl，ψb，ψ1，b在哪里，为了每一个你∈ [t，t]，ξu=-五、s（u，Su），ψ1，bu=-（B1，bu）-1(-苏五、s（u，Su））+，ψlu=（Blu）-1.- v（u，Su）+xBlu{x≥0}+xBbu{x≤0}+- 苏五、s（u，苏）-+,ψbu=-（Bbu）-1.- v（u，Su）+xBlu{x≥0}+xBbu{x≤0}+- 苏五、s（u，苏）--.（5.40）总之，我们有资格提出以下建议。提案n 5.10让v（t，s）∈ C1,2（[0，T]×O）是拟线性偏微分方程（5.34）的解。然后，套期保值者对欧洲未定权益H（ST）的除息价格由v（t，ST）和唯一复制策略φ给出=ξ、 ψl，ψb，ψ1，b对于套期保值者，由（5.35）给出。同样，如果v（t，s）∈ C1,2（[0，T]×O）是拟线性偏微分方程（5.39）的解，则交易对手的欧洲未定权益H（ST）的除息价格由v（T，ST）和唯一复制策略给出=ξ、 ψl，ψb，ψ1，b对于交易对手，由（5.40）给出。如果没有假设模型系数的光滑性，那么根据Peng[17]中的定理4.3，函数v（t，s）：=Yh，x，st（resp.，v（t，s）：=Yc，x，st）是已知的DE（5.34）（resp.，（5.39））的唯一粘度解。我们注意到，PDE（5.34）取决于初始禀赋x。在rl=rb=r的特殊情况下，方程（5.34）简化为与x无关的以下PDE五、t（t，s）+σ（t，s）五、s（t，s）=κ（t，s）五、s（t，s）- r1，英国电信s五、s（t，s）++ rtv（t，s）+s五、s（t，s）-, （t，s）∈ [0，T]×O，v（T，s）=H（s），s∈ O.（5.41）注意，在借贷利率相等的情况下，PDE（5.41）可以描述欧洲或有权益的价格和策略。38 T.聂和M。

Rutkowski，如果我们假设，另外，ri，b=r，那么PDE（5.41）是五、t（t，s）+σ（t，s）五、s（t，s）=κ（t，s）五、s（t，s）+rtv（t，s）- s五、s（t，s）, （t，s）∈ [0，T]×O，v（T，s）=H（s），s∈ O.（5.42）我们观察到，PDE（5.42）只是经典的B拉克和斯科尔斯PDE。我们在例3.1中提到，当假定ri，b=rb>rland交易不受限制时，市场模型部分净额结算不包括不同借贷利率的标准情况。然而，当假设e质量ri，b=rb=Rl时，欧洲目标的相关偏微分方程是相同的，因此，正如预期的那样，价格和对冲策略也是一致的。在不使用BSDEs方法的情况下，人们仍然可以通过应用经典论证获得命题5.10，例如[1]中所做的。两种方法基本上都依赖于sa me工具，即非线性Feynman-Kac公式。我们提到，当相关偏微分方程的解是非光滑的时，BSDE方法给出了偏微分方程粘性解的概率表示。备注5。7在相关论文[15]中，我们还回顾了伯格曼[1]研究的市场模型，并通过考虑一般合同（a，C），而不是路径独立的欧洲索赔，以及初始捐赠非零的投资者，扩展了他的分析。在该模型中，没有引入风险资产的融资账户，因此（2.8）中的最后一个约束条件被放宽。因此，套期保值者可以利用其初始捐赠购买股票进行套期保值。因此，对于每种特定的设置，价格的性质将是相当不同的，但其中大多数可以从辅助BSDE的一般结果中推断出来。我们还推导了马尔可夫框架下路径无关欧洲索赔的定价偏微分方程。确认

Nie和Marek Rutkowski的研究得到了澳大利亚研究委员会发现项目资助计划（DP120100895）的支持。参考文献[1]伯格曼，Y.Z.：不同利率下的期权定价。金融研究回顾8（1995），475-500。[2] Bielecki，T.R.，Rutkowski，M.：具有融资成本和抵押的合同的估值和对冲。工作文件，2014年。[3] Brigo，D.，Capponi，A.，Pallavicini，A.，Papatheodo rou，V.：无套利交易对手估值调整中的大额保证金，包括再抵押和抵押。工作文件，2011年。[4] Burgard，C.，Kjaer，M.：具有双边交易对手风险和融资成本的期权的PDE表示。工作文件，2009年11月。[5] Burgard，C.，Kjaer，M.：偏微分方程表示具有交易对手风险和融资成本的衍生品。《信贷风险杂志》第7期（2011），第1-19页。[6] Carbone，R.，Ferrario，B.，Santacroce，M.：C`adl`ag鞅驱动的倒向随机微分方程。概率论及其应用52（2）（2008），304–314。[7] Cr’epey，S.：融资约束下的双边交易对手风险——第一部分：定价。MathematicalFinance（2012年12月12日在线出版）。[8] Cr’epey，S.：融资约束下的双边交易对手风险——第二部分：CVA。MathematicalFinance（2012年12月12日在线出版）。融资成本和抵押定价39[9]Cr\'epey，S.，Biele cki，T.R.和Brigo，D.：交易对手风险和融资：两个谜团的故事。查普曼和霍尔/CRC，2014年。[10] El Karoui，N.，Huang，S.J.：向后随机微分方程存在唯一性的一般结果。《反向随机微分方程》，数学系列364中的皮特曼研究笔记，N.El Karoui和L.Maz liak，编辑，Addison-Wesley Longman，1997年，pp。

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在命题5.1的证明中，要确定（5.2），必须检查¨Yc，b，x≤其中（\'Yh，b，x，\'Zh，b，x）是以下b SDE（d\'Yh，b，xt=\'Zh，b，x）的唯一解决方案，*tdeSb，cldt+efbt、 \'Yh，b，xt+x，\'Zh，b，xtdt+（Bbt）-1dACt，\'Yh，b，xT=0和（\'Yc，b，x，\'Zc，b，x）是BSDE的唯一解决方案（d\'Yc，b，xT=\'Zc，b，x，*tdeSb，cldt-efbT-\'\'Yc，b，xt+x，-\'Zc，b，xtdt+（Bbt）-1dACt，\'Yc，b，xT=0。为了应用[14]中的定理3.3，我们需要证明-efbt、 \'Yh，b，xt+x，\'Zh，b，xt≥efbT-\'Yh，b，xt+x，-\'Zh，b，xt,ePb l - a、 或者40岁的鲁特科维-efbt、 \'Yc，b，xt+x，\'Zc，b，xt≥efbT-\'\'Yc，b，xt+x，-\'Zc，b，xt,ePb l - a、 e.为了建立这些不等式，必须使用引理6.1。我们得出结论，不平等（5.2）是有效的。引理6.1假设x≤ 0和x≤ 0.然后映射EFB：Ohm ×[0，T]×R×Rd→ R-givenby方程（2.17）满意度-efbt、 y+x，z≥efbT-y+x，-Z, 所有人（y，z）∈ R×Rd，ePb l - a、 e.（6.1）证据。为所有人（y，z）重做一遍∈ R×Rd，efb（t，y，z）：=（Bbt）-1fb（t、Bbty、z）- rbtywherefb（t，y，z）：=Pdi=1rbtziSit-Pdi=1ri，bt（ziSit）+rlty+Pdi=1（bzit）-+- rbty+Pdi=1（bzit）--.我们现在表示bzit=（Bbt）-1齐塞。那么δ：=efbt、 y+x，z+efbT-y+x，-Z= -rbt（y+x）+（Bbt）-1fb（t，Bbt（y+x），z）- rbt(-y+xz）+（Bbt）-1fb（t，Bbt）(-y+x），-z） =-rbt（x+x）-Pdi=1ri，bt | bzit |+rlt（δ++δ+）- rbt（δ-+ δ-)式中δ：=y+x+Pdi=1（bzit）-, δ:= -y+x+Pdi=1(-bzit）-.自从rl≤ rb，我们有δ=-rbt（x+x）-Pdi=1ri，bt | bzit |+rlt（δ++δ+）- rbt（δ-+ δ-)≤ -rbt（x+x）-Pdi=1ri，bt | bzit |+rbt（δ+δ）=-rbt（x+x）-Pdi=1ri，bt | bzit |+rbt（x+x+Pdi=1 | bzit |）=Pdi=1（rbt- ri，bt）| bzit |≤ 因此，不平等性（6.1）成立。6.2命题5.4的证明命题5.4第（i）部分的证明。我们首先证明，如果初始捐赠满足xx=0，那么不等式Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C）适用于任何合同（A，C）。

来自命题5。3，如果x≥ 0，x≤ 0，那么对于一个在EP下可容许的ny合同（a，C），我们有Ph（x，a，C）=eYh，l，x- C和Pc（x，-A.-C） =eYc，b，x- 其中（eYh，l，x，eZh，l，x）是以下BSDE的唯一解（deYh，l，xt=eZh，l，x，*tdeScldt+gh，l（t，x，eYh，l，xt，eZh，l，xt）dt+dACt，eYh，l，xt=0，（6.2）和（eYc，b，x，eZc，b，x）是以下BSDE（deYc，b，xt=eZc，b，x，*tdeScldt+gc，b（t，x，eYc，b，xt，eZc，b，xt）dt+dACt，eYc，b，xt=0，（6.3）带有融资成本和抵押物的定价41，其中由GH，l（t，x，y，z）给出的类别：=Pdi=1βitzist- xrltBlt+g（t，y+xBlt，z）和gc，b（t，x，y，z）：=Pdi=1βitzist+xrbtbt- g（t，-y+xBbt，-z） 其中依次（见（5.3））g（t，y，z）=-Pdi=1ri，bt（ziSit）+rlty+Pdi=1（ziSit）-+- rbty+Pdi=1（ziSit）--. （6.4）让我们表示“zit=ziSit”。对于[14]中的一个应用提奥·雷姆3.3，有必要证明：-Pdi=1βit¨zit+xrltBlt- g（t，y+xBlt，z）≥ -Pdi=1βit’zit- xrbtBbt+g（t，-y+xBbt，-z） ，相当于δ：=g（t，y+xBlt，z）+g（t，-y+xBbt，-z）- xrltBlt- xrbtBbt≤ 根据引理6.2，我们得出以下结论：不等式Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C）代表着每一个t∈ [0，T]。命题5.4第（二）部分的证明。现在我们假设rland rbat是确定性的，并且满足所有t∈ [0，T]。假设xx6=0，即x>0和x<0。我们的目标是找到合同（A，C）和日期∈ [0，T]这样的不等式Pcbt（x，-A.-C）≤ Phbt（x，A，C）无法保持。为此，我们考虑一个C=0且T=p1[0，T]（T）的合同- α1[t，t]（t）+αeRTtrudu[t]（t），其中t∈ （0，T）和函数r满足∈ （rlu，rbu）适用于所有u∈ [0，T]。

此外，常数α>0等于xBLT- αeRTt（ru）-rlu）du≥ 0，x+α（Blt）-1.- α（BlT）-埃特鲁杜≥ 0，xBbt+αeRTt（ru-rbu）du≤ 0，x- α（Bbt）-1+α（BbT）-埃特鲁杜≤ 0，这又相当于：α>0和xκ-1.≤ α ≤ 明克斯伯特-RTt（ru）-(rlu)du,，-xBbte-RTt（ru）-rbu）du，xκ-1o（6.5），其中κ=-（Blt）-1+（BlT）-1eRTtrudu，κ：=（Bbt）-1+（BbT）-埃特鲁杜。注意κ>0和κ>0，因为从rl<r<rb，我们得到-Ztrludu-ZTtrudu-ZTrludu= -ZTt（ru）- rlu）du<0。和-兹特布杜-ZTtrudu-兹特布杜= -ZTt（ru）- 因此，存在一个满足（6.5）的常数α>0，且forx:=x+α（Blt）-1.- α（BlT）-埃特鲁杜≥ 0，我们得到了xBLT- α=xBlt- αeRTt（ru）-rlu）du≥ 0.42 T.Nie和M.RutkowskiNow我们定义了战略=ξ, . . . , ξd，ψl，ψb，ψ1，b，ψd，b，ηb，ηl其中ξi=ψi，b=ψb=ηb=ηl=0，对于i=1，2，d和ψlt=x1[0，t）+（Blt）-1.xBlt- α[t，t）+（BlT）-1.xBlT- αeRTtrudu+αeRTtrudu[T，T]。财富过程的满意度（x，~n，A，C）=xBlt- αeRTtrudu+αeRTtrudu=xBlT- αeRTtrudu+αeRTtrudu=x+α（Blt）-1.- α（BlT）-埃特鲁杜BlT- αeRTtrludu+αeRTtrudu=xBlT=VT（x）。因此，自我融资策略y（x，~n，A，C）复制了[0，T]上的合同（A，C）。此外，从相关定价BSDE的独特性，我们知道这是一种独特的策略。从定义3.7开始，它遵循ph（x，A，C）=x- x=α（Blt）-1.- α（BlT）-1eRTtrudu=-ακ< 0.现在让我们关注交易对手。如果我们设为x=x- α（Bbt）-1+α（BbT）-埃特鲁杜≤ 0，则我们得到exbbt+α=xBbt+αeRTt（ru-rbu）du≤ 0.我们定义了战略eа=eξ，eξd，eψl，eψb，eψ1，b，eψd，b，eηb，eηl其中eξi=eψi，b=eψl=eηb=eηl=0，对于i=1，2。

，d和ψbt=ex1[0，t）+（Bbt）-1.exBbt+α[t，t）+（BbT）-1.exBbT+αeRTtrbudu- α-埃特鲁杜[T，T]。然后我们有vt（ex，e~n，- A.-C）=exBbt+α埃尔特布杜- αeRTtrudu=exBbT+αErttrubudu- α-埃特鲁杜=十、- α（Bbt）-1+α（BbT）-埃特鲁杜BbT+αeRTtrbudu- αeRTtrudu=xBbT=VT（x）。因此（例如，-A.-C） 独特的自我融资策略是否复制了合同(-A.-C） 在[0，T]上。从定义3.8来看，它遵循PC（x，-A.-C） =x- ex=α（Bbt）-1.- α（BbT）-1eRTtrudu=ακ>0。因此，我们找到了一个datebt=0和一个合同（a，C），这样pc（x，-A.-C） >ακ>0>-ακ=Ph（x，A，C），因此双边优惠价格范围Rp（x，x）不为空。请注意，双方都愿意向另一方支付严格的正金额，以获得签订合同的权利。这就完成了第（二）部分的证明。引理6.2假设xx=0。如果函数g由（6.4）给出，那么下列不等式保持δ：=g（t，y+xBlt，z）+g（t，-y+xBbt，-z）- xrltBlt- xrbtBbt≤ 0.包含融资成本和抵押的定价。根据（6.4），我们得到δ=-xrltBlt- xrbtBbt-Pdi=1ri，bt | zit |+rlt（δ++δ+）- rbt（δ-+ δ-),其中δ=y+xBlt+Pdi=1（\'zit）-, δ= -y+xBbt+Pdi=1(-“‘青春痘’-.我们称之为δ≤ 明尼苏达州（rlt）- rbt）xBbt+Pdi=1（rlt- ri，bt）| | zit |，（rbt）- rlt）xBlt+Pdi=1（rbt- ri，bt）| | zit | o.的确，来自rl≤ rb，我们有（δ++δ+）- rbt（δ-+ δ-)≤ 最小{rlt（δ+δ），rbt（δ-+ δ-)}= minnrlt（xBlt+xBbt+Pdi=1 | | zit |），rbt（xBlt+xBbt+Pdi=1 | | | zit |）o.因此δ=-xrltBlt- xrbtBbt-Pdi=1ri，bt | zit |+rlt（δ++δ+）- rbt（δ-+ δ-)≤ -xrltBlt- xrbtBbt-Pdi=1ri，bt|||||||||+minnrlt（xBlt+xBbt+Pdi=1|||||），rbt（xBlt+xBbt+Pdi=1|||||||||- rbt）xBbt+Pdi=1（rlt- ri，bt）| | zit |，（rbt）- rlt）xBlt+Pdi=1（rbt- ri，bt）| zit | o.如果xx=0，则上述不等式的右侧为非正。我们得出结论≤ 0