作为最优控制问题的财政刺激

2022-5-7 01:59:37

财政刺激是一个最优控制问题菲利普·A·恩斯塔、迈克尔·B·伊梅尔曼、拉里·谢泼克、赖斯大学泉州数据统计系克莱蒙特研究生大学德鲁克管理学院2013年4月23日去世德克萨斯农工大学统计系大衰退期间，美国的民主党人认为，政府开支可以用来“润滑”经济，以创造财富和增加就业；另一方面，共和党人则认为，政府支出是浪费，不鼓励投资，从而增加了失业率。如今，在2020年，我们发现自己正处于另一场危机之中，政府支出和大规模刺激被视为一种解决方案。在本文中，我们通过对Radner&Shepp（1996）模型的推广，提出了一个最优控制问题来解决这个问题。该模式允许该公司不断向政府借款。我们证明了存在一个最优策略；为其最优性提供了严格的验证证明。我们继续证明，政府贷款增加了公司的预期净利润。我们还研究了企业接受刺激时不同的利益承担行为的后果。关键词：股息问题，拉德纳-谢普模型，金融刺激，汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程，随机控制。2010年理学硕士：初级：60H10，60J60，中级：60G15重印提交给SPA特刊：《纪念：拉里·谢普》20211年4月6日。引言本文的目的是对最优规模政策进行数学建模，以期为美国民主党和共和党之间关于应该采取何种政府措施来刺激经济的持续辩论做出贡献。

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2022-5-7 01:59:40

该模型最初由第二名和第三名作者于2010年开发，当时正值大衰退和美国ZF随后对大型银行的救助之后不久。由于2019冠状病毒疾病大流行可能引发全球大衰退，这项工作及时补充了第三位作者对数学金融和最优控制的开创性贡献。本文考虑的关键宏观经济问题是，ZF应该向私营部门注入多少资金，以改善经济的总体健康水平？为此，我们假设一家公司可以由四个参数（x，u，σ，r）来描述：当前现金储备x>0，收益率u>0，风险度σ>0，以及现行利率r≥ 0.让我们(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）是一个过滤概率空间，其中ftt表示时间t时可用的市场信息。设W（t）是一个维纳过程W.r.t.{Ft}t≥0表示不确定性，Z（t）表示截至时间t之前从财富中减去的总股息。时间t时，公司的现金储备（用X（t）表示）根据动态X（t）=X+ut+σW（t）变化- Z（t），t≥ 其中W（0）=0和Z（0）≥ 0.为了模拟能够“润滑”私营部门的规模政策，我们假设ZF可以选择向企业提供贷款，以便将企业的预期收益率从u提高到u*, 假设*≥ u > 0. 该贷款将以利率r偿还。假设该公司可以以有限的利率从ZF持续借款。基于上述考虑，我们将过程Z（t）写成Z（t）=Z+（t）- Z-（t）其中Z+（t）和Z-（t）分别代表截至t时已发放的总股息（可征税）和截至t时已发放的总贷款。

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大多数88

2022-5-7 01:59:44

因此，我们需要Z±（t）≥ 0表示任何t，并重写方程（1）asX（t）=x+ut+σW（t）+Z-（t）- Z+（t）。（2）本文是为纪念第三作者拉里谢普的特刊撰写的，拉里谢普于2013年4月23日去世。在晚年，Shepp的主要研究兴趣之一是金融和经济学中的随机建模。宏观经济学文献表明，政府对私营企业的贷款和补贴可能是一种有效的规模刺激手段（Lucas，2016）。设A为容许控制（Z+，Z）的集合-) 满足以下假设（A1）-（A3）：（A1）Z+（t）是一个不减损的c`adl`ag过程，适用于{Ft}t≥0.（A2）Z+（0）∈ [0，x]，以及Z+（t）=Z+（t）- Z+（t-) ≥ X（t）-) 每t>0。（A3）Z-（t）是适应{Ft}t的不减损和差别化过程吗≥带Z的0-（0）=0和dZ-（t） /dt≤ u*- u代表一些u*≥ u.条件（A2）意味着公司不能一次性支付超过其当前财富的股息。条件（A3）表示公司可获得小于或等于（u）的任何金额*- u）每个中心的dt。值得注意的是，我们对Z的限制-（t）与通常的股息问题不同，在股息问题中，使用单一控制来呈现即时大规模注资。我们要求政府贷款以利率r偿还，公司的目标是通过选择政策（Z+，Z）最大化其预期净值（待定义）-)最佳。从数学上讲，这意味着我们要计算定义为V（x）=V（x；u，u）的值函数*) = sup（Z+，Z-)∈AExZτ0-E-rt[dZ+（t）- dZ-（t），（3）式中τ=inf{t:X（t）≤ 0}是公司破产的时间和符号τ0-dZ（t）应理解为Z（0）+RτdZ（t）。定义意味着V（0）=0。

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mingdashike22

2022-5-7 01:59:47

此外，V（x）≥ x代表任何x，因为获取利润的一种策略是立即获取财富；破产发生在时间τ=0时。如果我们用更小的可容许类A={（Z+，Z+）替换A-) ∈ A:Z-（t）≡ 0}并通过¨V（x）=sup（Z+，Z）定义相应的值函数-)∈AExZτ0-E-rtdZ+（t），（4）然后，问题简化为Radner&Shepp（1996）的开创性论文中考虑的问题。但这相当于考虑函数V（x；u，u），它对应于最大贷款利率为零的情况。辛卡 A、我们有v（x；u，u）*) ≥ V（x；u，u）=V（x）。（5）问题如下：如果*> u，是否为Z-（t） =0是严格次优的，即我们是否有V（x）>V（x）？事实证明，在本文中，我们确实经常使用V（x；u，u）等符号*) 指示值函数取决于漂移参数。但参数σ和r始终是固定的，因为它们不是直接相关的，可以被视为固定的。严格的不平等性，这意味着拥有政府资金的预期额外股息支出严格大于贷款成本（直至破产），前提是公司以最佳方式获取利润，以最大化其假定目标。更一般地说，我们有V（x；u，u）*) > V（x；u，u）表示任何u*> u≥ u; 也就是说，政府提供的规模刺激越多，公司的净值就越大（见第3节）现在，如果该公司在向政府借款后，选择了一种“贪婪”的政策，在不关心偿还贷款的情况下最大限度地提高自己的股息支付，该怎么办？在第5.2节中，我们将展示这样一种策略在社会上是不可取的，因为公司的预期净值可能会小于没有政府贷款的情况，而且，预期股息支付甚至可能无法覆盖贷款成本。

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2022-5-7 01:59:50

这代表了对我们模型结果的一个有趣的警告：为了确保实现数学最优和社会最优的解决方案，政府必须在强制接受政府资金的企业如何运营方面发挥一定作用。论文的结构如下。在第2节中，我们回顾了相关文献，尤其是Radner&Shepp（1996）开创性工作的结果，这可以被视为政府不向公司提供任何贷款的基准模型。在第三节中，我们推导了方程（3）中给出的值函数的相应自由边界问题，并证明了解的存在性。第4节给出了我们问题的进一步最优控制结果，包括最优股利支付政策如何随模型参数变化。在第5节中，我们将讨论不同股息支付政策的经济含义。第6节以简单的技术证明结束本文。2.准备工作2。1.Radner–Shepp模型的解决方案考虑u的问题*= u和价值函数V（x）定义了不等式（4），我们将其称为拉德纳-谢普模型（拉德纳和谢普，1996）。Dutta&Radner（1999年）、JeanblancPicqu’e&Shiryaev（1995年）和Asmussen&Taksar（1997年）发现了解决方案，Dutta&Radner（1999年）进一步表明，遵循最优政策的公司将在有限时间内破产，概率为1。最佳策略是以反射屏障a:if X（t）支付股息≤ ’a，未付款；否则，立即付款，使X（t）降至“a”。

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2022-5-7 01:59:53

通过求解hamilton-Jacobi-Bellman方程max{Lv（x），1- v（x）}=0，L=-r+ux+σx、在初始条件v（0）=0的情况下，我们得到解v（x）=eγ+x- eγ-xγ+eγ+a- γ-eγ-\'a，0≤ 十、≤ \'a，\'V（\'a）+（x- \'a），\'a<x<∞,（6）式中γ+，γ-是指数方程的根，γ±=(-u±pu+2rσ）/σ。未知的最佳阈值“a”最容易通过平滑启发法“V（”a）=0来确定，这会产生“a=γ”+- γ-日志γ-γ+, （7）给定u≥ 0.如果u<0，则可以显示“a=0和”V（x）=x；也就是说，总是“拿钱跑”才是时机在不丧失普遍性的情况下，我们假设u>0，这意味着该公司是可盈利的。有趣的是，阈值a变为0，或者为u↓ 0或作为u↑ ∞. 我们还指出，\'V（\'a）=eγ+\'a，以供进一步参考- eγ-\'aγ+eγ+\'a- γ-eγ-\'a=γ++γ-γ+γ-=ur.（8）为了研究最优支付政策，我们引入了符号Ma（t；u），它表示在障碍a>0处反映的过程x+ut+σW（t）的斯科罗霍德反射问题的唯一解（渡边，1971；田中，1979）。也就是说，Ma（t；u）=sup0≤s≤t（x+us+σW（s）- a） +，（9）式中w+=w∨ 0表示w的正部分。方程（4）中的上确界是在Z+（t）=M¨a（t；u）时获得的（Radner&Shepp，1996）。对于a级的任意障碍支付政策，我们将预期的贴现总股息支付定义为Da（x）=Da（x；u）=Ex“Ma（0；u）+Zτ（a，u）e-rtdMa（t；u）#。（10）如Shreve等人（1984年）所示，方程式（6）中的公式仍然适用。我们写τ=τ（a，u）来表示破产时间取决于u和a。用a代替a，我们从中得到DA（x；u）=eγ+x- eγ-xγ+eγ+a- γ-eγ-a、 x∈ [0，a]，Da（a；u）+（x- a），x>a.（11）通常，在边界a处，Dadoes不满足光滑条件。

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大多数88

2022-5-7 01:59:56

Forany x≥ 0，映射为7→ Da（x；u）在最佳策略a=\'a和D\'a（x；u）=\'V（x）下最大化。2.2。文献综述Dutta&Radner（1999）和Radner&Shepp（1996）都允许（u，σ）-pairamong{（ui，σi）：i=1，2，…，n}作为控制的一部分，Radner&Shepp（1996）发现在任何给定的X（t）值下使用哪一对。该解决方案产生了一些令人惊讶的结果，例如，如果该公司几乎破产，那么它应该非常保守，并使用（ui，σi）-对最小的σi，这对许多经济学家来说似乎是自相矛盾的；见Shethet al.（2011）的作品。为了简单起见，在讨论目前的问题时，我们将把公司限制为一个公司方向，即n=1。文献中提出了许多Radner–Shepp模型的变体（Taksar，2000年；Avanzi，2009年；Albrecher&Thonhauser，2009年）。DeCamps&Villeneuve（2007）扩展了Radner–Shepp模型，将代表投资的奇异控制过程包括在内，最近，De Angelis&Ekstrom（2017）发现了适用于有限期案例的最佳政策。关于一般扩散模型下的最优股利分配问题，请参见Paulsen（20032008）。需要注意的是，对于保险公司来说，这种股息分配问题还涉及到寻找最优再保险政策，这会给另一个控制因素带来影响，该控制因素会影响潜在财富过程的收益率（漂移）和风险性（波动性）；例如，见Taksar&Zhou（1998）；Hojgaard&Taksar（1999）；阿斯穆森等人（2000年）；Choulli等人（2003年）；他等人（2008年）。股息问题的另一个重要概括是将注资合并，注资可能以股权发行的形式进行。

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何人来此

2022-5-7 02:00:01

关于这个话题有很多前卫的文献；见Sethi&Taksar（2002）；洛卡和泽沃斯（2008）；何亮（2008）；库伦科和施密德利（2008）；姚等人（2011）；周和袁（2012）；朱洋（2016）；陈等（2016）；施密德利（2017）；Lindensj–o&Lindskog（2019年）。关于一般理论的最新进展，请参见Alvarez（2018）。我们将在本文中提出的模型允许政府以贷款的形式进行大规模刺激。然而，在所有上述参考文献中，注资过程可以是单一的，尤其是障碍式的；在本文中，我们限制了政府贷款的最高利率（因此要求资本注入过程是连续的）3.值函数V（x；u，u）的计算*)现在我们陈述本文的主要结果。对于我们在等式（3）中定义的价值函数，在最优控制下，股息支付过程仍然是障碍型的，尽管阈值不同于Radner–Sheppmodel的阈值，公司以最大可能的利率持续借款，c=u*- u.定理1（验证）。考虑自由边界问题L*x（v，x）=∈ [0，a]，v（0）=0，v（x）=1，x∈ [a，∞),v（x）=0，x∈ [a，∞),其中a和v都未知，c=u*- u ≥ 0和1*= -r+u*x+σx、让我们来看看∈ 坎德拉≥ 0是这个问题的解决方案。那么^V（x）=V（x；u，u*),方程（3）中定义的值函数。相关最优策略（^Z+，^Z-)is^Z+（t）=M^a（t；u）*) = sup0≤s≤t（x+u）*s+σW（s）- ^a）+，^Z-（t） =ct。证据第6.1节给出了证明。接下来，我们证明了定理1中给出的自由边界问题的解总是存在的。我们首先注意到*v=c只是一个常数系数的二阶线性方程。

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2022-5-7 02:00:04

因此，标准微分方程的结果就是x∈ [0，^a]，^V（x）的形式-cr+A+eγ*+x+A-eγ*-x、常数γ在哪里*+, γ*-通过求解σγ/2+u得到*γ - r=0，γ*±=-u*±p（u）*)+ 2rσ。利用边界条件^V（^a）=1和^V（^a）=0，我们发现+=-γ*-E-γ*+^aγ*+(γ*+- γ*-), A.-=γ*+E-γ*-^aγ*-(γ*+- γ*-).由于^V在[^a]上是线性的，∞), 解可以写成^V（x）=A+eγ*+x+A-eγ*-十、- （c/r），x∈ [0，^a]，（12）^V（x）=^V（^a）+（x- ^a），x∈ [^a，∞). （13）最后，边界条件^V（0）=0意味着^a必须满足f（^a）=0，其中f（a；u，u）*) =(-γ*-)E-γ*+a（γ）*+)(γ*+- γ*-)+(γ*+)E-γ*-γ*-(γ*+- γ*-)-cr.（14）我们表示方程f（a；u，u）的解*) = 0乘以^a=^a（u，u*) 强调其对μ和μ的依赖性*. 在命题1中，我们证明了sucha解总是存在的，并且在给定u>0和u的情况下是唯一的*≥ u. 因此，通过求解f（a）=0，我们得到了最佳反射屏障^a，但与Radner–Shepp模型不同，它没有封闭形式的表达式。唯一的例外是特例*= u，我们有^a（u，u）=a，后者如等式（7）所定义。提议1。假设u>0和u*≥ u. Orem 1中的自由边界问题有一个唯一的解（^V，^a），使得^V∈ 坎德拉>0。证据必须证明f（a；u，u*) = 0只有一种溶液且呈阳性，其余溶液从（12）和（13）得出。使用（14）可以向前验证f是单调递减的，f（0）=u/r>0，以及f(∞) = -∞. 所以在（0）上只有一个根，∞).从（5）中，我们已经知道，通过向政府借款，该公司的预期净值至少与没有政府贷款的拉德纳-谢普模型中的净值一样大。

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2022-5-7 02:00:07

现在，我们证明了这项工作的另一个关键结果：只要使用最优策略，公司的净值就会严格地更大；此外，一家公司从政府借的钱越多，它的净值就越大。定理2。考虑x>0和两对参数（u，u*) 和（u，u）*).（i） u和u=如果*> u*≥ u，然后是V（x；u，u*) > V（x；u，u）*).（ii）如果：*= u*= u*和u<u≤ u*, 然后V（x；u，u*) > V（x；u，u）*).证据第（i）部分的证明依赖于用于提供REM 1的验证技术，并需要命题2的结果。因此，本部分的证据被归入第6.2节。为了证明第（ii）部分，让^a=^a（u，u*) 是f（a；u，u）的溶液*) = 0.使用（9）中给出的障碍支付过程的定义，以五元组（x，u，u）为特征的公司的最优控制*, σ、 r）可由（M^a（t；u*), (u*- u）t）。对于另一家具有（x，u，u）特征的公司*, σ、 r）、政策（M^a（t；u）*), (u*- u）t）是可接受的，这意味着以低于u的利率借钱支付股息*- u< u*- u. 因此，V（x；u，u*) ≥ 前任Zτ0-E-rtdM^a（t；u）*) -Zτ（u）*- u）e-rtdt= V（x；u，u）*) + 前任Zτ（u）- u）e-rtdt.给定任意x>0，我们得到τ>0，因此定理的第（ii）部分来自于假设u>u。股息支付限制的选择我们比较^a=^a（u，u*) 有两个次优选择：\'\'a=^a（u，u），a*= ^a（u）*, u*).阈值a与等式（7）中定义的阈值相同，这是不允许借贷的Radner–Shepp模型的最佳阈值。

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2022-5-7 02:00:09

阈值为a*代表一家公司的贪婪策略，该公司拥有原始利润u，并以c=u的利率借款*- u; 该公司不在乎偿还贷款，因此选择使用*最大化预期的总分红（当然，a*也是Radner–Shepp模型的最佳阈值，其中企业的利润率为u*.)我们首先证明了^a总是小于拉德纳-谢普阈值a。中间结果是自^a以来∈ （0，`a），^a可以使用标准的一维优化算法进行数值计算。提议2。假设*≥ u > 0. 那么^a=^a（u，u*) ≤ ^a（u，u）=“awhere”a是Radner-Shepp模型的最佳阈值。此外，对于任何*> u*≥ u，我们有严格的不等式^a（u，u）*) < ^a（u，u）*).证据回想一下，在（8）中，我们发现V（^a（u，u）；u，u）=u/r。这实际上是标识（^a（u，u）的一个特例*); u, u*) =ur代表u*≥ u，可使用定理1中的边界条件直接验证。乘以（5），V（x；u，u*) ≥ V（x；u，u）表示每x。此外，V（x；u，u）和V（x；u，u*) 在x中单调增加。因此，V（\'a；u，u）=V（^a；u，u）*) = u/rimplies^a≤ ’a.为了证明严格不等式，考虑（14）中定义的函数和映射*7.→ f（a；u，u）*) 其中fdenotes是关于toa的导数。常规但繁重的计算f（a；u，u）*)u*= -rσe-γ*+a[（u）*)+ 2rσ]3/2n1+h（u*) + e2h（u）*)（h（u）*) - 1） o，其中h（u*) = aσ-2p（u）*)+ 2rσ。通过计算前两个导数，可以验证h 7→ 1+h+e2h（h- 1）在（0，∞). 因此≥ 0, u*7.→ f（a；u，u）*) 是单调递减的。结合f（0；u，u*) = u/r>0和f（a；u，u*) < 0表示任何a≥ 0，我们得出结论*7.→ ^a（u，u）*) 也是严格单调递减的。我们在下面的命题3中证明，^a也小于greedya阈值*给定u*> u.

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2022-5-7 02:00:12

因此，在没有被问责的情况下，接受贷款的公司将在以后支付股息，这可能会令人惊讶。提议3。假设*> u > 0. 那么^a=^a（u，u*) < ^a（u）*, u*) = A.*哪里*是拉德纳-谢普模型的最佳阈值，其收益率为u*. 更一般地说，任何情况下*≥ u>u，我们有^a（u，u*) > ^a（u，u）*).证据我们只需要证明一般的索赔，因为*= ^a（u）*, u*) 这是一种特殊情况。回想一下，对于任何情况≤ u*, ^a（u，u）*) 是f（a；u，u）的溶液*) = 其中f如（14）所定义，f（a；u，u）*) 在a中是单调递减的。在f的表达式中，只有最后一项c=u*- u取决于u。因为u只改变函数f（a；u，u）的垂直位移，而不改变其形状*),我们得出结论，^a（u，u*) > ^a（u，u）*) 作为u*- u< u*- u.为了进一步了解这个问题，这里我们给出了不等式^a的另一种证明≤ A.*. 在我们的模型中，一家公司的净值是总股息支付和总贷款成本之间的差额（两者都是时间折扣）。我们使用（Ma（t；u*), ct）表示一种保单，该保单始终以最高利率c借款，并支付超过a>0的任何金额。对于此类保单，预期净值可以写为asVa（x；u，u）*) = Da（x；u）*) - Ca（x；u，u）*) （15）式中，Da（总股息支付）如（10）所定义，可由（11）计算，总贷款成本由Ca（x）=Ca（x；u，u）给出*) = ExZτ（a，u）*)总工程师-rtdt。请注意，由于该公司以最高利率借款，Da和τ（破产时间）均不取决于原始利率u。由于^a是方程（3）中值函数的最佳屏障，我们得到了^a（x；u*) - C^a（x；u，u）*) = V^a（x）≥ 弗吉尼亚州*（x） =Da*（x；u）*) - Ca*（x；u，u）*).另一方面，7→ Da（x；u）*) 在a=a时最大化*自从*是Radner–Shepp模型的最佳选择，支持率为u*.

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2022-5-7 02:00:15

因此，D^a（x；u）*) ≤ 爸爸*（x；u）*),这进一步意味着C^a（x）≤ Ca*（x）。对于固定u，u*, 地图是7→Ca（x）是单调递增的，因为屏障的值越大，意味着公司的预期“寿命”越长。因此，我们得出结论：^a≤ A.*.要计算函数Ca，请注意Ca（x；u，u*) =cr{1- 镓（x；u）*)} , 式中ga（x；u）*) = 告密-rτ（a，u）*)i、（16）如Shreve等人（1984）所示，对于x∈ [0，a]，ga（x）是微分方程L的解*g=0，边界条件g（a）=0，g（0）=1（c.f.Darling&Siegert，1953；Lehoczky，1977）。简单的计算得到thatga（x；u*) =γ*-E-γ*+（a）-十）- γ*+E-γ*-（a）-x） γ*-E-γ*+A.- γ*+E-γ*-a、 x∈ [0，a]。对于x>a，我们有ga（x；u）*) = ga（a；u）*) 由于初始股息支付迫使X（0）=a。因此，对于每个a≥ 0，我们可以显式计算（15）中定义的值，以及映射a 7→ 五、*a（x）必须在^a=^a（u，u）时最大化*).5.讨论。1.最优支付政策分析我们在图1中给出了一个数值例子，说明了前一节中证明的理论结果。根据定理2，当“社会最优”障碍^a=^a（u，u*) 如果使用，企业的预期净值会随着贷款规模的增加而单调增加。图1的左面板显示了原始利润率u=0.1的公司的增长曲线，单位为u*从0增加。1（无政府贷款）至0.3。股息支出的增长速度略快于贷款成本，因此在考虑成本的情况下，企业能够通过政府贷款增加价值。根据命题2，随着企业承担越来越多的政府贷款，保持其他一切不变，障碍^a实际上减少了；请参见图1左面板中的灰线。特别是，我们有“a>^a”，其中图1：我们的模型u=0.1，r=0.05，σ=0.3。

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能者818

2022-5-7 02:00:18

在左面板中，我们计算x=0.5，让u*范围从0.1到0.3，图^a=^a（u，u*),^V（x）=V（x；u，u*),^D（x）=D^a（x；u）*),^C（x）=C^a（x；u，u）*). 请注意，\'a=^a（u，u）=1.200。在右边，我们*= 0.15，x=1，让屏障从0排列到3，并绘制预期净值Va（x）=Va（x；u，u*), 预期分红Da（x）=Da（x；u*), 预期贷款成本Ca（x）=Ca（x；u，u）*). 注意，Vais在^a=1.099时最大，Dais在a时最大*= 1.257.“\'a=^a（u，u）是无法借钱的最佳障碍。从经济角度来看，这意味着如果公司收到更多的政府资金，它将选择支付股息。在图1的右侧面板中，u*固定在0.15，我们检查（15）中给出的三个函数，Va，DaandCa，以获得不同的势垒水平。当企业选择^a时，VAI的预期净价值最大化，其中包括贷款的偿还。Dais的功能以最大化的速度运行*, 利润率为u的企业的最佳壁垒*但无法获得政府贷款。如命题3所示，我们总是有^a<a*.^a小于^a或a的观察结果*揭示了经济学家多年来对反常金融激励的认识，但这是从我们的最优控制问题结构中的数学角度得出的。当一家公司在没有监督的情况下获得资金，或者知道它将得到救助时，它可能会采取更为谨慎和鲁莽的行动（经济学家称之为“道德风险”）这也解释了为什么在现实中，作为刺激计划或救助的附加条件，政府经常要求在公司向股东支付股息之前必须偿还贷款。

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2022-5-7 02:00:22

政府以贷款的形式实施的大规模刺激确实提振了经济，但需要注意的是，有一些贪婪的激励在起作用，因此需要监督。然而，我们指出，^a<\'a并不意味着企业在借贷时可能会更快破产。实际上，根据我们的数值结果（此处未显示），我们推测对于任何给定的u>r和0<x≤^a（u，u），映射u*7.→ g^a（u，u）*)（x；u）*) ≡ ~g（u）*) 在[u]上单调递减，∞), 其中g如（16）所示。自)g（u）*) = 例如-rτ]其中τ是使用障碍^a的公司的破产时间，这一推测意味着一家公司可以借的钱越多，它的寿命就越长。因此，政府贷款确实提高了企业的财务稳定性，因为破产可以推迟。5.2. 如果一家公司能以最低利率借款，贪婪支付政策分析*- u但不关心偿还贷款，它会使用贪婪的阈值a*因为它最大化了预期的总股息支付。为了研究这种贪婪政策的后果，我们进行了一些数值实验，从中我们得到了一些有趣的观察结果。首先，一家贪婪的公司接受贷款的预期净值，Va*（x；u，u）*), 可能小于未接受贷款的公司的价值V（x；u，u）。也就是说，对于一家贪婪的公司来说，通过借钱获得的额外利润甚至可能无法支付贷款成本！在图2中，我们给出了两家公司的一个数字示例。我们假设x=1，r=0.05，公司1的原始收益率为u=0.08，公司2的原始收益率为u=0.06。弗吉尼亚州1号公司（实线）*（x；u，u）*) 不断增加*增加，这意味着它借的钱越多，通过贪婪的支付障碍a可以获得更大的价值增长*.

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能者818

2022-5-7 02:00:25

然而，对于公司2（虚线），当不允许政府贷款时，其V（1；u，u）=1.24。但如果*= 0.16，这意味着以0.1，Va的利率借款*(1; u, u*) 下降到1.17。因此，对于2号公司来说，其贪婪的支付政策在社会上是不受欢迎的。我们还发现Da*（x；u）*) 不一定大于或等于toCa*（x；u，u）*); 也就是说，政府借钱给一些企业可能是危险的，因为它们甚至可能无法偿还贷款（预期中），尽管根据我们的计算，这种情况很少发生（只有当u和X都非常小时）。例如，设u=0.005，u*= 0.055，σ=0.1，r=0.05，x=0.05。我们可以计算出*= 0.416和^a=0.098。数值计算表明，只要支付障碍a>0.34，净值Va（x；u，u）*), 会是负面的。上述观察结果也支持了我们的观点，即在偿还贷款之前，可能需要政府干预来限制接受刺激的企业的活动。将政府干预纳入我们的数学模型的一种方法是要求支出壁垒必须在某个预先规定的范围内，比如[amin，amax]。应分别计算每个公司的AMIN和AMAX参数，以保证公司能够偿还贷款。我们注意到，Paulsen（2003）考虑了一个类似的问题，假设没有注资或大规模刺激。图2：r=0.05和x=1的两家“贪婪”公司的行为。我们策划了Va*（x；u，u）*)（贪婪策略的净值）针对参数u*. 第一家公司的原始利润率为u=0.08，第二家公司的原始利润率为u=0.06。两者的波动率σ均为0.3.5.3。

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2022-5-7 02:00:28

我们的模型的扩展我们可以将模型中的r解释为一个由政府直接收取的外生参数，因为政府贷款可能不会通过银行系统，而是以直接补贴的形式提供。我们还可以考虑用更一般的公式来描述我们的价值函数问题（c.f.Lokka&Zervos，2008）V（x；u，u）*, β） =sup（Z+，Z-)∈AExZτ0-E-rt[dZ+（t）- βdZ-（t） ]在哪里≥ 1代表从政府借款的比例成本。当β=1时，不存在额外成本，价值函数降低为等式（3）中定义的函数。然而，我们可以检查，我们的论点不能直接延伸到β>1的情况，尽管它可以用于β<1的情况，在这种情况下，我们有一些收取股息的比例成本（见第6.3节）我们将β>1的情况留给未来的研究。6.校样6。1.定理1的证明包括两个步骤。首先，当我们应用候选最优控制函数（^Z+，^Z）时，我们需要检查^V（x）是否为企业的预期净值-). 其次，我们需要证明，没有其他政策比这更好。后者需要以下引理。引理1。（12）和（13）中给出的解^V满足^V（x）≥ 1安德尔*^V（x）≤ c代表任何x≥ 因此，以下汉密尔顿-雅可比伯曼方程成立：max{L*^V（x）- c、一,-^V（x）}=0，十、≥ 0.证明。我们首先证明了^V（x）≤ 0代表任何x≥ 0.通过（12）和（13）中给出的^v表达式，这相当于证明，对于任何x∈ [0，^a]，a+（γ*+)e（γ）*+-γ*-)十、≤ -A.-(γ*-). （17）从定义γ开始*+> 0和γ*-< 0，我们只需要show（17）对x=a成立，但我们已经知道V（a）=0，因此a+（γ）*+)e（γ）*+-γ*-)^a=-A.-(γ*-). 因此我们得出^V（x）≤ 0.因为任意x的^V（x）=1≥ ^a，^V（x）的非正性≥1代表任何x≥ 0

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mingdashike22

2022-5-7 02:00:32

为了证明我*^V（x）≤ c、请注意，对于任何x>a，^V（x）>^V（a），^V（x）=^V（^a），^V（x）=^V（^a）*^V（^a）=c.备注1。光滑条件^V（^a）=0在上述证明中至关重要。假设定理1中的所有其他条件都满足，因为对于所有x，^V（x）=1≥ ^a，^V（^a+）=0。如果^V（^a-) > 0，那么^V（^a- ) < 一个人 > 0因为^V（^a）=1。^-) < 0，可以证明我*^V（^a+）>c，因为在x=^a和L时，^V（x）有大量增加*^V（^a）-) = c、因此，平滑条件对于Hamilton-Jacobi-Bellman方程成立是必要的。现在我们展示我们的验证证明。第一步。我们使用^X来表示当候选最优控制（^Z+，^Z+）时的现金储备过程-) 应用，并让τ=τ^xb表示破产时间。首先，考虑案例x∈ [0，^a]。过程^Z+（t）=M^a（t；u*) 只是^a级过程^X的当地时间（多个）（卡拉扎斯和什里夫，1998年，第3.6章）。定义αt=τ^X∧ t并考虑过程e-rαt^V（^X（αt））。根据它的公式，e-rαt^V（^X（αt））=^V（X）+Zαte-rsL*^V（^X（s））ds+Zαte-rs^V（^X（s））hσdW（s）- d^Z+（s）i.对于任何s∈ [0，τ^X]，我们总是有^X（s）∈ [0，^a]，因此L*^V（^X（s））=cand^V（^X（s））保持有界。因此，关于dW的积分为零。对双方都抱有期望-rαt^V（^X（αt））=^V（X）+ExZαte-rshc ds- d^Z+（s）i，（18）其中我们还使用了^V（^a）=1，如果^X（t）6=a，d^Z+（t）=0的事实→∞Exe-rαt^V（^X（αt））=0。（19）如果发生破产，即τ^X<∞, 那么对于任何t，^V（^X（t））=0≥ τ^X；如果τ^X=∞,^V（^X（t））始终保持有界且e-rαt→ 0，之后是（19）。对于（18）右边的积分，我们有limt→∞ExZαtce-rsds=ExZτ^X0-总工程师-rsds≤cr，limt→∞ExZαte-rsd^Z+（s）=ExZτ^X0-总工程师-利用单调收敛定理。

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2022-5-7 02:00:35

因此，让t→ ∞ 在（18）中，我们得到了^V（x）=ExZτ^X0-E-Rhd^Z+（t）- 迪兹-（t） i.（20）特别是，我们建立了x=^a的等式（20），与（13）中给出的^V表达式一起，可以用来证明（20）也适用于x∈ （^a，∞).备注2。平滑条件^V（^a）=0不用于步骤1。我们可以验证（15）中的函数是普通微分方程L的解*v（x）=c代表x∈ [0，a]，边界条件v（0）=0，v（a）=1。因此，上述论点也证明VAI确实是保单的预期净值（Ma（t；u）*), (u*- u）t）。第二步。对于任何可容许的策略Z=（Z+，Z-), letVZ（x）=ExZτX0-E-rt[dZ+（t）- dZ-（t） ]是公司的预期净值。注意，X和τX现在都依赖于（Z+，Z-), 尽管符号中没有明确指出这一点。我们需要展示VZ（x）≤^V（x）。根据假设，Z-是一个连续的过程，但Z+不一定如此。因此，我们让Zc+表示Z+的连续部分。X的动力学由（2）给出。将其^o公式应用于^V（Xt），我们得到了^V（x）=-Zt∧τXσe-rs^V（X（s））dW（s）+I+I- I+I，（21）式中I=Zt∧τXe-rsh^V（X（s））(-dZ-（s） +c（ds）- L*^V（X（s））dsi，I=Zt∧τXe-rs^V（X（s））dZc+（s），I=X0≤s≤（t）∧τX）e-rsn^V（X（s））-^V（X（s）-))o、 I=e-r（t）∧τX）^V（X（t）∧ τX）。（22）从引理1，我们得到了^V（x）≥ 1和1*^V（x）≤ c、此外，由于c是贷款的最高利率，我们有-dZ-（s） +c ds≥ 0.然后我们得到≥Zt∧τXe-rs[-dZ-（s） +c ds- c ds]=-Zt∧τXe-rsdZ-（s）安迪≥Zt∧τXe-rsdZc+（s）。此外，^V（x）≥ 1也意味着我≤ -X0≤s≤（t）∧τX）τ-rsZ+（s），其中我们使用了X（s）- X（s）-) = -（Z+（s）- Z+（s）-)). 利用（21）两边的期望，利用^V的有界性，我们得到^V（x）≥ ExZt∧τX0-E-rs[dZ+（s）- dZ-（s） ]因为我≥ 0

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mingdashike22

2022-5-7 02:00:39

最后，让t→ ∞, 应用单调收敛定理并指出∞E-rsdZ-（s） <∞, 我们得到^V（x）≥ 极限→∞ExZt∧τX0-E-rs[dZ+（s）- dZ-（s） ]=ExZτX0-E-rs[dZ+（s）- dZ-（s） ]=VZ（x），这就完成了证明。6.2. 定理2（i）的证明设b=^a（u，u）*). 值函数V（x；u，u*) 是通过策略实现的，^Z=（Mb（t；u*), (u*-u）t），其中借款利率为u*-u和dividendpayment在屏障b处支付。显然，该政策也适用于具有（x，u，u）特征的公司*, σ、 r）自*> u*, 我们想证明，对于任何x>0的情况，V（x；u，u）*) > V（x；u，u）*) = V^Z（x；u，u）*).请注意，在上述验证证明中，我们已经显示了V（x；u，u）*) ≥V^Z（x；u，u）*). 设^X（t）=X+ut+σW（t）+dMb（t；u*) - (u*- u）t表示应用次优控制^Zis时的储灰过程。内尔*= -r+u*x+σx、通过一个完全类似于第6.1节第2步的论证，当^zisapple应用时，我们得到了v（x；u，u）*) ≥ Ex（I+I）- 一），式中I=Zt∧τ^Xe-rshV（^X（s）；u, u*)(u*- u*)ds- L*V（^X（s）；u, u*)dsi，我- 我≥Zt∧τ^X0-E-rsdMb（s；u）*).要检查以上Igrees表达式是否与（22）一致，请注意，对于Z=^Zand c=u*- 是的，我们有-dZ-（s） +cds=-(u*- u）ds+（u）*- u）ds=（u）*- u*)ds。为了证明^Zis是严格次优的，我们需要一个比用来证明定理1的论点稍微好一点的论点。写入V（x）=V（x；u，u*) 简化符号。回想一下，V（x）是定理1中描述的自由边界问题的解，并且^a=^a（u，u）*) 严格小于b=^a（u，u*)根据命题2。使用引理1，可以直接验证*V（x）<u*- u, 十、∈ （a，b），V（x）>1，十、∈ （0，^a），V（x）=1，十、∈ [^a，b]。此外，假设是：*- u*> 0意味着对于任何x∈ （0，^a）∪ （^a，b]，ψ（x）=V（x）（u）*- u*) - L*V（x）+（u）*- u）>0，（23）和ψ（x）=0，如果x=^a。

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能者818

2022-5-7 02:00:43

对于任何一组A [0, ∞), 定义（A）=ZAe-rshV（^X（s））（u*- u*)ds- L*V（^X（s））dsi。选择任意δ>0，让Aδ=[0，δ∧ τ^X]和Atδ=（δ∧ τ^X，t∧ τ^X]。无论如何≥ δ、我们有I=I（[0，t∧ τ^X]）=I（Aδ）+I（Atδ）。ConsiderI（Aδ）+Zδ∧τ^Xe-卢比（u）*- u）ds=Zδ∧τ^Xe-rsψ（^X（s））ds。由于^X（t）是一个反映布朗运动，给定任何^X（0）=X>0，我们几乎可以肯定，破产时间τ^X>0和集合{0的勒贝格测度≤ T≤ τ：^X（t）=^a（u，u）*)} 是零。回想一下，对于一个非负可测函数，其勒贝格积分为零当且仅当函数几乎处处为零时。然后从（23）得出exzδ∧τ^Xe-rsψ（^X（s））ds=cδ（X）>0， x>0，其中cδ（x）仅取决于x。再次使用（23），我们发现对于任何t≥ δ、前（一）≥ cδ（x）- ExZt∧τ^Xe-卢比（u）*- u）ds，这进一步意味着v（x）≥ Ex（I+I）- （一）≥ cδ（x）+ExZt∧τ0-E-rs[dMb；u*) - (u*- u）ds]。让t→ ∞, 我们得出结论：v（x；u，u*) ≥ cδ（x）+V（x；u，u）*) > V（x；u，u）*), x>0.6.3。β的比例代价扩张∈ （0,1），通过Vβ（x；u，u）定义值函数Vβ*) = sup（Z+，Z-)∈AExZτ0-E-rt[dZ+（t）- βdZ-（t） ]。（24）观察β-1Vβ（x；u，u*) = sup（Z+，Z-)∈AExZτ0-E-rt[β-1dZ+（t）- dZ-（t） ]。因此，β<1的问题（24）可以被解释为（3）中定义的主要问题的延伸，其中收取股息的成本是成比例的。对于这个问题，最佳策略是以最大利率c=u借款*- u并以一定的门槛^aβ派息。此外，（Vβ，^aβ）是以下自由边界问题的解L*v（x）=βc，x∈ [0，a]，v（0）=0，v（x）=1，x∈ [a，∞),v（x）=0，x∈ [a，∞).根据定理1的论证，值函数Vβ仍然可以写成（12）和（13）的形式。

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何人来此

2022-5-7 02:00:46

要检查^aβ的存在性，只需验证以下函数有唯一的正解fβ（a）=(-γ*-)E-γ*+a（γ）*+)(γ*+- γ*-)+(γ*+)E-γ*-γ*-(γ*+- γ*-)-根据命题1，fβ单调递减到-∞ 观察fβ（0）=[（1- β)u*+ βu]/r>0。因此，^aβ是唯一存在的。与引理1类似，我们可以证明max{L*Vβ（x）- βc，1- Vβ（x）}=0表示所有x≥ 0.验证证明与β=1的情况几乎相同。第6.1节中的证明没有立即遵循的唯一步骤是如何确定（22）中定义的术语。注意，由于Vβ≥ 1.≥ β，L*Vβ≤ βC-dZ-（s） /ds+c≥ 0，我们有i=Zt∧τXe-rsVβ（X（s））(-dZ-（s） +c（ds）- L*Vβ（X（s））ds,≥Zt∧τXe-rs[β(-dZ-（s） +c（ds）- βc-ds]=-Zt∧τXe-rsβdZ-（s）。接下来是剩下的。感谢第一作者感谢ARO-YIP-71636-MA、NSF DMS-1811936和ONR N00014-18-1-2192对本研究的支持。我们感谢两位匿名审稿人，他们的报告极大地提高了这篇手稿的质量。这是Shepp和Imerman最初撰写的一篇论文的重要修订版，题为“数学是否能够洞察金融、经济和政治领域的当前问题？”原始版本可在https://arxiv.org/abs/1410.6084v1.ReferencesAlbrecher，H.，和Thonhauser，S.（2009）。保险红利问题的最优性结果。RACSAM Revista de la Real Academy de Ciencias Exactas，Fiscas and Naturales。意甲马蒂马蒂斯，103295-320。阿尔瓦雷斯，L.（2018）。一类可解的平稳奇异随机控制问题，e-print。arXiv预印本arXiv:1803.03464。阿斯穆森，S.，Hojgaard，B.，和塔克萨，M.（2000年）。最优风险控制和股利分配政策。保险公司超额损失再保险的例子。《金融与随机》，4299-324。阿斯穆森和塔克萨，M.（1997）。

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何人来此

2022-5-7 02:00:49

最优股息支付的受控扩散模型。保险：数学和经济学，20，1-15。阿万齐，B.（2009）。股利分配策略：综述。《北美精算杂志》，13217–251。陈淑、王小X、邓小Y、曾小Y（2016）。具有时间不一致偏好的双重风险模型中的最优股息融资策略。保险：数学与经济学，67，27-37。朱利，T.，塔克萨，M.，和周，X.Y.（2003）。风险控制约束下公司最优股利分配的扩散模型。《控制与优化杂志》，411946-1979。Darling，D.A.，和Siegert，A.（1953年）。连续马尔可夫过程的第一个过程问题。《数理统计年鉴》（第624-639页）。德安吉利斯·T.&埃克斯特罗姆·E.（2017）。股息问题。《应用概率年鉴》，273525-3546。德坎普斯，J.-P.&维伦纽夫，S.（2007）。最优股利政策和增长选择。金融与随机，11，3-27。杜塔，P.K.，和拉德纳，R.（1999）。利润最大化和市场选择假说。《经济研究评论》，66769-798。何，L.，侯，P.，梁，Z.（2008）。偿付能力约束下比例再保险保险公司的最优控制。保险：数学与经济学，43474-479。何，L.，梁，Z.（2008）。采用比例再保险政策的保险公司的最优融资和股息控制。保险：数学和经济学，42976-983。Hojgaard，B.，和Taksar，M.（1999）。控制风险敞口和分红计划：以保险公司为例。数学金融，9153-182。Jeanblanc Picqu\'e，M.，和Shiryaev，A.N.（1995）。优化分流的流量。俄罗斯数学调查，50257。Karatzas，I.&Shreve，S.E.（1998）。布朗运动。布朗运动与随机微积分（第47-127页）。

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