非线性系统局部解的稳定性与解析展开

2022-5-7 02:02:22

我们证明了价格在需求过程下是稳定的，并推导了交易商的小风险规避系数的解析展开式。关键词：多维二次BSDE，二次BSDE的稳定性，二次BSDE的渐近行为，流动性，价格影响。AMS学科分类（2010）：60H10、91B24、91G80。JEL分类：D53、G12、C62。1.引言研究了具有二次增长的一维倒向随机微分方程。他们在Bounded终端条件下解的存在性、唯一性和稳定性已在论文Kobylanski[17]中得到证实。Tevzadze[20]和Briand and Elie[1]提出了替代证明。在Briand和Hu[2,3]等人的著作中，已经得到了无界情况的推广。使用方形ic BSDE系统的情况更麻烦。除非有一个特殊的结构（例如，在Darling[6]、Tang[19]、El Kar oui和Hamad`ene[8]、Cheridito和Nam[4]以及Hu和Tang[14]中），否则即使在有界终端条件下，它们也可能无法得到解。在Frei和dos Reis[10]中可以找到一个反例。从积极的方面来看，首先，在Tevzadze[20]中，对于L∞-范数，然后是有界平均振荡（BMO）范数的In-Frei[9]和Kramkov及Pulido[18]。在本文中，我们建立了稳定性性质，并导出了这种局部解的解析展开式。我们的主要结果在定理2中陈述。1和3.2。在定理2.1中，我们得到了关于dr-iver和终端条件的Spand BMO空间的稳定性估计。

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2022-5-7 02:02:27

在定理3.2中，我们得到了关于终端条件的BMO解析展开式。这些幂级数的系数可以按任意顺序递归计算。这项工作的动机是我们在[18]中研究了市场微观结构理论中的价格影响模型，该模型建立在格罗·斯曼和米勒[13]、加莱诺、佩德森和波特什曼[11]以及格尔曼[12]的早期著作基础上。在该模型中，代表性交易商为高风险股票提供流动性，并以最佳方式报价，以满足股票的外生需求。正如我们在[18]中所证明的那样，由此产生的股价可以用需求过程参数化的二次BSD系统的解来描述。文献[12]表明，在简单需求下，股价性别歧视是唯一的，可以通过反向归纳和鞅表示显式构造。对于一般（非简单）需求，情况更复杂。在这种情况下，只有当某些模型参数的乘积足够小时，才能获得价格的存在性和唯一性，如下面（4.6）所示。

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2022-5-7 02:02:30

一个自然的问题是，在这种约束下，产出股票价格在需求下是否稳定，尤其是它们是否能很好地近似于由简单需求产生的价格。理论4给出了肯定的答案。并依赖于定理2.1中的一般稳定性估计。当经典的风险规避系数接近于零时，我们的数学模型就会消失。在理论上。5我们推导了a的所有有效值的价格分析展开式，从而得到价格影响修正的自然规模。[12]中针对simpledemands获得了这些修正的前导项。对于矩阵a=（Aij），我们用a表示它的转置*并将其规范定义为| A |，√追踪AA*=sXi，j |哎呀|。我们将研究一个经过过滤的概率空间(Ohm, F，（Ft）t∈[0，T]，P）满足右连续性和完备性的标准条件；初始σ-代数F是平凡的，F=FT，成熟度T是有限的。

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kedemingshi

2022-5-7 02:02:34

期望值表示为E[·]，条件期望值表示为FtasEt[·]。对于n维可积随机变量ξsetkξkLp，（E[|ξp]）1/p，p≥ 1，kξkL∞, inf{c≥ 0 : |ξ(ω)| ≤ c、 P[dω]- a、美国。我们将使用下面的随机过程空间：BMO（Rn）是M=0的连续n维鞅的Banach空间，其标准为kmkbmo，supτk{Eτ[hMiT- hMiτ]}1/2kL∞,其中，关于所有停止时间τ取上确界，HMI是M的二次变量。SBMO（Rn）是连续n维半鞅sx=X+M+A的Banach空间，其中M是一个连续鞅，A是一个有限的变化过程，其范数为xksbmo，|X |+kMkBMO+supτkEτ[ZTτdA |]kL∞.这里的上确界是指所有停止时间τ和r | dA |是p的a.Sp（Rn）的总变化≥ 1是连续n维半鞅X=X+M+A的Banach空间，其中M是一个连续鞅ale，A是一个有限的演化过程，其范数为kxksp，|X |+khMi1/2TkLp+kZT | dA | kLp。H（Rn×d）是可预测过程ζ的向量空间，其值在n×d矩阵中，使得rt|ζs|ds<∞. 这就是d维布朗运动b的n×d维被积函数ζ的空间。我们将在H（Rn×d）ifRT |αs中识别α和β- βs | ds=0，或者，如果随机积分α·B和β·B重合。p的Hp（Rn×d）≥ 1由ζ组成∈ H（Rn×d）等于ζ·B∈ d维布朗运动B的Sp（Rn）在形式下是一个Banach空间：kζkHp，kζ·BkSp=（E“ZT|ζs|dsp/2#）1/p.HBMO（Rn×d）由ζ组成∈ H（Rn×d）使得ζ·B∈ d维布朗运动离子B的BMO（Rn）。

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2022-5-7 02:02:37

这是一个Banach空间，其形式为：kζkHBMO，kζ·BkBMO=supτkEτZTτ|ζs | ds1/2千克∞.H∞（Rn）是有界n维可预测过程γ的Banach空间，其范数为：kγkH∞, inf{c≥ 0:|γt（ω）|≤ c、 dt×P[dω]- a、美国。对于E[ξ]=0的n维可积随机变量ξ，k（Et[ξ]）t∈[0，T]kBMO。2稳定性测试之后，我们将假设（A1）存在一个d维布朗运动B，使得每个局部鞅M都是关于B的随机积分：M=M+ζ·B。当然，如果过滤是由B生成的，这个假设成立。考虑n维BSDE：（2.1）Yt=Ξ+ZTtf（s，ζs）ds-ZTtζdB，t∈ [0，T]。这里Y是一个n维半鞅，ζ是一个可预测的过程，其值在n×d矩阵的空间中，并且终端条件Ξ和t hedriver f=f（t，z）满足以下假设：（A2）Ξ是一个可积随机变量，其值在rnt中，使得t hemartingallet，Et[Ξ]- E[Ξ]，t∈ [0，T]属于BMO。（A3）t 7→ f（t，z）是一个可预测的过程，其值为Rn，（2.2）f（t，0）=0，并且存在一个常数Θ>0，使得（2.3）|f（t，u）- f（t，v）|≤ Θ（|u- v |）（u |+|v |），所有∈ [0，T]和u，v∈ Rn×d。注意，f=f（t，z）在z中有二次增长。我们将在本节末尾的标记2.3中讨论（A3）。回想一下，有一个常数κ=κ（n），对于每一个鞅∈ BMO（Rn），（2.4）κkMkBMO≤ kMkBMO，supτkEτ[|MT- Mτ|]kL∞≤ kMkBMO，见[16]，推论2.1。

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2022-5-7 02:02:41

[18]中的定理A.1表明，在（A1）、（A2）和（A3）下，如果（2.5）kLkBMO<8κΘ，则（2.1）存在唯一解（Y，ζ），使得kζkHBMO≤4κΘ.类似的局部存在性和唯一性结果首先在[20，命题1]中显示为小有界终端条件，然后在[9，命题2.1]中显示为当前BMO设置，但常数不同。理论2。下面的1提供了关于终端条件和驱动器的局部解（Y，ζ）的稳定性估计。与（2.1）一起，我们考虑一个类似的n维BSDEY′t=Ξ′+ZTtf′（s，ζ′s）ds-ZTtζ′dB，t∈ [0，T]，（2.6）其终端条件Ξ′和驱动器f′=f′（T，z）满足与Ξ和f相同的条件（A2）和（A3）- E[Ξ′，t∈ [0，T]，并假设存在一个非负过程δ=（δT），如that（2.7）|f（T，z）- f′（t，z）|≤ δt | z |。定理2.1。假设BSDE（2.1）和（2.6）满足（A1）、（A2）、（A3）和（2.7），并假设（Y，ζ）和（Y′，ζ′）是它们各自的解。对于p>1，存在正常数c=c（n，p）和c=c（n，p）（仅取决于n和p），因此如果（2.8）kζkHBMO+kζ′kHBMO≤cΘ，然后kζ′- ζkHp≤ C吉隆坡- LTkLp+k√ΔζkH2p,（2.9）kY′- Y kSp≤ CkΞ′- ΞkLp+k√ΔζkH2p.（2.10）此外，存在常数ec=ec（n）和ec=ec（n）（仅取决于n），因此ifkζkHBMO+kζ′kHBMO≤ecΘ，thenkζ′- ζkHBMO≤欧共体吉隆坡\'- LkBMO+k√ΔζkHBMO,（2.11）kY′- Y kSBMO≤欧共体|E[Ξ′）- Ξ]|+kL′- LkBMO+k√ΔζkHBMO.（2.12）证据。缩短符号集ζ , ζ′- ζ、等等。

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2022-5-7 02:02:44

定义鞅和有界变差过程asM，ζ·B，At，Zt（f′（s，ζ′s）- f（s，ζs））ds，t∈ [0，T]。我们推断t hatMT=LT+AT- E[AT]，这很容易暗示KMTKLP≤ KLTkLp+2k ATkLp。从Doob和Burkholder-Davis-Gundy（BDG）不等式出发，我们推导出常数C=C（n，p）的存在性，例如KζkHp≤ CkMTkLp。要估计kATkLpwe，请使用与A:Zt，Et变量相关的电势ZZTt|dA|= EtZTt|f′（s，ζ′s）- f（s，ζs）|ds≤ EtZTt|f′（s，ζ′s）- f′（s，ζs）|ds+ EtZTt|f′（s，ζs）- f（s，ζs）|ds.表示Z*, 监督∈[0，T]| Zt |根据Garsia Neveu不等式，我们有kATkLp≤ kZT | dA | kLp≤ pkZ*荷航。取1<p′<p，表示q′，p′/（p′）-1). 从（A3）和CauchySchwarz和H¨older不等式中我们得到了ZTt|f′（s，ζ′s）- f′（s，ζs）|ds≤ ΘEtZTt（|ζs|+|ζ′s|）|ζs|ds≤ ΘEt“ZTt（|ζs|+|ζ′s|）ds1/2ZTt|ζs|ds1/2#≤ ΘEt“ZTt（|ζs|+|ζ′s|）dsq′/2#！1/q\'Et“ZTt|ζs|dsp′/2#！1/p′。从Doob不等式、BDG不等式和BMOP范数的等价性，见[16，推论2.1，p。

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2022-5-7 02:02:47

28]，我们推导出常数C=C（n，q′）的存在性ZTt（|ζs|+|ζ′s|）dsq′/2#！1/q′≤ C（kζkHBMO+kζ′kHBMO）。使用“明显的估计”ZTt|ζs|dsp′/2#≤ Et“ZT|ζs|dsp′/2#，Nt，并表示r，p/p′>1，我们从Doob不等式推导出常数C=C（r）的存在性，使得kn*kLr≤ CkNTkLr=Ckζkp′Hp。综合以上估计，我们得出*kLp≤ CΘ（kζkHBMO+kζ′kHBMO）kζkHp，其中常数C=CC1/p′仅取决于n和p。从（2.7）我们推导出vt，EtZTt|f′（s，ζs）- f（s，ζs）|ds≤ EtZTtδs |ζs | ds≤ EtZTδs|ζs|ds.Doob不等式的另一个应用产生了一个常数C=C（p）>1such thatkV*kLp≤ CkZTδs |ζs | dskLp。定义常数c=c（n，p）和c=c（n，p）asc=4pCC，c=4pCC，假设（2.8），我们得到ζkHp≤ Cp（k）LTkLp+2k Z*（荷航）≤ Cp（k）LTkLp+2k U*kLp+2k V*（荷航）≤ 内容提供商KLTkLp+2CΘ（kζkHBMO+kζ′kHBMO）kζkHp+2CkZTδs |ζs | dskLp≤KζkHp+CKLTkLp+k√ΔζkH2p,这意味着（2.9）。当我们写下时，估算值（2.10）根据（2.9）和上面的估算值，用适当的C=C（n，p）计算kRT | dA | klpY=E[Ξ+AT]，Y=Y+M- A、证明开始时定义了M和A。估计值（2.11）和（2.12）更直接。

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kedemingshi

2022-5-7 02:02:50

使用相同的过程M，A，U和V，我们得到mt=Lt+Et[AT]- E[AT]和停止时间τEτ[|AT]- Eτ[AT]|]≤ 2EτZTτ| f′（s，ζ′s）- f（s，ζs）|ds≤ 2（Uτ+Vτ）。通过柯西-施瓦兹不等式，我们从（A3）推导出uτ=EτZTτ| f′（s，ζ′s）- f′（s，ζs）|ds≤ ΘEτZTτ（|ζs|+|ζ′s|）|ζs|ds≤ Θ（kζkHBMO+kζ′kHBMO）kζkHBMOand来自（2.7）thatVτ=EτZTτf′（s，ζs）- f（s，ζs）|ds≤ EτZTτδs |ζs | ds≤ K√ΔζkHBMO。考虑到（2.4），我们得到了2κkAT- E[在]kLBMO≤ Θ（kζkHBMO+kζ′kHBMO）kζkHBMO+k√ΔζkHBMOand sincekζkHBMO=kMkBMO≤ KLkBMO+kAT- E[AT]kLBMO，如果我们选择C=4κ，eC=4κ，估计值（2.11）很容易得出。最后，我们从kMkBMOand kAT的估计值推导出（2.12）（适当的eC=eC（n））- 我们一写信就去看kLBMOasY=E[Ξ]+M- （A）- E[AT]）。备注2.2。假设BSDE（2.1）和（2.6）满足（A1）、（A2）、（A3）和（2.7），并假设（Y，ζ）和（Y′，ζ′）是它们各自的解。如果我们设为，Zt（f′（s，ζs）- f（s，ζs））ds，γt，|ζ′t- ζt|（f′（s，ζ′s）- f′（s，ζs））1{|ζ′t-ζt |>0}，那么我们就不能写了- Yt=Ξ′- Ξ+在- At+ZTtγs|ζ′s- ζs|ds-ZTt（ζ′）- ζ） dB。如果我们观察到局部界（2.8）暗示了该定理第（ii）项的条件，这个线性化参数允许我们从[7]的定理2.2中给出的Lipschitz BSDE的稳定性估计推导（2.10）。我们向裁判f或指出这种联系。备注2.3。关于驱动因子f=f（t，z；ω）的假设（A3）允许我们在不涉及成熟度t的条件（2.5）下得到（2.1）的解的存在性。

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2022-5-7 02:02:53

如果没有（2.2）（这一事实很容易看出）或者（2.3）被一个较弱的条件（2.13）|f（T，u）取代，这种T-独立性属性就无效- f（t，v）|≤ Θ（|u- v |）（1+| u |+| v |）。下面我们使用与[10]中相同的想法构造一个相关的反例。我们采用一维布朗运动B，将停止时间τ和有界鞅M定义为τ，minT∈ (0, 1 ) :Zt1- SDB=π,Mt，Zt∧τ1 - sdBs，t≥ 我们推导出τ∈ （0,1）和| Mτ|=π/2。标准参数（见[16，引理1.3]）表明（2.14）E经验ahMiτ=1/cos（aπ/2），0≤ a<1，∞, A.≥ 1.我们考虑三维二次BSDE，参数化为a>0和T>1:Yt=a√技术性贸易壁垒-ZTtζdB，Yt=ZTtMτ{s≥1} ζ-sds-ZTtζdB，Yt=ZTt（ζs）+（ζs）ds-ZTtζdB。我们注意到，第二个方程中的驱动力线性依赖于ζ，即（2.13）与Θ=π保持一致，以及（2.15）kΞkLBMO=kA.√TBT，0，0kLBMO=a。如果rζdB和rζdB是[0，T]上的真鞅，那么前两个方程得出ζ=a√T、 ZTζdB=a（T- 1)√TMτ。第三个等式意味着expY+ZTζdB-ZT（ζs）ds= 经验ZT（ζs）ds= 经验a（T）- 1） 2ThMiτ.根据（2.14）和（2.15），ζ的存在性相当于t oa（t-1)√T=kΞkLBMO（T- 1)√T<1。因此，我们的BSDE的可解性取决于纯二次BSDE的kΞklbmoa和T.3解析展开，其中考虑了n维BSDE（3.1）Yt=aΞ+ZTtf（s，ζs）ds-ZTtζdB，t∈ [0，T]，其中终端条件取决于参数a∈ R

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2022-5-7 02:02:56

如果Ξ和f满足（A2）和（A3）以及|a |<ρ，其中（3.2）ρ，8κΘkLkBMO，那么，根据[18，定理a.1]，只有一个解（Y（a），ζ（a）），使得（3.3）kζ（a）kHBMO≤对于这个解，我们有一个估计：kζ（a）kHBMO≤ 2 | a | kLkBMO。特别是，ζ（a）在HBMOA中收敛到0，因为a接近0。在理论上。2下面我们得到了ζ（a）在a=0的八分之一处的解析展开式，前提是驱动函数f=f（t，z）在z中是纯二次的：f（t，z）=Xijklzijzklαijklt对于某些Rn值可预测有界过程（αijkl）或等价地，（A4）f（t，z）=ef t（t，z，z），其中对于所有的u，v∈ Rn×D地图t 7→ef（t，u，v）是一个Rn值的可预测过程，对于每个t∈ [0，T]地图（u，v）7→ef（t，u，v）是对称的，在Rn×d×Rn×d上是双线性的，并且由一个常数Θ>0来限定。换句话说，ef（t，λu，v+w）=ef（t，λ（v+w），u）=λ（ef（t，u，v）+ef（t，u，w）），ef（t，u，v）≤ |u|v|∈ [0，T]，λ∈ R、还有u，v，w∈ 注意，（A4）意味着（A3）：|f（t，u）- f（t，v）|=ef（t，u，u）-ef（t，v，v）=ef（t，u）- v、 u+v）≤ Θ（|u- v |）（u+v |）≤ Θ（|u- v |）（|u |+|v |）。条件（A4）自然出现在涉及世博会公用设施的金融应用中，参见[10]、[18]和[15]。为了说明定理3.2，我们需要以下技术结果。引理3.1。假设（A1）和（A4）。对于u，ν∈ HBMother是一个独特的ζ∈ HBMOsuch表示（3.4）（ζ·B）t=EtZTef（s，us，νs）ds- EZTef（s，us，νs）ds.此外，kζkHBMO≤ 2κΘkukHBMOkνkHBMO，其中正常数κ和Θ在（2.4）和（A4）中定义。证据

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2022-5-7 02:03:00

定义鞅等ZTef（s，us，νs）ds- EZTef（s，us，νs）ds.对于停止时间τ，我们从（A4）和Cauchy-Schwarz不等式推导出τ[|MT- Mτ|]=EτZTτef（s，us，νs）ds- Eτ[ZTτef（s，us，νs）ds]≤ 2EτZTτef（s，us，νs）ds≤ 2ΘEτZTτ|us |νs |ds≤ 2ΘEτZTτ|us | ds1/2EτZTτ|νs | ds1/2.因此由（2.4）kMkBMO≤ κsupτkEτ[|MT- Mτ|]kL∞≤ 2κΘkukHBMOkνkHBMO，结果如下，因为从（A1）来看，M允许一个积分代表离子ζ·B，用于某些唯一的ζ∈ HBMO。引理3.1允许我们定义mapeF:HBMO×HBMO→ HBMOsuchζ=eF（u，ν）由（3.4）给出。这个映射是双线性的（sinceef（t，·，·）是双线性的），并且以2κΘ为界。回想一下（3.2）中的常数ρf和（A2）中的BMO鞅L。定理3.2。假设（A1）、（A2）和（A4）。那么对于|a |<ρ，只有一个解（Y（a），ζ（a））到（3.1）满足（3.3）。它甚至是由权力系列（a）决定的=∞Xk=1Y（k）akandζ（a）=∞对于SBMO和HBMO中的|a |<ρ，Xk分别为1ζ（k），系数为（1）t=Et[Ξ]，t∈ [0，T]，（3.5）ζ（1）·B=L，（3.6）和，对于k≥ ζ（k）=Xl+m=keF（ζ（l），ζ（m）），（3.7）Y（k）t=Xl+m=kEt[ZTtef（s，ζ（l）s，ζ（m）s）ds]，t∈ [0，T]，（3.8）式中，我们对所有加在k上的正整数对（l，m）求和。备注3.3。基于（3.7）-（3.8）和双线性mapeF的定义，利用鞅表示法构造（Y（a），ζ（a））的幂级数展开式。我们参考文献[5]和参考文献中的数值算法来近似布朗运动函数的鞅表示项。理论的证明。2.关于一些引理。引理3.4。假设（A1）、（A2）和（A4）。设（ζ（k））k≥1根据（3.6）-（3.7）给出。然后（ζ（k））k≥1. HBMOand（3.9）∞Xk=1kζ（k）kHBMOρk≤4κΘ.证据每个ζ（k）属于HBMOfollows的说法来自其构造和L emma 3.1。

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2022-5-7 02:03:03

为了n≥ 1.通过2κΘwe obta insn使用双线性映射ef的有界性定义部分sumsn，nXk=1kζ（k）kHBMOρk- s=nXk=2kζ（k）kHBMOρk≤nXk=2Xl+m=kkeF（ζ（l），ζ（m））kHBMO！ρk≤ 2κΘnXk=2Xl+m=k（kζ（l）kHBMOρl）（kζ（m）kHBMOρm）≤ 2κΘn-1Xl，m=1（kζ（l）kHBMOρl）（kζ（m）kHBMOρm）=2κn-1Xk=1kζ（k）kHBMOρk！=2κΘ（sn）-1).为了验证（3.9），我们使用归纳论点。对于n=1，我们有s=kζ（1）kHBMOρ=ρkLkBMO=8κΘ。如果现在-1.≤ 1/（4κΘ），然后≤ s+2κΘ（sn）-1)≤8κΘ+ 2κΘ4κΘ=4κΘ和（3.9）如下。引理3.5。假设（A1）和（A4）。对于u，ν∈ HBMOthe processXt等ZTtef（s，us，νs）ds, T∈ [0，T]属于SBMOandkXkSBMO≤ 2（1+κ）kukHBMOkνkHBMO。证据半鞅X的正则分解的形式为X=X+M- A、其中t=Ztef（s，us，νs）ds，X=E[AT]，Mt=Et[AT]- E[AT]。作者：艾玛3。我们有KMKBMO≤ 2κΘkukHBMOkνkHBMO。就像引理3的证明一样。1我们推导出，对于任何停止时间τEτ[ZTτ| dA |]=Eτ[ZTτef（s，us，νs）[ds]≤ ΘkukHBMOkνkhbmo，结果如下。定理3.2的证明。采取行动∈ R使得| a |<ρ。回想一下，（A4）意味着（A3）。[18]中的定理A.1则暗示了满足（3.3）的解ζ（A）的存在性和唯一性。

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2022-5-7 02:03:06

为了证明（3.10）ζ（a）=β，∞Xk=1ζ（k）ak，我们需要验证β是图F:HBMO的固定点→ HBMOgiven byF（ζ），aζ（1）+eF（ζ，ζ）。为了n≥ 1确定部分和：βn，nXk=1ζ（k）ak。鉴于外稃3。4.将β和βnbelong加工成HBMOandkβ- β-nkHBMO≤∞Xk=n+1kζ（k）kHBMOρk→ 0，n→ ∞.f和引理3.1的双线性度然后yieldkF（β）- F（βn）kHBMO=keF（β，β）-eF（βn，βn）kHBMO=keF（β- βn，β+βn）kHBMO≤ 2κkβ- βnkHBMO（kβkHBMO+kβnkHBMO）→ 0，n→ ∞,为了得出（3.10）的证明，我们只需要证明（3.11）kF（βn）- β-nkHBMO→ 0，n→ ∞.根据f的双线性性和（ζ（k））的构造，我们推导出f（βn）- βn=eF（nXk=1ζ（k）ak，nXk=1ζ（k）ak）-nXk=2ζ（k）ak=nXl，m=1eF（ζ（l），ζ（m））al+m-nXk=2Xl+m=keF（ζ（l），ζ（m））！ak=X1≤l、 m≤nl+m>neF（ζ（l），ζ（m））al+m。利用2κΘ的双线性mapeF的有界性，我们得到了inkF（βn）- β-nkHBMO≤ 2κΘXl+m>nkζ（l）kHBMOkζ（m）kHBMOρl+m≤ 2κΘ∞Xk=1kζ（k）kHBMOρk！-[n/2]Xk=1kζ（k）kHBMOρk（3.11）来自引理3.4。只要我们写下（a）asYt（a）=aEt[Ξ]+Et[ZTtef（s，ζs（a），ζs（a））ds]，就可以很容易地从ζ（a）的展开式中得到Y（a）的幂级数表示及其系数的公式（3.5）和（3.8）∈ [0，T]，并使用f和引理3的双线性性。5.4价格影响模型的应用我们考虑在加里诺、佩德森和波特什曼[11]、德国[12]以及克拉姆科夫和普利多[18]研究的价格影响财务模型。有一位具有代表性的交易商，其对终端财富的偏好由指数效用u（x）=-ae-斧头∈ R.风险规避系数a>0决定了价格影响的强度。尤其是↓ 0我们得到了经典的无影响数学金融模型；见第4节。2.金融市场由一个银行账户和n只股票组成。银行账户支付零利率。

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2022-5-7 02:03:10

股票支付股息ψ=（ψi）i=1，。。。，自然成熟；每个ψ都是一个随机变量。虽然终端股票的价格总是由ψ给出，它们的中间价值是由外生需求过程γ通过以下均衡机制影响的石[0，T）区域。定义4.1.具有RNI值的可预测过程γ称为需求。如果存在n维半鞅，且终端价值为ST=ψ，则需求γ是可行的，使得定价概率测量Q由DQDP，U′定义（RTγdS）E[U′（RTγdS）]=E-第5条-aRTγdS]和S以及随机积分γ·S是Q下的统一可积鞅。引理2.2在[18]中阐明了定义4.1的经济意义。它表明，需求γ是可行的，当且仅当它为以股票价格S=S（γ）交易的交易商定义股票的最优数量时。在（A1）中，对于伴随着股票价格S和定价测度Q的可行需求γ，f有唯一的过程α∈ H（Rd）和σ∈H（Rn×d），分别称为风险的市场价格和波动率，即dqdp=e-RTαdB-RT |αt | dt，St=S+ZtσSαsds+ZtσdB。[18]中的定理3.1用二次BSDE系统的解刻画了S，α，a和σ。

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2022-5-7 02:03:14

更准确地说，它表明需求γ是可行的，并且伴随着股票价格S当且仅当存在一维半鞅R和可预测过程η∈ H（Rd）和θ∈ H（Rn×d），这样，对于每t∈ [0，T]，aRt=ZTt（|θ）*sγs|- |ηs |）ds-ZTtηdb，（4.1）aSt=aψ-ZTtθs（ηs+θ）*sγs）ds-ZTtθdB，（4.2），这样随机指数Z，E(-(η + θ*γ）过程ZS和Z（γ·S）是一致可积鞅。在这种情况下，Z是定价测度Q的密度过程，风险α的市场价格和波动率σ由α=η+θ给出*γ、（4.3）σ=θ/a。（4.4）辅助过程R在时间t的值可以写成rt，U-1.EtUZTtγdS= -阿洛格埃斯-aRTtγdSi,因此代表了交易商确定的剩余收益的等价值。备注4.2。来自定义4。1我们推断股票价格S=S（γ，a，ψ）对可行需求γ、风险规避系数和股息ψ的依赖性具有以下同质性：对于b>0，S（bγ，a，ψ）=S（γ，ba，ψ）=bS（γ，a，bψ）。这使得风险α=α（γ，a，ψ）的市场价格和波动率σ=σ（γ，a，ψ）：α（bγ，a，ψ）=α（γ，ba，ψ）=α（γ，a，bψ），σ（bγ，a，ψ）=σ（γ，ba，ψ）=bσ（γ，a，bψ）的市场价格具有相似的性质。（4.5）4.1关于需求γ的稳定性如果需求γ的形式为：γ=m，则称之为简单-1Xi=0θi（τi，τi+1），其中0=τ<τ<···<τm=T是停止时间，θiis是一个Fτi可测量的r和om变量，其值为Rn，i=0，…，m-1.[12]中的定理1表明，只要红利ψ=（ψi）具有所有指数矩，则每个有界单需求γ都是可行的。此外，在这种情况下，价格过程S=S（γ）是唯一的，并且由反向归纳法显式构造。对于一般（非简单）需求，情况更复杂。

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2022-5-7 02:03:17

如[18，命题4.3]所示，即使对于有界红利ψ和需求γ，价格S=S（γ）的存在性或唯一性也可能失效。根据[18，定理4.1]，在正的一面，有一个常数c=c（n）>0（仅取决于股票数量n），因此如果（4.6）akγkH∞kψ- E[ψ]kLBMO≤ c、那么价格S=S（γ）存在并且是唯一的。下面的定理表明，在（4.6）下，价格S=S（γ）在需求γ的微小变化下是稳定的。特别是，它们可以很好地近似于源自简单需求的价格。定理4.3。假设（A1），让p>1。有一个常数c=c（n，p）>0，如果（γm）m≥1和γ是H的元素∞（Rn）使（4.7）akγmkH∞kψ- E[ψ]kLBMO≤ c、 m≥ 安第斯山脉1号ZT |γmt- γt|dt→ 0米→ ∞,然后（γm）m≥1和γ是可行的dem和相应的股票价格（Sm）m≥1和S，挥发性（σm）m≥1和σ，以及风险的市场价格（αm）m≥1和α收敛为（4.8）kSm- SkSp+kσm- σkHp+kαm- αkHp→ 0米→ ∞.证据观察风险和波动率的市场价格的自相似关系（4.5），我们可以假设A=1≥ kγmkH∞, M≥ 1.显然，γ满足（4.6）中的常数c与（4.7）中的常数c相同。根据[18，定理4.1]，我们可以选择c=c（n），这样需求（γm）和γ是可行的，并且伴随着独特的股票价格。使用定理2。1和BSD特征（4.1）–（4.4）我们也可以选择c=c（n，p），所以KSM-SkSp+kσm-σkHp+kαm-αkHp≤ CkZT |γmt- γt |（|αt |+|σt |）dtklpf对于某些C=C（n，p）。这就得到了（4.8）的支配收敛定理。备注4.4。利用定理2.1，我们可以证明BMO中价格（Sm）及其局部特征（αm，σm）的一个类似收敛结果，前提是kγm- γkH∞→ 0

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2022-5-7 02:03:20

然而，重要的是要强调的是，对于形式k·kH，SimpleDemand在有界需求空间中不是稠密的∞.4.2小风险规避的渐近展开随着风险规避系数a接近零，价格影响消失，我们得到了一个经典的数学金融模型。理论4。5下文提供了a=0附近的风险波动率和市场价格的分析扩展。这些展开式中的项是通过鞅表示递归计算的，因此非常明确。我们写z∈ R（n+1）×mas z=（z，z）带z∈ 曼纳德z∈ Rn×m，（n+1）×m维矩阵在其第一个和第二个图上的分解；以下m=1或d，是（A1）的基本布朗运动的维数。对于向量w∈ 考虑双线性映射：g（·；w）=（g，g）（·；w）：R（n+1）×d×R（n+1）×d→ Rn+1根据R（n+1）×dasg（u，v；w），（hu）定义为u=（u，u）和v=（v，v）*w、五*wi- 胡，六）g（u，v；w），-（uv+vu+）（uv*+ 似曾相识*)w）式中，hx，yi表示x，y的标量积∈ Rm。以γ为例∈ H∞（Rn）。外稃3。1表明对于HBMO（R（n+1）×d）中的u和ν，存在唯一的ζ∈ HBMO（R（n+1）×d）使得（4.9）ZtζdB=Et[ZTg（us，νs；γs）ds]- E[ZTg（us，νs；γs）ds]。因此，我们可以定义一个双线性mapG（·，·；γ）：HBMO（R（n+1）×d）×HBMO（R（n+1）×d）→ HBMO（R（n+1）×d），ζ=G（u，ν；γ）由（4.9）给出。用S（0）和σ（0）表示未受干扰股票的价格和波动率，对应于γ=0:St（0）=Et[ψ]=S（0）+Ztσ（0）dB，t∈ [0，T]。定理4.5。假设（A1）和0<kψ- E[ψ]kLBMO<∞.有一个常数c=c（n）>0，如果γ∈ H∞（Rn），γ6=0，风险厌恶系数（4.10）0<a<ρ，ckγkH∞kψ- 那么γ是一个可行的需求。

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2022-5-7 02:03:24

p ri ce S（γ；a）是唯一的，允许在SBMO中进行powerseries扩展：S（γ；a）=S（0）+∞Xk=1S（k）ak，a<ρ。风险α（γ；a）的市价和波动率σ（γ；a）具有HBMO中的幂级数扩展：α（γ；a）=∞Xk=1（ζ（k）+（ζ（k））*γ） ak，a<ρ，σ（γ；a）=∞Xk=0ζ（k+1）ak，a<ρ。这里的系数ζ（k）=（ζ（k），ζ（k）），k≥ 1，i n HBMO（R（n+1）×d）的递推形式为ζ（1）=（ζ（1），ζ（1））=（0，σ（0）），（4.11）ζ（k）=Xl+m=kG（ζ（l），ζ（m）；γ），k≥ 2、（4.12）和系数（S（k））k≥1. SBMO（Rn）由s（k）t=-Xl+m=k+1Et[ZTtζ（l）2，s（ζ（m）1，s+（ζ（m）2，s）*γs）ds]，t∈ [0，T]。备注4.6。股票价格扩张中的主要价格影响系数为（1）t=-EtZTtσs（0）σs（0）*γ-sds, T∈ [0，T]。在[12，定理2]中，对于一个简单的需求，这个结果得到了更精确的结果。定理4.5的证明。[18]中的定理4.1给出了常数c（n）的存在性，在（4.10）中，γ是一个可行的需求，伴随着唯一的价格过程S=S（γ，a）。观察到系数ζ（k）对γ和σ（0）的依赖性具有同质性：ζ（k）（bγ，σ（0））=ζ（k）（γ，bσ（0））=bkζ（k）（γ，σ（0）），bζ（k）（bγ，σ（0））=ζ（k）（γ，bσ（0））=bkζ（k）（γ，σ（0）），b>0，这可以通过诱导验证。

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2022-5-7 02:03:27

鉴于这些性质以及风险和波动性市场价格的自相似关系（4.5），我们可以在不损失一般性的情况下假设thatkγkH∞= kσ（0）kHBMO=1。在这种情况下，随机双线性映射g（·，·；γ）由常数Θ=Θ（n）限定，使得|g（u，v；w）|≤ Θu | v |每w∈ Rnwith | w |≤ 1.现在取常数c也小于1/（8Θκ），其中κ=κ（n）定义在（2.4）中，我们从定理3.2推导η=η（a）的存在性和唯一性∈ HBMO（Rd）和θ=θ（a）∈ HBMO（Rn×d）解（4.1）-（4.2）和qkηkHBMO+kθkHBMO≤4κΘ.此外，这些地图是7→ η（a）和a7→ θ（a）(-ρ、 ρ）到HBMOare解析，其幂级数由η（a）给出=∞Xk=1ζ（k）ak，θ（a）=∞Xk=1ζ（k）ak，系数ζ（k）=（ζ（k），ζ（k）），k≥ 1，在HBMO（R（n+1）×d）中，由（4.11）-（4.12）确定。S的幂级数展开式源自定理3.2，而α和σ的展开式源自（α，σ）和（η，θ）之间的线性可逆关系（4.3）-（4.4）。参考文献[1]Philippe Briand和Romuald Elie。二次BSDE的一种简单的构造性方法，有延迟或无延迟。随机过程。应用程序。，123(8):2921–2939, 2013. ISSN 0304-4149。doi:10.1016/j.spa。2013.02.0 13.统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1016/j.spa.2013.02.013.[2] 菲利普·布莱恩和胡颖。具有二次增长和无界终值的BSDE。Probab。理论研究领域，136（4）：60 4–618，2006。ISSN 0178-8051。内政部：10.1007/s00440-006-0497-0。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1007/s00440-006-0497-0.[3] 菲利普·布莱恩和胡颖。具有凸生成元和无界终端条件的二次BSDE。Probab。理论相关领域，141（3-4）：543-56720008。8051-0178。doi:10.1007/s00440-007-0093-y.URLhttp://dx.doi.org/10.1007/s00440-007-0093-y.[4] Patrick Cheridito和Kihun Nam。具有特殊结构的多维二次和次二次BSDE。

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mingdashike22

2022-5-7 02:03:30

《随机学》，87（5）：871-8842015。内政部：10.1080/17442508.2015.1013959。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1080/17442508.2015.1013959.[5] 阿玛·康特和伊路。鞅表示的弱逼近。随机过程。应用程序。，126(3):857–882,2016. 内政部：http://dx.doi.org/10.1016/j.spa.2015.10.002.统一资源定位地址http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304414915002501.[6] R。W·R·达林。使用向后SDE构造具有规定极限的伽马鞅。安。Probab。，23(3):1234–1261, 1995. 内政部：10.1214/aop/1176988182。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1214/aop/1176988182.[7] 弗雷迪·德尔班和唐善坚。随机方程和倒向随机微分方程的调和分析。Probab。理论相关领域，146（1）：291–3362008。内政部：10.1007/s00440-008-0191-5。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1007/s00440-008-0191-5.[8] Nicole El Karoui和Said Hamad\'ene。随机泛函微分方程的BSDEs与风险敏感性控制、零和与非零和对策问题。随机过程。应用程序。，107(1):145–169, 2003. 我是否：http://dx.doi.org/10.1016/S0304-4149(03)00059-0. 统一资源定位地址http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304414903000590.[9] 克里斯托夫·弗雷。拆分多维BSDE并找到局部平衡。随机过程。应用程序。，124(8):265 4–2671,2014. ISSN 0304-4149。doi:10.1016/j.spa。2014.03.004. 统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1016/j.spa.2014.03.004.[10] Christoph Frei和Gon,calo dos Reis。投资者相互作用的金融市场：是否存在均衡？数学财务部。经济。，4(3):161–182, 2011. ISSN 1862-9679。内政部：10.1007/s11579-011-0039-0。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1007/s11579-011-0039-0.[11] Nicolae Garleanu、Lasse Heje Pedersen和Allen M.Pot eshman。基于需求的期权定价。牧师。财务部。螺柱。，22(10):4259 –4299,2009. 内政部：10.1093/rfs/hhp005。[12] 大卫·德文。大型投资者基于均衡模型的定价。

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大多数88

2022-5-7 02:03:33

数学财务部。经济。，4(4):2 87–297, 2011.ISSN 1862-967 9。内政部：10.1007/S11579-011-0041-6。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1007/s11579-011-0041-6.[13] 桑福德·J·格罗斯曼和默顿·H·米勒。流动性和市场结构。《金融杂志》，43（3）：617-6331988。ISSN 0022-1082。[14] 应虎和山涧汤。对角二次生成元的多维倒向随机微分方程。随机过程s.s.应用。，126(4):1066–1086,2016. 内政部：http://dx.doi.org/10.1016/j.spa.2015.10.011.统一资源定位地址http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304414915002598.[15] Constantinos Kardaras，Hao Xing和GordanˇZitkovi\'c.指数效用接近帕累托最优的不完全随机均衡。arXiv:1505.0722，2015年5月4日。统一资源定位地址http://arxiv.org/abs/1505.07224.[16] Kazamaki Norihiko。连续指数鞅和BMO，数学课堂讲稿1579卷。斯普林格·维拉格，柏林，1994年。ISBN 3-540-58042-5。[17] 玛格达琳娜·科比兰斯基。倒向随机微分方程和二次增长偏微分方程。安。亲爸爸。，28(2):558–602, 2000. ISSN 0091-1798。内政部：10.1214/aop/101916025 3。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1214/aop/1019160253.[18] 德米特里·克拉姆科夫和塞尔吉奥·普利多。价格影响模型中出现的二次BSDE系统。安。阿普尔。Probab。，26(2):794–817, 2016. 内政部：10.1214/15-AAP1103。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1214/15-AAP1103.[19] 汤山间。具有随机系数的一般线性二次型最优随机控制问题：线性随机Hamilton系统和倒向随机Riccati方程。暹罗J.ControlOptim。，42(1):53–75, 2003. 内政部：10.1137/S0 36301290 1387550。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1137/S0363012901387550.[20] Revaz Tevzadze。二次增长倒向随机微分方程的可解性。随机过程。应用程序。，118(3):503–515, 2008. ISSN 0304-4149。

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