因此，可以定义一个正集函数λGon，即Ohm 表格由Ohm,  以及形式{X>t}的所有集合△ N带t∈ R+和N∈ N*隐式地让λG(Ohm) = -fG（0），λG() = 0和（43）λG（{X>t}△ N）=sup{u∈D:你呢≥t}-fG（u）t∈ R+，N∈ N*为了确保这一定义的正确性，请注意∞∈ D使得{X>t∞} = 然后FG（t∞+ h） =FG（t）∞) 所以fG（t∞) = 0.同样，如果{X>t}=Ohm 有一段时间∈ D、 然后{X>t}={X>0}，如上图所示，fG（t）与fG（0）重合。如果其中一个∞如果不存在，则可以随意选择λ的对应值。由于A（X）的元素是通过包含线性排序的，因此如果Ai={X>ti}△ 尼姑∈ N*对于i=1，带t的2≥ t当λG（A）+λG（A）=λG（X>t）+λG（X>t）=λG（{X>t}∩ {X>t}）+λG（{X>t}∪ {X>t}）=λG（A∩ A） +λG（A）∪ A） 资产定价21as{X>t}△ （A）∩ A） ，{X>t}△ （A）∪ （A） N∪ N∈ N*. 从[4，定理3.1.6和3.2.10]可以看出，存在一个唯一的扩展λG∈ λGto的ba（A（X））+由A（X）生成的代数A（X），因此当N时λG（N）=0∈ N*. 设（44）βGX=limk→∞然后我们从（42）βGX=FG（k）得到-Z∞kλG（X>t）dtk≥ 0为了最终得到（41），写下=A. R+：X-1（A）∈ A（X）很明显，A是一个代数，包含由R+的左开区间生成的代数A（R+）。然后定义λGX∈ 让λGX（A）=λG（X）得到ba（A（R+）∈ A） 观察fr om（42）thatRR+λGX（x>t）dt=-RR+f（t）dt≤ FG（0）使limtλGX（（t，∞)) = 0.利用勒贝格积分的标准规则和分段积分，我们得到ZR+λG（X>t）dt=ZR+λGX（X>t）dt=ZR+xdλGX（X）=ZxdλGX（X）作为λGX（X<-t=0表示所有t≥ 它由[16，Lemm a 2，p。

191]与λGXis唯一相关的是它的常规伴侣νGX∈ ca（A（R+）+，对于任何连续函数h:R，其适当性为（45）Zh（x）dλGX=Zh（x）dνGX→ R，其中任何一个积分都有很好的定义。从a（R+）到生成的σ代数B（R+）的扩展是标准的。因此，代表性（41）隐含在合理定价中。假设βGX≥ 0和^νGX∈ ca（B（R+）+）是代表（41）的另一对。然后，βGX-^βGX=R∞k[^νGX（x>t）- 所有k的νGX（x>t）]dt≥ 0表示βGX=βGX。注意，按照标准规则，（46）Z∞tνGX（x>z）dz=z（x- 因此，t）+dνGX（x）（41）表示G衍生工具的价格，即泡沫部分和风险损失价值之和。在（44）项中，βG（X）代表了（实际的）期权价格，因为价格接近实际价格，并有助于解释在某种形式的微笑效应中，深度出钱的看涨期权价格过高的原因。定理7最重要的含义是关于期权市场的实证分析。从这个角度来看，应该开始注意调用函数qGX，虽然不是报价，但完全基于市场，一旦选择了集合G，就可以显式计算。相反，C ALL函数的统计估计遵循某种最佳统计标准，不能保证直接的市场解释。原则上，我们可以根据收集的样本选择22个GIANLUCA Cassee，并研究估计值qGX（t）是否具有合理的统计特性。这暗示了一种新的非参数经验策略。由（41）产生的第二个事实是，通过期权价格中的可数可加概率νGXimplicit来表示期权价格。

尽管νGX通常依赖于G，但（41）m使得通过计算（47）νGX（x>t）来运行Breeden和Litzenberger[7]以及Banz和Miller[2]的经典练习成为可能，即使在这里开发的数学结构最小的模型中也是如此-dqGX（k）dkk=t对于所有t≥ 0注意，在Black和S choles模型中（47）转化为经典公式（48）νBSX（x>k）=e-rTΦ（d）与d=ln（S/k）+（r）-σ） Tσ√t使kνBSXk=exp(-rT）。在更一般的传统模型中，调用下限qX≥qX（k）≥ qX- kq简化了不等式kνXk≤ Q≤ 1.然而，当num’eraire资产并非无风险时，这种不平等不能从套利论点中得出。特别地，我们没有任何先验约束来施加于νX的范数≥*η、 然后我们得到G={（x-t） +：t∈ R+}kνGXk=νGX（x>0）=limk→0qGX（0）- qGX（k）k≤ πX（1）≤qX（0）η附录A.辅助结果让我们从两个一般结果开始。定理8。允许 是F上的偏序(Ohm) 满足假设4和Γ F(Ohm) 凸面圆锥体。没有f∈ Γ与f 1当且仅当存在m时∈ P= {u ∈ P:u（N）=0时为0 使（49）Γ= {f∈ Γ：f a一些a∈ R} L（m）和supf∈ΓZfdm≤ 0证据。定义以下集合Γ=（g∈ F(Ohm) : G-∈ B、 IXi=1fiNci g代表一些f，菲∈ Γ, N镍∈ N)注意，Γ是一个凸锥，其上有下界函数Ohm . 假设Γ包含asure win，即元素g≥ 1.然后存在f，菲∈ ΓN，镍∈ N这样一来，Pii=1fiNci g、 然而，注意到N=SiNn∈ N（因此α1N 0表示任何α∈ R） IXi=1fi 1+XifiNi 1+迷你（fi，)1N 1合同PII=1fi∈ Γ. 根据[9，命题1]，存在m∈ P在Γ L（m）和supg∈ΓZgdm≤ 0资产定价23N∈ N意味着0 那么∈ Γ，sin ce 0∈ Γ. 因此m（N）≤ 0和m∈ P.

另一方面，f∈ Γ意味着fn=f1{f≥F-2.-n}∈ 所以R | f | dm=R | fn | dm<∞ andRfdm=Rfndm≤ 0.反过来，假设f∈ Γ和f 1.然后{f≤ 1/2} ∈ N和f∈ Γ所以0≥Rfdm=R{f>1/2}fdm≥ 1/2，矛盾。引理4。让我 F(Ohm) 是一个包含B的向量格。每个正线性泛函φonL允许分解（50）φ（f）=φ⊥（f） +Zfdmφf∈ l这里是mφ∈ ba和φ⊥是B证明上的一个正线性泛函消失。见[9，定理1]。定理9。让我 F(Ohm) 是一个包含B的向量格*, C L是一个包含定理原和γ的凸集：F（L）be≥*-单调的，次可加的，正齐次的。那么（51）γNXn=1fn=NXn=1γ（fn）f，fN∈ Cif且仅当存在（i）L上的正线性泛函β在B上消失时*和（ii）m∈ 文学士*,+这样我 L（m）（52）γ（h）≥ β（h）+Zhdm和γ（f）=β（f）+Zfdm∈ L，f∈ CProof。（51）成立于C当且仅当它成立于C生成的整个凸锥上，通过正齐次性和包含0∈ C.让f，fN，g，gK∈ C和λ，λN，α，αK∈R应使pkk=1αkgk=*PNn=1λnfn。那么，PKk=1α+kgk+PNn=1λ-nfn=*PKk=1α-kgk+PNn=1λ+nfn。（51）和≥*单调性kxk=1α+kγ（gk）+NXn=1λ-nγ（fn）=γKXk=1α+kgk+NXn=1λ-nfn！=γKXk=1α-kgk+NXn=1λ+nfn=KXk=1α-kγ（gk）+NXn=1λ+ni（fn），即PKk=1αkγ（gk）=PNn=1λnγ（fn）。因此，量φNXn=1λnfn=NXn=1λnγ（fn）f，fN∈ C、 λ，λN∈ R24 GIANLUCA Casese在C的lin（C）上隐式定义了一个线性函数。很容易从（51）和次可加性得出φNXn=1λnfn！=φNXn=1λ+nfn！- φNXn=1λ-nfn！=γNXn=1λ+nfn！- γNXn=1λ-nfn！≤ γNXn=1λnfn！因此φ≤ Lin（C）上的γ。通过Hahn Banach，我们可以找到φ对L的整体的一个扩展φ，使得φ≤ π. 假设γ是≥*-单调和正齐次，我们得出φ是正的，并且通过引理4，它与分解（50）有关。

写入β=φ⊥andm=mφ。如果N∈ N*, 然后1N=*0表示0=φ（1N）=β（1N）+m（N）=m（N）即m∈ 文学士*,+.同样，如果g∈ 然后是0≤ β（|g | 1N）=φ（|g | 1N）≤ γ（|g | 1N）≤ 所以β在B上消失*, asclaimed。反之亦然。附录B.引理1的证明。在任何格X中，运算X→ 十、-是subad Didit，即（x+y）-≤十、-+ Y-. 因此，如果X={X（α）：α∈ A} 还有f，g∈ F（X）q（F+g）=XX∈十、[（f+g）（X）+]a（X）- [（f+g）（X）-]b（X）=XX∈十、（f+g）（X）a（X）+（f+g）（X）-（a（X）- b（X））≤XX∈十、（f+g）（X）a（X）+（f（X）-+ g（X）-)（a（X）- b（X））= q（f）+q（g）正均一性明显。假设f，g∈ F（X）满足fg≥ 0表示f（X）和g（X）对所有X都有相同的符号∈ 十、显然，（f+g）（X）-= f（X）-+ g（X）-从中可以得出如下结论。引理5。函数π：F(Ohm) →R是≥*-单调、正齐次和满足π（`X（θ））≤ q（θ）θ∈ Θ和π（f+g）≤ π（f）+π（g）（53）表示所有的f，g∈ F(Ohm) 定义了π（f）+π（g）之和。此外，以下性质是等价的：（i）q是相干的，（ii）π（0）=0，（iii）πc（1）≤ qand（iv）（54）|π（b）|<∞ π（f）+π（b）*) ≥ π（f+b）≥ π（f）+πc（b）*) 尽管如此∈ F(Ohm), B∈ B*证据单调性、正同质性和（53）的第一部分是π的明显性质。假设f，g∈ F(Ohm) π（f）+π（g）是r的一个定义良好的元素。因此，假设π（f）=资产定价25∞ 那么π（f）+π（g）=∞ （53）的第二部分是显而易见的。或者，如果π（f），π（g）<∞,那么就存在λf，λg≥ 0和θf，θg∈ λf′X（θf）处的此类th≥*f和λg′X（θg）≥*所以λ（\'X（θ′f）+\'X（θ′g））≥*f+g，其中λ=λf+λgandθ′f=θfλf/λ，θ′g=θgλg/λ（假设0/0=0）。

假设θ=θ′f+θ′g∈ Θ我们得出π（f+g）≤ λq（θ）≤ λ（q（θ′f）+q（θ′g））=λfq（θf）+λgq（θg），且该不等式适用于上述所有λf、λfandθf、θ气体，则（53）中的第二个h alf如下。（53）也意味着π（0）≤ 0.很明显，（ii）等同于（i）。如果θ∈ Θ和λ≥ 0等于λ¨X（θ）≥*-1然后（1+λ）`Xλθ+ δ1+λ≥*所以π（0）≤ （1+λ）qλθ + δ1 + λ≤ λq（θ）+qWe-thu-s得出结论：≥ π（0）+πc（1），所以π（0）=0意味着πc（1）≤ q、 如果b∈ B*, 那么（53）意味着| b|*π(-1) ≤ π（b）≤ |b|*π（1）所以我们从（iii）推导出|π（b）|<∞. 然后是π（f）+π（b）和π（f+b）+π(-b） 对于每个f都有很好的定义∈ F(Ohm) （54）的后半部分跟在（53）之后。相反地，通过（54）我们得出结论，对于每一个n，π（0）=nπ（0）∈ N与π（0）∈ 所以π（0）=0。引理3的证明。如果πc（1）=0和‘X（θ）≥*0然后q（θ）≥ π(-1). 如果X（θ）*< 0然后是\'X（θ）/|\'X（θ）*| ≥*-1和q（θ）/|∠X（θ）*| ≥ 0.相反，λ′X（θ）≥*-1和λ>0意味着θ∈ Θ*因此q（θ）≥ 所以π(-1) ≥ 0用（55）Φ（π）={φ表示∈ F（K）：φ正，线性，这样φ≤ π} 采用L emma 4的表示法，我们还可以写出（56）M（π）={Mφ：φ∈ Φ（π）}和Φ⊥（π） =nφ⊥: φ ∈ Φ（π）Olema 6。如果q是相干的，那么（28）中定义的集合M是非空的、凸的和弱的*ba+的紧子集。此外，M=M（π）（见（56））。证据如果q是相干的，那么根据定理3，M是非空的。乘（28），M（π） M因此，我们只需要证明M在弱态是封闭的*ba和M的拓扑 M（π）。设mbe为M和f闭包的一个元素∈ K然后我∈ 文学士*,+andZ（|f|∧ n） dm≤ 卸荷点法∈MZ（|f|∧ n） dm≤ 卸荷点法∈MZ | f | dm≤ π（|f |）使序列h |f |∧ 宁∈我是L（m）中的柯西。

此外，对于所有c>0v（m）（|f |>c+|f |∧ n）≤ v（m）（|f |>c+n）≤c+nZ[|f |∧ （c+n）]dm≤π（|f |）c+nBy v（m）我们在[17，III.1.9]中定义了m的总变化。26 GIANLUCA Cassese证明了|f|∧n在L（m）中收敛到| f |，因此f∈ L（m）[17，III.3.6]。此外，如果f∈ K*Zfdm=limnZ（f∧ n） dm≤ 卸荷点法∈MZfdm≤ π（f）证明了∈ M观察到，根据Tychono-ff定理[17，I.8.5]，s etΦ（π）在由K诱导的拓扑中是紧的。让hmγiγ∈Γ是M（π）中收敛于M的网∈ 我很虚弱*ba的拓扑结构。对于每个γ∈ Γ存在一个问题∈ Φ（π），使得mγ=mφγ。如果有必要，通过移动到子网，我们可以得到网络hφγiγ∈Γ在K到某个极限φ诱导的拓扑中收敛∈ Φ(π). 作为φ的一部分，用φ的一部分表示。如果b∈ B我们有，由B组成 q是相干的，Zbdmφ=φ（b）=limγφγ（b）=limγZbdmγ=zbdso，m=mφ∈ M（π）。推论2。（29）中定义的功能性β是积极的和令人满意的（57）- limn{π（f）- π（f）∨ -n） }≤ β（f）≤ limn{π（f）- π（f）∧ n） }f∈ Kand（58）β（f）=limn{π（f）- π（f）∧ n） }f∈ K*证据β的正性来自（30）和φ⊥（f）≥ 每f为0∈ K*φ∈ Φ(π).此外，supm∈MZfdm=supm∈姆林姆茨（f）∨ -n） m≤ 利姆苏姆∈MZ（f）∨ -n） m≤ limnπ（f）∨ -n） 同样，考虑到φ⊥（f）∧ n）≤ 0代表全部f∈ K和φ∈ Φ（π）通过引理6supm∈MZfdm=limnsupm∈MZ（f）∧ n） dm=limnsupφ∈Φ{φ（f）∧ n）- φ⊥（f）∧n） }≥ limnπ（f）∧ n） （57）得到了证明。（58）从β（f）=π（f）开始- 卸荷点法∈MZfdm=π（f）- 卸荷点法∈姆林姆茨（f）∧ n） dm=π（f）- 利姆苏姆∈MZ（f）∧n） 还有supm∈MR（f）∧ n） dm=π（f）∧ n） 每当f∈ K*. 在接下来的结果中，写出J（X）={0=J<J<…<jI}和jI+1=X*.引理7。让假设5保持不变。让g∈ Γ，F（X）=PIi=1αiX（ji）。然后，（59）F（X）X∧ 1.≥*g（X）X∧ 1如果且仅当F（ji）≥ g（ji）i=1，I+1资产定价证明。

如果F（ji）<g（ji）- ε对于某些ε>0且i=1，I+1然后通过连续性存在（ji- 冀-1） /2>η>0，使f<g- ε对集合Ai={ki的限制- η<X≤ 基尼。假设5，人工智能/∈ N*, 此外，X∧ 1.≥ （ji+ji）-1） /2>0，也就是F（X）/（X∧ 1) ≥*g（X）/（X）∧ 1） 这是矛盾的。相反，如果F（ji）≥ g（ji）表示j=1，I+1，那么，假设F（0）=g（0）=0，那么g是凸的，F是分段线性的，我们得出结论，F（x）≥ g（x）表示所有0≤ 十、≤ 十、*所以f（X）≥ 因此F（X）/（X）∧ 1) ≥*g（X）/（X）∧ 1). 引理8。让假设5保持不变，选择g∈ Γ. 写=g（j）g（j）。。。g（jI）g（jI+1）, D=（j）- j） 0。0（j）- j） （j）- j） 。0............（季- j） （季- j） 。0（jI+1）-j） （jI+1）- j） 。（jI+1）- （季）w=D-1g（60）程序（61）min{λθ：θ∈ΘX，λ>0}λq（θ）受制于λX（θ）X∧ 1.≥*g（X）X∧ 1由向量（62）θX（g）=IXi=0w[i+1]δX（ji）求解∈ ΘXProof。首先，很明显，在求解（61）时，人们可能会将注意力限制在由具有J（X）中执行价格的期权构成的投资组合上。这意味着每个λX（θ）的λ>0和θ∈ ΘXin（61）可以被认为是Fa（X）=PIi=0ai（X）的形式- 所以λq（θ）=qTa，其中at=[a，…，aI]，qT=[qX（j），…，qX（ji）]∈ RI+1+注释[Fa（j），…，Fa（jI+1）]T=Da。修正g∈ Γ. 引理7Fa（X）X∧1.≥*g（X）X∧这相当于托达≥ G定义向量w，b∈ RI+1简单地通过让（63）bIdI=qX（jI）和bI+I-1Xi=nbi=qX（jn）-qX（jn+1）jn+1- jnn=0，我- 1和（64）nXi=1w[i]=g（jn）- g（jn）-1） jn- jn-1n=1，I andIXi=0w[I+1]di=g（jI+1）通过归纳可以很容易地建立以下性质：（I）b≥ 0（作为j，…，jI）∈ J（X））（ii）w≥ 0（作为f）∈ Γ，（iii）bTD=QT和（iv）w=D-1克。

但是如果λ>0和θ∈ ΘXare such28 GIANLUCA casseseλX（θ）X∧1.≥*g（X）X∧1λq（θ）≥ min{a∈RI+1+：Da≥f} qTa=min{a∈RI+1+：Da≥f} bTDa≥ bTg=qTw=q（θX（g））参考文献[1]Y.Amihud，H.Mendelson（1986），《资产定价和买卖价差》，J.Finance 17223-249。[2] R.W.Banz，M.H.Miller（1978），《国家未定权益的价格：一些估计和应用》，J.Business 51653-672。[3] B.Bensaid，J.-P.Lesne，H.Pag\'es，J.Scheinkman（1992），带交易成本的衍生资产定价，数学。财务2，63-86。[4] K.P.S.Bhaskara Rao，M.Bhaskara R ao（1983），指控理论，学术出版社，伦敦。[5] V.I.Bogachev（2007），测量理论，斯普林格·维拉格，柏林海德堡。[6] B.Bouchard（2006），《具有比例交易成本和一般信息结构的离散时间市场中的无套利》，金融学Stoch。10, 276-297.[7] D.Breeden，R.Litzenberger（1978），期权价格中隐含的国家或有权益价格，J.Business51621-651。[8] G.Cassese（2008），无外生概率测度的资产定价，数学。财务18，23-54。[9] G.Cassese（2009），Sure wins，分离概率和线性泛函的表示，J.Math。肛门。阿普尔。354, 558-563.[10] S.Cerreia Vioglio，F.Maccheroni，M.Marinacci（2012），看跌期权平价和市场摩擦，IGIER W.P.第447号。[11] A.Chateauneuf，R.Kast，A.Lapied（1996），《有摩擦的金融市场的Choquet定价》，数学。财务6323-330。[12] A.M.G.考克斯，D.霍布森（2005），《局部鞅、泡沫和期权价格》，财政部。斯托克。9, 477-492.[13] B.德·费内蒂（1937年），《公共关系论：洛伊斯·洛吉斯的逻辑》，来源主语，安。I.H.P.7，1-68。[14] F.Delbaen，W.Schachermayer（1994），资产定价基本定理的一般版本，数学。安。300, 463-520.[15] J.B.De Long，A.Shleifer，L.H.Summers，R.J。

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