具有非线性交易成本和波动性的超级复制

2022-5-7 03:03:21

具有非线性交易成本和波动性不确定性的超级复制：泰特银行、YAN DOLINSKY和SELIM G–OKAYHEBREW大学和TU BERLINAbstract。研究了具有模型不确定性的非流动市场中未定权益的超复制问题。流动性不足由特定时间内的非线性交易成本捕获，模型不确定性产生，因为我们对股票价格回报的唯一假设是，它们在固定波动范围内。我们提供了超级复制价格的双重特征，作为或有索赔支付的惩罚期望的上确界。我们还描述了当交易周期数增加到整数时，这种双重代表的比例限制。因此，本文对[11]和[19]中关于模型不确定性的结果进行了补充。1.引言我们研究一个模型不确定的非流动离散时间市场。如[11]所述，我们考虑交易规模对设定价格有直接但暂时影响的情况。该模型捕捉了比例交易成本的经典案例，以及其他不确定性模型，如Cetin、Jarrow和Pr otter在[6]中引入的连续时间模型的离散时间版本。与[11]相反，我们对交易证券价格动态的唯一假设是，对数收益的绝对值是从上到下有界的。这是广泛研究的不确定波动率模型的自然离散时间版本；看，e。g、，[9]，[22]和[25]。本文[7]研究了这种离散时间模型中博弈选择的超级复制，但不考虑任何市场摩擦。波动率不确定模型中的基准问题是超级复制价格的描述。

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2022-5-7 03:03:23

在具有交易成本的模型中，我们给出了具有上半连续支付的欧式期权的一般对偶性。具体来说，理论2。2提供了无摩擦不确定波动模型（见[9]）中超级复制价格的双重特征，以及有摩擦的二项式市场中的类似对偶公式（见[11]）。我们要强调的是，在波动性不确定性下，我们不会仅以几乎确定的方式定义复制价格，因为我们实际上是在对任何可能的股票价格变化进行超级复制，这些变化会影响特定的波动性界限。与[11]相比，在我们的设置中，所有可能的股票价格演变都是不可数的，因此我们无法找到一个主要的概率日期：2018年4月8日。2010年数学学科分类。91G10，91G40。关键词和短语。超级复制，摩擦对冲，波动不确定性，极限定理。作者得到了爱因斯坦基金会2012年第137号拨款的支持。第二位作者还感谢玛丽·居里行动研究金赠款618235.2 P.银行、Y.多林斯基和S.G¨OkayMeasures的支持，这将给每一个可能的股价演变赋予正权重。因此，定理2的对偶结果。2超越了目前最可靠的超级复制的经典结果，并补充了[3]的发现，后者考虑了一个可能更一般的设置，尽管没有摩擦。关于模型不确定性下具有比例交易成本的资产定价基本定理的讨论，请参见[4]。

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mingdashike22

2022-5-7 03:03:27

定理2.2证明的关键观察结果是，对于连续支付，我们可以找到近似的离散模型，而经典对偶结果为我们提供了超级复制策略，可以将其提升到具有不确定波动性的原始设置，从而允许我们在理论2中控制收益和损失的差异。3我们考虑凸支付函数的特例。在波动率不确定的无摩擦模型中，众所周知，例如[20]、[18]或[15]中的7.20，超级重复使用价格与经典模型中计算的价格一致，其中波动率始终取最大值。我们证明，如果非线性交易成本是确定性的，这个结果也适用于我们的框架。最后，我们研究了当交易周期数变大时，我们的超级复制过程的极限。理论2。7将该标度极限描述为维纳空间上随机波动率控制问题的值。我们使用对偶结果定理2。2.应用随机过程弱收敛理论研究了对偶terms的极限。这扩展了[11]中的appr oachtaken，因为我们需要将Kusuoka的适当鞅构造（见[19]第5节）扩展到波动不确定性的情况。因此，我们理解了Kusuoka在标度极限描述中对波动不确定性的发现是如何扩展到我们已经从波动不确定性开始的设定的。在无摩擦设置的特殊情况下，我们恢复了Peng[23]的结果，即与离散设置中的上限和下限一样，上限等于付款人的G-期望值。

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2022-5-7 03:03:30

在存在市场摩擦的情况下，当考虑比例交易成本时，连续时间模型会产生微不足道的超级复制价格，例如[21]和[24]，或者当存在非线性、差异性交易成本或市场影响时，完全没有流动性影响，见[6]或[2]。相比之下，我们的标度极限给出了介于这两个极值之间的一个值，可以被视为支付风险的凸度量，如[14]或[16]所示。我们证明主要结果的方法是纯概率的，并且基于随机过程的弱收敛理论。这种方法允许我们研究一类相当普遍的路径依赖欧式期权和一类非线性交易成本。2.初步研究和主要成果2。1.离散时间模型。让我们首先介绍一个波动不确定性的离散时间金融模型。我们定义了一个时间范围N∈ N考虑一个拥有无风险储蓄账户和高风险股票的金融市场。储蓄账户将被用作计价单位，因此我们不会在n=0时对其价值进行标准化，N到Bn=1。从s>0开始的股价演变将由Sn>0、n=0、1、。，N.因此，通过引入对数回归非线性交易成本和波动不确定性3Xn，对数（Sn/Sn）-1）对于周期n=1，N我们可以写（2.1）Sn=sexpnXm=1Xm！，n=0，N.我们对这些动态的唯一假设是，股票价格波动存在波动边界，即这些对数收益的绝对值从上到下有界：（2.2）σ≤ |Xn|≤ σ、 n=1，N、对于某些常数0≤ σ≤ σ < ∞. 换句话说，日志返回值将在路径空间中取值Ohm , Ohmσ,σ,ω=（x，…，xN）∈ RN：σ≤ |xn|≤ σ、 n=1，N用标准过程xk（ω），xkforω=（x。

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大多数88

2022-5-7 03:03:33

，xN）∈ Ohm我们发现（2.1）允许我们将股票价格演变视为一个过程s=（Sn）n=0，。。。，未定义Ohm. 显然，标准滤波器fn，σ（X，…，Xn），n=0，N、与S=（Sn）N=0，。。。，N.[7]中考虑了具有波动不确定性的类似模型。本文旨在研究波动性不确定性和非线性交易成本的综合影响。在[6,11,17]之后，我们假设这些代价由惩罚函数g给出：{0,1，…，N}×Ohm ×R→ R+式中，g（n，ω，β）表示交易β的成本（以B为单位）∈ 当股票价格的变化由ω的变化决定时，n时刻的股票价值∈ Ohm.假设2.1。代价函数g：{0，1，…，N}×Ohm ×R→ R+是（Fn）n=0，。。。，N-适应。此外，对于任何n=0，N、代价g（N，ω，β）是β中的非负凸函数∈ 对于任意固定ω，R与g（n，ω，0）=0∈ Ohm ω中的anda连续函数∈ Ohm 对于任何固定的β∈ R.为了表示法的简单性，我们通常会抑制成本对ω的依赖性，而对g（n，ω，β）简单地表示为wr ite gn（β）。我们将继续类似地处理ω上的其他函数∈ Ohm.在我们的设置中，转换策略是一对π=（y，γ），其中y表示初始财富，γ：{0，1，…，N- 1}× Ohm → R是一个（Fn）适应的过程，指定在任何时期n=0，N-1股票价格的演化由ω给出∈ Ohm. 初始资本为y的所有投资组合的集合将用A（y）表示。市场价值Yπ=（Yπn（ω））n=0，。。。，从交易策略中恢复π=（y，γ）∈ A（y）由yπ=y和微分方程yπn+1给出- Yπn=γn（Sn+1- Sn）- gn（（γn）- γn-1） n=0，N- 1.4 P.银行，Y.多林斯基和S.G–Okay我们让他们-1, 0.

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2022-5-7 03:03:36

因此，我们从投资组合中的零股开始，在时间n产生交易成本sgn（（γn）后，交易到新的头寸γ- γn-1） Sn），这是我们模型中唯一的摩擦。因此，价值Yπn+1代表在n+1进行交易之前投资组合的市值。请注意，我们专注于按市值计价，而不是清算价值，特别是不考虑平仓任何非零头寸的成本。2.2. 强大的超级复制，带摩擦。波动率不确定的模型的基准问题是未定权益的超分解。我们在满足假设2的函数g规定的存在市场摩擦的情况下研究这个问题。1.因此，考虑一个欧洲选项F:RN+1+→ 当股价演变为S=（Sn）n=0，。。。，N.上游复制品价格V（F）=Vσ，σg（F）然后定义为Vσ，σg（F），infY∈ R:π ∈ A（y）与yπN（ω）≥ F（S（ω））ω ∈ Ohmσ,σ.我们强调，我们需要构造一个稳健的超扩张策略π，该策略导致在任何可能的场景ω中，终端值Yπn主导着收益X∈ Ohm.我们的第一个结果提供了对超级复制价格的双重描述：定理2.2。让我们来看看：Ohm ×R→ R+，n=0，1。。。，N、表示gn的Legendre-fenchel变换（或凸共轭），即gn（α），supβ∈R{αβ- gn（β）}，α∈ R.那么，在假设下2。1，具有上半连续支付函数F:RN+1的任意或有类别的超复制价格+→ R+由v（F）=supP给出∈Pσ，σEP“F（S）-N-1Xn=0GnEP[SN | Fn]- SnSn#其中Pσ，σ表示Ohm = Ohmσ、 σ，其中eP表示关于概率测度P的期望。该定理的证明将在第3节中介绍。下文1。

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2022-5-7 03:03:39

O观察到该结果是无摩擦不确定波动率模型中超级复制价格的对偶特征和有摩擦的二元市场中类似对偶公式的一个混合结果；分别参见[8]和[11]。2.3. 凸Payoff函数。我们的下一个结果涉及一种特殊情况，其中支付F是股票价格演化的非负凸函数S=（Sn）n=0，。。。，N.众所周知，在无摩擦二项模型中，具有凸支付的欧式期权的价格是波动率的递增函数。这意味着不确定波动率模型中的超级复制价格与最大相容波动率模型中的复制成本一致；见【20】。下一个定理推广了这一观点，即摩擦下的波动性和确定性。定理2.3。假设代价函数g=g（n，ω，β）是确定性的，即它不依赖于ω∈ Ohm.非线性交易成本和波动不确定性5然后是任何凸支付的超级复制价格F:RN+1+→ R+是给定的yvσ，σg（F）=Vg（F），其中Vg（F），Vσ，σg（F）表示二项模型中F=F（S）的超级复制价格，其中S具有波动率σ和成本函数g。亲戚≥’ 对于任何>0的情况，都需要构造一个策略γ，该策略γ在从Ohm 从初始资本y=+Vg（F）开始。具有波动率σ的二项模型可以在Ohm , {-1，1}n具有标准过程Xk（ω），xkforω=（x，…，xN）∈ Ohm 通过让股价演变由S，sand Sn，Sn归纳得出-1exp（σXn），n=1。

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mingdashike22

2022-5-7 03:03:42

，N.（Fn）N=0，。。。，根据相应的规范过滤，我们从Vg（F）的定义得出，（Fn）n=0，。。。，N-适应过程γ，使得-1,0我们有（2.3）+Vg（F）+N-1Xn=0γn（Sn+1- Sn）-N-1Xn=0gn（γn- γn-1） Sn）≥ F（S）到处都是Ohm.鉴于（2.2），对于任何ω∈ Ohm n=1，N有唯一的权重λ（+1）N（ω），λ(-1） n（ω）≥ 带λ（+1）n（ω）+λ的0(-1） n（ω）=1使得（2.4）eXn（ω）=λ（+1）n（ω）eσ+λ(-1） n（ω）e-σ.很容易检查权重λωnn（ω），nYm=1λ（ωnm）m（ω），ωn=（ωn，…，ωnn）∈ {-1，+1}n，求和为1。指数d，（2.5）Xωn∈{-1，+1}nλωnn=nYm=1λ（+1）m（ω）+λ(-1） m（ω）= 1，n=1，N.此外，对于N=1。。。，N- 我们有（2.6）λωnn=λωnnNYm=n+1λ（+1）m（ω）+λ(-1） m（ω）=XωN-N∈{-1+，1}N-nλ（ωn，ωn）-n） n，它与（2.4）和S的适应性结合，需要表示sn（ω）=snYm=1λ（+1）m（ω）eσ+λ(-1） n（ω）e-σ（n.X）=ω∈{-1，+1}nSn（ωn，1，…，1）λωnn（ω）=Xω∈OhmSn（ω）λωN（ω）对于任何N=1，N、 ω∈ Ohm.现在计算ω处的（2.3）∈ Ohm, 乘以λω，然后取所有ω的和∈ Ohm.6 P.班克、Y.多林斯基和S.G–Okay（2.3）的右侧则聚集toR，Xω∈OhmF（S（ω））λωN≥ FXω∈OhmS（ω）λωN= F（S）（2.8），其中e估计值根据（2.5）以及F:RN+1的凸性得出+→ 以及我们利用的最后一个身份的位置（2.7）。在（2.3）的左边，常数n+Vg（F）的贡献只是复制了这个非常常数，因为（2.5）。因为γ和S是（Fn）n=0，。。。，Nadapted，即（2.3）贡献素的第一个和中的第n个和，Xω∈Ohmγn（ω）（Sn+1（ω）- Sn（ω））λωN=XωN∈{-1,1}nXx∈{-1,1}（γnSn）（ωn，1，…，1）（eσx）- 1） λωnnλ（x）n+1。通过定义λ（±1）n+1，我们得到xx∈{-1,1}（eσx）- 1） λ（x）n+1=eXn+1- 1=（Sn+1）- Sn）/snsin=Xωn∈{-1,1}n（γnSn）（ωn，1，…，1）λωnn（Sn+1）- Sn）/Sn=γn（Sn+1）- Sn）其中（Fn）n=0，。。。，N-适应过程γ由γ、γ和γN（ω）=XωN给出∈{-1,1}n（γnSn）（ωn，1。

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2022-5-7 03:03:45

λωnn（ω）/Sn（ω），ω∈ Ohm,对于n=1，N- 1.以类似的方式，第二个sumin（2.3）的第n个和给出了Xω∈Ohmgn（（γn（ω）- γn-1（ω）Sn（ω）λωN≥ gnXω∈Ohm（γn（ω）- γn-1（ω））Sn（ω）λωN= gn（（γn）- γn-1） Sn）其中估计是由于（2.5）和gn:R的凸性引起的→ 最后一个恒等式是由于γ，S和to（2.6）的适应性。因此，f（2.3）的左侧以相反的方式toL，+Vg（f）+N聚集-1Xn=0英寸-N-1Xn=0IIn≤ F（N+1vg）+-1Xn=0γn（Sn+1- Sn）-N-1Xn=0gn（γn- γn-1） Sn）。非线性交易成本和波动不确定性7根据我们对（2.3）中类似agg回收右侧的估计（2.8），这表明γ超复制F（S）和初始c资本+Vg（F）。这是最好的证明。2.4. 缩放限制。我们的最后一个结果给出了超级复制价格的缩放限制的双重描述，当周期数N变大时，股票收益率按1缩放/√N和穗在长度为1/N的时间段内。限制交易成本将根据函数H:[0,1]×C[0,1]×R进行规定→ R+（t，w，β）7→ ht（w，β）这样的to对于任何t∈ [0,1]，w∈ C[0,1]，β7→ ht（w，β）是非负的，并且与ht（w，0）=0是凸的对于任何β∈ R过程h（β）=（ht（w，β））t∈[0,1]是逐步可测量的，即当w[0，t]=w[0，t]时，ht（w，β）=ht（~w，β）。由于技术原因，我们只能为一个合适的惩罚函数设定上限。对于给定的截断水平c>0，我们考虑由hct（w，β）给出的线性转移成本hct，（ht（w，β）为β∈ Ic（h）线性外推，斜率c超过Ic（h），其中Ic（h），nβ∈ R:Hβ≤ 代码记录了距离为零的区间，其中h的斜率绝对值尚未超过c。

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2022-5-7 03:03:49

对于截断罚函数，双复制定理公式只涉及满足一定紧度条件的测度；这使我们能够在第3节中确定缩放极限的上限。2.2. 对于原始h（通过将c取为单位），我们只能证明超级复制价格的下界，在这种情况下，上界的证明仍然是一个悬而未决的问题。N期模型的成本，收益率为OhmN、 {ωN=（x，…，xN）：σ/√N≤ |xn|≤ σ/√N、 N=1，N} 由（2.9）gN，cn（ωN，β），hc/√Nn/N（SN（ωN），β），其中SN（ωN）∈ C[0，1]表示点snn/N（ωN），sexpnXm=1xm！，n=0，N、对于ωN=（x，…，xN）∈ OhmN.我们的渐近解的技术假设如下：假设2.4。Legendre-Fen-chel变换H:[0,1]×C[0,1]×R→ RwithHt（w，α）=supβ∈R{αβ- ht（w，β）}，t∈ [0,1]，w∈ C[0,1]，α∈ R8 P.Bank，Y.Dolinsky和S.G–Okay在（w，α）中均匀地在t中有多项式增长，即有常数，P，P≥ 0，即（w，α）≤ C（1+| | w | | p∞)（1+|α| p），（t，w，α）∈ [0,1]×C[0,1]×R.此外，H在（t，w）中是连续的，在α中是基本二次的，即存在函数^H:[0,1]×C[0,1]→ 对于任意序列{（tN，wN，αN）}N=1,2，。。。在[0,1]×C[0,1]×R中收敛到（t，w，α）我们有limn→∞|NHtN（wN，αN）/√N）-^Ht（w）α|=0。让我们举两个例子。例2.5。（i）比例交易成本：固定c>0，考虑由gn，cn（ωN，β），c给出的成本函数√N |β|对于我们的具有N个交易周期的二项市场模型。这个例子在[19]中针对二项式模型进行了研究，并在我们的设置中对应于^H=H的情况≡ 0.（ii）二次成本。

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2022-5-7 03:03:52

对于给定的常数∧>0，letht（w，β）=∧β。固定c>0，观察我们对六氯环己烷的截断为THNHC（w，β）=（如果|β|≤c2∧，cβ-c4∧，否则。因此，N步二项式模型中的惩罚由gn，cn（ωN，β）=（λβ，如果|β|≤c2∧√N、 c√N |β|-c4∧N，否则。因此，在总交易量较小的情况下，交易量稍高产生的边际成本是线性的，而在总交易量较大的情况下，边际成本是恒定的。这个例子对应于Ht（w，β）=β4∧和^Ht（w）的情况≡4Λ.备注2.6。限制成本过程满足我们假设的充分条件。4是（i）的共同有效性存在>0，因此对于任何（t，w）∈ [0，T]×C+[0，T]，二阶导数Hβ（t，w，β）在任何情况下都存在-w（t）<β<w（t），并且在（t，w，0）处是连续的，并且（ii）我们有Hβ（t，w，0）≡ 0和inf（t，w）∈[0，T]×C+[0，T]inf |β|<w（T）Hβ（t，w，β）>0。事实上，这些条件的有效性可以通过使用泰勒展开来验证。在假设下2。4离散时间超重复价格的标度极限可以描述为：非线性交易成本和波动不确定性定理2.7。假设假设。4成立，σ>0。进一步假设F:C[0,1]→ R+是连续多项式增长的：0≤ F（S）≤C（1+kSk）∞)p、 S∈ C[0,1]，对于某些常数C，p≥ 0.那么我们有了Limn→∞Vσ/√N、 σ/√NgN，c（F）=supσ∈∑（c）EWF（Sσ）-Z^Ht（Sσ）a（σt）dt其中oEWdenotes是关于PW的期望，即（C[0,1]，B（C[0,1]）上的维纳测度，其中标准过程W是布朗运动，o∑（C）是一类过程σ≥ Wiener空间上的0，对于W和su ch thata（σt）生成的过滤是渐进可测量的≤ cfora（σ），σ-σσ, 0 ≤ σ ≤ σ,0, σ≤ σ ≤ σ,σ-σσ,σ ≤ σ、 oSσ表示股票价格随波动率σ的演变：Sσt，sexpZtσsdWs-Ztσsds, 0≤ T≤ 1.这一结果的证明推迟到第3节。2.

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2022-5-7 03:03:56

解释定理2.7的一种方法是，它将超级复制价格的上限描述为支付的对流风险度量；参见[14]或[16]。∑（c）类参数化了人们选择考虑的波动率模型，而积分项衡量了人们在任何此类模型下与支付平均值的相关性。从这个角度来看，最相关的模型是那些波动率保持在规定的不确定性区域[σ，σ]（因此积分项消失）的模型。其中一个也考虑了波动率σt较高或较低的模型，不过（只要asa（σt）≤ c），但根据其局部方差与测量值d（σt）的低侧σ和高侧σ的平均差异，降低了它们的相关性。特别是，我们的超级回复价格的标度限制从下到下以G-期望supσ为界∈[σ，σ]EW[F（Sσ）]。在无摩擦的情况下（其中≡ 0，^H≡ ∞) 选择价值超出区间[σ，σ]的波动率模型的惩罚是有限的，我们恢复了众所周知的不确定性下超级复制价格的无摩擦特征，作为支付方的G-预期。3.证明在这一节中，我们进行理论证明。2和2.7.3.1。定理2.2的证明。定理2.2涉及恒等式V（F）=U（F），其中U（F），supP∈Pσ，σEP“F（S）-N-1Xn=0GnEP[SN | Fn]- SnSn#.作为第一步，我们注意到：10 P.银行、Y.多林斯基和S.G–okayLemma 3.1。对于任何可测量的F:RN+1+→ R+我们有V（F）≥ U（F）。证据设π=（y，γ）超复制F（S）。

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2022-5-7 03:03:59

然后我们有了≤ YπN=Y+N-1Xn=0（γn（Sn+1- Sn）- gk（（γn）- γn-1） Sn）=y+N-1Xn=0（（γn）- γn-1）（序号- Sn）- gn（（γn）- γn-1） Sn）。对任何P进行（有条件的）期望∈ Pσ，σ这表明ep[F（S）]≤ y+EPN-1Xn=0（γn）- γn-1）（EP[SN | Fn]- Sn）- gn（（γn）- γn-1） Sn）= y+EPN-1Xn=0（γn）- γn-1） SnEP[SN | Fn]- SnSn- gn（（γn）- γn-1） Sn）≤ y+EP“N-1Xn=0GnEP[SN | Fn]- SnSn#其中，最终估计值来自双函数Gn的定义，n=0，N.因为这适用于仲裁∈ Pσ，σ和任何初始财富y，对于它们，我们可以找到一个超级复制策略，前面的估计产生V（F）≥ U（F）。我们接着观察到，对于多项式模型，U（F）=V（F）的恒等式成立：引理3.2。为了k∈ {1, 2, . . . } 以有限集为例OhmK十、∈ Ohm : |xi |=jkσ+1.-jkσ对于某些j∈ {0，…，k}让Pkσ，σ是Pσ，σ的子集，Pσ，σ包含由Ohmk、然后我们有vk（F）=Uk（F），其中vk（F）=inf{y:y（y，γ）N（ω）≥ F（S（ω））ω ∈ OhmK对于某些策略γ}和UK（F）=支持∈Pkσ，σEP“F（S）-N-1Xn=0GnEP[SN | Fn]- SnSn#.证据对于k=1，也就是说，在二项式的情况下，这就是[11]中的定理3.1。这个结果是通过观察到恒等式可以被转换为有限维凸对偶主张来证明的。同样的推理实际上也适用于k>1的多项式。这证明了我们的主张。在第三步中，我们讨论如何传递到极限k↑ ∞, First for continuous F：非线性交易成本和波动不确定性11引理3.3。用引理3表示。2我们有（3.1）英国（F）≤ U（F），k=1，2。如果F是连续的，我们还有（3.2）lim infk↑∞Vk（F）≥ 五（F）。证据估算值（3.1）直接来自Uk（F）和U（F）asPkσ，σ的定义 Pσ，σ。为了证明（3.2）取k=1，2，一种策略γk如YVk（F）+1/k，~γkN≥F（S）onOhmK

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2022-5-7 03:04:02

我们将在下面展示，在没有普遍性的情况下，我们可以假设∧γks序列是一致有界的，即（3.3）|γk |≤ 对于某些常数C>0。现在考虑策略γk，~γkopk其中pk:Ohm → Ohmkis是将ω=（x，…，xN）映射到pk（ω）=ω，（~x，…，xN）的投影∈ Ohmkwithxi，最大值十、≤ xi:|x |=jkσ+1.-jkσ对于某些j∈ {0，…，k}.对于任何初始资本y，我们得到yy，γkN（ω）- Yy，~γkN（~ω）=N-1Xn=0γkn（ω）（Sn+1（ω）- Sn（ω））- （Sn+1（°ω）- Sn（∧ω）））-N-1Xn=0gn（ω，（~γkn（~ω）- -γkn-1（ω）Sn（ω）- gn（～ω，（～γkn（～ω）- -γkn-1（ω）Sn（ω）.因为|γk |≤ C在k=1，2，…，中均匀分布，这两个总和中的第一个的绝对值小于2cN-1Xn=0w（Sn，|ω）- ω|），其中对于任何函数f，我们让w（f，δ），δ>0，表示其域上的连续模。类似地，我们得到第二个和的绝对值不超过-1Xn=0w（gn）|Ohm×[-2Cseσn，2Cseσn]，|ω- ω|+2Cw（Sn，|ω）- ~ω|)).通过S和gn的连续性，n=0，N- 1，这两个界限都趋向于0作为|ω- ~ω| → 0.因此有k↓ 0作为k↑ ∞ 因此yy，~γkN（~ω）≤ Yy，γkN（ω）+所有|ω的k- ~ω| ≤ 1/k，y∈ R.假设F也是连续的，所以我们得到F（S）（ω）≤ F（S）（ω）+w（F（S），|ω- ~ω|)≤ YVk（F）+1/k，~γkN（~ω）+w（F（S），|ω- ~ω|)≤ YVk（F）+1/k，γkN（ω）+k+w（F（S），1/k）12p.Bank，Y.Dolinsky和S.G¨okayv（F）≤ Vk（F）+1/k+k+w（F（S），1/k），这意味着我们的索赔（3.2）。还有待于证明序列（∧γk）k=1,2，…）的一致有界性（3.3），。。。。很明显，yk，Vk（F）+1/k≤ A、 k=1，2。，对于一些人来说，A>0。对于任何∧πk=（yk，∧γk），k=1，2，我们将通过对n的归纳来证明（3.4）Y)πkn（)ω）≤ A.1+eσnand |γkn（|ω）|≤A.1+eσn（1）- E-σ） Sn（)ω）表示任何)ω=（)x，…，)xN）∈ Ohmkand n=0，1。。。，N

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2022-5-7 03:04:05

自Sn以来≥ 东南方-σN，我们的索赔（3.4）则适用于C，A1+eσN/（（1）- E-σ） se-σN）。因为每一个∧πksuper复制品都是一个肯定的断言，所以我们必须有Y∧πk≥ 在可能的情况下为0。特别地，我们有yk+~γks（eσ）- 1) ≥ 0和yk+~γks（e）-σ- 1) ≥ 这让我们可以得出结论| |γk |≤As（1）-E-σ). 因此（3.4）适用于n=0。接下来，假设（3.4）适用于n，让我们证明它适用于n+1。从归纳假设中我们得到了∧πkn+1（∧ω）≤ Y∧πkn（ω）+γkn（ω）（Sn+1（ω））- Sn（ω）≤ A.1+eσ不适用1+eσn（1）- E-σ） Sn（～ω）Sn（～ω）（eσ）- 1） =A1+eσn+1，根据需要。同样，在n+2时估值的投资组合应该是非负的，这是一种可能的情况。因此，Yπkn+1（～ω）+γkn+1（～ω）Sn+1（～ω）（eσ）- 1) ≥ 0andYπkn+1（ω）+γkn+1（ω）Sn+1（ω）（e）-σ- 1) ≥ 所以，|γkn+1（|ω）|≤Yπkn+1（ω）（1）- E-σ） Sn+1（ω）≤A.1+eσn+1（1）- E-σ） Sn+1（ω）。这就完成了（3.4）的证明。它直接从柠檬3开始。1–引理3.3：对于连续函数F，V（F）=U（F）。对于上半连续F，我们可以找到连续函数FKUPOhmF（S）≥ Fk（S）≥ F（S）使林苏普↑∞,ωk→ωFk（S（ωk））≤ F（S（ω））对于任意ω∈ Ohm; 参见，例如。，引理5.3 in[12]。定理2.2的证明将遵循不等式系列V（F）≥ U（F）≥ 林素福↑∞U（Fk）=林苏普↑∞V（Fk）≥ V（F）如果第一个不等式是由引理3.1引起的，那么最后一个不等式是由Fk引起的≥ Fand身份如下bec，因为我们的索赔已经确定为连续Fk。因此，唯一有待证明的估计是第二个：引理3.4。如果F近似于Fk，k=1，2，如上所述，我们有（F）≥ 林素福↑∞美国（Fk）。非线性交易成本和波动不确定性。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设（U（Fk））k=1,2，。。。收敛于印度卢比。根据U（Fk）的定义，有Pk∈ Pσ，σ，对于k=1，2。

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2022-5-7 03:04:08

，U（Fk）-K≤ EPk“Fk（S）-N-1Xn=0GnEPk[SN | Fn]- SnSn#.（3.5）我们希望将（3.5）右侧的lim sup显示为k↑ ∞ 不大于U（F）。为此，用∏表示Ohm ×[0，seσN]N.自Ohm ×[0，seσN]是紧的，当赋予弱拓扑y时，∏也是紧的。现在考虑通过考虑zk，（X，EPk[SN]，EPk[SN | F]，…，EPk[SN | FN]的规律得到的∏中概率测度的序列-1] ）在pkk=1，2。根据Prohorov定理，通过可能传递给一个序列，我们可以在不损失一般性的情况下假设这个序列是收敛的。根据斯科罗霍德的表示定理，因此存在一个概率空间（^Ohm,^F，^P）与一个几乎肯定收敛的随机变量序列^Zk，k=1，2，接受价值观Ohm^P下的x[0，seσN]N，w定律分别与Pk下的zk定律一致，k=1，2。让^Z∞表示^Zk的^P-a.s.现有限制，k=1，2，写成^Z∞= （^X）∞, Y伊恩-1).我们将展示e^P[SN（^X∞)|^X∞, ...,^X∞n] =E^P[Yn|^X∞, ...,^X∞n] n=0，N.（3.6）通过^zk的构造，我们有权在（3.5）边上：EPk“Fk（s）-N-1Xn=0Gn十、 EPk[SN | Fn]- SnSn#= E^P“Fk（S（^Xk））-N-1Xn=0Gn^Xk，E^P[SN（^Xk）|^Xk，…，^Xkn]- Sn（^Xk）Sn（^Xk）！#。^zk的^P-a.s.收敛和FK序列的构造意味着lim-supk↑∞最后一个预期中的术语的最大值是^P-a.s.不大于f（s（^X∞)) -N-1Xn=0Gn^X∞,伊恩- Sn（^X）∞)Sn（^X）∞)!我们使用了Gn的下半连续性。

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2022-5-7 03:04:11

因为Fon紧集的有界性和G≥ 然后，法图引理允许f（3.5）右侧的lim sup不大于E^P“f（s（X））∞)) -N-1Xn=0Gn^X∞,伊恩- Sn（^X）∞)Sn（^X）∞)!#.14 P.Bank、Y.Dolinsky和S.G–Okay从定义中可以看出，Gn（ω，α）是自适应的，Gn（ω，·）是凸的。这与Jensen不等式和（3.6）一起产生了任何n<NE^PGn^X∞,伊恩-Sn（^X）∞)Sn（^X）∞)^X∞, ...,^X∞N≥Gn^X∞,E^P[SN（^X∞)|^X∞,...,^X∞n]-Sn（^X）∞)Sn（^X）∞).我们得出结论，（3.5）右侧的极限s不大于E^P“F（s（X））∞)) -N-1Xn=0Gn^X∞,E^P[SN（^X∞)|^X∞, ...,^X∞n]- Sn（^X）∞)Sn（^X）∞)!#.自从^X的分布∞是Pσ，σ中的一个元素，正如我们所展示的，这个最后的表达式不大于U（F）。它仍有待确定（3.6）。设n<n，设f:Rn→ R是连续有界函数。从支配收敛定理可以得出E^P[Ynf（^X∞, ...,^X∞n） ]=limk→∞E^PhE^P[SN（^Xk）|Xk，…，^Xkn]f（^Xk，…，^Xkn）i=limk→∞E^P[SN（^Xk）f（^Xk，…，^Xkn）]=E^P[SN（^X∞)f（^X）∞, ...,^X∞n） ]。因此，通过应用标准密度参数，我们得到（3.6）。这是最好的证明。3.2. 理论证明2。7.对于声称的限额（3.7）限制→∞Vσ/√N、 σ/√NgN，c（F）=supσ∈∑（c）EWF（Sσ）-Z^Ht（Sσ）a（σt）dt我们首先要做一些技术准备。2.1在我们建立≤’ 然后≥’ 分别在第3.2.2节和第3.2.3节的（3.7）中。3.2.1. 技术准备。让我们先回顾一下，对于N=1，2，OhmN={ωN=（x，…，xN）：σ/√N≤ |xn|≤ σ/√N、 N=1，N} 允许定义规范过程xnn（ωN）=xn=1，N、 ωN=（x，…，xN）∈ OhmN.因此，我们可以考虑标准过滤比nFNn，σ（XNm，m=1，…，N），N=0，N、这显然与由nn=sexpnXm=1Xm！生成的相同！，n=0。

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2022-5-7 03:04:14

，N，sinceXNn=ln SNn- 在SNn-1，n=1，N.对于向量y=（y，…，yN），让∈ RN+1，函数∈C[0，1]表示[0，1]上的连续线性插值，由yn/N=yn，N=0，N.这给了我们，特别是连续时间模拟（SNt）0≤T≤1of（SNn）n=0，。。。，N.非线性交易成本和波动不确定性15我们的第一个观察结果是，F的连续性允许我们以不同的方式编写supremumin（3.7）：引理3.5。LetR，supσ∈∑（c）EWF（Sσ）-Z^Ht（Sσ）a（σt）dt表示（3.7）的右侧。（i）我们有晚餐∈Pσ，σ，cEP“F（S）-Z^Ht（S）Ardhistdt/St！dt#（3.8）式中，Pσ，σ，cde表示（C[0，1]，B（C[0，1]）上的概率P类，在此概率下，坐标过程S=（St）0≤T≤1是从S=S开始的严格正鞅，其二次变化与Hsitdt/St绝对连续！≤ c、 0≤ T≤ 1，P-几乎可以肯定。（ii）当我们不改变它时，我们接管它∑∑（c），一类渐进可测过程∑：[0,1]×c[0,1]→ 在Wiener空间（C[0,1]，B（C[0,1]），PW上的R+，使得δ>0使得（3.9）σ（σ）- 2c）+δ≤ ~σ≤ σ（σ+2c）- δ均匀分布在[0,1]×C[0,1]上，除此之外，（3.10）~σ≡ σ、在[1]上- δ、 1]×C[0,1]。-∑在[0,1]×C[0,1]上是Lipschitz连续的。证据这个证明类似于[11]中引理7.1–7.2的证明。以下技术关键引理可被视为Kusuoka[19]的结果，从具有比例交易成本的超级复制到具有非线性成本的不确定波动设置：引理3.6。在定理2.7的假设下，以下是成立的：（i）设c>0，对于N=1，2。，让我们来做一个概率测量(OhmN、其中（3.11）MNn，EQN[SNN | FNN]，N=0。

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2022-5-7 03:04:17

，N，接近SNin的意思是QN几乎肯定（3.12）MNn- SNnSNn≤C√N、 N=0，然后我们有（3.13）supN=1,2，。。。EQNmaxn=0，。。。，NSNnP< ∞ 对于任何p>016的p.Bank，Y.Dolinsky和S.G–okayand，具有（3.14）QNn，nXm=1（XNm）+2nXm=1MNm- SNmSNmXNm，n=0，N、有一个子序列，同样用N表示，例如↑ ∞,（3.15）法律（SN、MN、QN | QN）=> 法律S、 S，Z.DHSISSP其中P是Pσ中的概率度量，σ，c，S如引理3所示。5（i），和之前一样，SNetc。表示向量SN=（SNn）n=0，。。。，Netc。（ii）对于任何c>0和∑∈■如引理3中的∑（c）。5（ii），存在一系列概率测度QN，N=1，2，如（i）中所述，使得（3.15）中的武器收敛性与P定律（Sσ| PW）一致。此外，我们还得到了弱收敛性（如N↑ ∞)（3.16）明尼苏达州劳斯纳，√N | MN- SN | SNQN！=> L aw（S~σ，S~σ，a（~σ）|PW）。证据让我们首先关注索赔（i）。显然，只需证明（3.13）是正确的∈ {1, 2, . . . }. 对于这一点，我们与Kusuoka在[19]中的索赔（4.23）类似，并写出（MNn+1）p=（MNn）p1+MNn+1- MNnMNnp=（MNn）p1+pXj=1pjMNn+1- MNnMNnJ.现在注意到，当取QN期望时，j=1的和的贡献可以忽略，因为它具有消失的FNn条件期望，这是由于mn在QN下的鞅性质。From（3.12）和SNn+1/SNn=exp（XNn）∈ [e]-σ/√N、 eσ/√N] ，它遵循MNn+1/MNn=1+O（1/√N）当随机O（1）时/√N） -项在N和ωN中均匀变小。因此r j=2，p为O（1/N）级。因此，我们得到了MNn+1pi=（1+O（1/N））方程MNn计划，迭代之后，EQNhMNNpi=（1+O（1/N））N锰p、显然（1+O（1/N））是以N为界的。对于MN=s（1+O（1/N））也是如此/√N），我们使用（3.12）和SN=s。

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2022-5-7 03:04:20

因此，supN=1,2，。。。EQNhMNN圆周率∞根据杜布的不等式，这意味着evensupN=1,2，。。。EQNmaxn=0，。。。，NMNnP< ∞.（3.17）由于（3.12），这就产生了我们的索赔（3.13）。非线性交易成本和波动不确定性17让我们接下来关注定律（MN | QN）N=1,2，。。。我们将在C[0,1]上修正Kolmogorov的紧性准则（见[5]）。为此，回想一下MNn+j/MNn+j-1.-1=O（1/√N）所以MNsatis fi eshMNin+l的二次变化- hMNin=lXj=1EQN[（MNn+j- MNn+j-1） | FNn+j-1]=max0≤N≤NMNnO（l/N）。从B urkholder–Davis–Gundy不等式和界（3.17）中，我们得到eqn[（MNn+l- MNn]=O（（l/N）），这很容易给出连续插值的科尔莫戈罗夫准则mn，N=1，2。建立紧度后，我们可以找到一个子序列，同样用N表示，这样定律（MN | QN）N=1,2，。。。在适当的概率空间（^）上收敛到连续过程定律Ohm,^F，^P）。接下来我们将展示这个过程是一个严格正的马丁酒。事实上，根据斯科罗霍德的表示定理，我们可以假设有过程^MN，N=1，2，关于（^）Ohm,^F，^P）与law（MN | QN）=law（^MN | P），几乎可以肯定地将e^P转化为M as N↑ ∞. 从（3.17）可以看出，mn的鞅性质决定了^Munder^P的鞅性质。为了证明M是严格正的，我们在他的论文[19]中遵循了Kusuoka对（4.24）和（4.25）的论证，并建立了supn=1,2，。。。EQNmaxn=0，。。。，Nln MNn< ∞（3.18）因为这意味着max0的^P-可积性≤T≤1 | ln Mt |法图引理。对于（3.18），回想一下MNm/MNm-1=1+O（1/√N）在m和ωN中是一致的。这允许我们使用泰勒展开来获得ln-MNm- 嗯-1=MNm- MNm-1MNm-1+O（1/N）。在m=1上求和。

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2022-5-7 03:04:24

n，这与MN=s（1+O（1/√N））：maxn=0，。。。，N | ln MNn |≤ maxn=0，。。。，NnXm=1MNm- MNm-1MNm-1.+ O（1）。亨切恩maxn=0，。。。，Nln MNn≤ 2EQNmaxn=0，。。。，NnXm=1MNm- MNm-1MNm-1.+ O（1）≤ 8EQN“NXm=1MNm- MNm-1MNm-1.#+ O（1），18 P.Bank，Y.Dolinsky和S.G–okaywhere对于第二个估计，我们使用了Doob不等式对鞅进行估计，该鞅由我们在上述表达式中取最大值的和给出。再次回顾MNm/MNm-1.-1=O（1/√N）在m和ωN上，我们一致地得到了（3.18）。最后，让我们转向弱收敛（3.13）并介绍，对于N=1，2，辅助离散随机积分n，nXm=1MNm- MNm-1SNm-1，n=0，N.通过应用[13]，（3.12）-（3.13）中的定理4.3，以及已经建立的弱收敛定律（MN | QN）N=1,2，。。。在C[0，1]上，我们推导了弱收敛律SN[Nt]，MN[Nt]，YN[Nt]！0≤T≤1.QN(3.19)=> 法律Mt，Mt，Yt0≤T≤1.^P！作为N↑ ∞在Skorohod空间D[0,1]×D[0,1]×D[0,1]上，其中Y，R.dMs/Ms，因此M=Mexp（Y- hY i/2），特别是，hln Mi=hY i.Mor，同样，通过Koroho d的表示定理，我们可以假设存在过程1/SN，^mn和^YNon（^Ohm,^F，^P），其在^P下的联合定律与（3.19）中的一致，并且几乎可以肯定地将^P有效地收敛到1/M，M和Y。现在，重新校准| XNm |≤σ/√N我们可以泰勒展开ex=1+x+x/2+O（x），这样我们就可以用（3.12）写emnm了- MNm-1SNm-1=1+MNm- SNmSNmeXNm-MNm-1SNm-1=MNmSNm-MNm-1SNm-1+XNm+（XNm）+MNm- SNmSNmXNm+O（1/√N）。因此，使用（3.14）中定义的QNas，我们通过对m=1求和得到，n:YNn=MNnSNn-MNSN+ln-SNn- ln-SN+QNn+O（1）/√N）。就^YN、^MN和^QN而言，（QN[Nt]）0≤T≤1这相当于^YNt=^MNt^SNt-^MN^SN+ln^SNt- lns+^QNt+O（1）/√N）对于t∈ {0，1/N，…，1}。

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2022-5-7 03:04:27

因为这个表达式中的所有其他项几乎都收敛为N↑ ∞, ^QNt也是如此，它的极限由limn^QNt=2（Yt）给出- ln Mt+ln s）=hY it=hln M it0≤ T≤ 1.非线性交易成本和波动不确定性19Now，fix 0≤ s<t≤ 1.观察它- hln M is=limN（^QNt）-^QNs）=limNX[Ns]<n≤[N t]^XNnXNn+2MNn- SNnSNn∈ [σ(σ - 2c）+（t- s），σ（σ+2c）（t- s） ]。因此，hln Mi与densitydhln Mitdt绝对连续∈ [σ(σ - 2c）+，σ（σ+2c）]，0≤ T≤ 1，这意味着！≤ c、因此，P，Law（M | 710)P）位于引理3中考虑的类Pσ，σ，cas中。5（i）。通过^SM，^MN，^QN的构造和^P-几乎确定的收敛，这证明了（3.15）对于这个P。现在让我们转向引理第（ii）项的证明，取σ：[0，1]×C[0，1]→ 引理3.5中引入的类∑（c）中的R。修理∈ {1, 2, . . . } 并定义OhmN通过以下递归过程生成σN，κN，BN和ξnb：σN，σ∨ ~σ(0) ∧ σ、对于n=1，N，σNn，σ∨ ■σ（n）-1） /N（十亿）∧ σ、 κNn，■σ（n）-1） /N（BN）（σNn）- 1.,ξNn，√Nln SNn- 在SNn-1σNn-1=√NXNn/σNn，BNn，BNn-1+经验（1+κNn）XNn- κNn-1XNn-1.- 1p1+2κNnσNn。观察到∑的渐进可测量性确保其在定义σn和κn时的评估依赖于BN=（BNm）m=0，。。。，仅通过m=0的已知构造值，N- 1.接下来，定义过程qNby（3.20）qNn=exp（κNn）-1XNn-1) - 经验(-（1+κNn）σNn/√N） exp（（1+κNn）σNn/√N）- 经验(-（1+κNn）σNn/√N）。考虑概率测度PNon(OhmN、 FNN），其中随机变量ξN。。。，ξNNare i.i.d.与PN（ξN=1）=PN（ξN=-1) = 1/2. 从（3.10）可以看出，存在>0，其中κNn>- 1 /2. 因此| BNn- BNn-1 |=O（N）-1/2）和|κNn- κNn-1 |=O（N）-1/2）因为∑的Lipschitz连续性。We20 P.Bank、Y.Dolinsky和S.G–Okay得出结论，对于足够大的N，qNn∈ （0,1）PN几乎可以肯定。

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mingdashike22

2022-5-7 03:04:29

对于这种情况，我们考虑通过Radon-Nikodym导数Dqndpn | FNn=2NnYm=1计算QNgivenqNmI{ξNm=1}+（1- qNm）I{ξNm=-1}.由于PN[ξNn=±1]=1/2，我们对qN（3.20）的选择确保bn是qN下的鞅。现在考虑随机过程mnn，SNnexp（κNnXNn），n=0，N.从（3.10）可以得出，对于足够大的N，κNN=0，因此MNN=SNN。此外，从（3.9）我们有|MNn-SNn | SNn≤C√N.还要注意（3.21）MNn=MNn-1.1+q1+2κNnσNn（BNn- BNn-1).因此，σN，κN的可预测性确保，除了BN之外，在QN下，mn也是amartingale。因此，在我们现在引理的第（i）部分中，我们要求mn和QNare。因此，仍然需要建立弱收敛（3.16）。通过应用泰勒的六分法，我们qNn-κNn-1σNn-1ξNn-1+（1+κNn）σNn2（1+κNn）σNn= O（N）-1/2）PN几乎可以肯定，（2qNn）- 1） ξNn-1.-κNn-1σNn-1（1+κNn）σNn= O（N）-1/2）PN几乎可以肯定。从最后的等式和度量的定义中，我们得到了这个等式（1+κNn）σNnξNn- κNn-1σNn-1ξNn-1.| FNn-1i=（σNn）（1+κNn）+（σNn）-1）（κNn）-1)- 2（2qNn- 1）（1+κNn）σNnκNn-1σNn-1ξNn-1=（σNn）（1+2κNn）+O（N）-1/2）。这与应用泰勒展开yieldsEQN相结合（BNn）- BNn-1） |FNn-1.=N+O（N）-3/2).从[1]中的定理em8.7，我们得到了C[0，1]上law（BN | QN）到维纳测度的收敛性。从∧σ的连续性可以得出，{p1+2κNnσNn}）Nn=0的连续插值N[0,1]，即qn收敛定律下的∧σ[Nt]/N（BN）到PWon C[0,1]下的∧σ的过程。因此[13]和（3.21）中的定理5.4给出了收敛定律（BN，MN | QN）=> 空间C[0,1]×C[0,1]上的定律。最后，注意我们有联合收敛定律（SN，MN，√N |κNσN | | QN）=> 定律（Sσ，Sσ，a（~σ）| PW）作为N↑ ∞在C[0,1]×C[0,1]×C[0,1]和（3.16）上，按要求如下。非线性交易成本和波动不确定性213.2.2。证明≤’ 在（3.7）中。

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2022-5-7 03:04:32

应用带有g，gN，cof（2.9）的定理M2.2表明，对于N=1，2。存在一个衡量标准(OhmN、 FNN）使（3.22）Vσ/√N、 σ/√NgN，c（F）≤N+EQN“F锡-N-1Xn=0GN，cnMNn- SNnSNn#式中，GN，cis是GN的L e gendre-Fenchel变换，其中MN定义为引理3.6。因为通过构造hcand，因此，als o gN，chas是最大斜率c，我们有gN，cn（α）=（Hn/N（SN，α）if |α|≤ C∞ 否则特别地，上面的概率序列（QN）N=1,2，。。。如引理3.6第一部分所要求。因此，我们得到了概率为P的弱收敛性（3.15）*∈ Pσ，σ，c。根据斯科罗霍德的表示定理，存在一个概率空间（^）Ohm,^F，^P）与过程^SN，^MN和^QN，N=1，2。以及一个连续鞅M>0，比如tLaw（SN，MN，QN | QN）=law（^SN，^MN，^QN | P），N=1，2，（3.23）法律*) = L aw（M|^P），（3.24）以及（3.25）（^SN，^MN，^QN）→ （M，M，hln M i）^P-几乎可以肯定为N↑ ∞.由于引理3.6的（3.13），max0≤T≤对于任何P>0，1^SNtis在Lp（^P）中有界。根据Lebesgue定理，假设F与（3.23）和（3.25）连接时的连续性和多项式增长，因此可以得出（3.26）EQNhF的结论锡我→ E^P[F（M）]作为N↑ ∞.下面我们将讨论LIM infN↑∞EQN“N-1Xn=0GN，cnMNn- SNnSNn#≥ E^P“Z^Ht（M）ardhln M itdt！dt#（3.27）将（3.22）与（3.26）和（3.27）结合，然后给出（3.28）lim supN↑∞Vσ/√N、 σ/√NgN，c（F）≤ E^P“F（M）-Z^Ht（M）ardhln Midtt！dt#。由于（3.24），（3.28）的右侧可以被视为（3.8）中考虑的预期之一。

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2022-5-7 03:04:36

我们从引理3.5（i）推导出≤’ 保持（3.7）。让我们通过证明（3.27）并写出-1Xn=0GN，cnMNn- SNnSNn#= E^PZNH[Nt]/N^SN，新界/√Ndt（3.29）在哪里-C≤ 新界，√N^MN[Nt]/N-^SN[Nt]/N^SN[Nt]/N≤ c、 22 P.班克、Y.多林斯基和S.G–奥卡利特b:R→ R是一个凸函数，使得b（u）=a(√u）为了你≥ 0，例如（3.30）b（u），-u、 u≤ -σ,(σ-u） σ，-σ<u<0，a(√u），u≥ 0.根据假设2.4和^sn对M的^P-几乎肯定收敛，被积函数nh[Nt]/N^SN，/√N在t中一致收敛∈ [0,1]和 ∈ [-c、 c]至^Ht（M）. 此外，来自外稃3。下面我们有(（新界）≥ b（N）^QN[Nt]/N）。因此，（3.27）中的lim inf以be low bylim infN为界↑∞E^PZ^Ht（M）(Nt）dt≥ 林恩芬↑∞E^PZ^Ht（M）b（N）^QN[Nt]/N）dt.（3.31）根据其定义，可以得出以下结论：^QN[Nt]/N）0≤T≤1，N=1，2。取区间[σ]中的值-2cσ，σ+2cσ]和so它们是一致有界的。因此，我们可以使用引理A1。在[10]中取1，对于N=1，2，指数为{N，N+1，…}的过程序列中的凸组合δNof元素哪一个汇聚^P几乎每一天。用（δt）0表示极限过程≤T≤1.ObservethatZtδudu=limN→∞ZtN^QN[Nu]/Ndu=hln M it，因此我们得出结论δt=dhln Mit/dt，^P 几乎每一天。因此，法图斯莱玛（Fatou’slema）的E^PZ^Ht（M）a（pδt）dt= E^PZ^Ht（M）b（δt）dt≤ 林恩芬↑∞E^PZ^Ht（M）b（δNt）dt.通过b的凸性和δ的构造，最后一个lim-inf不大于（3.31）右侧的lim-inf。因此，我们可以结合这些估计得出我们的结论（3.27）。证明≥’ 在（3.7）中。由于引理3.5，它必须说明（3.32）lim是如何影响的↑∞Vσ/√N、 σ/√NgN，c（F）≥ EPWF（S∑）-Z^Ht（Sσ）a（^σt）dt对于∑∈∑（c）。对于这样的∧σ，我们可以应用引理3。其中qmnga提供了(OhmN、 FNN），N=1，2。

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2022-5-7 03:04:39

，使（3.33）LawSN，MN，√N | MN- SN | SNQN！=> 法律Sσ，Sσ，a（√σ）嗯作为N↑ ∞.我们现在可以使用Skorohod的表示定理，就像第n3节一样。2.2 toobtain，与（3.26）类似，（3.34）EQNhF锡我→ EPWFSσ作为N↑ ∞.非线性交易成本与波动不确定性23集-C≤ 新界，√N^MN[Nt]/N-^SN[Nt]/N^SN[Nt]/N≤ c、与（3.29）类似，我们有thatlimN↑∞EQN“N-1Xn=0GN，cnMNn- SNnSNn#（3.35）=limN↑∞EQNZNH[Nt]/N^SN，新界/√Ndt= EPW[Z^Ht（S∑）a（∑t）dt]，其中最后两个等式来自我们对H的假设，即引理3中的矩估计。6（给出了一致可积性）和（3.33）（以及斯科罗霍德表示定理）。将（3.34）和（3.35）结合起来，我们就可以写出（3.32）asEPW的右边F（S∑）-Z^Ht（Sσ）a（^σt）dt= 画↑∞EQN“F锡-N-1Xn=0GN，cnMNn- SNnSNn#.另一方面，理论2。2表明这样的极限是f（3.32）左侧的下限。这就完成了我们的证明≥’ 持有（3.7）我们用前面证明中使用的下列元素不等式来完成这项工作：引理3.7。对于x，y∈ R使得| x |∈ [σ，σ]我们有b（x+2xy）≤ y、其中b表示（3.30）的函数。证据我们区分了四种情况：（i）x+2xy≥σ. 在本例中为0≤ x+2xy- σ≤ 2xy≤ 2σ| y |和sob（x+2xy）=（x+2xy）-σ)σ≤ y、（二）σ≤ x+2xy≤ σ. 在这种情况下，b（x+2xy）=0，并且该语句是平凡的。（三）|x+2xy |≤ σ. 设置z=x+2xy。假设z是固定的，并引入函数fz（u）=（z-u）你，你≥ σ. 注意这一点∈ [-σ、 σ]导数f′z（u）=1- z/u≥ 0和sob（x+2xy）=fz（σ）≤最后，假设x+2xy≤ -σ. 显然是x+2xy+y≥ 0和sob（x+2xy）=-十、- 2xy≤ Y24 P.Bank，Y.Dolinsky和S.G–Okay参考文献[1]D.Aldous，以斯特拉斯堡方式观察过程的随机过程的弱收敛性，未出版手稿，统计。实验室大学。

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2022-5-7 03:04:42

剑桥（1981年）。[2] P.Bank和D.Baum，大型交易商金融市场中的套期保值和投资组合优化，硕士。《金融》第14期，第1-18期（2004年）。[3] B.Bouchard和M.Nutz，《非支配D离散时间模型中的套利和对偶》，应用概率年鉴，25823–859，（2015年）。[4] B.Bouchard和M.Nutz，《模型不确定性下的一致价格体系》，预印本，2014年。[5] N.N.Chentsov，轨迹不存在第二类间断的随机过程的弱收敛性和t.heKolmogorov–Smirnov检验的启发式方法，Probab理论。Appl，1140-144，（1957年）。[6] U.C,etin，R.Jarr-ow和P.Protter，流动性风险和套利定价理论，金融和斯托克。8 , 311–341, (2004).[7] Y.D iscreetime中模型不确定性下博弈期权的Dolinsky套期保值，概率中的电子通信（20 14）。[8] S.Deparis和C.Martini，《离散时间内的超边缘策略和平衡》，第四届Ascona随机分析会议论文集（2004年）。[9] L.Denis和C.Martini，存在模型不确定性情况下的或有目标定价的理论框架，Ann。阿普尔。公关部。16, 827–852,(2006).[10] F.Delbaen和W.Schachermayer，资产定价基本定理的一般版本，数学。安娜伦。300, 463–520, (1994).[11] Y.Dolinsky和H.M.Soner，《摩擦、金融和随机二项市场的对偶性和收敛性》。17 ,447–475, (2013).[12] Y.Dolinsky和H.M.Soner，在金融学和随机学中出现了具有比例交易成本的稳健套期保值。[13] D.杜菲和P.普罗特，《从离散时间金融到连续时间金融：金融收益过程的弱收敛》，数学金融。2, 1–15,(1992).[14] 《风险与交易约束的凸度量》，《金融与随机》第6期，第4期，（2002），429-447[15]霍尔默与A。

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