风险管理的多曲线HJM模型

2022-5-7 03:45:58

风险管理的多曲线HJM模型Chiara Sabellia*, Michele Pioppib+，Luca Sitziab+和Giacomo Bormettia，c2015年9月9日，比萨卡瓦列里广场7号，意大利首都比萨，56126，意大利首都比萨，米兰奥伦蒂广场，20154，意大利首都比萨，经皮特拉桑蒂纳123，意大利首都比萨，56122，Italyabstracts我们提出了一种HJM方法，用于预测多个收益率曲线，以获取历史期限结构的波动性内容，用于风险管理。由于我们以每天的频率观察经验数据，并且只观察到一定数量的到期时间段，因此我们提出了一个本质上是离散的建模框架。特别地，我们展示了如何通过一阶向量自回归过程逼近多曲线动力学的HJM连续时间描述。结果动力学有助于对模型波动率相关性结构和市场风险溢价进行可行的估计。然后，借助主成分分析，我们进一步简化了动力学，减少了协方差分量的数量。在欧元区的曲线样本上应用我们模型的恒波动率版本，我们通过样本外测试来证明其预测能力。杰尔：C32，C5，C51，G01，G10。关键词：HJM、多曲线、场景生成、主成分分析*通讯作者：奇亚拉。sabelli@sns.it，电话+39 050 509259。+本文中表达的观点、想法和意见均为作者以个人身份提出的，不应归于UniCredit S.p.A。

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2022-5-7 03:46:01

或作为UniCreditS代表或雇员的作者。p、 A.作者贡献：CS和GB设计研究；CS和GB进行了研究；CS、MP、LS和GBA分析数据；CS和GB写了这篇论文。www.quantlab。it1简介未来收益率曲线情景是金融风险管理领域许多活动的必要组成部分。实际上，几种证券的价格取决于利率期限结构的未来价值。因此，由此类工具构成的投资组合的预期风险敞口，以及VaR和预期空头等风险度量，都与基础利率的未来分布密切相关。因此，金融机构需要为未来一系列固定日期的不同到期时间（从几天到30年）的收益率预测置信区间。当建立一个模型来描述屈服曲线的演化时，主要的问题是自由度的数目太大。驱动期限结构的动力学是内在的多变量，因此需要对单个收益率的波动性以及不同期限收益率之间的相关性进行建模。因此，文献中提出的许多方法通过依赖因子模型大幅降低了曲线的维数。这些因素的选择要么基于众所周知的降维技术，如主成分分析（PCA）或因子分析[1,2,3,4,5,6]，要么由经济直觉驱动。后一种方法是尼尔森和西格尔[7]首次提出的方法，后来由迪博尔德和李[8]开发。

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2022-5-7 03:46:04

它描述了三个动态因素——水平、坡度和曲率——结合因子载荷的屈服曲线。这三个因素是根据历史产量时间序列估计的向量自回归动力学发展而来的，而负荷函数的结构是固定的。有关因子模型的相关工作有[9,10,11,12,13]，但几乎没有一个直接考虑预测。最近，有人提出了一个丰富的动态三因素模型“a la Nelson and Siegel”，以解释央行干预导致的政权变化[14,15]。引入隐马尔可夫链来模拟宏观经济变量（如GDP和CPI增长）的演化，这些变量会影响因素动态。文献[16,17]对区域切换因子模型进行了系统研究，该模型包括长记忆效应和异质性。对于来自非限制性分析的因素或基于经济直觉选择的因素，因素动力学的特征化通常是通过参数化方法来探索经验数据的信息内容。一种不同的方法是Barone Adesi等人在[18,19]中提出的非参数过滤历史模拟。该方法初步计算收益率曲线模型中的标准化残差，该模型具有状态相关的条件均值和波动率。然后，对残差进行自举，生成不同到期日收益率的样本情景。这种方法不依赖于任何分布假设，因此能够解释相当广泛的历史模式。

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2022-5-7 03:46:07

过滤历史模拟的最新应用可在[20]中找到，作者使用函数梯度下降法计算标准化残差。关于未来收益率曲线预测的不同但相关的文献流采用了经典的建模方法，如短期利率模型或瞬时远期利率模型。在这些框架中，套利的缺失自动嵌入到支配进化的随机微分方程中。如[21]所述，没有套利可能意味着存在一个理想的资产，以便为利率相关的投资组合获得可靠的损益分布。在[22]等有效模型中，收益率曲线与短期利率r（t）之间存在指数关系，P（t，t）=exp{a（t，t）- B（t，t）r（t）}，其中A（t，t）和B（t，t）的函数形式是固定的，以确保没有套利。在第二类模型中，首先由Heath Jarrow和Morton（HJM）[23]引入，术语Structure与瞬时正向曲线相关，P（t，t）=exp{-RTtdu f（t，u）}。这里没有套利限制了风险中性度量中f（t，t）在其波动函数方面的漂移系数。为了获得一个能够描述收益率曲线在客观概率测度下演化的模型，必须添加一个与市场风险价格成比例的漂移修正。衡量历史数据隐含的风险价格的问题总的来说相当具有挑战性。[24]中讨论了建立可行估计程序的尝试，作者考虑了r（t）的多因素动态和风险市场价格的许多不同参数。在这方面，HJM模型的一个优点是，它们对风险价格的误判不那么敏感。

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2022-5-7 03:46:11

如[21]所述，其估计错误对远期利率演变的影响相对小于短期利率的演变。在HJM框架中生成利率情景的最新尝试见[21]。在本文中，我们提出了一种可行的最大似然方法，该方法提供了对市场风险溢价的统计显著估计，并返回了历史演变。正如我们在第3节中所描述的，利率市场——尤其是在以信贷危机为中心的时间窗口内——隐含地引用了非常积极的风险溢价。这意味着对HJM模型的漂移进行了强烈的负修正，该模型将未来利率曲线相对于观测到的正向曲线向下推。到目前为止，我们讨论的所有方法都描述了单一收益率曲线的演变。2007-2008年的流动性/信贷危机已经极大地改变了利率格局，导致了多重收益率曲线情景[25]。在旧金融市场中，远期利率协议（FRA）和零息债券（ZCB）价格的报价由简单的无套利规则关联。在流动性问题和任何交易对手都不能被视为无风险实体的证据的压力下，危机后的货币市场似乎是一个每个正向利率都充当不同资产的地方。因此，今天需要一套收益率曲线，而不是一条，以适应市场上的利率衍生品价格：欧元隔夜指数平均值（EONIA）曲线，即欧元区隔夜借款的收益率期限结构，以及300万欧元、600万欧元和1Y欧元。虽然前者通常被认为是无风险利率的最佳代表，但后三者对与更长期限相关的信用和流动性风险很敏感。关于这个话题的介绍性讨论，请参见[26,27]。

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2022-5-7 03:46:14

在图1中，我们展示了根据期限曲线计算的两年期连续复合收益率之间差异的增加 = 3M、6M和1Y以及EONIA ZC产量，到期时间相同。图1应该在这里。在文献中，几位作者提出了不同的方法，将经典利率模型扩展到新的多收益率曲线情景。所有这些尝试都具有相同的定价视角，尽管它们捕捉到了不同的方面：Libor市场模型[27,28,29]、HJM模型[30,31,32,33,34,35]、乘法利差[25,36,37]、外币方法[38]、SABR模型扩展[39]和短期利率模型扩展[40,41,42,43]。关于这一主题的综合评论，我们参考亨拉德的书[44]。据我们所知，这些模型中没有一个是为了同时对所有收益率曲线的置信区间进行可靠预测而进行研究的。在本文中，我们以HJM框架第2.1节的多曲线延伸为起点，对EONIA曲线进行精确定义。在[34]中提出。我们通过在时间变量和时间成熟度的离散设置中重新表述这种建模框架，开发了一种通用的向量自回归表示。作为动力学对象，我们采用瞬时远期期限结构来描述无风险曲线，FRA利率来描述更长的期限曲线。因此，我们推导出了一阶jointVector自回归过程（VAR（1）），该过程解释了EONIA曲线和更长期限曲线的演化。该表示法适用于对收益率时间序列的波动相关性结构和市场风险溢价进行可行的最大似然估计，因此能够为属于不同期限结构的收益率未来值生成密度分布。

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2022-5-7 03:46:17

据我们所知，这是在新的多曲线环境中预测收益率信心水平的首选方法，包括市场风险溢价，因此与历史观察完全一致。我们的设置也非常适合PCA的应用。我们展示了如何减少与每次到期日桶相关的布朗冲击的数量，只保留最小数量的主成分，这有助于解释至少95%的总方差。更详细地说，我们选择了恒定（时间）波动率，并根据EONIA和300万欧元期限结构的可用历史数据估算模型。从一个高维对象开始，即我们需要22个桶来描述两条收益率曲线，我们选择了一个较小的主成分数，即始终低于9，这说明了大部分相关性。在模型尺寸显著降低后，我们设计了一个产量曲线投影的数值程序，然后进行了样本外测试。为了评估我们特定模型的预测能力，我们考虑了[45,46]中描述的无条件覆盖测试。对于95%的覆盖率和较短的预测范围，我们得到了非常满意的结果。该方法的一些不足之处出现在更极端的平均概率和更长的期限，尤其是对于最短的海棠曲线成熟时间。这种影响的部分原因是，欧洲央行（ECB）的货币政策在很大程度上决定了曲线动态。欧洲央行的干预以离散变化的形式影响隔夜利率水平，布朗冲击驱动的模型很难复制这种变化。

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2022-5-7 03:46:20

为了明确纳入欧洲央行的政策，必须转向专门设计的建模框架，以捕捉目标利率的离散变动，以及从紧缩到放松的制度转变[47]。此外，就无样本表现而言，[47,48]证明，使用基于调查的欧洲央行政策利率预测增强了未来利率的样本外预测能力。本文的组织结构如下。第2节介绍了Heath Jarrow Morton建模框架，并详细介绍了控制动力学的方程的一阶向量自回归（VAR（1））表示的推导。我们还讨论了用于生成未来情景的数值方法以及用于估计模型参数的方法。第3节介绍了我们对欧元区收益率曲线数据样本的应用，并展示了我们的反向测试程序的结果。最后，在第4节中，我们总结并展望未来。2模型在本节中，我们描述了多重收益率曲线环境下的模型。初步地，我们回顾了希思·贾罗·莫顿设定的标准公式，并指定了模型，以便有效地描述历史时间序列的协方差结构。我们用Y（t，x）表示在时间t观察到的（连续复合）收益率和到期时间x，其与ZCB价格P（t，t+x）的关系由P（t，t+x）=exp给出{-xy（t，x）}，（1）其中t=t+x是合同的到期日。由于根据到期时间桶报告历史领域的期限结构很常见，在我们的描述中，x起着中心作用。

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mingdashike22

2022-5-7 03:46:23

HJM框架中最显著的数量是瞬时远期汇率（t，x）定义的asf（t，x）：=-xlnp（t，t+x），（2）或者，作为Y（t，x）的显式函数，asf（t，x）=Y（t，x）+x的等价项xY（t，x）。（3） 2.1 HJM框架的向量自回归表示我们模型的起点是Heath Jarrow Morton框架，其中收益率曲线的动态根据瞬时远期利率动态进行重新表述。在风险中性测度下，驱动f（t，x）演化的随机微分方程（SDE）如下所示=σf（t，x）·Zxduσf（t，u）+xf（t，x）dt+σf（t，x）·dW（t），（4），其中σf（t，x）和W（t）分别是波动函数和独立布朗运动的N维向量。漂移项由两部分组成。FirstComponent对应于HJM漂移条件，确保没有套利，并且在指定波动向量σf（t，x）后完全确定。第二项是最初由Musiela[49,50,51]引入的差异修正，它解释了远期利率动态的到期时间x。就差异系数而言，目前我们对波动向量没有限制，它们可以是确定性的、局部的（即σf（t，x）是f（t，x）的函数），甚至依赖于一些额外的随机过程。正如我们在导言中提到的，学术和专业文献提供了该建模框架对多收益率曲线环境的若干扩展。在我们的论文中，我们特别提到了莫雷尼和帕拉维奇尼[34]的工作。欧元区隔夜借款利率为欧元隔夜指数平均值（EONIA）。它代表隔夜指数掉期（OIS）的基础。

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2022-5-7 03:46:26

OIS是交换固定汇率与浮动汇率的SWAPC合同，其中浮动汇率计算为EONIA汇率的几何平均值。OIS利率通常被认为是无风险利率的最佳代表，而在抵押交易中，它们通常被用作抵押利率，这一事实导致了OIS贴现。通过使用自举技术（例如参见[52]），我们可以从OIS费率中获得OIS ZCB价格的期限结构x 7→ P（t，t+x）。然后，我们计算EONIA瞬时远期利率的期限结构。此外，我们考虑固定收益工具，如远期利率协议、掉期、上限/利率和掉期期权，其基本伦敦银行同业拆借利率（Euribor）对期限的敏感度高于隔夜利率。符号·代表通常的标量积。在金融危机之前，与不同期限相关的伦敦银行同业拆借利率通过简单的无风险关系进行关联。在后危机时期的利率市场中，情况已不再如此，而aspeci fi fi fic收益率曲线是由基础利率取决于特定期限的市场工具构建的。在所有金融工具中，FRA、利率互换和基差互换代表了流动性最强的利率线性衍生工具，其简单的结构自然有助于采用自举方法（再次参见[52]）。每个男高音 =3M、6M、1Y，我们构建了三条风险曲线，即欧元三个月、六个月和一年曲线，我们用Y表示（t，x）相关收益率。在将HJM建模框架扩展到我们正在考虑的多重收益率曲线环境中，无风险曲线的演变以瞬时远期利率的形式描述，其动力学对应于方程（4），而更长期限曲线的演变则以远期利率的形式提供。

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2022-5-7 03:46:29

根据定义，时间利率与期限到期时间x由FRA给出（t，x）：=EQt+xt[F（t+x）- ; t+x- , t+x）]，（5）其中Qt+xis是鞅测度，其数值P（t，t+x）是EONIA债券价格，而F（t+x）-; t+x-, t+x）是伦敦银行同业拆借利率和期限这适用于[t+x]期间的未清算存款利率- , t+x]。由于在相同的终端测度Qt+x下，瞬时远期利率和FRA利率都是鞅，我们将联合动力学表示为df（t，x）=xf（t，x）dt+σf（t，x）·dWt+x（t），（6）dFRA（t，x）=xFRA（t，x）dt+σFRA（t，x）·dWt+x（t），（7），其中Wt+xis是Qt+x4下的N维布朗运动。为了描述收益率曲线的历史演变，我们需要调整风险中性动态，包括与风险市场价格相关的贡献。正如标准教科书中所讨论的，例如[51]，这相当于漂移校正的加法不等式（6）和（7），等于-λ·σf（t，x）dt和-λ·σFRA分别为（t，x）dt。向量λ的N个条目对应于与之前相关的非负风险溢价，出现漂移项是因为我们根据到期时间参数化了利率动态。瞬时远期和远期利率波动率。由于历史数据集通常由每天或每周收集的一定数量的到期时间桶的观测值构成，因此我们通过离散时间过程来近似连续时间的真实世界动态。我们初步详细介绍了EONIA dynamics的方法，然后将其扩展到EUR3M、EUR6M和EUR1Y曲线。我们用描述经验EONIA期限结构的K个到期时间桶的有限集合表示。因此，方程式（6）仅适用于属于s的x和对应于离散网格的时间t。

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2022-5-7 03:46:32

采用欧拉离散格式，我们将SDE（6）改写为一组K方程SF（tk+1，si）- f（tk，si）=σf（tk，si）·Zsiduσf，int（tk，u）- λ·σf（tk，si）+xfint（tk，x）硅t+σf（tk，si）·ε（tk+1）√t，（8）对于i=1，K和ε（tk+1）~ N（0，IN），即N×N单位矩阵。重要的是要观察到，为了计算瞬时远期利率曲线的一阶导数并整合波动率函数，我们需要定义数量fint（tk，x）和σf，int（tk，x）的插值版本。如[53]所述，传统的选择对应于贝塞尔三次样条法的使用。样条线表示允许将等式（8）中的导数项写成矩阵形式（见附录A）xfint（tk，x）x=si=[Mf（s）f（tk）]i，（9）其中我们引入了瞬时正向速率的向量sf（tk）=[f（tk，s），f（tk，s），…，f（tk，sK）]|，而Mf（s）是一个仅依赖于向量sMf（s）的三对角K×K矩阵=ABC00。0ABC0 0。00 ABC0。0......0 0 . . . 0 AK-1BK-1CK-10 0 . . . 0 AKBKCK. （10）波动函数σf（tk，si）·Zsiduσf，int（tk，u）=KXh=1[Pf（s）]ihσf（tk，si）·σf（tk，sh）的积分也是如此=Pf（s）∑f（tk）∑f（tk）ii，（11）其中Pf（s）是形式为（见附录a）Pf（s）的K×K矩阵=[Pf]0 0 0。0[Pf][Pf][Pf]0 0。0[Pf][Pf][Pf][Pf]0。0......[Pf]K1[Pf]K1[Pf]K2。[Pf]K, （12）而∑f（tk）是挥发性的K×N矩阵∑f（tk）=[σf（tk，s），σf（tk，s），…，σf（tk，sK）]|。

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mingdashike22

2022-5-7 03:46:36

（13）然后，系统（8）可以表示为VAR（1）processf（tk+1）=（IK+Mf（s）t） f（tk）+uf（tk）t+∑f（tk）ε（tk+1）√t，（14）为了便于记谱，我们去掉了Ai、BIAN和CIO对成熟度桶向量s的依赖性。为了便于记谱，我们放弃了[Pf]ij对成熟度桶向量s的依赖性。其中，漂移项uf（tk）定义为uf（tk）=diagPf（s）∑f（tk）∑f（tk）- ∑f（tk）λ。（15）相同的程序可适用于每个有限维SDE，这些SDE驱动与EUR3M、EUR6M和EUR1Y曲线相关的FRA期限结构的演化，即方程式（7），并将其简化为有限维系统。我们在F-RA上采用贝塞尔插值法（t，x），记住，对于每条曲线，我们原则上都有一个不同的到期时间桶向量，用s表示. 我们将方程（7）的漂移项中出现的导数项近似为xF RA int（tk，x）x=s,i=hM（s）)~F（tk）ii，（16）式中F（tk）是KFRA速率的维数向量F（tk）=[F-RA（tk，s）,1），F-RA（tk，s）,2), . . . , F-RA（tk，s）,K)]|, （17）还有M（s）) 是一个K×K仅依赖于s的矩阵具有相同形式的Mf（s），见等式（10）。正如我们在方程（7）中所看到的，除了导数分量外，fFRA漂移还包含积分项，我们可以计算出积分项，就像我们对瞬时正向曲线σ所做的那样（t，s）,i） ·Zs,iduσf，int（t，u）=KXh=1[P（s，s）)]ihσ（tk，s）,i） ·σf（tk，sh）=[P（s，s）) ∑f（tk）∑|[tk]iip（s，s）) 是一个K与向量s和s有关的×K矩阵. 它类似于方程式（12）中定义的Pf。这里∑（tk）是K包含FRA比率可变性的×N矩阵∑（tk）=[σ（tk，s）,1), . . . , σ（tk，s）,K)]|.

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能者818

2022-5-7 03:46:39

（18）最后，无风险瞬时正向曲线和FRA曲线在真实测量下的联合动力学如下所示：f（tk+1）=（IK+Mf（s）t） f（tk）+uf（tk）t+∑f（tk）ε（tk+1）√t、 ~F（tk+1）=（IK）+ M（s）) t） ~F（tk）+u（tk）t+∑（tk）ε（tk+1）√t，（19）表示 = 3M，6M，1Y，其中漂移系数为uFRA费率的（tk）形式为u（tk）=diag[P（s，s）) ∑f（tk）∑|（tk）]- Σ（tk）λ。（20）方程（19）是本文的主要贡献之一。它对应于HJM建模框架的VAR（1）表示，该框架通过包括FRA利率动态来描述多条收益率曲线。其目的是通过瞬时远期利率来描述欧尼亚曲线的历史演变，以及通过FRA期限结构来描述更高期限曲线的历史演变。在选择挥发性矩阵∑f（t）和∑后，该模型是完全特定的（t）。正如我们将在下一节中详细介绍的，我们考虑了EONIA和EUR3M、EUR6M和EUR1Y曲线的恒定（时间）波动函数的情况。2.2恒定波动率模型在本节中，我们指定波动率矩阵∑f（t）和∑的形式（t）。我们考虑了瞬时远期曲线和FRA期限结构的常数波动函数，即∑f（tk）≡ ∑f，∑（tk）≡ Σ.这种选择的主要优点是，它允许设计一种简单的估计方法，并通过PCA降低问题的维数[54,55]。

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2022-5-7 03:46:42

事实上，在进入产量和FRA动态的N个布朗驱动因素中，PCA允许选择维度为F<<N的子组分，这仍然解释了观察到的方差的很大一部分。我们初步确定了以下向量，这些向量可以直接从可用的历史时间序列yf（tk+1）=f（tk+1）计算得出- （IK+Mf（s）t） f（tk），y（tk+1）=F（tk+1）- （IK）+ M（s）) t） ~F（tk）， = 3米，6米，1年。（21）引入此类向量的优点在于，现在（19）中的方程可以表示为协方差平稳过程yf（tk）=uft+∑fε（tk）√t，y（tk）=ut+∑ε（tk）√T = 3米，6米，1年。（22）其中ufandu分别对应于等式（15）和（20）中定义的量，降低对时间的依赖性。现在我们可以将等式（21）的四个向量嵌入一个向量中，其中D=K+K3M+K6M+k1y分量（tk）=y | f（tk）、y | 3M（tk）、y | 6M（tk）、y | 1Y（tk）|,也有协方差平稳动态（tk）=ut+∑ε（tk）√t、（23）其中u是D维漂移项u=u| f、u| 3M、u| 6M、u| 1Y|∑是一个D×N波动矩阵∑=∑f，∑3M，∑6M，∑1Y|.如果我们现在假设N=D，波动率矩阵∑的一个方便的参数化如下：∑=Ohm R、（24）在哪里Ohm 是一个对角线矩阵，包含y组分的挥发性Ohm =ω0 . . . 00 ω. . . 0.........0 . . . 0ωD,而R是相关矩阵ΓR |=Γ的下三角Cholesky分解。通过这个选择，向量y readsCov[y（tk）]=的协方差矩阵∑∑|=Ohm Γ Ohm.我们还引入了包含挥发性的向量ω，ωDω=[ω，…，ωD]|，这样矩阵Ohm 可以综合重写为diag[ω]。如果我们现在在u的表达式中插入等式（24），我们得到u=ωo （Po Γ) ω - ω o Rλ，（25）式中o 表示两个矩阵之间的阿达玛积，即。

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2022-5-7 03:46:45

（A）o B） ij=AijBij，或在两个向量之间等效，即（ao b） i=aibi，而P矩阵是根据矩阵Pf和P定义的D×D矩阵P=Pf0。0P3M0 0。0P6M0 0。0P1Y0 0。0.最后，引入向量η（tk）η（tk）=Rε（tk），以便将y（tk）的生成过程写成followsy（tk）=u是有用的t+ωo η（tk）√t、（26）含η（tk）~ N（0，Γ）。从方程（24）中，我们可以很容易地看到协方差矩阵是根据D波动率和D（D）参数化的- 1） /2相关系数，其中公式（25）指出，需要风险向量λ的市场价格的D个额外分量来确定漂移向量。2.3未来场景的模拟2。3.1高斯差异模型方程（26）允许预测程序的两种不同实现。第一种可能性是从多变量正态分布中迭代进行逐步蒙特卡罗模拟采样，其均值和协方差结构可通过漂移和扩散系数计算得出。第二个公式在计算上更方便，它是（26）f（tk+1）=（IK+Mf（s）关系的直接结果t） kf（t）+ufkt+k-1Xh=0（I+Mf（s）t） h∑fε（tk）-h+1）√t、（27）因此，在时间tk+1时，f（t）的值上的瞬时前向速率向量是正态分布的，平均向量和协方差矩阵由[f（tk+1）| f（t）]=ufk给出t+（IK+Mf（s）t） kf（t），Cov[f（tk+1）]=tk-1Xh=0（IK+Mf）t） h∑f∑f（IK+Mf（s）t） hT.类似的结果也适用于FRA向量，并允许在长时间范围内直接执行蒙特卡罗模拟采样。

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2022-5-7 03:46:49

此外，从方程（27）开始，我们可以计算ZC产量向量Y（tk+1）的分布，因为Yi（tk）=Sizzidu fint（tk，u）=siKXh=1[Pf（s）]ihf（tk，sh）=si[Pf（s）f（tk）]i.从上面的表达式可以明显看出，在每个时间点，ZC产量也是多元正态分布的随机变量，我们可以显式计算相关的条件均值和协方差矩阵。目前的模型基本上对应于EONIA瞬时远期利率以及EUR3M、EUR6M和EUR1Y FRA曲线的高斯动力学。因此，它允许负利率，这是一个数据不排除的特征。鉴于最短期限的利率水平极低，尤其是在撰写本文时，它可以代表我们模型的一个有价值的特征。Mf（s）矩阵出现在均值和协方差的表达式中，在远期汇率变化的时间演化中起作用。其影响在很大程度上取决于期限结构在特定的到期日区间是浮动（几乎没有影响），向上倾斜（方差增长速度比简单的差异模型快）还是向下倾斜（相对于纯粹的差异动态而言，降低方差增长速度）。FRA曲线也可以得出类似的结论。2.3.2创新向量的自举在同样的情况下，尤其是在市场动荡的情况下，正态分布扰动的假设可能不充分。此外，对估算后计算的残差进行分析，可以证明峰度过大和速率波动的异方差行为。为了部分捕捉这些影响，我们考虑了一种互补策略，以预测未来的利率期限结构。

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2022-5-7 03:46:52

我们采用bootstraptechnique，用替换的方法对历史时间序列中的向量η（tk）进行采样[56]。我们预计，对预测程序的轻微修改将提高模型捕捉多变量极端情况下利率分布尾部行为的能力。需要强调的是，我们的设置并不能纠正残差的序列相关性或波动时间序列的异方差性。我们在下一节中给出的结果与这些预期一致。2.4模型参数的估计如前几节所述，根据收益率曲线历史时间序列，我们需要估计D×D协方差矩阵∑，根据D波动率D（D）进行参数化- 1） /2相关系数，以及风险向量λ市场价格的D分量。我们设计了一个模拟程序，包括迭代搜索似然函数的最大值，通过筛选模型中除一个以外的所有参数来计算。我们引入了参数向量θθ={λ，…，λD，ω，…，ωD}，暂时忽略D（D）- 1） /2相关系数Γ，Γ，ΓD-1 D.这种选择的动机是，在估计过程中，优化算法将以不同的方式处理向量θ和相关系数。序列{y（tk）}Lk=1的对数似然函数由符号readsL改变y（tL），y（t）θ, Γ=L Dln（2π）+Lln（det（Γ））+LDXi=1ln（ωi）+LXk=1η（tk）·Γ-1η（tk）。在下面的内容中，我们将用θ（n）和Γ（n）表示算法步骤n的参数值。为了开始校准，我们将风险向量的市场价格初始设定为零，其中可用性和相关性设置为等于其Pearson估计值。

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2022-5-7 03:46:55

在随后的每一步中，除一个分量外，θ的所有分量（例如θi）都固定为在前一步中获得的值θi作为变量处理，θj=θ（n-1） j，j 6=i。相关矩阵选择为Γ=ρ（n-1），其中矩阵ρ（n-1）在步骤n中估计-1并将在一段时间内定义。通过对θ和Γ的选择，残差向量可以很容易地计算为△ηj（tk；θi）=yj（tk）- ujtωj√t、 j=1，D、 k=1，L.相关的可能性L仅被视为θi的函数，那么我们定义θ？是使θ最小的值吗？i=argminθiLy（tL），y（t）θ（n）-1), . . . , θ（n）-1）我-1，θi，θ（n）-1） i+1，θ（n）-1） 2D，ρ（n）-1).最后，θiis的值更新了θ（n）i=θ？i、利用θ（n）的值，我们计算残差η（n）i（tk）=yi（tk）的向量- u（n）itω（n）i√t、 i=1，D、然后是其外积的样本平均值Q（n）ij=LLXk=1η（n）i（tk）η（n）j（tk）。然后按照以下公式计算每一步要使用的相关矩阵ρ（n）ij=Q（n）ijqQ（n）iiqQ（n）jj。我们重复这个过程直到θ（n）i- θ（n）-1）我< γθ（n）-1）我, i=1，2D，ρ（n）ij- ρ（n）-1） ij< γρ（n）-1） ij, i=1，D、 j=1，i、 γ=10时-4.我们将参数的最终值表示为^θ={^λ，…，^λD，^ω…，^ωD}，^Γ，^Γ，^ΓD-1 D.在实证分析中，我们对风险向量的市场价格做了额外的假设，假设其组成部分是逐步常数。我们特别介绍了EONIA曲线的两个组成部分，一个用于最短到期日，另一个用于中期和长期到期日，以及每个较长期限曲线的一个组成部分。具体而言，在四条曲线的情况下，λ向量定义如下=λs，λs |{z}Ks，λl，λl |{z}K-Ks，λ3M，λ3M |{z}K3M，λ6M，λ6M |{z}K6M，λ1Y。

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2022-5-7 03:46:58

，λ1Y |{z}K1Y，|我们的选择是基于这样一个想法，即市场对价格更敏感，与收益率曲线的短期和长期组成部分相关的风险也不同。这一假设也得到了初步分析的实证支持，初步分析表明，由于包含额外风险因素，似然函数的相对改善可以忽略不计。利用bootstrap技术计算估计参数的误差。一旦我们获得了^θ和^Γ的值，我们对相关的残差序列{^η（tk）}Lk=1进行采样，以建立Nb=500的调整收益时间序列，其长度与历史收益时间序列相同。我们对每个引导副本重复估计，并获得参数{^θi，^Γi}Nbi=1的引导样本。在历史估计值和自举平均值之间不存在显著偏差的条件下，我们将NBE估计值的标准偏差作为参数标准误差的近似值。我们已经在通过蒙特卡罗计算的合成时间序列上广泛测试了上述估算程序。我们考虑了几种不同的情况，波动性高和低，风险市场价格相对较高和较低。对于所有情况，迭代算法提供的估计值在统计学上与真实参数值一致，并且在统计学上与零不同。在下一节中，我们将展示实证结果。我们首先对我们所掌握的历史时间序列进行模型估计，包括单收益率曲线和多收益率曲线。

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2022-5-7 03:47:01

然后，我们开始分析多个收益率曲线的预测能力，并通过样本外练习对模型进行测试。3实证结果3。1数据集我们处理的数据集包括来自欧元区的四条ZC收益率曲线的每日时间序列：EONIA曲线、EUR3M曲线、EUR6M曲线和EUR1Y曲线。出于计算原因，我们将分析限制在两条曲线上，即EONIA和EUR3M，但四条曲线的情况直接遵循相同的推理路线。我们在表1中报告了这两个时间序列的开始和结束日期。表1应在此列出，每条曲线由一定数量的到期时间桶构成osi7→ 对于i=1，…，EONIA曲线的Y（tk，si）ZC产率，K、 os3M，i7→ Y3M（tk，s3M，i）ZC收益率为3欧元曲线，i=1，K3M。表2中报告了两种载体s和s3Mare。表2应为瞬时远期期限结构，可通过方程式（3）从收益率中获得。对于较长的期限曲线，我们计算公式（28）中的利率，其中P（t，t+x）被P3M（t，x）取代：=exp{-xy3m（t，x）}FRA3M（t，x）：=P3M（t，t+x- )P3M（t，t+x）- 1., （28）与 = 三个月。从上面的表达式可以明显看出，FRA3M（t，x）的数量仅定义为x≥ .市场报价来自彭博社和路透社。为了加快计算速度，我们选择了有限的成熟时间，这些时间收集在表3中报告的向量s和S3M中。表3应该在这里。2估算结果在本节中，我们展示了第2.4节所述程序的结果。我们从单曲线情况开始，也就是说，我们将分析限制在由远期期限结构描述的无风险曲线上。在该设置中，向量y减小为K=12维向量yf。

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2022-5-7 03:47:04

因此，我们需要估计66个相关系数、12个波动率和风险向量的市场价格。我们用两个分量来描述向量λ，λ和λl:λ=λs，λs |{z}Ks=2，λl，λl |{z}K-Ks=10|.第一个组成部分与EONIA曲线的两个最短桶相关，即一个月和两个月瞬时利率，而第二个组成部分指的是从三个月到30年的时间-成熟桶。然后我们进入多重收益率曲线环境。因为K=12，K3M=10，向量y的维数D等于22。因此，待估计的参数数量为231个相关系数、22个波动率和风险向量市场价格的3个组成部分。实际上，我们在向量λ中只引入了一个额外的分量，它代表了整个F-ra3m曲线λ=λs，λs |{z}Ks=2，λl，λl |{z}K-Ks=10，λ3M，λ3M |{z}K3M=10|. （29）值得注意的是，由于λL指到期时间至少为三个月的EONIA利率，因此λ3M始终与到期时间超过三个月的FRA利率相关。3.2.1主成分分析我们进行的优化产生了波动率矩阵∑的估计值，如等式（24）所述。因此，我们可以建立y^C=^∑∑|，（30）的D×D协方差矩阵，并执行主成分分析（PCA）。PCA是一种众所周知的降维技术，它允许识别向量分量的线性组合，向量分量在总波动率中所占比例最大。由于^C是对称的半正有限元，它可以与正交矩阵^O对角化，因此我们得到^C=^O对角化[γ]^O |，其中γ=[γ，…，γD]|包含^C的非负特征值，且^O的列是其特征向量。

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2022-5-7 03:47:07

主成分分析表明，如果我们只保留F的最大特征值，忽略较小的K- F其中，我们保留总方差φ（F）的一部分等于φ（F）=PFi=1γiPDi=1γi。为了确定分析中保留的主成分数量，我们选择该数量的阈值，例如φ（F）≥ 95%. 因此，我们可以定义一种修正的波动率函数作为WM=√γmh^O1m，^ODmi |，m=1，F、（31）基本上是^C的第一个F特征向量，通过相对特征值进行重新标度。3.2.2单曲线作为估算程序的第一步，我们对处置的时间序列进行滚动分析。我们从本系列的第一天开始，考虑向量yf的三年周实现。如第2.4节所述，我们执行迭代Cov[y]=^Ct、优化并获得模型参数的最大似然估计。然后，我们提前一周，重复同样的过程。最后，我们获得了290个历史协方差矩阵的样本，对其进行主成分分析，并计算出再现至少95%历史方差所需的最小主成分数。图2中的曲线图显示了这个最小值是如何随时间变化的。X轴上报告的日期对应于用于计算图中每个点的三年期数据的结束日期。如图2所示，在信贷危机期间，需要占历史波动率一致部分的主要成分数量从5上升到6，然后冷却到5。这一结果与股票市场通常发生的情况形成对比。

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2022-5-7 03:47:10

在以市场下跌为特征的时期，描述股票行业回报协方差的主要成分数量减少，表明不同资产之间的相关性增加。在这里，我们观察到了相反的趋势：在信贷危机期间，对不同期限敏感的利率之间的相互关系降低。这种影响可能是由于欧洲央行对货币政策的干预，这在经济衰退期间对曲线的短部分产生了强烈影响，而长期结构的演变几乎不受这些干预的影响。因此，这意味着曲线两端之间缺乏相关性。当然，这一经验证据表明了期限结构的分割，并可能表明市场运营商将曲线的不同组成部分视为不同的投资机会。我们现在确定了一个特定的估算窗口，从2010年1月5日开始，到2013年同一日期结束。保持F=5主成分，我们能够保持96.74%的总历史波动率。在图3中，我们绘制了五个修正的波动率函数w（f），w（f），以及相关的标准误差。修改后的波动率函数表示矩阵^O的列，该列通过其特征值对协方差矩阵进行对角化，有关影响我们所指主成分的统计误差的计算，请参见等式[54,55]。（31）。图3所示为第一个因素的特征是曲线长部分的弯曲结构。然后，它会在很短的时间内下降到零，直到到期，但不会改变其符号。第二个因素是围绕五年桶进行切换，因此解释了曲线的长短部分之间的差异。

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2022-5-7 03:47:13

第三个因素的驼峰形状解释了曲线的凸性。因此，前三个组成部分通常与期限结构的水平、斜率和凸度有关。这些证据可以追溯到[1]。自那时起，主成分分析已在利率应用中大量使用，例如[3,4,8]，然而，从建模方面来看，与[7]中描述的方法的联系已经引发了一系列关于因子模型的研究，参见[8]或最近的成就[14,15]和其中的参考文献。然而，图3显示，如今，总方差的很大一部分只能包括高阶分量，而对这些分量缺乏清晰的解释。正如我们将在下一节中看到的，我们直接对多个收益率期限结构执行PCA，主成分的数量和形状与单曲线情况类似。3.2.3多收益率曲线为了确定多收益率曲线情况下的主成分数量，我们进行了与单曲线框架相同的分析。在图4中，我们报告了四条曲线的历史数据中至少95%的总方差所需的最小主成分数，即EONIA曲线f（t，x）和附加分形曲线f RA3M（t，x）。图4应该是在信贷危机期间，主成分的最小数量稳定在8左右，然后从2011年开始逐渐下降，2013年初降至5。然后，我们确定从2010年1月5日到2013年1月5日的常规窗口，并计算相关的修正波动率函数。在图5的两个面板中，我们展示了占总历史方差95.67%所需的修正波动率函数。

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2022-5-7 03:47:16

为了更好地可视化功能，我们将每个主成分分为两部分，第一部分是EONIA曲线，第二部分是EUR3M curvew（f）m=√γm[O1m，…，OKm]|，w（3M）m=√γm[OK+1 m，…，OK+K3Mm]|，图5应为EONIA和EUR3M曲线在因子方面表现出相同的行为，证实前三个特征向量可以正确解释为水平、斜率和曲线。因此，这一证据可能支持将因子模型方法扩展到描述多个收益率曲线。现在我们来看看最大似然法的结果。让我们从风险溢价向量λ开始，该向量以三个分量λs，λlandλ3M为参数，如等式（29）所述。在图6、图7和图8中，我们报告了对具有每周重叠回报的三年滚动样本进行估计的结果。让我们关注第一个分量λs，它与瞬时正向曲线的一个月和两个月桶相关。它从几乎为零开始，并在校准样本中包含信用危机期后立即上升到非常高的正值。等式（25）可以非常简洁地解释这个结果。这个-ω o 漂移分量中的Rλ项对Rλ的正值有负贡献，反之亦然。让我们考虑一下从2008年9月开始的三年样本，它产生了最大值λs~ 1.5. 2008年至2009年期间，EONIA的期限结构发生了明显变化，从一条倒曲线向上倾斜，短期利率约为0.5%，长期利率近4%。如果在t？，例如

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2022-5-7 03:47:19

2008年9月的一天，我们被要求预测一年中观察到的一个月利率，我们最好的猜测应该是t？在t+1y和t？+1y+1m。2008年9月，该曲线呈倒转状，十年利率约为4.2%，一个月利率约为4.3%，一年内的一个月利率约为4.9%，而在危机结束后，最短利率下降，达到了0.35%的水平。因此，我们的预测需要大幅向下修正，这是由-ωλswithλs>0。同样的观点也适用于危机开始时的时期，即2006-2007年，在此期间，期限结构的形状发生了变化，从正常的向上倾斜曲线转变为略微反转的曲线。同样，在这种情况下，我们基于远期利率的朴素预测将需要向下修正，再次由λs的正值提供。然而，由于在此期间短期利率表现出较小的变化，从3.5%到4.2%，这种修正的幅度比2008-2009年的小，因此，这是我们对λs的估计。远期利率和实际利率之间的偏差解释了图6中观察到的行为，其中λs增加为大正值。如果将2010-2011年的欧元区主权危机包括在内，这种影响就更加明显。一旦信贷危机和主权危机结束，与最短期限相关的市场风险价格水平就会冷却下来，回到低值。

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2022-5-7 03:47:22

另一方面，与三个月以上到期的EONIA利率相关的风险溢价可以忽略，因为从图7可以看出，这在统计学上并不显著。最后，图8显示，与300万欧元FRA曲线相关的风险溢价与EONIA曲线中的最短到期溢价具有相似的行为。同样，这是因为风险溢价向量的这一部分必须考虑到2009年至2013年期间观察到的300万欧元期限结构形状的变化——从正常到反向和反向。除了市场风险价格的组成部分外，估计还提供了波动率和相关系数的值。我们分别在图9、10和13以及图11、12和14中报告了EONIA和EUR3M期限结构的短期和长期到期率的^ωi和^ij值。3.3预测收益率曲线：样本外测试我们现在调查模型执行样本外测试的预测能力。我们将模型预测的收益率曲线的置信区间与实际情况进行比较。特别是我们提出了一个总体频率测试，如[45,46]所述。在本分析中，我们考虑了一个数据集，该数据集综合了2005年2月8日至2013年12月27日期间每日记录的EONIA收益率曲线和EUR3M FRA期限结构。从时间序列的开始，我们估计了三年样本的模型参数，范围为tk- 3年和tk，TKW间隔很短。对于这些样本中的每一个，我们都通过蒙特卡罗模拟计算出预测范围为一周、三个月和一年的置信包络。对于EONIA曲线，我们用ltk+δ| tk（si；p），utk+δ| tk（si；p）, k=1，nobs，i=1。

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