为此，我们需要引入n维欧几里德空间（3.1）I=（z）∈ 里xi∈Izi=0）。定理3.2。收藏（Q, （C）i） 我∈（一）∈ P×（L）是纳什均衡当且仅当下列三个条件成立：（N1）C我>-δ-如果我∈ 一、 还有z= （z）i） 我∈我∈ 这是（3.2）Ci+δilog1+C我δ-我= Zi+C*i+δiXj∈Iλjlog1+Cjδ-J, 我∈ 我（N2）带Q*∈ P如（1.3）中所述，即记录dQ*~圆周率∈Iλilog dPi，它认为（3.3）logdQdQ*~ -Xj∈Iλjlog1+Cjδ-J;（N3）情商[C]i] =0代表所有i∈ 一、备注3.3。假设代理人的偏好和风险敞口在阿罗-德布鲁均衡中不会发生交易，当所有i都相同（并且等于，比如，P）时，就会发生这种情况∈ 见备注1.5。在这种情况下，Q*= P和C*i=0表示所有i∈ I.从定理3.2可以直接看出，纳什均衡也由Q给出= P和Ci=0（以及zi=0）就我所知∈ I.事实上，如§3.3.4所述，这是本案中唯一的纳什均衡。相反，假设纳什均衡由Q给出= P和C风险分担博弈中的均衡i=0 19i∈ I.然后，（3.3）表明*= Q= P和（3.2）意味着C*我~ -Z我~ 0，这意味着C*i=0表示所有i∈ 我

换句话说，纳什风险分担均衡不涉及风险转移，只有当代理人已经处于帕累托最优状态时。在两个代理的重要案例中= -C, 应用（3.2）中的简单代数，我们得到了风险分担证券的纳什均衡是这样吗-δ<C< δ和满意度（3.4）C+δ测井1+C/δ1 - C/δ= Z+ C*.在定理3.7中，将证明两个代理情况下唯一纳什均衡的存在性。此外，§3.4中介绍的一维寻根算法允许计算灰平衡，并进一步计算和比较每个单独药剂的最终位置。例如，考虑示例2.8及其对称情况，如图2所示，其中，证券的有限责任在于较少的可变性和代理人位置的右尾。在纳什均衡下，如§3.3.1，安全C所述这意味着代理最终位置的概率密度函数向左移动。这一事实如图3所示。图3。绿色实线是位置E+C的pdf, 蓝色虚线显示了位置E+C的pdf*红色虚线是位置E+Cr的pdf，都在常见的主观概率度量下。在这个例子中，σ=σ=1，ρ=-0.5.尽管存在上述对称情况，但并非所有代理人都必须在纳什均衡风险分担下承担效用损失。正如我们将在第4节中看到的，对于风险容忍度足够大的代理，谈判博弈比通过哈罗-德布鲁均衡获得的效用更高。3.3. 处于平衡状态。根据定理3.7，定义意义上的纳什均衡3。1永远存在。

在§3.3中，我们假设（Q, （C）i） 我∈一） 这是一个纳什均衡，并根据特征化定理3.2.20米切尔·阿瑟罗佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉S3对其某些方面进行了讨论。3.1. 交易证券的内生界限。正如备注2.4所指出的，每个代理通过最佳响应程序输入的安全性在下面有界。当所有参与代理遵循相同的策略行为时，纳什均衡证券也从上而下。事实上，由于市场已经清仓，经纪人长期持有的证券被其他经纪人做空，他们同样打算约束自己的债务。从数学上来说，C我>-δ-iis对我所有人都有效∈ 我和皮∈ICi=0成立，它也跟在C后面我=-Pj∈I\\{I}Cj<Pj∈I\\{I}δ-j=（n）- 1） δ+δi，对于所有i∈ I.因此，代理人战略行为的一个后果是纳什风险分担证券是内生有界的。这一事实与（1.4）的Arrow-Debreu均衡形成了鲜明对比，在该均衡中，风险转移可能涉及具有无限收益的证券。证券边界的直接后果是，纳什风险分担交易的潜在收益也是内生有界的。自然地，由此产生的内生界限表明，代理人之间的博弈如何限制风险分担交易，而这反过来可能会导致效率的巨大损失。下一个例子说明了在简单的对称设置中的这种效率。拉特伦，在图3中，另一个双代理示例中的效用损失是可视化的。例3.4。让X∈ l在β的基线概率P下，使用标准（零均值，单位标准偏差）高斯定律∈ R、 定义Pβ∈ P通过日志dPβ/dP~ βX；在Pβ下，X具有平均β和单位标准差的高斯定律。固定β>0，并设置P:=Pβ和P:=P-β.

在这种情况下，计算C是很简单的*= βX=-C*. 它还允许你*= β/2=u*. 如果β较大，则在Arrow-Debreu交易后，代理人的信念之间的差异将导致双方获得更大的货币利益。另一方面，如定理3.7所示，在两个代理的情况下，存在唯一的纳什均衡。事实上，在这种对称的情况下，我们有-1<C< 1，可以检查（参见下文（3.4）C+日志1+C1.- C= βX.随着β>0值的增加，游戏造成的效率损失变得更大。事实上，如果β收敛到单位，可以证明C收敛到符号（X）=I{X>0}- I{X<0}；此外，U（C）和) 和U（C）) 将收敛到1，这表明与Arrow-Debreu交易相比，纳什均衡交易具有极大的效率。注意，内生边界-δ-i<C我- 1） δ+δ仅取决于代理人的风险耐受性，而不是他们的实际信念（或风险暴露）。此外，这些边界在相当厌恶风险的代理玩的游戏中变得更加严格，因为他们越来越不愿意承担风险。3.3.2. 如果交易，你永远不会透露你的真实信仰。如备注2.3所述，在涉及风险分担博弈的风险转移平衡的任何情况下，代理人的最佳概率反应都不同于他们的实际主观信念。当我们考虑纳什风险分担均衡时，这个结果变得更加明显。

也就是说，如果i） 我∈我揭示了与纳什均衡相对应的主观信念，这是定理3.2（另见（2.4））的结果，即（3.5）对数博士idPi~ - 日志1+C我δ-我, 我∈ I.注意Ri=Piholds当且仅当C对于任何固定i，i=0∈ 我因此，当代理人（通过实际交易）参与纳什均衡时，他们所报告的主观信念永远不会与实际信念相同。尽管在任何非平凡的交易情况下，代理人会报告不同于他们实际的主观信念，但我们将在下面论证（3.5）对可能的差异的程度施加了内生约束；以下讨论对备注2.1进行了扩展。通过将（3.5）写入日志（dPi/dR）开始i） =-κi+log（1+Ci/δ-i） ，κ在哪里i:=伐木工人i[1+Ci/δ-i] ，注意i[C][i]≥ -δilog ERi[exp(-Ci/δi）]≥ 0成立，我们使用了Jensen不等式和（Q, （C）i） 我∈一） 是活性剂偏好对的Arrow-Debreu平衡（δI，Ri） 我∈I.κ我≥ 0有效，这意味着dPi/dR我≤ 1+Ci/δ-i、 为了艾莉∈ I.定义权重（αI）I∈Iviaαi:=δ-i/nδ=λ-i/n为所有我∈ I（注意0<αI<1/n表示所有I∈ 一、 还有那个∈IαI=1），市场清算条件pi的使用∈ICi=0givesPi∈IαI（dPi/dR（一）≤ 1.可以得到相应的下限。实际上，使用内生边界C我≤ （n）- 1） δ+δi，它表示κ我≤ - 记录所有我∈ 一、 哪个给了SDPI/dR我≥ αi（1+C）i/δ-i） =αi+Ci/（nδ）。再次使用市场清算条件∈ICi=0，它跟在pi后面∈I（新闻部/博士）（一）≥ 1.

概括一下，Xi∈我是IDP我≤ 1.≤xi∈IdPidRiholds，它对似然比dPi/dR施加了相当大的先验限制如果我∈ I.（例如，与实际的主观信念相比，没有任何事件是所有代理人都会夸大或低估其可能性的。）特别是，因为1/αi=n/λ-i、 我们得到了（3.6）dPidR我≤nλ-我我∈ I.上述关于PIR的可能性上限主要取决于剩余药剂的数量和药剂的相对风险耐受系数；它既不依赖于总风险容忍度δ，也不依赖于其他代理人的实际主观信念。此外，还要注意，束缚（3.6）意味着H（Pi | Ri） =EPi[log（dPi/dR）i） ]≤ 对数（n/λ）-i） 。后者给出了一个先验的内生估计，即在纳什均衡中，真理与所报告的信念之间的距离。22米哈伊尔·安克索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉S3。3.3. 丧失效率。如前所述，代理人的战略行为会导致风险分担效率，这是因为公用事业公司（Ui）∈i用确定性等价物表示，可以通过箭头指示下的总货币效用和纳什均衡风险分担交易下的总货币效用的差异来衡量。请注意，风险分担文献中也使用了类似的效率衡量标准，例如[Vay99]或[AB05]。

从数学上讲，效率损失等于u*-U=圆周率∈Iu*我-圆周率∈Iui、 你在哪里*i） 我∈英国*定义在（1.5）和（1.6）中，而i:=Ui（C）i） ,，我∈ 一、 你呢:=xi∈Iui、 从（1.7）、（3.2）和（3.3）中，可以得出我- U*我=-δilog EQ*经验-C我- C*我δ我= Z我- δilog EQ*1+C我δ-我Yj∈我1+Cjδ-J-λj= Z我- δilog EQ1+C我δ-我- δilog EQ*Yj∈我1+Cjδ-J-λj, 我∈ 一、回顾情商[C]i] =0代表所有i∈ 一、 并注意到等式*Yj∈我1+Cjδ-J-λj= 情商Yj∈我1+Cjδ-Jλj-鉴于（3.3），我们获得（3.7）u我- U*i=zi+λiδ对数等式Yj∈我1+Cjδ-Jλj, 我∈ I.总计（3.7）∈ 我用π这个事实∈伊兹i=0时，可以得到游戏导致的效率损失的解析表达式：（3.8）u- U*= δlog EQ“易∈我1+C我δ-我λi#。从那时起∈I（1+C）i/δ-i） λi≤圆周率∈IλI（1+C）i/δ-i） =1+Pi∈IλiCi/δ-我从事实上[C]i] =0代表所有i∈ 一、 我们确实有你≤ U*（从Remark1.4中可以看出）；此外，美国的平等= U*当且仅当Ci=0代表所有i∈ 一、 当且仅当C*i=0代表所有i∈ 见备注3.3。换句话说，纳什风险分担均衡总是意味着效率的严格损失，但纳什均衡内没有交易的情况除外（这相当于纳什均衡内也没有交易的情况）。风险分担博弈中的均衡233.3.4。关于z的先验信息. 从（3.7）和（3.8）中可以得到（3.9）u我- U*i=zi+λi（u）- U*) , 我∈ I.上述等式意味着对z的经济解释i=λi（u）*- U) + （u）我- U*i） 。

的确，λi（u）*- U) 是分数，对应于试剂i∈ 一、 形成纳什均衡（而非阿罗-德布鲁均衡）所造成的效用总损失；另一方面，美国我- U*i是代理i∈ 我在纳什均衡中从阿罗-德布鲁均衡中获得。尽管总体效用为在纳什均衡中，风险分担永远不能高于罗-德布鲁的总效用*, 有些代理人可能会从博弈中受益，因为他们在谈判博弈后的个人效用比Arrow-Debreu均衡的效用收益更高。我们将在第4节中讨论此类情况。方程（3.9）有助于获得z的紧边界= （z）i） 我∈I.利用美国我≥ 尽管我∈ 一、 u≤ U*, 还有平等i=λi（u）*- U) + U我- U*i、 由此得出（3.10）z我≥ -U*我我∈ 一、与PI相结合∈伊兹i=0，之前的先验界意味着z必须住在一个简陋的房子里（3.10）中的界限确实很明确：在备注3.3中的非贸易设置中，它遵循u*i=0表示所有i∈ 一、 这意味着z我≥ 0应该代表我的一切∈ 我自从z∈ 一、 因此zi=0应该代表所有i∈ I.这也表明备注3.3中的平凡纳什均衡是唯一的。3.3.5. 个人边际差异估值。鉴于（3.8）和随后的讨论，并回顾备注1.4，可以得出纳什均衡中的分配不是帕累托最优的（除了在微不足道的无交易情况下）。

证明纳什均衡有效性的另一种方法是，在纳什风险分担交易后，个体代理人的边际（效用）差异估值指标之间存在分歧。回想一下，给定一个职位∈ Lwith Ui（Gi）>-∞, 边际差异估值测度Qi=代理人i的Qi（Gi）∈ 我有一个性质，函数r3q7→Ui（Gi+q（X）- 对于所有X，EQi[X]）在q=0时最大化∈ L∞; 换句话说，如果价格是根据合格中介机构下的预期给出的，那么代理人i∈ 除了Gi，我没有动力去做任何其他的工作。使用一阶条件，可以直接显示日志（dQi/dPi）~ -Gi/δiholds。在Arrow-Debreu平衡中，集合（Q*i） 我∈i带对数（dQ*i/dPi）~ -C*i/Δifor i∈ 一、 哪些是与头寸（C）相关的个别边际差异估值指标*i） 我∈A在Arrow-Debreu风险共担交易之后*i=Q*尽管我∈ I：所有代理人的边际差异估值指标都一致。现在，用（Q）表示纳什风险分担交易后个体代理人的边际差异估值度量i） 我∈一、 哪个日志（dQi/dPi）~-C我为我所拥有的一切感到高兴∈ I.根据日志（dPi/dQ）*) ~ C*i/δi（3.2）和（3.3），这表明24米切尔·安克索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉（dQi/dQ) ~ 对数（1+C）i/δ-i） 。因为情商[1+Ci/δ-i] =1，它实际上遵循（3.11）dQidQ= 1+C我δ-我我∈ I.帕累托最优需要所有（Qi） 我∈我同意，这只有在C就我所知，i=0∈ 一、 也就是说，恰好在没有交易发生的时候。所有纳什证券（Ci） 我∈Q下我的值为零. 每一个特工我∈ 一、 我们可以测量C的边际差异值ivia（3.12）EQi[C]i] =EQ1+C我δ-我C我=δ-伊瓦克（C）i） ,，我∈ I.特别要注意的是i[C][i]≥ 0，如果C就我所知，iis不是零∈ 我

这一观察结果意味着（除了不交易的琐碎情况外），如果所有代理人在各自的证券中占据更大的位置，他们的表现会更好；尽管如此∈ R+系列（aC）i） 我∈Iof证券清算市场，对于一些a>1的证券，这种证券集合将为每个代理带来比使用证券更高的效用（Ci） 我∈I.当然，阻止代理人这么做的原因是他们会发现自己处于（纳什）不平衡状态。代理人不会就市场清算托收达成一致（aCi） 我∈对于一些a>1的个体（因此，也是整体）更可取，这也表明纳什均衡内的交易量将减少。个体边际差异估值指标（Qi） 我∈ 我考虑了纳什估值测度Q的一个有趣表达式. 也就是说，回忆一下§3.3.2中的权重αi=δ-所有i的i/nδ∈ 我然后，从（3.11）和市场清算条件∈ICi=0，由此得出（3.13）Q=xi∈我的智商是αi、 换句话说，纳什估值测度Q是个体代理人边际差异估值测度的凸组合，将权重α分配给代理人i∈ I.还要注意的是，更多的风险规避者具有更大的影响力；但是自从maxi∈IαI<1/n，Q几乎等于（Q）的等重平均值i） 我∈如果有大批特工。关系式（3.13）强调了风险容忍水平对于纳什均衡中个体代理人效用的得失的重要性。例如，考虑两个相互作用的代理的情况，其中一个比另一个具有更大的风险承受能力。在这种情况下，Q将非常接近风险规避代理基于边际效用的估值指标，该指标将与报价一致。

另一方面，Q的可能差异从风险容忍代理来看，基于边际效用的估值对该代理有利，因为它提供了以零价格购买正价值证券的机会。第4节讨论了沿着这些路线的限制性指导场景。风险分担博弈中的均衡25边际差异估值测度（Qi） 我∈Iof（3.11）可用于提供纳什均衡中效用增益的利息公式，以及纳什和罗-德布鲁交易之间的效用差异。首先请注意（3.3）和（3.8）给出了日志dQ*dQ=Xj∈Iλjlog1+Cjδ-J+U*- Uδ、 再加上（3.9）和C*i=δilog（dPi/dQ*) + U*包括（3.14）Ci+δilog1+C我δ-我= Zi+C*i+δiXj∈Iλjlog1+Cjδ-J= Ui+δilogdPidQ.进一步使用（3.11）并对Q进行期望在（3.14）中，我们得到了i=δiH（Q| （圆周率）- δiH（Q）| Qi） ，我∈ I.最后一个等式必须与（1.5）进行比较。与Arrow-Debreu均衡一样，纳什均衡中的代理人受益于由此产生的估值指标与其主观观点之间的距离；然而，与Arrow-Debreu交易的帕累托最优效率不同，Nashtransaction中的代理从估值度量与其各自边际差异估值度量之间的距离中承受损失。从（3.14）和（3.11）可以得出C我=-δilog（dQi/dPi）+Ui（Ci）；把这个和C结合起来*i=δilog（dPi/dQ*) + U*i、 我们得到Ci+δilog（dQi/dQ*) = C*i+（u）我- U*i） 就我所知∈ 我

对Q的期望值*, 因此，（3.15）u我- U*i=EQ*[C][i]- δiH（Q）*| Qi） ,，我∈ I.两种均衡中个体代理人效用的差异来自两个不同的来源。第一个来源于Arrow Debreuvaluation与agent i的个体边际差异估值之间的差异（通过相对熵测量）∈ 我在纳什均衡中。当代理人在纳什均衡中的边际差异估值测度接近于罗-德布鲁测度时，纳什博弈造成的效用损失较低。从某种意义上说，这是代理人i“支付”的公用事业总损失的一部分∈ I（另见下文（3.16））。（3.15）右侧的另一个术语涉及Arrow Debreu估价指标Q下的价格*我特工的实际安全措施∈ 我在纳什均衡买东西。回顾纳什证券的纳什均衡价格（Ci） 我∈我是零，EQ的正性*[C]i] 意味着安全性C在纳什均衡交易中，iis被低估。再次注意，如果Q接近Q*,估值公式*[C]i] 倾向于积极，因为情商i[C]i] 始终为非负（见（3.12））。放弃之前的讨论：边际差异估值指标接近Arrow Debreu one的代理往往会从纳什博弈中受益。正如我们将在第4节中看到的，例如，当代理i∈ 我有足够的风险承受能力。26 MICHAIL ANTHROPELOS和CONSTANTINOS KARDARA SDue根据市场清算条件∈ICi=0时，总损失仅考虑单个边际指标与Arrow-Debreu最优指标的总差异：某些证券余额估值过低，而其他证券余额估值过高。

事实上，加起来（3.15）我∈ 一、 给出（3.16）u*- U=xi∈IδiH（Q）*| Qi） ，将纳什效率衡量为纳什均衡中个体代理人边际差异估值的最优估值的总差异。等式3.16是（1.6）的对应项，其中考虑了与Arrow-Debreu风险分担相比完全没有交易的效率。3.4。通过有限维寻根，纳什均衡的存在性和唯一性。定理3.2被用作一个指南，以寻找平衡点，使用n维空间参数化候选最优证券在（3.1）中介绍。接下来的命题3.5，其证明是§A.5的内容，能够将纳什均衡的搜索（在我们的环境中，纳什均衡是一个固有的有限维问题）简化为有限维问题。后一个问题为纳什均衡的数值近似提供了必要的工具（另见下面的例子3.8）。提案3.5。尽管如此，z∈ 存在唯一的（Ci（z））i∈我∈ （五十） Iwith Ci（z）>-δ-iand（3.17）Ci（z）+δilog1+Ci（z）δ-我= zi+C*i+δiXj∈Iλjlog1+Cj（z）δ-J, 我∈ I.（注意，Pi∈ICi（z）=0表示所有z∈ 此外，它认为（3.18）EQ*Yj∈我1+Cj（z）δ-J-λj< ∞.在命题3.5的符号中，对于每个z∈ 一、 通过（3.19）对数确定概率Q（z）dQ（z）dQ*~ -Xj∈Iλjlog1+Cj（z）δ-J.统一边界-δ-i<Ci（z）<（n）- 1） δ+δi完全按照§3.3.1的规定，并暗示exp（Ci（z）/δi）∈ L（Q（z））代表所有i∈ 我和z∈ I.特别是（Ci（z））I∈我∈ CQ（z）代表所有z∈ I.根据定理3.2，纳什均衡相当于发现z∈ Isuch thatEQ（z）[Ci（z）]=0代表所有i∈ 我

实际上，我们可以定义一个函数：I7→ R+通过公式（3.20）`（z）=-xi∈我δ-伊洛格1+EQ（z）[Ci（z）]δ-我, Z∈ I.Ci（z）>-δ-我为所有人欢呼∈ 一、 “很明确。此外，不等式log（x）≤ 十、-1，适用于所有x∈ (0, ∞), 给出`（z）≥ -xi∈我δ-我等式（z）[Ci（z）]δ-我= -等式（z）“Xi∈ICi（z）#=0，Z∈ 一、 鉴于PI∈ICi（z）=0表示所有z∈ 一、 这表明`确实是R+值的。此外，由于log（x）<x- 1代表所有x∈ (0, ∞) \\ {1} ，对于任何z∈ Iit表示`（z）=0相当于所有i的等式（z）[Ci（z）]=0∈ I.以下结果总结了上述讨论。提议3.6。对于前面的符号，以下是正确的：o假设（Q, （C）i） 我∈一） 是纳什均衡，让z≡ （z）i） 我∈我∈ Ibe如（3.2）所示。然后，`（z）) = 0.o假设z的存在∈ 这是`（z）`) = 0.然后，（Q（z）), （Ci（z）))我∈一） 正如在（3.17）和（3.19）中定义的那样，这是一个纳什均衡。命题3.6提供了纳什均衡和`根之间的一一对应关系。回顾§3.3.4中的讨论，`的任何根都属于i考虑（子）i∈我∈ Iwith zi≥ -U*如果我∈ I.这一事实允许通过蒙特卡罗模拟等方法对纳什均衡进行数值近似。尽管命题3.6具有实用价值，但它并没有回答纳什均衡的实际存在性问题，以及在存在的情况下，唯一性问题。这些问题在下文的OREM 3.7中解决，其证明是§A.6的主题。定理3.7。纳什风险分担均衡总是存在的。此外，当I={0，1}时，纳什风险分担均衡必然是唯一的。三个或三个以上代理的唯一性问题仍然悬而未决，从数学角度来看，这一问题更具挑战性。

在所有进行的数值模拟中，我们观察到纳什均衡的存在性和唯一性。下一个例子很有代表性。例3.8。考虑一个δ=δ=δ=1的三人博弈。我们假设log（dPi/dP）~Xiholds for i∈ {0,1,2}，其中（X，X，X）在基线概率P下具有平均零正态分布，σ（X）=0.4，σ（X）=2.7，σ（X）=1.1，ρ（X，X）=-0.9，ρ（X，X）=0.7和ρ（X，X）=-0.3. 在图4中，我们绘制了（z，z）不同值的函数，仅在不等式z指定的有界区域内≥ -U*, Z≥ -U*, z+z≤ U*, 其中z+z=-z、 可以看出，向量上有一个唯一的`近似根= （z）, Z, Z) = (0.14, -0.7,0.56）。对应于示例3.8.4，函数`表示不同的z值。极端风险容忍度如§3.3.5所述，风险容忍系数是博弈对每个代理人效用造成的收益或损失的关键因素。在本节中，我们通过研究和比较当代理人的风险偏好接近完全风险中性时，Arrow-Debreu和Nash风险分担均衡来更深入地研究这个问题。为了专注于结果的经济解释，我们考虑了两种药物的简化（但具有代表性）情况。接下来的分析考察了两种情况：第一，只有一个代理变得极端风险容忍；第二，两个代理的风险容忍系数一致接近。除了这一分析本身的利益外，它还允许我们证实一种说法，即高度风险容忍的代理人实际上从风险分担游戏中受益。4.1. 一个风险承受能力极强的特工。

我们从两个代理的情况I={0，1}开始，其中只有一个代理的风险规避接近于零。我们保持风险容忍度δ和主观概率Pof代理1固定。另一方面，对于代理0，我们考虑一系列风险容忍系数（δm）m∈N和limm的财产→∞δm=∞ 以及固定的主观概率P。在这个设置中，定理1.2和定理3.7指出，对于每个m∈ 存在一种独特的平衡Qm，*, （厘米，*i） 我∈我还有一个独特的纳什均衡Qm，, （厘米，i） 我∈我. 我们以代理0为基线，关注证券Cm，*还有Cm，, 从那时起，*= -厘米*还有Cm，= -厘米.风险分担博弈中的均衡29我们首先研究估值规则和均衡交易中证券的限制行为。每m∈ N、 从（1.3）中，我们获得了Qm，*∈ P是这样的log（dQm，*/（dP）~ λmlog（dP/dP）。更准确地说，我们有（4.1）dQm，*dP=EP“dPdPλm#-1.dPdPλm，给定limm→∞λm=0，L-limm→∞（dQm，*/dP）=1很容易遵循支配收敛定理，实际上，|·| tV表示总变差范数，Scheffe引理暗示limm→∞|Qm，*- P | TV=0。因为，Cm，*= -厘米*= δlog（dQm，*/（dP）- δH（Qm，*| P） 对所有人都适用∈ N和（Qm，*)M∈n收敛到P，我们期望L-limm→∞厘米*=δlog（dP/dP）- δH（P | P）。显然，要使之前的限制有效，以下（技术）假设是必要的。假设4.1。H（P|P）<∞.在§A.7中，后一种假设也足以证明命题4的有效性。2，给出了Arrow-Debreu均衡中的有限估值和安全性，以及两个代理的有限收益。提议4.2。在假设4.1的作用下，它认为∞,*:= L-limm→∞厘米*=δlog（dP/dP）- δH（P | P），limm→∞嗯，*= 0和limm→∞嗯，*= δH（P | P）。事实上，一个接近风险中性的代理的效用收益几乎为零。

要了解这一点，请将限制性估值测度P与代理0的限制效用进行比较，后者是相对于P的线性期望。另一方面，代理1的效用增益不受限制的唯一情况是，两个代理的主观信念一致。现在我们转向纳什风险分担均衡。从（3.4）中，我们得到了Cm，+ Δλmlog1+Cm，/δ1 - 厘米/δm= zm，+ 厘米*, M∈ N.接受序列zm，M∈在R和厘米M∈n在L中收敛（这些猜想实际上必须作为下面定理4.4的一部分加以证明），并且假定→∞δm=∞, 林姆→∞λm=1和L-limm→∞厘米*= C∞,*, 极限安全∞,:= L-limm→∞厘米应该满足C∞,+ δlog1+Cm，/δ= Z∞,+ C∞,*, z在哪里∞,:= 林姆→∞zm，. 这个启发性的讨论给出了计算极限的方法。对于任何一个z∈ R、 定义随机变量C∞（z） 满足方程式（4.2）C∞（z） +δlog1+C∞（z） δ= z+C∞,*.自从功能(-1.∞) 3 x 7→ x+log（1+x）是严格递增且连续的映射(-1.∞) 到(-∞, ∞), 因此，C∞（z） 是一个定义明确的(-δ, ∞)-有值随机变量30米切尔·安索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉∈ R.那么，我们应该有C∞,= C∞（z）∞,). 虽然z∞,是作为zm，M∈N、 我们实际上可以先验地确定它的价值。要取得进展，请注意从（3.3）日志（dQm、，/dQm，*) ~ -λmlog（1+Cm，/δ) - λmlog（1）- 厘米/δm），M∈ N、 事实上，林姆→∞|Qm，*- P | TV=0，极限纳什估值概率Q∞,应确保log（dQ∞,/（dP）~ - 对数（1+C）∞,/δ); 因为情商∞,C∞,= 0预计将保持在极限，我们实际上得到了EP1+C∞,/δ-1.= 1必须满足。下一个结果（其证明见§A.8）确保了唯一的此类候选人z∞,∈ R是存在的。引理4.3。

在（4.2）的符号中，存在唯一的z∞,∈ 满足等式1+C∞（z）∞,)/δ-1.= 在我们陈述关于纳什均衡极限行为的主要结果之前，我们先做一个最后的观察。回想一下（3.5）中的日志数字版权管理，/数据处理~ - 日志1.- 厘米/δm对所有人都适用∈ N.自林姆以来→∞δm=∞ 事实证明，厘米M∈Nis收敛，揭示的主观性概率Rm，当m很大时，代理1的概率非常接近实际的P。（有另一种方法可以获得相同的直觉。从（3.6）中，注意dRm，/数据处理≥ λmholds对所有m∈ N.自林姆以来→∞λm=1和（dRm，/dP）m∈Nhas在P下的恒定单位预期，Rm，M∈这表明在§2.3中讨论的情况下具有相同的渐近行为，其中只有代理人0按照最佳概率响应的指示在战略上采取行动，而代理人1则报告了真实的主观信念P。事实上，以下结果（其证据在§A.9中给出）意味着限制性安全结构是相同的，不管厌恶风险的代理1是否进入游戏，或者只是报告真实的主观信念（在这种情况下，只有接近风险中性的代理才会有策略性的行为）。定理4.4。在前面的符号中（特别是引理4.3），它表示C∞,:= L-limm→∞厘米= C∞（z）∞,) = L-limm→∞Cm，r.极限的相等性厘米M∈Nand厘米，rM∈Nimplies认为风险中性代理人的战略行为主导了风险分担交易。直觉上，高风险承受能力的代理人愿意在共享交易中承担更多风险，以换取更高的现金报酬。因此，在极限情况下，风险中性代理满足其他代理报告的套期保值需求，但通过应用最佳响应策略实现更好的价格。另一方面，对于规避风险的代理人来说，降低风险比付出更高的代价更重要。

因此，在均衡状态下，风险厌恶型代理人倾向于提交真实的信念，即使这会给风险中性代理人带来更高的代价。在阿罗-德布鲁均衡交易中，情况完全不同，代理人基本上充当价格接受者，证券和价格由交易效率决定。风险分担博弈中的均衡31我们在第3.3小节中指出，在任何风险转移情况下，纳什均衡都会导致一些效率损失。尽管与Arrow-Debreu均衡相比，纳什均衡下的总效用降低，但在风险分担博弈中，某些代理人可能获得更高的效用收益。特别是，下面的命题4.5（其证明见§A.10）表明，具有足够高风险承受能力的代理人在纳什均衡交易中享有比阿罗-德布鲁均衡共享时更高的效用。提案4.5。定义Q∞,∈ P使得dQ∞,/dP=1+C∞,/δ-1.然后：limm→∞嗯，- 嗯，*=δVarQ∞,C∞,,林姆→∞嗯，- 嗯，*= -δVarQ∞,C∞,- δHP|Q∞,.风险规避代理人的有限损失来自两方面。第一个是（1/δ）VarQ∞,C∞,,这是代理0的极限增益。剩余量δHQ∞,*|Q∞,事实上是应用战略行为的损失，而不是以帕累托最优方式分享。只要C∞,不等于零。4.5号提案的信息是明确的。战略行为的引入使具有高风险承受能力的代理能够获得更好的价格，而风险厌恶程度越高的代理则愿意为实现风险降低而支付更高的价格。

与Arrow-Debreu均衡不同的是，在该均衡中，价格由最优共享度量给出，具有足够高风险容忍度的代理愿意在纳什博弈中接受更多风险，因为他们的策略推动市场为他们提供更好的现金补偿。事实上，一个更厌恶风险的代理人不仅倾向于承担由博弈造成的所有效率损失，而且还促进（有效地）承受风险的交易对手的效用收益。回顾§3.3.5的讨论和注释，我们可以提供一些更详细的评论。从（3.11）和命题4.5可以看出，代理人0的边际估值测度接近极限最优估值测度Q∞,*. 这意味着，对于足够大的∈ N、 代理0在纳什均衡中得到的安全性确实被低估了，请注意∞,*C∞,=情商∞,C∞,（1+C）∞,/δ)= （1/δ）VarQ∞,C∞,. 根据（3.15）和下面的讨论，我们很容易得出代理0的效用增加了。对于风险规避者来说，情况有所不同。从（3.13）可以看出，将接近Qm，对于大型m∈ N、 这反过来又会接近Q∞,. 因此，对于足够大的m∈ N、 代理人1在纳什均衡中收到的证券被高估；除此之外，代理1还承担着灰平衡的所有风险分担效率。4.2. 两个代理都具有极高的风险承受能力。我们在上文中已经看到，高风险容忍代理的战略行为主导着纳什博弈，并推动市场进行他更喜欢的交易，而不管其他代理的行为如何。在这里，我们将研究当两个代理人以相同的速度接近风险中性时，米切尔·安克索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉·沙彭斯对均衡的影响。更准确地说，我们定义λ∈ （0,1）和λ∈ （0,1），λ+λ=1，考虑一个非递减序列（δm）m∈让我看看→∞δm=∞. 定义δmi:=λiδmf，适用于所有m∈ N和我∈ {0, 1}.

与§4.1的设置相反，此处代理人的主观信念必须取决于m∈ N.获得关于主观概率为何以及如何表现的直觉，请注意，根据定理1.2，对于所有m∈ 保安，*作为一个随机变量δmof的倍数给出，该随机变量对风险容忍度的依赖性仅通过λ和λ。因为后一种重量是固定的，每米∈ N、 为了保证Arrow-Debreu均衡中的证券有一个良好的极限，我们做出以下假设。假设4.6。因为我∈ {0，1}，存在ξi∈ L∞使得EP[ξi]=0和log民进党~ξiδmi，i∈ {0,1}，m∈ N.注意，对于i，条件EP[ξi]=0∈ 假设4.6中出现的{0，1}只是一种标准化，并不构成任何通用性的损失。定理4.7。在上述设置和假设4.6下，序列厘米*M∈Nand厘米M∈Nconverge in Lto limiting securities C∞,*C∞,, Where C∞,*= λξ- λξ，C∞,=λξ-λξ=C∞,*.定理4.7的证明见§A.11。有趣的是，两个代理的风险中性将纳什均衡推到了阿罗-德布鲁证券的一半，这是风险中性代理的战略行为导致的市场效率的证据。理论的结果。7是纳什均衡下的交易量往往低于帕累托最优配置的另一种说法（最初在§3.3.5中提出）。附录A.证明A。1.定理1.2的证明。假设Q*, （C）*i） 我∈我这是一个平衡点。我们将展示（1.3）和（1.4）的必要性。尽管我∈ 一、 注意，Ui（C*（一）≥ Ui（0）=0，这意味着exp(-C*i/δi）∈ L（π）。修正X∈ L∞有情商*[十] =0和i∈ 一、自函数3 7.→ 用户界面（C）*i+十）∈ R的最大值为 = 0，一阶条件和支配收敛定理，使用以下事实：(-C*i/δi）∈ L（Pi），表示EPi[exp(-C*i/δi）X]=0。

后一个等式适用于所有X∈ L∞有情商*[十] =0和所有我∈ 我因此，C*我~δilog（dPi/dQ*), 尽管我∈ 一、情商*[C]*i] =0，（1.4）如下。此外，事实上∈IC*i=0∈Iδilog（dPi/dQ*) ~ 0，之后是（1.3）。现在假设Q*, （C）*i） 我∈我由（1.3）和（1.4）给出。事实上*[C]*i] =0代表我的全部∈ 我的定义是直接的。此外，（1.3）和（1.4）给出了∈IC*我~圆周率∈Iδilog（dPi/dQ*) ~ δPi∈Iλilog（dPi/dQ*) ~ 0; 与EQ一起*[C]*i] =0代表所有我∈ 一、 风险分担博弈中的这种均衡意味着∈IC*i=0。事实上*对于代理i来说，iis是最佳选择∈ 我在估价措施下*在备注1.4中有论述。我们已经证明了这一点Q*, （C）*i） 我∈我由（1.3）和（1.4）给出的是anArrow-Debreu平衡。上一段中证明的（1.3）和（1.4）对于Arrow-Debreu平衡的必要性确定了其唯一性。A.2。命题2.2的证明。为了便于阅读，在证明命题2.2的过程中，我们将表示Q（R）-i、 Rri）由Qri提供。A.2.1。一阶条件。我们将在这里证明所述最佳响应条件的必要性。修好我∈ 我和Rri∈ P使得Vi（Rri；R-i） =苏普里∈PVi（Ri；R）-i） 坚持住。对于国际扶轮∈ 通过日志dRi定义的Pde~ (1/λ-i） Pj∈I\\{I}λjlog dRj，代理I的最终合同∈ 我要贝塞罗；因此，Ui（Cri）=Vi（Rri；R-（一）≥ Vi（Ri；R）-i） =0。特别是我们有这个经验(-Cri/δi）∈L（Pi），这一事实将在多个地方有用，在续集中应用支配收敛定理。修正X∈ L∞. 对于 ∈ R、 定义Ri() ∈ P通过日志（dRi）()/dRri）~ -X/（λ）-iδi）。和Q() ≡Q（R）-i、 里()), 它遵循该日志（dQ()/dQri）~ -X/δ-i、 根据Cri，定义Ci() =δilog（dRi()/dQ()) + δiH（Q）() | 里()) 然后，Ci（0）=Cri。

注意到δilog德里()dQ()= δilog德里()dRri+ δilog里德克利博士+ δilogdQridQ()~ Cri- 十、 因此，Ci() = Cri- 十、- 情商()[Cri]- 十] ，其中，通过定义Ci，上述等价物中的常数被抵消(). 支配收敛定理和简单微分，也使用EQri[Cri]=0的事实，意味着ci（0）=词()=0= -X+EQri1+Criδ-我十、.自Vi（R）(); R-i） =Ui（Ci）()) 对所有人都适用 ∈ R、 支配收敛定理的另一个应用给出Vi（R）(); R-（一）=0=EPi[exp(-Cri/δi）Ci（0）]EPi[exp(-Cri/δi）]。从R3开始 7.→ Vi（R）(); R-i） 最大化为 = 一阶条件为（A.1）0=EPi[exp(-Cri/δi）Ci（0）]EPi[exp(-Cri/δi）]=-EPi[exp(-Cri/δi）X]EPi[exp(-Cri/δi）]+EQri1+Criδ-我十、.注意到PJ∈I\\{I}λjlog（dRj/dPi）~ 日志（dQri/dPi）- λilog（dRri/dPi）意味着λ-伊洛格dQridPi-Xj∈I\\{I}λjlogdRjdPi~ λilog里德克利博士,它来自国际广播电台~ δilog（dRri/dQri）thatlogdQridPi~Criδ-i+λ-iXj∈I\\{I}λjlogdRjdPi.34米哈伊尔·安克索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉最后的等价关系允许我们将（A.1）写成（A.2）EQri- 经验ζi-Criλ-我δ我-λ-iXj∈I\\{I}λjlogdRjdPi+ 1+Criδ-我十、= 0，其中（A.3）ζi=- 日志EPi经验-Criδi+ 日志EPi经验Criδ-我Yj∈I\\{I}dRjdPiλj/λ-我.到目前为止，X∈ L∞是固定的，但很武断。从X到L∞在（A.2）中给出（A.4）expζi-Criλ-我δ我-λ-iXj∈I\\{I}λjlogdRjdPi= 1+Criδ-i、 当然，Cri>-δ-我应该等一下。取对数并重新排列（A.4）得到（2.2）。A.2.2。候选人的最佳反应。现在，我们继续展示最佳响应的必要条件也很充分。

（正如在理论2.7之后的讨论中所提到的，我们无法证明Vi（·；R）-i） 是凹的；因此，一阶条件并不立即意味着最优。）修理工∈ P、 假设条件满足，我们将在Vi（R；R）以下展示-（一）≤ Vi（Rri；R）-i） 。定义X:=λilog（dR/dRri）。与上文§A.2.1中的论点类似，代理人i∈ 我将通过回复R获得∈ P等于Cri+δ-九- EQX[Cri+δ-iX]，其中QX∈ P表示log（dQX/dQri）~ 下面是vi（R；R）-（一）- Vi（Rri；R）-i） =Ui（CXi）- Ui（Cri）（A.5）=Ui（Cri+δ-九）- 用户界面（Cri）-EQri[exp（X）（Cri+δ-iX）]EQri[exp（X）]。备注A.1。如果EQri[exp（X+）X+]∞ 是真的（等价地，因为exp（X）X在下面有界，如果EQri[exp（X）X]=∞ 如果是真的），就一定会有EQri特警（X）Cri= -∞, 鉴于EQri[exp（X）]，这是不可能的∞ 还有Cri>-δ-i、 因此EQri[exp（X+）X+]∞.自从Cri>-δ-i、 可以定义（0，∞)-有值随机变量Dri:=1+Cri/δ-i、 从（2.5）可以看出-Cri/δi~ 对数（dQri/dPi）+对数Dri；由于EQri[Dri]=1，它实际上包含exp(-Cri/δi）=EPi[exp(-Cri/δi）]（dQri/dPi）Dri。因此，我们得到了（Cri+δ-九）- Ui（Cri）=-δilog-EPi经验-Cri+Xδ-我δ我+ δilog-EPi经验-Criδi= -δilog EQriDriexp-δ-iδiX.风险分担博弈中的均衡结合前面的（A.5）和备注A.1，可以证明-δilog EQri[Driexp(-δ-iX/δi）]≤EQri[exp（X）（Cri+δ-iX）]EQri[exp（X）]适用于所有X∈ l使用EQri[exp（X+）X+]∞. 因为Dri>0和EQri德里= 1，Jensen不等式在概率论下的一个应用，该概率论对原函数具有密度-δilog EQri[Driexp(-δ-iX/δi）]≤ δ-iEQri[DriX]。

（尤其是EQri）德里克斯-< ∞.) 另一方面，定义χ：=log EQri[exp（X）]∈ R、 注意EQri[exp（X）Cri]EQri[exp（X）]=EQri[exp（X- χ） Cri]=δ-iEQri[Dri（exp（X- χ) - 1） 在上一个等式中，我们使用了事实Cri=δ-我（德里）- 1） 和EQri[exp（X- χ） ]=1=EQri[Dri]。使用不等式exp（x）≥ 1+x，适用于所有x∈ R、 我们得到EQri[exp（X）Cri]EQri[exp（X）]≥ δ-iEQri[Dri（X- χ)] = δ-iEQri[DriX]- δ-ilog EQri[exp（X）]。（尤其是EQri[DriX+]∞, 这意味着EQ[DriX]∈ R.）把所有的东西放在一起，就可以证明∈ l使用EQri[exp（X+）X+]∞, 日志EQri[exp（X）]≤EQri[exp（X）X]/EQri[exp（X）]成立。这个不等式源自应用于（0，∞) 3 z 7→ φ（z）=z logz，这是一个凸函数；那么φ（EQri[exp（X）]）≤ EQri[φ（exp（X））]，这正是需要的。A.3。定理2.7的证明。定义-i:=（1/λ）-i） Pj∈I\\{I}λjlog（dRj/dPi），注意exp（R-（一）∈ L（π）从霍尔德不等式的角度来看是成立的。给子∈ R隐含定义Ci（zi）∈ 拉什(-δ-我∞)-满足（1/λ）的有值随机变量-i） Ci（zi）/δi+log（1+Ci（zi）/δ-i） =子-R-i、 注意，每个zi的解Ci（zi）的存在性和唯一性∈ R是由函数(-1.∞) 3年7月→ （δ/δi）y+log（1+y）严格地从-∞ 到∞. 福兹∈ R、 还定义了（0，∞)-有值随机变量Di（zi）：=1+Ci（zi）/δ-i、 注意，这是方程（A.6）Di（zi）的唯一解- 1λi+log Di（zi）=zi- R-i、 观察到Di（作为结果Ci）随着zi的增加而增加。也可以直接检查L-limzi→-∞Di（zi）=0和L-limzi→∞地（子）∞.引理A.2。

无论如何∈ R、 它认为（A.7）1∧ 经验（zi）- R-（一）≤ 地（子）≤ 1.∨ 经验（zi）- R-i） 。特别是，两者都是Di（zi）-λiexp（λ-红外光谱-i） 和Di（zi）λ-iexp（λ）-红外光谱-i） 都在L（圆周率）。36米哈伊尔·安克索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉狂欢节。费子∈ R.By（A.6），在事件{Di（zi）<1}上，它认为log Di（zi）≥ 子-R-i、 在{Di（zi）事件中≥ 1} 它认为log Di（zi）≤ 子- R-i、 这些观察结果验证了不等式（A.7）。自狄（子）-1.≤ 1.∨ 经验(-zi+R-i） 和exp（R-（一）∈ L（Pi），Di（zi）-1.∈ L（Pi）如下；那么，霍尔德的不等式意味着Di（zi）-λiexp（λ-红外光谱-（一）∈ L（π）。此外，Di（zi）λ-iexp（λ）-红外光谱-（一）≤ exp（λ）-（伊兹）∨ exp（λ）-红外光谱-i） ，这意味着Di（zi）λ-iexp（λ）-红外光谱-（一）∈L（Pi）因为exp（R-（一）∈ L（π）。根据引理A.2，对于每个zi∈ R一个人可以定义气（子）∈ P vialog（dQi（zi）/dPi）~ -λilog Di（zi）+λ-红外光谱-我~ 地（子）+R-我换句话说，log（dQi（zi）/dPi）~ -λilog（1+Ci（zi）/δ-i） +Pj∈I\\{I}λjlog（dRj/dPi）。此外，对于zi来说∈ R、 引理A.2，特别是Di（zi）λ-iexp（λ）-红外光谱-（一）∈ L（Pi）意味着Di（zi）（dQi（zi）/dPi）∈ L（Pi），这反过来意味着Di（zi）∈ L（气（子））。正如在命题2.2陈述之后的讨论中提到的，为了建立定理2.7，我们需要证明存在唯一的ζi∈ R的性质为EQi（ζi）[Di（ζi）]=1。定义功能fi:R 7→ (0, ∞] 通过fi（zi）=EQi（zi）[Di（zi）]，代表zi∈ R.自Di（zi）∈ L（齐（子））代表所有的子∈ R、 因此，fi（zi）<∞ 无论如何∈ R.根据支配收敛定理和引理A.2，很容易检查FIS是连续的。设Pip为P中的概率测度，使得新闻部/新闻部~ R-i、 然后，由于等效关系日志（dQi（zi）/dPi）~ 地（子）+R-i、 它认为（A.8）fi（zi）=EPi[exp（Di（zi））Di（zi）]EPi[exp（Di（zi））]，对于所有zi∈ R

事实上，由于exp（Di（zi））和Di（zi）的协方差在任何概率下都是非负的，所以我们得到了fi（zi）≥ EPi[Di（zi）]，适用于所有人∈ R.使用单调收敛定理和关系式（A.8），limzi→∞fi（zi）=∞ 来自林齐→∞地（子）∞. 此外，单调收敛定理和limzi→-∞Di（zi）=0表示限制关系limzi→-∞EPi[exp（Di（zi））]=1和limzi→-∞EPi[exp（Di（zi））Di（zi）]=0，我们从中获得limzi→-∞fi（zi）=0。因此，至少存在一个ζi∈ R使得fi（ζi）=1。我们还声称fi正在严格增加，这意味着ζiis确实是唯一的。在准备过程中，请注意关于zi和重新排列的差异（A.6）给出了di（zi）=qi（di（zi）），其中（0，∞) 3年7月→ qi（y）：=λiy/（λi+y）。特别是，由于qi是一个递增函数，Di（zi）和Di（zi）之间的协方差对于所有zi都是非负的∈ R在任何可能性下。使用“齐”的定义进行直接计算∈ R给出fi（zi）=EQi（zi）[Di（zi）+Di（zi）Di（zi）]-EQi（zi）[Di（zi）]EQi（zi）[Di（zi）]=EQi（zi）[Di（zi）]+CovQi（zi）（Di（zi），Di（zi））。因为Di（zi）>0和covqi（zi）（Di（zi），Di（zi））≥ 0代表一切∈ R、 定理2.7已被证明。A.4。定理3.2的证明。假设（Q, （C）i） 我∈一） 是纳什均衡且let（Ri） 我∈我∈PIbe显示了相关的主观信念。我们将首先证明这种关系（3.3）。基于命题2.2和C的风险分担博弈均衡i/δi~ 日志（dRi/dQ) andPj∈I\\{I}λjlog博士j/dPi=对数（dQ）/（新闻部）- λilog（dRi/dPi），（2.2）给出-λ-伊洛格1+Criδ-我~Ciδi+Xj∈I\\{I}λjlog博士jdPi~ λ-伊洛格博士idPi,i、 e.日志（dRi/dPi）~ - 对数（1+C）i/δ-i） 就我所知∈ 一、 也就是（3.5）。自日志（dPi/dQ）*) ~ C*我为我所拥有的一切感到高兴∈ I（见（1.4）），由此得出λilog（dRi/dQ*) ~ -λilog（1+Cri/δ）-i） +C*艾莉的i/δ∈ 我

反过来，sincePj∈IC*j=0，后者给出log（dQ/dQ*) ~Pj∈Iλjlog博士j/dQ*,从（3.5）来看，这正是（3.3）。为了证明（3.2），我们加上λilog（1+C）i/δ-（一）~ -λilog（dRi/dPi）至（2.2），并获得iδi+log1+C我δ-我~ -Xj∈Iλjlog博士jdPi~ 日志dPidQ~C*我δ我- 日志dQdQ*.后者与（3.3）相结合，给出了（3.2）的适当z≡ （z）i） 我∈我∈ 里。市场清算条件∈ICi=0=Pi∈IC*我叫thatPi∈伊兹i=0，即z∈ 最后，EQ[C]i] =0代表所有i∈ I直接来自（C）i） 我∈我∈ CQ.为了证明反向蕴涵，假设条件（N1）、（N2）和（N3）适用于（Q）, （C）i） 我∈一） ，和fix I∈ I.确定员工的主观信念（Ri） 我∈我∈ 皮维亚洛格博士i/dQ) ~ Ci/δi.自C*i/δi~ 日志（dPi/dQ）*), （3.2）和（3.3）的组合给出了（1+C）i/δ-（一）~ - 日志（dRi/dPi）。再次使用（3.2）和（3.3），Ciδi+λ-伊洛格1+C我δ-我~C*我δ我- 日志dQdQ*- λilog1+C我δ-我~ - 日志dQ新闻部+ λilog博士idPi~ -Xj∈I\\{I}λjlog博士jdPi.因此，命题2.2最优性的充分条件对于每个i都是满足的∈ I.为了证明（Q, （C）i） 我∈一） 是纳什均衡，剩下来验证（Ci） 我∈我∈ CQ.事实上，对i求和（3.2）意味着π∈ICi=0，因为z被认为是属于I.这一事实，以及要求C我>-δ-i、 这意味着C的一致有界性我尤其是exp（Ci/δi）∈ L（Q）) 尽管我∈ I.同时考虑到，我们得出以下结论：i） 我∈我∈ CQ, 这就完成了证据。A.5。命题3.5的证明。修正z∈ I.假设（3.17）的解确实存在，并设置（a.9）L（z）：=Xi∈Iλilog1+Ci（z）δ-我.然后，用ηi:（0，∞) 7.→ 通过ηi（x）=δ定义-i（x）- 1） +δilog x，对于所有x∈ (0, ∞), （3.17）表示ηi（1+Ci（z）/δ-i） =zi+C*i+δiL（z）适用于所有i∈ 我

θi:r7→ (0, ∞) 表示38米哈伊尔·安克索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉是ηi的倒数∈ 一、 由此得出（A.10）Ci（z）=δ-i[θi（zi+C）*i+δiL（z））- 1] , 我∈ I.回到（A.9）中L（z）的定义，我们得到（A.11）L（z）=Xi∈IλilogθI（zi+C）*i+δiL（z））应该是令人满意的。我们现在通过证明（A.11）有一个独特的解决方案来向后推进。和z∈ I固定，定义w：Ohm×R7→ R通过w（y）=y-圆周率∈IλilogθI（zi+C）*i+δiy）表示y∈ R、 其中w的依赖关系ω∈ Ohm 被压制。w相对于空间坐标的导数为w（y）=1-xi∈Iλi1+（δ-i/δi）θi（zi+C）*i+δiy）=Xi∈Iλ-iθi（zi+C）*i+δiy）1+（δ-i/δi）θi（zi+C）*i+δiy）>0，对于所有y∈ R.因为θi（y）与y呈次线性关系→ ∞, 酸橙↑∞w（y）=∞ 以直截了当的方式跟进。此外，从θi的定义中，我们可以得出x<δilogθi（x）适用于allx∈ (-∞, 0）而我∈ I.这意味着在事件发生时- ∨J∈我（zj+C）*j） /δjo、 一个是w（y）<y-圆周率∈I（1/δ）（zi+C）*i+δiy）=0，这表明方程w（L（z））=0有唯一解，并且（A.12）- L（z）≤_J∈IC*j+zjδj≤_J∈Izjδj+j∈IC*jδj，假设存在唯一的L（z）解（a.11），则Ci（z）适用于所有i∈ 我通过（A.10）。自exp（C）以来*i/δi）∈ L（Q）*) 对我来说都是如此∈ 一、 简单地说，exp（Wi∈IC*i/δi）∈L（Q）*). 因此，（A.12）和等式qj∈I（1+Cj（z）/δ-j）-λj=exp(-L（z））表示（3.18）的有效性，从而得出结论。A.6。定理3.7的证明。我们首先建立了一般存在性结果，然后在两个代理的情况下确定了有效性。A.6.1。纳什均衡存在的证明。我们使用命题3.5中的符号以及随后的讨论。每个z∈ 我的土地∈ 一、 定义ui（z）：=ui（Ci（z））。

此外，对于每个∈ 定义u（z）：=Pi∈Iu（z），以及I3 z 7→ φi（z）=ui（z）- U*i+λi（u）*- u（z）），i∈ 一、 z∈ I.注意pi∈IφI（z）=0表示所有z∈ 一、 所以φ≡ （φi）i∈Iis我很有价值。明显的持续性I3 z 7→ （A.11）中的L（z）和（A.12）中给出的支配关系允许应用支配收敛定理来确定φ：I7→ Iis是一个连续函数。引理A.3。Z∈ 当且仅当纳什均衡是φ的固定点时，i才与纳什均衡相关。风险分担博弈中的均衡。鉴于§3.3.4中的讨论，如果z∈ i对应于纳什均衡，然后z是φ的固定点。相反，我们将证明φ的任何固定点对应于纳什平衡点。对于L（z）如（A.9）所示，回忆（3.17），从观察thatCi（z）开始- 子- U*i=δilogdPidQ*+ δiL（z）- δilog1+Ci（z）δ-我, 我∈ 一、 z∈ I.从上一个等式开始，它紧跟着Ui（z）- 子- U*我=-δilog EQ*经验(-L（z））1+Ci（z）δ-我, 我∈ 一、 z∈ I.将所有代理之前的平等相加，我们得到u（z）- U*= -δXj∈Iλjlog EQ*经验(-L（z））1+Cj（z）δ-J, Z∈ I.自日志（dQ（z）/dQ*) = -L（z）+λ（z）表示适当的λ（z）∈ R和φi（z）- zi=ui（z）- 子- U*我-λi（u（z）- U*) 对我来说都是如此∈ 我和z∈ 一、 因此φI（z）- zi=-δilog EQ（z）1+Ci（z）δ-我+ δiXj∈Iλjlog等式（z）1+Cj（z）δ-J, 我∈ 一、 z∈ 一、 式中，注意在上述等式中，数量λ（z）抵消。现在，假设z∈ Iis是φ的固定点。根据上一个等式，可以得出以下等式：)[1+Ci（z)/δ-i] 具有相同的值，我们称之为x（z）), 尽管我∈ I.换句话说，EQ（z）)[Ci（z)] = δ-i（x（z）) - 1） 就我所知∈ 一、SincePi∈ICi（z）) = 0，我们得到x（z）) = 1，这意味着等式（z)[Ci（z)] = 0代表我所有的∈ 一、 反过来又意味着对应于纳什均衡。