具有交易费用的凸对偶

2022-5-7 11:03:05

交易成本为Syan DOLINSKY和H.METE SONERHEBREW耶路撒冷大学和苏黎世大学的凸对偶。证明了具有比例交易成本的连续时间金融市场中两个不同的超复制问题的凸对偶性。在这个市场上，除了对标的股票进行通常的动态套期保值外，还允许对有限数量的期权进行静态套期保值。首先要考虑的问题是模型——独立对冲，要求在每一条连续路径上都保持超级复制。在第二个例子中，市场模型是通过概率测度P给出的，并且几乎可以肯定地理解不等式P。利用凸对偶的主要结果证明了两个超复制问题具有相同的值，前提是P满足条件全支撑性质。因此，交易成本会阻止人们使用特定模型的结构来降低超级复制成本。1.引言超级复制问题是一个凸优化问题，在这个问题中，投资者在满足混合约束的投资组合中最小化投资成本。在经典情况下，金融市场是无摩擦的，投资者可以在同一价格购买或出售任何数量的股票和其他金融工具。然后，相应的问题是线性的，而优化问题实际上是一个有限维的线性程序。在定量金融文献中，这个问题得到了很好的研究，并且已知与套利有关。一个中心结果是凸对偶结果，它包含了深刻的金融见解，包括集合定价的基本定理。在著名论文[9,10,18]中，金融市场通过概率测度P建模，该测度描述了股票价格在时间间隔[0,T]内的未来变动。

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2022-5-7 11:03:08

股票价格过程S和测度P是在概率空间上定义的Ohm 和过滤F={Ft}{t∈[0，T]}。研究的主要对象是未来将披露的不确定责任。它通常通过一个可测量的随机变量ξ来建模，主要目标是通过在金融市场上进行适当的交易来降低与ξ相关的风险。投资机会通过线性集合^a抽象地给出，该线性集合表示所有可接受的投资组合π的集合，最后的投资组合值ZπTat time T。然后，日期：2018年2月27日。2010年数学科目分类。91G10，60G44。关键词和短语。欧洲期权，模型-自由对冲，半静态对冲，交易成本，有条件完全支持。多林斯基的研究部分得到了欧盟职业整合基金CIG618235和柏林爱因斯坦基金会20 12 137的资助。索纳的研究部分得到了ETH基金会、瑞士金融研究所和瑞士国家基金会的资助SNF153555。2 Y.Dolinsky和H.M.Sonersup er复制问题是使所有投资组合中的成本最小化，从而将与负债ξ相关的风险降至零。数学上，（1.1）V（ξ）：=infnL（π）：π ∈^A使得ZπT≥ ξ、 P- a、 s.o，其中L（π）∈ R是投资组合的成本π。一旦通过概率测度P确定了市场模型，那么所有的陈述都应该被理解。因此，概率测度P的唯一作用是描述空集或等价地描述所有不可能的未来场景。与P等价的任何其他概率度量（即，具有相同空集的任何度量）将产生相同的超级复制成本。当市场是无摩擦的或等价的L是线性的，并且只考虑无约束股票的自适应动态交易时，这个问题得到了广泛的研究。

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2022-5-7 11:03:12

在无套利类型假设和温和的技术可积条件下，c凸对偶是下列最大化问题，D（ξ）：=supQ∈QEQ[ξ]，其中Q是e等价于P的所有“鞅”测度的se t。连续时间的精度陈述是技术性的，我们请读者参考Delbaen&Schachermayer[10]的半文献。这些经典结果随后被推广到存在贸易摩擦的市场。研究表明，在交易成本（成比例）的市场中，超级复制的成本高得令人望而却步，这一点在Soner Shreve&Cvitanic[23]中首次得到证明，在Leventhal&Skorohod[19]、Cv itanic、Pham&Touzi[8]、Bouchard&Touzi[6]、Jakubenas、Levental和Ry z nar[17]、Guasoni、Rasonyi&Schachermayer[15]、Blum[4]和Dolinsky[11]中得到了推广。在所有这些示例中，超级复制成本在所有“琐碎”策略中都是最小化的。因此，当目标是在不确定的情况下进行超级复制时，投资者不会从动态套期保值中受益。在所有这些例子中，不是P的空集，而是P的支持是重要的。Schachermayer[20,21]及其参考文献研究了给定P的资产定价和供应对偶基本理论的相关问题。可以通过在超级复制的por tfolio中包含液体衍生品来降低套期保值成本。尤其是半静态hedg的情况，将在下一节详细介绍。也就是说，投资者可以以最初已知的价格在一定数量的期权（写在标的资产上）中持有静态头寸。除了这些静态期权头寸外，股票也会动态交易，所有这些交易都会受到比例交易成本的影响。

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2022-5-7 11:03:20

根据上述表示法，可容许投资组合的集合^A通过静态期权交易而扩大，但交易成本使成本函数L成为凸函数，而不是经典文献中的线性函数。我们让读者参考霍布森[16]的调查，这是作者[14]最近的一篇论文，以及其中关于连续时间半静态套期保值的参考资料。虽然带半静态套期保值的l-独立模式a方法近年来受到了相当大的关注，但对于此类存在摩擦的市场，结果却很少。事实上，最近作者证明了一个与模型无关的EMI对偶结果——离散时间内交易成本的静态套期保值[13]。Bayraktar&Zhang[2]和Bouchard&Nutz[5]在有交易成本的市场中研究了资产定价的基本定理。考虑到由一组概率模型给出的质量标准，这些后来的结果是交易成本为3的二元性。据我们所知，在模型不确定性下，交易成本的连续时间半静态套期保值尚未得到研究。在本文中，我们考虑一个连续时间金融市场，它由一个具有连续路径的风险资产组成。在这样一个金融市场中，我们研究给定（路径依赖）欧式期权的两个辅助复制问题。我们假设股票的动态套期保值和静态期权交易都受到交易费用的影响。在第一个问题中，市场模型通过概率测度P给出。然后，优化表m对应于（1.1）的前瞻性扩展。第二个问题是所有连续股票价格过程的模型独立问题，即超级复制。也就是说，在（1.1）中，我们需要不等式ZπT≥ ξ不是几乎肯定地持有P，而是对每一种可能的股价路径持有Rather。

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2022-5-7 11:03:23

这些定义在第2小节中给出。下文5。我们的主要结果定理2.7表明，如果股票价格过程的分布满足条件完全支持性质，上述两个参数具有相同的值，请参见下面的定义2.6。因此，在存在交易成本的情况下，对模型的了解并不能降低备份复制成本。这就解释了在有摩擦的超级复制上的明显结果，以及为什么这些例子中的最佳对冲是微不足道的。定理2.7是在正则性假设2.1、2.2和无套利条件假设2.3下证明的。然而，我们不会对投资组合设定任何受理条件。此外，我们还提供了在与期权价格一致的连续函数空间上，一致价格系统的相互价值的对偶结果。这种二元性与[13]中离散时间证明的二元性非常相似。定理2.7的证明分为四个主要步骤。首先，我们通过应用Acciao等人[1]和Burkholder[7]早前提出的路径不等式，将问题简化为无边界的支付。第二步，在给定模型的情况下，我们得到了超级复制成本的下界。这一界限表现为交易成本率适当降低的修正模型免费超级复制问题。第三步是推导无模型问题的上限。这一步是通过将Schachermayer[21]的最新结果与我们早期工作[12]中开发的提升程序相结合来完成的。最后一步是上界和下界（渐近行为）相等的概率证明。本文的组织结构如下。主要结果将在下一节中阐述。

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2022-5-7 11:03:26

在第3节中，我们将问题归结为有界索赔。第4节给出了给定模型中超级复制价格的较低价格。第5节推导了模型免费超级复制价格的上限。最后一节致力于证明上下限相等。4 Y.多林斯基和H.M.索内尔2。初步研究和主要成果2。1.市场和符号。金融市场由一个储蓄账户组成，该账户被标准化为统一账户≡ 1通过disco unting和风险资产St，t∈ [0，T]，其中T<∞ 是到期日。设s:=s>0为初始股价，在不损失一般性的情况下，设s=1。我们假设，风险资产可能是具有这些初始数据的任何连续过程。在续集中，我们使用以下符号。对于s≥ 0，t∈ [0，T），we-setC+s[T，T]：={f:[T，T]→ [0, ∞) | f是连续的，f（t）=s}，C+[t，t]：=[s≥0C+s[t，t]对于s>0，C++s[t，t]：=F∈ C+s[t，t]| f（u）>0，U∈ [t，t],C++[t，t]：=[s>0C++s[t，t]。然后Ohm := C++[0，T]表示所有可能的股票价格或概率空间的集合。我们让=（St）0≤T≤t由St（ω）给出的正则过程：=ωt，对于所有ω∈ Ohm andFt:=σ（Ss，0≤ s≤ t）成为规范的过滤（这不是正确的连续性）。我们说空间上的概率测度Q(Ohm, F）是一个鞅测度，如果正则过程（St）Tt=0是关于Q的鞅。进一步我们让d[0，T]：={F:[T，T]→ [0, ∞) | f是c`adl`ag}，是c`adl`ag函数的Skorokhod空间，通常sup normk~nk:=sup0≤T≤T||T|2.2。这种说法及其规律性。我们通过对整个股票价格过程的确定性映射来模拟索赔的责任。的确，对于给定的决定论mapg:D[0，T]→ R+，一种一般路径依赖的欧式期权，其收益ξ=G（S）。

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kedemingshi

2022-5-7 11:03:30

因此，尽管我们只考虑连续的股票价格过程，但我们隐含地假设期权是为所有有界可测映射定义的。我们对支付的规律性假设与[12]中使用的假设相同。为了方便读者，我们简要回顾了这一假设，但参考[12]了解扩展讨论及其与斯科罗霍德度量的联系。特别是，运行最大值上的所有选项和亚洲类型选项都满足它。我们根据G.假设2.1做出以下长期假设。我们假设存在一个常数L>0，满足i.| G（ω）- G（ω）|≤ Lkω- ωk，ω，ω∈ D[0，T]，ii。和| G（|）- G（)~n）|≤ Lk~nknXk=1|tk- ~tk |，每一分段常数函数的交易费用为5的对偶∈ 形式为ΓT=n的D[0，T]-1Xi=0viχ[ti，ti+1）（t）+vnχ[tn，t]（t）和t=n-1Xi=0viχ[~ti，~ti+1）（t）+vnχ[~tn，t]（t），其中t=0<t<tn<T，~T=0<~T<<~tn<T通常为两个隔板tk:=tk- tk-1.~tk:=~tk-~tk-1，χa为特征函数。2.3. 静态位置。接下来，我们将介绍静态选项的用法。我们假设有N个选项f。。。，fN:D[0，T]→ RTAT最初可用于静态对冲。这些选项可能与路径有关。我们假设他们的价格。。。，液态氮∈ R是已知的，我们可以对这些选项采取长期立场。在这种情况下，空头头寸也可以通过包含期权的负数来允许，但这两个（期权及其负数）的价格加起来应该等于正数e，从而限定该期权的买卖价差。SetF（S）：=（1，f（S）。。。，fN（S））和L:=（1，L，…，LN），其中第一个函数等同于一，代表对非风险资产的投资，我们假设投资者在该期权中只能持有长期或短期头寸。

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大多数88

2022-5-7 11:03:33

但正如前面所讨论的，我们只允许在其他选项中使用长位置。因此，这些选项中的静态位置由c表示∈ R×RN+表示欧式期权的投资，价格（2.1）L（c）：=c·L，其中·表示RN+1的标准内积。我们假设静态期权满足一些正则性假设，其中一个静态期权具有超二次增长。更准确地说，我们假设如下。假设2.2。函数f。。。，fN-1满足假设2.1。我们还假设，如果FIS是路径依赖的（即不只是依赖于到期时股票的价值），那么它是有界的。对于i=N，我们假设fN（ω）=q（ωT），其中q:R+→ R+是满足| q（x）的凸函数- q（y）|≤ L | x- y|1+q（x）x+q（y）y, x、 y>0和（2.2）lim infx→∞q（x）x>0。由于我们考虑在比例交易成本下进行套期保值，因此合理的做法是使用期权f（S）。。。，fN也受到交易成本的影响。再加上无套利考虑（另见[2,5]），我们得出以下假设。6 Y.多林斯基和H.M.索涅拉斯消费2.3。正则空间上存在一个鞅测度Q(Ohm, F）因此，eq[fi（S）]<Li，i=1。N、其中EQdenotes是关于概率测度Q的期望。备注2.4（关于假设的注释）。在本文中，我们假设只有很多静态选项。这个设置不同于[12,13,14]中的设置，当时我们假设静态选项集等于{f（ST）：f:R+→ R} （包括电源选项）。预先发送的假设似乎更现实。

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2022-5-7 11:03:36

我们仍然假设我们有一个超二次支付的选项。这对于将问题简化为有界索赔以及在我们的离散化过程中处理套期保值和定价误差估计是必要的。事实上，包含一个具有超线性支付的期权是足够的，但是由于计算的含蓄性，我们使用了超二次增长。由于本文的重点是两个不同的超级复制问题之间的等价性，我们不寻求静态选项的最一般假设。在较弱的假设下，主要结果可能成立。特别是，对于有界的c laims，可以避免使用[13]中的二次选项。第二个假设是，存在一个与观察到的期权数据一致的线性定价规则。这尤其意味着在这个市场上没有套利。此外，stric t不平等性意味着期权受制于成比例的交易成本。无套利的等价性和这种度量的存在实际上是一个困难的问题。直到最近，在[2,5]中才证明了这个方向上的几个离散时间结果。2.4. 用交易成本对冲。我们继续在标的资产S.Letκ中描述了按比例交易成本的连续时间交易∈ （0，1）为比例交易成本率。用γt表示在本次交易之前的时刻t，投资组合π中风险资产的份额数。由于交易成本，它必须具有有限的变化。因此，假设过程γ={γt}Tt=0是一个有界变化的适应过程（根据股票价格过程产生的原始过滤），其左连续路径γ=0。设γt=γ+t- γ-将γ分解为正变化和负变化。

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2022-5-7 11:03:40

也就是说，γ+tDenotest截至t时购买的股票累计数量，不包括t时的转让方式，分别为γ-t、表示库存的累计数量，再次soldup到时间t，不包括在时间t进行的转移。设A为所有此类过程的集合。在这个金融市场中，套期保值是一对π=（c，γ）∈^A:=R×RN+×A，到期日T的Corres-ponding投资组合清算价值由zπT（S）：=c·F（S）+[γT给出- κ|γT |]ST+（1- κ） Z[0，T]Sudγ-U- （1+κ）Z[0，T]Sudγ+u，具有交易费用的对偶7，其中上述积分是标准的Stieltjes积分，F（S）如第2.3节所述。请注意-κ|γT |在第一行是由于到期时的清算成本。该投资组合的成本π=（c，γ）等于（2.1）中定义的L（c）。超级——复制问题。在本小节中，我们将介绍两个超级复制问题。对于责任ξ=G（S），无模型超级复制成本定义为vκ（G）：=infnL（c）：π ∈^A=R×RN+×A，因此ZπT（S）≥ G（S）s∈ Ohmo、对于第二个问题，我们假设正则空间上有一个概率测度POhm 已给出。然后，相应的问题是vpκ（G）：=infnL（c）：π ∈^A=R×RN+×A，因此ZπT（S）≥ G（S）P- a、所以。本文的主要目的是获得e函数的凸对偶性，并证明如果测度P具有下一小节定义的条件完全支持，则它们是等价的。2.6. 主要结果。为了计算结果，我们需要以下定义。还记得C++[t，t]和规范空间吗Ohm = C++[t，t]在第2.1节中定义。定义2.5。以spac e^为例Ohm := Ohm×C++[0，T]。

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2022-5-7 11:03:43

设^S=（S（1），S（2））是^上的正则过程Ohm 和^Ft:=σ（^Ss，0≤ s≤ t）成为标准的过滤。（κ，L）一致价格系统是一个概率测度Ohm 满足：（1）S（2）是关于^F的a^Q鞅；(2) (1 - κ） S（1）t≤ S（2）t≤ （1+κ）S（1）t，^Q–a.S.（3）E^Q金融机构（S（1））≤ 李，尽管我=1，N.所有（κ，L）一致价格系统的集合用Mκ，L表示。接下来我们回顾一下有条件完全支持的通知。通常，可分空间上aa概率测度P的支持度（用SUPPP表示）定义为全测度的最小闭集。定义2.6。我们说概率测度P具有条件全支撑性质，如果对于所有t∈ [0，T）supp P（S |[T，T]| Ft）=C+St[T，T]a.S.其中P（S |[T，T]| Ft）记录了C+[T，T]值和m变量S |[T，T]的Ft-条件分布，这是规范过程对[T，T]的限制。我们准备陈述我们的主要结果。定理2.7。假设假设假设2.1,2.2,2.3成立。假设0<κ<1/8，设P为满足条件完全支持性质的概率测度。那么，VPκ（G）=Vκ（G）=sup^Q∈Mκ，LE^Q[G（S（1））].8 Y.多林斯基和H.M.索内克利里，VPκ（G）≤ Vκ（G）。因此，为了证明定理M2.7，必须证明以下两个不等式：（2.3）VPκ（G）≥ sup^Q∈Mκ，LE^Q[G（S（1））]和（2.4）Vκ（G）≤ sup^Q∈Mκ，LE^Q[G（S（1））]。引理6.2证明了下界（2.3），引理6.3建立了上界（2.4）。在续集中，我们总是简单地说，没有明确说明，0<κ<1/8.3。以下结果表明，在这种市场中，人们可以用较小的成本对冲某些索赔。类似地，对于[12,13]，证明是通过结合假设（2.2）和[1]的结果来完成的。引理3。1.

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2022-5-7 11:03:47

对于任何K>0的情况，考虑欧洲的索赔αK（S）：=| | S | | K+| | S | |χ{124; S||≥K} （S）、S∈ Ohm,其中，如前所述，χAis是特征函数。根据假设2.2，limK→∞Vκ（αK）=0。证据设θ：=θ（S）=0，对于正整数k，我们通过θk:=θk（S）=T来重复定义停止时间∧ inf{t>θk-1:|街- Sθk-1| = 1}.设K:=K（S）=min{K:θK=T}。显然，K<∞ 每一天∈ Ohm. 由（2.2）可知，存在cq>1，因此（3.1）q（x）≥xcq，十、≥ cq。考虑投资组合π=（c，γ），其中γt=-K-1Xi=0max0≤J≤是θjχ（θi，θi+1）（t），t∈ [0，T]和c=（cq，0，…，0，cq），即我们购买cq许多期权q（ST），并投资于无风险资产cq美元。通过对Acciaio等人[1]中命题2.1（另见Burkholder[7]）与交易成本9和（3.1）二元性的部分总结，得出zπT（S）=cq+cqq（ST）-K-1Xi=0最大值0≤J≤是θj（Sθi+1）- Sθi）-κK-1Xi=1Sθimax0≤J≤是θj- max0≤J≤我-1Sθj-κS- κ街max0≤J≤K-1Sθj≥(1 - 8κ）max0≤J≤KSθj.观察| | S | |≤ 1+max0≤J≤KSθj≤ 2最大0≤J≤还有，因为对于一个ny∈ Ohm, S=1，kSk≥ 1.因此，KαK（S）≤ kSk+kSk≤ 2kSk≤ 8 max0≤J≤因此，（回想一下κ<）ZπT（S）≥(1 - 8κ)max0≤J≤KSθj≥K（1）- 8κ）αK（S）。我们的结论是[K（1）的超级复制成本- 8κ）/32]αk不超过该投资组合的成本。因此，（3.2）Vκ（αK）≤(1 - 8κ）cq+CQLN，取K至单位后结果如下。接下来，我们提出了有界定理的约化。引理3。2.在定理2.7的假设下，证明定理2.7对于有界索赔是有效的。证据设L为假设2.1中的Lispschitz常数。对于任何K≥ 1集克（S）：=G（S）∧ [LK+G（0）]，S∈ Ohm.根据假设2.1，可以得出G（S）≤ G（0）+LkSk。

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2022-5-7 11:03:51

因此，对于所有人≥ 1，G（S）≤ GK（S）+（G（0）+L）αK（S）。因此，Vκ（G）≤ Vκ（GK）+（G（0）+L）Vκ（αK），VPκ（G）≤ VPκ（GK）+（G（0）+L）Vκ（αK）。由于GKis b成立，如果定理2.7适用于这样的主张，根据单调收敛定理，我们将得到vκ（G）=limK→∞Vκ（GK）=limK→∞supQ∈Mκ，LEQ[GK（S（1））]=supQ∈Mκ，LEQ[G（S（1））]。类似的恒等式也适用于VPκ（G），证明了所有证明假设2.1的主要定理。从现在起，我们将假设（不丧失普遍性）存在常数K>0，使得0≤ G≤ K.10 Y.多林斯基和H.M.索内尔4。下界在本节中，我们在定理2.7的假设下，建立下界（2.3）的估计。我们从几个定义开始。回想一下，D[0，T]是所有c`adl`AGF[0，T]函数的集合→ R+。用∧St表示D[0，t]上的正则过程（即∧St（ω）：=ωt）。通常，我们考虑关于sup范数的Borelσ-代数（这个Borelσ-代数与Skorohod拓扑生成的一个代数一致）。设∧Ft=σ{Su | u≤ t} 成为标准的过滤。设>0，n∈ N和T:={T，…，Tn，T}是区间[0，T]的一个划分，即0<T<…<Tn<T。在续集中，我们将始终假设<ln（1+1/L）和<Ti+1- Ti，i=0，1。。。，N- 1.定义4.1。对于任何0<~k<k，设MT，k，Lbe空间D[0，T]上的全概率测度集sQ满足：（1）规范过程s的形式为St=n-1Xi=0Sτ（）kχ[~τ（）k，~τ（）k+1）+Sτ（）nχ[~τ（）k，~τ（）n+1]，其中0=~τ（）≤ ~τ()≤ ...

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2022-5-7 11:03:54

≤ ττ（）n+1=T和<<S=1。（2）对于任何k≤ n、在事件)τ（）k+1<T上，我们有| ln)S)τ（）k+1- ln~S~τ（）k |=。（3）任何一个≤ K≤ n+1，τ（）k∈ T，~Q-a.s.（4）存在一个（~Q，~F）c`adl`ag鞅{Mt}Tt=0，使得（1）- ~k）~St≤~Mt≤ （1+）κ-St-Q-a.s。；（5）最后，EQ[fi（~S）]≤ 锂- L^C（e4+）- 1），i=1。。。，N- 1，EQ[fN（~S）]≤LN（1）- L（e- 1)) - L^C（e- 1） 1+L（e- 1）式中，^C:=8qcq+cqLN，cqn在（3.1）中给出。以下结果提供了超级复制价格VPκ（G）的下限。引理4.2。设P是一个概率测度Ohm 满足条件完全支持属性。A假设（4.1）分钟1 + κ1 + ~κ,1 - ~κ1 - κ≥ e2。然后，对于每个划分T={T，…，Tn，T}，VPκ（G）≥ 超级Q∈MT，!κ，LE!Q[G（~S）]- L^C（e4+）- 1).我们总是使用标准约定，即空集上的上确界为minus in finity。交易成本的二元性。固定，>0 κ，T如上所述。如果MT，~nκ，L= 那么这句话就无关紧要了。因此，在不丧失普遍性的情况下，我们假设MT，!κ，L6=. 我们定义了一个任意的度量Q∈ 我们将展示（4.2）VPκ（G）≥ E~Q[G（~S）]- L^C（e4+）- 1).上述不等式的证明分两步完成。在第一步中，我们使用P的条件完全支持性质，构造了一个一致的价格系统，即“c损失”到Q。在第二步中，我们使用超级复制性质和构造的一致价格系统，以获得价格的下限。第一步：在这一步中，我们以类似于Guasoni、Rasonyi和Schachermayer[15]的方式使用P的条件完全支持性质。设置τ（）：=τ（）（S）=0，对于任何正整数k>0，则依次定义τ（）k:=τ（）k（S）=T∧ infnt>τ（）k-1:|林街- lnsτ（）k-1 |=如前所述，我们用S表示Ohm. 定义一个随机整数，K:=K（S）=min{K:τ（）K=T}-1.那么，很明显0≤ K<∞.

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kedemingshi

2022-5-7 11:03:58

我们还设置，Sk:=Sτ（）k∧K、一,≤ K≤ n+1和（4.3）σk=min{t∈ T:T≥ τ（）k}。回想一下，正整数n是fixed partitionT={t，…，Tn，t}中的点数。对于δ>0，i=1。。。，n和j=±1，设gi，j:[0，Ti]→ R+，是线性函数satisfyinggi，j=1，和gi，jTi=ej+2δj。我们假设δ足够小，因此gi，jis严格为正。接下来，在Ohm我们定义了事件a（j）i:={sup0≤T≤蒂|街- gi，jt |<δ}，i=1。。。，n、 j=±1A（0）T:={sup0≤T≤T|St- 1| < δ}.鉴于条件完全支持性质，所有这些事件都具有非零概率。此外，观察到对于足够小的δ，对于i=1，n、 j=±1A（j）i B（j）i:={τ（）∈ [Ti- /n，Ti]，Sτ（）=exp（±）}。也是一个（0）T B（0）T:={τ（）=T}。因此，我们得出结论，事件B（0）T，B（j）i，i=1。。。，n、 j=±1也有非零P概率。我们采用归纳法。假设对于给定的k≥ 1和任何j。。。，jk=±1,1≤ 我ik≤ n、我们已经证明了setsB（j，…，jk）i，。。。，ik:=k\\m=1（τ（）m∈ [蒂姆- /n，Tim]，Sτ（）m=exp（mXr=1jr））12 Y.多林斯基和H.m.索内兰达（j，…，jk）-1,0）我，。。。，ik-1，T:=k-1\\m=1（τ（）m∈ [蒂姆- /n，Tim]，Sτ（）m=exp（mXr=1jr）\\{τ（）k=T}具有非零P概率。让j。。。，jk+1=±1,1≤ 我ik+1≤ n、关于τ（）k事件≤ Tikde Fine therandom，线性函数gik+1，jk+1:[τ（）k，Tik+1]→ R+bygik+1，jk+1τ（）k=exp（kXr=1jr）和gik+1，jk+1Tik+1=exp（k+1Xr=1jr）+2δjk+1。根据Guasoni，Rasonyian和Schachermayer（2008）中的条件完全支持t属性和引理2.9，可以得出任何事件B∈ Fτ（）K条件概率supτ（）k≤T≤Tik+1 |街- gik+1，jk+1t |<δ| B（j，…，jk）i，。。。，ik∩ B> 0，andPsupτ（）k≤T≤T|St- exp（kXr=1jr）<δB（j，…，jk）i，。。。，ik∩ B> 假设P（B（j，…，jk）i，。。。，ik∩ B） >0。

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2022-5-7 11:04:03

因此，与c ase k=1类似，对于非常小的δ，我们得出以下事件的P概率sb（j，…，jk+1）i，。。。，ik+1:=k+1\\m=1（τ（）m∈ [蒂姆- /n，Tim]，Sτ（）m=exp（mXr=1jr））和b（j，…，jk，0）i，。。。，ik，T:=k\\m=1（τ（）m∈ [蒂姆- /n，Tim]，Sτ（）m=exp（mXr=1jr）\\{τ（）k+1=T}为正。这对任何k都适用≤ n+1。回想一下测量Q∈ MT，~nκ，Lthat在证明开始时确定，σk由（4.3）定义。在上述讨论的观点中，通过使用与Guasoni、Rasonyi和Schachermayer（2008）中引理2.4类似的论点，可以得出另一个概率度量^Q<< P使得（S，…，Sn+1，σ，…，σn+1）在^Q下的分布等于（S)τ（）的分布，~S)τ（）n+1，τ（）。。。，Q下的τ（）n+1），以及任何i≤ n、我们有（4.4）^Q（Si+1，σi+1 | Fτ（）i）=^Q（Si+1，σi+1 | S，…，Si，σ，…，σi），^qa.S。我们还观察到，从我们的构造可以得出，对于任何k，（4.5）|σk- τ（）k|≤n、^Q a.s.和（4.6）Sk+1e-2≤ 圣≤ Sk+1e2，T∈ [τ（）k，τ（）k+1]qa.s.现在，我们进入证明的第二步。交易成本的二元性13第二步：自∈ MT，~nκ，L，这个集合的定义意味着存在一个相关的鞅{MT}Tt=0，它满足（1- ~k）~St≤~Mt≤ （1+~k）~St，t∈ [0，T]~qa.s.那么，对于任何k≤ n+1存在一个可测函数ψk:Rk×T→ R+，使得△M△τ（）k=ψk（△S△τ（），~S)τ（）k，)τ（）。。。，τ（）k）。此外，（4.7）（1）- ~k）~S~τ（）k≤~M~τ（）k≤ （1+）κ~S~τ（）k，k≤ n+1Q a.s.然后，打开Ohm 我们用mk=ψk（s，…，Sk，σ，…，σk）简单地定义了随机过程。考虑到（4.4）anf（4.7），可以得出，对于任何k，（4.8）E^Q（Mk+1 | Fτ（）k）=Mk和（4.9）（1）- ~k）Sk≤ Mk≤ 现在，让π=（c，γ）几乎肯定是P的超复制组合。

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2022-5-7 11:04:06

通过（4.1），（4.6）-（4.9）和部分求和，可以得出e^QγTST- κ|γT | ST+（1）- κ） Z[0，T]Sudγ-U- （1+κ）Z[0，T]Sudγ+u！(4.10)≤ E^QγTMn+1+（1- ~kκ）nXk=0Sk+1Z[τ（）k，τ（）k+1]dγ-U-E^Q（1+～κ）nXk=0Sk+1Z[τ（）k，τ（）k+1]dγ+u！≤ E^QγTMn+1+nXk=0Mk+1Z[τ（）k，τ（）k+1]dγ-U-Z[τ（）k，τ（）k+1]dγ+u！！=E^Q（nXk=1γτ（）k（Mk+1- Mk=0。接下来，我们介绍随机过程{St}Tt=0by，~St:=n-1Xk=0Skχ[σk，σk+1）（t）+Snχ[σn，t]（t），其中我们设置σ=0。从我们的构造可以看出，{St}Tt=0在^Q下的分布（在空间D[0，T]）与^Q下的分布相等。因此，（4.11）E^QG（)S）=E^QG（)S）和E^Qfi（^S）=E^Qfi（)S），i≤ N.14 Y.多林斯基和H.M.索内尔接下来将介绍假设2.1和属性（4.5）-（4.6）。其结果是以下不等式，它们支持^qa.s.，|G（~s）- G（S）|≤ L（e4+）- 1） kSk，（4.12）|fi（~S）- 菲(S)≤ L（e4+）- 1） kSk，因为我≤ N- 1.根据假设2.2，对于任何正实数x，y | lnx- 在y|≤ => q（y）≤q（x）（1+L（e）- 1））+L（e- 1） x1- L（e- 1).我们的结论是（4.13）fN（S）≤fN（S）（1+L（e）- 1））+L（e- 1） | | | | S | 1- L（e- 1）根据（3.1），假设2.2和Doob不等式，可以得出E^Q[kSk]=EQ[kSk]≤ 4E~Q[k~Mk]≤ 16E~Q[~MT]≤ 64E~Q[~ST]≤ 64[cq+cqLN]=^C，其中常数^C和cq如定义4.1所示。此外，Holder不等式得出（4.14）E^Q[k＠Sk]≤^C.最后（4.11）–（4.14）以及∈ MT，^κ，跛行的E^Qfi（S）≤ 李，以前我≤ N.因此，使用（4.10）-（4.14）和关系^Q<< 我们到达atL（c）≥ E^Q[c·f（S）]≥ E^Q[G（S）]≥ E~QG[（~S）]- L^C（e4+）- 1).由于上述不等式几乎肯定适用于每个P的超复制策略π=（c，γ），这证明了不等式（4.2）并完成了这个引理的证明。5.

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2022-5-7 11:04:10

上界的估计在本节中，我们在定理2.7的假设下，建立了上界证明中使用的估计。我们∈ （0，ln（1+1/L））并从两个定义开始。定义5.1。函数F∈ D[0，T]属于D（），如果满足以下条件，（1）F=1。（2） F是分段常数，在t。。。，tn，其中t=0<t<t<tn<T.（3）对于任何k=1。。。，n、 |ln Ftk- 在Ftk-1| = .（4）对于任何k=1。。。，n、 tk- tk-1.∈ U（）k，其中U（）k：=i/（2k）：i=1，2，∪/（i2k）：i=1，2，,是两个连续跳跃时间之间可能存在的差异集。我们强调，在第四种情况下，集合U（）k的依赖性较大，跳跃时间取一个更细的网格中的值。交易成本的二元性15定义5.2。对于∧κ，λ>0，设M，λ∧κ，Lbe空间D[0，T]上的所有概率测度集qo，这样就成立了：（1）在集合D（）上支持概率测度Q。（2）存在一个c`adl`ag（~Q，~F）marting ale{Mt}Tt=0，这样（1）- ~k）~St≤~Mt≤ （1+~k）~St~Q a.s.（3）Le t^C与定义4.1相同，L与假设2.1相同。Se tB:=L（e2+）- 1） ^C2（1）- 8κ+2L（e）- 1） LN+对于任何i<N，E ~Q[fi（~S）]≤ Li+B，andE~Q[fN（~S）∧ ∧（~ST+1）]≤ LN+B。下面的结果为模型提供了一个上限——自由超级复制价格Vκ（G）。引理5。3.假设（5.1）分钟1 + ~κ1 + κ,1 - κ1 - ~κ≥ e4。ThenVκ（G）≤超级Q∈M∧!κ，LE!Q[G（~S）]++ L（e2+）- 1） ^C2（1）- 8κ).同样，我们使用了标准约定，即空集的上确界为minus in finity。特别是，如果M，∧κ，Lis为空，那么上面的引理表示vκ（G）≤ L（e2+）- 1） ^C2（1）-8κ).证据证明分两步完成。

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2022-5-7 11:04:14

在第一步中，我们将应用处理“类ical”超级复制的结果，并按比例计算交易成本。第一步：因为D（）是可数的，所以存在一个概率测度!∈ D（）。考虑过滤概率空间（D[0，T]，{Ft}Tt=0，~Ft，~P）。用M~κ表示所有一致pric e系统inD（）的集合。也就是说，Q∈ 如果?Q等价于?P，并且存在一个c`adl`ag鞅{Mt}Tt=0（关于?Q和?F），那么- ~k）~St≤~Mt≤ （1+~k）~St~pa.s.设X:=X（~s）为随机变量，该随机变量是可测量的，并且从下方以1+~St.集（5.2）c:=supQ的倍数为界∈根据Schachermayer[21]中的定理1.5，可以得出存在一个可预测的有界变差{γt}Tt=0的随机过程，使得＠γ=＠γt=0和C+（1）- ~k）Z[0，T]~Sud ~γ-U- （1+/κ）Z[0，T]~Sud~γ+u≥ 十、因此，存在一个可预测的映射γ：D（）→ L∞[0，T]对于任何F∈ D（）γ（F）=γT（F）=0和（5.3）c+（1）- ~k）Z[0，T]Fud~γ-u（F）- （1+/κ）Z[0，T]Fud~γ+u（F）≥ X（F），其中L∞[0，T]是区间[0，T]上所有有界函数的集合。接下来，选择（c，…，cN）∈ RN+并考虑随机变量X=X（~S）=G（~S）-N-1Xi=1cifi（~S）- cN（fN（~S）∧ ∧（ST+1））。回想一下，在假设2.2中，我们假设如果fi是路径依赖的，那么它是有界的。加上fi的Lipschitz连续性，i=1。。。，N- 1.产量f（~S）。。。，fN-1（~S）以1+~ST的倍数为界，因此X也以1+~ST的倍数为界。设（c，|γ）（5.2）和（5.3）为真。接下来，我们将交易策略γ提升为spa c e上的交易策略Ohm. 我们开始做一些准备。

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能者818

2022-5-7 11:04:17

回想一下停车时间τ（）k:=τ（）k（S），k的定义≥ 0，K:=K（S）=min{K:τ（）K=T}-1.集合，^τ（）k:=kXi=1^τ（）i，其中^τ（）i=max{T∈ U（）i：t<τ（）i:=τ（）i- τ（）i-1}.很明显，0=^τ（）<^τ（）<对于所有K=0，K.我们现在定义ψ：Ohm → D（）乘以ψt（S）：=K-1Xk=0Sτ（）kχ[^τ（）k，^τ（）k+1）（t）+Sτ（）kχ[^τ（）k，t]（t）。最后，定义对冲π=（c，γ），其中c=（c，c，…，cN）和γ（S）：=KXk=1γ^τ（）k（ψ（S））χ（τ（）k，τ（）k+1]（t）。我们继续估计投资组合的价值ZπT（S）。SetI:=I（S）=γTST- κ|γT | ST+（1）- κ） Z[0，T]Sudγ-U- （1+κ）Z[0，T]Sudγ+u-(1 - △κ）Z[0，T]ψu（S）d△γ-u（ψ（S））+（1+~k）Z[0，T]ψu（S）dγ+u（ψ（S））。从第2.2节可知，对于任何x，y>0 | lnx- 在y |<=> q（x）≥(1 - L（e- 1））q（y）- L（e- 1） y1+L（e- 1).因此，从2.1，2.2和（5.3）的假设来看，zπT（S）- G（S）≥ 我- （G（S）- G（ψ（S）））-NXi=1ci（fi（ψ（S））- fi（S））（5.4）≥ 我- L1+N-1Xi=1ci！e2+∞Xj=12-J- 1.kSk- LcN（e- 1） 2fN（S）+kSk1+L（e）- 1)≥ 我- L1+N-1Xi=1ci！e2+- 1） kSk- LcN（e- 1.（2fN（S）+kSk）。仍然需要估计项I。为了简化计算，我们使用表示法γ=γ（S）和△γ=△γ（ψ（S））。然后，在（5.1）中，γTST- κ|γT | ST+（1）- κ） Z[0，T]Sudγ-U- （1+κ）Z[0，T]Sudγ+u≥ γTST- κ|γT | ST+KXk=1Sτ（）k-1Z[τ（）k，τ（）k+1][（1）- ~k）dγ-U- （1+/κ）dγ+u]=γTST- κ|γT | ST+KXk=1Sτ（）k-1Z[τ（）k，τ（）k+1][-dγu- |κ| dγu |]≥ γTST- κ|γT | ST+K-1Xk=0ψτ（）k（S）Z[τ（）k，τ（）k+1][-d~γu- |κ| d |γu |]=γTST- κ|γT | ST+（1）- ~K）Z[0，^τ（）K]ψu（S）d ~γ-U- （1+～κ）Z[0，^τ（）K]ψu（S）d~γ+u≥ (1 - △κ）Z[0，T]ψu（S）d△γ-U- 因此，我们得出以下结论：≥ 我们将这个不等式与（3.2）和（5.4）一起使用。

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能者818

2022-5-7 11:04:21

结果是，Vκ（G）≤ L（c）+L（e2+）- 1）（1+NXi=1ci）Vκ（kSk）+2L（e- 1） cNVκ（fN（S））≤ L（c）+L（e2+）- 1） ^C2（1）- 8κ（1+NXi=1ci）+2L（e）- 1） cNLN。这与（5.2）一起产生（5.5）Vκ（G）≤ infc，。。。，cN≥0supQ∈MκEQ[ξ]+NXi=1ciAi！+L（e2+）- 1） ^C2（1）- 8κ），式中ξ：=G（~S）-N-1Xi=1cifi（~S）- cN（fN（~S）∧ ∧（∧ST+1）），Ai：=Li+L（e2+）- 1） ^C2（1）- 8κ+2L（e）- 1） LN=Li+B- ，我≤ N.18 Y.多林斯基和H.M.索纳斯第二步：下一步是交换in（5.5）中的上确界和上确界的顺序。考虑紧集H:=[0，K/]N，其中reca all K满足G≤ K.定义函数G:H×Mκ→ R byG（h，~Q）=E ~Q“G（~S）-N-1Xi=1hifi（~S）- hN（fN（~S）∧ ∧（ST+1））#+NXi=1hiAi，其中h=（h，…，hN）。请注意，G在每个变量中都是一个函数，在第一个变量中是连续的。集合M)κ可以自然地看作向量空间RD（）的一个子集。让我们来证明Mκ是一个凸的set∈ M~κ与letλ∈ (0, 1). 考虑测量值<<Q=λ>>Q+（1- λ） Q.对于i=1，2，设{M（i）t}Tt=0是一个关于∧qindF的鞅，这样（1）- ~k）~St≤~M（i）t≤ （1++κ）St＠PA.s.定义随机过程＠Mt=λ＠M（1）t“d＠Qd＠Q＠Ft＠+（1）- λ） ~M（2）t“dQdQ | Ft#，t∈ [0，T]。显然，{Mt}Tt=0是一个关于![Q]和![F]的鞅。而且，因为![M]是![M（1）和![M（2）t]的（随机）凸组合，（1- ~k）~St≤~Mt≤ （1+~k）~St~P a.s.因此，~Q∈ M~κ，。这就证明了M~κ是一个凸集。接下来，我们将Beiglb¨ock，Henry Labord\'ere和Penkner[3]中的最小-最大定理，定理2，应用于G∈hsupq∈M~κG（h，~Q）=sup~Q∈M~κinfh∈HG（h，~Q）≤ 超级Q∈M)κG（h)Q，)Q，其中h)Qi=Kχ{E)Q[fi（~S）]≥Li+B}，我≤ N- 1，hqn=KχQ[fN（~S）∧∧（~ST+1）]≥LN+B}。h)Q的定义，集合M，λ)κ，证明了G≤ K表示thatG（hQ，Q）≤ 0, ~Q∈ Mκ但Q 6∈ M∧κ，特别是L，sup)Q∈M~κG（h~Q，~Q）≤ 0，如果集M∧κ，Lis为空。

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2022-5-7 11:04:25

这些结合（5.5）意味着Vκ（G）≤ 超级Q∈M~κG（h~Q，~Q）+L（e2+）- 1） ^C2（1）- 8κ)≤超级Q∈M∧!κ，LE!Q[G（~S）]++ L（e2+）- 1） ^C2（1）- 8κ).二元性与交易成本196。本节中边界的渐近分析。我们完成了定理2.7的证明。这是通过证明第4节和第5节的上界和下界是渐近相等的来实现的。回想一下假设2.3中的概率度量Q。集合，Di=EQ[fi（S）]，i≤ N.名称D=QNi=1（Di，∞). 设H=（H，…，HN）∈ D，并让√κ∈ (0, 1).定义M~κ，Hto是^上所有概率测度的集合Ohm := Ohm ×C++[0，T]，它满足定义2.5的条件，带有κ，L。。。，ln替换为∧κ，H。。。，嗯。观察Q∈ 手，所以，集合，他的手不是空的。定义函数Γ：D×（0,1）→ R byΓ（H，Γκ）：=sup^Q∈M~κ，HE^Q[G（S（1））]，其中，重述规范过程^S=（S（1）t，S（2）t）0≤T≤t定义为2.5。下面的引理是分析界的渐近行为的核心。引理6。1.函数Γ：D×（0,1）→ R是连续的。证据必须证明，对于任何紧集J D×（0，1）存在一个连续函数mJ:R+→ R+（连续性的modulus）与mJ（0）=0，这对于ny（H（i），*κi）∈ J、 i=1,2Γ（H（1），Γκ）- Γ（H（2），Γκ）≤ mJNXk=1 | H（1）k- H（2）k |+|κ- ~κ|!.选择>0。

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kedemingshi

2022-5-7 11:04:29

存在^Q∈ 使（6.1）Γ（H（1），κ）<+E^Q[G（S（1））]。关于空间^Ohm, 定义s-tochastic过程ρ和˙ρ，ρt:=s（2）tS（1）和˙ρt:=（1）- ~κ) ∨ （ρt）∧（1+/κ），t∈ [0，T]。接下来，介绍随机过程s˙s=（˙s（1）t，˙s（2）t）0≤T≤Tby˙S（1）t:=S（2）t˙ρt˙ρρ=ρt˙ρt˙ρS（1）tand˙S（2）t:=˙ρS（2）t，t∈ [0，T]。观察存在一个常数C（1）Jsuch，它（6.2）sup0≤T≤T | ln˙S（1）T-ln S（1）t |=sup0≤T≤T | lnρT+ln˙ρ-ln˙ρt-lnρ|≤ C（1）J |κ-~κ|.在不损失一般性的情况下，我们假设C（1）J | |κ- κ|<ln（1+1/L）。定义过程˙S背后的想法是构造一个与S“接近”的随机过程，并满足定义2.5的性质（1）和（2），即˙κ而不是˙κ。此外，我们要求˙S（1）=1。的确，请注意˙S:^Ohm →^Ohm.因此，将概率测度^qt定义为20年多林斯基和H.M.Sonerprobability测度^Q下的˙分布。也就是说，^qi是^Q上的概率测度Ohm 也就是givenby^Q（A）=^Q（˙S-1（A））对于任何Borel集合A^Ohm.

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2022-5-7 11:04:34

很明显，不管怎么说∈ [0，T]（1）- ˙κ）S（1）t≤˙S（2）t≤ ˙S（1）t，^Qa。s、 andE^Q（˙s（2）TSu，u≤ t） =˙S（2）t。因此，对于任何t∈ [0，T]，（6.3）（1）- ~k）S（1）t≤ S（2）t≤ （1+）κS（1）t，^Qa。s、和（6.4）E^Q（s（2）T^Ft）=s（2）T。接下来，与（4.14）类似，我们得到存在一个常数C（2）Jsuch that E^Q[|s（1）|≤ C（2）J.通过以与（4.12）-（4.13）类似的方式应用假设2.1–2.2，并使用（6.2）我们得到，我们可以构造另一个常数C（3）jsatizing，| E^Q[G（S（1））]- E^Q[G（S（1））]|=|E^Q[G（˙S（1））]- E^Q[G（S（1））]|≤ LC（2）J（exp（C（1）J |- ~κ|) - 1)(6.5)≤ C（3）J |κ- |κ| E^Q[fi（S（1））]- E^Q[fi（S（1））]|=|E^Q[fi（˙S（1））]- E^Q[fi（S（1））]|≤ LC（2）J（exp（C（1）J |- ~κ|) - 1)(6.6)≤ C（3）J |κ- ~kκ|，i≤ N-对于i=N | E^Q[fN（S（1））]=E^Q[fN（˙S（1））]|（6.7）≤E^Q[fN（S（1））]（1+L（exp（C（1）J|)κ- ~κ|) - 1))]1 - L（exp（C（1）J |κ- ~κ|) - 1） +L（exp（C（1）J |- ~κ|) - 1） E^Q[|S（1）||1]- L（exp（C（1）J |κ- ~κ|) - 1)≤ E^Q[fN（S（1））]+C（3）J |κ- ~κ|.接下来，我们修改了概率测度，它将满足H（2）定义2.5的性质（3）。。。，H（2）N.显然，测量QQ是^上的概率测度Ohm, 其中，假设2.3中给出了概率度量Q。对于任何λ∈ （0，1）考虑概率测度^Qλ=√λ[Q] Q] +（1）-√λ） ^Q.观察这个等式Q[fi（S（1））]=EQ[fi（S）]=Di，i≤ N.交易成本为21Set∧=PNk=1 | H（1）k的对偶性-H（2）k |+|κ-~κ|. 从（6.6）-（6.7）和Di<H（1）iit遵循∧充分小| E^Q∧[fi（S（1））]≤√∧Di+（1）-√∧）（H（1）i+C（3）J | |κ- ~κ|) ≤H（1）i-√∧（H（1）i- Di）+C（3）J∧<H（1）i- Λ ≤ H（2）i.这与（6.3）-（6.4）一起产生^Q∧∈ M~κ，H（2）。最后，从（6.1）和（6.5）中，我们得到Γ（H（1），Γκ）- Γ（H（2），Γκ）≤ +E^Q[G（S（1））]- (1 -√∧E^Q[G（S（1））]≤ +C（3）J |- ~κ| +√由于>0是任意的，这就完成了证明。现在，我们准备证明定理2.7的下界。引理6。2.VPκ（G）≥ sup^Q∈Mκ，LE^Q[G（S（1））]。证据

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能者818

2022-5-7 11:04:38

根据引理6.1，证明（6.8）VPκ（G）是有效的≥ E^Q[G（S（1））]，每^Q∈ Mκ，l带有κ<κ和Li<Li，i≤ N.我们分两步进行。在第一步中，我们修改了流程S（1）。在第二步中，我们将引理4.2应用于修改后的过程。第一步：让>0。确定停车时间，τ（）：=τ（）（S（1））=0和fork>0，τ（）k:=τ（）k（S（1））=T∧ inft>τ（）k-1:S（1）t=exp（±）S（1）τ（）k-1.,随机变量K:=min{K:τ（）K=T}- 1 < ∞. 让n∈ N.介绍随机过程S（N）t=N-1Xi=0S（1）τ（）iχ[τ（）i，τ（）i+1）（t）+S（1）τ（）K∧nχ[τ（）n，T]（T），T∈ [0，T]。随机过程S（n）是一个纯跳跃过程，在跳跃时间τ（）与S（1）一致。。。，τ（）n∧之后，Kand保持不变。我们认为，对于足够大的n，术语E^Q | fi（~S（n））-fi（S（1））|，i=1。。。，Nand E^Q|G（~S（n））- G（S（1））|很小。事实上，在这之前∈ Mκ，最清晰的E^Q[kS（1））k]≤^C（其中，回忆定义4.1中的常数^C）和solimn→∞E^Q[kS（1）kχ{k≥n} ]=0。根据假设2.1，我们得到→∞E^Q[fi（S（1））]- E^Q[fi（~S（n））]≤ 林尚→∞E^Q[|fi（S（1））- fi（~S（n））|χ{K<n}]+2L limn→∞E^Q[kS（1）kχ{k≥n} ]≤ L（e- 1） E^Q[kS（1））k]≤ L（e- 1） ^C.22 Y.Dolinsky和H.M.Sonersily，（6.9）lim supn→∞E^Q[G（S（1））]- E^Q[G（~S（n））]≤ L（e- 1） ^C.仍需处理C ase i=N。

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2022-5-7 11:04:41

根据假设2.2，可以得出δ>0的存在使得| lnx- lny |<δ=> q（y）<2（q（x）+x）。我们得出结论，存在一个常数Cs，或者任何x，y>0，我们有（1）- ~k）x≤ Y≤1.- κx=> q（y）≤ C（q（x）+x）。这与定义2.5 yieldsE^Q[Q（S（1）τ（）n）χK的性质（2）一起≥n} ]≤ CE^Qhq（S（2）τ（）n）+S（2）τ（）nχ{K≥n} 因为S（2）是鞅和{K≥ n} ={τ（）n<T}∈^Fτ（）n，然后从je n不等式（对于凸函数q（x）+x）我们得到，e^q[q（S（1）τ（）n）χ{K≥n} ]≤ CE^Qhq（S（2）T）+S（2）Tχ{K≥n} 我≤ CE^QhCq（S（1）T）+（1+~k）S（1）Tχ{K≥n} i.因此不等式E^Q[（Q（S（2）T）]<∞ 默许→∞E^Q[fN（S（1））]- E^Q[fN（~S（n））]≤ 林尚→∞E^QhfN（S（1））+fN（S（n））χ{K≥n} 我≤ 林尚→∞CE^Qh（C+1/C）q（S（1）T）+（1+/κ）S（1）Tχ{K≥n} i=0。我们得出结论，对于足够大的nE^Q[G（S（1））]- E^Q[G（~S（n））]≤ 2L（e- 1） ^C和（6.10）E^Q[fi（S（1））]- E^Q[fi（~S（n））]≤ 2L（e- 1） ^C i≤ N.我们充分证明了上述不等式成立，并设置了S:=~S（N）。接下来，我们修改跳转时间，使其位于网格上。让我∈ N.通过递归定义以下随机变量序列，^τ（）k:=kXi=1^τ（）i，其中^τ（）i=min{T∈ {T/m，2T/m，…，T}T≥ τ（）i:=τ（）i- τ（）i-1} 和σk=Tχ{τ（）k=T}+^τ（）k∧ （T（1）- 2.-k/m）χ{τ（）k<T}，k=0，1。。。，n、交易成本的二元性23观察任何i，σi+1≥ σi和σi+1=σiif，且仅当σi=T。注意。。。，σn（通常）不考虑过滤的停止时间。定义随机过程˙St:=˙S（m）t=n-1Xi=0S（1）τ（）iχ[σi，σi+1）（t）+S（1）τ（）K∧nχ[σn，T]（T），T∈ [0，T]。第二步：该过程仍然是一个分段常数过程，跳时位于一个有限的网格上。因此，由˙S生成的自然过滤是右连续的，因此鞅^Mt:=E^Q（S（2）TSu，u≤ t）是一个c\'adl\'ag鞅。让k≤ N

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大多数88

2022-5-7 11:04:44

显然，σk是相对于˙S产生的自然过滤的停止时间。此外˙S[0，σk]相对于^Fτ（）k是可测量的-≤˙SσkS（1）τ（）k≤ 定义2.5中的e和性质（1）-（2）意味着|Mσk-˙Sσk |=E^QE^Q[S（2）T^Fτ（）k]| Su，u≤ σk-˙Sσk≤˙Sσk（（1+)κ）e- 1) ≤˙Sσk（κ+2），在最后一个等式中，我们假设足够小。设σn+1=T。那么，对于任何k≤ n和t∈ [σk，σk+1]，我们得出结论-2(1 - ~κ - 2）˙街≤^Mσk+1≤ e2（1+～κ+2）St.由于^M是一种马丁酒，与˙S的自然过滤相对应，我们得出结论，对于足够小的（6.11）|Mt-˙St|≤ （1+/κ+5）˙显然是圣，林姆→∞k~S-˙S（m）k=0，^Q a.S.观察上述过程是一致有界的。因此，根据假设2。1-2.2，E^Q[G（~S）]=limm→∞E^Q[G（˙S（m））]和（6.12）E^Q[fi（~S）]=limm→∞E^Q[fi（˙S（m））]，i≤ N.用˙qm表示˙S（m）在空间D[0，T]上的分布。我们可以选择这样一种方式，即κ：=κ+6是令人满意的1 + κ1 + ^κ,1 - ^κ1 - κ≥ e2，安德利- L（^C+LN）（e4+LN）- 1） >3L（e- 1） ^C+~Li，i<N，LN（1）- L（e- 1)) - L^C（e- 1） 1+L（e- 1） >3L（e- 1） ^C+~LN。24 Y.Dolinsky和H.M.SonerFrom（6.10）-（6.12），可以得出，对于足够大的M，测量值为˙Qm∈ MT，^κ，l选择T:={kT 2-n/m}nmk=0。因此，根据引理4.2，我们有vpκ（G）≥ E^Q[G（˙S（m））]- L^C（e4+）- 1).我们现在应用（6.10），（6.12）并在m趋于完整时采用限制。结果是vpκ（G）≥ E^Q[G（S（1））]- 2L（e- 1） ^C- L^C（e4+）- 1).现在，当趋于零时，在取极限后，（6.8）如下。接下来，我们列出上限（2.4）。引理6。3.Vκ（G）≤ sup^Q∈Mκ，LE^Q[G（S（1））]。证据假设Q是假设2.3中的概率度量。然后，Q Q∈Mκ，（L，…，LN）。因此，如果Vκ（G）≤ 0，那么（2.4）是微不足道的。因此，我们可以假设Vκ（G）>0，而不失一般性。选择>0、∧>1、^κ>κ和∧Li>Li，i≤ N

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