具有随机禀赋和交易费用的最优投资：对偶性

2022-5-8 00:45:40

MFE稿件号（将由编辑插入）具有随机禀赋和交易成本的最优投资：对偶理论和影子价格Serhan Bayraktar·项羽收到：日期/接受：日期摘要本文研究了具有随机禀赋和比例交易成本的终端财富的效用最大化问题。为了处理一些非流动性索赔的无限随机支付，我们建议使用通过一致价格系统（CPS）定义的可接受投资组合，以便清算价值过程保持在一些随机阈值以上。在由一种高风险ss债券和一种高风险资产组成的市场中，我们得到了一类超套期保值结果。基于原始空间的这一特征，利用对偶方法建立了效用最大化问题最优解的存在唯一性。作为对偶定理的一个重要应用，我们以类似于[5]的广义形式以及通常意义上使用可接受的投资组合，提供了具有随机禀赋的影子价格过程存在的一些充分条件。比例交易成本·无界随机禀赋·可接受投资组合·效用最大化·共凸对偶·影子价格sJEL分类：G11，G131简介效用最大化的最优投资是定量金融的一个基础研究课题。在无摩擦的市场中，两者的问题。密歇根大学数学系，美国密苏里州安阿伯市教堂街530号，邮编：48109电子邮件：erhan@umich.eduX.Yu香港理工大学应用数学系，香港九龙红磡，邮编：xiang。yu@polyu.edu.hk2E.Bayraktar和X.Yuliquid资产和非流动性或有权益最近受到了广泛关注，并得到了显著发展。

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2022-5-8 00:45:43

在模型中，假设投资者在某个时间点从某个或有收益中获得随机收益。在完全市场中，随机捐赠可以通过流动资产对动态交易组合进行有效对冲。因此，有一定回报的最优投资问题会导致没有随机捐赠，但初始财富增加的问题。当市场不完善时，问题变得更加微妙。特别是，要建立处理不可边缘的随机禀赋的凸凹对偶理论，需要新的技术，尤其是在禀赋是无限的情况下，参见示例[4]、[12]、[19]和[23]。参考文献[18]、[30]、[24]和[28]也研究了中间消耗为红色时的这个问题。在存在市场摩擦的情况下，效用最大化问题主要取决于工作组合过程的定义。基于s-e鞅性质和随机积分的传统分析在具有事务成本的通用环境下不起作用。因此需要新的方法。在多资产模型中，使用凸偿付能力锥和严格一致价格系统（SCPS）仔细定义了自我融资的可接受投资组合。超级赫丁定理是在不同的市场假设下发展起来的，参见[16]、[17]、[25]和[3]中的内容。在一种债券和一种风险资产的简单情况下，允许的投资组合是通过要求清算价值过程保持在某个恒定下限以上来定义的，参见[27]和[26]。

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2022-5-8 00:45:46

最近在[26]中，一个易于应用的super Hedging定理是在假设股价过程允许任意小交易成本的CPS的情况下建立的。作为对现有文献的重要补充，本文旨在研究交易成本和无界随机禀赋下的效用最大化问题。我们注意到[2]首先研究了随机捐赠的最优投资问题。然而，为了应用[3]中的up-er套期保值定理，[2]仍然适用于可容许的投资组合，并且假设它们的随机禀赋满足ET∈ L∞为了保证最优解的存在性。当有界性假设放松时，可接受投资组合的定义不再适用，需要修改，因为恒定下限将被证明是一种非自然约束。在无摩擦市场中，可接受投资组合的定义由[9]和[12]引入，其中财富过程集合中的一些最大元素可以作为随机阈值。然而，在交易成本的情况下，从可接受的投资组合过程中选择的最大元素不能作为下限，参见[14]中的一些反例。最近，在卡巴诺夫的多资产框架中，交易成本由矩阵值过程建模，在[29]中，使用凸偿付能力锥和SCP提出了可接受投资组合的新定义。这项工作的主要贡献之一是在[27]和[26]中所述的简单环境中定义可接受的portfoliosin。在本文中，如果清算价值过程低于对偶理论和影子价格，那么自融资投资组合被称为可接受的。3与所有CPS（Q，~S）相关的一些过程。

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2022-5-8 00:45:49

我们定义的主要思想是，当CPS被视为基础资产时，从一组没有交易成本的健康过程中选择一些最大元素作为随机阈值。与[29]中的定义2.3（另见[3]中的定义2.7）相比，值得注意的是，我们框架中的自我融资投资组合条件更加明确，财务解释也很好。然而，我们需要付出的代价是，由于我们需要验证一系列自融资过程中的某个极限仍然是自融资，因此证明超边际结果通常比较困难。在凸偿付能力锥的帮助下，这种收敛结果在[3]和[29]中被认为是理所当然的。同时，与[29]中的定义2.3不同，在每个投资组合过程中强制规定了随机下限，我们将重点放在每个清算价值过程上。由于在[3]的引理2.8中缺乏超马尔-廷格尔性质来证明可接受投资组合集的封闭性，因此出现了一些新的数学挑战。特别是命题2中的后向蕴涵。本文的第1部分对于我们获得[3]和[29]中不需要的封闭性结果至关重要。假设股票价格过程允许所有小交易成本的PSC，我们最终能够验证命题2.1，从而使用可接受的投资组合建立超级套期保值结果。最优解的存在性和唯一性是建立在超套期保值结果和凸分析基础上的对偶定理的结果。本文还将对偶定理应用于影子价格过程的存在性。

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2022-5-8 00:45:53

粗略地说，如果一个过程^S在买卖过程中演化，并且在交易成本和两个最优投资组合过程重合的情况下，^S中的最优摩擦导致与原始市场中相同的效用价值函数，则该过程称为ashadow价格。如[5]所述，候选影子价格过程由^S，Y1，*Y0，*其中（Y0，*, Y1，*) 是对偶定理中的极小值。如果股票价格过程S是c`adl`ag，则^S可能不是半鞅，因为它可能不是c`adl`ag。为了克服这一困难，[5]考虑了一个以基因夹心的方式定义的sha dow过程，例如t^Sp=Y1，*,pY0，*,pand^S=Y1，*Y0，*式中（（Y0，*,p、 Y1，*,p），（Y0，*, Y1，*)) 是一种夹在三明治中的强力超级颜料，请参见定义4。4和定义4.5。尽管影子价格过程不是c`adl`ag，但使用有限变化的可预测过程作为被积函数，仍然可以很好地定义随机积分。在[5]中，可以定义修改后的自我融资和允许的投资组合流程，并完成影子价格流程的验证。对于无限的随机捐赠，我们可以使用修改后的可接受投资组合，扩展[5]给出的三明治影子价格过程的定义。据我们所知，研究随机捐赠中的影子价格过程对文献来说是新的，我们希望增加一些有趣的视角。本文的其余部分组织如下：第2节介绍了具有交易成本的市场模型和可接受的投资组合流程的定义。第三节给出了E.Bayraktar和X.Yuments无界随机赋权下的效用最大化问题。然后介绍了对偶空间和相应的对偶优化问题。最后给出了对偶理论的主要结果。

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2022-5-8 00:45:57

第4节提供了一些充分条件，并建立了一个三明治影子价格过程的存在性，该过程由一个可预测的和一个可选的强超鞅组成。还讨论了通常意义下阿沙多价格过程的存在性。第5节包含主要定理和所有辅助结果的证明。2市场模型我们考虑由一种无风险债券和一种风险资产组成的市场模型。无风险债券B被假定为常数1，其金额作为数值。股票价格由严格正且局部有界的自适应c`adl`ag过程（St）0建模≤T≤t一些经过筛选的概率空间(Ohm, F、（英尺）0≤T≤T、 P）满足正确连续性和完整性的通常假设。时间范围由T>0给出。此外，我们认为这是微不足道的，FT=FT-ST=ST-. 交易风险资产会产生交易成本，也就是说，我们可以以S的价格购买股票，但只能以（1）的价格出售-λ）在这里，S表示要价（1）-λ） S表示投标价格和[（1）- λ） S，S]称为买卖价差。定义2.1对于给定的价格过程S=（St）0≤T≤当交易成本0<λ<1时，λ-一致价格系统（λ-CPS）是一对（Q，~S），使得QI是一个相当于P，~S=（~St）0的概率测度≤T≤t将其值写入投标报价表[（1）- λ） S，S]=（[（1）- λ） [St，St]）0≤T≤坦德斯是一个Q-lo calmartingale。将S（λ，S）（简称S）表示为所有＠的集合，使得（Q，＠S）是交易成本为λ的CPS。对于每个∈ S、也将集合M（~S）表示为所有概率度量Q的集合，使得（Q，~S）是λ-CPS。用M，S~S定义se t M（λ，S）（简称M）∈SM（~S）。请注意，在物理概率测度P下，每个S都是一个半鞅。给定初始财富a>0，将X（S，a）表示为S-市场中所有非负财富过程的集合∈ s

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2022-5-8 00:46:00

这是x（~S，a），nX≥ 0:Xt=a+（H·S）t，其中H是可预测的，且可S-可积的，t∈ [0，T]o.X（~S，A）中的财富过程称为最大财富过程，用Xmax，~S表示，如果其终值Xmax，~st不能被X（~S，A）中的任何其他过程控制。假设2.1对于每0<λ′<1，价格过程S承认λ′-CPS。交易策略φ=（φ，φ）0≤T≤t分别以无风险资产和风险资产的单位表示在重新平衡投资组合后的持有量，时间t.（φ，φ）称为交易成本λ的自融资（见[27]和[5]），如果对偶理论和影子价格5（i）φ=（φ，φ）0≤T≤这是一对可预测的有限变化过程。（ii）对于有限变化的任何过程sφ，φ=x+φ↑- φ↓表示其Jordanhan分解为两个非递减过程φ↑和φ↓两者都为零。（φ，φ）满足条件ztsdφu≤ -ZtsSudφ1，↑u+Zts（1- λ） Sudφ1，↓u（2.1）a.s.适用于所有0≤ s<t≤ T，其中ztssudφ1，↑u、 ZtsSudφ1，↑,cu+Xs<u≤tSu-△φ1,↑u+X≤u<tSu△+φ1,↑u、和ZTS（1- λ） Sudφ1，↓u、 Zts（1）- λ） Sudφ1，↓,cu+Xs<u≤t（1）- λ）苏-△φ1,↓u+X≤u<t（1）- λ）苏△+φ1,↓由于S是c\'adl\'ag，因此UCA可以定义为Riemann-Stieltjes积分。这是我们的定义△φt，φt- φt-和△+φt，φt+- φt值得注意的是，由于S是c`adl`ag，我们需要考虑投资组合过程φ的左右跳跃。一般来说，三个值φτ-, φτ和φτ+可能不同。如果停止时间τ完全不可访问，φ的可预测性意味着△φτ几乎可以确定为0。

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2022-5-8 00:46:04

但如果停止时间τ是可预测的，则两者都可能发生△φτ6=0和△+φτ6= 0.假设债券中的初始位置（φ，φ）=（x，0）且风险为单独设置，其中x∈ R、我们用v（φ）t，φt+（φt）+（1）定义清算值a t乘以t- λ）圣- （φt）-St.现有文献中对工作投资组合的传统定义假定清算价值过程的阈值不变，参见[27]：R+价值调整的c`adl`ag过程的定义2.2 s=（St）0≤T≤当交易成本0<λ<1时，如果存在常数a，则称为自筹交易策略φ≥ 对于每[0，T]值的停止时间τ，V（φ）τ=φτ+（φτ）+（1- λ） Sτ- (φτ)-Sτ≥ -a、 a.s.从现在起，通过允许在t=0时交易N个欧洲未定权益，最终支付额=（EiT）1，市场被扩大≤我≤N.我们表示q=（qi）1≤我≤Nas在未定权益中的静态持有量等。通过允许q取负值，而不丧失一般性，我们只能考虑以下情况：≥ 0代表所有1≤ 我≤ N.每个EIT都可以是无界的，但它是一个假设，即Pni=1在以下意义上与集合M一致可积：6 E.Bayraktar和X.Yuimm→∞supQ∈MEQNXi=1EiT{PNi=1EiT>m}= 0.（2.2）显然，（2.2）意味着最终的超级价格∈MEQ[PNi=1EiT]<∞ 支付的费用=1EiT。事实上，与一致可积的德拉瓦利-普桑定理的证明类似，验证假设2的等价条件也很简单。引理2.1假设2。当且仅当存在带limx的Borel检验函数φ（x）时，2成立→∞φ（x）x=∞ 真是太好了∈MEQ[φ（X）]<∞, （2.3）我们定义X=PNi=1EiT。如果存在，函数φ（x）可以在非递减凸函数类中选择。

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2022-5-8 00:46:07

特别是，如果对于某些p>1，随机禀赋ETI的p阶矩在al lλ-CPS下是超可对冲的，即supQ∈MEQ[Xp]<∞, （2.4）假设2。2满足有界随机捐赠的要求∈ L∞, 假设2。2.坚持到底。引理2.1指出，要求q·ET是足够的∈ Lp（Q）对于某些p>1和所有Q∈ M.假设2。2是一个数学条件，我们需要稍后证明超级套期保值结果。以下结果成立（参见[29]中引理2.1的证明）。引理2.2在假设下。2.存在一个常数a>0，使得每个S∈ S、存在一个最大元素Xmax，~S∈ X（~S，a）和pni=1EiT≤Xmax，~ST.假设2.3适用于任何q∈ Rn如果q 6=0，则随机变量q·ETI在λ-CPS下的市场中不可复制。为了处理无限的r andom捐赠，上述可接受投资组合的定义是不合适的。需要放宽常数下限作为随机阈值。按照[29]的想法，我们将提出修改后的工作组合，如下所示。定义2.3适用于R+值的自适应c`adl`ag过程S=（St）0≤T≤当交易成本0<λ<1时，如果存在常数a，则称为可接受的自融资交易策略φ≥ 0和fo各S∈ S、存在一个最大元素Xmax，~S∈ 对于每[0，T]值的停止时间τ，V（φ）τ=φτ+（φτ）+（1- λ） Sτ- (φτ)-Sτ≥ -Xmax、~Sτ、a.S.对偶理论和影子价格7备注2.1每个可接受的投资组合过程都是可接受的，因为任何给定常数a>0都是X（~S，a）中的最大值。事实上，对于each∈ S、存在问题~ P，使得∧S是Q-局部鞅。因此，每一个S都是无鞅的，满足了风险消失条件下的非免费午餐，详情见[8]。

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2022-5-8 00:46:10

因此，如果X（~S，a）中存在一个支配常数a的极大元，就会产生矛盾。用Ax（λ，S）（简称Ax）表示所有对（φ，φ）的集合∈ 交易成本λ从φ=（φ，φ）=（x，0）开始的可接受投资组合的L（R）。我们称Ux（λ，S）（shor t为Ux）为空气（φ，φ）的所有终端值的集合∈ Ax，即Ux={（φT，φT）：（φ，φ）∈ Ax}。让我们也表示Vx（λ，S）（简称Vx）这些清算值过程的所有终端值的集合，以便在时间T清算股票头寸，即。，Vx={VT:VT=φT，φT=0，（φ，φ）∈ Ax}。与可接受的投资组合相反，在我们的环境中，对可接受投资组合的定义似乎更难检查，因为它涉及所有投资组合∈ S全部为0≤ T≤ T然而，以下结果表明，检查终端时间T是有效的。命题2.1修正上述c`adl`ag、调整流程S和交易成本0<λ<1，并假设2。1等一下。固定^a>0，并针对每个^S∈ S、拾取并固定一个^Xmax，~S∈ X（~S，^a）。对于任何（φ，φ）∈ Axand适用于每个S∈ S、如果我们有v（φ，φ）T=φT+（φT）+（1- λ）圣- （φT）-装货单≥ -那么对于每[0，T]值的停止时间τ，我们也有v（φ，φ）τ=φτ+（φτ）+（1- λ） Sτ- (φτ)-Sτ≥ -^Xmax，~Sτ。（2.6）命题2。1提供了检查可接受投资组合定义的便捷方法。如果存在满足supQ的随机变量B∈MEQ[B]<∞ 和V（φ，φ）T≥ -B、命题2。1和引理2.2意味着自我融资投资组合（φ，φ）是可以接受的。

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2022-5-8 00:46:13

更重要的是，命题2中的后向蕴涵。1可以在超级套期保值定理的后期证明中替换超级鞅的性质。3.具有无限随机禀赋的效用最大化我们首先介绍了初始财富为x的可接受投资组合过程的原始集合∈ R其最终清算价值主导支付-q·ETbyH（x，q），{VT:VT+q·ET≥ 0，V∈ Vx}。（3.1）有效域由K，int定义（x，q）∈ R1+N:H（x，q）6=.代理人的偏好由效用函数U表示：（0，∞) → R、它被假定为三次递增、严格凹形且连续8 E.Bayraktar和X.Yudi可区分。假设效用函数满足INDA条件U′（0），limx→0U′（x）=∞ 还有你(∞) , 利克斯→∞U′（x）=0。此外，我们还假设效用函数（U）的渐近弹性，lim-supx→∞许′（x）U（x）<1。（3.2）U（x）的凸c共轭由U（y）定义，supx>0U（x）-xy, y>0。给定（x，q）∈ K、代理人要最大化终端财富的预期效用，包括终端清算价值和未定权益的最终支付。原始效用优化问题由u（x，q），supVT定义∈H（x，q）E[U（VT+q·ET）]，（x，q）∈ K.（3.3）设C（x，q）为原始集H（x，q）C（x，q）的实壳，{g∈ L+：g≤ VT+q·ET，VT∈ H（x，q）}，（x，q）∈ K

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2022-5-8 00:46:16

（3.4）U（x）的单调性意味着U（x，q）=supg∈C（x，q）E[U（g）]，（x，q）∈K.在[12]之后，我们考虑了极锥的相对内部-Kde-fined byL，ri{（y，r）∈ R1+N:xy+q·r≥ 0代表所有（x，q）∈ K} 。将B表示为λ-CPS thatB的密度值集，（Z，Z）≥ 0:Zt=EhdQdPFti和Zt=~StZt，其中Q∈ M（~S），对于每个~S∈ s.一般来说，集合B缺乏封闭性，需要适当的放大才能作为C（x，q）的对偶集合。定义3.1从严格正的初始位置（φ，φ）=（x，0）开始，其中x>0，可容许的投资组合（φ，φ）为0-a可容许的不确定性，对于每[0，T]值的停止时间τ，清算值过程满足v（φ）τ≥ 0，a.s.给定x>0，我们将用aadmx表示所有0-可容许投资组合的集合，并用Uadmx表示0-可容许投资组合的所有终端值的集合，即Uadmx={（φT，φT）∈ L（R）：（φ，φ）∈ Aadmx}，x>0。（3.5）我们还将Vadmx表示为初始位置（x，0）的所有0-容许清算值过程的终值集，使得股票中的头寸在t=t时清算，即Vadmx={VT∈ L+（R）：（φT，φT）∈ uadmx表示φT=VT，φT=0}。（3.6）对偶理论和影子价格9假设S=（St）0≤T≤Tis c\'adl\'ag，所有自负盈亏的投资组合流程（φt，φt）0≤T≤t需要能够预测有限的变化，并且可以有左跳和右跳，以获得在概率收敛下闭合的Uadmxis，详情请参见[3]和[26]。为了保留超级马丁地产，需要一个新的限额来取代法图的限额；参见[6]和[5]。所有有限停站时间的概率收敛性和可选强超鞅的概念似乎是专门为分析交易成本问题而设计的。

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2022-5-8 00:46:20

[6]中的以下定义在对偶集的定义中起着重要作用。定义3.2可选流程X=（Xt）0≤T≤如果所有停车时间为0，则称为optionalstrong Supermaningale≤ σ ≤ τ ≤ T，我们有[Xτ| Fσ]≤ Xσ，其中我们假设Xτ对于任何[0，T]值的停止时间τ是可积的。我们将使用可选的强上鞅来放大对偶集。对于y>0，Z（y），（Y，Y）是非负可选的stro ng supermartingales:Y=Y，YY∈ [(1 - λ） S，S]，φY+φY是一个非负性强超鞅，(φ, φ) ∈ Aadm, （3.7）安迪（y），{YT∈ L+（R）：（Y，Y）∈ Z（y）与YT=YT}，y>0。（3.8）由于[27]中的命题1.6，我们得到了That yB Z（y）。给定（y，r）∈ 五十、我们对潜艇很感兴趣∈ Y（Y）：E[YT（VT+q·ET）]≤ xy+q·r，VT∈ H（x，q），（x，q）∈ K} ，（3.9）这是拟议的双重集合，因为r和OM捐赠可以通过其定义来避免。设抽象集D（y，r）为y（y，r）的实壳，D（y，r）={h∈ L+（R）：h≤ YT，YT∈ Y（Y，r）}（Y，r）∈ L.然后我们可以通过v（y，r），infYT定义相应的对偶优化问题为问题（3.3）∈Y（Y，r）E[~U（YT）]=infh∈D（y，r）E[~U（h）]，（y，r）∈ L.（3.10）下面的对偶定理提供了效用最大化问题最优解的存在性和唯一性（3.3）。10 E.Bayraktar和X.Yuraktar定理3.1 Let假设2。1、2.2和2.3以及条件（3.2）保持。此外，我们假设u（x，q）<∞ 对于某些（x，q）∈ K.然后我们有（i）函数u在K上有绝对值，函数v在L上有绝对值。

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2022-5-8 00:46:23

值函数u和v是共轭的eu（x，q）=inf（y，r）∈Lv（y，r）+xy+q·r, （x，q）∈ K、 v（y，r）=sup（x，q）∈Ku（x，q）- xy- q·r, （y，r）∈ L.（ii）最优解Y*T（y，r）到（3.10）存在，并且对所有（y，r）都是唯一的∈L.（iii）最优解V*T（x，q）到（3.3）存在并且对所有（x，q）都是唯一的∈K.（iv）有（φ0，*, φ1,*) ∈ Axand（Y0，*, Y1，*) ∈ Z（y）使得v（φ0，*, φ1,*)T=V*T（x，q）和Y0，*T=Y*T（y，r）。（v） u的超差将K映射为L，即。，u（x，q）五十、（x，q）∈ K（vi）如果（y，r）∈ u（x，q），最优解与y相关*T（y，r）=U′（V）*T（x，q）+q·ET），E[Y*T（y，r）（V）*T（x，q）+q·ET）]=xy+q·r.（3.11）备注3.1表示P（x，q；U）是（x，q）下所有基于边际效用的价格的集合∈ KP（x，q；U），{p∈ R:u（x）- q′p，q+q′）≤ 所有q′的u（x，q）∈ R} 。（3.12）该定义声称，在时间零点，或有权益可以以基于边际效用的价格进行交易的模型中，age nt在ETI中的持有量q是最优的。等价地，参见[12]和[13]，我们有p（x，q；U）=nry：（y，r）∈ u（x，q）o.（3.13）上述对偶定理可作为对基于边际效用的价格进行灵敏度分析和一阶展开的第一步，类似于[21]和[22]。对偶理论和影子价格114与影子价格的联系在这一部分中，我们应用对偶定理来研究具有随机禀赋的摩擦ss市场中影子价格过程的存在性。为了简化符号，我们将取N=1，因此取q∈ R.首先，我们引入了影子价格的概念。为此，我们需要准备一些定义。

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2022-5-8 00:46:27

对于固定的λ-CPS（Q，^S），即^S∈ S和正初始财富x>0，我们通过AADMX（^S）定义了一套市场中无交易成本的自我融资和0允许交易策略，（φ，φ）：x+Ztφud^Su≥ 0, T∈ [0，T]，φ是可预测且^S-可积的，φT=x+Ztφud^Su- φt^St.^S-市场中具有0-可容许策略的财富过程集由以下定义：对于x>0，x（^S，x），X:Xt=X+Ztφud^Su≥ 0, T∈ [0，T]，（φ，φ）∈ Aadmx（^S）.对于某些X>0和X（^S），Sx>0X（^S，X），我们将xmax表示为集合X（^S，X）中的最大元素。定义4.1针对固定资产∈ S、如果财富过程X允许重新呈现X=X′，则在无摩擦的S-市场中，自我融资投资组合被称为可接受- Xmax，其中X′是some 0-可容许投资组合下的财富过程，Xmaxis是X（^s）中的最大元素。也就是说，所有可接受的投资组合集合都可以尽快编写（^S），（φ，φ）：x+Ztφud^Su=x′t- Xmaxt，φ是可预测且^S-可积的，其中X′，Xmax∈ X（^S）和φt=X+Ztφud^Su- φt^St，T∈ [0，T].^S-市场中所有终端财富过程的集合用vx（^S）表示，XT∈ L（R）：XT=x+ZTφud^Su=φT+φT^ST，（φ，φ）∈ 斧头（^S）,以及在可接受的投资组合下主导支付的终端财富价值集-qETis由h（x，q；^S）定义，{XT:XT+qET≥ 0，XT∈ Vx（^S）}。相应的有效域由k（^S），int{（x，q）给出∈ R:H（x，q；^S）6=}.12 E.Bayraktar和X.YuDe定义4.2 A过程∈ S、也就是说，（Q，^S）是某些Q的λ-CPS∈ M（^S）称为影子价格过程，如果最优解（^φ，^φ）与终端财富X（^φ，^φ）T∈ H（x，q；^S）到无摩擦效用最大化问题u（x，q；^S），supXT∈H（x，q；^S）E[U（XT+qET）]，（4.1）存在于（x，q）∈ K∩ K（^S）与最优解φ一致*=(φ0,*, φ1,*) 关于交易成本λ下的问题（3.3）。

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2022-5-8 00:46:30

特别是，我们有u（x，q）=u（x，q；^S）。备注4.1我们对经典影子价格过程的定义比[5]和[7]更具限制性，影子价格过程通过其定义满足NFLVR条件。可接受的投资组合不同于可接受的投资组合，并且存在等价的本地鞅测度，以在影子价格市场中建立二元关系，而不产生交易成本。因此，与[7]不同的是，即使S是连续的，一致局部鞅系统（Z，Z）（se[1]的定义和等价刻画）的存在不再是随机禀赋影子价格过程存在的充分条件。备注4.2比较定义2。3和定义4.1，很容易看到 Ax（^S），因为我们需要^S∈ 因此，H（x，q）6=意味着H（x，q；^S）6= 因此K K（^S）。在定义4.2中，要求（x，q）就足够了∈ K表示u（x，q）和u（x，q；^s）的适定性。如果影子价格^S存在，无摩擦市场中效用最大化问题（4.1）的最优策略（^φ）=（^φ，^φ）可以在有交易成本的市场中实现。特别是，我们的目的是证明最优策略（φ0，*, φ1,*) 对于pr问题（3.3），在交易成本下，只有tradesif^S处于买入价或卖出价，即{dφ1，*> 0} {^S=S}，和{dφ1，*< 0} {^S=（1）- λ）在这个意义上{dφ1，*,c> 0} {^S=S}，{dφ1，*,c<0} {^S=（1）- λ） S}{△φ1,*> 0} {^S-= s-}, {△φ1,*< 0} {^S-= (1 - λ） S-},{△+φ1,*> 0} {^S=S}{△+φ1,*< 0} {^S=（1）- λ） S}。

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2022-5-8 00:46:33

（4.2）为影子价格^S byY（y；^S）定义对偶集，Y≥ 0:Y=Y和Yt（φt+φt^St）=Yt1+Ztφud^Su,是所有人的超级艺术家（φ，φ）∈ Aadm（^S）.对偶理论和影子价格13极锥的相对内部-K（^S）表示为byL（^S），ri{（y，r）∈ R:xy+qr≥ 0代表所有（x，q）∈ K（^S）}。将Y（Y，r；^S）定义为Y（Y；^S）的子集Y（Y，r；^S），{YT∈ Y（Y；^S）：E[YT（XT+qET）]≤ xy+qr，XT∈ H（x，q；^S），（x，q）∈ K（^S）}。然后将（4.1）的对偶优化问题表示为v（y，r；^S）=infYT∈Y（Y，r；^S）E[~U（YT）]。（4.3）[5]中的示例4.1表明，如果S是c`adl`ag，则双优化器（Y0，*, Y1，*)对于问题（3.10）和影子价格预测的候选人，Y1，*Y0，*可能不是c`adl`ag，因此可能不是半鞅。阿沙多·普赖斯的存在可能会导致基因突变。然而，只要φ是有限变化的可预测过程，且μS是l`adl`ag（见[6]和[5]），且Zt^φud^Su=Zt^φ1，cud^Su+X0<u，就仍然可以定义随机积分≤T△^φu（^St）-^Su-)+X0≤u<t△+^φu（^St）-^Su），0≤ T≤ T.（4.4）上述积分仍然可以解释为自融资投资组合（^φT）0的交易收益≤T≤Twithout priceprocess^S=（^St）0下的交易成本≤T≤T、虽然^S不是半鞅。因此，自然的问题是，我们是否可以选择商^S=Y1，*Y0，*作为基础资产，通过随机积分（4.4）确定财富在一般影子价格市场中的过程？不幸的是，答案通常是否定的。[5]中的示例4.2指出，我们可能无法使用（4.4）中定义的财富过程验证房地产（4.2）。特别是，很难保证这一点{△φ1,*> 0} {^S-= s-}, {△φ1,*< 0} {^S-= (1 - λ） S-},式中φ1，*是理论m3中的最优投资组合过程。1.

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能者818

2022-5-8 00:46:38

因此，我们无法验证（φ0，*, φ1,*) 是由^S=Y1驱动的影子价格市场中的最优解，*Y0，*. 它要求我们修改^的定义或（4.4）给出的财富过程。为了以正确的广义形式检查影子价格过程，参考文献[5]中的示例4.2显示了以下概念的重要性。定义4.3可预测的过程X=（Xt）0≤T≤如果对于所有可预测的停止时间为0，则称为可预测的强上鞅≤ σ ≤ τ ≤ T，我们有[Xτ| Fσ]≤ Xσ，其中我们规定Xτ对于任何[0，T]值的可预测s顶时间τ是可积的。14 E.Bayraktar和X.YuDe定义4.4一个夹层强超鞅是一对X=（Xp，X），使得Xp（resp.X）是一个可预测的（或可选的）超鞅，并且Xτ-≥ Xpτ≥ E[Xτ| Fτ-], （4.5）对于所有可预测的停车时间τ。对于夹层强上鞅X=（Xp，X）和有限变化的可预测过程φ，如[6]所示，随机积分在夹层意义下由ZtφudXu，ZtφcudXu+X0<u定义≤T△φu（Xt）-Xpu）+X0≤u<t△+φu（Xt）-(徐),0≤ T≤ 定义4.5如果Y=（Y，Y），我们称Y=（Y0，p，Y1，p），（Y，Y））为三明治式的强超马氏体∈ Z（y）（参见（3.7））和（Y0，p，y）以及（Y1，p，y）是夹在强超马尔可夫中的，且过程在买卖价差内，Spt=Y1，pY0，p∈ [(1 - λ）圣-, 圣-], T∈ [0，T]。根据[5]引理A.1的证明，如果必要，通过传递到前向凸组合，我们得到以下收敛结果。引理4.1修正（x，q）∈ K

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2022-5-8 00:46:42

对于任何（y，r）∈ u（x，q），存在一个最小化序列Zn（y，r）=（Z0，nt（y，r），Z1，nt（y，r））0≤T≤tinb（1）到对偶问题（3.10），即[U（yZ0，nT（y，r））]v（y，r），作为n→ ∞,还有一份三明治，味道浓烈*（y，r）=（y）*,p（y，r），y*（y，r））使得（yZ0，nτ-（y，r），yZ1，nτ-（y，r））P-→ （Y0，*,pτ（y，r），Y1，*,pτ（y，r）），（4.6）和（yZ0，nτ（y，r），yZ1，nτ（y，r））p-→ （Y0，*τ（y，r），Y1，*τ（y，r）），（4.7）as n→ ∞ 对于所有[0，T]值的停止时间τ，其中Y0，*（y，r）是（3.10）的双重优化器。以确保在下一个市场中存在三明治式影子价格过程4。1.由于某些技术原因，需要以下假设。假设4.1修正（x，q）∈ K.假设存在（y，r）∈u（x，q）使得最小化序列Zn（y，r）=（Z0，nt（y，r），Z1，nt（y，r））0≤T≤Tin B（1）对双重问题（3.10）的满意程度→∞E[Z0，nT（y，r）ET]=ry.（4.8）对偶理论和影子价格15p表示所有无套利价格的s ET。对于任何一个Z∈ B（1），我们有[ZET]∈ P和P（x，q；U） P、其中P（x，q；U）是所有边际效用价格的集合，其定义见（3.12）和（3.13）。条件（4.8）要求存在基于边际效用的价格∈ P（x，q；U），可通过最小化序列Z0，n（y，r）实现。换句话说，最小化序列Z0，nequalsry，即lim infn下无套利价格的极限→∞E[Z0，nT（y，r）ET]=ry。在这里，我们揭示了与一些基于边际效用的价格属性相关的三明治影子价格过程存在的充分条件。以下两个例子提供了满足条件（4.8）的Omes具体市场模型，分别适用于q>0和q<0的情况。例4.1我们假设ET≤ (1 - λ）圣。

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2022-5-8 00:46:47

假设（x，q）∈ 当q>0时，存在基于边际效用的价格（y，r）∈ 满足（1）的网络的u（x，q）- λ） S≤雷≤ S.作为Y1的初始值，*是灵活的。在不丧失一般性的情况下，我们可以考虑Y1的初始值，*asY1，*（y，r）=r，满足买卖价差约束（1- λ） S≤Y1，*（y，r）Y0，*（y，r）≤ S（4.9）考虑最小化序列（Z0，n（y，r），Z1，n（y，r））∈ B（1），我们有Sn，Z1，n（y，r）Z0，n（y，r）∈ [(1 - λ） S，S]。因此，很容易看出e[Z0，nT（y，r）ET]≤ aE[Z0，新界（y，r）（1）- λ） [ST]≤ aE[Z0，nT（y，r）~SnT]=E[Z1，nT（y，r）]≤ Z1，n（y，r）。当yZ1，n（y，r）收敛到Y1时，*（y，r）=r，它跟在thatlim infn后面→∞E[Z0，nT（y，r）ET]≤ 林恩芬→∞Z1，n（y，r）≤ry.（4.10）另一方面，对于同一对（y，r）∈ u（x，q），我们有thatxy+qr=E[Y0，*T（y，r）（V）*T（x，q）+qET）]≤ 林恩芬→∞E[yZ0，nT（y，r）（V）*T（x，q）+qET）]≤xy+qylim infn→∞E[Z0，nT（y，r）ET]。（4.11）当q>0时，lim infn→∞E[Z0，nT（y，r）ET]≥ry.最后一个不等式和（4.10）收益率（4.8）。例4.2假设ET≥ 假设选择（x，q）∈ 当q<0时，存在基于边际效用的价格（y，r）∈ u（x，q）表示满足[Y1，*T（y，r）]≥ R*, （4.12）其中r*定义为r的最小值，即（y，r）∈ u（x，q）.16 E.Bayraktar和x.YuCause表示任何（y，r）和（\'y，\'r）∈ u（x，q），我们总是有Y0，*T（y，r）=Y0，*T（\'y，\'r）。我们将挑选合适的人选*, R*) ∈ u（x，q）。

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2022-5-8 00:46:50

对于最小化序列（Z0，n（y*, R*), Z1，n（y）*, R*)) ∈ B（1），Fatou引理和（4.12）以及y1，*（y）*,R*)Y0，*（y）*,R*)∈ [(1 - λ） S，S]暗示→∞E[Z0，nT（y*, R*)[ET]≥嗯*Y0，*T（y）*, R*)ETi≥ 嗯*Y0，*T（y）*, R*)性病≥EY*Y0，*T（y）*, R*)Y1，*T（y）*, R*)Y0，*T（y）*, R*)=嗯*Y1，*T（y）*, R*)我≥R*Y*.同一双（y）*, R*) ∈ u（x，q），遵循（4.11）和q<0的事实，我们将获得信息→∞E[Z0，nT（y*, R*)[ET]≤R*Y*,哪种验证（4.8）可以选择r=r*y=y*.备注4.3假设4。1通常不容易验证，并且在特定条件下，在e和（x，q）的选择下可能有效。证明下一个定理4.1的主要困难在于，对于对偶问题中（y，r）的固定选择，我们无法比较e[Y0，*T（y，r）qET]或近似的序列e[yZ0，nT（y，r）qET]，其值r为乘积0，*（y，r）V（φ0，*（x，q），φ1，*（x，q））一般不可能是鞅。没有假设的夹心影子价格的存在。1是一个具有挑战性但很有趣的问题，这将作为未来的研究项目。备注4.4应该可以将[23]的公式推广到无界随机m禀赋，然后使用一对有界完全可加测度s建立对偶定理，该测度允许Yosida Hewitt分解Qi=Qi，r+Qi，s，i=0，1，和Qi，ris为可数可加测度。那么，检查假设可能会更容易。1在这个扩展框架中。然而，在这个框架中，我们也应该看到一些新的挑战：1。需要验证^S=Y1，*Y0，*由最小净加性测度（常规部分）的聚类点所诱导，仍将始终保持买卖价差；2.

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2022-5-8 00:46:53

另一方面，另一个新的难题是验证两个模型中的对偶优化器是相同的，这对于保证两个市场中的最优策略是至关重要的。这是非常重要的，因为人们可能认为两个双优化器的常规部分是相同的，但很难得出结论，即hQ0，*, 由于初级市场和影子市场中的单一部分可能不同，两个双重模型中的ETi也会重合。综上所述，尽管[23]中的框架扩展了无限的随机禀赋，但在没有假设的情况下，它打开了检查影子价格存在性的大门。1.仍然需要更多的技术支持。对偶理论和影子价格17我们现在准备展示下一个主要结果，它提供了一个与问题m（3.10）的对偶极小值相关的夹心上鞅函数的存在，因此c和D夹心影子价格过程得到了很好的定义。定理4.1固定（x，q）∈ K

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2022-5-8 00:46:57

在理论的所有假设下。1和假设下4。1，至少存在一对（y，r）∈ u（x，q）和优化因子φ*（x，q）=（φ0，*（x，q），φ1，*（x，q））对于原始效用最大化问题（3.3），我们有0，*（y，r）φ0，*（x，q）+Y1，*（y，r）φ1，*（x，q）=Y0，*（y，r）（x+φ1，*（x，q）·^S），（4.13）式中^S=（^Sp，^S）=Y1，*,p（y，r）Y0，*,p（y，r），Y1，*（y，r）Y0，*（y，r）和（φ1，*（x，q）·^S）t，Ztφ1，*,cu（x，q）d^Su+X0≤u<t△φ1,*u（x，q）（^St）-^Spu）+X0<u≤T△+φ1,*u（x，q）（^St）-^Su）。（4.14）它遵循{dφ1，*,c（x，q）>0} {^S=S}，{dφ1，*,c（x，q）<0} {^S=（1）- λ） S}{△φ1,*（x，q）>0} {^Sp=S-}, {△φ1,*（x，q）<0} {^Sp=（1）- λ） S-},{△+φ1,*（x，q）>0} {^S=S}{△+φ1,*（x，q）<0} {^S=（1）- λ） S}。（4.15）对于任何夹心超级马丁格尔价格，Y=（Yp，Y）与相关价格过程^S=（^Sp，^S）=Y1，pY0，p，YY, 以及任何可接受的交易策略∈ Ax，很容易验证清算值V（φ，φ）满足V（φ，φ）t=φt+（φt）+（1- λ）圣- （φt）-圣≤ x+Ztφ1，cud^Su+X0<u≤T△φu（^St）-^Spu）+X0≤u<t△+φu（^St）-^Su）=x+（φ·^S）t。由于（4.13）和（4.15），我们能够验证最优策略（φ0，*, φ1,*) 只有当夹心影子价格过程^S=（^Sp，^S）在买卖价差中处于最不利位置时才进行交易。为了验证s夹心影子价格过程的存在性，重要的是对18 E.Bayraktar和X.Yu基础价格过程的可接受投资组合给出一个新的定义。显然，（4.1）中Ax（^s）的定义通常过于宽泛，因为我们只能处理收入分配的被积函数过程。这个等式（4.13）给了我们一个关于夹层影子价格的自我融资投资组合定义的暗示。

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2022-5-8 00:47:00

让我们回顾一下，三明治影子价格概念背后的重要属性是，任何自我融资和可接受的投资组合交易都不能比优化器（φ0，*, φ1,*) 在定理3中给出。1对于交易成本为λ的价格过程。还有，策略（φ0，*, φ1,*) 在没有交易成本的情况下进行交易会带来与交易成本λ下的交易相同的预期效用价值。与[5]中可接受投资组合的定义类似，我们现在可以对夹层影子价格过程中的自我融资和可接受投资组合给出以下修改定义，以便与交易成本λ下可接受投资组合的定义相比较。定义4.6投资组合过程（φt，φt）0≤T≤如果（i）（φ，φ）是有限变化的可预测过程，则被称为夹层影子价格过程^S可接受。（ii）（φ，φ）是指在φt=x+Ztφud^Su的意义上，为^S进行自我融资而不产生交易成本- φt^St，0≤ T≤ T.（iii）通过v（φ，φ）T，φT+（φT）+（1）定义辅助清算价值过程- λ）圣- （φt）-St.存在一个大于0的常数，对于每个∈ S、存在一个最大元素Xmax，~S∈ X（~S，a）和V（φ，φ）τ≥ -Xmax，~Sτ表示所有[0，T]值的停止时间τ。表示Ax（^S）从初始位置（φ，φ）=（x，0）开始的三明治影子价格过程^S的所有可接受投资组合过程的集合。

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2022-5-8 00:47:04

此外，表示Vx（^S）可接受的投资组合Vx（^S）生成的所有财富过程的终值集，XT:XT=φT+φT^ST=x+ZTφud^Su，（φ，φ）∈ 斧头（^S）.与通常意义上的s hadow价格过程类似，给定相同的随机禀赋E和初始s静态位置q∈ R、让我们考虑原始赛斯（x，q；^S），{XT:XT+qET≥ 0，XT∈ Vx（^S）}（x，q）∈ K（^S），其中我们定义了K（^S），int{（x，q）∈ R:H（x，q；^S）6=}.下一个定理是关于三明治影子过程的存在性。对偶理论与影子价格定理4.2 Fix（x，q）∈ K.在所有理论假设下4。1，让（y，r）∈ u（x，q）满足假设4.1，设（Y0，*（y，r），Y1，*（y，r）是问题（3.10）的双重优化器。考虑任意X（φ，φ）T∈ H（x，q；^S）对于^S=（^Sp，^S）定义的夹层影子价格过程=Y1，*,p（y，r）Y0，*,p（y，r），Y1，*（y，r）Y0，*（y，r）.我们有（X（φ，φ）T+qET）i≤ EU（x+ZTφ1，*ud^Su+qET）=EhU（φ0，*T+φ1，*T^ST+qET）i=EhU（V（φ0，*, φ1,*)T+qET）i，其中（φ0，*（x，q），φ1，*（x，q））是原始效用最大化问题（3.3）的最优解。与[5]中的命题3.7和[7]中的定理3.1相比，rando m捐赠下的影子价格过程的存在变得更加微妙，并且通常会失效。在我们的框架中，要求双优化器（Y0，*（y，r），Y1，*（y，r））满足Y0，*（y，r）是鞅，Y1，*（y，r）是局部鞅。实际上，首先，我们需要要求经典影子价格过程承认NFLVR条件，以便在影子价格市场中获得对偶理论。

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2022-5-8 00:47:07

其次，为了检查双优化器Y0，*（y，r）在影子价格市场的对偶空间y（y，r；^S）中，为了在两个相应市场中比较效用价值函数，我们必须假设y0，*（y，r）∈ yM（ry） Y（Y，r），其中我们定义M（p）={Q∈ M:EQ[ET]=p}，p∈ P（x，q；U）和P（x，q；U）是所有基于边际效用的价格的集合。因此，假设存在一些（y，r）∈ u（x，q）使得ETF的套利价格*dP=yY0，*T（y，r）等于基于边际效用的价格，即EQ*下一个定理总结了在上面讨论的一些充分条件下，通常意义下影子价格的存在性。定理4.3固定（x，q）∈ K和q>0，考虑一些（y，r）∈ u（x，q）L.如果对偶极小值（Y0，*（y，r），Y1，*（y，r））对问题（3.10）的满意程度（Y0，*（y，r），Y1，*（y，r））∈ yB和Y0，*T（y，r）∈ 嗯雷. 由^S（y，r），Y1，*（y，r）Y0，*（y，r）是定义4中给出的经典影子价格过程。2对于效用最大化问题（3.3），主要结果的价格过程和交易成本λ。5 Pro of。本节包含所有主要定理的证明和前几节中的辅助结果。20 E.Bayraktar和X.Yu5。1命题证明2。1[27]中定理1.7的pro可以使用可接受的por-tfolios修改为我们的设置。假设（2.6）不适用于固定时间∈ S（λ，S），我们可能会发现λ>α>0，停止时间为0≤ τ ≤ T使P（A+）>0或P（A-) > 0，其中我们定义+，nφτ≥ 0, φτ+ φτ1 - λ1 - αSτ<-^Xmax，~Sτo，andA-,nφτ≤ 0, φτ+ φτ(1 - α） Sτ<-^Xmax，对于固定的∈ S（λ，S）和^Xmax，~S∈ X（~S，a），考虑任何Q∈ M（~S），^Xmax，~S是Q下的上鞅。因此，Q（^Xmax，~Sτ≥^Xmax，~ST）>0保持之前的停止时间τ。

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2022-5-8 00:47:10

还有，a s P~ Q、我们推断P（^Xmax，~Sτ≥^Xmax，~ST）>0。让我们定义两个辅助集合B+，{^Xmax，~Sτ≥^Xmax，~ST}∩ A+，和B-, {^Xmax，~Sτ≥^Xmax，~ST}∩ A.-.很明显，P（B+）>0或P（B-) > 0.选择0<λ′<α，并考虑一个λ′-CPS，其中‘’S取值于表[（1）中- λ′）S，S]和Q∈ M（\'S；λ′），其中我们将M（\'S；λ′）表示为所有Q的集合，使得（Q，\'S）是λ′-CPS。这很容易检查（1）-α） \'S和1-λ1-排列中的α′Sstays[（1）- λ） S，S]，对于任何Q都是如此∈ M（\'S；λ′）（Q，（1）-α）和（Q，1）-λ1-α′S）都是λ-CPS。更重要的是，这与命题有关。在[26]中，我们推导出φt+φt（1- α） \'支架φt+φt1-λ1-α-St，0≤ T≤ 都是局部可选的强Q-超马尔可夫。由于（φ，φ）是一个可接受的投资组合，因此存在一个常数a>0和‘’S∈ S（λ′，S） S、存在一个最大值∈ X（`S，a）作为下限。接下来是0≤ V（φ，φ）τ+Xmax，\'Sτ≤ φτ+ φτ(1 - α） \'Sτ+Xmax，\'Sτ，对于任何[0，T]值的停止时间τ。eφt+φt（1）- α） \'St+Xmax\'仍然是任意Q的可选强力Q-supermartingale∈ M（`S；λ′）。考虑subsetm′（\'S；λ′），{Q∈ M（\'S；λ′）：Xmax，是Q}下的UI鞅。对于任何固定的Q∈ M′（\'S；λ′），as\'S≥ (1 - α） S，我们得到等式[V（φ，φ）T | B-] ≤ 等式[φT+φT（1- α） \'ST+Xmax，\'ST|B-] - 等式[Xmax，\'ST|B-]≤ 等式[φτ+φτ（1- α） \'Sτ+Xmax，\'Sτ| B-] - 等式[Xmax，\'Sτ| B-]= 等式[φτ+φτ（1- α） \'Sτ| B-] ≤ 等式[φτ+φτ（1- α） Sτ| B-]对偶理论与影子价格[-^Xmax，~Sτ| B-] ≤ 情商[-^Xmax，ST|B-].类似地，对于相同的下界Xmax，我们有φt+φt1-λ1-α\'St+Xmax，\'sti是任意Q的可选强Q-超鞅∈M（`S；λ′）。

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2022-5-8 00:47:14

同样，选择一个问题∈ M′（\'S；λ′），我们有eq[V（φ，φ）T|B+]≤ EQhφT+φT1- λ1 - α\'ST+Xmax，\'STB+i- 等式[Xmax，\'ST|B+]≤ 方程hφτ+φτ1- λ1 - α\'Sτ+Xmax，\'SτB+i- 等式[Xmax，\'Sτ| B+]=EQhφτ+φτ1- λ1 - α′SτB+i≤ 方程hφτ+φτ1- λ1 - αSτB+i<EQ[-^Xmax，~Sτ| B+]≤ 情商[-^Xmax，|ST | B+]。当P（B+）>0或P（B+）时-) > 我们得到了与V（φ，φ）T的矛盾≥-^Xmax，STP-a.s.，我们的结论成立。5.2理论证明3。1以下命题在建立定理3.1证明所需的两极结果中起着核心作用。命题5.1假设2。1、2.2和2.3暂停。家族（C（x，q））（x，q）∈坎德（D（y，r））（y，r）∈（3.4）和（3.9）中的定义具有以下性质：（i）对于任何（x，q）∈ K、集合C（x，q）包含一个严格正常数。非负函数g属于C（x，q）当且仅当ifE[gh]≤ xy+q·r，代表所有人（y，r）∈ L和h∈ D（y，r）。（5.1）（ii）对于任何（y，r）∈ 五十、集合D（y，r）包含一个严格正的随机变量。非负函数h属于D（y，r）当且仅当ifE[gh]≤ xy+q·r，适用于所有（x，q）∈ K和g∈ C（x，q）。（5.2）命题的支持。1是基于辅助引理的续集。引理5.1和下面的引理5.6为我们提供了一个超级套期保值结果。特别是，下面对集合C（x，q）的刻画给出了我们的对冲定理的一面。引理5.1如果（x，q）∈ K、对于任何g∈ C（x，q），我们有eq[g]≤ x+EQ[q·ET]，Q∈ M.（5.3）22 E.Bayraktar和X.YuProof适用于任何g∈ C（x，q），存在一个V∈ H（x，q）和g≤ VT+q·ET.因此，它足以证明EQ[VT+q·ET]≤ x+EQ[q·ET]，Q∈ M、这相当于表示eq[VT+q·ET]≤ x+EQ[q·ET]，Q∈ M（~S），~S∈ S.（5.4）根据可接受投资组合的定义，每个固定投资组合都存在一个常数a>0∈ S、存在一个最大元素Xmax，~S∈ X（~S，a）与Vτ+Xmax，~Sτ≥ 0表示所有[0，T]值的停止时间。

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