因此（5.4）适用于任何Q∈ M（~S）和任何~S∈ S、 它完成了证据。对于超级对冲结果的另一面，我们需要更细致的工作。固定一个常数^a>0，并定义A0，^aas所有对φ=（φ，φ）的集合∈ A和每个∈ S、 存在一个^Xmax，^S∈ X（~S，^a）使得V（φ）T+^Xmax，~ST≥ 我们打算证明s et A0，^aare中的元素以概率为界。事实上，A0中元素的任何凸组合，^aarealso的概率有界。对于A0，^aby中的任何序列，通过传递到凸组合，这是获得几乎确定的共收敛结果的第一步。引理5.2假设S和0<λ<1满足前面的假设，并假设（CP Sλ′）在局部意义上满足某些0<λ′<λ。对于^a>0，我们可以找到一个概率度量Q~ 存在常数C>0和C>0，这样对于所有（φ，φ）∈ A0，^a，我们有eqhkφkTi≤ C^a，（5.10）andEQhkφkTi≤ C^a，（5.11），其中kφk表示φ的总变化。证明0<λ′<λ如上所述。共谋者∈ S（λ′，S）使得∈ [(1 -λ′）St，St]和（~St）0≤T≤这是所有Q的局部Q鞅∈ M（~S；λ′）。因为引理的断言是局部类型的，我们可以通过选择停止来假设S是真鞅。我们也可以假设φT=0，因此stock中的头寸在时间T被清算。假设（φ，φ）是交易成本λ和（φ，φ）=（0，0）下的n个可接受投资组合。通过φ′t=（（φ）′t，（φ）′t）定义新工艺φ′=（（φ）′，（φ）′t）=φt+λ- λ′1 - λφ0,↑t、 φt, 0≤ T≤ T.由于[26]中引理3.1的证明，（（φ）′，（φ）′）是交易成本λ′下的自我融资过程。由于（φ，φ）在交易成本λ下是可接受的，并且对于任何λ′<λ的情况，很明显S（λ′，S） 根据24 E.Bayraktar和X.Yu的观点，存在一个常数a>0，并且对于每个S∈ S（λ′，S），存在aXmax，~S∈ 使V（φ）τ≥ -Xmax，~Sτa.S。

此外，很容易看出Vτ（φ′）≥ Vτ（φ）由φ′的定义。因此，在交易成本λ′较小的情况下，我们得到φ′=（（φ）′，（φ）′）是一个可接受的投资组合。根据[26]的命题1.6，我们看到V（φ′）t≤~V（φ′）twhere~V（φ′）t，（φ）′t+（φ）′t~S，~S∈ S（λ′，S）和∧V（φ′）是在所有Q条件下的局部光学强超马氏体∈ M（~S；λ′）。对于每个固定的∈ S（λ′，S），根据可接受投资组合的定义，存在常数a和最大元素Xmax，~S∈ 使V（φ′）t≥ - 因此，我们得到V（φ′）t+Xmax，~St≥ 0是可选的强上鞅。对于这个函数，考虑setM′（~S；λ′）{Q∈ M（~S；λ′）：Xmax，是Q}下的UI鞅。每个Q∈ M′（~S；λ′），我们得到EQ[（φ）′T+（φ）′T~ST]=EQ[（φ）′T+（φ）′T~ST+Xmax，~ST]- 等式[Xmax，~ST]≤0+a- a=0。通过（φ）′和（φ）′的定义，我们推导出eq[φT+φTST]+λ- λ′1 - λEQ[φ0，↑[T]≤ 0.因为φT+φTST≥ V（φ）Tand~S∈ S、 通过定义，存在一个常数^a>0和^Xmax，即V（φ）T≥ -^Xmax，ST.我们得到等式[φ0，↑[T]≤1.- λλ- λ′EQ[^Xmax，~ST]≤(1 - λ） ^aλ- λ′, Q∈ M′（~S；λ′）作为^Xmax，是Q下的上鞅∈ M′（~S；λ′）。因为对于任意Q，关于L的范数拓扑，集合M′（~S；λ′）在M（~S；λ′）w中是稠密的∈M（~S；λ′），法图引理引出q[φ0，↑[T]≤1.- λλ - λ′^a.对于每个∈ S（λ′），φT=φT+φT)S≥ -^Xmax，通过前面的参数和φT=0。因此，可以得出φ0，↓T≤ φ0,↑T+^Xmax，对于每个Q∈ 当Xmax是Q下的一个上鞅时，我们可以推导出等式[φ0，↑T+φ0，↓[T]≤ 21- λλ - λ′^a+^a，完成了（5.10）的证明。关于（5.11），我们可以遵循[26]中引理3.1的证明。首先，我们有dφ1，↑T≤dφ0，↓tSt。（5.12）AsS是Q-局部超鞅，因此它是Q的Q-S超鞅∈ M（~S；λ′）。

很容易看出inf0≤T≤TSt（ω）是Q-a.s.严格正的St>0，Q-a.s。。因此，inf0≤T≤T~St（ω）也是P-a.s。我们可以得出，对于任何>0的情况，都存在δ>0，使得Phinf0≤T≤TSt<δi<。（5.13）结合（5.10），（5.12）和（5.13），推导出一个控制方程[φ1，↑[T]≤ k^a对于某些k>0的情况。最后，我们回忆起φT=0，这意味着φ1，↑T=φ1，↓因此（5.11）成立。现在，我们需要验证setUx（分别为Vx）的封闭性，以获得超级套期保值结果。特别是，考虑x=0的情况是不够的。适用于可接受的投资组合流程定义2。2、Fatou clos是一个合适的概念，见附录5。第5页，共[15]。如[26]中所述，一个序列（φnT）∞n=1in L（R）Fatou收敛于φT∈L（R）如果有M>0这样的that V（φ0，n，φ1，n）t≥ -M和φntsa。s、 对于φT，如果集合在Fatou收敛下是闭合的，则它是Fatou闭的。由于我们可接受投资组合的随机下限，必须使用以下替代定义修改viousFatou之前的封闭性。定义5.1为每个^S修正一些^a>0∈ S、 我们选择并固定一个最大元素^Xmax∈ X（~S，^a）。如果对于任何序列（φ0，nT，φ1，nT），则称集合U（resp.V）是相对封闭的∈ Uwhich satifies V（φn）T≥-^Xmax，ST，S∈ S（分别为φ0，nT≥ -^Xmax，ST，S∈ S） 并收敛到（φT，φT）∈L（R）（分别为φT）∈ 几乎可以肯定，我们有（φT，φT）∈ U（分别为φT∈ 五） 。备注5.1在二维环境中，让我们通过（φ，φ）引入L（R）的偏序 （ψ，ψ）如果V（φ）-ψ, φ-ψ） T≥ 0，a.s。。

因此，在上述定义中，我们也可以说（φ0，n，φ1，n）相对收敛于（φ，φ），如果存在一个常数^a>0 s，那么对于每个s∈ S、 我们可以得到^Xmax，~S∈ （φ0，nT，φ1，nT） (-^Xmax，~ST，0）和（φ0，nT，φ1，nT）几乎肯定收敛到（φT，φT）。引理5.3修正S=（St）0≤T≤将0<λ<1与上述假设进行比较。1等一下。布景和瓦雷都相对封闭。验证固定值^a>0，且对于每个^S∈ S、 选择并fix^Xmax，~S∈ X（~S，^a）。考虑一个序列（φ0，nT，φ1，nT）∈ Usuch that V（φn）t≥ -^Xmax，KSTand（φ0，nT，φ1，nT）收敛到某个（φT，φT）∈ L（R）。多亏了命题2。1，我们可以推导出，对于任何[0，T]值的映射时间τ，V（φn）τ≥26 E.Bayraktar和X.Yu-^Xmax，~Sτ。正则分解这些过程φ0，nT=φ0，n，↑T- φ0，n，↓Tandφ1，nT=φ1，n，↑T- φ1，n，↓T.多亏了引理5.2，[26]中定理3.4的证明可以在我们的环境中逐字进行，我们可以找到一个可预测的递增过程φ0，↑= (φ0,↑t） 0≤T≤t序列eφ0，n，↑t收敛到φ0，↑t对于所有0≤ T≤ T类似的结果适用于φ0，↓, φ1,↑φ1，↓. 这些过程都是可预测的、递增的，并且满足条件（2.1）。定义过程（φt，φt）0≤T≤Tbyφt=φ0，↑T- φ0,↓tandφt=φ1，↑T- φ1,↓t、 这个过程是一个可预测的、自我融资的投资组合过程。此外，对于每个∈ S、 as V（φn）τ≥ -对于所有[0，T]值的停止时间τ，我们得到V（φ）τ≥ -^Xmax，~Sτ作为f（φn）的收敛性∞n=1为所有t提供位置∈ [0，T]。我们可以得出结论，（φ，φ）是一个可接受的投资组合，即（φ，φ）∈ U、 因此，相对而言，法头是封闭的。

Vfollows的证明也有同样的论点。在封闭性属性之后，我们需要继续刻画二维随机变量的辅助集W（x；λ，S）（简称W（x）），以获得超级套期保值结果，其中我们定义了新的（x）={（W，W）：W=φT+ess inf∈SXmax，~ST，W=φT，用于（φT，φT）∈ UX及其相应的阈值Xmax，定义可接受的投资组合}。此外，我们还可以使用辅助集W∞（x） 有界随机变量s作为集合W（x）中的元素，在W∞（x） =W（x）∩ L∞.定义5.2表示所有对的集合ZT=（ZT，ZT）∈ L+（R；FT）使得E[ZT]=1和E[WZT+WZT]≤ x+Ehess infS∈SXmax，~STZTi，（5.14）适用于所有（W，W）∈ W∞（x） 。每个（ZT，ZT）∈通过设置ZiT=E[ZiT | Ft]、i=0、1、~St=ZtZt和dqdp=ZT，可以用一对（Q，~S）来识别Z。然而，这里的测度Q仅对P是绝对连续的。下面的引理建立了“zan”和λ-CPS定义之间的关系，并表明集合“Z”实际上独立于随机禀赋Q·ET的选择。引理5.4假设≤ K表示某些常数K表示所有0≤ T≤ T每个Z∈\'Z，定义鞅Z=（Zt，Zt）0≤T≤TbyZit，E[ZiT | Ft]，i=0,1,0≤ T≤ T.对偶理论和影子价格27我们将得到St，zt∈ [(1 - λ） St，St]，0≤ T≤ T、 反过来，假设Z=（Zt，Zt）0≤T≤这是一个R+值的P-鞅，使得Z=1和∧St=zt取[（1）中的值- λ） St，St]a.s.{Zt>0}。然后是ZT=（ZT，ZT）∈\'Z.选择任何ZT∈假设存在一个[0，T]值的停止时间τ，使得Q（~Sτ>Sτ）>0。

让我们考虑一下str ategyat=- 1，Sτ{Sτ>Sτ}Kτ，tk（T），0≤ T≤ T、 （5.15）正是因为at=（φT，φT）∈ Uis是t的一种自我融资策略∈ [0，T]。此外，很明显，对于每个∈ S、 我们可以选择Xmax，~S≡ 1如W=φT+Xmax，~S=φT+1∈ L∞W=φT∈ L∞这样和（W，W）∈ W∞(0). 利用S是鞅的fac t，我们可以按照[26]中4.2的前置式推导出一个矛盾。也就是说，我们计算出ATEP[WZT+WZT]=EP-ZT+ZTSτ{Sτ>Sτ}+ 1=EPEP-ZT+ZTSτ{Sτ>Sτ}Fτ+ 1=EP“Zτ-1+SτSτ！{Sτ>Sτ}#+1=EQ“-1+SτSτ！{Sτ>Sτ}#+1>1，这与（5.14）相矛盾。如果Q（~ST>ST）>0，我们可以考虑投资组合过程=- 1号街{ST>ST}JT并推导出一个类似的矛盾，因此≤ 所有0≤ T≤ T如[26]中命题4.2的证明所示，策略bT=（（1- λ） Sτ，-1） 1{Sτ<（1）-λ） Sτ}Kτ，tk（T），0≤ T≤ T、 和b′T=（（1）- λ） 圣，-1） 1{ST<（1）-λ） ST}JT K（t），0≤ T≤ 美化英国电信∈ U（分别为b\'T∈ U） 。注意V（b）t≥ -K（resp.V（b′）t≥ -K） 对于t∈ [0，T]，选择Xmax，~S=K表示所有~S就足够了∈ S.通过选择W=φT+K∈ L∞W=φT∈ L∞, 我们明白了（W，W）∈ W∞(0).根据前面的证明，我们可以证明≥ (1 - λ） ST0≤ T≤ T使用上述组合结构（bt）0≤T≤Tand（b′t）0≤T≤T.对于其他方向，对于任何（W，W）∈ W∞（0），我们有WZT+WZT=（φT+ess-inf~S）∈SXmax，~ST）ZT+φTZT28 E.Bayraktar和X.Yu=（φT+φT~S*T+ess-inf-S∈SXmax，~ST）ZT，其中（Q*,~S*) 是由（ZT，ZT）诱导的对。定义随机变量E=ess inf∈SXmax，~ST）ZT。就这样WZT+WZT≤ 情商*hφT+φTS*T+Xmax，~S*钛-情商*hXmax，~S*Ti+EQ*[E] 。（5.16）拆分上述积分是安全的，因为W∈ L∞, W∈ L∞以及两者的最大值*T≥ 0和E≥ 0 P-a.s.和Q*-a、 s。。因此，期望*hφT+φTS*T+Xmax，~S*这是很明确的。

我们可以简单地模仿引理5的证明。1并获得（5.14）的有效性，从而完成（ZT，ZT）∈\'\'Z.我们现在从辅助集合W传递∞（0）对于集合W（x）和特征，集合W（x）仍然使用相同的对偶集合Z。引理5.5假设≤ 对于某些常数K>0，0≤ T≤ T我们可以用集合Z byW（x）=n（W，W）来刻画集合W（x）∈ LC（R）：E[WZT+WZT]≤ x+E[ess infS∈SXmax，~STZT]，ZT∈“Zo，（5.17）其中（a，b）∈ LC（R）满意度（a、b） (0, 0).二维环境下的证明，在Remark5中定义了偏序。1，对于任何常数κ>0，很容易验证W的交点∞（0）带球{ξ：kξk∞≤ κ} 概率是封闭的。[15]中的提案5.5.1给出了∞（0）很弱*闭合（即，在σ（L）中闭合d∞, 五十） ）。如理论5所示。[15]中的5.3，我们有以下特征：∞（0）=n（W，W）∈ L∞C（R）：E[WZT+WZT]≤ E[ess infS∈SXmax，~STZT]，Z∈ （U）∞)oo、 As W∞（0）包含负正品-L∞（R） ，其极性（W∞(0))o因此，定义为（W∞(0))o=n（ZT，ZT）∈ L（R）：E[WZT+WZT]≤ E[ess infS∈SXmax，~STZT]，（W，W）∈ W∞（0）o.根据定义5。2和引理5.4，很明显，\'Z=（W∞(0))o, 因此，我们得到了∞（0）=n（W，W）∈ L∞C（R）：E[WZT+WZT]≤ E[ess infS∈SXmax，~STZT]，对偶理论和影子价格29Z∈“佐。（5.18）然后，我们声称∞（0）在W（0）中相对密集。也就是说，让我们考虑任何（φT，φT）∈ 在^a>0的情况下，对于each~S∈ S、 这是一个^Xmax，^S∈ X（~S，^a）使得V（φ，φ）T+^Xmax，~ST≥ 我们需要证明存在一个序列（W0，n，W1，n）∈ W∞（0）使（W0，n，W1，nT）→（W，W）a.s.定义setEn，n|VT（φ，φ）+ess inf∈S^Xmax，~ST|≤ n、 |φT |≤ 否，（5.19），表示集合En的补码。通过φ0，nT，φ10定义序列（φ0，nT，φ1，nT）- ess inf-S∈S^Xmax，~STEcn，φ1，nT，φ10。为了0≤ t<t，让我们选择φ0，nt=φ和φ1，nt=φt。

因此，（φ0，nt，φ1，nt）是一个自我融资的投资组合。事实上，检查终端时间T是不够的。如果埃肯出现，我们通过清算结束头寸。然后，我们确定了序列W0，n，φ0，nT+ess inf∈S^Xmax、~ST、W、φ1、nT和W、φT+ess inf ~S∈S^Xmax，~ST，W，φT，Wi，n→ Wia。s、 for i=0，1 as（φ0，nT+ess-inf-s）∈S^Xmax，ST，φ1，nT）→（φT+ess-inf-S）∈S^Xmax，~ST，φT）a.S.此外，定义如下（φ0，nT，φ1，nT） (-^Xmax，ST，0）为wehaveV（φ0，n，φ1，n）T+^Xmax，ST≥ V（φ，φ）10-^Xmax，~STEcn+^Xmax，~ST=V（φ，φ）十+^Xmax，~STEn=V（φ，φ）T+^Xmax，~STEN≥ 因此，（W0，n，W1，n） （0，0）对于每一个n。此外，我们还有v（φ0，n，φ1，n）T+ess inf~S∈S^Xmax，ST=V（φ，φ）T+ess-inf-S∈S^Xmax，STEN∈ L∞.它得到（W0，n，W1，n）∈ L∞C（R），这意味着索赔成立。通过使用（5.18）和W∞（x） 在W（x）中是相对法图密集的，根据Lemma5之前的所有结果，很容易验证（5.17）、E.Bayraktar和x.Yuma中的特征。2对于引理5.5，我们最终可以为可接受的投资组合s构建超级套期保值定理的另一面。proo f在很大程度上依赖于引理5.5中的特征（5.17）。假设价格过程在引理5中一致有界。5.在这里，使用本地化序列的技巧是必要的。引理5.6修正一些x∈ R.设g是一个R值、FT可测量的随机变量，这样就存在一个常数a>0，并且对于每个S∈ S（λ），存在一个Xmax，~S∈ X（~S，a）带g+Xmax，~ST≥ 0.如果对于每个λ-CPS（Q，~S），即对于所有Q∈ M、 我们有eq[g]≤ x、 （5.20）然后存在一对（φ，φ）∈ 使得（φ，φ）=（x，0）和（φT，φT）=（g，0）。证明S是局部有界的，让我们考虑局部化序列（τn）n∈看看那个圣徒∧τn≤ K（n）。

定义=g、 关于{τn=T}，essinfQ∈M（λ，S）等式- 埃辛∈S（λ）Xmax，STFτn, 关于{τn<T}。很明显（gn）∞n=1是Fτn-可测的，且Gn收敛到g，P-a.s。。设0<λn<λ是一个增加到λ的实数序列。对于每个固定的n∈ N、 我们考虑交易成本为λN的停止过程SτN。很容易检查，对于0<λ′<1，S的任何停止的λ′-CPS（Q，~SτN）也是SτN的λ′-CPS。此外，根据[26]中的命题6.1，对于任何停止的λ′-CPS（Q，~SτN），我们得到的是真正的Q鞅而不是Q-局部鞅。因此，对于任何0<λ′<1，停止的进程τnadmits aλ′-CPS（Q，~S），使得~S是Q-鞅。根据[26]中orem 1.4的证明，对于每一个固定的n，我们只考虑λn-CPS（Q，~S），以便~S在排列中取值[（1-λn）Sτn，Sτn]和∧S是真Q-鞅。设（Z，Z）表示关于停止价格过程Sτn的λn-CPS（Q，~S）的关联鞅。我们将为原始价格过程S构造一个λ-CPS（\'Z，\'Z）。Fix0<λ′<λ-λn.假设2。1给出了λ′-CPS（^Z，^Z）的存在性，其中^Zis是鞅，^Zis是局部鞅。让我们定义“Zt=（Zt，0≤ T≤ τn，^ZtZτn^Zτn，τn≤ T≤ T、 还有“Zt=（（1- λ′）Zt，0≤ T≤ τn，（1）- λ′）^ZtZτn^Zτn，τn≤ T≤ T.很明显，\'Z（resp.\'Z）是P下的正鞅（resp.local martingale），d\'QdP=\'zt定义了F上的一个概率测度，它是e等价性理论和影子价格31p。此外，对于0≤ T≤ τn，我们在spre ad[（1）中有\'Zt\'Zt停留- λn）（1-λ′）St，（1）- λ′）St]。另一方面，对于τn≤ T≤ T，我们可以验证“Zt”Zt位于[（1- λn）（1- λ′）St，（1）- λ′）St]。因此，\'Z\'Z在[（1）中取值- λ） S，S]。我们首先声明E\'Q[gn]≤ E\'Q[g]。（5.21）为了了解这一点，让我们表示f，- 埃辛∈S（λ）Xmax，ST.

作为“Q”∈ M（λ，S），它遵循E\'Q[gn]=E\'Q[g1{τn=T}]+E\'Q[gn{τn<T}]≤ E\'Q[g1{τn=T}]+E\'Q[E\'Q[f|fτn]1{τn<T}]=E\'Q[g1{τn=T}]+E\'Q[f1{τn<T}]。回想一下g≥ f、 P-a.s.，因此g1{τn<T}≥ f1{τn<T}，P-a.s。。因此g1{τn<T}≥ f1{τn<T}，\'Q-a.s.因为e\'Q~ P.我们推导出e\'Q[f1{τn<T}]≤ E\'Q[g1{τn<T}]，这意味着（5.21）成立。通过（5.20），（5.21）和gnis Fτn-可测量的事实，我们可以得出eq[gn]=E¨Q[gn]≤ E\'Q[g]≤ x、 （5.22）对于每个固定n∈ N、 考虑一对（φ0，nT，φ1，nT）/∈ Ux（λn，Sτn），其中我们将停止过程Sτ视为具有交易成本λnsuchφi，nt=φi，nτnτn的隐藏价格过程≤ T≤ T通过对集合W（x；λn，Sτn）的定义和W（x；λn，Sτn）的表征（5.17），对于任意常数an>0和任意最大值，~Sn∈ 具有特性（φ0，nT，φ1，nT）的X（~Sn，an）(-我们有E[W0，nZ0，nT+W1，nZ1，nT]，E[（φ0，nT+ess-inf~Sn∈SeXmax，SnT）Z0，nT+φ1，nTZ1，nT]>x+E[ess inf-Sn∈对于某些（Z0，nT，Z1，nT）∈\'Z（λn，Sτn）。特别是，我们可以选择一些最大元素sexmax，~Snt≡ 安福≤ T≤ T，因此ess infSn∈SeXmax，~SnT≤ anis可积。因此，φ0，nT+φ1，nTZ1，nTZ0，nTis qn可积分，其中dqndp=Z0，nT。我们可以得到方程qn“φ0，nT+φ1，nTZ1，nTZ0，nT#>x。在qn仅对P绝对连续，但不等价于P的情况下，上述论点断言，S的任何λn-CPS都是Sτn的λn-CPS。因此，存在一些（\'ZT，\'ZT）∈\'Z（λn，Sτn）使得\'ZT>032 E.Bayraktar和X.Yua。s、 对于0<β<1的充分匹配，定义^Zn=β^ZT+（1- β） ZnT。我们得到了^Z0，nT>0 a.s.定义^Snt=^Z1，nT^Z0，nT和d^QndP=^Z0，nT。我们有（^Qn，^Sn）是λn-CPS，还有E^Qn[φ0，nT+φ1，nT^SnT]>x，这不能满足（5.22）。

因此，我们得到如果（5.22）成立，则存在一对（φ0，nT，φ1，nT）∈ Ux（λn，Sτn）使得（φ0，n，φ1，n）=（x，0）和（φ0，nT，φ1，nT）=（φ0，nτn，φ1，nτn）=（gn，0）。通过限制n→ ∞ 以及（φ0，n，φ1，n）的凸组合，类似于引理5的证明。3，我们可以得出（φ，φ）∈ Ux（λ，S），完成了证明。证明命题。1，我们仍然需要引理5.7到引理5.10的辅助结果，如下所示。引理5.7在假设下。1，2.2和2.3，我们有`K={（x，q）∈R1+N:H（x，q）6=}, 式中，K是R1+N中集合K的闭包。证明固定任意（x，q）∈K，让（xn，qn）n≥1b是K中收敛到（x，q）的序列。我们需要验证H（x，q）6=. 选择一个序列eVnT∈ H（xn，qn），VnT=V（φ0，n，φ1，n）和（φ0，n，φ1，n）∈ Axn，n≥ 1.外稃。1给出了等式[V（φ0，n，φ1，n）T+qn·ET]≤ xn+EQ[qn·ET]，Q∈ M.（5.23）此外，xn→ x和qn→ q意味着存在有限常数k，比如xn<k（qn）i<k，1≤ 我≤ N，对N来说已经足够了。我们推断qn·ET≤ kPNi=1EiT。通过外稃2。2.由此得出，存在一个常数^a>0，并且对于每个^S∈ S（λ），存在^Xmax，~S∈ X（~S，^a）使得V（φ0，n，φ1，n）T+^Xmax，~ST≥ 0代表n largeenough。外稃5。2和引理A1。[8]中的1意味着我们可以找到φ0、n和φ1的收敛组合，n几乎肯定会分别收敛到随机变量φ和φt。此外，V（φ，φ）T+q·ET≥ 0 a.s.式中V（φ，φ）T=φT+（φT）+（1- λ） 圣- （φT）-因此，ST.Fatou引理和（5.23）意味着eq[V（φ，φ）T+q·ET]≤ 画→∞等式[V（φ0，n，φ1，n）T+qn·ET]≤ 画→∞xn+EQ[qn·ET]= x+EQ[q·ET]，Q∈ M.由此得出等式[V（φ，φ）T]≤ 十、Q∈ 勒玛先生。6保证存在可接受的投资组合（^φ，^φ）∈ ax使得V（φ，φ）T≥ V（φ，φ）T≥-q·ET。

因此，我们得到V（φ，φ）T∈ H（x，q）。对偶理论与向量p的影子价格∈ RN，我们定义了setM（p）={Q∈ M:EQ[ET]=p}（5.24）从其定义来看，p是L与超平面y的交点≡ 1.确定或有索赔的无套利价格集，引理5.8假设命题5.1的所有条件成立，并让p∈注册护士。集M（p）不是空的当且仅当p∈ P.特别是Sp∈PM（p）=M.假设下的证明2。2和2.3，引理5.8直接来自于[12]中的顶引理8，如果我们将[12]中的集合M′（p）、引理4、引理5和引理6替换为本文中的集合M（p）、引理5.1、引理5.6和引理5.7。引理5.9在命题5的假设下。1和p∈ P、 任意Q的密度过程∈ M（p）属于Y（1，p）。根据CPS的定义和[27]中的第2.3条，可以证明密度过程为Q∈ M属于（3.8）定义的Y（1）。结论由引理5.1和M（p）的定义得出。引理5.10在命题5的假设下。1，非负随机变量g属于C（x，q），其中（x，q）∈ K当且仅当ifEQ[g]≤ x+p·q，P∈ P和Q∈ M（p）。（5.25）证明假设g∈ C（x，q），引理5。1意味着不平等（5.25）。另一方面，考虑随机变量β，g- 这是从（5.25）开始的∈MEQ[β]=补充∈PsupQ∈M（p）EQ[β]=supp∈PsupQ∈M（p）（等式[g]- q·p）≤ x、 假设2。2和引理2.2意味着存在一个常数^a>0，对于每一个^S∈ S、 存在一个^Xmax，^S∈ X（~S，^a）和β≥ -^Xmax，ST.Lemma5。6保证存在φ=x，φ=0，V（φ，φ）T=φT的可接受投资组合≥ β. 因此我们得到了0≤ G≤ V（φ，φ）T+q·ET，这意味着V（φ，φ）T∈ H（x，q）和g属于C（x，q）。证明（命题证明5.1）我们首先证明断言（i）。假设（x，q）∈ K

我们发现一个常数δ>0，这样（x- δ、 q）∈ 自从K伊索彭。考虑VT=V（φ，φ）T∈ H（x）- δ、 很明显，ev，V（φ+δ，φ）在H（x，q）和δ中≤eVT+q·ETwhich表示δ∈ C（x，q）。设（x，q）∈ K.如果g∈ C（x，q），（5.1）在定义D（y，r），（y，r）时成立∈ L.另一方面，考虑一个非负随机变量，如E.Bayraktar和X.Yu（5.1）。因此，引理5.9给出了g满意度（5.25）。引理5.10则意味着g属于C（x，q）。很明显，对于任何k>0和（y，r），kD（y，r）=D（ky，kr）∈ L.因此，为了验证评估（ii），对于某些p，考虑（y，r）=（1，p）的情况就足够了∈ P.由于外稃。9.存在一个过程Yt=EhdQdPFTIQ∈ M（p），这使YT满意∈ D（1，p）和YT对于任何h>0 a.s∈ D（1，p），（5.2）由D（1，p）的定义决定。相反，考虑满足（5.2）的任何非负变量h。特别是，我们有EQ[gh]≤ 1.G∈ C（1,0）。因为（3.6）中定义了C（1，0）=VadM，[5]中的引理A.1断言存在一个可选的strong supermartingale（Y，Y）∈ Z（1）使得h≤ 嗯。让我们用Y来定义流程=Yt，t<t，h，t=t。它的结果是Y∈ Y（1，p）。因此我们得到h∈ D（1，p）。证明（理论证明3.1）一旦我们在命题5中建立了两极结果。1，定理3.1遵循了[12]中定理1和定理2的证明，如果我们将[20]中的一维对偶理论替换为[5]中的定理3.2，则会降低比例交易成本。5.3定理4.1的证明[10]附录I中的Theo rem 4，每一个可选强超鞅都与l`adl`ag过程无法区分。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设所有可选的强超鞅都是l`adl`ag。特别是，我们可以假设^S=Y1，*Y0，*是l\'adl\'ag。

修正（x，q）∈ K、 对于任何（y，r）∈ u（x，q），通过自融资条件和部分积分，我们推断出，*t（y，r）φ0，*t（x，q）+Y1，*t（y，r）φ1，*t（x，q）=Y0，*t（y，r）（φ0，*t（x，q）+φ1，*t（x，q）^St=Y0，*t（y，r）（x+（φ1，*·^S）t+Kt），其中（Kt）0≤T≤这是一个由KT，Zt（^Su）定义的非递增可预测过程- Su）dφ1，*,↑,cu（x，q）+Z（（1）- λ） 苏-^Su）dφ1，*,↓,cu（x，q）+X0<u≤t（^Spu）- 苏-)△φ1,*,↑u（x，q）+X0<u≤t（（1）- λ） 苏--^Spu）△φ1,*,↓u（x，q）+X0≤u<t（^Su）- （苏）△+φ1,*,↑u（x，q）+X0≤u<t（^Su）- (1 - λ） （苏）△+φ1,*,↓u（x，q）代表t∈ [0，T]。因此，证明（4.13）成立与证明（4.15）成立相等。根据假设4.1，对于某些（y，r）∈ 在B（1）中存在一个极小序列Zn（y，r），使得lim infn→∞E[Z0，nT（y，r）ET]=ry。通过定义对偶理论和影子价格35~Sn，Z1，n（y，r）Z0，n（y，r），我们可以看到，~Sn保持在买卖价差[（1- λ） S，S]和Sn∈ S在交易成本λ下。再次使用partsformula积分，我们得到φ0，*t（x，q）+φ1，*t（x，q）~Snt=φ0，*t（x，q）+Ztφ1，*u（x，q）d)Snu+Zt)Snudφ1，*,cu（x，q）+X0<u≤斯努-△φ1,*u（x，q）+X0≤u<t)Snu△+φ1,*u（x，q），所以我们可以写出φ0，*t（x，q）+φ1，*t（x，q）~Snt=x+Ztφ1，*u（x，q）d)Snu+Knt，其中Knt，Zt（)Snu- Su）dφ1，*,↑,cu（x，q）+Zt（1- λ） 苏-~Snu）dφ1，*,↓,cu（x，q）+X0<u≤t（~Snu）-- 苏-)△φ1,*,↑u（x，q）+X0<u≤t（（1）- λ） 苏--~Snu-)△φ1,*,↓u（x，q）+X0≤u<t（~Snu）- （苏）△+φ1,*,↑u（x，q）+X0≤u<t（（1）- λ） 苏-Snu）△+φ1,*,↓u（x，q）。这是一个不可预测的过程。φ1，*（x，q）是可预测的，且变化有限，从各部分的积分可以清楚地看出，Z0，n（y，r）（x+φ1，*（x，q）·Sn）是局部鞅。为了选择Sn∈ S、 根据可接受投资组合的定义，存在一个最大元素Xmax，~snx+Ztφ1，*u（x，q）dSnu+Xmax，Snt≥ V（φ0，*（x，q），φ1，*（x，q）t+Xmax，~Snt≥ 另外，表示被测量的qndp=Z0，nT（y，r），我们有Qn∈ M（~Sn）。

考虑子TM′（~Sn），{Q∈ M（~Sn）：Xmax，~sni是Q}下的UI鞅。存在一个序列（Qn，m）∞m=1in m′（~Sn）收敛到L的正规拓扑中的qin(Ohm, F、 P）。对于每个Qn，m∈ M′（~Sn），因此（x+φ1，*（x，q）.~Sn+Xmax，~Sn）是Qn，m下的真s超鞅。因此，我们可以导出eqn，mhx+ZTφ1，*u（x，q）dSnu+qETi=EQn，mhx+ZTφ1，*u（x，q）d)Snu+Xmax，)SnTi- EQn，m[Xmax，~SnT]+EQn，m[qET]≤x+EQn，m[qET].36 E.Bayraktar和x.Yuma紧跟着Lemma5的脚步。1，并以m的形式通过限制→ ∞, 我们得到了ehz0，nT（y，r）（x+ZTφ1，*u（x，q）dSnu+qET）i≤ x+E[Z0，nT（y，r）qET]。（5.26）通过Fato-u引理，lemma 4.1和（5.26），我们得到了thatxy+qr=E[Y0，*T（y，r）（φ0，*T（x，q）+qET）]≤ 林恩芬→∞E[yZ0，nT（y，r）（φ0，*T（x，q）+qET）]≤林恩芬→∞E[yZ0，nT（y，r）KnT]+xy+lim infn→∞E[yZ0，nT（y，r）qET]=lim infn→∞E[yZ0，nT（y，r）KnT]+xy+qr。因此，它认为Z0，nT（y，r）KnT在L（P）中作为KnT收敛到0≤ 我们可以模仿[5]中定理M3.5的证明，证明KNT收敛到toKTalmost，因此KT=0。当K=0且K是一个非递增过程时，（4.15）得到验证，因此（4.13）也成立。5.4理论证明4。2在定理4.1的所有假设下，对于某些（y，r）∈ u（x，q）在假设中4。1，设Zn（y，r）为满足（4.8）、（4.6）、（4.7）的最小序列。对于任意X（φ，φ）T∈ H（x，q；^S），利用夹层影子价格^S下可接受投资组合的定义4.6，我们推断φT+φTSnT+qET=φT+qET≥ V（φ，φ）T+qET≥ 0.式中Sn，Z1，n（y，r）Z0，n（y，r）∈ S在交易成本λ下。法图引理暗示着，*T（y，r）（x+ZTφud^Su+qET）i=E[Y0，*T（y，r）（φT+φT^ST+qET）]≤ 林恩芬→∞E[yZ0，nT（y，r）（φT+qET）]。（5.27）定义4。6给出了一些Xmax，~Sn的存在性∈ X（~Sn，a）对于某些常数a>0，使得φT+Xmax，~SnT≥ 0 .

根据类似的证据4。1以上，我们推断出→∞E[yZ0，nT（y，r）（φT+qET）]≤ xy+qr=E[Y0，*T（y，r）（φ0，*T（x，q）+qET）]。（5.28）芬切尔的不平等性意味着Ehu（x+ZTφud^Su+qET）个体理论和影子价格37≤EhU（Y0，*T（y，r））+Y0，*T（y，r）（x+ZTφud^Su+qET）i=E[~U（Y0，*T（y，r））+Y0，*T（y，r）（φT+φT^ST+qET）]≤E[~U（Y0，*T（y，r））+Y0，*T（y，r）（φ0，*T（x，q）+φ1，*T（x，q）^ST+qET）]使用（5.27）和（5.28）。因此，通过（3.11），我们可以验证e[U（X（φ，φ）T+qET）]=EhU（X+ZTφud^Su+qET）i≤E[~U（Y0，*T（y，r））+Y0，*T（y，r）（φ0，*T（x，q）+φ1，*T（x，q）^ST+qET）]=E[U（φ0，*T（x，q）+φ1，*T（x，q）^ST+qET）]=E[U（V（φ0，*（x，q），φ1，*（x，q）T+qET）]5.5理论证明4。3屋顶固定（x，q）∈ 让我们考虑一些（y，r）∈ u（x，q）。假设（Y0，*（y，r），Y1，*（y，r））∈ B（y）和Y0，*（y，r）∈ yM（ry）。过程（Y0，*,p（y，r），Y1，*,p（y，r））与w（Y0，*（y，r），Y1，*（y，r））和^S，Y1，*（y，r）Y0，*（y，r）∈S在交易成本下，而且x+Rtφ1，*u（x，q）d^Su=x+Rtφ1，*u（x，q）d^Su。我们声称Y0，*（y，r）∈ Y（Y，r；^S）。[5]中命题3.7的证明已经证明Y0，*（y，r）∈ Y（Y；^S），对于anyXT，这就足够验证了∈ H（x，q；^S）和（x，q）∈ K（^S），E[Y0，*T（y，r）（XT+qET）]≤ xy+qrAs X（φ，φ）T∈ Vx（^S）对于某些（φ，φ）∈ Ax（^S），我们得到xt=x+ZTφud^Su=x′T- XmaxT，其中X′，Xmax∈ X（~S）。考虑集合M′（^S），{Q∈ M（^S）：x轴是Q}下的一个UI-ma-rtingale。我们有（x+Rtφud^Su+Xmaxt）0≤T≤在每个Q下都是非负的上界∈ M′（^S）。类似于引理5的证明。1.我们可以选择一个与Q对应的序列，其中dqdp，yY0，*T（y，r）。以n的形式传递到极限→ ∞ 在假设下。2.它产生的结果是，*T（y，r）（x+ZTφud^Su+qET）i≤ xy+E[Y0，*T（y，r）qET]=xy+qr，作为Y0，*（y，r）∈ yM（ry）。因此，权利要求Y0，*（y，r）∈ Y（Y，r；^S）成立。修正（x，q）∈ K并考虑（y，r）∈ u（x，q）。

这很容易使用[U（Y0，*T（y，r））]+xy+qr=v（y，r）+xy+qr=u（x，q）≤ u（x，q；^S）38 E.Bayraktar和x.Yu≤v（y，r；^S）+xy+qr≤ E[~U（Y0，*T（y，r））]+xy+qry0，*T（y，r）∈ Y（Y，r）。因此，我们得到u（x，q）=u（x，q；^S）和（y，r）∈ u（x，q；^S）和Y0，*T（y，r）是（4.3）定义的v（y，r；^S）的最优解。因此，（φ0，*（x，q），φ1，*（x，q）是市场中效用最大化问题（4.1）的最优解，而^S是一个经典的影子价格过程。感谢E.Bayraktar获得了国家科学基金会DMS-1613170拨款和苏珊·M·史密斯教授职位的部分支持。十、 Yu获得了香港早期职业计划拨款25302116和香港理工大学创业基金拨款1-ZE5A的支持。参考文献1。Bayraktar，E.，Yu，X.：按比例交易成本下的市场生存能力。数学金融28（3），800–838（2018）2。Benedetti，G.，Campi，L.：具有比例交易成本和随机捐赠的多元效用最大化。暹罗控制与优化杂志50（3），1283–1308（2012）3。坎皮，L.，沙切迈耶，W.：卡巴诺夫交易成本模型中的超级复制定理。《金融与随机》10579–596（2006）4。Cvitani\'c，J.，Schachermayer，W.，Wang，H.：随机捐赠的不完全市场中的效用最大化。金融与随机5（2），259-272（2001）5。Czichowsky，C.，Schachermayer，W.：交易成本下投资组合优化的对偶理论。《应用概率年鉴》26（3），1888-1941（2016）6。C.Czichowsky，Schachermayer，W.：强超鞅和非负鞅的极限。《概率年鉴》44（1），171–205（2016）7。Czichowsky，C.，Schachermayer，W.，Yang，J.：连续过程的影子价格。数学金融27（3），623–658（2017）8。

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