具有可交换传染的系统性风险：在欧洲的应用

2022-5-7 11:06:36

具有可交换传染的系统性风险：在欧洲银行体系中的应用*Umb erto Cherubini+，Sabrina Mulinacici博洛尼亚大学-统计系摘要我们提出了一种模型和估计技术来区分系统性风险和信贷风险中的传染。主要的想法是假设，对于一组d债务人，一组d特质冲击和一个触发所有债务人违约的冲击。所有的冲击都被假定为由一个独立关系联系起来，在本文中，这个关系被假定为可交换的阿基米德关系。这种方法能够同时包含系统风险和传染，马歇尔-奥尔金纯系统风险模型和阿基米德传染模型是极端情况。此外，我们还表明，假设特殊性和系统性冲击的强度有一个有效的结构，并且有一个Gumbel copula，该方法提供了一个具有指数边际分布的完整多变量分布。模型el可以通过对二元边缘应用矩匹配程序来估计。我们还提供了一个简单的视觉检查模型的良好规格。该模型适用于8个欧洲国家的选定银行样本，假设每个国家都有一个共同的sho。发现该模型适用于8个国家中的4个。我们还提供了该模型对非交换酶的理论扩展，并提出了可能的研究途径。关键词：信用风险、系统风险、传染、Copula函数、Marshall Olkin分布、金融危机1简介本文的目的是在系统风险和传染之间划一条线，并设计一种方法来衡量传染和系统风险对依赖结构的相对贡献*作者要感谢Robin Treber提供的出色研究帮助。

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2022-5-7 11:06:39

我们还感谢参加北京高维依赖和Copula会议、Bozen依赖模型和风险研讨会以及博洛尼亚大学系统性风险和传染病会议的与会者提供了有用的意见。+通讯作者：翁贝托。cherubini@unibo.it.of一组信用风险敞口。系统性风险和传染的统计问题对经济政策至关重要。在一些问题中，例如污染监管或银行业，认识到系统性风险是一个独立于代理人的事件，或是一个由其中一个代理人触发的全系统性事件，这是一个主要的判别因素，可以决定影响是应向整个社区还是向个别代理人负责。这个问题涉及两个原因。第一个问题是，系统性风险因素没有被观察到，对于信用风险应用，我们只能从市场中提取边际生存概率，这一点已经在许多关于该主题的研究中得到了解决。第二个原因，即本文的主题，是这种依赖性是由系统性风险因素的存在来解释的，还是由系统中的某些传染性因素来解释的。为了明确问题，假设我们可以观察系统性风险因素，并且我们能够评估系统性危机的可能性。在这种情况下，自然会出现这样一个问题：系统性冲击是否独立于触发集合中每个组成部分违约的事件。在这种情况下，在实际增长中回答这个问题显然很容易，而且可以用通常的方法估计违约的特殊性和系统性触发者之间的依赖性，例如：。

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2022-5-7 11:06:43

使用连接词。然而，请注意，即使观察到系统性风险因素的依赖性，也会出现基于理论基础解释这些结果的问题，即它将如何影响系统中组件的观察到的依赖性结构。事实上，系统f因子的存在足以诱导系统各组成部分之间以及各组成部分与系统事件之间的依赖性。在其他情况下，即使系统性休克独立于特异性休克，这种依赖性也会出现。直观地说，如果特殊的违约驱动因素通过依赖关系与系统性风险触发相关联，那么系统中的依赖程度会更大。在本文中，我们提出了一个模型来以一种易于处理的方式表示这两种依赖源。我们模型的想法非常简单。给定一组d债务人，我们假设该系统受到一组d+1冲击，其中一个冲击对所有组成部分来说都是共同的，导致集群中所有债务人同时违约，而其他债务人则对每个组成部分的违约负责。进一步假设这些冲击的时间由维度为d+1的copula函数连接。我们很快就会看到，这个模型包含了纯系统性风险和纯传染两种极端情况。也就是说，对于sho-cks的d+1发生时间的productcopula，我们得到了具有二元Marshall-Olkin边际分布的amodel，代表了纯系统风险模型。当系统性休克的概率为零时，就会出现相反的情况，因此我们有一个与纯传染相对应的标准生存copula模型。

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2022-5-7 11:06:46

考虑到系统性危机的正概率，以及这种风险与特殊信贷驱动因素之间的依赖性，那么就可以考虑同时代表系统性风险和传染的设计模型。在这些模型中，将两者分开是一个相关的问题。在其最简单的版本中，我们的论文假设了信用风险驱动因素选择可交换copula的标准限制。这意味着假设每个特质因子与系统性风险因子和其他特质因子之间存在相同的依赖结构。我们还表明，进一步的限制改变了copula模型在一个多变量分布模型中的表现。如果模型似乎有局限性，从实际出发，我们提供了一种方法来验证假设是否得到了数据的证实。此外，在理论g回合中，我们还将为模型的非交换杠杆提供理论发展。计划如下。在回顾了相关文献之后，我们在第2节中对一系列发行人的信用风险模型进行了全面的概括和描述，讨论了它的主要性质以及在指数边际的多元分布中改变copula模型的限制。在第3节中，我们讨论了信用风险驱动因素的非交换依赖扩展的理论特征。最后，在第4节中，我们将说明我们在欧元区一系列国家的银行系统中的应用。在第5节中，我们报告了结论，并讨论了留给未来研究的主要问题。1.1相关文献我们的论文与大量有关系统性风险和传染的文献相关，尽管据我们所知，这是第一次尝试将两者分开。

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2022-5-7 11:06:49

撇开任何穷尽的希望不谈，我们可以根据模型的结构和使用的数据对主要贡献进行分类。关于所涉及的方法，第一类模型基于对金融资产价格的格兰杰因果关系和相关概念的应用（Billio et al.，2012）。第二组模型基于金融机构之间关系的网络代表（Diebold和Yilmaz，2011）。第三种方法基于应用于系统性风险和传染的风险度量理论。这类模型是基于在某些系统风险因素的极端情况下对预期损失的测量。这项技术与预期短缺相同，只是调节对系统变量的影响不同。这些指标被称为边际预期缺口、MES（Acharya etal.，2010）和CoVaR（Adrian和Brunnermeier，2011）。Cherubinian和Mulinaci（2014）给出了确保满足一致性要求的条件，并基于copula函数提出了此类措施的示例。关于实证分析中使用的数据类型，我们可以区分依赖于市场价格分析的应用程序和使用流动和资产负债表数据的应用程序。第一种选择使用股票价格（Billio at al.，2012）或波动性（Diebold and Yilmaz，2011）、债券和信用衍生品的信用利差（Baglioni and Cherubini，2013）。在这个选择中，重点是根据未来现金流和市场报价中隐含的违约概率来衡量系统性风险和传染的影响。第二种选择是利用金融中介机构之间的流动，重点是解释冲击通过金融中介系统传播的方式。

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2022-5-7 11:06:52

这里的分析集中在银行间市场（Bonaldi、Hortacsy和Kastl，2013年）或代表其他市场的几个层面（Ba r gigli等人，2013年），或其他关于杠杆率等Ba lancesheet指数的分析（Brownlees和Engle，2010年）。所有这些指标都被用来衡量系统中传染的强度。我们的论文使用从CDS及其依赖结构中提取的违约概率，以识别这种依赖在多大程度上是由于系统组件之间的关系造成的，如在基于网络的模型中，以及在多大程度上是由于系统风险模型中存在系统风险。此外，据我们所知，这是首次尝试在每个成分和系统性休克之间包含依赖结构b，尽管在这两种情况下是相同的依赖结构。2模型这里我们介绍模型的动机及其基本设置。其想法是，在一个由d组分组成的系统中，每个组分的寿命都可能因特殊或系统性冲击而结束，就像在标准的马歇尔-奥尔金环境中一样。与假设所有冲击都是独立的模型不同，这里的特质成分具有传染性。特质性违约可能是相关联的，它们也可能代表系统性休克的触发因素，导致整个系统的违约。严格地说，让我们(Ohm, F、 P）是一个概率空间，其d+1向量（X，X，…，Xd）的分量为[0+∞) 作为支持。Xd表示系统性休克的到达时间，（X，…，Xd）表示特异性休克的到达时间。我们假设联合生存依赖结构由一个严格的阿基米德copula表示，即¨F（x，x，…，xd）=ψψ-1（\'F（x））+·ψ-1（\'Fd）对于（x。

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2022-5-7 11:06:56

，xd）∈ [0, +∞)d+1，其中“Fi”（假定为连续且严格递减）是xindψ的边缘生存函数，是严格d+1维阿基米德copula的生成元。我们记得ψ是d+1-阿基米德copula的生成元，当且仅当ψ：[0+∞) → [0,1]是[0]上的d+1-单调+∞) 也就是说，它在（0+∞) 高达d级- 1，导数满足(-1） kψ（k）（x）≥ 0表示k=0，1，D- 1和x∈ (0, +∞)o (-1） d-1ψ（d）-1）在（0+∞).（参见McNeil和Neˇslehov\'a，2009，了解多维阿基米德连接函数的更多细节）。因为我们把自己限制在严格的情况下，所以我们假设所有x的ψ（x）>0∈ [0, +∞). 让我们定义τk=min{X，Xk}，k=1，d、这是标准的Marshall Olkin设置，其中唯一考虑的常见冲击是影响该设置中所有组件的冲击。当然，其他规格也是可能的，包括具有多个常见冲击的模型，影响选定的组件子集（请参见Durante、Hoffert和Scherer，2010）。观察到的违约时间τkre表示影响整个系统的普通（系统性）冲击和其异向冲击之间的首次竞争时间。然后，我们在冲击的到达时间中加入阿基米德式的依赖，以表示传染。随机向量τ=（τ，…，τd）的联合生存函数可以很容易地恢复¨fτ（t，…，td）=ψ-1（\'F（最大值1≤K≤d{tk}）+dXk=1ψ-1（\'Fk（tk））！（1）对于t，td∈ [0, +∞)d、而边际生存函数为¨Fτk（t）=ψψ-1（`F（t））+ψ-1（\'Fk（t））= ψ（H0，k（t）），t∈ [0, +∞)（2）式中H0，k（x）=ψ-1（`F（x））+ψ-1（`Fk（x））。也很容易提取观测到的命题2.1的copula函数。

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2022-5-7 11:07:00

def aultimesτ向量的生存copula^C为∈ [0,1]d，^C（u）=dXj=1ψ-1（uj）+dXk=1，k6=jDko ψ-1（英国）！式中Dk（x）=ψ-1.o“Fko H-10，k（x）andAj=U∈ [0,1]d:max1≤我≤d{H-10.我o ψ-1（ui）}=H-10，jo ψ-1（uj）按照惯例，如果u满足多个索引j的要求条件，则假定它属于具有smallestindex j证明的AJ。见附录6.2.1具有传染和指数边缘的多元分布在实际应用中，通常通过指数分布¨Fτk（x）=exp来表示和校准故障时间(-ukx），（4）其中ukD表示强度参数。我们现在讨论可以对模型施加哪些限制，以便将种群模型转换为具有指数边缘的多元分布。从所示的copula模型开始，构造这样的多变量分布将意味着一个数据生成过程：i）失真函数Dk（x）是线性的；ii）依赖项由甘贝尔连接词表示。2.1.1线性畸变关于函数ψ的可能假设-根据Muliere和Scarsini（1987）论文的精神，1（\'Fi（x）），它们都与相同的函数K（x）成比例：即ψ-1（`Fi（x））=λi>0时的λiK（x），对于i=0，1，d、这相当于Di（x）=（1-αi）x其中αi=λi+λ∈ [0,1）得到的copula与K无关。在ψ完全单调的更特殊情况下（即ψ是某些正随机变量的拉普拉斯变换），我们恢复了Li（2009）研究的Marshall-Olkin分布和copula模型（SMMO）的比例混合。

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2022-5-7 11:07:04

在Mai和Scherer（20 13）中研究了SMMO模型的可交换性，并将其应用于CDO的定价。2.1.2甘贝尔情况产量边际指数分布的进一步限制是考虑ψ是甘贝尔发生器的情况，即ψ（x）=e-xθ，θ≥ 1.现在，方程（1）、（2）和（3）的形式为‘Fτ（t，…，td）=exp-λKmax1≤我≤d{ti}+dXk=1λkK（tk）！θ\'Fτk（t）=exp-（λ+λk）θkθ（t）（5） ^C（u）=dXj=1exp-\"(- ln uj）θ+dXk=1，k6=j（1- αk）(- 在英国）θ#θAj（u）注意，在这种情况下，ψ是θ稳定分布随机变量的拉普拉斯变换，因此它代表了Li（2009）的SMMO模型。请注意，在（5）中设置K（t）=tθ会产生所需的指数边缘uK=（λ+λK）θ（6），其中ukis是等式（4）中的强度。2.2模型的属性从最一般的设置来看，我们模型的主要特征是增加默认时间之间的依赖程度，无论是关于不含任何系统风险因素的标准阿基米德copula，还是关于系统风险因素独立于其他因素的马歇尔-奥尔金copula。该模型的依赖结构既包括违约时间对系统性冲击的敏感性，也包括冲击之间的依赖性，用阿基米德连接函数表示。这两个元素相互作用以确定默认时间之间的依赖关系。在一般情况下，测量一对默认时间（τi，τk）相关性的肯德尔τi，k可以写成τj，k=τψ+4Z∞（ψ′（x））·T（x）dx，其中τψ表示与生成器ψ相对应的阿基米德-肯德尔τ，T（x）=ψ-1.o\'Foψ-1.o\'F+ψ-1.o\'Fj+ψ-1.o“Fk-1（x）在这里，我们让读者参考Mulinaci（2014）中的推导。

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2022-5-7 11:07:08

请注意，如果我们有兴趣表示系统性冲击和违约时间之间的依赖结构，我们得到了Kendall的ττj，对（τj，X）中的0是τj，0=τψ+4Z∞（ψ′（x））·ψ-1.o\'Foψ-1.o\'F+ψ-1.o“Fj-1（x）DX第一个术语只是分析中使用的阿基米德连接函数的肯德尔τ，而另一个更复杂的术语既涉及阿基米德连接函数的生成器，也涉及系统性和特异性冲击的相对相关性。在模型中由线性失真和Gumbel copula引起的多元分布中，这些关系大大简化。事实上，假设^Cj，k（u，v）是一般的边缘2-copula，^Cj，k（u，v）=expn-(- lnu）θ+（1）- αk）(- lnv）θθo{αjψ-1（u）≥αkψ-1（v）}++expn-(1 - αj）(- lnu）θ+(- lnv）θθo{αjψ-1（u）<αkψ-1（v）}由于这个连接函数族代表了Cap\'era\'a等人（2000）的阿基米德连接函数和Mulinaci（2014）的基于阿基米德的马歇尔-奥尔金连接函数的一个特定规范，其肯德尔的τ为τj，k=θ- 1θ+τMOj，kθ（7），其中τMOj，k=αjαkαj+αk- αjαkis是Marshall-Olkin copula中的Kendall\'s tau。现在，每个默认时间和系统性冲击时间之间的依赖关系是线性的τ0，j=θ- 1θ+αjθ（8）这种关系将用于我们的估计策略，以验证模型的规格。2.3估计策略在模型的估计中，我们假设观察到一组数据uk（ti），代表k=1,2，数据组件，用于{t，t，…，tm}dates。我们的任务是估计代表每个债务人对系统性休克的敏感性的αK参数集，以及测量系统中传染程度的参数θ。

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2022-5-7 11:07:11

我们还想检查一下模型的规格。由于我们方法的主要特点是确定对系统性冲击的敏感性和违约时间依赖结构的传染程度的权重，自然估计策略将是基于模型的方法，类似于Genest和Rivest（1993）提出的校准程序。特别是，我们基于线性畸变和Gumbel相关性的模型规格使得基于Kendall的tau校准的程序非常容易。由于建立的模型完全由二元边缘变量表征，因此通过校准系统的二元Kendallτ统计量自然地进行估计。对于每个我们期望成为同一个可交换系统一部分的集群，包括ofd单元，我们校准我们模型的d+1参数集。形式上，我们首先估计样本所有部分的Kendallτ统计量，然后通过求解^Θ=argmin{α，α，…，αd，θ}来估计参数集Θ={α，α，…，αd，θ}-1Xi=1dXj=i+1dist（τi，j，τi，j（αi，αj，θ）），其中dist（x，y）是一个合适的距离度量，τi，j（αi，αj，θ）是基于估计的理论肯德尔τ，τi，jis是相应的经验肯德尔τ统计。对于参数set，αire表示组分i对系统性休克的敏感性，θ表示传染参数，假设所有对中的传染参数相同。该模型的结构也提供了一个简单的程序来检查模型的规格是否提供了良好的数据。我们的想法是，如果模型的规格很好，我们可以使用它从大量数据中估计系统性冲击的强度，并使用这些信息直接验证模型的规格。

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2022-5-7 11:07:15

在这种情况下，Gumbel规范的指数分布边缘特性特别有用。考虑到对d强度的MO观测，我们可以估计系统性休克m强度的时间序列。使用方程（6）和αkit的定义可以直接计算^λ（ti）=Pdk=1μθk（ti）Pdk=1αk（9），其中^λ（ti）表示在ti时系统冲击强度的估计。然后，对模型规格的直观检查将是估计系统性冲击到达时间和边际违约时间之间的肯德尔τ值。如果模型规格良好，则Kendall的tau值应与方程式（8）所述的直线对齐。在这种情况下，该程序还提供了一个代表系统性休克隐含强度的新系列，可用于进一步研究集群和整个系统。例如，我们可以验证最初与该集群无关的系统其他元素是否与集群的其他元素对系统性冲击具有相同的依赖性。作为第二个例子，我们可以使用不同集群的估计系统冲击强度来检查集群之间的关联程度。我们的应用程序旨在说明这一估算过程，将集中于一组欧洲银行。我们将假设同一个国家的银行构成一个集群，我们将验证在这种情况下，数据证实了这一假设。3.对层次阿基米德风险系数的扩展在本节中，我们将考虑上述具有可交换依赖结构的模型的可能扩展。显然，任何d+1维copula都可以被认为是阿基米德copula的替代，并且可以实现相同的构造。

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2022-5-7 11:07:18

在可能的合理选择中，藤-阿基米德连接函数和层次连接函数（HAC）可以被认为是不可交换的扩展。在本文中，我们将考虑d+1维HAC连接函数。这些都是通过简单阿基米德连接函数的组合得到的：这种组合是通过对所涉及的随机变量进行不同的分段递归应用的。从初始变量u开始，ud+1，这些被归为C1，1，C1，l。然后，这些连接词被分组为C2，1，C2，l，直到最后一级，我们只有一个copula。为了确保这样得到的HAC copula确实是一个copula，所涉及的copula的生成元ψi，jof必须是完全单调的，并且它们的组成ψ也必须是完全单调的-1i+1，joψi，kwhenever-Ci，kis是Ci+1，j的一个参数。当生成元ψi，jare在同一个参数化族中时，如果内部copula的参数高于外部copula，则所描述的过程产生一个copula：在本文中，我们将考虑属于同一族的g生成元（参见Savuand Trede 2008和McNeil 2008 amog其他关于该主题的参考文献）。在完全嵌套的情况下，我们有C（u）=Cd（…C（C（u，u），u），u），ud+1）。如果系统性冲击X的概率分布与u相对应，则特殊风险Xi，i≥ 1，可以根据对XbeingCX的依赖性递减排序，Xi（u，v）=Ci-1（u，v）。相反，如果x的概率对应于ud+1，那么cx，Xi（u，v）=Cd（u，v）。对于所有的特殊触发因素，每个特殊风险和系统风险之间的依赖结构是相同的。在中间情况下，对于某些j=2。

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2022-5-7 11:07:22

我们有cxi，X（u，v）=Cj-1（u，v）对于那些概率与i<j，cx，Xi（u，v）=Ci对应的Xi-1（u，v）表示那些与i>j的UIX相对应的概率。当然，在其他层级结构下，系统风险和特殊风险之间完全不同的关系可以建模。例如ifC（u）=C（Ch，1（u，…，uj-1），Ch，2（uj，uj+1，…，ud+1）），其中，Ch，1和Ch，2再次是连接函数，并且X对应于touj，我们有cxi，X（u，v）=C（u，v）对于所有概率xit，对应于那些i<j的ui和cx，Xi（u，v）=Ch，2（u，v）对于Xi，对应于i>j的概率Xi。因此，在第一种情况下，与第二种情况相比，Xian和Xis之间的依赖结构更为稳定，但根据Ch，2的结构不同，依赖结构也有所不同。然而，请注意，不管是什么情况，X和XI之间的依赖结构始终是阿基米德的，就像第2节中研究的可交换情况一样。因此，在系统性冲击和每次违约时间之间为肯德尔的tau提供的公式仍然有效。特别地，如果：i）层次结构中涉及的所有连接函数都是Gumbel类型，并且ii）对于每个特殊冲击到达时间，存在一个函数Kisuch，即‘F（t）=ψθ（λ0，iKi（t）），并且‘Fi（t）=ψθ（λiKi（t）），则（8）适用。

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2022-5-7 11:07:25

此外，对于所有这些默认时间τj，对应的特异性休克到达时间xi与由同一个甘贝尔copula表达的系统性休克时间x具有依赖关系，这些对（αj，τ0，j）必须位于同一条直线（8）上。那么，请注意，在完全可交换系统和完全不可交换系统之间，我们可以确定一个中间案例，其中可交换性概念仅适用于系统性冲击到达时间和异质性冲击之间的双变量关系，无论异质性冲击之间的依赖性如何。3.1观察到的违约时间的依赖结构然而，由于第2.3节中给出的统计程序基于对违约时间τj的成对依赖结构的估计，我们现在将计算任意一对违约时间的Kendall函数和Kendallτ。显然，所涉及的冲击是系统性的，以及与我们正在考虑的违约时间相关的两种特殊冲击。正式地说，让Xi、Xj、Xkbe这三次冲击到达我们正在考虑的时间。无论等级结构是什么，它们的联合生存分布都是F型（xi，xj，xk）=CψφCψθ\'Fi（xi），\'Fj（xj）,\'\'Fk（xk）其中Cψφ和Cψθ是具有生成元ψφ和ψθ的二元e阿基米德copula函数。下面我们用符号表示系统冲击时间X，这样我们就可以把它移动到水文结构的不同位置。特别是，有必要研究这两种情况：系统性缺陷由Xian代表，在Xk代表的情况下。

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2022-5-7 11:07:34

为了简单起见，我们假设所有基本生存分布在需要时都是不同的。3.1.1 Xi是系统性休克的到达时间假设Xibe是系统性休克的到达时间，τj=min（Xi，Xj），τk=min（Xi，Xk）是默认时间。那么Fτj，τk（tj，tk）=ψφψ-1φo ψθψ-1θo\'Fi（max（tj，tk））+ψ-1θo\'Fj（tj）+ ψ-1φo\'\'Fk（tk）,\'Fτj（t）=ψθψ-1θo\'Fi（t）+ψ-1θo\'Fj（t）= ψθo H0，j（t）和‘Fτk（t）=ψφψ-1φo\'Fi（t）+ψ-1φo\'\'Fk（t）= ψφo 其中H0，j（t）=ψ-1θo\'Fi（t）+ψ-1θo\'Fj（t）和H0，k（t）=ψ-1φo\'Fi（t）+ψ-1φo“Fk（t）。因此，多亏了Sklar定理，fromtj=H-10，jo ψ-1θ（uj）和tk=H-10，ko ψ-1φ（uk）我们得到相关的生存copula是^Cτj，τk（uj，uk）=ψφψ-1φo ψθψ-1θo\'Fi（最大）H-10，jo ψ-1θ（uj），H-10，ko ψ-1φ（uk））++ψ-1θo“Fjo H-10，jo ψ-1θ（uj）+ ψ-1φo“Fko H-10，ko ψ-1φ（英国）.SetDij=ψ-1θo“‘Fi’oH-10，j，Dik=ψ-1θo“‘Fi’oH-10，k，Dji=ψ-1θo“FjoH-10，j，Dki=ψ-1φo“FkoH-10，k.然后^Cτj，τk（uj，uk）=ψφψ-1φo ψθ麦克斯（Dij）o ψ-1θ（uj），Diko ψ-1φ（英国））+Djio ψ-1θ（uj）+ Dkio ψ-1φ（英国）==ψφψ-1φ（uj）+Dkio ψ-1φ（英国）, 英国≥ h（uj）ψφψ-1φo ψθ迪克o ψ-1φ（英国）+Djio ψ-1θ（uj）+ Dkio ψ-1φ（英国）, uk<h（uj）（10），其中h（x）=ψφo D-1iko Dijo ψ-1θ（x）。对Xi，Xj，xkasume分布的限制，即存在两个函数K和^K，使得ψ-1θo\'Fi（t）=λi^K（t），ψ-1θo\'Fj（t）=λj^K（t）和ψ-1φo\'Fi（t）=λiK（t），ψ-1φo\'Fk（t）=λkK（t），这意味着^K（t）=^λiψ-1θo ψφ（λiK（t））。（11）现在，设置uij=λi+λjanduik=λi+λk，H0，j（t）=uij^k（t）和H0，k（t）=uikK（t）和dij（x）=^iuijx，Dik（x）=λiuikx，Dji x）=λjuijx，Dki（x）=λkuikx，其中Fτj（t）=ψθuij^K（t）和¨Fτk（t）=ψφ（uikK（t））和^Cτj，τk（uj，uk）=ψφψ-1φo ψθmax^λiuijψ-1θ（uj），^λiuikψ-1φ（英国）+λjuijψ-1θ（uj）+λkuikψ-1φ（英国）！。（12）备注3.1。Gumbel case假设ψθ（x）=e-xθ和ψφ（x）=e-xφ，带θ≥ φ ≥ 1.

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2022-5-7 11:07:39

然后ψ-1φo ψθ（x）=xφθ和（12）写出^Cτj，τk（uj，uk）=exp-最大λiuij(- 对数（uj））θ，λiuik(- 日志（英国）+λjuij(- log（uj））θ！φθ++λkuik(- 原木（英国）φφ).必要条件y，由（11）可知，^λi^K=λθφiKθφ，可容许选择为^λi=λθφi和^K=Kθφ。特别是，如果K（t）=tφ和^K（t）=tθ，我们恢复指数边缘分布，即¨Fτj（t）=e-μθijtand’Fτk（t）=e-我很喜欢。肯德尔函数和肯德尔定理3.1。如果ρ=ψ-1φo ψθ，let（见（10））C（u，v）==ψφψ-1φ（u）+Dkio ψ-1φ（v）, 五、≥ h（u）ψφρ迪克o ψ-1φ（v）+Djio ψ-1θ（u）+ Dkio ψ-1φ（v）, v<h（u），其中h（x）=ψφo D-1iko Dijo ψ-1θ（x）。我们得到了相应的肯德尔函数K（t）=P（C（u，v）≤t）和肯德尔的τ分别是K（t）=t-ψ′φoψ-1φ（t）·“Dkio ψ-1φ（t）-兹迪克oG-1.oψ-1φ（t）Dikoψ-1φ（t）ρ′o ρ-1(ψ-1φ（t）- Dkio D-1ik（z））dz#（13）和τ=1+4Zψ′φo ψ-1φ（t）·Dkio ψ-1φ（t）dt-- 4Zψ′φo ψ-1φ（t）ZDikoG-1.oψ-1φ（t）Dikoψ-1φ（t）ρ′o ρ-1(ψ-1φ（t）- Dkio D-1ik（z））dzdtg（x）=ψ-1φo ψθo D-1ijo Dik（x）+Dki（x）。证据见附录6。备注3.2。在备注3的背景中，甘贝尔干酪。1，我们得到k（t）=t-tφ(- 日志t）1-φ·λkuik(- 对数t）φ-φθZ^λiuikG-1((- 对数t）φ）^λiuik(- 对数t）φ(- 对数t）φ-λk^λiz1.-θφdzτ=1+λkuikφ-θZt（对数t）1-φZ^λiuikG-1((- 对数t）φ）^λiuik(- 对数t）φ(- 对数t）φ-λk^λiz1.-θφdz其中，G（x）=uijuikφθxφθ+λkuikx。3.1.2 Xkis系统性冲击的到达时间我们假设Xkis为冲击的到达时间，τi=min（Xi，Xk）和τj=min（Xj，Xk）为默认时间。

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能者818

2022-5-7 11:07:44

那么Fτi，τj（ti，tj）=ψφψ-1φo ψθψ-1θ（`Fi（ti））+ψ-1θ（`Fj（tj））+ ψ-1φ（Fk（最大（ti，tj））和¨Fτi（ti）=ψφo H0，i（ti）和‘Fτj（tj）=ψφo H0，j（tj）。式中，i=ψ-1φo\'Fi+ψ-1φo\'fk和H0，j=ψ-1φo\'Fj+ψ-1φo“Fk。如果ρ=ψ-1φo ψθ，\'Fτi，τj（ti，tj）=ψφρρ-1.o ψ-1φo\'Fi（ti）+ρ-1.o ψ-1φo\'Fj（tj）+ ψ-1φo\'\'Fk（最大（ti，tj））并且，应用Sklar定理，我们恢复了相关的生存空间是^Cτi，τj（ui，uj）=ψφρρ-1.o ψ-1φo“‘Fi’o H-10.我o ψ-1φ（ui）+ρ-1.o ψ-1φo“Fjo H-10，jo ψ-1φ（uj）++ψ-1φo\'\'Fk（最大高度-10.我o ψ-1φ（ui），H-10，jo ψ-1φ（uj）））.设Dik=ψ-1φo“‘Fi’oH-10，i，Djk=ψ-1φo“FjoH-10，j，Dki=ψ-1φo“FkoH-10，iand Dkj=ψ-1φo“Fko H-它遵循^Cτi，τj（ui，uj）=ψφρρ-1.o 迪克o ψ-1φ（ui）+ρ-1.o Djko ψ-1φ（uj）+ 麦克斯（Dki）o ψ-1φ（ui），Dkjo ψ-1φ（uj））==ψφρρ-1.o 迪克o ψ-1φ（ui）+ρ-1.o Djko ψ-1φ（uj）+ Dkio ψ-1φ（ui）, uj≥ h（ui）ψφρρ-1.o 迪克o ψ-1φ（ui）+ρ-1.o Djko ψ-1φ（uj）+ Dkjo ψ-1φ（uj）, uj<h（ui）（14），其中h（x）=ψφo D-1kjo Dkio ψ-1φ（x）。Xj，Xj，xkasume分布的限制存在一个函数K，使得ψ-1φoFv（x）=λvK（x）表示v=i，j，k，并设置uik=λi+λ和ujk=λj+λk。因此，dik（x）=λiuikx，Djk（x）=λjujkx，Dki（x）=λkujkx和Dkj（x）=λkujkx，其边缘生存分布可写成*fτs（t）=ψφ（skK（t）），s=i，而相关的生存copula为*τCui，τi，τujρρ-1.λiuikψ-1φ（ui）+ ρ-1.λjujkψ-1φ（uj）+ 最大值（λkuikψ）-1φ（ui），λkujkψ-1φ（uj））.备注3.3。Gumbel case假设ψθ（x）=e-xθ和ψφ（x）=e-xφ，带θ≥ φ ≥ 1.那么ρ（x）=xφθ和^Cτi，τj（ui，uj）=exp-λiuikθφ(- log（ui））θ+λjujkθφ(- log（uj））θ！φθ++ma xλkuik(- log（ui））φ，λkujk(- 对数（uj））φφ）而当K（t）=tφ时，我们得到了先验的边际分布Fτi（t）=e-uφiktand＠Fτj（t）=e-我是jkt。肯德尔函数和肯德尔定理3.2。

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2022-5-7 11:07:48

让（见14）C（u，v）==ψφρρ-1.o 迪克o ψ-1φ（u）+ρ-1.o Djko ψ-1φ（v）+ Dkio ψ-1φ（u）, 五、≥ h（u）ψφρρ-1.o 迪克o ψ-1φ（u）+ρ-1.o Djko ψ-1φ（v）+ Dkjo ψ-1φ（v）, v<h（u），其中h（x）=ψφo D-1kjo Dkio ψ-1φ（x）。我们有肯德尔函数K（t）=P（C（u，v）≤ t）和kerndall\'s tau分别为k（t）=t+ψ′φo ψ-1φ（t）·“Zρ-1.oψ-1φo“FjoG-1.oψ-1φ（t）ρ-1.oDjkoψ-1φ（t）ρ′o ρ-1.ψ-1φ（t）- ψ-1φo“Fko\'F-1jo ψφo ρ（z）dz++Zρ-1.oψ-1φo“‘Fi’oG-1.oψ-1φ（t）ρ-1.o迪克oψ-1φ（t）ρ′o ρ-1.ψ-1φ（t）- ψ-1φo“Fko\'F-1io ψφo ρ（z）dz+-（Dkj+Dki）o ψ-1φ（t）+2ψ-1φo“Fko G-1.o ψ-1φ（t）（15） τ=1- 4Zψ′φo ψ-1φ（t）·“Zρ”-1.oψ-1φo“FjoG-1.oψ-1φ（t）ρ-1.oDjkoψ-1φ（t）ρ′o ρ-1.ψ-1φ（t）- ψ-1φo“Fko\'F-1jo ψφo ρ（z）dz++Zρ-1.oψ-1φo“‘Fi’oG-1.oψ-1φ（t）ρ-1.o迪克oψ-1φ（t）ρ′o ρ-1.ψ-1φ（t）- ψ-1φo“Fko\'F-1io ψφo ρ（z）dz#dt+- 4Zψ′φo ψ-1φ（t）·（2ψ）-1φo“Fko G-1.- （Dkj+Dki）o ψ-1φ（t）dtg（z）=ρρ-1.o ψ-1φo\'Fi（z）+ρ-1.o ψ-1φo\'Fj（z）+ ψ-1φo“Fk（z）。（16）证据。见附录6。备注3.4。在备注3的背景中，甘贝尔干酪。1 we ge tK（t）=t-tφ(- 日志t）1-φ·φθZλθφj（G）-1((- 对数t）φ）θφλjujkθφ(- 对数t）θ(- 对数t）φ-λkλjzφθ1.-θφdz++φθZλθφi（G）-1((- 对数t）φ）θφλiuikθφ(- 对数t）θ(- 对数t）φ-λkλizφθ1.-θφdz+-λkuik+λkujk(- 对数t）φ+2λkG-1((- 对数t）φ）τ=1-θZt(- 日志t）1-φ·Zλθφj（G）-1((- 对数t）φ）θφλjujkθφ(- 对数t）θ(- 对数t）φ-λkλjzφθ1.-θφdz++Zλθφi（G）-1((- 对数t）φ）θφλiuikθφ(- 对数t）θ(- 对数t）φ-λkλizφθ1.-θφdzdt+-φZt(- 日志t）1-φ2λkG-1((- 对数t）φ）-λkuik+λkujk(- 对数t）φDTG（z）=λθφi+λθφjφθzφ+λkz。4对欧洲银行业的应用在本节中，我们将该模型应用于评估一系列欧洲银行系统的系统性风险和传染问题。

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2022-5-7 11:07:51

到目前为止，欧洲银行体系一直在国家层面上被分割，直到2014年11月4日之后，它才被统一在一个共同的欧洲监管环境下（所谓的SSM，单一监管机制，参见Ferrand Babis，2013）。因此，重要的是要认识到系统性风险和传染在国家层面的相关性，并解决它们是否在跨国层面共同行动的问题。其任务是检验可交换传染模型是否能很好地代表数据。当然，这里我们的兴趣主要在于说明估算技术，以及它如何为模型的具体化提供指导。4.1数据我们将上述模型应用于代表欧元区8个国家的35家银行的样本。使用的样本与巴格利奥尼和切鲁比尼（2013）中的样本相同。虽然我们让读者阅读该论文，以获取对数据集的深入描述，但我们在此暗示，样本包括2012年进行压力测试的主要欧洲银行，这些银行的数据流上提供了一系列CDS报价。

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何人来此

2022-5-7 11:07:54

该样本包括从2007年1月至2012年8月底的每日CDS报价数据，但希腊除外，希腊的样本从2009年9月21日开始，葡萄牙和西班牙的样本分别从2008年1月和2月20日开始。生存概率是从5年期CDS中提取的，引用了所谓的“简单规则”，即假设违约强度，这与第2.1节中描述的模型一致。此外，由于众所周知，从市场价格中提取的数据嵌入了风险溢价，这是在风险中性度量下计算的，我们根据穆迪评级机构使用的技术，通过应用夏普比率改变了违约概率（见Dwyer等人，2010）。未来的研究可以进一步调查边际结构，包括“bootstrap”（在该术语的财务文献含义中）的更复杂技术，以及违约强度的术语结构（Hull and White，2000）。4.2估计和结果应用于数据的估计程序与第2.3节所述的相同。也就是说，我们计算了同一国家所有银行的生存概率的成对肯德尔的AUT值。然后，我们对每个国家的αK参数和θ参数进行了估计，使理论和样本Kandall-tau之间的距离最小化。在我们的具体应用中，我们使用了四次距离。

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2022-5-7 11:07:57

由于在前期工作中出现了局部极小值，因此最终使用标准的全局优化技术（即模拟退火）进行了分析。我们的评估策略包括三个步骤我们首先对每个国家的整个样本进行了模型估计然后，对于每个国家，我们使用该模型来估计系统性冲击的强度，并计算每个银行的生存概率和系统性冲击之间的肯德尔τ。我们验证了哪些国家的模型规格与数据一致对于考虑模型规格的国家，我们通过在一系列滚动窗口中重复估计，对参数的稳定性进行了分析。在表1中，我们报告了整个样本的估计结果。对于每个国家，我们报告：i）每家银行的αK参数；ii）该国的平均“α”；iii）国家的连续参数θ。值得一提的是，平均参数α被计算为每个国家αk的调和平均值。在讨论估计的参数之前，我们使用它们对模型的规格进行目视检查。对于每个国家，我们都提供了一个图表，其中在水平轴上，我们报告了αK，在垂直轴上，我们报告了肯德尔的τ值。在该图中，我们绘制了根据方程式（9）中的强度估计的系统性休克存活函数与样本中银行存活概率之间的估计肯德尔τ统计量。在图中，我们还报告了一条直线，根据方程式（8），如果模型规格良好，Kendall的tau值应位于该直线上。图1显示，该模型为葡萄牙、法国、西班牙和荷兰提供了良好的规格。

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能者818

2022-5-7 11:08:02

特别是，葡萄牙和法国的这种情况看起来非常好。西班牙和荷兰对这一模式提供了有趣的见解。在这两个国家，都有银行的αk值非常接近于零。他们是荷兰的荷兰银行和西班牙的桑坦德银行。这三家银行不受系统冲击的影响，它们非常接近这条线的截距。然而，它们与系统性风险因素有很大程度的依赖性，这意味着它们的违约概率增加可能与更高的计数风险相关。对于意大利、希腊、英国和德国等其他国家（见图2），该模型似乎无法很好地拟合数据。尤其是意大利、希腊和英国，如果使用不可交换的模式，可能会有更好的机会。相反，对于德国来说，该模型似乎完全错误，因为几乎所有的肯德尔斯塔都位于一个地区的对角线之下，甚至与纯粹的系统性风险规格不一致。因此，在这种情况下，德国西班牙银行αHSH 0.288926西磅0.783299邮政银行0.782422DZ银行0.637563拜仁磅0.885879COMMERZ 0.869757DB 0.752793θ=1′α=0.625488银行α牧师0.295905BINTEL 0.397199SABADEL 0.699246人口0.842172马德里卡亚0.059 619BBVA 6.99·10-7桑坦德8.44·10-7.n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n.0.5.3 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 3.311887′α=0.405181。

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2022-5-7 11:08:06

SANTO 0.791219BCP 0.695637CAIXA GERAL 0.215709θ=5.369255′α=0.408871银行α劳埃德0.930215巴克莱2.88·10-07HSBC 4.08·10-18RBS 0.769870θ=5.369255′α=0.842481表1：不同银行和国家的参数值图1:Kendall在违约时间和系统性冲击之间的tau，即没有任何系统性冲击的双变量关系模型可能更可取，或者可能缺少一些其他系统性风险因素。事实上，在压力测试分析的那一年，报纸和杂志上出现的讨论表明，德国银行系统面临两个关键风险因素：第一个是来自美国次贷危机的所谓“有毒资产”，第二个鲜为人知的是特定的债务人部门，也就是那些与航运业务有关的公司。因此，我们的估计策略被证明能够区分模型提供了良好数据拟合的案例和模型没有提供数据拟合的案例。对于模型似乎适用于整个样本的四种情况，我们现在提供参数稳定性的n分析，尤其是样本上的传染参数θ。我们使用几种长度的滚动窗口回复了估计值，尽管为了节省空间，我们仅根据一年的每日数据报告一次。另一种更复杂的方法是考虑时变参数，并对GARCH滤波残差进行估计。

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2022-5-7 11:08:09

这一方面可能更准确，而另一方面，它将与流动强度假设相一致，需要一个合适的图2：每个边缘强度曲线的双随机模型在违约时间和系统冲击之间的肯德尔τ。我们还进行了分析，首先让所有参数随时间变化，然后假设αk在整个样本中固定，只允许传染参数θ变化。后一种选择有两个原因。首先，由于每家银行对冲击的敏感性主要取决于其资产负债表，因此有理由假设参数在整个样本中相当稳定。其次，有意思的是，检查我们研究的主要目标——接触参数的估计是否受到银行特定参数变化的影响。我们发现，在这两种情况下，传染参数的动力学几乎无法区分。在图3中，我们报告了模型工作的四种情况的分析结果。我们心中的问题是，在危机的两个关键时期，传染参数是否增加了。第一次是在2009年第一季度，2008年9月的莱曼危机蔓延到欧洲。第二个是2010年由希腊引发的外债危机，随后蔓延到南欧其他国家。图3为Pain、葡萄牙、法国和希腊的传染参数确定了一个有趣的合作行为。从直觉上看，当金融危机在国际环境中蔓延时，来自各国银行的传染的相关性正在增加。

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2022-5-7 11:08:13

然而，与这一证据不同的是，在以意大利主权危机为特征的样本的最后一部分，只有法国银行体系内的传染似乎显著增加，而在其他国家，它保持稳定或减少。这可能与法国银行系统与意大利银行系统的更大参与程度相一致。事实上，在这项工作的前一个版本中，也对意大利进行了动态分析，意大利市场的传染参数在那个时期与法国的传染参数几乎没有区别。图3：传染参数的动态。5结论和未来扩展在本文中，我们提出了一个既包括系统性风险又包括持续性风险的模型。系统性风险表现为存在导致集群中所有要素违约的ashock。传染病表现为各成分特有的特异性休克与系统性休克之间的联系。从理论上讲，可以假设非观测部件中的任何依赖结构都代表着冲击。在经验的基础上，我们为一个模型提供了麻醉程序，在这个模型中，未观测到的组分的深度结构是阿基米德的和可交换的。此外，我们还提供了一种技术来验证拟议规范是否符合da ta。我们还表明，包括进一步的限制可能会将copula模型转化为一个新的具有指数边际分布的全水平多变量模型。给定边际强度观测的面板数据，在二元相关统计量集上进行模型估计。

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