跳扩散风险过程下的渐近投资行为

2022-5-7 11:13:39

Laubis和Lin[18]展示了破产概率函数的极限表达式，该函数是一个幂函数，假设投资金额是俄罗斯科学院中央经济和数学研究所和俄罗斯国立研究大学莫斯科高等经济学院（TB）风险理论固定分形实验室。北爱荷华大学数学系，美国伊利诺伊州雪松瀑布，邮编：50614（SL）。AMS 2010科目分类。初级93E20，91B28，91B30，次级49J22，60G99。2塔蒂亚娜·贝尔基纳和尚珍·洛伊是sur plus的保险公司，保险类别是指数型的。在Lin[19]中，获得了最小破产概率的指数上界，并进行了数值计算，揭示了调整系数与模型参数之间的关系。在一个带有仓促利率的盈余模型中，Paulsen和Gjessing[23]研究了在没有投资控制的情况下最终破产的概率和破产时间。本文研究了投资控制下的破产概率最小化问题。我们考虑了扰动复合泊松盈余模型，并假设正利率，如[18]和[33]所示。盈余可以投资于风险资产（股票）和无风险资产，其中风险资产价格遵循几何布朗运动。我们考虑两个投资案例。在第一种情况下，我们假设投资没有限制（见[15]和[33]）。也就是说，风险资产的投资金额可以是任何水平。请注意，在这种情况下，允许在任何级别卖空风险资产。在第二种情况下，我们假设风险资产的投资金额不超过固定的A级，不允许卖空股票。该限制旨在降低保险公司的杠杆水平，如[21]所述。

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2022-5-7 11:13:43

在这两种情况下，目标都是最小化破产的可能性。最小破产概率函数的特征是[1]、[14]、[15]、[28]和[33]中的积分微分HJB方程。HJB方程有一类解，通过验证结果可以证明，最小破产概率函数是该解的一部分。我们总结了本文的三个主要贡献。首先，我们定义了新的算子，以证明在两种投资情况下HJB方程的经典解的存在性。这些算子为计算最优投资策略和最小破产概率提供了另一种方法（见上一节的数值例子）。其次，我们给出了低盈余水平下最优投资策略和最小破产函数的渐近结果。在无约束的情况下，我们发现当盈余水平接近0时，最优投资金额趋向于固定的非零值，与[6]和[15]中没有扰动的模型相反，在[6]和[15]中，当盈余趋向于0时，最优投资水平趋向于零。此外，我们还发现了最优投资金额收敛到非零水平的速度。研究了最小破产函数在0附近的渐近结果。在约束条件下，我们发现模型参数和最优投资控制之间存在密切的相互作用。我们给出了当盈余较低时，最优投资额分别取0、A或一定水平的参数条件。请注意，所有这些渐近结果都是针对任意索赔额分布得到的。第三，在指数索赔分布的特殊情况下，我们证明了大剩余水平的一些新的渐近结果。我们认为，当盈余趋于一致时，最优投资金额有一个有限的限制。

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2022-5-7 11:13:46

我们还发现，最小破产概率函数有一个极限表达式，它是一个指数函数和一个幂函数的乘积，因为盈余趋于一致。我们注意到，这些新的极限结果（关于指数索赔的最优投资问题）也适用于经典模型，没有p e假设。本文的其余部分按以下内容组织。在第2节中，我们提出了优化问题。在第三节中，我们证明了经典最优解的存在性，并给出了约束情形下的渐近结果。在第4节中，我们研究了无约束情况。在第5节中，我们研究了索赔规模为指数时的模型。第6.2节给出了数值示例和结论。优化问题我们假设在没有投资的情况下，保险公司的盈余由CramerLundberg模型控制：Xt=x+ct-N（t）Xi=1Yi，其中x为初始盈余，c为保险费率，N（t）为泊松过程，c为恒定强度λ，Yi为正i.i.d.随机索赔。假设在时间t，保险公司将一定数量的阿托投资于一种风险资产，其价格遵循几何布朗运动dST=uStdt+σStdBt，跳-扩散风险过程下的渐近投资行为3，其中u是股票回报率，σ是波动率，B:={Bt}t≥0是独立于{N（t）}t的标准布朗运动≥0和Yi的剩余金额（Xt- at）投资于无风险资产，其演变为DPT=rPtdt，其中r是利率。我们还假设剩余过程受到布朗噪声计的扰动。

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2022-5-7 11:13:50

具有扰动和动态投资控制，用π表示：={as}s≥0，剩余过程由xπt=x+Zt[c+r（xπs）控制- as）+uas]ds+σZtasdBs+σZtdBs-N（t）Xi=1Yi，（2.1）其中B:={Bs}s≥0是标准布朗运动，对于某些相关系数ρ，E（dbsds）=ρds，σ是扰动波动率。我们假设所有的随机变量都是在一个完全概率空间中定义的(Ohm, F、 P）被赋予过滤功能≥0由进程{Xt}t生成≥0和{St}t≥0.如果满足以下条件，则称控制策略π是可接受的：（i）可预测的，（ii）在∈ A、以及（iii）几乎可以肯定的是，atis平方可积于任何有限时间间隔，其中A=[0，A]对于固定的A>0（解释情况）或A=(-∞, ∞) （不受约束的情况）。Wedenote by∏所有容许控制的集合。本文假设：（1）外生参数A、c、r、u、σ、σ为正常数；（ii）|ρ6=1（不完全c相关）；（iii）索赔分布函数F具有支持度（0，∞) 还有一位专家。现在我们将保险公司在可接受保单π下的破产时间定义为以下τπ=inf{t≥ 0:Xπt<0}。（2.2）因此，策略π下的生存概率为Δπ（x）=1- P（τπ<∞), （2.3）最大生存概率为δ（x）=supπ∈πΔπ（x）。（2.4）我们看到δ（x）的定义必须是一个非递减函数。如果我们假设δ是两次连续可微的，那么它解出了以下Hamilton-Jac-obi-Bellman方程：∈AL（a）δ（x）=0，（2.5），其中算符L由L（a）δ（x）=（σa+2ρσa+σ）δ′（x）+[c+（u）给出- r） a+rx]δ′（x）- M（δ）（x），（2.6）与M（δ）（x）=λ[δ（x）-Zxδ（x）- s） dF（s）]。（2.7）我们注意到M（δ）（x）是正的，因为tδ是（0）上的增函数，∞). 我们还注意到一个初始条件δ（0）=0，这是由于B罗年扰动。4塔蒂安娜·贝尔基纳和尚珍·罗3。

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2022-5-7 11:13:53

低盈余下的渐近投资——约束情形在这一部分中，我们研究了当投资控制受到控制区域A=[0，A]约束时的最优控制问题。在本节中，我们假设u>r，省略另一种情况u≤ R可以用类似的方法处理。假设W是一个两次连续可微分函数，W求解HJB方程。WriteaW（x）：=-(u - r） W′（x）σW′（x）- ρσσ（3.1）当W′（x）6=0时。当A=(-∞, ∞) 如果W′（x）<0。当A=[0，A]由A给出时的约束最大化子*W（x）=aW（x）0<aW（x）<A，W′（x）<00aw（x）≤ 0，W′（x）<0；或aW（x）≥ A/2，W′（x）>0A aW（x）≥ A、 W′（x）<0；或aW（x）<A/2，W′（x）>0，（3.2）表示W′（x）6=0，A*W（x）=A表示W′（x）=0。现在定义歌剧侵权行为w（x）=inf0≤A.≤ATw（a，x），（3.3），其中tw（a，x）=2{M（W）（x）- [c+rx+（u- r） a]w（x）}σa+2ρσa+σ，（3.4）w是[0]上的非负连续函数，∞), W由W（x）=Zxw（s）ds定义。（3.5）我们注意到W（0）=0。下面我们给出一个结果，表明HJBequation（2.5）存在一个经典解。我们证明了关于初值问题的P icard-Lindel定理的一个积分算子版本。有关参数的函数版本，请参见[31]。引理3.1。[0]上存在一个连续可微函数v（x），∞) 满足v′（x）=tv（x），v（0）=1。（3.6）证据。任何w的通知∈ C[0，K]对于任意K>0，函数M（W）（x）和Tw（a，x）在x中是连续的。对于a，函数Tw（a，x）在x中是一致连续的∈ [0，A]。因此函数tw（x）在x中是连续的。现在我们考虑两个连续函数w（x）和w（x）在C[0，K]中。使用上确界nor m | | w | |=sup{| w（x）|：0≤ 十、≤ K} ，对于任何w∈ C[0，K]。

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2022-5-7 11:13:56

那么下列不等式成立| W（x）- W（x）|≤Zx | w（y）- w（y）| dy≤ K | | w- w | |，ZxW（x- y）- W（x）- y） dF（y）≤ K | | w- w | | ZxdF（y）≤ K | | w- w | |，其中Wi（x）=Rxwi（y）dy表示i=1，2。所以我们得到| M（W）（x）- M（W）（x）|≤ 2λK | | w- w | |。跳扩散风险过程下的渐近投资行为∈ [0，K]，假设tw（x）≥ T w（x）和T w（x）=Tw（a*, x），那么我们就没有w（x）- tw（x）=tw（x）- Tw（a）*, 十）≤Tw（a）*, 十）- Tw（a）*, x） =2{M（W）（x）- M（W）（x）- [c+rx+（u- r） a*][w（x）- w（x）]}σ（a*)+ 2ρσa*+ σ≤C（K）| | w- w | |，（3.7）式中c（K）=2[2λK+c+rK+（u- r） A]/σ。（3.8）因此我们看到算子T是关于C[0，K]上的上确界范数的Lipschitz:|T w- T w | |≤ C（K）| | w- w | |，（3.9）与Lipschitz常数C（K）。现在定义运算符w（x）=ZxT w（y）dy+1（3.10）表示w∈ C[0，K]。然后它保持| | T w- T w | |≤ KC（K）| | w- w | |<1/2 | | w- w | |，如果我们选择s mall K，使KC（K）<1/2。这表明算子T是C[0，K]上的收缩。因此，C[0，K]中存在一个固定点v，使得v=TV。（3.11）通过相同的证明，可以将解推广到[0，2K]，从而推广到[0，∞). 微分（3.11），证明了引理。WriteV（x）=Zxv（s）ds，（3.12），其中v是引理3.1中的解。我们证明：引理3.2。v（x）在[0]上为正，∞).证据这个引理可以用矛盾来证明。definex=inf{x≥ 0:v（x）=0}，假设x<∞. 然后它保持v（x）=0。Thusv′（x）=tV（x）=inf0≤A.≤A2M（V）（x）/（aσ+2ρσσa+σ）>0，这与V′（x）=lim相矛盾→0+v（x）- v（x）- )≤ 0现在我们给出一个验证引理：引理3.3。假设g是[0]上的一个正的、递增的、两次连续可微函数，∞)并求解HJB方程（2.5）。然后g有界，最大生存概率函数由δ（x）=g（x）/g给出(∞).

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2022-5-7 11:14:01

此外，相关的最优投资策略是π*= {a*（t） }t≥0，a在哪里*（t） =a*δ（Xπ）*T-), 和Xπ*这是控制策略π下t时刻的盈余*.引理3.3的证明类似于[2]中验证结果的证明，我们省略了它。检查V是否解HJB等式是很容易的。因此，通过引理3.3，我们得到：6塔蒂亚娜·贝尔基纳和尚珍·罗定理3.1。函数V有界且在[0]上递增，∞) 最大生存概率函数由δ（x）=V（x）/V给出(∞).引理3.4。存在>0，使得v′（x）<0表示0≤ x<。引理可以用lex表示→ 0英寸（3.6英寸）。引理显示在低剩余水平下V的局部凹陷。一般来说，在受约束的情况下，V的凹度并不明显。然而，HJB方程在（0，∞) 在无限制的情况下（见第4节）。写入ρ=（u）- r） σ2cσ，ρ=ρ-(u - r） A+2cA2cσ/σ。定理3.2。存在>0这样的结果：（i）如果ρ<ρ，则V解为P0≤A.≤ALaV（x）=LAV（x）=0，（3.13）表示x in（0，）；（ii）如果ρ<ρ<ρ，则V≤A.≤ALaV（x）=LaV（x）V（x）=0，（3.14）对于x in（0，）；（iii）如果ρ>ρ，则V为P0≤A.≤ALaV（x）=LV（x）=0，（3.15）表示x英寸（0，）。证据假设ρ<ρ。定义函数f（a）：=c+（u- r） a（σa+2ρσa+σ）。（3.16）通过差异，函数f在（a，a）上增加，其中，a=-c±pc+（u- r） σ/σ- 2(u - r） ρcσ/σu- r、（3.17）注意，当ρ<ρ时，它保持<0<a。此外，条件ρ<ρ相当于A<A。因此，在其保持f（A）的条件下≤ f（A）表示区间（0，A）中的A。由于V解HJB方程（2.5），我们假设La*（x） V（x）=0对于某些0≤ A.*（十）≤ A.

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2022-5-7 11:14:05

那么我们有v′（x）/v（x）=M（v）（x）/v（x）- [c+（u）- r） a*（x） +rx][σ（a）*（x））+2ρσa*（x） +σ]=M（V）（x）/V（x）- rx[σ（a）]*（x））+2ρσa*（x） +σ]- f（a）*（x） )≥M（V）（x）/V（x）- rx[σ（a）]*（x））+2ρσa*（x） +σ]- f（A）。（3.18）所以它保持sav（x）≥u - rσf（A）-M（V）（x）/V（x）-rx[σ（a）]*（x））+2ρσa*（x） +σ]- ρσ/σ>A（3.19），当x足够小时。第二个不等式是因为limx→0M（V）（x）=0，limx→0v（x）=1和参数条件ρ<ρ等于u的因子- rσf（A）- ρσ/σ>A.跳扩散风险过程下的渐近投资行为7.同样，从引理3.4来看，当x很小时，v′（x）<0。因此，从（3.19）（aV（x）>A）来看，它应该是p0≤A.≤当x很小时，ALaV（x）=LAV（x）。因为V解HJB方程，所以它是0≤A.≤ALaV（x）=0，这证明了（3.13）。现在我们假设ρ>ρ并证明（iii）。来自LV（x）≤ 0，我们有v′（x）/v（x）≤M（V）（x）/V（x）- （c+rx）σ。（3.20）然后它保持sav（x）≤u - rσc- [M（V）（x）/V（x）+rx]- ρσ/σ<0，（3.21）对于小x，其中s秒不等式是由参数条件ρ>ρ引起的。因此它保持着稳定≤A.≤ALaV（x）=LV（x），对于小x，这证明了（3.15）。在ρ<ρ<ρ的条件下，我们用矛盾证明了（3.14）。假设a中LaV（x）的最大值不是aV（x），而是0或a，那么HJB方程（3.13）或（3.15）成立。如果它保持LAV（x）=0，则wehaveaV（x）=u- rσf（A）-M（V）（x）/V（x）-rx（σA+2ρσA+σ）- ρσ/σ<A，对于小x，由于ρ>ρ。因此，a中LaV（x）的最大化子不是a，且LaV（x）<0。矛盾如果LV（x）=0，我们有av（x）=u- rσc- [M（V）（x）/V（x）+rx]- ρσ/σ>0，对于小x，由于ρ<ρ。因此，a中LaV（x）的最大值不是0，且LV（x）<0。矛盾因此，在参数条件ρ<ρ<ρ下，a中LaV（x）的最大值为s mall x和it ho lds（3.14）的aV（x）。根据定理3.2，我们得到以下性质：注3.1。

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2022-5-7 11:14:08

在低盈余水平x下，最优投资控制a*五、是一个*V（x）=A如果ρ<ρ，A*V（x）=aV（x）如果ρ<ρ<ρ，a*如果ρ>ρ，V（x）=0。此外，当ρ<ρ<ρ时→ 0英寸（3.6英寸），a*V（0+）等于aV（0+）并解出以下方程式：-σu-r（a+ρσ）=-2[c+（u）- r） a]σa+2ρσa+σ，简化为（u- r） σa+2cσa+2ρσc- σ(u - r） ]=0。图萨*V（0+）=-cu- r+sc（u）- r） +2σcσ（u- r）（ρ）- ρ). （3.22）注意，它保持0<a*在参数条件ρ<ρ<ρ下，V（0+）<A。如果u6=r，则上面的平方方程有两个实根。备注3.2。v′（0+）=-2[c+（u）-r） A]σA+2ρσA+σ，如果ρ<ρ；v′（0+）=-2cσ，如果ρ>ρ；v′（0+）=-u-rσ[a*V（0+）+ρσ]=-u-rσ[ρσ]-cu-r+rc（u）-r） +2σcσ（u-r）（ρ）-ρ） ]如果ρ<ρ<ρ。注：在所有情况下，它保持v′（0+）<0。8塔蒂安娜·贝尔基纳和尚珍·罗4。低盈余下的渐近投资——无约束情形在这种情况下，我们考虑无约束情形。也就是说，控制区域由=(-∞, ∞). 在本节的推导部分，我们假设u6=r。u=r的特殊情况见备注4.3。假设HJB方程（2.5）有一个经典有界解V（x），它满足V′（x）>0，V′（x）<0，（4.1）和V（0）=0，（4.2）V′（0+）=1。（4.3）然后是（2.5）isa中的最大值*V（x）=aV（x），（4.4）和V solvessup-∞<a<∞LaV（x）=LaV（x）V（x）=0，（4.5），即。，c+rx-ρ(u - r） σσV′（x）+σ（1）- ρ） V′′（x）+λE[V（x）- Y）- V（x）]=γ（V′（x））V′（x）。（4.6）式中γ=（u）- r） 2σ。（4.7）备注4.1。很容易看出，在无约束的情况下，0+的极限最优投资额是a*V（0+）=aV（0+），如（3.22）所示。它有一个*在参数条件ρ<ρ，a下V（0+）>0*如果ρ=ρ，V（0+）=0，a*如果ρ>ρ，V（0+）<0。

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2022-5-7 11:14:11

这纠正了[33]第624页的错误假设，即最佳初始投资金额始终为0。下面我们继续讨论，关于条件（4.1），（4.2）和（4.3），存在一个经典解V来解HJB方程（4.5）。设H（y）=1- F（y）。然后考虑到条件（4.2），方程（4.6）c可以改写为c+rx-ρ(u - r） σσV′（x）+σ（1）- ρ） V′（x）- λxZH（y）V′（x）- y） dy=γ（V′（x））V′（x），（4.8）或σ（1）- ρ） [V′（x）]+LV′（x）V′（x）-[LV′（x）]=0，（4.9），其中运营商的着陆定义如下：Lw（x）=c+rx-ρ(u - r） σσw（x）- λxZH（y）w（x）- y） dy，Lw（x）=（u- r） σw（x），（4.10）对于（0）上的任何连续函数w，∞). 然后从（4.9）和（4.1）开始，V′满足V′（x）=LV′（x），条件为V′≤ 0，其中运算符L定义为：Lw（x）=-Lw（x）+p（Lw（x））+σ（1）- ρ）（Lw（x））σ（1）- ρ). （4.11）引理4.1。在（0）上存在一个连续可微函数v（x），∞) 满足v′（x）=Lv（x），v（0）=1。（4.12）跳扩散风险过程下的渐近投资行为。注意，对于任何w∈ C[0，K]对于任何K>0，函数Lw，Lw和Lw在x中是连续的。考虑C[0，K]中的两个连续函数w（x），w（x）和上确界范数| | w | |=sup{w（x）|：0≤ 十、≤ K} 。那么以下不等式成立：|Lw（x）- Lw（x）|≤ [c+rK+（u- r） σ/σ+λK]| | w- w | |，| Lw（x）- Lw（x）|≤ (u - r） /σ| | w- w | |。还要注意函数f（x，y）=px+yis Lipschitz:|f（x，y）- f（x，y）|≤ |十、- x |+| y- y |。然后我们看到：|Lw（x）- Lw（x）|≤|Lw（x）- Lw（x）|σ（1）- ρ） +| f（Lw（x），σp1- ρLw（x））- f（Lw（x），σp1- ρLw（x））|σ（1- ρ)≤σ(1 - ρ） [2 | | Lw- Lw | |+σ| | Lw- Lw | |]≤C | | w- w | |，（4.13），其中C=2c+2rK+3（u- r） σ/σ+2λKσ（1）- ρ). （4.14）因此，算子L是C[0，K]上的Lipschitz，常数为C:| | Lw- Lw | |≤ C | | w- w | |。（4.15）其余的证明与引理3.1相似，我们跳过它。然后我们得出结论（4.12）。

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2022-5-7 11:14:14

WriteV（x）=Zxv（y）dy，（4.16），其中v是（4.12）的解。我们证明了以下引理：引理4.2。v（x）在[0]上是正的，v′（x）在[0]上是负的，∞).证据我们用矛盾来证明。definex=inf{x>0:v（x）=0}，假设x<∞. 然后它在[0，x]上保持v（x）>0，v（x）=0和v′（x）=0（由于v的连续性和L的定义）。它也在x上保持v′（x）<0∈ [0，x]注意V在（0，x）上满足（4.8）。通过x↑ xin（4.8），我们是Batinlimx↑x（u）- r） 2σ（V′（x））V′（x）=-λxZH（y）V′（x）- y） dy，我们从哪里看到limx↑xV′（x）V′（x）/V′（x）是固定的和hencelimx↑xV′（x）V′（x）=0。选择x并将x关闭到x，0<x<x<x-v′（x）v（x）<1∈ （x，x）。图尔恩五（x）- lnv（x）=Zxx-（ln v（x））′dx=Zxx-v′（x）v（x）dx<x- x、（4.17）通过x↑ 以上种种，自相矛盾！因此它必须保持x=∞ 我们得出结论v（x）在[0]上是正的，∞). 立即，v′（x）为负。10 TATIANA BELKINA和SHANGZHEN Loo为此，我们看到（4.16）中给出的函数V在条件（4.1）、（4.2）和（4.3）下求解HJB方程（4.5）。通过验证结果（类似于引理3.3），我们看到最大生存函数（值函数）由δ（x）=V（x）/V给出(∞).接下来我们研究了HJB解在低初始剩余下的符号行为。写入v（x）=v（x）- 1，和cρ=c-ρ(u - r） σσ，σρ=σ（1）- ρ），（4.18）然后满足方程（cρ+rx）（v（x）+1）+∑ρv′（x）- λxZH（y）（v（x）- y） +1）dy=γ（~v（x）+1）~v′（x），其中γ在（4.7）中定义，初始条件为v（0+）=0。（4.19）将最后一个方程的两个边乘以v′（x），我们得到方程（cρ+rx）（~v（x）+1）~v′（x）+σρ（~v′（x））- λv′（x）xZH（y）（v（x）- y） +1）dy=γ（~v（x）+1）。（4.20）我们发现方程（4.20）在条件（4.19）下的解及其导数的表示形式为：~v（x）=αxβ（1+o（1）），~v′（x）=βxβ-1（1+o（1）），x→ 0，其中β>0和α是一些常数。

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2022-5-7 11:14:18

考虑到H（x）=1+o（1），x→ 0，我们从（4.20）中了解了主要的扩展条款：γαx2β+2γαxβ+γ（1+o（1））=cραβx2β-1+cραβxβ-1+R-λβ + 1αβx2β+（r- λ） αβxβ+σραβx2β-2.（1+o（1）），x→ 从这个关系式很容易看出β=1。然后cρα+σρα=γ。因此α=v′（0+）=-cρ+qcρ+2γσρ/σρ= -u - rσ[ρσ]-cu-r+qc（u）-r）+2σcσ（u）-r）（ρ）- ρ)].回想一下，鉴于（4.1），v′（0+）=v′（0+）<0。我们有，V′（x）=1- Bx（1+o（1）），x→ 0，（4.21）和v′（x）=-B+o（1），x→ 0，（4.22）其中b=cρ+qcρ+2γσρ/σρ. （4.23）跳扩散风险过程下的渐近投资行为11注意b=u- rσ[a*V（0+）+ρσ]，其中a*V（0+）由（3.22）给出。因此，我们给出了V（x）：V（x）=x的渐近表示- （B/2）x（1+o（1）），x→ 根据值函数δ（x），我们有定理4.1。它保持δ（x）=C[x- （B/2）x（1+o（1））]，x→ 0，其中B在（4.23）中给出，C=1/V(∞) 是一个正常数。接下来，我们找到V′（x）的更精确的渐近表示，以获得最优策略的渐近表示。为此，我们引入变量v（x）=-Bx（1+z（x）），其中B在（4.23）中定义。那么v′（x）=-B（1+z（x））- Bxz′（x），x→ 我们用以下形式来描述z（x）：z（x）=ηxθ（1+o（1）），其中θ>0和η是一些常数。从（4.20）我们得到θ=1，然后η=λ- r+2γ+Bcρ2（cρ- Bσρ）和v′（x）=-B- 2Bηx（1+o（1）），x→ 0.（4.24）对于最优策略（4.4），考虑到（3.1）、（4.21）和（4.24），我们得到了x→ 0:a*V（x）=-(u - r） V′（x）σV′（x）- ρσσ=(u - r） [1- Bx（1+o（1））]σB[1+2ηx（1+o（1））]- ρσσ= -cu- r+sc（u）- r） +2σcσ（u- r）（ρ）- ρ) -u - rσ1+2ηBx（1+o（1））。（4.25）最后，我们有定理4.2。

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2022-5-7 11:14:21

对于最优的投资策略，它持有*V（x）=a*V（0+）-u - rσ-hλ- r+（u）-r） σiA.*V（0+）+ρσ+ cρ（u）-r）σqcρ+（u）-r）σσρx（1+o（1）），当x→ 0，a在哪里*V（0+）在（3.22）中给出，cρ和σρ在（4.18）中给出。备注4.2。我们注意到定理4.1和4.2中的结果也适用于参数条件ρ<ρ<ρ的约束情形。这些结果适用于任何性质为H（x）=1的索赔规模分布- o（1）当x→ 0.备注4.3。定理4.1和4.2中的结果适用于参数情况u=r，在这种情况下，最优投资额是一个具有*V（x）≡ -ρσσ和B=2cρ/σρ12塔蒂亚娜·贝尔基纳和上镇荧光标记4.4。在投资不受限制的情况下- r>0和ρ>ρ，我们有一个*V（0+）<0，这表明卖空高回报股票以获得最低盈余水平是最佳的。我们注意到，这种反直觉的投资策略在经典模型中从未出现，在无约束的情况下没有扰动，它显示了扰动模型的一个特点，即投资（买入/卖空股票）不仅是为了股票收益，而且也是为了中和扰动风险。我们还注意到，当在模型中施加对借款（货币）和购买（股票）的强烈投资约束而不受干扰时，这种策略（卖空高回报的股票）可能会发生（参见，例如[2]）。指数索赔案例的分析我们现在分析索赔额Y与平均数m呈指数分布的案例。在这种情况下，我们给出了关于大剩余水平渐近行为的一些新结果。对于特殊情况u=r，来自aV（x）≡ -ρσ，我们看到最优投资金额是常数，这种情况在Rema rk 5.4中讨论。在下文中，我们假设umeu6=r.5.1。不受约束的案件。

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2022-5-7 11:14:24

与[3]（ρ=0的情况）一样，我们首先推导出最优策略的方程。根据方程（4.8），对于具有指数索赔分布函数H（y）=e的情况-其中k=1/m，我们有（cρ+rx）v（x）+σρv′（x）- λxZe-kyv（x）- y） dy- λV（0）e-kx=γ（v（x））v′（x），（5.1），其中v（x）=v′（x），γ在（4.7）中给出，cρ和σρ在（4.18）中给出。Letu（x）=v（x）ekx。它保持v′（x）=e-kx（u′（x）- ku（x））。然后方程（5.1）可以改写为（cρ+rx）u（x）+σρ（u′（x）- ku（x））- λxZu（y）dy- λV（0）=γu（x）u′（x）- 库（x），安达*V（x）=-(u - r） V′（x）σV′（x）- ρσσ= -u - rσu（x）u′（x）- ku（x）- ρσσ.因此（cρ+rx）u（x）-σρu - RA.*V（x）+ρσσu（x）- λxZu（y）dy- λV（0）=- γ（a）*V（x）+ρ∑σ∑u- ru（x）。将这个方程与x微分，我们得到ru（x）+（cρ+rx）u′（x）-σρu - rσu′（x）（a）*V（x）+ρσ）- u（x）（a）*V（x））′（a*V（x）+ρσ）- λu（x）=-u - rhu′（x）（a）*V（x）+ρσ）+u（x）（a）*V（x））′i.用u（x）除以两边，并写出aV（x）=a*V（x）+ρσ=-u - rσV′（x）V′（x），（5.2）跳-扩散风险过程下的渐近投资行为13我们对aV有以下等式：- λ+（cρ+rx）K-u - rσ~aV（x）-σρu - rσkaV（x）-u-rσ- ~a′V（x）~aV（x）=-u - Rk~aV（x）-u - rσ+~a′V（x）,实际上，[σ＠aV（x）+σρ]~a′V（x）=-σm~aV（x）- 2.R- λ+cρm-(u - r） 2σ+rmxσu - r~aV（x）+2cρ+rx+2mσρ■aV（x）- σρu - rσ。（5.3）在续集中，我们找到了最优策略和价值函数的渐近表示。可以证明，方程（5.3）有一系列有界解，对于大x，每个有界解主要以以下渐近级数的形式表示：~aV（x）~ Σ∞k=0akx-k、（5.4）式中，a=（u）- r） mσ，~a=-1.-λr(u - r） mσ。附录中给出了（5.2）中定义的功能（5.4）的简短调整。然后我们得到了最优策略的以下性质：定理5.1。

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2022-5-7 11:14:27

它保持着*V（x）=（u）- r） mσ- ρσσ-1.-λr(u - r） mσx（1+o（1）），x的（5.5）→ ∞.注意到[ln V′（x）]”-u-rσ~aV（x），我们有v′（x）=K exp{-(u - r） σZx~aV（y）dy}，（5.6）对于一些K>0的情况，从对大y使用~aV（y）=~a+~ay（1+o（1））得到v′（x）=K exp{-Zxmh1- M1.-λry（1+o（1））idy}=K exp{-Zxm+1.-λry（1+o（1））dy}=Ke-x/mxλ/r-1（1+o（1）），代表x→ ∞. 因此它保持sv（x）=V(∞) - 柯-x/mxλ/r-1（1+o（1）），x→ ∞,我们有关于价值函数的关系：定理5.2。它保持δ（x）=1- 柯-x/mxλ/r-1（1+o（1）），x→ ∞,对于某些常数K>0。将最小破产概率函数写成：ψ（x）=1- δ（x），我们有ψ（x）=Ke-x/mxλ/r-1（1+o（1）），x→ ∞. （5.7）14 TATIANA BELKINA和SHANGZHEN LUORemark 5.1。我们注意到，（5.5）和（5.7）中的结果也适用于无扰动σ=0的模型。从（5.5）中，我们可以看到最佳投资金额有一个有限的限制。给出了最优策略收敛到极限的速度。在（5.7）中，最小破产概率函数的极限表达式是指数函数和幂函数x的乘积→ ∞. 我们发现，利率r、主动索赔均值m和索赔发生强度λ在表达式中起关键作用，而股票参数u、σ、溢价率c和扰动参数σ则不显著。为了将（5.7）与现有结果（例如，破产概率函数的指数界或幂函数近似）进行比较，我们给出了以下结果：备注5.2。在[7]的定理1中，如果2uσ>1，ψ（x）=Kx1-2μσ（1+o（1）），x→ ∞, 对于某些常数K>0。这个结果是在没有布朗扰动的m模型下得到的。而且对投资没有控制权，也就是说，所有盈余都投资于风险资产。

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2022-5-7 11:14:31

[18]的定理2给出了这个结果的一个推广，其中剩余过程由扰动的Cramer-Lundberg过程建模。在投资比例不变的情况下，即t时刻的投资金额为at=αXt，0<α≤ 1，破产概率的形式为：ψ（x）=Kx1-2[uα+r（1-α） ]ασ（1+o（1）），x→ ∞,对于某些常数K和2[uα+r（1- α)]ασ> 1. 在这些模型中，风险资产的投资金额倾向于以盈余的形式存在于实体中。因此，当盈余水平较大时，库存波动率和库存增长率是影响破产概率的主要参数，而不是指数平均值、索赔发生强度和保险费率。备注5.3。在[9]的定理4.1中，它显示为ψ（x）≤ E-RxR在哪里∈ （0，1/m）解方程λ1.- 先生- 1.= cR+u2σ。我们注意到，这里的盈余过程t是本文中ju-mp扩散过程的一个特例，R=0，σ=0，他的界是通过使用一个数量为uRσ的常数投资策略π得到的，在这个过程{e-RXπt}t≥0是一个鞅。在[19]的定理4.2中，布朗摄动是s hownψ（x）≤ E-Rx，其中R∈ （0，1/m）解方程λ1.- 先生- 1.=C- ρσuσR-σ(1 - ρ） R+u2σ。[19]的贴现盈余过程是一个跳跃差异过程，其形式与r=0时略有不同。指数界可以使用金额为uRσ的常数投资策略π获得- ρσσ在r=0的模型中，过程{e-RXπt}t≥0是一个鞅。5.2. 受约束的情况。首先假设函数V（x）满足方程（3.13）的极坐标x。该方程的形式为（σA+2ρσA+σ）V′′（x）+[c+（u）- r） A+rx]V′（x）- M（V）（x）=0。

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2022-5-7 11:14:35

（5.8）在指数索赔的情况下，回想k=1/m，等式（5.8）可以改写为[σA+2ρσA+σ]V′（x）+[c+（u）- r） A+rx]V′（x）+kλxZV（x）- y）经验(-k y）dy- λV（x）=0。（5.9）表示g（x）：=xZV（x）- y）经验(-k y）dy.跳扩散风险过程下的渐近投资行为15很容易看出g′（x）=V（x）- 千克（x）。（5.10）如果V满足（5.9），那么它满足以下等式：G′（x）+kG（x）=0，（5.11），其中G（x）=[σA+2ρσA+σ]V′（x）+[c+（u）- r） A+rx]V′（x）+kλxZV（x）- y）经验值(-k y）dy- λV（x），（5.12），即方程式（5.9）的左侧。然后在（5.10）的观点中，方程（5.11）可以重写为一个三阶的普通微分方程（ODE）：0=v′（x）+2cAρ+2（u- r） AAρ+k+2rAρxV′（x）+2（（r）- λ） +kc+kA（u）- r））Aρ+2rkAρxV′（x），（5.13），其中ρ=σA+2ρσA+σ。（5.14）Put:a=2cAρ+2（u- r） AAρ+k，a=2rAρ，（5.15）和a=2[（r- λ） +kc+kA（u）- r） [Aρ，A=2rkAρ，（5.16）那么常微分方程（5.13）的形式为φ′′+（ax+A）φ′+（ax+A）φ=0，（5.17），其中φ=V′。我们设定y=φ，y=φ′。然后y′=y，y′=-（ax+a）y- 因此，我们得到以下矩阵形式的方程：y′=（a+ax）y，（5.18），其中y=（y，y）T，and=0 0-A.-A., A=0 1-A.-A..改写公式（5.18）-1y′=（A+Ax）y.（5.19）该系统在第二个范围内有一个不规则的奇点（见[32]）。由于矩阵的特征值为零，那么为了获得解的渐近行为的主项，我们必须通过概率论找到对零特征值的修正，直到O（1/x）。为此，我们使用线性常微分方程组的渐近对角化方法（见[17]及其参考文献）。首先，我们找到矩阵a的一个诊断算子，即矩阵D-1AD=~A，16 TATIANA BELKINA和SHANGZHEN Loona，其中~Ais为对角矩阵。

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2022-5-7 11:14:38

很容易证明这一点=1 0-a/a=1 0-K1,~A=0 00 -A..接下来介绍变量sy=D的变化E+Nx+Nxz、（5.20）其中z=（z，z）T，E是2×2单位矩阵，N是下面要确定的一些2×2矩阵。微分方程（5.20）在x中，我们有y′=DE+Nx+Nxz′- DNx+2Nxz、我们从（5.19）方程得到-1z′=E+Nx+Nx-1英寸A+斧头！E+Nx+Nx+ O十、#z、（5.21）式中，A=D-1AD=-K1-A.- k（k）- a） k- A..选择矩阵N，N，N，使方程的形式为x-1z′=A+Ax+Ax+O十、!z、（5.22）式中，a和a是一些对角矩阵。我们让A=-K00K- A.,（A的对角线元素与矩阵A中的对角线元素相同），我们确定A。等于（5.21）和（5.22）的右边，我们有一个+Ax！E+Nx+Nx+ O十、=E+Nx+Nx~A+~Ax+~Ax！。等于x的系数-1我们得到了<<AN+~A=<<A+N>>A，这意味着=0-1/a-[a+k（k- a） ]/a.现在等于x的系数-2我们得到了?AN+?AN=?A+N?A+N?A和N=0-（2k）- a） /a[a+k（k- a）（a）- 2k）/a,~A=λ/r- 1 00 1- λ/r.该系统（5.22）渐近等价于以下系统（见[4]）：！~z，（5.23）跳-扩散风险过程下的渐近投资行为，其中~z=（~z，~z）T，分为两个独立的方程：~z′=-k+λ/r- 1x~z，~z′=-2rAρx-2cAρ-2(u - r） AAρ+1- λ/rx~z代表x→ ∞, 这些方程的解具有以下形式：~z=Ce-kxxλ/r-1（1+o（1）），z=Ce-rAρx-2（c+（u）-r） A）ρxx1-λ/r（1+o（1）），对于某些常数C和C。对于（5.22）的解，同样的表示是正确的。

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2022-5-7 11:14:41

注意=z+-Aρ2rx+lx！z、 y=-K-R- λrx+lxz+“1+kAρ2rx-lx#z、式中，l是矩阵N的元素：l=-a（2k）- a），l=r- λra（a）- 2k）。因此，考虑到上述非减损函数V的表示法满足la rge x的（3.13），WeDev′（x）=Ce-x/mxλ/r-1（1+o（1）），x→ ∞, （5.24）与v′（x）=-M-R- λrx+lx总工程师-x/mxλ/r-1（1+o（1）），x→ ∞,其中C>0。ThusaV（x）=（u- r） mσ- ρσσ-1.-λr(u - r） mσx（1+o（1）），x→ ∞.注意，对于A=0的情况，如果我们考虑ai，i=1。。。，（5.15），（5.16）和（5.14）中的ρ（特别是，在这种情况下，ρ=σ）。写入ρ=m（u- r） σσ，ρ=ρ-一个好主意。如果A<（u）-r）mσ-ρσ，或ρ<ρ，对于大x，我们有V′（x）<0和aV（x）>A，因此A*V（x）=A和V解（3.13）。如果ρ<ρ<ρ（即0<（u-r）mσ- ρσσ<A），从无约束情形下大剩余值下最优策略的渐近表达式（5.5）中，我们可以看到大剩余值下的V′（x）<0 A和0<aV（x）<A；那么优化器就是一个*V（x）=aV（x），其中V求解（3.14）。如果ρ>ρ（（u-r）mσ- ρσ<0），对于大x，我们有V′（x）<0和aV（x）<0，因此*V（x）=0和Vsolves（3.15）。如果ρ=ρ（即A=（u-r）mσ- ρσ），然后V′（x）<0，aV（x）≥ A和A*V（x）=A对于大x如果（λ- r）是阳性，或0<aV（x）<A和A*V（x）=aV（x）if（λ）- r）这是负面的。然后V分别解（3.13）或（3.14）。If（λ）-r） =0，其中一种情况取决于其他参数，我们省略了进一步的讨论。如果ρ=ρ（（u-r）mσ- ρσ=0），我们有V′（x）<0，0<aV（x）<A和A*V（x）=aV（x）对于大x如果（λ- r）是阳性，或aV（x）≥ 0和a*V（x）=0如果（λ- r）这是负面的。然后V分别解（3.14）或（3.15）。

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2022-5-7 11:14:44

If（λ）- r） =0，其中一种情况取决于其他参数。关于最优策略和价值函数，我们有以下定理：18塔蒂亚娜·贝尔基纳定理和商真定理5.3。对于大的x，它保持着A*V（x）=h（u）-r）mσ- ρσi（1+O（x）），A≥(u-r）mσ- ρσσ≥ 0;0,(u-r）mσ- ρσσ< 0;A、 A<（u）-r）mσ- ρσσ.（5.25）此外，如果A>-r）mσ- ρσ>0在第一种情况下，更精确的关系式（5.5）是完整的。定理5.4。它保持δ（x）=1- 柯-x/mxλ/r-1（1+o（1）），x→ ∞,对于某些常数K=K（A）>0。备注5.4。从本节的分析中，我们可以看到，在任何投资策略下，如果风险资产中投资了大量资金，则生存概率函数具有与定理5.4中相同的主项（指数函数和幂函数的乘积）的极限表达式。我们注意到定理5.3和5.4中的结果在没有扰动（σ=0）的模型中仍然有效。我们还注意到，在没有风险投资和扰动的情况下（如≡ 破产概率函数的形式如下（参见[23]和[29]）：ψ（x）=R∞xe-u/m1+ru/cλ/r-1duc/λ+R∞E-u/m1+ru/cλ/r-1du，表示ψ（x）=Ke-x/mxλ/r-1（1+o（1）），x→ ∞, 对一些人来说，K>0.6。数值例子和结论在这一部分，我们给出两个数值例子和一些结论。在这些例子中，我们考虑了无约束投资的情况。使用渐近结果和算子（4.12）对各种索赔分布进行计算。例6.1。在本例中，参数如下所示：u=0.42，r=0.32，c=0.36，λ=0.3，ρ=-0.2，σ=0.1，σ=0.2，k=1。我们给出了指数、半正态和对数正态索赔分布情况下的计算。

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2022-5-7 11:14:48

对于不同分布的所有情况，对于低盈余水平，我们有以下渐近结果*V（x）≈ 0.8542115- 0.02039470x（1+o（1）），x→ 0，使用（3.22）和定理4.2。指数索赔分布的均值为1，尾部概率函数H（x）=e-x、半正态索赔分布的密度和尾部概率函数如下所示：f（x）=vpπ/2e-x2v，H（x）=2h1- Φ十五i、 x>0，其中Φ为标准正态分布函数，v为参数。我们设置v=pπ/2，然后分布的平均值是vp2/π=1。对数正态分布具有密度和尾部概率函数SF（x）=√2πvxe-（lnx）-u） 2v，H（x）=1- Φ日志（x）- 紫外线, x>0，参数v>0和u∈ (-∞, ∞). 我们将v=1和u=-0.5，因此平均iseu+v/2=1。对于这些索赔分布，使用（3.1）和运算符（4.12）计算的最优投资控制如图1和图2所示。对于给定的指数索赔分布，对于大剩余水平，它具有以下渐近结果：a*V（x）≈ 10.4- 0.625x（1+o（1）），x→ ∞,使用（5.5）。跳扩散风险过程下的渐近投资行为19例6.2。在本例中，参数如下所示：u=0.2，r=0.12，c=0.5，λ=0.3，ρ=0.15，σ=0.9，σ=0.5，和k=0.5。我们给出了指数分布、威布尔分布和帕累托分布情况下的计算。对于不同分布的所有情况，对于低盈余水平，我们有以下渐近结果a*V（x）≈ -0.05274736+0.01112835x（1+o（1）），x→ 0，使用（3.22）和定理4.2。指数分布的均值为2，H（x）=e-0.5倍。威布尔分布具有密度和尾部概率函数SF（x）=vu徐五、-1e-（xu）v，H（x）=e-（xu）v，x>0，其中u和v是参数。我们设定u=1，v=1/2。

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2022-5-7 11:14:51

所以分布的平均值是uΓ（1+1/v）=2。帕累托索赔分布具有密度和尾部概率函数sf（x）=vuv（u+x）v+1，H（x）=uu+xv、 x>0，其中u和v是参数。设置u=2，v=2；所以平均值是u/（v）- 1) = 2. 对于这些索赔分布，图3和图4给出了使用（3.1）和运算符（4.12）计算的最优投资控制（我们注意到，在指数和帕累托索赔分布的两种情况下，本例中的最优投资策略在图3中几乎没有显示出差异）。在具有指数索赔分布的情况下，对于大盈余水平A，我们有以下渐近结果*V（x）≈ 0.163580+0.740741x（1+o（1）），x→ ∞,使用（5.5）。本文研究破产最小化情形下的最优投资控制问题。盈余由一个受扰动的Cramer-Lundberg过程建模。考虑了Black-Scholes股票和无风险资产的投资控制。利用算子证明了两种投资情况下HJB方程经典解的存在性。在投资受限的情况下，对于低盈余水平，我们发现最佳投资金额取0（不投资风险资产）或A（风险投资的最大水平）或趋于固定水平的参数条件。在无约束条件下，我们证明了当盈余水平x变为0时，最优投资金额以x阶率接近固定水平。我们还证明了最大生存概率以x阶的速率趋于0。在指数索赔的情形下，我们给出了大剩余值的新的渐近结果。我们证明，最优投资金额趋向于固定水平的1/x，正如盈余水平的x趋向于固定水平。

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2022-5-7 11:14:56

我们还证明了最小破产概率函数具有e的极限表达式-x/mxλ/r-1.一般来说，在跳跃扩散模型下，最优投资控制和最大生存概率函数在分析上是不可处理的，即它通常无法给出它们的显式表达式。因此，本文的渐近结果为寻找最优投资控制和最大生存概率提供了方便而有意义的计算。致谢本研究的第一作者得到了俄罗斯基础研究基金资助的RFBR 13-01-00784和RFBR 11-01-00219，以及NRU HSE国际定量金融实验室，RF government grant，ag。14.A12。31.0007（TB）。本文也是在波恩大学豪斯多夫数学研究所（TB）访问期间，在“经济和金融随机动力学”（TB）三个月计划的框架内撰写的。第二位作者（SL）感谢北爱荷华大学的专业发展任务和暑期研究奖学金的支持。20 TATIANA BELKINA和SHANGZHEN LUO0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010.854180.854200.854220.854240.854260.854280.854300.854320.854340.854360.85438盈余指数半-正态对数-如图1所示。O低盈余下的公共投资——示例10 1 2 3 4 5 6 7 80510152025盈余指数一半-正态对数-如图2所示。大盈余下的最优投资——例1参考文献[1]Azcue，P.和Mul，M.：在借贷约束下使保险公司破产概率最小化的最优投资策略，保险数学。经济。

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2022-5-7 11:15:00

44（1），26–34（2009）跳扩散风险过程下的渐近投资行为210 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-0.05280-0.05275-0.05270-0.05265-0.05260-0.05280-0.05275-0.05270-0.05265指数威布尔帕累托图3。O低盈余的公共投资——例20 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.100.10.20.30.40.50.60.70.8指数Weibull参数图4。大盈余下的最优投资——例2[2]Belkina，T.，Hipp，C.，Luo，S.，和Taksar，M.，Cramer-Lundburg模型中的最优约束投资，斯堪的纳维亚精算杂志，（5），383–404（2014）[3]Belkina，T.A.和Norshteyn，M.V.：具有扩散干扰的风险动态模型中的最优投资策略结构，经济过程的分析和建模，《文章集》，ed.V.Z.Belenky，9号，莫斯科，塞米·拉斯（2012年）（俄语版）；电子打印：www.cemi。rssi。ru/publication/books[4]Bellman，R.：微分方程的稳定性理论，纽约：多佛（2008）[5]杜弗涅，F.和格伯，H.U.：因微分而发生变化的复合泊松过程的风险理论，保险数学。经济。10（1），51–59（1991）[6]Ei senberg，J.：一类次指数分布利率下的渐近最优投资，斯堪的纳维亚精算杂志（8），671–689（2014）[7]Frolova a.，Kabanov Yu。在保险业中，风险投资是危险的，金融是随机的。，6（2）227-235（2002）[8]Gaier，J.和Grandits，P.：存在规则变化尾巴和最优投资的破产概率，保险数学。经济。30，211–217（2002）22 TATIANA BELKINA和商镇罗[9]Gaier，J.，Grandits，P.和Schachermayer，W.：渐近破产概率和最优投资，应用概率年鉴13（3），1054–1076（2003）[10]Gaier，J。

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《斯堪的纳维亚精算杂志》（4），256–278（2004）[11]Grandits，P.：最佳投资情况下的克拉姆-伦德伯格近似的类似物，Appl。数学擎天柱。50（1），1-20（2004）[12]Grandits，P.：一类次指数分布的最小破产概率和利息力下的投资，斯堪的纳维亚精算杂志（6），401-416（2005）[13]Gerber H.U.和Yang H.：带投资的跳跃扩散风险模型中的绝对破产概率，北美精算杂志11（3），159-169（2007）[14]Hipp，C.和Plum，M：对于依赖国家收入的投资者，以及对于保险公司，最佳投资是随机的。7（3），299-321（2003）[15]希普，C.和布鲁姆，M.：保险公司的最佳投资，保险数学。经济。27，215–228（2000）[16]希普，C.和施密德利，H.：《小索赔》中受控风险过程破产概率的渐近性，斯堪的纳维亚精算杂志，（5），321–335（2004）[17]科纽霍娃，N.B.：常微分方程组的奇异柯西问题，U.S.S.R.计算机。数学数学物理。，23,72–82（1983）[18]Laubis，L.和Lin，J.E.：带投资的跳跃-扩散风险模型中的最优投资分配：几个例子的数值分析，第43届精算研究会议论文集（电子版），（2008）[19]Lin，X.：经典风险过程的破产理论，受风险投资的扩散干扰，商业和工业中的应用随机模型，25（1），33–44（2009）[20]罗南：有借款约束的保险公司的风险最小化，北美精算杂志，12（2），143–174（2008）[21]罗南。

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和Taksar，M.：关于离散近似模型下的绝对破产最小化，保险：数学与经济学48（1），123–133（2011）[22]Lyapunov a.M.：运动稳定性的一般问题，国际控制杂志55（3），521–527（1992）[23]Paulsen，J.和Gjessing，H.K.：具有随机投资回报的破产理论，Adv.Appl。Probab。29（4），965–985（1997）[24]Paulsen，J.：关于具有随机投资回报率的风险过程的Cram’er渐近性，应用概率年鉴12（4），1247–1260（2002）[25]Schmidli，H.：动态环境中的最优比例再保险政策，Scan。精算J.1，55–68（2001）[26]施密德利，H.：关于通过投资和保险最小化破产概率，应用概率年鉴12（3），890–907（2002）[27]施密德利，H.：关于最优投资和次指数索赔，保险：数学和经济学36（1），25–35（2005）[28]施密德利，H.：保险中的随机控制，伦敦：斯普林格·韦拉格（2008）[29]塞格达尔，C.O.：¨斯堪的纳吉·里西科西奥雷蒂奇·弗拉格斯特伦根。Akt。Tidskr 25,43–83（1942）[30]Taksar，M.和Markussen C.：大型保险组合的最优动态再保险政策，金融与随机7,97–121（2003）[31]Teschl，G.：普通微分方程和动力系统，普罗维登斯：美国数学社会（2012）[32]Wasow，W.，普通微分方程的渐近展开，纽约：多佛（1987）[33]杨，H.L。

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