非参数随机贴现因子分解

2022-5-7 13:58:30

非参数随机贴现因子*Timothy M.Christensen+第一版：2013年5月2日。修订日期：2017年5月19日。动态经济中的随机贴现因子（SDF）过程允许一种永久的暂时分解，其中永久性成分表征了超长投资期的定价。本文介绍了一个分析SDF过程的永久瞬态分解的经验框架。具体来说，我们展示了如何非参数地估计Hansen和Scheinkman（2009）的Perron-Frobenius特征函数问题的解。我们的经验框架允许研究人员（i）恢复估计的永久性和暂时性成分的时间序列，以及（ii）估计在长期投资期限内表征定价的收益率和度量变化。我们还通过将值函数递归重新解释为非线性Perron-Frobenius问题，在一类具有递归偏好的模型中引入了连续值函数的非参数估计。我们建立了特征函数估计的一致性和收敛速度，以及特征值估计和相关泛函估计的渐近正态性。作为一个应用，我们研究一个经济体，其中代表性代理人被赋予递归偏好，考虑到一般（非线性）消费和收入增长动态。关键词：非参数估计，筛选估计，随机贴现因子，永久瞬变分解，非参数值函数估计。*本文基于我2013年11月8日发表的就业市场论文《动态资产定价模型的长期影响评估》。我非常感谢我的顾问肖洪晨和彼得·菲利普斯的建议和支持。

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2022-5-7 13:58:35

我要感谢联合编辑拉尔斯·彼得·汉森和三位匿名推荐人提出的富有洞察力和有益的评论。我从Caio Almeida（讨论者）、Jarda Boroviˇcka、Tim Cogley、Jean-Pierre Florens（讨论者）、Nour Meddahi、Keith O\'Hara、Eric Renault、Guillaume Roussellet、Tom Sargent以及芝加哥布斯、哥伦比亚、康奈尔、杜克、印第安纳、莫纳什、蒙特勒、西北、纽约大学、宾夕法尼亚、普林斯顿、罗格斯、悉尼大学、新南威尔士大学、范德比尔特、威斯康星州、，还有几次会议。所有的错误都是我自己的。+纽约大学经济系，美国纽约州纽约市第六层西四街19号，邮编：10012。电子邮件地址：timothy。christensen@nyu.edu1在动态资产定价模型中，随机贴现因子（SDF）是用来推断均衡资产价格的随机过程。Alvarez和Jermann（2005年）、Hansen和Scheinkman（2009年）和Hansen（2012年）表明，SDF过程可以分解为永久性和暂时性成分。永久分量是一个鞅，它会产生另一种概率测度，用于描述长期投资期的定价。暂时性部分与（渐进）长期贴现债券的收益有关。Alvarez和Jermann（2005）以及Bakshi和Chabi-Yo（2012）发现，为了解释历史收益数据的几个显著特征，SDF必须具有非平凡的永久性和暂时性成分。Qin和Linetsky（2017）表明，即使在非常一般的半鞅环境中，也可以得到永久的暂时分解，这表明这种分解是无套利资产定价模型的一个基本特征。Hansen和Scheinkman（2009）开创性的工作将马尔可夫环境中的SDF分解与Perron-Frobenius特征函数问题联系起来。

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2022-5-7 13:58:41

具体而言，Hansenand Scheinkman（2009）表明，永久性和暂时性成分是由SDF过程、Perron-Frobenius特征函数及其特征值构成的。本征函数决定了长期收益的平均收益率，本征函数描述了长期收益价格对马尔可夫状态的依赖性。与长期投资期定价相关的概率度量可以用本征函数和另一个本征函数表示，该本征函数是从时间反转的PerronFrobenius问题中获得的。参见汉森和舍因克曼（2012年、2017年）、巴克斯、切尔诺夫和津恩（2014年）、博罗维奇、汉森和舍因克曼（2016年）以及秦和莱恩茨基（2017年、2016年），了解相关的理论发展。本文补充了现有的理论文献，为提取SDF过程的永久性和暂时性成分提供了一个经验框架。我们展示了如何从状态变量的时间序列数据和SDF过程估计Hansen和Scheinkman（2009）的Perron-Frobenius特征函数问题的解。通过直接估计本征值和本征函数，可以重建被估计的永久和瞬态分量的时间序列，并研究它们的性质。该方法还允许人们估计长期投资期限内的收益率和衡量标准的变化。

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2022-5-7 13:58:46

这种方法从根本上不同于研究永久性暂时性分解的现有经验方法，永久性暂时性分解会产生永久性和暂时性成分的各种矩作为资产回报函数的界限（Alvarez和Jermann，2005；Bakshi和Chabi-Yo，2012；Bakshi，Chabi-Yo和Gao-Bakshi，2015a，b）。尽管该方法是在SDF分解的背景下提出的，但它可以应用于更一般的过程，如Hansen、Heaton和Li（2008）、Hansen和Scheinkman（2009）以及Hansen（2012）中的估值和随机增长过程。经验框架是非参数的，也就是说，它没有对状态变量的运动规律或状态变量和SDF过程的联合分布施加任何严格的参数限制。这种方法与现有文献一致，在现有文献中，永久性和暂时性分量的边界矩是在不对SDF、状态变量和资产回报的联合分布施加任何参数限制的情况下推导出来的。这种方法也与资产定价模型的传统基于矩的估计方法一致，例如GMM（Hansen，1982）及其各种扩展。在结构性宏观金融模型中，SDF过程（及其永久和过渡成分）由经济主体的偏好和状态变量的动态决定。几项研究表明，标准偏好和国家流程规范难以解释历史回报数据的显著特征。例如，巴克斯等人（2014年）发现，某些特定品种似乎无法生成SDF，而SDF的组成部分足够大，足以解释历史回报溢价，同时又不会在长期和短期收益率之间产生不切实际的巨大利差。

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2022-5-7 13:58:50

Bakshi和Chabi-Yo（2012）发现，历史收益数据支持永久性和暂时性成分之间的正协方差，但这种正相关性不能被工作马模型复制，如Bansal和Yaron（2004）的长期风险模型。我们的非参数方法学可以与参数方法结合使用，以更好地理解动力学和偏好在构建模型中的作用，这些模型的永久性组件和过渡组件具有经验性现实特性。当然，如果状态动力学是非参数处理的，那么某些前瞻性组件，例如递归偏好下的连续值函数，在分析上是不可用的。因此，我们在具有Epstein和Zin（1989）递归偏好且跨时间替代弹性（EIS）等于1的模型中引入连续值函数的非参数估计。最近，秦、林茨基和聂（2016）使用了一种互补的参数化方法来恢复参数期限结构模型中的永久成分。例子包括Ai和Chen（2003）的基于条件矩的估计方法，该方法已被用于估计具有习惯（Chen和Ludvigson，2009）和递归偏好（Chen，Favilukis和Ludvigson，2013）的资产定价模型，以及Gagliardini，Gourieroux和Renault（2011）的扩展矩方法，该方法特别适用于衍生品定价。经验工作，如Hansen等人（2008年），也可以被解释为Hansen和Sargent（1995年）制定的风险敏感性偏好（见Tallarini（2000））。我们将价值函数所解的不动点问题重新解释为一个非线性Perron-Frobenius问题。

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2022-5-7 13:58:53

在这样做的过程中，我们与索洛和萨缪尔森（1953年）之后的非线性佩龙-弗罗贝尼乌斯理论的文献相联系。作为一个应用，我们研究了一个类似于Hansen等人（2008）研究的环境。我们假设一个具有代表性的代理人具有Epstein和Zin（1989）偏好，具有跨期替代的单位弹性。然而，我们没有像Hansen等人（2008年）那样使用同态高斯VAR对消费和收入进行建模，而是将消费增长和收入增长建模为一般（非线性）马尔可夫过程。我们恢复SDF过程的时间序列及其永久性和暂时性分量，而不假设状态的任何参数运动规律。永久性成分足够大，足以解释股票相对于长期债券的历史回报率，具有强烈的反周期性，并且与SDF高度相关。我们还表明，永久性成分导致了一种概率测量，将消费和收入增长的历史分布向低收入和消费增长区域倾斜。为了更好地理解动力学的作用，我们将非参数提取的永久性和暂时性成分的性质与状态动力学的两个基准参数模型所隐含的永久性和暂时性成分进行比较，这两个基准参数模型分别是高斯VAR和随机波动的AR过程。我们发现，对于偏好参数的某些值，非参数的永久性和暂时性成分可以正相关，而对应于两个参数模型的永久性和暂时性成分则是强负相关。

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2022-5-7 13:58:57

总的来说，我们的发现表明，非线性动力学可能在解释长期结构方面发挥了有益的作用。我们提出的Perron-Frobenius本征函数和本征函数的筛选（或投影）估计器在很大程度上借鉴了Chen、Hansen和Scheinkman（2000）以及Gobet、Ho ff mann和Reiss（2004）关于马尔可夫差的非参数估计的早期工作，而且实现起来非常简单。我们还提出了一类具有递归偏好的模型中连续值函数的筛估计。实现筛值函数估值器需要解决一个低维定点问题，我们提出了一个计算简单的迭代方案。这两种估计方法都避开了状态转移分布的非参数估计。参见Darolles、Florens和Renault（1998年）、Darolles、Florens和Gourieroux（2004年）、Carrasco、Florens和Renault（2007年），了解基于核的条件期望算子估计，以及Lewbel、Linton和Srisuma（2011年）和Escanciano、Hoderlein、Lewbel、Linton，和Srisuma（2015），通过特征函数方法对非参数Euler方程模型中的边际效用进行基于核的确定。本文的主要理论贡献如下。首先，我们建立了Perron-Frobenius特征函数估计的相合性和收敛速度，并建立了特征值估计和相关泛函估计的渐近正态性。

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2022-5-7 13:59:00

大样本属性具有充分的通用性，可以适应已知函数形式的SDF过程，也可以包含从数据中首次估计的成分（如偏好参数和连续值函数）。其次，在SDF为已知函数形式且估计量达到其界的情况下，导出了特征值和相关泛函的半参数效率界。第三，本文首次建立了一类具有递归偏好的模型的连续值函数的筛估计的一致性和收敛速度。虽然分析仅限于状态向量可观测的模型，但关于特征函数和连续值函数估计的主要理论结果同样适用于状态分量潜在的模型。论文的剩余部分如下。第2节简要回顾了Hansen和Scheinkman（2009）的理论框架和相关文献，并讨论了分析和识别问题的范围。第3节介绍了Perron-Frobeniuseigenvalue、特征函数和相关泛函的估计量，并建立了它们的大样本性质。第四节研究了非参数连续值函数估计。第5节介绍模拟练习，第6节介绍实证应用，第7节总结。有关估计和推断的其他结果，请参见附录。补充材料包含正文中所有结果的证明，以及正文中出现的一些假设的充分条件。

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2022-5-7 13:59:03

在线附录包含关于识别的其他结果、进一步的模拟结果和其他证明。2.设置2。1理论框架本小节总结了Alvarez和Jermann（2005）、Hansen和Scheinkman（2009）（以下简称HS）、Hansen（2012）和Boroviˇcka等人（2016）（以下简称BHS）的理论框架。我们在离散时间工作，T表示非负整数集。在无套利环境中，存在一个正的随机贴现因子过程M={Mt:t∈ 满足：EhMt+τMtRt，T+τIti=1（1），其中Rt，t+τ是从t到t+τ期间交易资产的（总）回报率，它表示在t日所有投资者可获得的信息，E[·]表示关于投资者信念的预期（见汉森和雷诺（2010））。在本文中，我们假设投资者的信念与数据生成概率测度一致，从而施加理性预期。Alvarez和Jermann（2005）介绍了永久瞬态分解：Mt+τMt=MPt+τMPtMTt+τMTt。（2）永久分量MPt+τ/MPt是一个鞅：E[MPt+τ/MPt | It]=1（几乎可以肯定）。HS表明，鞅导出了另一种概率测度，用于描述长期投资期内的定价。过渡成分MTt+τ/MTt是从t日到t+τ日持有（渐进）长期贴现债券的回报的倒数。Alvarez和Jermann（2005）提供了永久性和暂时性组件存在的条件。Qin和Linetsky（2017）表明，分解是在非常一般的半鞅环境中得到的。要在HS和BHS中正式引入框架，请考虑概率空间(Ohm, F，P）上有一个时间齐次、严格平稳且遍历的马尔可夫过程X={Xt:t∈ T}取X中的值 Rd.设Q表示X的平稳分布。

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nandehutu2022

2022-5-7 13:59:06

让{Ft:t∈ T} F是由X的历史记录生成的过滤。假设XT总结了t日资产定价的所有相关信息。当我们考虑仅取决于该州未来价值的支付，并允许在中间日期进行交易时，我们可能会假设SDF过程是X的正乘法函数。也就是说，MTI适用于Ft，对于每个t，Mt>0∈ T（几乎可以肯定）和：Mt+τMt=Mτ（θT）和θT：Ohm → Ohm 对于每个τ，t，Xτ（θt（ω））=Xt+τ（ω）给出的时移算子∈ T（见HS第2节）。因此，Mτ是X的函数，Xτ和Mτ（θt）是相同的函数，适用于Xt，Xt+τ。特别是，对于一些正函数m，我们有：Mt+1Mt=m（Xt，Xt+1）（3）。为了方便起见，我们偶尔将m称为SDF。鉴于X的马尔可夫性，我们可以定义一个单期定价算子M，该算子在t+1日将SDATE-t价格分配给国家相关支付。也就是说，如果ψ（Xt+1）是在datet+1时的支付，那么它的date-t价格由以下公式给出：Mψ（x）=Ehm（Xt，Xt+1）ψ（Xt+1）Xt=xi。（4）定价运营商可根据支付期限τ进行类似定义≥ 1.将日期-t价格分配给日期-（t+τ）支付函数sψ（Xt+τ）的运算符Mτ由以下公式给出：Mτψ（x）=EhMt+τMtψ（Xt+τ）Xt=xi。（5）根据状态的马尔可夫性和SDF过程的乘法函数性质，每个τ的Mτ=Mτ（即M应用τ次）≥ 1.因此，有必要研究单周期算子M.HS引入并研究Perron-Frobenius本征函数问题：Mφ（x）=ρφ（x）（6），其中本征值ρ为正标量，本征函数φ为正。经典的有限维Perron-Frobenius理论认为，正矩阵的右、左特征向量与其谱半径对应。Krein和Rutman（1950）定理及其著名的扩展将有限维Perron-Frobenius定理推广到有限维Banach空间。

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2022-5-7 13:59:09

为了正式引入与ρ对应的mc的左特征函数，我们使用了Perron-Frobenius问题（6）的时间反转版本。回想一下，时间倒转时的一阶马尔科夫过程也是一阶马尔科夫过程（Rosenblatt，1971，第4页）。定义时间反转操作*ψ（x）=E[m（Xt，Xt+1）ψ（Xt）|Xt+1=x]。在下面的内容中，我们将假设M是Hilbert空间l={ψ：X上的有界线性算子→ R使得RψdQ<∞} 在这种情况下，我*正式定义为M的伴随。时间倒转的Perron-Frobenius问题是：M*φ*（x） =ρφ*（x）（7）式中ρ是（6）中的本征值和本征函数φ*这是积极的。如果一个函数几乎处处都是正（非负）Q，我们就说它是正（非负）函数。例如，见霍恩和约翰逊（2013）的定理8.2.2。给定解决Perron-Frobenius问题（6）的ρ和φ，HS定义为：MPt+τMPt=ρ-τMt+τMtφ（Xt+τ）φ（Xt）MTt+τMTt=ρτφ（Xt）φ（Xt+τ）。（8）由（6）可知，对于每个τ，t，E[MPt+τ/MPt | Ft]=1（几乎可以肯定）∈ THS表明，虽然Perron-Frobenius问题可能存在多种解决方案，但只有一种解决方案会导致过程MPA和MTT，而这些过程可以正确地解释为永久性和暂时性组件。这样一个解有一个鞅项，该鞅项引起测度的变化，在这个变化下X是随机稳定的；有关效率条件，请参见行李处理系统中的条件4.1。不严格地说，随机稳定性要求扭曲概率测度下的条件期望（随着视界的增加）收敛到无条件期望[·]。期望值ee[·]通常不同于与X的平稳分布相关的期望值E[·]。在随机稳定性下，单因子表示：limτ→∞ρ-τMτψ（x）=eEψ（Xt）φ（Xt）φ（x）（9）适用于每一个ψ，其中[ψ（Xt）/φ（Xt）]是有限的（例如，参见HS中的命题7.1）。

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2022-5-7 13:59:14

当（9）这样的长期近似成立时，我们可以将（8）中的MPt+τ/MPt和MTt+τ/MTt解释为SDF过程的永久性和暂时性成分。此外，标量-对数ρ可解释为长期产量。长期近似值（9）也表明φ反映了长期资产价格的状态依赖性。函数φ*它本身很有趣，因为它将在刻画期望值ee[·]方面发挥作用，并且还将出现在ρ估计量的渐近方差中。HS的理论框架可用于通过求解Perron-Frobenius特征函数问题来解析表征永久性和瞬态成分的特性。下面，我们描述一个经验框架来估计特征值ρ和特征函数φ和φ*来自X上的时间序列数据和SDF进程。2.2分析范围自始至终，马尔可夫状态向量XT被认为是计量经济学家可以观察到的。然而，我们不限制X的转移定律为任何参数形式。这种方法类似于Gagliardini等人（2011年）所采取的方法，他们还假设存在一个平稳的、时间齐次的马尔可夫状态过程，该过程对经济计量学家是可观察的，但不限制其过渡定律为任何参数形式。我们假设SDF函数m在某个参数下是可观测的或已知的，该参数是根据X上的数据（可能还有资产回报）首次估计的。案例1：SDF在这里是可见的，m的函数形式是事先已知的。例如，考虑研究人员指定的时间折扣参数β和风险规避参数γ的CCAPM。

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2022-5-7 13:59:17

这里我们简单地取m（Xt，Xt+1）=βG-对于某些已知函数G，γt+1提供的消费增长Gt+1的形式为Gt+1=G（Xt，Xt+1）。其他结构示例包括具有外部习惯的模型和具有预先指定偏好参数的耐用模型。案例2：SDF估计在这种情况下，我们假设m（Xt，Xt+1；α），其中m的函数形式已知为一个参数α，可以有几种形式：o结构模型中偏好参数的有限维向量（例如Hansenand Singleton（1982）和Hansen，Heaton，和Yaron（1996））或简化模型中的风险溢价参数（例如Gagliardini等人（2011））。o参数θ和函数h的向量，soα=（θ，h）。一个例子是具有Epstein和Zin（1989）递归偏好的模型，其中，当马尔可夫状态的过渡规律以非参数方式建模时，连续值函数未知（参见Chen等人（2013）和第6节中的应用）。对于这类模型，θ将由折扣、风险规避和跨期替代参数组成，而h将是连续值函数。另一个例子是Chen和Ludvigson（2009），其中θ由时间折扣和同质性参数以及非参数的内部或外部习惯形成成分组成我们也可以将α取为m本身，在这种情况下，^α将是SDF的非参数估计。著名的例子包括Bansal和Viswanathan（1993年）、Ait-Sahaliaan和Lo（1998年）以及Rosenberg和Engle（2002年）。在案例2中，我们考虑SDF分解的两步方法。在第一步中，α是根据状态的时间序列数据估计的，可能还有资产回报。

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2022-5-7 13:59:20

在第二步中，我们将第一阶段估计器^α插入非参数过程，以恢复ρ，φ，φ*, 以及相关数量。2.3识别在本节中，我们提供了一些有效条件，以确保对Perron-Frobenius问题（6）和（7）有唯一的解决方案。这些条件还确保形式（9）的长近似成立。因此，如（8）中所示，由ρ和φ构成的MPand Mt可以正确地解释为永久性和暂时性分量。对于估算，我们所需要的只是下面命题2.1的结论。因此，以下条件可由其他有效条件替代。HS和BHS利用马尔可夫过程理论建立了非常普遍的识别、存在和长期近似结果。我们使用的算子理论条件比HS和BHS中的条件更具限制性，但它们便于推导随后的大样本理论。特别地，这些条件保证了ρ、φ和φ的某些连续性*关于算子M的扰动，我们的结果是针对与估计相关的特定参数（函数）空间得出的，而HS和BHS的结果适用于更大的函数类。我们的条件与HS和BHS中的条件之间的联系在在线附录中进行了详细讨论，该附录还分别讨论了识别、存在和长期近似的问题。我们把Las中所有正函数的锥取为φ的参数空间。让k·k和h·I注意形式和内积。

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nandehutu2022

2022-5-7 13:59:25

如果kMk:=sup{kMψk:ψ，我们说M是有界的∈ 五十、 kψk=1}<∞ 如果M将有界集映射为相对紧集，则为紧集。最后，让我们看看Q Q表示X上的乘积测度。假设2.1让操作符M在display（4）中显示Mτ在display（5）中满足以下条件：（a）M是形式为：Mψ（xt）=ZKm（xt，xt+1）ψ（xt+1）dQ（xt+1）的有界线性操作符，对于某些Km:X→ R是正的（Q Q-几乎无处不在）（b）对于某些τ，Mτ是紧的≥ 1.假设讨论：第（a）部分是温和有界性和正性条件。如果X的无条件密度f（xt）和跃迁密度f（xt+1 | xt）存在，则Km的形式为：Km（xt，xt+1）=m（xt，xt+1）f（xt+1 | xt）f（xt+1）。（b）部分比要求M紧凑更弱。M的紧性的一个有效条件是希尔伯特-施密特条件rrkm（xt，xt+1）dQ（xt）dQ（xt+1）<∞.为了介绍识别结果，让σ（M） C表示M的谱。我们说ρ是简单的，如果它有唯一的本征函数（高达标度），并且如果ρ存在一个大的N，那么σ（M）∩ N={ρ}。Asφ和φ*我们认为φ和φ*如果它们在规模上是唯一的，那么它们就是唯一的。正火φ和φ*所以e[φ（Xt）φ*（Xt）]=1，我们可以通过改变度量来定义一个相对于Q绝对连续的概率度量：deQdQ=φφ*. （10）最后，lete[·]表示eq下的期望，即对于任何指标函数χwe haveeE[χ（Xt）]=e[χ（Xt）φ（Xt）φ*（Xt）]（11）如果右边的预期是在平稳分布Q下进行的。假设2.1成立。

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2022-5-7 13:59:34

然后：（a）存在正函数φ，φ*∈ 求一个正标量ρ，使（ρ，φ）解（6）和（ρ，φ）*) 解决（7）。（b）函数φ和φ*是唯一的正解（在L中）到（6）和（7）。（c）特征值ρ是简单且孤立的，它是M.（d）的最大特征值。表示式（9）适用于所有ψ∈ LwitheE[·]在（11）中定义。第（a）和（b）部分分别是存在和识别结果。这是经典Krein-Rutman定理（Schaefer，1974，定理V.5.2和V.6.6）的一个众所周知的推论。最近，类似的算子理论结果已被应用于研究识别内隐/非参数欧拉方程模型（见Escanciano和Hoderlein（2012）、Lewbel等人（2011）、Chen、Chernozhukov、Lee和Newey（2014）和Escanciano等人（2015））。Christensen（2015）研究了稍弱但相关条件下的识别。第（c）部分保证ρ是孤立且简单的，这在大样本理论的推导中被广泛使用。第（d）部分说，ρ和φ是构造永久性和暂时性组件的相关特征值-特征函数对，并将期望ee与φ联系起来*. 特别要注意的是，E[ψ（Xt）/φ（Xt）]=E[ψ（Xt）φ*（Xt）]。φ和φ的估计*直接允许我们估算Q的Radon Nikodym导数ofeQ。参见邓福德和施瓦茨（1958）第七章。3.定义。3估计本节介绍了Perron-Frobenius特征值ρ和特征函数φ和φ的估计量*并给出了估计量的大样本性质。3.1筛估计我们遵循Chen et al.（2000）和Gobet et al.（2004）使用筛方法，其中有限维特征函数问题由低维矩阵变换器问题近似。让bk1，bkk∈ 线性无关基本函数的字典（例如。

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2022-5-7 13:59:40

多项式、样条曲线、小波或傅里叶基）和let Bk 注意bk1所跨越的线性子空间，bkk。筛网尺寸k<∞ 是一个由计量经济学家选择的平滑参数，应该随着样本量的增加而增加。为了描述近似，让∏k:L→ Bk表示在Bk上的正交投影。考虑投影本征函数问题：（φkM）φk=ρkφk（12），其中ρkis是∏kM和φk:X的最大实本征值→ R是它的本征函数。在正则条件下，问题（12）对于所有足够大的k都有唯一的解（见引理a.1）。当函数φk指向空间Bk时，我们得到φk（x）=Bk（x）ckfora向量ck∈ Rk，其中bk（x）=（bk1（x），bkk（x））。本征函数问题（12）可以用矩阵形式写成：-1kMkck=ρkckw其中k×k矩阵Gk和Mk由以下公式给出：Gk=E[bk（Xt）bk（Xt）]（13）Mk=E[bk（Xt）m（Xt，Xt+1）bk（Xt+1）]（14），其中ρkis是G的最大实特征值-1kmk和ck是它的特征向量（我们假设gk是非奇异的）。我们称φk（x）=bk（x）ck为φ的近似解。φ的近似解*是φ*k（x）=bk（x）c*kwhere c*基斯是G的特征向量-1kmk对应于ρk.在一起，（ρk，ck，c*k）求解广义特征向量问题：Mkck=ρkgkc*0kMk=ρkc*0kGk（15），其中ρkis为该对（Mk，Gk）的最大实广义特征值。下面我们抑制mk和gk对k的依赖，以简化符号。估算ρ、φ和φ*, 我们求解（15）的样本模拟，即：cM^c=ρbG^c^c*0cM=^ρ^c*0bG（16），其中cM和bG定义如下，其中^ρ是矩阵对（cM，bG）的最大实广义特征值。估计量^ρ、^c和^c*例如，可以使用Matlab中的eig例程同时计算。

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2022-5-7 13:59:44

φ和φ的估计量*它们是：φ（x）=bk（x）cφ*（x） =bk（x）^c*.在下面的正则条件下，特征值ρ及其右、左特征向量^c和^c*将是唯一的，概率接近1（见引理A.3）。给定数据{X，X，…，Xn}的时间序列，G的自然估计量为：bG=nn-1Xt=0bk（Xt）bk（Xt）。（17）我们考虑两种估计M的可能性。情况1：SDF是可观测的。首先，考虑研究人员指定的函数M（Xt，Xt+1）的情况。在本例中：cM=nn-1Xt=0bk（Xt）m（Xt，Xt+1）bk（Xt+1）。（18）案例2：现在估计SDF假设SDF的形式为m（Xt，Xt+1；α），其中m的函数形式已知，直至参数α，该参数将根据X上的数据以及可能的资产回报进行估计。让^α表示这个第一阶段估计量。在本例中：cM=nn-1Xt=0bk（Xt）m（Xt，Xt+1；^α）bk（Xt+1）。（19） 3.1.1其他功能回顾长期收益率为y≡ -对数ρ。我们可以使用：^y=-对数ρ。（20）另一个有趣的函数是永久分量的熵，即L≡日志E[MPt+1/MPt]- E[log（MPt+1/MPt）]，其下限为任何交易资产相对于（渐进）长期贴现债券的预期超额回报（Alvarez和Jermann，2005年，命题2）。之前的实证研究通过长期贴现债券的股权收益和持有期收益代理数据估计了这一界限（参见Alvarez和Jermann（2005）以及Bakshi和Chabi-Yo（2012））。在这里，我们采用一种互补的方法，假设SDF过程是可识别的，并直接估计其永久分量的熵。在马尔可夫环境中，熵的简单形式为L=logρ-E[log m（Xt，Xt+1）]（参见Hansen（2012）和Backus等人（2014））。

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能者818

2022-5-7 13:59:47

给定^ρ，L的自然估计为：^L=log^ρ-nn-在第一种情况下，1Xt=0logm（Xt，Xt+1）（21）；在情况2中，我们用（21）中的m（Xt，Xt+1；^α）替换m（Xt，Xt+1）。永久性分量的大小也可以通过其他类型的统计差异来测量，除了自转性（例如克雷西读数偏差），这可以通过使用ρ和φ经验恢复的永久性分量的时间序列来计算。我们将注意力集中在熵上，因为理论文献通常使用熵来测量不同视界上的DF及其永久性成分的大小（参见Hansen（2012）和Backus等人（2014））并与经验文献进行界限比较。3.2相合性和收敛速度我们建立了估计量的相合性，并在温和的正则性条件下导出了齐次函数估计量的收敛速度。假设3.1 M有界，命题2.1的结论（a）-（d）成立。假设3.2k∏kM- Mk=o（1）。让G-1/2取G的正有限平方根的逆，让我表示k×k单位矩阵。定义“正交化”矩阵Mo=G-1/2MG-1/2，bGo=G-1/2BG-1/2，且Cmo=G-1/2毫克-1/2. 当应用于向量时，k·k还表示欧氏范数，当应用于矩阵时，k·k还表示算子范数（最大奇异值）。请注意，BGOA和C是一个验证装置，在实践中不需要计算。假设3.3kbgo- Ik=op（1）和kcMo- Mok=op（1）。假设讨论：假设3.2要求选择空间BK，使其非常接近M（作为k）的范围→ ∞). 这一假设也隐含地要求M是紧的，正如之前在关于IGENFUNCES的筛估计的文献中所假设的那样（例如，参见Gobet等人（2004））。假设3.3确保抽样误差在估计G-1M渐近消失。

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2022-5-7 13:59:50

该条件隐含地限制了k随n增长的最大速率。补充材料中的附录C.1给出了假设3.3的一些有效条件。在给出关于收敛速度的主要结果之前，我们首先介绍约束近似偏差和采样误差的常数序列。由于本征函数仅按比例标准化，因此施加标准化kφk=1和kφ*k=1。定义：δk=k∏kφ- φk和δ*k=k∏kφ*- φ*k、（22）这里是δ和δ*K测量近似φ和φ产生的偏差*δ和δ的Bk界元素*当φ和φ*属于H？older、Sobolev或Besov类（参见，例如，Chen（2007））。设ck=G1/2ck和c*k=G1/2c*将CKC和CKC标准化*kso认为k)ckk=k)c*kk=1（这相当于kφkk=kφ*kk=1）。在假设3.3下，我们可以选择正序列ηn，和η*n、 k都是o（1），所以：k（（bGo）-1cMo- Mo）~ckk=Op（ηn，k）和k（bGo）-1mo0- Mo0）~c*kk=Op（η）*n、 k）。（23）附录C.1给出了ηn和η的界限*n、 k.定理3.1假设3.1-3.3成立。然后：（a）|ρ- ρ|=Op（δk+ηn，k），如果M不是紧致的，但对于某些τ，Mτ是紧致的≥ 2，然后可以将估计量应用于Mτ而不是M，并将解（ρτ，φ）估计为Mτφ=ρτφ，类似地，也可以估计φ*. ρτ、φ和φ估计量的大样本性质*然后直接遵循定理3.1-3.5。（b） k^φ- φk=Op（δk+ηn，k）（c）k^φ*- φ*k=Op（δ）*k+η*n、 k）式中δ和δ*第（22）和ηn，kanη中定义了kare*n、 kare在（23）中定义。^φ和^φ的收敛性*应理解为在标度归一化kφk=1，k^φk=1，kφ下保持*k=1和k^φ*k=1，符号归一化hφ，^φi≥ 0和hφ*,^φ*我≥ 值得注意的是，定理3.1适用于^ρ、^φ和^φ*根据满足假设3.3的任何估值器SBG和CM计算。

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2022-5-7 13:59:53

事实上，定理3.1非常通用，适用于具有潜在状态向量的模型，无需修改：所需的只是可以构造满足假设3.3的G和M的估计量。定理3.1显示了非参数估计中遇到的常见偏差-方差权衡。偏置项δ和δ*k将在k中减少（因为φ和φ*随着k的增加，近似于越来越丰富的子空间）。另一方面，方差项ηn，kandη*n、 kwill通常在k（更大的矩阵）中增加，在n（更多数据）中减少。选择k来平衡偏差项和方差项将产生最佳的收敛速度。作为说明，我们现在建立^φ和^φ的收敛速度*在案例1中，BG和Cmare如（17）和（18）所示，在统计学文献中关于最优收敛速度的标准条件下。虽然以下条件在定价环境中不一定合适，但结果对^φ和^φ的收敛性有一定的参考价值*.设Wp={f∈ L:P | a|≤pkDafk<∞} 和达夫=a++公元斧头···adxdf和| a |=a+…+一个光滑的Sobolev空间∈ N配备标准kf kWp=P | a|≤pkDafk。推论3.1假设3.1和下列条件成立：（i）X RDI为紧凑矩形；（ii）Q具有远离零的连续密度；（iii）φ，φ*∈ wp和M是一个有界线性算子，它来自于某些p的Linto W′pf≥ p>0；（iv）由具有等间距内部节点的ν>p阶张量积B样条平移；（v） E[m（X，X）r]<∞ 对于一些r>2；（vi）k2+2/r/n=o（1）；（vii）X是指数混合。然后：假设3.2和3.3成立，我们可以取δk，δ*k=O（k-p/d）和ηn，k，η*n、 k=O（k（r+2）/2r/√n）。

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2022-5-7 13:59:57

选择k nrd2rp+（2+r）并矢：k^φ- φk=Op（n）-rp2rp+（2+r）d）k^φ*- φ*k=Op（n）-rp2rp+（2+r）d）。如果m是有界的，则速率变为n-p/（2p+d），当回归函数属于Wp时，这是非参数回归估计的最佳L-范数率。筛法也可用于数值计算ρ、φ和φ*在没有解析解的模型中。对于此类模型，矩阵M和G可以直接计算（例如通过模拟或数值积分）和ρk、φk和φ*可通过求解（15）得到。引理A.2给出了速率|ρk- ρ|=O（δk），kφk- φk=O（δk），和kφ*K- φ*k=O（δ）*k）。我们在结束这一小节时给出了一条关于δ和δ的注释*kunder基于筛基Bk的附加条件。假设3.2意味着M是紧致的。因此，M有一个奇异值分解{（un，~nn，gn）：n∈ N} 其中{uN:N∈ N} M的非零奇异值是否按非递增顺序排列（即uN≥ un+1&0）和{~nn:n∈ N} 和{gn:N∈ N} 是Lw的正交基，其M k N=ungn和M*gn=unаn∈ N（例如，见Kress（1989）第15.4章）。注3.1假设3.2成立，并让bk跨越由{~nn:1生成的线性子空间≤ N≤ k} 和{gn:1≤ N≤ k} 。然后：δ和δ*kare均为O（uk+1）。例如，如果X是标量高斯AR（1），m（Xt，Xt+1）是（Xt，Xt+1）的指数函数，且基函数是厄米多项式，那么δ和δ*kare O（e）-ck）对于某些c>0。关于非参数工具变量模型的筛分估计的文献中经常会做出类似的跨越假设（例如，见Blundell、Chen和Kristensen（2007））。3.3渐近正态性在本节中，我们建立了^ρ的渐近正态性。还导出了情况1中的半参数有效界，并证明了^ρ在这种情况下是有效的。

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2022-5-7 14:00:01

附录B.3.3.1渐近正态性附录B.3.3.1渐近正态性附录B.3.3.1渐近正态性附录B.3.3.1渐近正态性附录B.3.3.1渐近正态性附录B.3.1渐近正态性附录B.3.3.1渐近正态性附录B.3.3.1渐近正态性附录B.3.3.1渐近正态性附录B.3.3.1√n（^ρ）- ρ) =√nn-1Xt=0ψρ（Xt，Xt+1）+op（1）（24），其中影响函数ψρ由：ψρ（x，x）=φ给出*（x） m（x，x）φ（x）- ρφ*（x） φ（x）（25）带φ和φ*使kφk=1，hφ，φ*i=1。过程{ψρ（Xt，Xt+1）：t∈ T}是一个鞅差序列（相对于过滤{Ft:T∈ T}）。因此，^ρ的共态分布遵循（24）中关于鞅微分的中心极限定理。为了将这一论点形式化，我们做出以下假设。假设3.4假设如下：（a）δk=o（n-1/2）和δ*k=o（n）-1/2）（b）kbGo- Ik=op（n）-1/4）和kcMo- Mok=op（n）-1/4）（c）E[（φ*（Xt）m（Xt，Xt+1）φ（Xt+1））]∞.关于假设的讨论：假设3.4（a）是一个欠平滑条件，该条件确保主要偏差项√n（ρk）-ρ）以及涉及φk，φ的高阶偏置项*k、 ρkare渐近可忽略。假设3.4（b）确保BG和CM的收敛速度足够快√n（^ρ）-ρk）可以用类似于（24）-（25）的渐近线性形式表示，但用φk，φ*k、 φ的ρkin位置，φ*, ρ。考虑到在假设3.4（a）下，前导项和高阶偏差项的渐近可忽略性，该结果导致出现（24）。假设3.4（b）的充分条件见附录C。1.假设3.4（c）允许将平方可积鞅微分的CLT应用于鞅微分序列{ψρ（Xt，Xt+1）：t∈ T}。设Vρ=E[ψρ（X，X）]。定理3.2假设3.1-3.4成立。

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2022-5-7 14:00:04

然后：渐近线性展开式（24）成立，并且√n（^ρ）- ρ) →dN（0，Vρ）。直接从定理3.2得出√n（^y）- y）→dN（0，ρ）-2Vρ）。最后，我们推导了情况1的半参数效率界。我们需要进一步的技术条件来描述切线空间（见附录B）。定理3.3假设3.1–3.4和B.1成立。那么：ρ的半参数效率界是Vρ，而ρ是半参数效率。3.3.2情形2的渐近正态性对于情形2，我们得到以下展开式（在正则条件下）：√n（^ρ）- ρ) =√nn-1Xt=0ψρ（Xt，Xt+1）+ψα，k（Xt，Xt+1）+ op（1）（26），其中ψρ来自显示器（25），其中m（x，x）=m（x，x；α），其中：ψα，k（x，x）=φ*k（x）m（x，x；^α）- m（x，x；α））φk（x）。（27）展开式（26）表明^ρ和相关泛函的渐近分布将取决于第一阶段估计量^α的性质。下面的正则性条件是有意地一般化的，以适应广泛的估计类。我们首先假设α是一个有限维参数，插件估计器^α是root-n一致且渐近正态的。设ψρ，t=ψρ（Xt，Xt+1）。假设3.5保持以下条件：（a）√n（^α）-α) =√nPn-对于某些Rdα值随机过程{ψα，t:t，1t=0ψα，t+op（1）∈ T}（b）√nPn-1t=0（ψρ，t，ψα，t）→dN（0，V[2a]）对于某些有限矩阵V[2a]（c）m（x，x；α）在α的邻域N上对所有（x，x）连续可微∈ 存在一个函数“m:X”→ R与E[`m（Xt，Xt+1）s]<∞对一些人来说≥ 2这样：supα∈Nm（x，x；α）α≤ \'m（x，x）代表所有（x，x）∈ X.（d）E[（φ（Xt）φ*（Xt）s/（s）-1)] < ∞.设h[2a]=（1，E[φ*（Xt）φ（Xt+1）m（Xt，Xt+1；α）α] 定义V[2a]ρ=h[2a]V[2a]h[2a]。定理3.4假设3.1-3.5成立。然后：√n（^ρ）- ρ) →dN（0，V[2a]ρ）。现在我们假设α是一个有限维参数。参数空间是一个 A（Banach空间）配备了一些标准k·kA。

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2022-5-7 14:00:08

这包括以下情况：（1）α是一个函数，即α=h和a=h是一个函数空间；（2）α由有限维和函数部分组成，即α=（θ，h）和a=Θ×h和Θ Rdim（θ）。例如，在递归偏好下，向量θ可以由折扣、风险规避和安第斯参数组成，h可以是连续值函数。在这种情况下，推理涉及（通常是非线性的）函数“：A”→ R、公式为：`（α）=E[φ*（Xt）φ（Xt+1）m（Xt，Xt+1；α）]。我们关注`（α）是根n可估计的情况。我们说函数“：A→ 如果limτ为α，则Ris可沿路径微分→0+(`(α+ τ[α - α]) - `（α））/τ对于每个固定α都存在∈ A.如果是，我们用˙`α[α]表示导数- α]. 定义G={Gα：α∈ A} 式中，gα（xt，xt+1）=φ*（xt）φ（xt+1）（m（xt，xt+1；α）- m（xt，xt+1；α））。让zn表示G上的中心经验过程。我们说G是Donsker ifPt∈ZCov（g（X，X），g（Xt，Xt+1））在g上绝对收敛到非负二次型K（g，g），并且存在一系列高斯过程Z（n），由g索引，具有协方差函数K和a.s.一致连续的样本路径，使得supg∈G | Zn（G）- Z（n）（g）|→p0为n→ ∞ （见杜汗、马萨特和里约（1995年））。

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2022-5-7 14:00:12

最后，让k·kp表示Lpnorm kψkp=（R |ψ| pdQ）1/pforany 1≤ p<∞ （请注意，在我们前面的符号中，k·k=k·k）。假设3.6假设如下：（a）G是Donsker（b）`在α和| `（α）是路径可微的- `(α) -˙`α[α - α] |=O（kα）- αkA（c）√n˙`α[^α]-α] =√nPn-一类R值随机过程{ψ`，t:t的1t=0ψ`，t+op（1）∈ T}，k^α- αkA=op（n-1/4）和K（g^α，g^α）=op（1）（d）√nPn-1t=0（ψρ，t，ψ`，t）→对于某些有限矩阵V[2b]（e）e[supα∈Am（Xt，Xt+1；α）s]<∞ 和kφkk2s/（s）中的任意一个-2） =O（1）和kφ*k2s/（s）-2)< ∞或kφ*kk2s/（s）-2） =O（1）和kφk2s/（s）-2） <∞ 保持一些s>2。关于假设的讨论：G类为顿斯克的充分条件是众所周知的（见Doukhan等人（1995））。（b）和（c）部分是非线性半参数模型中推理的标准条件（参见Chen（2007）中的定理4.3）。第（d）部分为轻度CLT状态，第（e）部分为轻度高于二阶矩状态。对于以下定理，设h[2b]=（1，1）并定义V[2b]ρ=h[2b]V[2b]h[2b]。定理3.5假设3.1–3.4和3.6成立。然后：√n（^ρ）- ρ) →dN（0，V[2b]ρ）.4值函数递归作为非线性Perron-Frobenius问题本节描述了如何通过解决非线性Perron-Frobeniuseigenfunction问题，非参数地估计一类具有递归偏好的模型中的连续值函数和SDF。我们关注的是一个有代表性的主体具有Epstein和Zin（1989）递归偏好的模型，该偏好具有跨期替代的单位弹性（EIS）。这类偏好也可以被解释为Hansen和Sargent（1995）公式化的风险敏感偏好（见Tallarini（2000））。在描述了设置之后，我们给出了一些局部识别的正则条件。

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2022-5-7 14:00:16

然后我们介绍了估计量并推导了它们的大样本性质。4.1设置根据Epstein Zin偏好，代表性代理的日期-t实用程序通过递归定义：Vt=n（1- β） C1-θt+βE[V1-γt+1 | Ft]1-θ1-γo1-θ，其中Ctis date-t消耗，1/θ是EIS，β∈ （0,1）是时间折扣参数，γ>1是相对风险规避参数。我们维持马尔科夫状态过程X的假设。让消费增长，即Gt+1=Ct+1/Ct，成为（Xt，Xt+1）的可测量函数。Hansen等人（2008）表明，标度延拓值Vt/ct可以写成V（Xt），其中：V（Xt）=(1 - β） +βEh（V（Xt+1）Gt+1）1-γXti1-θ1-γ1.-θ. （28）对于单位EIS（即θ=1），定点方程（28）简化为：v（Xt）=β1- γ对数Ehe（1）-γ）（v（Xt+1）+log Gt+1）带v（x）的Xti（29）=对数v（x）。通常，只有当马尔可夫状态的条件矩母函数为指数函数且log Gt+1为in（Xt，Xt+1）时，v的解析解才可用。假设市场无摩擦，SDF为：Mt+1Mt=βG-1t+1（Vt+1）1-γE[（Vt+1）1-γ| Xt]。（30）X的动力学决定了SDF分母中的值函数和条件期望。因此，当X的动力学被非参数处理时，值函数和条件期望是未知的。考虑以下将显示屏（29）中的定点问题重新表述为非线性费龙-弗罗贝尼乌斯问题。设定h（x）=exp（1-γβv（x））并重新排列，我们得到定点方程Th=h，其中：Tψ（x）=EhG1-γt+1ψ（Xt+1）βXt=xi。当我们寻求正解时，在前面显示的条件期望值内取一个绝对值不会改变固定点。

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