然而，对于消费增长和股息增长等状态变量的常见选择，有限支持似乎并不合适。线性算子Dh:L→ 例如：kT（h+ψ）- Th- Dhψk=o（kψk）作为kψk→ 0.如果存在，则dht的Fr′echet导数由以下公式给出：Dhψ（x）=EhβG1-γt+1h（Xt）β-1ψ（Xt+1）Xt=xi。设r（Dh）表示Dh的光谱半径。命题4.1设G为正且有界，设T在h处可微，R（Dh）<1。然后：存在有限的正常数C，C和χ的邻域N，例如：kχN+1（ψ）- χk≤ 总工程师-锥{aN:a中任意初始点ψ的Cn∈ R、 a 6=0}。如果存在χ的一个邻域N，使得χ是属于N的T的唯一本征函数，我们说χ是局部识别的∩这里是L中的单位球（recallwe将T的本征函数归一化为单位范数）。类似地，如果h是属于某个邻域Nof h的T的唯一固定点，我们说h是局部识别的。为了解释为什么局部识别遵循命题4.1，假设“χ”是属于N的T的正特征函数∩ S.命题4.1意味着kχn+1（¨χ）- χk=k′χ- χk≤ 总工程师-Cn表示每个n，因此¨χ=χ。h的本地标识如下所示。推论4.1 h和χ在命题4.1的条件下是局部识别的。事实上，χ的局部识别和T的正同质性意味着h是T在锥{a（N）中的唯一固定点∩ S） ：a∈ R、 a 6=0}。之前已经研究过递归偏好模型中值函数的存在性和（全局）识别（见Marinacci和Montrucchio（2010）、Hansen和Scheinkman（2012）以及其中的参考文献）。与我们的工作关系最密切的是Hansenand Scheinkman（2012），他研究了L空间中马尔科夫环境的值函数的存在性和唯一性（其非负函数的锥也具有空中介）。

Hansen和Scheinkman（2012）提供了当EIS等于统一但不确定其唯一性时可能存在固定点的条件。它们的存在条件部分基于算子G的正特征函数的存在。推论4.1和关于非线性非参数经济模型局部识别的文献之间也存在联系。我们可以把Th=h写成条件时刻限制：EhG1-γt+1h（Xt+1）β- h（Xt）Xti=0（几乎可以肯定）。命题4.1的条件确保上述力矩限制在h时可与导数Dh区分- I.条件r（Dh）<1意味着- I在L上是可逆的。因此，命题4.1中的条件类似于Chen等人（2014）用于研究非线性条件矩约束模型中局部识别的微分和秩条件。4.3估计我们再次使用筛选方法将有限维问题简化为低维（非线性）特征向量问题。考虑投影定点问题：（kT）hk=hk（33），其中∏k:L→ BK是第3节中定义的筛子空间的正交投影。附录中的引理A.5保证了在所有k足够大的情况下，在h的邻域上存在解hkto（33）。作为香港∈ 对于向量vk，我们有hk=Bk（x）vk∈ 它解决了：G-1kTkvk=vk（34），其中Tkv=E[bk（Xt）G1-γt+1 | bk（Xt+1）v |β]。为了简化符号，我们在下文中不再依赖gk和Tkon k。对于估计，我们求解（34）的样本模拟，即：bG-1bT^v=^v（35），其中BG在显示屏（17）和BT:Rk中定义→ Rk由以下公式得出：bTv=nn-1Xt=0bk（Xt）G1-γt+1 | bk（Xt+1）v |β。在下面的正则条件下，VK的一个邻域上必然存在一个解^v（见附录中的引理a.7）。h、χ和λ的估计量为：^h（x）=bk（x）^v^χ（x）=bk（x）^v（^vbG^v）1/2^λ=（^vbG^v）1-β.

（36）然后可以将估计器^χ和^λ插入显示器（32），以获得与偏好参数（β、γ）和观察到的状态运动规律一致的theSDF估计值。假设4.1假设如下：（a）T有一个唯一的正固定点h∈ L（b）G是正的，紧致的（c）T在r（Dh）<1时在h是可区分的。假设4.2假设如下：（a）k∏kDh- Dhk=o（1）（b）supψ∈五十： kψk≤ck∏kTψ- Tψk=o（1）对于每个c>0。如假设3.3所示。设Tov=G-1/2T（克）-1/2v）和Btov=G-1/2吨（克）-1/2v）。请注意，bGOA和b是一个验证装置，在实践中不需要计算。假设4.3kbgo- Ik=op（1）和supv∈Rk:kvk≤克布托夫- Tovk=op（1）表示每个c>0。假设讨论：假设4.1（a）是一个全局识别假设，（b）和（c）部分对T施加了一些温和的结构，确保T的固定点在扰动下是连续的。假设4.2（a）（b）与假设3.2类似。假设4.3与假设3.3相似，并限制了筛分尺寸kcan随n增长的速率；有效条件见附录C.2。设τk=k∏kh- hk表示通过筛空间的一个元素近似h的偏差。假设4.2（b）意味着τk=o（1）。要控制采样误差，请乘以任何小ε>0。根据假设4.3，我们可以选择一个正常数序列νn，kw，其中νn，k=o（1），这样：∈Rk:kvbk-香港≤εk（bGo）-1bTov- Tovk=Op（νn，k）。（37）附录C.2给出了νn，k的界限。定理4.1假设假设4.1–4.3成立。然后：（a）|^λ- λ|=Op（τk+νn，k）（b）k^χ- χk=Op（τk+νn，k）（c）k^h- hk=Op（τk+νn，k）。定理4.1中得到的收敛速度再次显示出偏差-方差权衡。偏差项τkar在k中减小，而方差项νn，kis通常在kb中增大，而在n中减小。

选择k来平衡这些项将导致最佳的收敛速度。为了实现，我们基于命题4.1提出以下迭代方案。Setz=bG-1（nPn）-1t=0bk（Xt）），然后计算：ak=zk（zkbGzk）1/2zk+1=bG-1btakk≥ 1.如果序列{（ak，zk）：k≥ 1} 收敛到（^a，^z）（假设），然后我们设置：^h（x）=^λ1-βbk（x）^a^χ（x）=bk（x）^a^λ=（^zbG^z）1/2。在模拟和经验应用中，这种迭代方案被证明是解决样本定点问题（35）的一种计算高效的方法。5模拟证据下面的蒙特卡罗实验说明了在具有幂效用和递归偏好的基于消耗的模型中估计器的性能。状态变量为对数消耗增长，即Xt=gt，其演变为高斯AR（1）过程：gt+1- u=κ（gt）- u）+σet+1，et~ i、 身份识别号（0,1）。模拟的参数为u=0.005、κ=0.6和σ=0.01。这些数据在一定程度上代表了美国非耐用品和服务的实际人均消费的季度增长（其中κ≈ 0.3和σ≈ 0.005). 然而，我们将消费增长过程的持续性提高一倍，以产生更多的非线性特征函数，并将波动性提高一倍，以产生更具挑战性的估计问题。我们考虑一个电力设施设计，其中m（Xt，Xt+1）=βG-γt+1和一种带有单位EIS的递归偏好设计，其SDF显示在显示屏（32）中。对于这两种设计，我们设定β=0.994和γ=15。参数化β=0.994和γ=10通常用于长期风险模型的校准；这里我们取γ=15，因此本征函数和连续值函数更非线性。对于每种设计，我们生成50000个长度分别为400、800、1600和3200的样本。本节报告的结果使用了尺寸为k=8的埃尔米特多项式。

对其他筛子尺寸的进一步试验表明，结果对筛子空间的尺寸相当不敏感。使用B样条获得了类似的结果（参见在线附录中的附录E）。我们估计φ，φ*, ρ、 y和L表示两种设计，χ和λ表示递归优先设计。我们使用（17）中的估计器bg计算两种偏好规格。对于电力利用率，我们使用（18）中的估算器CM。对于递归偏好，我们首先使用上一节中描述的方法估计（λ，χ），然后使用：m（Xt，Xt+1；^λ，^χ）=β^λG构建如显示屏（19）中所示的估计器cm-γt+1^χ（Xt+1）β^χ（Xt）基于（λ，χ）的第一阶段估计量（λ，χ）。我们实施了规模标准化SNPN-1t=0^φ（Xt）=1，nPn-1t=0^φ（Xt）^φ*（Xt）=1，和npn-1t=0^χ（Xt）=1。估计值的偏差和RMSE如表1和表2所示。表1显示了φ，φ*可使用小偏差和合理低维筛子的RMSE估算χ。表2给出了^ρ、^y、^L和^λ的类似结果。递归偏好下的^φ和^ρ的RMSE通常小于powerutility下的^φ和^ρ的RMSE，即使递归偏好下的连续值必须首先非参数估计。相比之下，针对^φ的RMSE*在递归偏好下更大，这可能是因为φ*这种设计的曲线要弯曲得多（从比较垂直比例尺图1b和1d可以明显看出）。表1中的结果还表明，在中等样本中，χ可以用相当小的偏差和RMSE进行估计。图1a-1e还显示了φ、φ的（逐点）置信区间*并对不同样本量进行χ计算。对于每个图，真函数大致位于逐点置信区间的中心，并且随着样本量n的增加，区间的宽度显著缩小。

使用B样条基绘制相应的图，以计算^φ、^φ的RMSE*, ^χ，对于每一次复制，我们计算估计值与其对应的总体之间的距离，然后取MC复制的平均值。为了计算偏差，我们在整个模拟过程中取估计值的平均值，得出“φ（x），”φ*（x） ，和¨χ（x）（假设），然后计算¨φ，¨φ之间的距离*和‘χ和真φ，φ*还有χ。这里使用的“偏差”不应与收敛速度计算中的偏差项混淆：这里，估计器的“偏差”指的是参数与其在整个模拟中的平均估计值之间的距离。

^ρ、^y、^L和^λ的偏差是整个模拟的估计值减去真实参数值的平均值。电力公司递归优先权n^φ^φ*^φ^φ*10.0115 0.0129 0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0187 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0 0 0.4058 0 0 0 0.4058 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.58 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.710μφ*和^χ，具有维数k=8的厄米多项式。电力公用事业的递归偏好；电力公司的递归偏好；电力公司的递归偏好；电力公司的电力公司的递归偏好；电力公司的电力公司的递归偏好；电力公司的递归；电力公司的递归；电力公司的递归；电力公司的；电力公司的递归；电力公司的递归；电力公司的；电力公司的递归；电力公司的递归；电力公司的公共事业的递归；电力公司的递归；电力公司的递归；电力公司的；电力公司的递归；电力公司的；电力公司的递归的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；\\\\\\\\\\\\\\710710的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；香港的；以及；；以及以及；香港的；香港400。400；香港的；香港的；香港的。400。400；；0.1005800.0264 0.0251 0.0214 0.0217 0.0172 0.0299 0.031816000.0204 0.0192 0.0168 0.0190 0.0151 0.0227 0.01793200 0.0159 0.0149 0.0133 0.0192 0.0155 0.0204 0.0123表2：具有尺寸k=8的厄米特多项式的^ρ、^y、^L和^λ的模拟结果。如在线附录所示，与图1a-1e非常相似。6实证应用在本节中，我们研究了一种类似于Hansen等人（2008）的经济。我们假设Epstein和Zin（1989）是具有单位EIS的递归偏好的代表性代理，并指定消费和收入增长的二维状态过程。我们的分析可以总结如下。首先，根据资产收益数据估计贴现和风险规避参数（β）≈ 0.985和^γ≈ 24.5），我们表明，这种双变量规范能够产生一个永久性的组成部分，这意味着每个季度的长期股权溢价（即相对于长期贴现债券的资产回报率）约为2%。

其次，我们记录了永久性和临时性组件的商业周期属性。0.51.01.52.0-0.02 0.00 0.02（a）^φ（x）用于电力设施123-0.02 0.00 0.02（b）^φ*（x） 用于电力设施0。80.91.01.11.2-0.02 0.00 0.02（c）^φ（x）用于递归优先权01234-0.02 0.00 0.02（d）^φ*（x） 对于递归首选项0。51.01.52.0-0.02 0.00 0.02（e）^χ（x）递归偏好图1:k=8的Hermite多项式基的模拟结果。面板（a）-（d）显示φ和φ的点向90%置信区间*交叉模拟（光、中、暗分别对应于n=400、800和1600；真实φ和φ*绘制为实线）。面板（e）显示连续值运算符的正本征函数χ的结果。第三，我们描述了将国家分配倾斜到与长期定价相关的分配所需的楔子。最后，我们表明，与线性高斯情况不同，允许对状态过程进行灵活处理可能会导致长期收益率的不同行为，以及不同参考参数的永久性和暂时性成分之间的不同相关性。这表明，动力学中的非线性对于解释收益率曲线的长端很重要。所有数据均为季度数据，时间跨度为1947:Q1至2016:Q1（277次观察）。有关消费、股息、通货膨胀和人口的数据来源于国民收入和产品账户（NIPA）表。实际人均消费和股息增长序列是通过将经季节性调整的非耐用品和服务消费（表2.3.5，第8行加13行）和股息（表1.12，第16行）减去个人消费物价指数（表2.3.4，第1行），然后使用人口数据转换为人均增长率（表2.1，第40行）形成的。

由此产生的状态变量为Xt=（gt，dt），其中gt和dt分别是第t季度的实际人均消费和股息增长。与汉森等人（2008年）的研究结果类似，用公司收益的实际人均增长（使用表1.12第15行的税后利润）和股息的四分之一几何移动平均数的实际人均增长代替DTA。我们还使用了七种资产回报率的数据，即按规模和账面市值排序的六种价值加权投资组合的回报率（来源于Kenneth French的网站）和90天国库券利率。使用个人消费支出的隐含价格偏差，将所有资产收益序列转换为实际收益。我们使用XT数据和七项资产收益的时间序列估计偏好参数（β，γ）和偏好对（λ，χ）。这属于α=（β，γ，λ，χ）的“情况2”设置。我们使用一系列条件矩估计程序（Ai和Chen，2003）估计参数（β，γ）。Chen等人（2013年）最近在类似的背景下使用了这种方法。对于每个（β，γ），我们使用第4节介绍的程序估计非线性本征函数问题的解，即（λ（β，γ），χ（β，γ））。这里，我们明确说明（λ，χ）对β和γ的依赖性，因为不同的偏好参数将对应我们的估计值与Chen等人（2013）的估计值之间的差异如下。首先，我们关注EIS=1的情况，而Chen等人（2013）将EIS视为自由参数。其次，我们利用连续值递归的IGENFUNCE表示。第三，我们通过分别求解（λ，χ）和估计偏好参数来“证明”连续值函数估计。因此，我们的标准函数只依赖于（β，γ）。相比之下，陈等人。

（2013）联合估计偏好参数和连续值函数。第四，在我们的分析中，持续值是马尔科夫状态的函数，而Chen等人（2013）中的持续值函数取决于同期消费增长和滞后的持续值。不同的连续值函数。然后我们形成：m（Xt，Xt+1；（β，γ，^λ（β，γ），^χ（β，γ））=β^λ（β，γ）G-γt+1^χ（β，γ）（Xt+1）βχ（β，γ）（Xt）。让Rt+1指定从时间t到t+1的（总）资产收益向量，1和0表示1和0的一致向量。作为欧拉方程E[m（Xt，Xt+1）Rt+1-1 | Xt]=0有条件地，我们对广义残差进行仪器化，即：m（Xt，Xt+1；（β，γ，λ（β，γ），χ（β，γ）））Rt+1- 1.利用XT的基函数形成一个准则函数，利用欧拉方程的条件性质。这导致了标准函数：Ln（β，γ）=nn-1Xt=0kln（Xt，β，γ）kwhereln（x，β，γ）=nn-1Xt=0MXt，Xt+1；(β, γ,^λ(β,γ), ^χ(β,γ))Rt+1- 1.bk（Xt）！bG-bk（x）。我们最小化Ln（β，γ）得到（β，γ），并设置α=（β，γ，λ（β，γ），χ（β，γ））。然后我们估计ρ，φ，φ*以及使用显示屏（19）中的估算器Cm来选择^α的相关量。为了实现这个过程，我们使用相同的基函数来估计（ρ，φ，φ）*)和（λ，χ）。我们为GT和DTS系列形成五阶单变量Hermite多项式基。然后，我们从一元基构造张量积基，丢弃总次数为六阶或更高的张量积多项式。由此产生的稀疏基维数为15，而张量积基维数为25。我们有时会与单变量状态过程Xt=GT进行比较，我们使用八阶埃尔米特多项式基。

我们用基函数的低维向量对广义残差进行处理，形成标准函数Ln（单变量情况下维数为6，双变量情况下维数为10）。在不同的量纲基础上也得到了类似的结果。表3给出了估计值和自举90%置信区间。我们使用静态引导法对数据进行了1000次重采样，预期数据块长度为四分之六。在左面板中，我们重新估计每个引导复制的β、γ、λ、χ、ρ、y和L。我们丢弃了（β，γ）估计量无法收敛的极小部分复制。在右侧面板中，我们计算β和γ，并重新估计每个引导复制的λ、χ、ρ、y和L。（gt，dt）政府部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门部门（0.980.9812（0.9812（0.9812（0.970.9712（0.970.970.970.970 0.0381）0.0215（0.0000,0.0426）0.0128（0.0090,0.0185）0.0203（0.0146,0.0295）0.0297（0.0198,0.0435）^β0.9851（0.9784,0.9926）0.9853（0.9771,0.9921）0.99 0.99 0.99^γ24.4712（0.6850,44.7570）27.4838（0.0000,50.4619）20 25 30^λ0.8999（0.8146,0.9922）0.8872（0.7927,0.9888）0.9154（0.9008,0.9324）0.8983（0.8789,0.9205）0.8834（0.8579,0.9111）表3：左面板：与β、β、γ、β、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ相对应的估计值。右面板：对应于预先指定（β，γ）和估计（λ，χ）的ρ、y和L的估计值。90%的引导置信区间在括号中。几个值得注意的方面。首先，这两个州的具体情况都会产生一个永久性的组成部分，其熵与长期债券每季度约2%的回报溢价相一致，这在经验合理估计的范围内。第二，估计的每季度1.9%左右的长期收益率太大，这可以用^β的低值来解释。

第三，SDF的估计熵，即log（nPn-1t=0m（Xt，Xt+1；^α））-nPn-1t=0log（m（Xt，Xt+1；^α））对于双变量规格为0.0191，对于单变量规格为0.0208。因此，估计的水平相关性（永久性成分的熵和SDF熵之间的差异）在每月±0.1%的范围内，巴克斯等人（2014）认为这是匹配短期和长期债券之间平均收益率差所必需的。最后，γ的估计非常不精确，与之前的研究（例如，Chen等人（2013））一致。表3左面板中ρ、y和L的置信区间相当宽，这在很大程度上反映了估计β和γ的不确定性。不同筛分尺寸的实验结果表明，γ的估算值介于20和30之间。表3的右面板给出了ρ、y和l fixingβ=0.99和γ=20、25和30的估计值（χ和λ仍然是非参数估计值）。很明显，一旦β和γ估计的不确定性被关闭，由此产生的置信区间就要小得多。现在我们来分析永久性和暂时性成分的时间序列特性。图2的上两个面板显示了双变量stateChen等人（2013）获得的时间序列图≈ 60使用总消费数据和≈ 20使用股东消费数据。此外，根据股东数据，他们估计的EIS与零没有显著差异。这表明我们对γ的估计和单位EIS的假设在经验上是合理的。SDF m（Xt，Xt+1；^α）及其永久组件的规格，构造为：^MPt+1^MPt=^ρ-1m（Xt，Xt+1；^α）^φ（Xt+1）^φ（Xt）。可以看出，SDF及其永久性组成部分随着时间的推移而密切演变，并表现出强烈的反周期性。

暂时性成分（未绘制）较小，与文献中关于界限的结论一致，即暂时性成分应比永久性成分大得多。永久性成分系列^MPt+1/^MPt与GDP增长的相关性约为-0.39，而transitorycomponent系列^MTt+1/^MTt与GDP增长的相关性约为0.05。图2下方的面板显示了SDF的时间序列图，以及使用与递归偏好规范中相同的（β，γ）在功率不足情况下获得的永久性组件。该面板显示，永久性成分与递归偏好下获得的成分类似，比SDF系列的波动性大得多。电力设施下的DF和永久性组件系列之间的巨大差异是由于非常不稳定的过渡组件，这意味着短期和长期债券之间的平均收益率存在较大的差异（Backus et al.（2014））。进一步了解ρ、φ和φ估计值的长期定价含义*,图3a-3d绘制了估算的φ和φ*在二元和一元状态规格的递归偏好下。从图3a和3b中的垂直标度可以明显看出，φ的两个估计值相对较低，这解释了通过递归偏好获得的小瞬时分量。然而，估计*在g中有明显的向下坡度。估计的φ*在二元变量中，消费增长水平也呈下降趋势。回想一下，命题2.1表明：*是Q相对于Q的RadonNikodym ofeQ导数。图3e–3f绘制了状态过程两种规格的测量估计变化。由于φ的估计值相对较低，测量值的估计变化主要以φ为特征*.

在双变量情况下，与平稳分布Q相比，分布Q将相对更多的质量分配给状态空间中股息和消费增长较低的区域，而将相对较少的质量分配给消费增长较高的区域。最后，我们研究了非线性和非高斯性在解释长期结构某些特征中的作用。图4给出了（a）长期（季度）收益率和（b）永久性和暂时性成分对数之间的相关性的非参数估计，即^mPt+1=log（^mPt+1/^mPt）和^mTt+1=log（^mTt+1/^mTt），从Xt=（gt，dt）数据中恢复，β=0.994，γ从γ=1增加到DF（EZ）PC（EZ）SDF（PU）PC（PU）1950 1960 1970 1980 1990 2000 20100.51.01.50.01.50.51.01.50.51.01.5图2：当Xt=（gt，dt）时，SDF及其永久分量（PC）的恢复时间序列。上面的面板带有Epstein和Zin（1989）的递归偏好，带有单位EIS（EZ），下面的面板带有电源实用程序（PU）。两者都使用估计的偏好参数（β，γ）=（0.985,24.471）。阴影区域表示NBER衰退期。γ = 35. 非参数估计与状态过程两个参数的估计一起给出。第一个假设Xt=（gt，dt）是高斯VAR（1），即Xt-u=A（Xt-u）+et+1，其中et+1为i.i.d.N（0，∑）。第二个是随机波动率下对数消费增长的高斯AR（1）：gt+1- u=κ（gt）- u) +√vtet+1，et+1~ i、 i.d.N（0，1），其中{vt}是一阶自回归伽马过程（Fellersquare根过程的离散时间版本；参见Gourieroux和Jasiak（2006）），因此状态向量为Xt=（gt，vt）。我们将第二种规格称为SV-AR（1）。

长期产量以及mPt+1=log（mPt+1/mPt）和mTt+1=log（mTt+1/mTt）之间的相关性是通过β、γ以及VAR（1）和SV-AR（1）参数的估计进行分析得出的。VAR（1）参数由OLS估计。SV-AR（1）参数是使用带有GARCH（1,1）误差的AR（1）作为辅助模型，通过间接推理估计的。估计的推导和进一步细节见补充材料。0.9951.0001.0051.010-0.005 0.000 0.005 0.010 0.015xφ^（x）（a）Xt=gt-0.050.000.050.10-0.005 0.000 0.005 0.005 0.010 0.015gd1的^φ（x）图。001.021.041.06（b）Xt=（gt，dt）1.01.52.0-0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 xφ的等高线图^*（x）（c）φ的等高线图*（x） 对于Xt=gt-0.050.000.050.10-0.005 0.000 0.005 0.010 0.015gd12（d）^φ等高线图*（x） 对于Xt=（gt，dt）1.01.52.0-0.005 0.000 0.005 0.010 0.015xφ^（x）φ^*（x）（e）φ（x）φ的绘图*（x） 对于Xt=gt-0.050.000.050.10-0.005 0.000 0.005 0.010 0.015gd12（f）^φ（x）^φ等高线图*（x） 对于Xt=（gt，dt）图3：^φ（上面板）和^φ的曲线图*（中间面板）和测量值^φ（x）的估计变化*（x） 使用表3.0.0060.0080.0100 10 20 30γy（a）长期收益率-0.75-0.50-0.250.000 10 20 30γ相关性（b）^mPt+1和^mTt+1之间的相关性图4：实线：季度非参数估计长期运行收益率和β=0.994的递归偏好下的^mPt+1和^mTt+1之间的相关性，对于具有Xt=（gt，dt）的不同γ。还显示：从拟合高斯VAR（1）到Xt=（gt，dt）（虚线）和拟合SV-AR（1）到gt（虚线）得到的参数估计。图4a显示长期收益率的非参数估计是非单调的，而参数估计是单调递减的。

这种非单调性在使用Xt=gt的非参数估计中并不明显。同样清楚的是，对于高γ，长期产量的非参数估计比SV-AR（1）模型大得多。图4b显示了不同γ值的对数永久性和瞬态成分系列的非参数估计值^mPt+1和^mTt+1的样本相关性。这与两个参数状态工艺规范的对数永久性和瞬态成分mPt+1和mTt+1的相关性进行了比较。对于低到中等的γ值，非参数估计值的估计相关性为负，但对于较大的γ值，非参数估计值的估计相关性为正。使用低维和高维基也可以得到类似的结果。相比之下，对于低γ值，参数状态过程规范的相关性与非参数估计的相关性大致相同，但对于较大的γ值，相关性仍然为负值。近期文献强调了永久性和暂时性成分之间的正相关性在解释长期债券超额收益中的作用（Bakshi和ChabiYo，2012；Bakshi等人，2015a，b）。正相关性也体现在风险价格的期限结构向下倾斜的模型中（见Boroviˇcka和Hansen（2016）第7.2节中的示例）。然而，众所周知，在具有指数动力学的工作马模型中，通过传统偏好规范很难产生正相关性。

尽管对于较大的γ值，相关性的估计不精确，但这一发现至少表明，状态动力学中的非线性可能在解释收益率曲线长端的显著特征方面发挥了作用。7结论本文介绍了一个经验框架，用于分析Alvarez和Jermann（2005）、Hansen和Scheinkman（2009）和Hansen（2012）的长期因式分解中SDF过程的永久性成分和过渡性成分。我们展示了如何从状态变量的时间序列数据和SDF过程中非参数地估计Hansen和Scheinkman（2009）的Perron-Frobenius特征函数问题的解。我们的经验框架允许研究人员（i）恢复估计的永久性和过渡性成分的时间序列，并调查其性质；（ii）估计长期投资期限内表征定价的收益率和测量变化。这代表了一个有用的贡献，相对于现有的实证工作，这些工作已经建立了永久性和暂时性成分的各种矩作为资产回报函数的界限，但没有直接从数据中提取成分。该方法是非参数的，因为它不会对状态变量的动力学或状态变量与SDF过程的联合分布施加严格的参数限制。本文的主要理论贡献如下。首先，我们建立了Perron-Frobenius特征函数估计的相合性和收敛速度。其次，我们建立了相关泛函的特征值估计和估计的渐近正态性和一些有效性性质。

第三，通过将值函数递归重新解释为非线性Perron-Frobenius问题，我们在一类具有递归偏好的模型中引入了连续值函数的非参数估计，并建立了值函数估计的相合性和收敛速度。计量经济学方法可以以几种不同的方式进行扩展和应用。首先，该方法可用于研究更一般的乘法函数过程，如Hansen等人（2008）、Hansen and Scheinkman（2009）和Hansen（2012）中的估值和随机增长过程。其次，该方法可应用于具有潜在状态变量的模型。主要一致性和收敛速度结果（定理3.1和4.1）具有充分的一般性，它们同样适用于此类情况。最后，我们的分析是在结构模型的背景下进行的，其中SDF过程与偏好紧密相关。进一步的扩展是将该方法应用于SDFP流程，该流程可灵活地从资产回报数据中提取。关于估计的附加结果。1关于定理3.1的偏差和方差计算，本小节的结果在很大程度上借鉴了Gobet等人（2004）的观点。结果表明，近似解ρk，φk和φ*特征向量问题（15）中的k对于所有k个有效值都是明确的和唯一的（即达到符号和尺度归一化）。引理A.1假设3.1和3.2成立。然后：存在K∈ 好吧≥ K、 特征向量问题（15）的最大特征值ρkof是实的和简单的，因此（M，G）有唯一的右和左特征向量ckc和c*k对应于ρk引理A.2，假设3.1和3.2成立。然后：（a）|ρk- ρ|=O（δk）（b）kφk- φk=O（δk）（c）kφ*K- φ*k=O（δ）*k） 式中δ和δ*展品中的卡雷（22）。

应将速率理解为在标度归一化kφk=1，kφkk=1，kφ下保持不变*k=1，kφ*kk=1，符号规格化shφk，φi≥ 0和hφ*k、 φ*我≥ 0.以下结果表明，解^ρ、^c和^c*样本特征向量问题（16）定义明确且唯一，概率接近1（wpa1）。引理A.3假设3.1-3.3成立。然后：wpa1，广义特征向量问题（16）的最大特征值^ρ是实的和简单的，因此（cM，bG）有唯一的左、右特征向量^c和^c*对应于^ρ。引理A.4假设3.1-3.3成立。然后：（a）|ρ- ρk |=Op（ηn，k）（b）k^φ- φkk=Op（ηn，k）（c）k^φ*- φ*kk=Op（η）*n、 k）式中ηn，kη*n、 展品中的卡雷（23）。在标准化k^φk=1，kφkk=1，k^φ的情况下，应将速率理解为保持不变*k=1和kφ*kk=1和符号归一化h^φ，φki≥ 0和h^φ*, φ*基≥ 0.A.2定理4.1的偏差和方差计算以下两个引理应用了关于通过投影法求解非线性方程的文献中的已知结果（例如，参见Krasnosel’skii、Vainikko、Zabreiko、Rutitskii和Stetsenko（1972）第19章）。第一个结果表明，香港对所有k su足够大。引理A.5假设4.1和4.2（b）成立。

然后：存在ε>0和K∈ 为了所有的k≥ K投影固定点问题（33）至少有一个解hkin-ball Nk={ψ∈ Bk:kψ- hk<ε}。备注A.1尽管球可能包含投射的执行点问题（33）的多个解，但在引理A.5的条件下，我们有这个suphk∈Hkkhk-hk=o（1），其中hk表示Nk中（33）的所有解的集合。备注A.2如果假设4.1（c）得到加强，要求在r（Dh）<1的情况下，T在h时连续Fr'echetdifferentiable，则存在K∈ N和ε>0，因此对于所有k≥ K投影固定点问题（33）有一个独特的解决方案。鉴于备注A.1，在下文中，我们假设HK为Nk中（33）的任意一个解（或在h处T的连续Fr’echet微分的附加假设下的唯一解）。设χk=hk/khkk和λk=k∏kTχkk。引理A.6假设4.1和4.2成立。然后：（a）|λk- λ|=O（τk）（b）kχk- χk=O（τk）（c）khk- hk=O（τk）。我们现在证明，wpa1，样本定点问题有一个解^v，其中^h（x）=^vbk（x）属于Nk。然后，我们推导出使用^v形成的估计量的收敛速度（参见display（36））。以下两个结果是新的。引理A.7假设4.1-4.3成立。然后：wpa1，存在一个固定点^v of bG-1bT使得函数^h（x）=bk（x）^v属于Nk。此外，k^h- hk=op（1）。备注A.3尽管可能存在多个固定点^v ofbG-1bT，其中^h（x）=^vbk（x）属于Nk，在引理A的条件下，我们有这个sup^hk∈^Hkk^h- hk=op（1），其中^hk表示属于Nk的所有此类bk（x）^v的集合。鉴于备注A.3，以下引理适用于（36）中从任意固定点^v of bG形成的估值器^λ、^χ和^h-1吨，其中bk（x）^v∈ Nk。引理A.8假设4.1-4.3成立。

然后：（a）|^λ- λk |=Op（νn，k）+Op（τk）（b）k^χ- χkk=Op（νn，k）+Op（τk）（c）k^h- hkk=Op（νn，k）+Op（τk）。B关于推论的其他结果B。1.长期熵估计的渐近正态性我们考虑了SDF的永久分量熵的估计量^L的渐近分布。在情况1中，长期熵的估计值为：^L=log^ρ-nn-1Xt=0logm（Xt，Xt+1）。回想一下ψρ，t=ψρ（Xt，Xt+1），其中影响函数ψρ在（25）中定义。定义：ψlm（xt，xt+1）=对数m（xt，xt+1）- E[logm（Xt，Xt+1）]集ψlm，t=ψlm（Xt，Xt+1）。设~=（ρ）-1.-1).命题B.1让定理3.2的假设成立√nPn-1t=0（ψρ，t，ψlm，t）→dN（0，W）对于某些有限矩阵W。然后：√n（^L）- L）→dN（0，VL），其中VL=~W~。在前面的命题中，VL将是长期方差：VL=Xt∈ZCov（ψL（X，X），ψL（Xt，Xt+1）），其中ψL（Xt，Xt+1）=ρ-1ψρ（Xt，Xt+1）- ψlm（Xt，Xt+1）。下面的定理B.1表明，VL是L的半参数效率界。在情况2中，长期熵的估计量是：^L=log^ρ-nn-1Xt=0logm（Xt，Xt+1，^α）。与^ρ的渐近正态性一样，^L的渐近分布将取决于估计^α的退火炉。为简洁起见，我们只考虑定理3.4中的参数案例研究。设ψlm和ψlm，tbe，如之前定义的m（xt，xt+1）=m（xt，xt+1，α）。回顾假设3.5中的ψα和t，并定义：[2a]=ρ-1，Eφ*（Xt）φ（Xt+1）ρ-m（Xt，Xt+1，α）m（Xt，Xt+1，α）α, -1..命题B.2让定理3.4的假设成立。还假设（a）存在一个邻域Nofα，在该邻域上，函数logm（x，x，α）对于所有（x，x）在α中是连续可微的∈ Xwith:Esupα∈Nm（x，x，α）m（x，x，α）α< ∞及(二)√nPn-1t=0（ψρ，t，ψα，t，ψlm，t）→dN（0，W[2a]），对于某些有限矩阵W[2a]。

然后：√n（^L）- L）→dN（0，V[2a]L），其中V[2a]L=~[2a]W[2a]~[2a]。B.2情形1Let Pn（x，A）=Pr（Xt+n）的半参数效率界限∈ A | Xt=x）表示anyBorel集A的n步转移概率x。我们说{Xt}t∈Zis一致遍历if:limn→∞好的∈XkPn（x，·）- QkT V=0，其中k·kT V表示总变差范数，Q表示X的平稳分布。假设B.1{Xt}t∈齐是一致遍历的。假设B.1的充分条件，如多布林条件，是众所周知的。假设B.1还意味着{Xt}t∈Zis指数φ混合（Ibragimov和Linnik，1971年，第367-368页），因此是指数β-和ρ混合。定理B.1（1）假设3.1、3.4（c）和B.1成立，并假设h:R→ R在ρ处连续可微，h（ρ）6=0。那么：h（ρ）的效率界是h（ρ）Vρ。（2） 此外，如果E[（logm（Xt，Xt+1））]∞, 那么：L的效率界是VL。B.3筛扰动展开式下列结果表明^ρ-ρkbehaves作为ofcM的线性泛函-ρkbG，用于推导定理3.2中^ρ的渐近分布。根据假设3.3，我们可以选择正常数ηn，k，1和ηn，k，2的序列，例如：- Ik=Op（ηn，k，1）和kcMo- Mok=Op（ηn，k，2），ηn，k，1=o（1），ηn，k，2=o（1）为n，k→ ∞. 让我们来看看CKC和c*kbe标准化，使KG1/2ckk=1和c*0kGck=1（相当于kφkk=1和hφ*k、 φki=1）。引理B.1假设3.1-3.3成立。然后：ρ- ρk=c*0k（厘米）- ρkbG）ck+Op（ηn，k，1×（ηn，k，1+ηn，k，2））。特别是如果kbGo- Ik=op（n）-1/4）和kcMo- Mok=op（n）-1/4）然后：√n（^ρ）- ρk）=√北卡罗来纳州*0k（厘米）- ρkbG）ck+op（1）。参考赛，C.和X.陈（2003）。含有未知函数的条件矩约束模型的有效估计。《计量经济学》71（6），1795-1843年。Ait-Sahalia，Y.和A.W.Lo（1998年）。金融资产价格中隐含的状态价格密度的非参数估计。

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当X有一个有界的矩形支撑，Q有一个远离0和0的密度∞,ξkis已知为O(√k） 对于（张量积）样条、余弦和某些小波基，对于（张量积）多项式序列，andO（k）（Newey，1997；Chen和Christensen，2015）。也可以根据Kg的高阶矩推导出替代的有效条件-1/2bk（Xt）k（代替supxkG-1/2bk（x）k），通过扩展Hansen（2015）中的参数来适应弱相关数据和不对称矩阵。C.1.1情况下的充分条件1下面的第一个结果使用了来自Chen和Christensen（2015）的弱相依随机矩阵的指数不等式。第二个扩展了Gobet等人的观点。

(2004).引理C.1假设如下：（a）X是指数β混合（b）E[m（Xt，Xt+1）r]<∞ 对于某些r>2（c）ξ2+4/rk（logn）/n=o（1）。然后：（1）假设3.3成立。（2） 我们可以取ηn，k=η*n、 k=ξ1+2/rk（对数n）/√n显示（23）。（3） 此外，如果ξ4+8/rk（logn）/n=o（1），则假设3.4（b）成立。引理C.2假设如下：（a）X是指数ρ混合（b）E[m（Xt，Xt+1）r]<∞ 对于某些r>2（c）ξ2+4/rkk/n=o（1）。然后：（1）假设3.3成立。（2） 我们可以取ηn，k=η*n、 k=ξ1+2/rk/√n显示（23）。（3） 此外，如果ξ4+8/rkk/n=o（1），则假设3.4（b）也成立。C.1.2具有参数第一阶段的情况2的充分条件以下引理给出了假设3.3和3.4（b）的一组充分条件，当α∈ A. Rdα是一个有限维参数。引理C.3设引理C.1的条件为m（x，x）=m（x，x；α），并设：（a）k^α- αk=Op（n）-1/2）（b）m（x，x；α）在α的邻域N上对所有（x，x）都是连续可微的∈ 设存在一个函数m:X→ R与E[`m（Xt，Xt+1）]<∞这样：supα∈Nm（x，x；α）α≤ \'m（x，x）代表所有（x，x）∈ 那么：（1）假设3.3成立。（2） 我们可以取ηn，k=η*n、 k=ξ1+2/rk（对数n）/√n显示（23）。（3） 此外，如果ξ4+8/rk（logn）/n=o（1），则假设3.4（b）成立。ηn，kη的k和界的条件*n、 kare与引理C.1相同。因此，与情况1相比，α的第一阶段估计不会降低BG和CM的收敛速度。C.1.3在半/非参数第一阶段的情况2中，我们现在为假设3.3和3.4（b）提供一组有效条件，当α∈A. A是一个有限维参数，参数空间是 配备标准k·kA的（一个Banachspace）。这包括α是函数的情况，即。

α=H，其中A=H是函数空间，α由有限维和函数部分组成，即α=（θ，H），其中A=Θ×H，其中Θ Rdim（θ）。对于每个α∈ 我们将M（α）定义为算子M（α）ψ（x）=E[M（Xt，Xt+1；α）ψ（Xt+1）|Xt=x]，理解为M（α）=M。设M={M（x，x；α）- m（x，x；α）：α∈ A} 。如果存在可测的E:X，我们说M有一个包络函数E→ [1, ∞) 比如| m（x，x）|≤ E（x，x）表示每（x，x）∈ X和m∈ M、 让M*= {m/E:m∈ M} 。M中的函数*明显以±1为界。设N[]（u，M）*, k·kp）表示带有M括号的熵*关于LPK·kp规范。