最后，让我们`*（α） =kM（α）- 请注意`*(α) = 0.引理C.4设引理C.1的条件为m（x，x）=m（x，x；α），并设：（a）m具有kEk4s<∞ 对于某些s>1（b）对数N[]（u，M）*, k·k4sv2s-v）≤ C[]u-2ζ对于某些常数C[]>0，ζ∈ （0,1）和v∈ （1，2）（c）`*（α） 在α和|`*(α)-`*(α)-˙`*α[α-α] |=O（kα）-αkA），k^α- αkA=op（n-1/4）和√n˙`*α[^α - α] =Op（1）（d）ξ4-2秒-vsvk（klogk）/n=o（1），ξζ2s-v2svk=O(√k logk）和（logn）=O（ξ1/3k）。然后：（1）假设3.3成立。（2） 我们可以取ηn，k=η*n、 k=ξ1+2/rk（对数n）/√n+ξ2-2秒-显示屏（23）中的v2svkp（k log k）/n。（3） 如果，另外，[ξ4+8/rk（logn）+ξ8-4s-2vsvk（k log k）]/n=o（1），则假设3.4（b）成立。注意，条件ξζ2s-v2svk=O(√当ξk=O时，k logk）基本满足(√k） 。C.2假设4.3的充分条件以下是假设4.3假设β混合的一组充分条件。回想一下ξk=supxkG-1/2bk（x）k引理C.5让下列条件成立：（a）x是指数β混合（b）E[（G1-γt+1）2s]<∞ 对于一些s>1（c）[ξk（logn）+ξ2+2βkk]/n=o（1）和（logn）2s-1s-1k/n=o（1）。然后：（1）假设4.3成立。（2） 我们可以取νn，k=ξ1+βkpk/n+ξk（对数n）/√n显示（37）。D主文本中结果的证明符号：v∈ Rk，定义：kvkG=vGkvor相当于kvkG=kG1/2kvk。对于任何矩阵A∈ Rk×kwe定义：kAkG=sup{kAvkG:v∈ Rk，kvkG=1}。我们还定义了由Gk加权的内积，即hu，viG=uGkv。内积h·，·iG及其范数k·Kg与研究矩阵估计的收敛性密切相关，因为（Rk，h·，·iG）与（Bk，h·，·i）等距同构。符号是一个。对于两个正序列an和BN，意味着存在一个有限的正常数C≤ CBN足够大；一 BN指an。bn和bn。一D.1命题2.1第2、3和4节结果的证明。

根据假设2.1，Schaefer（1974）的定理V.6.6暗示ρ：=r（M）>0，且M具有唯一的正本征函数φ∈ l对应于ρ。将结果应用于M*代替M保证φ的存在*∈ L.这证明了（a）部分。Schaefer（1974）的定理V.6.6也暗示ρ是孤立的，M的最大特征值。Schaefer（1974）的定理V.5.2（iii）反过来暗示ρ是简单的，完成了（c）部分的证明。Schaefer（1974）的定理V.5.2（iv）暗示φ是（6）的唯一正解。同样的结果也适用于M*代替mguarantesφ的唯一性*, 证明部分（b）。（d）部分来自命题F.3。定理3.1的证明。引理A.2和A.4的直接引理。推论3.1的证明。我们首先验证假设3.2。根据Schumaker（2007）的定理12.8和（ii）-（iv），对于每一个ψ∈ l存在hk（Mψ）∈ bk等于：kMψ- hk（Mψ）k。K-p/dkMψkW p.k-因此，kMψ- πkMψk=kMψ- hk（Mψ）+∏k（hk（Mψ）- Mψ）k≤ 2kMψ- hk（Mψ）k。K-\'p/dkψkand so kM- πkMk=O（k-“p/d）=o（1）按要求。类似的参数产生δk=O（k-p/d）和δ*k=O（k-p/d）。根据引理C.2，条件（iv）-（vii）对假设3.3是有效的，我们可以取ηn，k=η*n、 k=k（r+2）/（2r）/√n、 选择k nrd2rp+（2+r）dbalances偏差项和方差项，我们得到了所述的收敛速度。备注3.1的证明。首先观察Mφ=P∞n=1unhφ，~nnign。取Mφ=ρφ两边与gn的内积，我们得到每n的unhφ，νni=ρhφ，gni∈ N.根据帕塞瓦尔的恒等式，kφk=Pn∈Nhφ，~nni≥ ρPn∈N：uN>0u-2nhφ，gni。类似地，kφ*K≥ρPn∈N：uN>0u-2nhφ*, ni。注意hφ，gni=0和hφ*, 如果un=0，则uni=0。当bkn跨越由{gn}kn=1生成的线性子空间时，我们有φk:=Pkn=1hφ，gnign∈Bk。

因此，假设uk+1>0（否则结果基本正确）：kφ- φkk=Xn≥k+1hφ，gni=uk+1Xn≥k+1hφ，gniuk+1≤ uk+1Xn≥k+1：un>0hφ，gniun≤ uk+1kφkρ。结果是：δk=kφ- πkφk=kφ- φk+πk（φk- φ） k≤ 2kφ- φkk=O（uk+1）。类似的论证给出了δ*k=O（uk+1）。在证明定理3.2之前，我们首先给出一个引理，它控制涉及φ和φ的高阶偏置项*k、 定义：ψk，ρ（x，x）=φ*k（x）m（x，x）φk（x）- ρkφ*k（x）φk（x）带φk和φ*使kφkk=1，hφk，φ*ki=1，并且：ψ、 n，k=nn-1Xt=0ψρ，k（Xt，Xt+1）- ψρ（Xt，Xt+1）其中ψρ来自显示器（25）。为了简化表示法，设φt=φ（Xt），φ*t=φ*（Xt），φk，t=φk（Xt）和φ*k、 t=φ*k（Xt）。引理D.1假设3.1和3.2成立。然后：ψ、 n，k=Op（δk+δ*k） 。引理D.1的证明。先写ψ、 n，k=nn-1Xt=0（φ*k、 t- φ*t） m（Xt，Xt+1）φk，t+1+nn-1Xt=0φ*tm（Xt，Xt+1）（φk，t+1）- φt+1）- （ρk）- ρ） nn-1Xt=0φ*k、 tφk，t- ρnn-1Xt=0（φ*k、 tφk，t- φ*tφt）=:bT+bT+bT+bT。通过迭代期望：E[|（φ*k、 t- φ*t） m（Xt，Xt+1）φk，t+1 |]=h |φ*K- φ*|, M（|φk |）i≤ kφ*K- φ*kkMkkφkk=O（δ*k） 使用Cauchy-Schwarz，M的有界性（假设3.1）和引理A.2（注意正规化hφ*k、 φki=1和hφ，φ*i=1而不是kφ*kk=1和kφ*k=1不影响引理a.2）的结论。马尔可夫不等式则表示Bt=Op（δ*k） 。类似地，E[|φ*tm（Xt，Xt+1）（φk，t+1）- φt+1）|]=hφ*, M（|φk）- φ|）i≤ kφ*kkMkkφk- φk=O（δk）和sobT=Op（δk）。自ρk- ρ=O（δk）由引理A.2（A）和NPN确定-1t=0φ*k、 tφk，t=Op（1）由Lemma得出。2（b）（c），我们得到bt=Op（δk）。最后，E[|φ*k、 tφk，t- φ*tφt |]≤ kφ*K- φ*kkφkk+kφ*kkφk- φk=O（δk+δ*k） 再次由柯西-施瓦兹和引理A.2。因此，bT=Op（δk+δ*k） 。定理3.2的证明。首先请注意：√n（^ρ）- ρ) =√n（^ρ）- ρk）+√n（ρk）- ρ）=√n（^ρ）- ρk）+o（1）=√北卡罗来纳州*0k（厘米）- ρkbG）ck+op（1）（S.1），其中第二行是假设3.4（a），第三行是引理B.1和假设3.4（B）（在规范化kGckk=1和c下）*0kGck=1）。

根据标识，我们可以在显示屏右侧（S.1）写下第一个术语：√北卡罗来纳州*0k（厘米）- ρkbG）ck=√nn-1Xt=0ψρ（Xt，Xt+1）+√n×ψ、 n，k=√nn-1Xt=0ψρ（Xt，Xt+1）+op（1）（S.2），其中第二行是引理D.1和假设3.4（a）。结果是将（S.2）代入（S.1）并应用CLT来表示平稳和遍历鞅差（例如，Billingsley（1961）），这在假设3.4（c）中是有效的。定理3.3的证明。这是附录B中定理B.1的结果。定理3.4的证明。设mt（α）=m（Xt，Xt+1；α）。根据假设3.4（a）、引理B.1和假设3.4（B）：√n（^ρ）- ρ) =√nn-1Xt=0φ*k、 tφk，t+1m（Xt，Xt+1，^α）- ρkφ*k、 tφk，t+ 作品（1）=√nn-1Xt=0ψρ（Xt，Xt+1）+√nn-1Xt=0φ*k、 tφk，t+1mt（α）- mt（α）+ op（1）（S.3），其中第二个等式是引理D.1。我们将（S.3）右侧的第二项分解为：√nn-1Xt=0φ*k、 tφk，t+1mt（α）- mt（α）=√nn-1Xt=0φ*tφt+1mt（α）α(^α - α)+√nn-1Xt=0φ*tφt+1mt（α）- mt（α）-mt（α）α(^α - α)+√nn-1Xt=0（φ*k、 tφk，t+1- φ*tφt+1）（mt（α）- mt（α））=：√nn-1Xt=0φ*tφt+1mt（α）α(^α - α） +bT+bT（S.4）表示术语bT，无论何时∈ N（它是wpa1）我们可以取一个平均值展开式，得到bT=nn-1Xt=0φ*tφt+1mt（α）α-mt（α）α×√n（^α）- α） 式中，α位于α和α之间。接下来是常规论证（如纽伊和麦克法登（1994）的引理4.3，用遍历定理代替大数定律），即：-1Xt=0φ*tφt+1mt（α）α-mt（α）α= op（1）（S.5）根据假设3.5（c）（d）持有。此外√n（^α）-α） =Op（1）根据假设3.5（a）（b）。因此，bT=op（1）。对于termbT，根据假设3.5（c），无论何时∈ N（它是wpa1）我们有：|mt（^α）- mt（α）|≤ \'m（Xt，Xt+1）×k^α- αkwhere max0≤T≤N-1|m（Xt，Xt+1）|=op（n1/s），因为E[|m（Xt，Xt+1）s]<∞.

因此，我们有：bT≤√n×nn-1Xt=0 |φ*k、 tφk，t+1- φ*tφt+1 |×max0≤T≤N-1 | m（Xt，Xt+1）|×k^α- αk=nn-1Xt=0 |φ*k、 tφk，t+1- φ*tφt+1 |×op（n1/s）=op（δk+δ*k） 通过与引理D.1的证明类似的论证，证明了x op（n1/s）。最后，观察n1/s（δk+δ*k） =o（1），根据假设3.4（a）和条件s≥ 2.因此，bT=op（1）。由于BTB和BTIN显示屏（S.4）都是op（1），我们有：√nn-1Xt=0φ*k、 tφk，t+1mt（α）- mt（α）=nn-1Xt=0φ*tφt+1mt（α）α√n（^α）- α） +op（1）=Eφ*（Xt）φ（Xt+1）m（Xt，Xt+1；α）α√n（^α）- α） +op（1）。替换为（S.3）并使用假设3.5（a）：√n（^ρ）- ρ) =√nn-1Xt=0h[2a]ψρ，tψα，t+ op（1）和假设3.5（b）得出的结果。定理3.5的证明。我们遵循类似的论点来证明定理3.4。在这里，我们可以将显示屏右侧（S.3）的第二项分解为：√nn-1Xt=0φ*k、 tφk，t+1mt（α）- mt（α）=√n（`（α）- `（α） ）+bT+bT=√nn-1Xt=0ψ`，t+op（1）+bT+bT，其中第二行是假设3.6（b）（c），其中：=√nn-1Xt=0φ*tφt+1（mt（α）- mt（α））- (`(^α) - `(α))英国电信=√nn-1Xt=0（φ*k、 tφk，t+1- φ*tφt+1）（mt（α）- mt（α））。结果将遵循假设3.6（c）（d），前提是Bt和Bt都是op（1）。对于termbT，请注意bt=Zn（g^α），其中Zn表示以g为中心的经验过程。根据假设3.6（c），我们有K（g^α，g^α）=op（1）。适当地修改van der Vaart（1998）中引理19.24的论点（即用由k诱导的范数替换Lnorm，这是弱相依情形的适当半度量）得到Zn（g^α）→p0。对于termbT，请注意：E[|（φ*k、 tφk，t+1- φ*tφt+1）（mt（α）- mt（α））|]。E|(φ*k、 tφk，t+1- φ*tφt+1）|s/（s-1)（s）-1） /sby假设3.6（e）和霍尔德不等式。假设kφkk2s/（s），我们完成了证明-2） =O（1）和kφ*k2s/（s）-2） <∞; 假设3.6（e）中替代条件下的证明是类似的。

根据Minkowski和H¨older的不等式和假设3.6（e），我们有：|(φ*k、 tφk，t+1- φ*tφt+1）|s/（s-1)（s）-1） /s≤ E|(φ*k、 t- φ*t） φk，t+1 | s/（s）-1)（s）-1） /s+E|φ*t（φk，t+1- φt+1）|s/（s-1)（s）-1） /s≤ kφ*K- φ*kkφkk2s/（s）-2） +kφk- φkkφ*k2s/（s）-2） =O（1）×O（δ）*k+δk）。它遵循假设3.4（a）和马尔可夫不等式bt=op（1）。以下引理基于Akian、Gaubert和Nussbaum（2016）中的引理6.10。引理D.2假设命题4.1的条件成立。然后：存在有限的正常数C，C和h的一个邻域N，这样：kTnψ- 香港≤ 总工程师-对所有ψ∈ 引理D.2的证明。固定一些常数a，使r（Dh）</a<1。根据Gelfandformula，存在m∈ N使kDmhk<`am。T在h处的Fr′echet可微性与Fr′echet导数的链规则意味着：kTmψ- Tmh- Dmh（ψ）- h） k=o（kψ）- hk）作为kψ- 香港→ 0:kTmψ- 香港≤ kDmhkkψ- hk+o（kψ）- hk）<（\'am+o（1））×kψ- 香港。我们可以选择 > 0和a∈ （\'a，1）使得kTmψ-香港≤ amkψ-香港所有人ψ∈ B（h） ：={ψ∈ L:kψ- 香港}. （B）（h） 是引理陈述中的邻域。）那么对于任何ψ∈ B（h） 还有什么k∈ N我们有：kTkmψ- 香港≤ akmkψ- 香港。（S.6）通过归纳可以直接证明，G的有界性和T的β度齐性共同意味着：kTnψ- Tnψk≤ （1+kGk）1-βkψ- ψkβn（S.7）对于任意ψ，ψ∈ L.吃任何东西≥ 设k=bn/mc。由（S.6）和（S.7）我们得到：kTnψ- hk=kT（n）-km）Tkmψ- T（n）-km）香港≤ （1+kGk）1-βkTkmψ- hkβ（n）-公里）≤ （1+kGk）1-ββ（n-km）（akm）β（n）-km）对于任何ψ∈ B（h） 。结果如下：C和C的适当选择。命题4.1的证明。从引理D.2和B中取C和C（h） 从莱玛D.2的证据来看。设N={ψ∈ L:kψ- χk</注意{khkψ：ψ∈ N} =B（h） 。取任意ψ∈ {af:f∈ N、 a∈ R\\{0}。对于任何这样的ψ，我们可以写出ψ=（a/khk）f*何处*= KKF∈ B（h） 。

通过T的同质性：χn+1（ψ）=Tn（χ（ψ））kTn（χ（ψ））k=Tn（χ（f）*))kTn（χ（f）*))k=χn+1（f）*)每n≥ 1（注意G的正性确保了kTnf*每n和每f的k>0*∈ N） 。由引理D.2可知：kχn+1（ψ）- χk=kχn+1（f*) - χk=总氮（f）*)kTn（f）*)K-香港≤khkkTn（f）*) - 香港≤khkCe-根据需要。推论4.1的证明。χ的结果在文本中说明。对于h，设C，C和B（h） 就像引理D.2及其证明一样。假设他的T的a固定点属于B（h） 。Thenby引理D.2:kh- hk=kTnh- 香港≤ 总工程师-cn→ 因此h=h。定理4.1的证明。引理A.6和A.8中的直接引理。D.2附录A.1引理A.1的证明。我们首先证明存在K∈ N使得算子的最大值ρkof∏kM:L→ Lis真实而简单≥ K.在假设3.1下，ρ是M的简单孤立特征值。因此，存在 > 0使得|λ- ρ| > 2 总而言之λ∈ σ（M）。设Γ表示以ρ为中心，半径为. 设R（M，z）=（M- (子)-1在z处计算M的预解式∈ C\\σ（M），其中I是身份运算符。注意：CR:=supz∈ΓkR（M，z）k<∞ （S.8）因为R（M，z）是Γ上的全纯函数，且Γ是紧的。根据假设3.2，存在K∈ N使得：CR×k∏kM- Mk<1（S.9）适用于所有k≥ K.根据加藤（1980）第214页的定理IV.3.18，当≥ K：（i）算子∏kM有一个精确的特征值ρkinsideΓ和ρkis simple；（ii）Γ （C \\σ（πkM））；（iii）σ（φkM）\\{ρ}位于Γ的外部。请注意，ρk必须等于k≥ 因为复特征值是共轭对。

因此，如果ρkWere复值，那么它的共轭也会在Γ内部，这与ρkis是Γ内部∏kM的唯一特征值这一事实相矛盾。任何∏kM的非零特征值也是具有相同重数的（M，G）的en特征值。因此，当k时，最大特征值ρkof（M，G）为正且简单≥ K.让∏kM | Bk:Bk→ Bk表示∏kM对Bk的限制。回想一下φ*k（x）=bk（x）c*kwhere c*K在（15）中解决了左特征向量问题。给，φ*kis伴随点的本征函数（∏kM | Bk）*: Bk→ Bk对应于ρk，即h（πkM |Bk）*φ*k、 ψi=ρkhφ*k、 ψifor allψ∈ Bk.另一个伴随也与下一个证明有关，即（∏kM）*: L→ L是空间L中∏kM的结合点。引理A.1得出（∏kM）*有一个本征函数，比如φ+k对应于ρkwhenk≥ K.即h（πkM）*φ+k，ψi=ρkhφ+k，ψi表示所有ψ∈ L.注意φ+kdoE不一定属于Bk，所以我们可能有φ*k6=φ+k.引理A.2的证明。第1步：第（b）部分的证明。根据Gobet等人（2004）的命题4.2（取T=M，Tε=∏kM，Γ=B（κ，ρ）的边界，它们的内在质量为kφ- φkk≤ 常数×k（平方公里）- M） φkholds对于所有k足够大，其中常数仅取决于CR。结果如下，注意到k（φkM- M） φk=ρ×k∏kφ- φk=O（δk）。（S.10）第2步：第（a）部分的证明。根据Gobet等人（2004）的推论4.3，不等式：|ρ- ρk|≤ 常数×k（平方公里）- M） φkholds对于所有k足够大，其中常数仅取决于CRand kMk。结果如下（第10节）。第三步：证明kφ+k-φ*k=O（δ）*k） 在正规化kφ下*k=1和kφ+kk=1。放松*kdenote在∏kM特征空间上的谱投影*对应于ρk，由Gobet等人的命题4.2所证明。

（2004）（取T=M）*, Tε=（平方公里）*和Γ=B（κ，ρ）在其符号中的边界，并注意到kR（M*, z） k=kR（M，`z）k代表所有z∈ Γ），不等式：kφ*- P*kφ*K≤ 常数×k（∏kM）*- M*)φ*k对于所有k足够大，其中常数仅取决于CR。此外，k（∏kM）*- M*)φ*k=k（M）*πk- M*)φ*k=公里*（φ∏k）*- φ*)K≤ kMkk∏kφ*- φ*k=O（δ）*k） 通过δ的定义*k（参见display（22））和M的有界性。因此，kφ*- P*kφ*k=O（δ）*k） 。（S.11）定义（φ+k） φk）ψ（x）=hφk，ψi×φ+k（x）对于任何ψ∈ L.我们使用以下事实：P*k=hφk，φ+ki（φ+k φk）在标准化kφkk=1和kφ+kk=1下（Chatelin，1983，第113页）。然后，在符号hφ下*, φ+ki≥ 0，我们有：φ*- φ+k≤ 2kφ*- （φ+k） φ+k）φ*k（见Gobet等人（2004）命题4.2的证明）。此外，kφ*- （φ+k） φ+k）φ*K≤φ*-φ+kφkhφk，φ+kiφ*≡ kφ*- P*kφ*kIt后面是（S.11）kφ*- φ+kk=O（δ*k） 。第4步：证明kφ*K- φ*k=O（δ）*k） 。与φ+ktoφ相关*k、 通过定义（∏kM）观察*和∏kM | Bk）*对于所有ψ，我们必须有：E[φ+k（X）∏kMψ（X）]=ρkE[φ+k（X）ψ（X）]∈ LE[φ*k（X）∏kMψk（X）]=ρkE[φ*k（X）ψk（X）]∈ Bk.从上述显示的第一行取ψ=ψkin得出∏kφ+k=φ*k、 现在通过三角形不等式和∏kis是弱收缩的事实，我们得到了：kφ*- φ*kk=kφ*- πkφ+kk≤ kφ*- πkφ*k+k∏kφ*- πkφ+kk≤ kφ*- πkφ*k+kφ*- φ+kk=O（δ*k） +O（δ）*k） 其中，最终等式由δ定义*k（参见显示屏（22））和步骤3。下面的引理收集了一些关于正交估计的有用界。引理D.3（a）如果bg是可逆的，那么：（bGo）-1cMo- Mo=cMo-bGoMo+（bGo）-1.（bGo）- 一） Mo+（I）-bGo（cMo）- （莫言）.（b） 特别是如果kbGo- Ik≤我们获得：k（bGo）-1cMo- 莫≤ kcMo- Mok+2kbGo- Ik×（kMok+kcMo）- 莫）。引理D.3的证明。

如果bg是可逆的，我们有：（bGo）-1cMo- Mo=（I）- （bGo）-1（bGo）- 一） ）cMo- Mo=cMo- 钼- （bGo）-1（bGo）- 一） 莫- （bGo）-1（bGo）- 一） （cMo）- Mo）。第（b）部分后面是三角形不等式，指出k（bGo）-1k≤ 2.kbGo-Ik≤.替换（bGo）-1=（I）- （bGo）-1（bGo）- 一） ）转换到前面的显示中：（bGo）-1cMo- Mo=cMo- 钼- （一）- （bGo）-1（bGo）- 一） ）（bGo- 一） 莫- （bGo）-1（bGo）- 一） （cMo）- Mo）=cMo-bGoMo+（bGo）-1（bGo）- 一） 莫- （bGo）-1（bGo）- 一） （cMo）- Mo）。按要求。引理A.3的证明。第一步：我们证明：kR（kM | Bk，z）k≤ kR（平方公里，z）霍尔德∈ C \\（σ（平方公里）∪ σ（φkM | Bk））。修正任意ψk的z∈ Bkwe-haveR（φkM | Bk，z）ψk=ζk，其中ζk=ζk（ψk）∈ bk由ψk=（πkM）给出-zI）ζk.对于任何ψ∈ 我们有R（φkM，z）ψ=ζ，其中ζ=ζ（ψ）∈ Lis由ψ=（πkM）给出- zI）ζ。特别是，取ψk∈ Bkwe必须有ζk（ψk）=ζ（ψk）。因此，对于所有ψk，R（φkM | Bk，z）ψk=R（φkM，z）ψkholds∈ 我们现在有：kR（kM | Bk，z）k=sup{kR（kM | Bk，z）ψkk:ψk∈ Bk，kψkk=1}=sup{kR（πkM，z）ψkk:ψk∈ Bk，kψkk=1}≤ sup{kR（πkM，z）ψk:ψ∈ 五十、 第二步：我们证明（cM，bG）在Γwpa1内有唯一的特征值^ρ，其中Γ来自引理a.1的顶部。作为∏kM、∏kM | Bk和G的非零特征值-1M是相同的，引理A.1的结果表明，对于所有k≥ K曲线Γ精确地包围了g的一个特征值-1M，即ρk，ρkis是G的简单特征值-100万。回想一下G-1M与∏kM | Bkon（Rk，h·，·iG）同构。设R（G）-1M，z）表示G的溶剂-1米（Rk，h·，iG）。到了第一步，我们就有了：supz∈ΓkR（G）-1M，z）kG=supz∈ΓkR∏kM | Bk，z）k≤ 苏普兹∈ΓkR（πkM，z）k.（S.12）第二个预解式恒等式给出R（πkM，z）=R（M，z）+R（πkM，z）（M）-πkM）R（M，z）。因此，无论何时（S.9）保持不变（对所有k≥ K） ：supz∈ΓkR（πkM，z）k≤CR1- CRk∏kM- 根据假设3.2，Mk=CR（1+o（1））（S.13）。结合（S.12）和（S.13），我们得到：supz∈ΓkR（G）-1M，z）kG=O（1）。

（S.14）通过引理D.3（b）、假设3.3和M:kbG的有界性-1厘米- G-1MkG=k（bGo）-1cMo- Mok=op（1）。接下来（第14节）是不平等：kbG-1厘米- G-1MkG×supz∈ΓkR（G）-1米，z）公斤<1（S.15）可容纳wpa1。根据加藤（1980）第214页的定理IV.3.18，无论何时（第15节）成立：bG-1cM内有一个精确的特征值，比如^ρ；ρ是简单的，并且；bG的剩余特征值-1cM位于Γ的外部。请注意，无论何时（S.15）保持不变，^ρ都必须是实的（因为复数IgenValue以共轭对的形式出现），因此相应的左和右特征向量^c*^c也是真实的和独特的（按比例）。引理A.4的证明。以k为例≥ K来自引理A.1，并研究了whichkbG上的事件序列-1厘米- G-1MkG×supz∈ΓkR（G）-1米，z）公斤<（S.16）保持。通过引理A.3的证明，这个不等式包含wpa1和^ρ，^c和^c*在这一系列事件中是独一无二的。第1步：第（b）部分的证明。在规范化k^ckG=1和k^c下*kG=1，无论何时（S.16）保持（它执行wpa1），我们都有k^φ- φkk=k^c- ckkG≤√8苏普茨∈ΓkR（G）-1M，z）kG×k（bG-1厘米- G-1M）戈贝特等人（2004）的ckkGby提案4.2（设定BG）-1cM=Tε，G-1M=T和Γ=B的边界（在其符号中为κ，ρ）。现在结果是（S.14）和K（bG）-1厘米- G-1M）ckkG=k（bGo）-1cMo- Mo）~ckk=Op（ηn，k）（S.17）（参见显示屏（23））。第2步：第（a）部分的证明。鉴于（第16条），（第14条）以及kG-1MkG=k∏kM | Bkk≤kMk<∞, 根据Gobet等人（2004）的推论4.3，我们得到：|^ρ- ρk|≤ O（1）×k（bG）-1厘米- G-1米）千克。结果如下（S.17）。第3步：第（c）部分的证明。与第（b）部分的证明相同的论点：k^φ*- φ*kk=k^c*- C*kkG≤√8苏普茨∈ΓkR（G）-1M，z）kG×k（bG-1厘米- G-1M）c*kkGunder标准化k^c*千克=千卡*kkG=1。现在的结果是（S.14），注意到SUPZ∈ΓkR（G）-1M，z）kG=supz∈ΓkR（G）-1米，z）公斤，而事实是：-1厘米- G-1M）c*kkG=k（（bGo）-1mo0- Mo0）~c*kk=Op（η）*n、 k）（参见。

显示器（23））。D.3附录A的证明。2本小节中的一些证明利用了定点指数的性质。我们请读者参考Krasnosel’skii等人（1972年）的第19.5节了解详细信息。引理A.5的证明。根据假设4.1和推论4.1，我们可以选择ε>0，例如N={ψ∈ L:kψ- 香港≤ ε} 只包含T的一个固定点，即h。我们验证Krasnosel’skii等人（1972）中定理19.4的条件，其中，在我们的符号中，Ohm = N、 En=Bk，Pn=∏k，T=T，Tn=∏kT | Bk（即∏kT对Bk的限制）。紧性条件由假设4.1（b）满足（回想一下，框架的紧性等于T的紧性）。根据假设4.1（c），固定点h具有非零指数；见Krasnosel’skii等人（1972年）第300页的结果（5）。最后，根据假设4.2（b），Krasnosel\'Skieet al.（1972）中的条件（19.28）成立，且其条件（19.29）基本满足。备注A.1的证明。随后是inKrasnosel\'skii等人（1972年）定理19.3中结果的证明（19.31）。备注A.2的证明。这遵循了Krasnosel’skii等人（1972年）的定理19.7。引理A.6的证明。第（c）部分之后是第310页inKrasnosel’skii等人（1972）的显示证明（19.50），其中，在我们的符号中，x=h，xn=hk，Pn=∏k，p（n）=I- πk，T=T，T（x）=Dh。请注意，假设4.2（a）意味着它们的条件kT（x）- PnT（x）k→ 0作为n→ ∞. 然后，第（b）部分从不平等性出发：香港-HKKKK≤KKKH- 香港。最后，第（a）部分来自以下事实：khk-khkk= O（τk）与x7的连续可微性→ x1-β在每个x>0。下一个引理给出了用于证明A.7和A.8的估计量的一些界。引理D.4（a）假设4.1（b）和4.3成立。然后：supv∈Rk:kvkG≤ckbG-1bTv- G-1TvkG=op（1）。（b） 此外：supv∈Rk:kvbk-香港≤εkbG-1bTv- G-1TvkG=Op（νn，k），其中，从显示器（37）中取出νn，kis。引理D.4的证明。

通过定义GO、bTo和To，我们有SUPV∈Rk:kvkG≤ckbG-1bTv- G-1TvkG=supv∈Rk:kvk≤ck（bGo）-1bTov- 托夫克。无论何时-bGok<1（假设4.3为wpa1），对于任何v∈ 我们有：（bGo）-1bTov- Tov=bTov- 托夫- （bGo）-1（bGo）- 一） 托夫- （bGo）-1（bGo）- 一） （bTov）- Tov）（S.18）第（a）部分后面是三角形不等式和假设4.3，指出supv∈Rk:kvk≤ckTovk≤supψ：kψk≤ckTψk<∞ 根据假设4.1（b）对每个c保持不变。第（b）部分的定义类似于GO、bTo、To和νn亲属显示（37）。引理A.7的证明。设ε，K和Nkbe如引理A.5所示。还定义了集合N={ψ∈ L:kψ- hk<ε}，Γ={ψ∈ L:kψ- hk=ε}，Γk={ψ∈ Bk:kψ- hk=ε}，Nk={v∈ Rk:vbk（x）∈ Nk}，和Γk={v∈ Rk:vbk（x）∈ Γk}。让我- TΓ）表示场地的旋转（I- T） ψonΓ。假设4.1意味着|γ（I- TΓ)| = 1; 见Krasnosel’skii等人（1972年）第300页的结果（5）。还要注意supψ∈ΓkTψ- πkTψk<infψ∈Γkψ- 根据假设4.2（b）（注意infψ∈Γkψ- Tψk>0，否则T将在Γ上有一个固定点，这与Lemma a.5）证明中N的定义相矛盾。Krasnosel’skii等人（1972）第299页的结果（2）则意味着无论何时（S.19）成立，我们都有|γ（I）-πkT；Γ）|=|γ（I）-TΓ）|=1。Krasnosel’skieet al.（1972）第299页的结果（3）则暗示|γ（I- πkT | Bk；Γk）|=1，每当（第19条）成立时。最后，通过同构，我们得到了|γ（I）- G-1T；Γk）|=1，每当（第19条）成立时。我们现在证明了不平等性：supv∈Γkk（背景）-10吨- G-1T）vkG<infψ∈Γkkψ- πkTψk（S.20）保持wpa1。左边是引理D.4（a）的op（1）。对于右侧，我们要求lim infk→∞infψ∈Γkkψ- πkTψk>0。假设这个说法是错误的。然后存在一个序列{ψkl:l≥ 1} 带ψkl∈ Γkl使得ψkl- πklTψkl→ 由于T是紧的，因此存在一个收敛子序列{Tψklj:j≥ 1}. 让ψ*= 林杰→∞Tψklj。

那么：kψklj- ψ*K≤ kψklj- πkljTψkljk+k∏kljTψklj- πkljψ*k+k∏kljψ*- ψ*K→ 0as j→ ∞, 其中，第一项通过定义ψkl而消失，第二项通过定义ψ而消失*, 假设4.2（b），第三个消失了。因此，ψ*∈ Γ. 此外，T的连续性和ψ的定义*:kTψ*- ψ*K≤ kTψ*- Tψkljk+kTψklj- ψ*K→ 0as j→ ∞, 因此ψ*∈ Γ是T的一个固定点。但这与h是T在N=N中唯一的固定点这一事实相矛盾∪ Γ（参见引理A.5的证明）。这证明了这一说法。Krasnosel’skii等人（1972）第299页的结果（2）则意味着无论何时（S.19）和（S.20）保持不变（它们执行wpa1），我们都有γ（I）-bG-10吨；Γk）=γ（I）- G-1T；Γk）。因此，|γ（I）-bG-10吨；Γk）|=1也持有wpa1，因此，根据克拉斯诺塞尔·斯基耶特（Krasnosel’skieet al.（1972）第299页的结果（1），bG-1bT至少有一个固定点^v∈ Nk。因此，我们证明了^h（x）=bk（x）^v是定义良好的wpa1和k^h- hk<εwpa1。^h的一致性通过使用任何正ε<ε重复前面的参数来实现。备注A.3的证明。固定任何正ε<ε，让A={ψ∈ L:ε≤ kψ- 香港≤ ε} ，Ak={ψ∈ Bk：ε≤ kψ- 香港≤ ε} 和Ak={v∈ Rk:vbk（x）∈ Ak}。显然，T在A中没有固定点。此外，与定理19中的结果证明（19.31）类似的论点。Krasnosel’skii等人（1972）中的3表示，对于所有足够大的K，Ak不包含∏kT的固定点。通过与引理A.7的证明类似的论证，我们可以推断出thatlim infk→∞infψ∈Akkψ- πkTψk=：c*> 0.那么对于任何v∈ Ak，我们有kv-bG-1bTvk≥C*- op（1），其中op（1）项在Akby引理D.4（a）上一致成立。因此，kv-bG-1bTvk≥ C*/2个代表所有v∈ Akwpa1。另一方面，任何固定点^v ofbG-1bT含bk（x）^v∈ NKV肯定有k^v-bG-1bT^vk=0。因此，Akwpa1不存在这样的固定点。引理A.8的证明。我们首先证明（c）部分。在他的∏kDh | Bk上∏kT | Bk的Fr | echet导数。

这可以用矩阵G表示在（Rk，h·，·iG）上-1Dhwhere Dh=E[bk（Xt）βG1-γt+1h（Xt）β-1bk（Xt+1）]。根据引理A.7，^v（相当于^h）是定义良好的wpa1。因此，我们有：- G-1Dh）（vk- ^v）=G-1T^v-bG-1bT^v-G-1T^v- G-1Tvk- G-1Dh（^v）- （vk）请注意，kG-1T^v-bG-1bT^vkG=引理D.4（b）的Op（νn，k）和^h的一致性- G-1Dh）（vk- ^v）kG≤ Op（νn，k）+kG-1T^v- G-1Tvk- G-1Dh（^v）- vk）千克。（S.21）通过同构，我们得到了k（I）- G-1Dh）（vk- ^v）kG=k（I）- /（kDh）（香港）-^h）k.假设4。1（c）和4.2（a）一起意味着（I）- πkDh）-1存在于所有足够大的k和形式k（I）- πkDh）-1k是一致有界的（对于所有足够大的k）。因此，k（I）- G-1Dh）（vk- ^v）kG≥ const×khk-^hk（S.22）适用于所有规模足够大的k。还要注意：kG-1T^v- G-1Tvk- G-1Dh（^v）- vk）kG=k∏kT^h- πkThk- πkDh（^h）- 香港）k≤ kT^h- Th- Dh（^h）- h）- （厚- Th- 徖生署（香港）- h） ）k≤ kT^h- Th- Dh（^h）- h） k+kThk- Th- 徖生署（香港）- h） k=o（1）×k^h- hkk+khk- hk）+o（1）×kh- hkk（S.23），其中第一个不平等是因为∏kis a（弱）土地收缩，最终的结果是假设4.1（c）。将（S.22）和（S.23）替换为（S.21）并重新排列，我们得到：（1）- o（1））×khk-^hk≤ Op（νn，k）+Op（τk）。第（a）部分和第（b）部分后面是引理a.6证明的类似论点。D.4提案B.1附录B的证明。首先请注意：√n（^L）- L）=√nlog^ρ- 对数ρ-nn-1Xt=0logm（Xt，Xt+1）+E[logm（Xt，Xt+1）]=√nn-1Xt=0（ρ-1ψρ，t- ψlm，t）+op（1），其中第二行是由display（24）和delta方法类型参数构成的。现在的结果来自命题陈述中的联合收敛。命题B.2的证明。

与命题B.1的证明类似的论点产生：√n（^L）- L）=√nnXt=1ρ-1ψρ，t+ρ-1φ*k、 tφk，t+1mt（α）- mt（α）-对数mt（α）- 对数mt（α）- ψlm，t+ 作品（1）。通过与定理3.4的证明类似的论证，我们可以推断：√nn-1Xt=0ρ-1φ*k、 tφk，t+1mt（α）- mt（α）-对数mt（α）- 对数mt（α）= Dα，lm√n（^α）- α） +op（1），其中dα，lm=Eφ*（Xt）φ（Xt+1）ρ-m（Xt，Xt+1，α）m（Xt，Xt+1，α）α.将^L代入展开式，并使用假设3.5（a）得出：√n（^L）- L）=√nnXt=1ρ-1ψρ，t+Dα，lmψα，t- ψlm，t+ 作品（1）。结果之后是命题陈述中假设的联合CLT。定理B.1的证明。我们首先证明第（1）部分。我们首先在Bickel和Kwon（2001）的第878-880页中描述了切线空间（他们的论点微不足道地延伸到Rd值马尔科夫过程）。让Qdenote表示（Xt，Xt+1）的平稳分布。考虑切向空间H={H（Xt，Xt+1）：E[H（Xt，Xt+1）]<∞ E[h（Xt，Xt+1）|Xt=x]=0几乎肯定}具有L（Q）范数。拿任何有界的h∈ 考虑一维参数模型，我们用转移概率{Pτ，h:|τ|≤ 1} 其中，每个跃迁概率Pτ，his由P（真跃迁概率）控制，由以下公式给出：dPτ，h（xt+1 | xt）dP（xt+1 | xt）=eτh（xt，xt+1）-A（τ，xt）式中：A（τ，xt）=logZeτh（xt，xt+1）P（dxt+1 | xt）.对于每个τ，我们定义Lby上的线性算子M（τ，h）：M（τ，h）ψ（xt）=Zm（xt，xt+1）ψ（xt+1）Pτ，h（dxt+1 | xt）。观察：（M（τ，h）- M） ψ（xt）=Zm（xt，xt+1）ψ（xt+1）eτh（xt，xt+1）-A（τ，xt）- 1.P（dxt+1 | xt）。（S.24）是L上的有界线性算子（因为kMk<∞ h是有界的）。根据泰勒定理：eτh（xt，xt+1）-A（τ，xt）- 1=τh（xt，xt+1）+O（τ）（S.25），其中O（τ）项在（xt，xt+1）中是一致的。接下来是h（τ，h）的有界性-Mk=O（τ）。

与引理A.1的证明类似的论点暗示存在 > 0和¨τ>0，使得M（τ，h）的最大特征值ρ（τ，h）简单且位于区间（ρ- , ρ + ) 对于每个τ<\'τ。取关于τ=0的ρ（τ，h）的摄动展开式（例如，见加藤（1980）第89页上的方程（3.6），该方程也适用于有限维情况，如第七节所述。加藤（1980）的1.5：ρ（τ，h）- ρ=h（M（τ，h）- M） φ，φ*i+O（τ）=τE[m（Xt，Xt+1）h（Xt，Xt+1）φ（Xt+1）φ*（Xt）]+O（τ）=τZm（Xt，Xt+1）φ（Xt+1）φ*归一化hφ，φ下的（xt）h（xt，xt+1）dQ（xt，xt+1）+O（τ）（S.26）*i=1，其中第二行为（S.24）和（S.25）。表达式（S.26）表明，ρ（τ，h）在τ=0处的导数是∧ψρ=m（xt，xt+1）φ（xt+1）φ*（xt）。由于有界函数在H中是稠密的，我们已经证明了ρ相对于H是可微的，且其导数为ρψ。ρ的有效影响函数是∧ψρ在H上的投影，即：∧ψρ（xt，xt+1）- 因为E[!ψρ（Xt，Xt+1）|Xt=Xt]=ψρ（Xt，Xt+1），所以E[!ψρ（Xt，Xt+1）|Xt=Xt]=φ*（xt）Mφ（xt）=ρφ（xt）φ*（xt）。因此，Vρ=E[ψρ（Xt，Xt+1）]是ρ的效率界。类似的论证表明，h（ρ）ψρ是h（ρ）的有效影响函数。我们现在证明第（2）部分。根据线性关系，L的有效影响函数为：ψL=ρ-1ψρ- ψlogm其中ψlogm是e[logm（Xt，Xt+1）]的有效影响函数。众所周知：ψlog m（x，x）=l（x，x）+∞Xt=0E[l（Xt+1，Xt+2）|X=X]- E[l（Xt，Xt+1）|X=X]式中，l（xt，xt+1）=对数m（xt，xt+1）（参见Greenwood and Wefelmeyer（1995））。可以使用上述总和的伸缩特性，即VL=E[ψL（X，X）]进行验证。引理B.1的证明。以k为例≥ 引理A.1中的K，并研究（S.16）保持的事件序列，因此^ρ，^c和710c*由引理A.3唯一定义。规范化^c，^c*, ck和c*k^ckG=1，kckg=1，^cG^c*= 1和ckGc*k=1。LetP=ckc*0kG和BP=^c^c*0克。

然后我们有迹（bP）=1，迹（P）=1，^ρ=迹（bPbG-1cM），ρk=迹线（PG-1米），背景-1cMbP=ρbP和G-1MP=PG-1M=ρkP。现在观察：ρ- ρk=迹线（bPbG）-1厘米）- 跟踪（PG）-1M）=跟踪（（bP）- P） bG-1cM）+微量元素（P（bG）-1厘米- G-（百万）。通过项的加减，我们得到：trace（（bP- P） bG-1cM）=^ρ- ^ρ迹线（PbP）+迹线（PbG）-1厘米（bP- 一） ）=ρ迹（P（I）-bP）+微量元素（PbG-1厘米（bP- 一） ）=（ρ- ρk）迹（P（I）-bP）+ρktrace（P（I）-bP）+微量元素（PbG-1厘米（bP- 一） ）=（ρ- ρk）迹（P（I）-bP）+微量元素（PG-1M（I）-bP）+微量元素（PbG-1厘米（bP- 一） ）=（ρ- ρk）迹（P（I）-bP）和微量元素（P（bG）-1厘米- G-英国石油公司- 一） ）（第27节）其中：| trace（P（I）-bP）|=|c*0千克（克）-bPck）|≤ kc*kkGkck-bPckkG。（S.28）通过Gobet等人（2004）命题4.2的证明（设定BP=Pε，bG）-1cM=Tε，G-1M=引理A.1的证明中的T和Γ作为B的边界（在其符号中为κ，ρ），以及引理A.4的证明中的类似参数：kck-bPckkG。k（背景）-1厘米- G-1M）ckkG=Op（ηn，k）。（第29条）此外，kc*kkG=kpckg≤ 每千克≤-12πiZΓR（G）-1M，z）ρk- zdzG（加藤，1980，表达式（6.19），第178页），通过显示（S.14）和ρk→ ρ. 通过显示（S.28）和（S.29）以及^ρ-ρk=Op（ηn，k）（通过引理A.4），我们得到：- ρk）迹（P（I）-bP））=Op（ηn，k）。（S.30）此外：|微量元素（P（bG-1厘米- G-英国石油公司- 一） ）|=|c*0千克（bG）-1厘米- G-英国石油公司- 一） ck|≤ kc*kkGkbG-1厘米- G-1MkGkck-bPckkG=Op（ηn，k，1+ηn，k，2）×Op（ηn，k）（S.31）通过引理D.3（b）和显示（S.29）。由（S.27）、（S.30）和（S.31）得出：- ρk=迹线（P（bG-1厘米- G-1M））+Op（ηn，k，1+ηn，k，2）×Op（ηn，k）+Op（ηn，k）。最后，trace（P（bG-1厘米- G-1M）=c*0千克（bG）-1厘米- G-1M）ck=~c*0k（（bGo）-1cMo- Mo）~ck=~c*0k（cMo）-bGoMo）~ck+Op（ηn，k，1×（ηn，k，1+ηn，k，2））由引理D.3（a）和k ~c*kk=kc*kkG=O（1）。结果如下，注意到c*0k（cMo）-bGoMo）~ck=c*0k（厘米）- ρkbG）ck和至少与ηn，k，1和ηn，k，2（cf。

引理D.3（a））。参考Sakian，M.，S.Gaubert和R.Nussbaum（2016）。非扩张半可微映射不动点的唯一性。美国数学学会学报368（2），1271-1320。Bickel，P.J.和J.Kwon（2001年）。半参数模型的推理：一些问题和答案（附讨论）。中国统计局11863-960。比林斯利，P.（1961年）。鞅的lindeberg-l\'evy定理。《美国数学学会会刊》12（1），788-792。Chatelin，F.（1983年）。线性算子的谱逼近。学术出版社，纽约。Chen，X.和T.M.Christensen（2015）。弱相依和弱条件下级数估计的最优一致收敛速度和渐近正态性。《经济计量学杂志》188（2），447–465。Gobet，E.，M.Ho Off mann和M.Reiss（2004年）。基于低频数据的标量差的非参数估计。《统计年鉴》3223-2253。Greenwood，P.E.和W.Wefelmeyer（1995年）。马尔可夫链经验估计的效率。《统计年鉴》32（1），132-143。汉森，B.E.（2015）。参数和非参数最小二乘的统一渐近分布理论。工作文件，威斯康星大学。加藤（1980）。线性算子的微扰理论。柏林斯普林格·维拉格。克拉斯诺塞尔斯基，M.A.，G.M.维尼科，P.P.扎布雷科，耶。B.鲁蒂茨基和V.亚。斯特森科（1972年）。算子方程的近似解。格罗宁根沃尔特斯诺德霍夫酒店。纽伊，W.K.（1997）。级数估计的收敛速度和渐近正态性。《经济计量学杂志》79（1），147-168。Newey，W.K.和D.McFadden（1994年）。第36章大样本估计与假设检验。《计量经济学手册》第4卷，2111-2245页。爱思唯尔。谢弗，H.H.（1974）。Banach格与正算子。柏林斯普林格·维拉格。舒梅克，L.L.（2007）。

样条函数：基础理论。剑桥大学出版社，剑桥。范德法特，A.W.（1998）。渐近统计。剑桥大学出版社。非参数随机贴现因子分解的在线附录Timothy M.ChristensenMay 2017年5月19日该在线附录包含支持“非参数随机贴现因子分解”论文的材料。附录E提供了额外的模拟证据。附录F提供了第2.3节中的识别和存在条件与Hansen and Scheinkman（2009）和Boroviˇcka等人（2016）中的识别和存在条件之间关系的进一步详细信息。附录G提供了补充材料附录C和本在线附录中的结果证明。E额外的蒙特卡罗证据本节介绍了在正文第5节中描述的蒙特卡罗设计中，使用尺寸K=8的三次B样条基的额外模拟结果。B样条曲线的节点均匀地放置在数据的经验分位数处。与使用埃尔米特多项式得到的结果一样，模拟结果对筛空间的尺寸相当不敏感。表4和表5给出了模拟中估计量的偏差和RMSE。图5a-5e显示了φ、φ的（逐点）置信区间*在不同样本量的模拟中计算χ。关于识别的其他结果，在本附录中，我们分别讨论了存在和识别，并将本文中的条件与Hansen和Scheinkman（2009）（以下简称HS）以及Boroviˇcka等人中的随机稳定性条件进行了比较。

（2016年）（以下简称BHS）。电力公司递归优先权n^φ^φ*^φ^φ*10.013 0.013 0.013 0.013 0.013 0.013 0.013 0.0 0 0.0011 0.0190 0.0 0 0.0190 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0.0 0.0 0.0.0 0.0.0.0 0.0 0.0 0.0 0.0.0 0.0 0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0 0.0 0 0.0.0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0^φ*和^χ，用一个维数为k=8的三次B样条筛。电力公司递归的偏好；电力公司递归的偏好；电力公司递归的；电力公司递归的；电力公司递归的；电力公司递归的；电力公司；电力公司；电力公司递归的；电力公司；电力公司递归的；电力公司；电力公司递归的；电力公司；电力公司递归的；电力公司；电力公司递归的；电力公司；电力公司；电力公用事业递归的；电力公司；电力公司递归的；电力公司；电力公司递归的；电力公司；电力公司递归的；电力公司递归的；电力公司；电力公司；电力公司递归的；电力公司；电力公司；电力公司；香港的；电力公司；电力公司递归的；电力公司；电力公司；电力公司；电力公司；电力公司；电力公司；电力公司；电力公司；递归的；电力公司；电力公司；政府当局当局；电力公司；电力公司；电力公司；电力公司；电力公司；电力公司；递归的；公众；香港的；香港的；政府当局；政府当局；电力公司；公众公众；政府当局；电力公司；电力公司；电力公司；公众；政府；0.0348800 0.0254 0.0244 0.0206 0.0155 0.0133 0.0244 0.020916000.0190 0.0182 0.0157 0.0163 0.0136 0.0208 0.01533200 0.0142 0.0135 0.0118 0.0148 0.0123 0.0165 0.0110表5：尺寸为k=8.0.51.01.52.0-0.02 0.00 0.00 0（a）φ（x）的三次B样条筛用于电力设施123-0.02 0.00φ（B）的^ρ、^y、^L和^λ的模拟结果*（x） 用于电力设施0。80.91.01.11.2-0.02 0.00 0.02（c）^φ（x）用于递归优先权01234-0.02 0.00 0.02（d）^φ*（x） 对于递归首选项0。51.01.52.0-0.02 0.00 0.02（e）^χ（x）用于递归偏好图5：k=8的三次B样条基的模拟结果。面板（a）-（d）显示φ和φ的点向90%置信区间*跨模拟（浅、中、暗分别对应于n=400、800和1600；真实φ和φ*绘制为实线）。

面板（e）显示连续值运算符F的正特征函数χ的结果。1识别假设F.1假设如下：（a）M有界（b）存在正函数φ，φ*∈ 求一个正标量ρ，使（ρ，φ）解（6）和（ρ，φ）*) 求出（7）（c）Mψ对于每个非负ψ都是正的∈ 它不是完全相同的零。注意，假设F.1中没有出现紧性或幂紧性条件。假设F.1成立。然后：函数φ和φ*分别为（L）至（6）和（7）的唯一解。现在，我们将识别结果与HS和BHS中的识别结果进行比较。在MPt引起的条件概率变化下，HS的一些条件与条件期望算子半群的生成元eE[·Xt=x]有关，即：eE[ψ（Xt+τ）|Xt=x]：=EMPt+τMPtψ（Xt+τ）Xt=x. （OA.1）在离散时间环境中，乘法泛函和半群都由非负整数表示。因此，离散时间中的“生成器”就是单周期扭曲条件期望算子ψ7→eE[ψ（Xt+1）|Xt=·]。以下是HS中假设6.1、7.1、7.2、7.3和7.4的离散时间版本。条件F.1（a）{MPt:t∈ T}是一个正乘法泛函（b）。对于所有有界可测ψ：x，存在一个概率测度^962;，使得zee[ψ（Xt+1）| Xt=x]d^962;（x）=Zψ（x）d^962;（x）→ R（c）对于任意∧∈ ^（λ）>0的X，eE“∞Xt=11l{Xt∈ Λ}X=X#>0表示所有X∈ 任意∧的X（d）∈ ^（λ）>0的X，eP∞Xt=11l{Xt∈ Λ} = ∞X=X！=1对于所有x∈ 十、 其中ep（{Xs}ts=0∈ A | X=X）=ZE[（MPt/MP）1l{Xs}ts=0∈ A} |X=X]d^962;（X）每个A∈ Ft.MPin（8）的施工满足条件F.1（a）。对于条件F.1（b），让φ和φ*与假设F.1（b）相同，并将φ归一化*使得E[φ（Xt）φ*（Xt）]=1。

在这种标准化下，我们可以通过^（a）=E[φ（Xt）φ来定义概率测度^*（Xt）1l{Xt∈ A} 【典型范例∈ 十、下面的命题F.3表明，这种概率测度正是长期近似（9）中用于定义无条件期望的测度。回想一下，Q是X的平稳分布。然后我们有：ZeE[ψ（Xt+1）|Xt=X]d^（X）=ZEρ-1m（Xt，Xt+1）φ（Xt+1）φ（Xt）ψ（Xt+1）Xt=xφ（x）φ*（x） dQ（x）=ρ-1E[φ*（Xt）（M（φψ）（Xt））]=ρ-1E[（（M）*φ*)（Xt+1））φ（Xt+1）ψ（Xt+1）]=E[φ*（Xt+1）φ（Xt+1）ψ（Xt+1）]=Zψ（x）d^（x）。因此，条件F.1（b）是满足的。在2005年的HS初稿中，报告了连续时间半群的类似推导，Q由任意测量值代替。对于条件F.1（c），请注意，在我们的^构造下，^（∧）>0意味着Q（∧）>0。因此，^（λ）>0意味着φ（x）1l{x∈ 在一组正Q测度上∧}是正的。此外，根据eE的定义，我们有：“eE”∞Xt=11l{Xt∈ Λ}X=X#=φ（X）∞Xt=1ρ-tMt（φ（·）1l{∈ ∧}（x）≥φ（x）∞Xt=1λ-tMt（φ（·）1l{∈ 任意λ的∧}）（x）≥ r（M），其中r（M）表示M的光谱半径。假设F.1（c）表示不可约，通过不可约性的定义，P∞t=1λ-tMt（φ（·）1l{∈ ∧}（x）>0（几乎在任何地方）适用于λ>r（M）。因此，假设F.1（c）意味着条件F.1（c），直至“几乎无处不在”的定性。（d）部分是一个哈里斯递推条件，它不能根据算子M清楚地转换。当与不变测度和不可约性（分别为条件F.1（b）和（c））的存在相结合时，它既确保了作为扭曲期望的不变测度的^的唯一性，也确保了φ-遍历性，即limτ→∞sup0≤ψ≤φeEψ（Xt+τ）φ（Xt+τ）Xt=x-Zψ（x）φ（x）d^（x）= 0（OA.2）（几乎所有地方），其中上确界占据所有可测ψ，因此0≤ ψ ≤ φ（Meyn和Tweedie，2009年，命题14.0.1）。

结果（OA.2）是HS中建议7.1的离散时间版本，他们用它来确定φ。假设F.1 aloneis不足以获得（OA.2）这样的收敛结果。另一方面，本文中的条件假设φ的存在*而在HS中的条件下，M的伴随项不保证正本征函数。事实上，对于非平稳环境，甚至不清楚如何适当地限制函数类以定义伴随（例如，HS似乎不限制φ属于Banach空间）。这表明哈里斯复发条件与假设F.1的性质截然不同。行李处理系统假设X在EP概率测度下是遍历的，条件F.1（b）-（d）是有效的。还请注意，行李处理系统的施工满足条件F.1（a）。HS中的识别结果和BHS中命题3.3的证明表明，函数ψ空间中建立了唯一性，其中[ψ（Xt）/φ（Xt）]是有限的，其中ee表示与（OA.1）相对应的平稳分布下的预期。在假设的情况下。1，他们的结果在函数ψ空间中建立了识别，其中[ψ（Xt）/φ（Xt）]=E[ψ（Xt）φ*（Xt）]是有限的。右边是所有ψ的定义∈ L（柯西o施瓦兹著）。因此，从这个意义上讲，HS和BHS中的识别结果适用于比我们的结果更大的功能类别。F.2存在性我们将假设F.1（b）（c）替换为假设2.1中稍强的拟紧性和正性条件，从而得到以下存在性结果。以下结果本质上是Sasser（1964）的定理6和定理7。如果M有界且存在τ，则M是拟紧的∈ T和一个有界线性算子V使得Mτ- V是紧的，r（V）<r（M）τ。

假设2.1暗示了M的拟紧性。命题F.2假设2.1（a）成立，且M是拟紧的。然后：（a）存在正函数φ，φ*∈ 求一个正标量ρ，使（ρ，φ）解（6）和（ρ，φ）*) 解决（7）。（b） 函数φ和φ*分别是唯一的解决方案（在L中）到（6）和（7）。（c） 特征值ρ是简单且孤立的，它是M的最大特征值。2005年HS的初步版本中给出了与（A）部分类似的存在结果。对于这个结果，HS假设r（M）是正的，并且（连续时间）算子半群有一个紧元素。我们在命题F.2的（c）部分中建立的ρ的进一步性质对于我们推导大样本理论至关重要。克里斯滕森（2015）在不同的条件下得出了类似的命题。HS借助遍历马尔可夫过程理论，在可能的非平稳连续时间环境中建立φ的存在性。现在给出了离散时间环境的等效条件，并与我们的识别条件进行了比较。与识别条件一样，我们在适当的情况下使用离散时间半群的生成器和分解器的类似物。条件F.2（a）存在一个函数V:X→ R带V≥ 1和一个常数大于0的有限常数，使得MV（x）≤ aV（x）适用于所有x∈ XI感谢匿名裁判提请我注意萨瑟（1964）的定理6和7。Sasser（1964）的定理6和7将命题F.2中的假设2.1（a）替换为M是拟正的条件，即对于每个非负ψ和ψ*在t不等于零的情况下，存在τ∈ 这就是hψ*, Mτψi>0。注意，拟紧性也要求r（M）>0。假设2.1（a）适用于这两种情况（即准正性和r（M）>0）。

条件r（M）>0加上M的幂紧性（假设2.1（b））对于拟紧性是有效的。（b） （X，X）上存在一个测度ν，使得J1l{·∈ 任意∧}（x）>0∈ v（λ）>0的X，其中J由Jψ（X）给出=∞Xt=0a-（t+1）Mt（Vψ）（x）V（x）对于a>a（c），算子J和K是有界的，其中K由Kψ（x）给出=∞Xt=0λ-t（（J）- s ν） tψ）（x）其中s:x→ R+是这样的：rdν>0和Jψ（x）≥ 所有ψ的s（x）Rψdν≥ 0（第（二）部分所列的性别歧视者） ν） ψ（x）：=s（x）Rψdν和λ∈ σ（J）。HS表明，在上述条件下，Ks是M的正本征函数（见theirLemma D.3）。条件F.2（b）在假设2.1下满足，当v=Q>r（M）时。要看到这一点，请看∧∈ Q（λ）>0时的X，并观察：∞Xt=1a-tMt（V（·）1l{∈ ∧}（x）≥∞Xt=1a-tMt1l{·∈ ∧}>0（几乎所有地方），其中第一个不等式为正不等式，第二个不等式为不可约不等式。因此，J1l{·∈ ∧}（x）>0（几乎所有地方）。此验证包括（b）部分，直至“几乎所有地方”的质量。另一方面，条件F.2（a）（c）似乎与命题F.2的条件截然不同。例如，假设2.1并不假定函数V的存在，而是引入了一个拟紧性条件。HS不预先限制M的函数空间，因此φ所属空间上没有有界或幂紧算子的概念。K是有界的要求（或在S中提供的有效条件）似乎没有在运营商M.F.3长期定价方面得到明确的转化。我们现在提供了一种在我们的存在和识别条件下适用的HS长期定价近似值。我们施加归一化E[φ（Xt）φ*（Xt）]=1并定义操作员（φ φ*) : L→ Lby:（φ φ*)ψ（x）=φ（x）Zφ*ψdQ。命题F.3假设2.1成立。

然后：存在c>0，使得：kρ-τMτ- (φ  φ*)k=O（e）-cτ）asτ→ ∞.命题F.3与HS中的命题7.4相似。命题F.3建立了ρ的收敛性-τMτto（φφ*), 近似误差在支付范围内以指数形式消失。2005年的一份ofHS草案中也报告了类似的主张（没有收敛速度）。在这里，HS直接假设扭曲的条件期望收敛到以φ，φ为特征的无条件期望*, 而且是一种武断的手段。命题F。3表明在平稳环境中，长期近似（9）中出现的无条件期望ee[ψ（Xt）/φ（Xt）]的特征是φ，φ*Q，即：eEψ（Xt）φ（Xt）= E[ψ（Xt）φ*（Xt）]。G附录C和FG中的结果证明。1附录C.1引理C.1的证明。Chen和Christensen（2015）的引理2.2给出了边界- Ik=Op（ξk（对数n）/√n） 。我们首先证明kcMo- Mok=Op（ξ1+2/rk（对数n）/√n） 。让{Tn:n≥ 1} 是下面定义的正常数序列。设bk=G-1/2bkbe正交基函数和letΞt，n=n-1~bk（Xt）m（Xt，Xt+1）~bk（Xt+1）。写作：cMo- Mo=n-1Xt=0Ξtrunct，n+n-1Xt=0Ξtailt，nwhereΞtrunct，n=t，n1l{kΞt，nk≤ Tn/n}- E[kΞt，n1l{kΞt，nk≤ Tn/n}]Ξtailt，n=nΞt，n1l{kΞt，nk>Tn/n}- E[kΞt，n1l{kΞt，nk>Tn/n}。注E[Ξtrunct，n]=0和kΞtrunct，nk≤ 2n-1.通过施工。让Sk-1={u∈ Rk:kuk=1}。对于任何u，v∈ Sk-1和任何0≤ t、 s≤ N- 我们有：|uE[Ξtruncs，n（Ξtruncs，n）]v|。ξknE[|ubk（Xt）m（Xt，Xt+1）m（Xs，Xs+1）~bk（Xs）v |]≤ξknE[|m（Xt，Xt+1）|r]2/r×E[|（ubk（Xt））|q]1/q×E[|（vbk（Xs））|q]1/q。ξknE[|bk（Xt））| q]1/q1，其中第二行是由Holder不等式q选择的，即1=r+q1和第三行，因为∞. 因为对于任何u，E[（~bk（X）u）]=kuk=1∈ Sk-1，我们有：E[|（u)bk（Xt））|q]1/q≤ （ξq）-2kE[（ubk（Xt））]）1/q=ξ1-2/qkand so:kE[Ξtruncs，n（Ξtruncs，n）]k。

苏普，v∈Sk-1 | uE[Ξtruncs，n（Ξtruncs，n）]v |=O（ξ2+4/rk/n）。同样的论证给出了kE[（Ξtruncs，n）Ξtruncs，n]k=O（ξ2+4/rk/n）。根据Chen and Christensen（2015）的推论4.2：N-1Xt=0Ξtrunct，n= Op（ξ1+2/rk（对数n）/√n） 提供的Tn（对数n）/n=o（ξ1+2/rk）/√n） 。现在考虑剩下的术语。如果m有界，我们可以设置Ξtailt，n≡ 取Tn=CξkF表示足够大的C。否则，通过三角形和Jensen不等式：N-1Xt=0Ξtailt，n≤ 2nE[kΞt，nk1l{kΞt，nk>Tn/n}]≤2nrTr-1nE[kΞt，nkr1l{kΞt，nk>Tn/n}]≤2ξ2rkTr-1nE[m（X，X）|r]。根据马尔可夫不等式：N-1Xt=0Ξtailt，n= Op（ξ2rk/Tr）-1n）。选择Tnso使ξ2rk/Tr-1n ξ1+2/rk（对数n）/√n、 我们获得：N-1Xt=0Ξtailt，n= Op（ξ1+2/rk（对数n）/√n） 。条件Tn（logn）/n=o（ξ1+2/rk）/√n） 在选择Tn时，等于条件（ξk（logn）/√n） （r）-2） /（r）-1） =o（1），这是因为ξk（logn）/√n=o（1），r>2。因此，我们证明了kcMo- Mok=Op（ξ1+2/rk（对数n）/√n） 。结果（1）现在来自引理D.3（b），注意到K（bGo）-1cMo- Mok=Op（ξ1+2/rk（对数n）/√n） 在ξ1+2/rk（logn）条件下为op（1）/√n=o（1）。结果（2）来自结果（1）和操作员规范的定义。结果（3）直接来自kbGo-Ik=Op（ξk（对数n）/√n） 和kcMo- Mok=Op（ξ1+2/rk（对数n）/√n） 。引理C.2的证明。与Gobetet al.（2004）的引理4.8和4.12的证明类似的论点给出了kbGo的边界- Ik=Op（ξkpk/n），k（bGo）- 一） ~ckk=Op（ξk）/√n） ，和Kc*0k（bGo）- 一） k=Op（ξk）/√n） 。我们首先为CMO建立类似的界限。让你，UK可能是Rk的正交基础。然后：E[kcMo- [Mok]≤kXl=1E[k（cMo- 现在，根据rho混合过程的协方差不等式：E[kcMo- [Mok]≤CnkXl=1kXj=1Eh~bkj（Xt）m（Xt，Xt+1）（~bk（Xt+1）ul）i≤CξknkXl=1Ehm（Xt，Xt+1）（~bk（Xt+1）ul）i其中常数C仅取决于rho混合系数。

根据H¨older不等式：E[m（Xt，Xt+1）（~bk（Xt+1）ul）]≤ E[|m（X，X）|r]2/r×E[（~bk（X）ul）2rr-2] r-2r≤ E[|m（X，X）|r]2/r×ξ4/rk×E[（|bk（X）ul）]r-2r。ξ4/rksince E[|m（X，X）|r]<∞ kulk=1。代入上述内容，我们得到[kcMo]- 莫言]。ξ2+4/rkk/nwhich根据马尔可夫不等式得出kcMo- Mok=Op（ξ1+2/rkpk/n）。相似议论文k（cMo）- Mo）~ckk=Op（ξ1+2/rk）/√n） 还有凯克*0k（cMo）- Mo）k=Op（ξ1+2/rk）/√n） 。结果（1）现在来自引理D.3（b），注意到K（bGo）-1cMo- Mok=Op（ξ1+2/rkpk/n），在ξ1+2/rkpk/n=o（1）的条件下为Op（1）。对于结果（2），请注意- Ik≤, 我们有k（bGo）-1k≤ 2因此：k（（bGo）-1cMo- Mo）~ckk≤ k（bGo）-1（cMo- Mo）~ckk+k（（bGo）-1.- 一） mockk≤ 2k（cMo）- Mo）~ckk+2ρkk（bGo）- 一） ~ckk。~ck的结果由边界k（bGo）得出-一） ~ckk=Op（ξk）/√n） 和k（cMo）-Mo）~ckk=Op（ξ1+2/rk）/√n） 。~c的结果*kfollows类似。结果（3）直接来自kbGo- Ik=Op（ξkpk/n）和kcMo- Mok=Op（ξ1+2/rkpk/n）。引理C.3的证明。如果我们证明kcMo-Mok=Op（ξ1+2/rk（对数n）/√n） 在本案中也是如此。首先写：cMo- Mo=nn-1Xt=0bk（Xt）m（Xt，Xt+1；^α）- m（Xt，Xt+1；α）~bk（Xt+1）+nn-1Xt=0bk（Xt）m（Xt，Xt+1；α）~bk（Xt+1）- 莫！=：B1，k+b2，KWKB2，kk=Op（ξ1+2/rk（对数n）/√n） 通过引理C.1的证明。福布1，k，条件（a）意味着α∈ N wpa1。无论何时∈ N我们可以采用平均值展开（有效bycondition（b））来获得：kb1，kk=nn-1Xt=0bk（Xt）bk（Xt+1）m（Xt，Xt+1；～α）α(^α - α)wpa1表示^α和α之间的段中的^α。

因此，我们有：kb1，kk=supu，v∈Sk-1.nn-1Xt=0（uBK（Xt））（v bk（Xt+1））m（Xt，Xt+1；～α）α(^α - α)≤ ξk×supu∈Sk-1nn-1Xt=0 | u | bk（Xt）|×m（Xt，Xt+1）！×k^α- αk≤ ξk×苏普∈Sk-1ubGou1/2×nn-1Xt=0米（Xt，Xt+1）！1/2×k^α- αk第一行是因为kAk=supu，v∈Sk-1 | uAv |和第二和第三条线由条件（b）和H¨older不等式和Cauchy-Schwarz不等式决定。最后，请注意SUPU∈Sk-1ubGou=kbGok=1+op（1）通过引理C.1和NPN的证明-根据遍历定理和条件（b），1t=0¨m（Xt，Xt+1）=Op（1）。因此kb1，kk=Op（ξk）/√n） 还有sokcMo- Mok=Op（ξ1+2/rk（对数n）/√n） ，视需要而定。引理C.4的证明。如果我们证明kcmo，那么这个证明后面的论点将与引理C.1中结果（1）-（3）的证明相同- Mok=Opξ1+2/rk（对数n）√n+ξ2-2秒-v2svk√k log k√N在引理C.3的证明中，它必须是束缚的：b1，k:=nn-1Xt=0bk（Xt）m（Xt，Xt+1；^α）- m（Xt，Xt+1；α）~bk（Xt+1）。设hα（x，x）=m（x，x；α）- m（x，x；α）和let:htruncα（x，x）=hα（x，x）1l{k＠bk（x）kk＠bk（x）kE（x，x）≤ Tn}htailα（x，x）=hα（x，x）1l{kbk（x）kkbk（x）kE（x，x）>Tn}式中{Tn:n≥ 1} 是下面定义的正常数序列。然后：kb1，kk≤ supα∈A.nn-1Xt=0bk（Xt）htruncα（Xt，Xt+1）~bk（Xt+1）- E[~bk（Xt）htruncα（Xt，Xt+1）~bk（Xt+1）]+ supα∈A.nn-1Xt=0▄bk（Xt）htailα（Xt，Xt+1）▄bk（Xt+1）+ supα∈A.E[~bk（Xt）htailα（Xt，Xt+1）~bk（Xt+1）]+E[~bk（Xt）h^α（Xt，Xt+1）~bk（Xt+1）]=:B1，k，1+b1，k，2+b1，k，3+b1，k，4。设Hn，k={（c!bk（x））（c!bk（x））htruncα（x，x）：c，c∈ Sk-1, α ∈ A} Sk在哪里-1是Rk中的单位球。然后：b1，k，1≤ N-1/2×suph∈Hn，k | Zn（h）|通过定义算子范数，其中Zn是Hn的中心经验过程，k.Doukhan等人（1995）的定理2:E[suph]∈Hn，k | Zn（h）|]=O k（σn，k）+Tnq k（σn，k）σn，k√n+√nTnβq！（OA.3）其中q∈ {1, 2, . . .}, σn，k≥ 嘘∈Hn，kkhk2，β为Doukhanet al.第400页定义的标准k·k2，β。