HARA投资者的学习和投资组合决策

2022-5-7 14:34:40

在我们的主要结果（定理6）中，我们通过使用随机顺序参数证明了，如果风险的市场价格是康斯坦丁符号（无论是正还是负），在部分观察和近视的情况下，最优投资组合之间的比率随着绝对风险容限的程度而增加。这个结果的一个直接结果是，如果投资者对宽容的风险大于（小于）对数投资者，则在部分观察情况下，最优投资组合的绝对值大于（小于）近视情况。这将[18]第7节和第8节中的结果扩展到了风险表示的市场价格的一般情况。此外，在这种一般情况下，我们还研究了投资组合以及对冲需求在风险容忍度方面的单调性，并回答了[18]提出的猜测。事实上，在代理偏好和正风险市场价格的恒定相对r iskaversion规范中，我们表明，根据推测，部分观察下的投资组合相对于风险容忍度是增加的，但与之相反，对冲需求在风险容忍度上并没有增加。最后，我们详细考虑了未观测到的风险市场价格的高斯情形，并证明了风险市场价格符号的恒常性只是最优投资组合和套期保值需求具有上述性质的一个有效条件。我们还引用了[4]中的一句话。论文的结构如下。在第2节中，我们设定了模型，并提供了分析的主要步骤。在第3节中，我们以多种方式研究了最优投资组合，并将我们的结果与现有文献进行了比较。第3.1小节考虑了高斯情况。

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2022-5-7 14:34:43

第4节讨论了未来研究的可能问题，并得出结论。2投资问题时间是连续的，不确定性用完全概率空间描述(Ohm, F、 P）配备过滤器F:={Ft，0≤ T≤ T}，T<∞,满足右连续和P-零集增广的一般条件，并得到标准布朗运动W:={Wt，0≤ T≤ T}。金融市场由两种可交易资产组成：一种无风险资产，利率不变≥ 0和风险资产，其收益率由随机微分方程Dst=St（bdt+σdWt）控制，（1）其中σ为正常数，b为预期收益率，为实随机变量。在这个框架中，如果在时间t∈ [0，T]投资者拥有初始财富x，并选择交易策略π：={πs，T≤ s≤ T}，其中πs∈ R代表有时投资于风险资产的财富量，然后他/她的财富根据todXs=rXsds+σπs（Θds+dWs），Xt=x，t演变≤ s≤ T、（2）其中风险的市场价格Θ：=（b）-r）假设/σ独立于已知先验分布u（a）：=P（Θ∈ A），A∈ B（R），（3）满足R|θ|u（dθ）<∞. 投资者不观察Θ或布朗运动W，而她/他持续观察S，目标是最大化期望值[u（XT）]（4）根据当时的可用信息选择投资策略π，其中u属于以下双曲绝对风险规避（HARA）效用函数类别之一：1。电力设施：uγ（x）=1- γγβx1- γ+ ηγ; γ<1，γ6=0，β>0，x∈ Dγ，（5）其中Dγ：={x |βx/（1）- γ） +η>0}（η=0的情况对应于恒定相对风险规避（CRRA）家族）。对数算术实用程序：ulog（x）=ln（βx+η）；β>0，x∈ 其中Dlog:={x |βx+η>0}。

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2022-5-7 14:34:47

指数效用：uexp（x）=-经验(-βx）；β>0，x∈ Dexp，（7），其中Dexp=R（这是常数绝对风险规避（CARA）家族）。请注意，对数hmic和指数效用可分别视为极限情况γ→ 0和γ→ -∞ 电力公司的。特别是，对数效用是极限，即sγ→ uγ（x）的0- (1 - γ） /γ是uγ（x）的一种转换，代表后者的相同偏好；而指数效用是极限，如γ→ -∞, η=1.2.1的uγ（x）的分析该分析主要与电力设施有关，对于其他两类，我们必须提供主要结果。LetFS：=FSt，0≤ T≤ T（8）是由S生成的P-aug过滤，然后，对于具有效用函数ui（带有i）特征的偏好的代理∈ {γ，lo g，exp}，分别参见，（5），（6）和（7）），投资策略π在初始财富x的时间t是可容许的，我们写下π∈ 在，如果它是FS渐进可测量的，则E[RTtπsds]<∞, （2）允许一个唯一的强解{Xs，t≤ s≤ T}这样P(Xser（T-（s）∈ 迪特≤ s≤ T) = 1（其中DII是实用功能ui的域，i∈ {γ，log，exp}）。现在，由此产生的投资组合问题不属于完全观测类型（正马尔可夫），可以通过标准过滤技术（例如，参见[12]或[18]中的第6节）在完整观测环境中减少。设ut（A）：=P[Θ∈ A | FSt]，A∈ B（R），0≤ T≤ T、（9）和^ΘT:=E[ΘFSt]=ZRθuT（dθ），0≤ T≤ T、（10）be，分别是Θ的条件概率和期望值。我们将把Xtin（2）和^Θtin（10）（或相当于utin（9））表示为由FS布朗运动驱动的随机微分方程的解。

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2022-5-7 14:34:50

为此，定义（P，FΘ，W）-指数市场密度过程zt:=exp-ΘWt-Θt, 0≤ T≤ T、（11）式中FΘ，W:={FΘ，Wt，0≤ T≤ T}是由W和Θ生成的P-增强过滤比n（注意，FSt比FΘ“小”，这意味着FStFΘ，WT0≤ T≤ T：部分观察）。然后，根据Girsanov定理，过程W:={Yt，0≤ T≤ T}，其中y:=ΘT+Wt，0≤ T≤ T、（12）观察可能需要额外的参数条件和/或Θ的先验条件，以确保明确的问题（例如，参见[12]中的假设3.1或[19]中的第8节）。然而，在这里，我们并不关心这个问题。是一个FΘ，W-布朗运动，其概率测度P由theRadon Nikodym导数PdP=ZT定义。（13）进程{St，0≤ T≤ T}和{Yt，0≤ T≤ T}产生相同的过滤；因此，ΘW也是独立于ΘP和ΘP[Θ]下的FS布朗运动∈ A] =P[Θ∈ A] =u（A），对于所有A∈ B（R）。此外，Z-1t=expΘYt-Θt, 0≤ T≤ T、（14）是a（~P，FΘ，W）-鞅a和~E[Z]-1T | FSt]=F（t，Yt），0<t≤ T、 1，T=0，（15），其中f（T，y）：=ZRexpθy-θtu（dθ），（t，y）∈ （0，T]×R.（16）此外，~E[Z-1TA（Θ）FSt]=RAeθy-θt/2u（dθ）|y=Yt，0<t≤ T、 u（A），T=0，（17），其中1a是A的指示函数∈ B（R），根据贝叶斯规则（见[11]，引理5.3，第193页），ut（A）=E[Z-1TA（Θ）FSt]~E[Z-1T | FSt]，A∈ B（R）。（18）然后，对^Θt的以下表示（见（10））成立：^Θ=RRθu（dθ）和^Θt=ZRθp（t，y，θ）u（dθ）y=Yt=F′y（t，Yt）F（t，Yt），0<t≤ T、其中p（T，y，θ）：=eθy-θt/2F（t，y），（t，y，θ）∈ （0，T]×R×R.（20）在后半部分中，对于给定的函数ψ（x，x，x），ψ′xidenotes是第一偏导数ew。r、 t.xindψ′xixjdenotes二阶偏导数w.r.t.xi，xj（i，j=1，2，3）。因此，p（t，y，·）和^Θ（t，y）：=ZRθp（t，y，θ）u（dθ），（t，y）∈ （0，T]×R，（21）分别表示Θ的条件密度w.R.T。

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2022-5-7 14:34:54

如果在t时刻我们观察到t=y，则主要度量u（dθ）和Θ的条件期望值。此外，表示^Θt=^Θ（t，Yt）意味着过程{Yt，0≤ T≤ T}，其区别只不过是观察到的风险市场价格，因为T=σdStSt- rdt, （22）表示估算Θ的有效统计数据，根据其^o规则，d^Θt=^VΘ（t）戴特-^Θtdt, （23）式中^VΘ（t）：=EΘ -^Θt| FSt（24）是Θ的条件方差。也就是说，贝叶斯估计量随时间的变化与观测误差成反比，其系数等于条件变量- 戴特。（25）在其他情况下，Θ的估计遵循自适应学习过程。此外，表示n^pt（θ）：=p（t，Yt，θ）（参见（20））表示Θ的条件密度和它的规则屈服d^pt（θ）=^pt（θ）（θ）-^Θt）（dYt）-^Θtdt），（26）流程Yt-Rt^Θsds，即过滤理论中的创新过程，是原始概率测度P下的FS布朗运动∈ {γ，exp，log}和（t，x，y）∈ [0，T]×R×R，使得xer（T-（t）∈ Di（见（5）、（6）和（7）），最初的投资问题（2）-（4）等价于以下马尔可夫问题：最大化∧Et，x，y[F（T，YT）ui（XT）]，（27）在所有π上∈ 在，服从（dXs=rXsds+πsσd＠Ws，Xt=xdYs=d＠Ws，Yt=y，（28）其中＠Et，x，yde注意到条件期望，w.r.t.＠P，给定Xt=x和Yt=y。值函数为^Vi（t，x，y）：=supπ∈在∧Et，x，y[F（T，YT）ui（XT）]，（29），并且在适当的正则性条件下，动态规划原理为^Vi产生以下Hamilton-Ja-cobi-Bellman方程：F′T+supπ∈Rσπf′xx+σπf′xy+f′y+rxf′x= 0，（30）表示所有（t，x，y）∈ [0，T）×R×rst.xer（T）-（t）∈ Di，带边界条件F（T，x，y）=F（T，y）ui（x），（x，y）∈ Di×R，（31）i∈ {γ，exp，log}。

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2022-5-7 14:34:57

假设f′xx<0，在（30）的LHS上的最大化给出了π的以下最佳值：π=-f′xyσf′xx。（32）通过将（32）替换回（30），后者降低了tof′t-f′xyf′xx+f′y+rxf′x=0。（33）电力设施。如果γ<1，γ6=0，我们尝试一个形式为f（t，x，y）=uγ的解xer（T）-（t）h（t，y）1-γ. （34）通过计算偏导数并代入（33），发现（34）是（33）-（31）的解当且仅当h solvesh′t+h′y=0，（t，y）∈ [0，T）×R，（35）带边界条件h（T，y）=F（T，y）1/（1）-γ），y∈ R.将Eynman-Kac应用于公式，得到以下溶液f或（35）：^h（t，y；γ）：=RRF（T，y+z）1/（1）-γ） ~nT-t（z）dz，（t，y）∈ [0，T）×RF（T，y）1/（1）-γ），（t，y）∈ {T}×R，（36）式中-t（·）是平均值为0，方差为t的正态密度-t、然后，一个标准的验证参数将使我们能够证明值函数（29）的以下表示形式，即i=γ：^Vγ（t，x，y）=uγxer（T）-（t）^h（t，y；γ）1-γ、（37）对于所有（t，x，y）∈ [0，T]×R×rst.xer（T-（t）∈ Dγ和马尔科夫策略的最优性（见（32））^πγ（t，x，y）：=xσ（1）- γ） +ηe-r（T）-t） σβZR^Θ（T，y+z）q（T，y，z；γ）dz，（38）（T，x，y）∈ [0，T）×R×rst.xer（T）-（t）∈ Dγ，其中^（·，·）在（21）和q（t，y，z；γ）中定义：=F（t，y+z）1/（1）-γ） ~nT-t（z）RRF（t，y+z）1/（1）-γ） ~nT-t（z）dz，（39）（t，y，z）∈ [0，T）×R×R。注意q（T，y，·；γ）是一个概率密度函数w.R.T。所有（T，y）的勒贝格测度∈ [0，T）×R，对于任何γ<1的情况，注1让{X*s、 t≤ s≤ 只要我们用最优反馈政策（38）代替，就可以得到（28）中的最优财富过程。然后，根据伊托法则，~P(十、*ser（T）-（s）∈ Dγ，t≤ s≤ T) = 1，如果初始条件（t，x）是xer（t-（t）∈ Dγ（参见[17]）。

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nandehutu2022

2022-5-7 14:35:00

因此，在最优财富过程中，RHS o f（37）的表达式是明确的，RHS o f（38）的第一个因子是正的。对数和指数效用。类似的计算表明，对数和指数实用程序（见（6）和（7））的值函数分别为^Vlog（t，x，y）=F（t，y）ulog（xer（t-t） )- F（t，y）ln F（t，y）+ZRF（t，z+y）ln F（t，z+y）~nt-t（z）dz（40）和^Vexp（t，x，y）=uexp（xer（t-t））经验ZRln F（T，z+y）~nT-t（z）dz. （41）相应的最优投资组合分别为^πlog（t，x，y）：=xσ+ηe-r（T）-t） σβ^Θ（t，y）（42）和^πexp（t，x，y）：=e-r（T）-t） σβZR^Θ（t，y+z）~nt-t（z）dz，（43）其中，^Θ（·，·）在（21）中定义。下面的命题证明对数和指数投资组合（42）和（43）分别是极限，如γ→ 0和asγ→ -∞, 在权力组合中（38）。命题2（i）适用于任何（t，x，y）∈ [0，T）×R×R使得-（t）∈Dlog，我们有limγ→0^πγ（t，x，y）=^π对数（t，x，y）。（44）（ii）每个（t，x，y）∈ [0，T）×Dexp×R，指数投资组合是有限的，如γ→ -∞, 在η=1的功率组合中→-∞πγ（t，x，y）|η=1= πexp（t，x，y）。（45）证据。

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2022-5-7 14:35:04

（i）结果是通过观察thatlimγ得出的→0ZR^Θ（T，y+z）q（T，y，z；γ）dz=ZR^Θ（T，y+z）F（T，y+z）~nT-t（z）RRF（t，y+z）~nt-t（z）dzdz=rrrrrθeθ（z+y）-θT/2u（dθ）νT-t（z）dzRRRReθ（z+y）-θT/2u（dθ）νT-t（z）dz=RRRRθeθ（z+y）-θT/2~nT-t（z）dzu（dθ）rrrrreθ（z+y）-θT/2~nT-t（z）dzu（dθ）=RRθeθy-θt/2u（dθ）RReθy-θt/2u（dθ）=^Θ（t，y），其中第一个等式是支配收敛定理的结果，第三个等式利用富比尼定理。（ii）同样，通过观察支配收敛定理，limγ得出结果→-∞ZR^Θ（T，y+z）q（T，y，z；γ）dz=ZR^Θ（T，y+z）νT-注3：复习命题的第（i）项证明了（21）中^Θ（t，y）的下列表示：^Θ（t，y）=ZR^Θ（t，y+z）q（t，y，z；0）dz，（46）表示所有（t，y）∈ [0，T）×R.3学习与投资组合决策在本节中，我们更详细地分析了前一节的结果，并展示了最优投资组合的一些属性。特别是，我们通过比较投资组合（38）、（42）和（43）来探索学习对投资组合决策的影响用所谓的短视策略。我们说，如果投资者不了解Θ的真实分布，即在时间t观察到Yt=y时，他表现为预期值^（t，y）是确定的，那么他/她就是近视。换句话说，投资者首先通过将风险的市场价格视为一个参数来解决最大化问题，比如Θ≡ θ, θ ∈ R–然后在最优投资策略中用其条件期望值替换后者。

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nandehutu2022

2022-5-7 14:35:08

与风险常数等于θ的市场价格相关的最优默顿投资组合如下：对于电力设施投资者，π默顿γ（t，x，y；θ）：=xσ（1）- γ） +ηe-r（T）-t） σβθ, (47)γ < 1, γ 6= 0; 对于对数和指数投资者，我们分别有πMertonlog（t，x，y；θ）：=xσ+ηe-r（T）-t） σβθ（48）和πMertonexp（t，x，y；θ）：=e-r（T）-t） σβθ。（49）注意，在默顿模型中，对数和指数Portfolios也是极限，分别为γ→ 0和asγ→ -∞, 权力组合的一部分。注4：对于对数投资者，部分观察下的投资组合（42）是通过将参数θ与其条件期望值^Θ（t，y）（见（21））代入默顿的投资组合（48）得到的，即^πlog（t，x，y）=πMertonlog（t，x，y；^Θ（t，y））。（50）这就是所谓的确定性等价原则，不适用于其他类型的优先权（见[14]）。换句话说，对数投资者是近视的。现在，幂、对数和指数投资者的短视战略由此定义：πmγ（t，x，y）：=πMertonγ（t，x，y；^Θ（t，y））=xσ（1）- γ） +ηe-r（T）-t） σβ^Θ（t，y），（51）πmlog（t，x，y）：=πMertonlog（t，x，y；^Θ（t，y））=xσ+ηe-r（T）-t） σβ^Θ（t，y）、（52）和πmexp（t，x，y）：=πMertonexp（t，x，y；^Θ（t，y））=e-r（T）-t） σβ^Θ（t，y）。（53）以下建议表明，随着时间的推移，所有HARA投资者都会变得近视。命题5对于HARA效用函数（5）、（6）和（7）的每一类，部分观察下的投资组合趋向于→ T，对应的近视投资组合。也就是说∈ {γ，exp，log}，limt→πi（T，x，y）=πmi（T，x，y），（x，y）∈ Di×R.（54）证明。对数效用没有什么可证明的。

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2022-5-7 14:35:12

对于powerutility，通过回顾（38）和（51），可以证明，对于任何γ<1和任何y∈ R、极限→TZR^Θ（T，y+z）q（T，y，z；γ）dz=^Θ（T，y）。这是通过使用代表nZR^Θ（T，y+z）q（T，y，z；γ）dz=Eh^Θ（T，y+WT）建立的-t） F（t，y+WT）-t） 1/（1）-γ） iE[F（T，y+WT-t） 1/（1）-γ） ]以及函数^Θ和F的连续性（分别参见（21）和（16）），以及服务于该WT的-T→ 0，几乎可以肯定，作为t→ T对于exp-onential实用程序，证明过程也类似。下一个结果及其含义将[18]中的定理6推广到由一般随机变量描述的风险市场价格的情况。定理6假设随机变量Θ在符号u中是常数-a、 s.（即，要么Θ只取正值，要么只取负值）。然后，对于任何固定的（t，y）∈ [0，T）×R和x∈ Dγ，比值^πγ（t，x，y）πmγ（t，x，y），γ<1，（55）为正，极限为1→ 0，并且相对于γ呈折痕。证据^πγ/πmγ为正且极限等于1的断言，如γ→ 0，然后回顾定义（21）、表示（46）并观察^πγ（t，x，y）πmγ（t，x，y）=RR^（t，y+z）q（t，y，z；γ）dz^（t，y+z）=RR^（t，y+z）q（t，y，z；γ）dzr^Θ（t，y+z）q（t，y，z；0）dz，（56）以证明710γ/r.m的单调性∈ [0，T）×R，f（T，y，γ）：=ZR^Θ（T，y+z）q（T，y，z；γ）dz，γ<1，（57）作为γ的函数，在Θ为正时增加，在Θ为负时减少。为此，让γ<γ<1，并考虑密度比（w.R.T.z）q（T，y，z；γ）q（T，y，z；γ）=RRF（T，y+z）1/（1）-γ） ~nT-t（z）dzrf（t，y+z）1/（1）-γ） ~nT-t（z）dz×F（t，y+z）1/（1）-γ） F（T，y+z）1/（1）-γ） =C（t，y，γ，γ）×F（t，y+z）k其中C（t，y，γ，γ）：=RRF（t，y+z）1/（1）-γ） ~nT-t（z）dzrf（t，y+z）1/（1）-γ） ~nT-t（z）dz>0和k:=1- γ-1.- γ> 0.因此，q（t，y，z；γ）/q（t，y，z；γ）正在增加w.r.t。

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可人4

2022-5-7 14:35:16

z当且仅当F（T，y+z）增加w.r.T.z且（见定义（16））F（T，y+z作为z的函数，当Θ≥ 0，如果Θ≤ 0.因此，从财务角度来看，假设负值的情况不是最现实的情况，尽管不能排除。关于似然比顺序，密度为q（t，y，·；γ）的变量占主导地位，因此在通常的随机顺序中，密度为q（t，y，·；γ）的随机变量如果Θ≥ 0，而如果Θ≤ 0（见[2]附录B.3）。如果^Θ（T，y+z）增加了w.r.T.z，那么刚才证明的T随机优势将意味着（T，y，γ）=ZRΘ（T，y+z）q（T，y，z；γ）dz≤ZR^Θ（T，y+z）q（T，y，z；γ）dz=f（T，y，γ），ifΘ≥ 0，如果Θ≤ 也就是f的类单调性。为了完成证明，我们需要证明^Θ（T，y+z）是递增的。r、 t.z.要看到这一点，请观察任何t∈ （0，T]和任何y<y，密度比，w.r.T.主要度量u（dθ）（见（20）），p（T，y，θ）p（T，y，θ）=eθ（y-y） D（t，y，y），其中D（t，y，y）：=F（t，y）/F（t，y）>0（见（16）），增加了w.r.tθ。因此，根据似然比顺序，我们得到了^Θ（t，y）=ZRθp（t，y，θ）u（dθ）≤ZRθp（t，y，θ）u（dθ）=^Θ（t，y），对于任何t∈ （0，T）。特别是，^Θ（T，y+z）正在增加w.r.T.z。注7：如果风险Θ的市场价格在符号中是恒定的，则定理6暗示符号（^πγ）=符号πmγ= 符号（Θ）和如果γ>0，则|πγ|≥πmγ, 如果γ<0，那么|πγ|≤πmγ. （58）前面结果的直觉如下。由于经纪人在市场上可以是短期的或长期的，因此风险的市场价格的大小，而不是其符号，使风险资产对积极的权力投资者（即0<γ<1的权力投资者）具有吸引力。

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2022-5-7 14:35:20

这就是为什么，对于0<γ<1，非负风险市场价格意味着^πγ≥ πmγ和非正风险市价意味着^πγ≤ πmγ。保守的电力投资者（即γ<0的电力投资者）的行为方向相反（参见[4]，另见[13]第3节）。我们进一步注意到|πγ|本身正在增加w.r.t.γ；也就是说，容忍的风险越高，投入风险集合的财富就越多。注8设θ，θ∈ R，假设0<θ≤ Θ ≤ θ, u - a、然后是θ≤^Θ（t，y）≤ θ（见21）和θ≤πγ（t，x，y）πmγ（t，x，y）≤θ，γ<1，（59）对于所有（t，x，y）∈ [0，T）×Dγ×R（见56）。因此，θ≤ limγ→-∞πγ（t，x，y）πmγ（t，x，y）≤ 1.≤ limγ→1.-πγ（t，x，y）πmγ（t，x，y）≤θθ. （60）注意极限，a sγ→ -∞ 作为γ→ 1.-, ^πγ/πmdepend，总而言之，关于Θ的分布。注9定理6使我们能够研究^πγ和^πγ的单调性-πmγ相对于γ。特别是后一种差异，考虑到分解^πγ=πmγ+（^πγ- πmγ），（61）可被视为针对市场价格的风险不确定性对冲需求（参见[4]和[10]，其中进行了数值分析，参见lso[6]）。在不丧失一般性的情况下，我们给出了风险市场价格为正的情况，结果在风险市场价格为负的情况下是相反的。此外，关于参数η，有两种情况是令人感兴趣的：η=0和η=1（因为所有其他情况都可以类似地处理或简化为其中一种情况）。为了便于比较，我们还研究了πmγ。（a）情况η=0。在这里，我们将[18]第7节和第8节中的结果推广到风险市场价格的一般随机变量的情况。

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可人4

2022-5-7 14:35:25

我们得到γ={x∈ R | x>0}，^πγ（t，x，y）=xσ（1）- γ） ZR^Θ（T，y+z）q（T，y，z；γ）dz，（62）和，by（46），^πγ（T，x，y）-πmγ（t，x，y）=xσ（1）- γ） ZR^Θ（T，y+z）（q（T，y，z；γ）-q（t，y，z；0））dz。（63）请注意，（63）的LHS中的第一个因子是正的，并且是递增的。r、第二个因子也增加了w.r.t.γ，但对于γ>0为正，对于γ<0为负（见定理6的证明）。然后，对于任何（t，x，y）∈ [0，T）×（0，∞) ×R：（i）^πγ和πmγ都在增加w.R.t.γ，limγ→-∞^πγ=limγ→-∞πmγ=0+，和limγ→1.-^πγ=limγ→1.-πmγ=+∞, （64）规定，限值为γ→ 1.-, 在γ=1的左邻域中存在值函数和最优组合（关于高斯设置中的这个问题，请参见前面的注释11）。因此，我们的分析证实了[18]第376页关于^πγ，w.r.t.γ单调性的猜想。（ii）差异^πγ- πmγ就是这样的t hatlimγ→-∞^πγ- πmγ=limγ→0^πγ- πmγ=0和limγ→1.-^πγ- πmγ=+∞, （65）式中，如前所述，最后一个极限取决于γ=1的左邻域中投资组合的存在性。此外，还有-∞ <γ≤ 0使得^πγ- 对于所有γ，πmγ都在增加≥ γ、尽管如此，这种差异并没有增加∈ (-∞, 1），与[18]中的推测相反，第376页。请注意，在[18]中，投资组合表示的是投资于风险资产的财富比例，而不是金额，但这并不影响我们的结果在其设置中的有效性。（b）情况η=1。那么，πγ（t，x，y）=xσ（1）- γ） +e-r（T）-t） σβZR^Θ（T，y+z）q（T，y，z；γ）dz，（66）和^πγ（T，x，y）- πmγ（t，x，y）=xσ（1）- γ） +e-r（T）-t） σβ×ZR^Θ（T，y+z）（q（T，y，z；γ）- q（t，y，z；0））dz。（67）在备注1中，（67）的LHS中的第一个因素是正的，它是递增的。r、 t。

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2022-5-7 14:35:29

γ、如果x≥ 如果x<0，则为0，并且（严格地）减小如果x≥ 0，^πγ和^πγ的行为- πmγ与情况3（a）相同，但极限为γ→ -∞, 根据位置2和^πγ的单调性计算-πmγ，其中，根据Θ的分布和/或x的值，我们可以得到γ=-∞（也就是说，在其整个领域中，这种差异可能在增加）。——如果x<0，那么γ≤ 1+xβer（T-t） <1，^πγ和^πγ的极限- πmγ，asγ→ -∞, 如前所述，存在γ<1+xβer（T-t）这样^πγ- 对于所有γ，πmγ都在增加≤ γ.注10：量^πγ- πmγπmγ=πγπmγ- 1（68）可以定义为不确定性的相对套期保值需求，其性质可以很容易地从定理6及其后的注释中推导出来。如果风险Θ的市场价格在符号上不是恒定的，那么一般来说，定理6及其注释不再成立——阿加西优先权的情况除外（见前面第3.1小节）——如[18]中的数字示例所示，图2第376页。为了完整性起见，我们还提供了对数和指数投资者的投资组合比率。通过注释4，πlog（t，x，y）/πmlog（t，x，y）本质上等于1。然而，对于指数偏好，如果Θ是康斯坦丁符号，则定理6第（ii）项证明中使用的随机顺序技术证明了0≤πexp（t，x，y）πmexp（t，x，y）≤ 1，（69）表示所有（t，x，y）∈ [0，T）×Dexp×R。

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2022-5-7 14:35:33

这也可以通过观察定理6第（ii）项和命题2来建立，即πexp（t，x，y）πmexp（t，x，y）=limγ→-∞πγ（t，x，y）πmγ（t，x，y）≤ 1，（70）对于所有（t，x，y）∈ [0，T）×Dexp×R.3.1高斯情况如果Θ的先验值不随均值m和方差v呈线性分布，则可显式计算（16）、（21）和（38）中的整数，分别得出F（T，y）=√1+vtexp（m+vy）2v（1+vt）-m2v, （71）^Θ（t，y）=m+vy1+vt，（72）和^πγ（t，x，y）=xσ（1）- γ） +ηe-r（T）-t） σβ^Θ（t，y）（1）- γ）（1+vt）-γ) - γvT+vT.（73）这种情况在[4]中得到了考虑，并在[20]中得到了明确的解决。特别是，在[4]中，作者假设标准的权力偏好，投资组合表示投资于风险资产的财富比例；因此，该设置（方程式（9），第300页）中的最佳por tfolio由（73）给出，η=0，x=1。备注11投资组合（73）的存在和完整性在条件（1）下得到保证-γ)-γvT>0（参见[12]，备注5.6）。因此，对πγ、πγ/πmγ以及πγ的分析- πmγ，w.r.t.γ，仅在γ<1/（1+vT）<1时才有意义。现在，对于llγ<1/（1+vT）<1，比率^πγ（t，x，y）πmγ（t，x，y）=（1）- γ）（1+电视）（1）- γ) - γvT+vT（74）为正，极限为1→ 0，并且相对于γ增加。因此，参考定理6，风险的市场价格符号的恒常性仅代表所声称的投资组合比率πγ/πmγ性质的有效条件。此外，与备注7类似，我们有符号（^πγ（t，x，y））=signπmγ（t，x，y）= 签名^Θ（t，y）（75）和（58）保持不变。在这里，我们的分析与[4]不一致，作者认为如果γ>0，那么^πγ≥ πmγ，如果γ<0，则t^πγ≤ πmγ，至少如果我们应该在第295页的摘要中字面上理解一个命题（参见第300页）。

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mingdashike22

2022-5-7 14:35:36

但是，正如我们的研究所表明的，当且仅当^Θ（t，y）≥ 在高斯背景下，我们很可能有^Θ（t，y）≤ 0，在这种情况下，投资组合之间的顺序颠倒。因此，第295页上的精确陈述应如下所示：“……了解风险资产的平均回报率的可能性促使投资者采用更大的Brennan表示法，第302页表一中数值近似的投资组合α具有以下分析形式：α=（m- r） /（σ（1）- γ - γ（v/σ）T）。或者，在绝对价值上，风险资产中的位置比她在没有学习的情况下的位置小，影响的方向取决于投资者是否比对数算术投资者更能承受风险。”高斯环境下的套期保值需求变成^πγ（t，x，y）-πmγ（t，x，y）=xσ（1）- γ） +ηe-r（T）-t） σβ^Θ（t，y）γv（t）- t）（1）- γ) - γvT+vT，（76）以及关于710πγ和710πγ单调性的分析和结论- πmγ相对于γ，取决于^Θ（t，y）的符号，类似于注释9。此外，相对套期保值需求（见备注10）采用以下非常简单的公式：^πγ- πmγπmγ=γv（T- t）（1）- γ) - γvT+vT，（77），它以γ的形式急剧爆炸→ （1+vt）/（1+vt）<1，这意味着不确定性的影响可能与投资组合中的力量分配非常相关。在高斯背景下，对数和指数投资者的最优投资组合可以通过计算（73）的极限来获得，分别为γ→ 0和asγ→ -∞.4结论在本文中，我们研究了当风险的市场价格由一个已知一般先验分布的不可观测随机变量表示时，HARA投资者从终端财富中获得的期望效用最大化问题。

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2022-5-7 14:35:40

我们解决了这个问题，并将最优投资组合与相应的短视策略进行了比较，即首先通过考虑给定参数的风险市场价格来解决投资者的最大化问题，然后将后者替换为其条件预期值而获得的投资组合。我们证明，如果风险市场价格的先验值在符号上是恒定的，那么部分观察下的投资组合和相应的近视案例之间的比率随着风险容忍度的增加而增加（确切地说，该比率随着绝对风险容忍度对财富的敏感性而增加）。这有一系列后果，例如：1）部分观察下的投资组合绝对值相对于风险承受能力增加，并且当且仅当投资者比普通投资者更具风险承受能力时，其绝对值大于同期投资组合（备注7）；2）针对不确定性的绝对套期保值需求至少在风险容忍度足够高的情况下增加（备注9）；3）对于所有可能的风险容忍度等级，相对套期保值需求都在增加（备注10）。本文提出的模型可以从多个方面进一步研究。首先，一个有趣的问题是，还有哪些其他类型的先验分布可以保证定理6中建立的投资组合比率的性质。第二个值得研究的问题是近视投资者的效用损失（近视的一种成本）。最后，比较在理论观察下的最优投资组合与风险的市场价格是完全可观察的随机变量的情况将是有趣的（一些工作已经开始探索这个问题，例如，参见[12]和[3]。所有这些都是未来研究的主题。参考文献[1]N.B–auerle和U.Rieder。

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2022-5-7 14:35:43

带跳跃和不可观测强度过程的投资组合优化。《数学金融》，2007年第17期，第205-224页。[2] N.B–奥尔勒和U.里德。马尔可夫决策过程及其在金融中的应用。Springer Verlag，柏林海德堡，2011年。[3] 布伦德尔。不完全信息下的投资组合选择。《随机过程及其应用》，106:701–723，20 06。[4] M.J.布伦南。学习在动态投资组合决策中的作用。《欧洲金融评论》，1:295–306，1998。[5] G.Callegaro、G.Di Masi和W.Runggaldier。不完全信息下不连续美国市场的投资组合优化。亚洲太平洋金融市场，13:3733942006。[6] J.Cvitani\'c、A.Lazrak、L.Martellini和F.Zapatero。具有参数不确定性和分析师建议经济价值的动态投资组合选择。《金融研究评论》，19:1113–11562006。[7] J.德坦普尔。不完全信息生产经济中的资产定价。《金融杂志》，41:383-3911986。[8] M.Dot han和D.Feldman。部分可观测经济中的均衡利率和多期债券。《金融杂志》，41:369–382，1986年。[9] G.詹诺特。不完全信息下的最优投资组合选择。《金融杂志》，41:733-7461986。[10] 本田。不可观测和区域切换平均收益的最优投资组合选择。经济动力与控制杂志，28:45-782003。[11] I.Karatzas和S.Shreve。布朗运动与随机微积分。斯普林格，纽约，1991年。[12] I.卡拉扎斯和X.赵。贝叶斯自适应portfo-lio优化。InCvitani\'c J.Musiela M.Jouini，E.主编，期权定价、利率和风险管理，第632-6页69。剑桥大学出版社，2001年。[13] T.S.Kim和E.Omberg。动态非近视投资组合行为。《金融研究回顾》，1996年9:141-161。[14] 库瓦纳。

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