购买定期人寿保险以实现遗赠目标：取决于时间

2022-5-7 21:49:25

在第2.2节中，我们考察了个人在购买定期人寿保险的两种不同策略下达到其最高目标的可能性：（1）在死亡或破产前购买全额保险；（2）在财富达到一定水平之前不购买任何保险，以保证我们在死亡时将达到遗产目标。可以查看第2.1节和第2节。作为Bayraktar等人（2014）第3.1节的延伸，本文第2节讨论了死亡率随时间的决定性变化的情况。在第2.3节中，我们考虑了一个离散时间模型，通过该模型，我们可以使用反向归纳法来确定长期寿险的最佳策略。第3节包括论文。2.通过说明个人面临的优化问题，最大限度地提高达到遗产目标的概率。在第2.1节中，我们将个人面临的与时间相关的问题形式化，并给出一个验证引理，该引理可用于确定购买人寿保险的最佳策略。在第2.2节中，我们研究了在购买人寿保险的两种不同策略下，InDividu al实现其遗赠目标的概率，并在某些情况下确定了最佳策略。在第2.3节中，我们考虑了一个离散时间模型，并给出了一个算例，该算例表明，实现遗赠目标的可能性最大化问题的一般解决方案将不是一个简单的解决方案。2.1. 问题陈述和验证引理我们假设该个人有一个投资账户，她希望该账户达到b=1单位的既定目标。这个账户与她用来支付生活费用的账户是分开的。

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2022-5-7 21:49:28

个人可以按连续利率r投资无风险资产收益利息，精算师称之为利益的力量，或者她可以立即购买定期人寿保险，如Bayraktar等人（2014）第3.1节所述。在两个实例中，特别是在下面的备注2.5和命题2.4中，我们都认为r=0；否则，我们假设>0。用τd表示个体未来寿命的随机变量。我们假设控制τd的危险率λ=λ（t），或道德力是时间的函数。假设λ（t）>0在某个区间[0，t]上，在该区间内，t不完整；此外，假设λ（t）处的时间不随时间递减。个体在时间t=0时老化，因此，我们从年龄x开始测量时间。τ与λ之间的关系由tpx=P（τd>t）=expn给出-Rtλ（s）dso，我们假设Tpx=0，或者e等价地，Rtλ（t）dt=∞. 这种假设通常被认为是一种死亡的力量；见Bowerset等人（1997年）。个人购买在时间τd支付的定期人寿保险；该保险作为确认遗赠动机的依据。她通过连续支付的保费购买定期保险，保险费率为h（t）=（1+θ）λ（t），对于某个常数θ，每一美元保险≥ 0.由于人寿保险是定期的，我们假设保险人可以随时更改其保险金额；因此，在我们的连续时间模型中，可以将人寿保险视为瞬时定期人寿保险。让W（t）表示时间t时该独立投资账户中的财富≥ 0.LetD（t）表示在时间t生效时应支付的死亡抚恤金金额≥ 0

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可人4

2022-5-7 21:49:35

随着即时定期人寿保险不断支付保费，我们将遵循动态（W′（t）=rW（t）- h（t）D（t），0≤ t<τd，W（τd）=W（τd-) + D（τD）-) .（2.1）一个可容许的保险策略D={D（t）}t≥0是任何独立于τd的非负过程。我们不坚持W（t）≥ 0代表所有t≥ 0因为个人可能希望在面临破产风险的情况下购买保险。因此，如果在个人死亡前财富达到0，我们通过有效终止遗产，修改了获得遗产的最大概率的定义。定义τ=inf{t≥ 0:W（t）≤ 0}，并通过φ（w，t）=supDPw，t（w（τd）确定破产前达到遗赠目标的最大概率∧ τ) ≥ 1），（2.2）其中我们最大化了超可容许策略D。符号Pw，t表示概率取决于W（t）=W；类似地，我们在下面使用的Ew，t意味着扩展是以W（t）=W为条件的。为了激发这个问题的验证引理，我们提供了以下信息。首先，请注意，我们可以将（2.2）中φ的表达式改写如下：φ（w，t）=supDEw，tZ∞tλ（s）s-tpx+t{s<τ}{W（s）+D（s）≥1} ds= 你好Zτte-Rstλ（s′）ds′λ（s）1{W（s）+D（s）≥1} ds.（2.3）如果事件A保持，指示器功能1A1等于1，否则等于0。通过应用It^o引理（Protter，2004），一种全导数，对e-Rstλ（u）duφ（W（s），s），其中φ如（2.3）所示，我们得到以下控制方程，我们希望φ能求解：0=maxDφt+（rw）- h（t）D）φw- λ（t）φ - 1{w+D≥1}, （2.4）在（2.4）中，指示函数等于s 0或1，对应于这些值中的每一个，我们选择D作为最小值，因为-h（t）Dφw。

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2022-5-7 21:49:38

具体而言，如果指标等于0，则最佳保险为D=0；如果它等于1，那么最优保险是D=1-w、因此，我们可以用等价的表达式替换方程（2.4），一个变分不等式：λ（t）φ=φt+rwφw+max[λ（t）- h（t）（1）- w） φw，0]。（2.5）用w（t）表示遗赠目标问题的安全水平，即φ（w，t）=1表示所有w≥ (R)w（t）。我们通过以下论证得出w（t）：当财富达到安全水平后，个人购买人寿保险的利息收入等于1减去当前财富，财富将永远降为零。因此，安全水平w（s）遵循动力学w（s）=（r+h（s））-w（s）- h（s）代表所有s≥ T因此，\'w（s）=\'w（t）eRst（r+h（s\'））ds\'-Zsth（s′）eRss′（r+h（s′））ds′ds′。为了“安全”，我们要求“安全”≥ 0代表所有人≥ T因此，\'w（t）=Z∞th（s′）e-Rs′t（r+h（s′））ds′ds′=[h]Ax+t，（2.6），其中我们使用标准精算符号，由前上标[h]修改，以表明我们通过将h（t）视为时间t的死亡力来使用死亡率定律。这些观察结果导致我们得到一个验证引理，该引理表明变分不等式（2.5）的“好”解等于（2.2）中定义的值函数φ。因此，我们可以将问题简化为求解（2.5）和一些边界条件。我们陈述了以下无需证明的验证引理，因为它的证明与文献中的其他证明相似；例如，参见Wang和Young（2012a，2012b）在包含风险资产的金融市场中的相关证据。引理2.1。

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2022-5-7 21:49:42

设^φ=^φ（w，t）是一个函数，它对于w是非递减的、连续的、分段可微的，对于t R={（w，t）：0是连续的、分段可微的≤ W≤ w（t），0≤ T≤ T} 式中，w（T）由（2.6）给出，除了在w=0时φ可能不可与w区分。（如果T=∞, 那么，在有限的意义上，t m可以等于t。）假设φ满足R上的以下变分不等式：λ（t）φ=φt+rwφw+maxhλ（t）- h（t）（1）- w） ^φw，0i，（2.7），其中我们使用单边导数，如果需要的话。另外，假设φ（0，t）=0和φ（w（t），t）=1。然后，在R上，φ等于破产前达到遗赠目标的最大概率φ。比亚迪（w）给出了购买短期人寿保险的相关最佳策略=1.- w、如果λ（t）- h（t）（1）- w） ^φw≥ 0,0，如果λ（t）- h（t）（1）- w） ^φw≤ 0.备注2.1。为了证明获得遗产的概率^φ是最大的，除了证明它满足引理2.1中的正则性和边界条件外，我们还必须说明它如何满足（2.7）中的变分不等式。具体来说，我们必须证明λ（t）（^φ- 1） =φt+（（r+h（t））w- h（t））^φwandλ（t）- h（t）（1）- w） ^φw≥ 无论什么情况下，基本策略是购买全额保险。

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何人来此

2022-5-7 21:49:45

同样，我们还必须证明λ（t）φ=φt+rwφwandλ（t）- h（t）（1）- w） ^φw≤ 0，而相应的坦白策略是不购买保险。2.2在两种不同策略下达到bequ est的概率，因为在任何给定时刻，购买所谓的全额保险D（t）=1都是最优的- 如果不购买保险，我们预计，达到遗产的最大可能性将由购买全额保险直至死亡或破产的概率，或在财富达到安全水平之前不购买保险的概率构成。用φ和φ分别表示这些概率；我们用上标f表示完全保险，用超级脚本0表示不保险。如果个人购买了人寿保险，直到死亡或破产，那么如果她在钱用完之前死亡，那么她就达到了最佳目标。她的财富遵循微分方程W′（s）=（r+h（s））W（s）- h（s），W（t）=W≥ 0，其解为w（s）=w eRst（r+h（s′）ds′-Zsth（s′）eRss′（r+h（s′）ds′ds′=eRst（r+h（s′）ds′）W-[h] Ax+t:s-t|,对于s≥ t、财富在tf=tf（w，t）时达到0，这唯一地解决了sw=[h]Ax+t:tf-t |，（2.8）表示0≤ W≤ w（t）和0≤ T≤ T因此，如果τt在tf之前，或φf（w，t）=1，个体就达到了她的最佳目标- E-Rtftλ（s）ds=1-tf-tpx+t=tf-tqx+t.（2.9）可以证明φf满足边值问题（BVP）（λ（t）（φf）- 1） =φft+（（r+h（t））w- h（t））φfw，φf（0，t）=0，φf（\'w（t），t）=1，（2.10），其中边界条件遵循tf（0，t）=t和tf（\'w（t），t）=t。为了计算φfw，有必要知道tfw，我们通过对w进行微分（2.8）得到：tfw=eRtft（r+h（s））dsh（tf），这是正的，正如我们的实验。因此，φfw由φfw（w，t）=eRtft（r+θλ（s））ds1+θ给出。（2.11）备注2.2。考虑tf的决定方程（2.8）：w=[h]Ax+t:tf-t |。

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2022-5-7 21:49:49

如果是个人，我们将花费她所有的财富在时间t购买1的定期保险，然后- 这是她能买到的最长期限。在这种情况下，她在财富等于1的情况下死亡的概率是她在学期结束前死亡的概率-t、等于φfin（2.9）的表达式：φf（w，t）=tf-现在，我们计算φ，如果她在财富达到安全水平之前不购买保险，个人达到遗产目标的概率。在这种情况下，φ是个体在财富达到安全水平之前生存的概率，其中财富遵循微分方程W′（s）=rW（s），W（t）=W≥ 0，其解为w（s）=w（s）-t），给s≥ t、财富在t=t（w，t）时达到“w（t）”的安全水平，其唯一解为sw=e-r（t）-t） [h]Ax+t，（2.12）当e-r（T）-（t）≤ W≤ w（t）和0≤ T≤ T因此，φ是个体存活到时间t的概率。如果0≤ w<e-r（T）-t）不存在溶液tof（2.12）；请注意，如果存在w，则T是必要的∈0，e-r（T）-（t）. 在这种情况下，独立生命的财富不可能在她死前达到安全水平，因此φ（w，t）=0。因此，我们有φ（w，t）=0，如果0≤ w<e-r（T）-t），e-Rttλ（s）ds=t-tpx+t，如果e-r（T）-（t）≤ W≤ w（t）。（2.13）我们可以证明（2.13）中φ的第二个表达式满足BVP（λ（t）φ=φt+rwφw，φ（e）-r（T）-t），t）=0，φ（w（t），t）=1，（2.14），其中边界条件遵循t（e-r（T）-t），t）=t和from t（\'w（t），t）=0。另外，对于严格小于固定t′的t，可以证明形式为φ（w，t）=t′的任何φ-tpx+tφf（w）er（t′）-t），t′）满足（2.14）中的微分方程。

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能者818

2022-5-7 21:49:52

这种达到遗赠目标的可能性与等待时间t′购买保险的策略有关，在这段时间之后，个人购买完整期限的人寿保险，直到她破产或死亡。为了计算φw，有必要知道tw，我们通过对w进行微分（2.12）得到：t（w，t）w=-呃(t)-t） h（t）1.-[h] Ax+t= -h（t）E-r（t）-（t）- W,正如人们所料，这是负面的。由此得出φw（w，t）=e表示φwis-Rttλ（s）ds（1+θ）E-r（t）-（t）- W, （2.15）如果e-r（T）-（t）≤ W≤[h] Ax+t=\'w（t）；否则，φw（w，t）=0。如果T=∞, 然后（2.15）保持所有0≤ W≤ w（t）。一般来说，很难确定φ，但我们确实有以下结果，即在死亡力不变的情况下，结果类似；见inBayraktar等人（2014年）的提案3.2。提议2.2。如果λ（t）≤ r代表所有t≥ 0，则在r uin之前达到遗赠目标的最大概率由φ（w，t）=φ（w，t）在r上给出。相关的最优人寿保险购买策略是在财富在时间t达到“w（t）”的安全水平之前不购买任何人寿保险，在此之后购买1的定期人寿保险是最优的- “w（s）代表所有s≥ t、证据。我们用引理2.1来证明这个命题。首先，请注意，因为λ（t）≤ 福尔特≥ 0，in或der forRTλ（t）dt=∞ 要坚持下去，我们必须有T=∞; 因此，φ=e-Rttλ（s）ds。接下来，请注意，φ相对于w是不递减的，φ是连续的，与R上的w和t不同，除了w=0时，φ求解（2.14）中给出的BVP。从R emark 2.1中，我们要展示的是λ（t）- h（t）（1）- w） φw≤ 0，它从（2.15）开始，当且仅当R-r（t）-（t）- W≤ (1 - w） e-Rttλ（s）ds，对于al l 0≤ W≤ w（t）。

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何人来此

2022-5-7 21:49:56

将方程（2.12）中的w代入并简化后，该不等式变为λ（s）ds1.-[h] Ax+t≤ 呃(t)-（t）-[h] Ax+t，它具有以下更强的不等式do:eRttλ（s）ds1.-[h] Ax+t≤ eRttλ（s）ds-[h] Ax+t，这显然是正确的。因此，我们已经证明（2.13）中的φ满足变量不等式（2.7）。最优保险策略基于φ用D解s控制问题（2.4）的事实≡ 0.备注2.3。当致命的力量小于或等于利益的力量时，个体感觉自己有时间达到安全水平；因此，个人最好投资于无风险资产，等到达到安全水平后再购买任何人寿保险。因为财富w在时间t，她的财富在时间s≥ t等于W（s）=W（s）-t），以及财富达到安全水平的时间，如注释2.2所述，从x年龄开始测量，等于t（w，t）。命题2.2的结果概括了当死亡力不变时我们所得到的结果；见Bayraktar等人（2014）中的命题3.2。对于死亡力大于利益力的情况，平行结果不一定是正确的，也就是说，如果λ（t）>r表示所有t≥ 0，那么φ=φf就不一定是真的。事实上，我们在Bayraktar等人（2014）中看到，对于死亡率恒定的情况，当λ>r时，只有当财富低于特定值，一个严格低于安全水平的值时，才最好购买全额保险；否则，当财富大于该特定价值时，最好等到财富达到安全水平后再购买保险。然而，我们得到了如下结果，即如果θ=0，并且如果人的未来寿命的条件概率密度函数至少为r，那么φ=φf。命题2.3。

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2022-5-7 21:49:59

如果θ=0，如果x岁人群未来寿命的概率密度函数，即g（t）=λ（t）tpx，则满足g（s）≥ RTPX适用于所有≥ T≥ 0，则破产前达到遗赠目标的最大概率由φ（w，t）=φf（w，t）在R上给出。相关的最优人寿保险购买策略是购买1的定期人寿保险- 当财富等于，直到个人死亡或毁灭。证据我们用引理2.1来证明这个命题。Firs t，注：φfin（2.9）处的th相对于w不增加，φfis相对于w和t onR是连续的和可微分的，但w=0时除外，φf解决了（2.10）中给出的BVP。从备注2.1中，我们要展示的是1- (1 - w） φfw≥ 0，从（2.8）到（2.11），当且仅当ifAx+t:tf时，它保持R-t|-1.- E-r（tf）-（t）≥ 0，或相当于e，Ztftλ（s）e-Rstλ（s′）ds′- RE-r（s）-t） ds≥ 如果被积函数总是非负的，或λ（s）e，这个不等式成立-Rstλ（s′）ds′≥ r、因为左边等于λ（s）e-Rsλ（s′）ds′eRtλ（s′）ds′=g（s）eRtλ（s′）ds′=g（s）tpx。因此，我们已经证明φfin（2.9）满足变分不等式（2.7）。最优保险策略是基于φf在d（t）=1的情况下解决控制问题（2.4）- W（t）。备注2.4。请注意，G（s）tpxe等于在时间s评估的x+t年龄段的人的未来寿命随机变量的条件概率密度函数（pdf）≥ t给定生存时间t。因此，我们可以用这个有条件的pdf来说明条件。备注2.5。回想一下，我们通常假设r>0，这意味着T<∞ 在命题2.3的条件下。然而，如果r=0，命题2.3的证明表明，当θ=0时，对于任何死亡力，我们都有φ=φfon r。如果r=0，我们达到安全水平的概率为0。

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可人4

2022-5-7 21:50:02

直觉上，个人最好从现在开始购买全额保险，而不是等待，这是有道理的，因为如果个人一直等待，那么他的账户价值将不会改变，而且她可能在开始购买人寿保险之前死亡。因此，对于任何θ，当r=0时，我们期望φ=φfw≥ 0; 正如我们在下面的命题中所展示的那样，这个结果是正确的。提议2.4。如果r=0，如果θ≥ 0，则破产前达到遗赠目标的最大概率由φ（w，t）=φf（w，t）=1给出- (1 - w） 1+θ，独立于t，对于0≤ W≤ 1.相关的最优寿险购买策略是购买1的定期寿险- 当财富等于，直到个人死亡。证据因为r=0，所以（2.8）中w的表达式变成了w=1- E-Rtfth（s）ds=1- (1 -tf-tqx+t）1+θ，所以（2.9）意味着φf（w，t）=1- (1 - w） 1+θ表示0≤ W≤ 1.函数φf（w，t）=1- (1 - w） 1+θ满足引理2.1的正则性和边界条件，很容易证明它满足不等式1- (1 + θ)(1 - w） φfw≥ 0，为0≤ W≤ 1.因此，我们知道φf（w，t）=1- (1 - w） 1+θ满足变量不等式（2.7），最优保险策略如下。接下来，我们给出一个定理，推广命题2.3的结果。提议2.5。假设θ=0，且未来寿命g（t）=λ（t）tpxis的概率密度函数在[0，t]上不递减，t必然有限。定义tr=inf{t≥ 0:λ（t）≥ r} )；那么φ（w，t）=tr-tpx+tφf（wer（tr-t），tr），如果0≤ W≤ w（t）和0≤ t<tr，φ（w，t），如果w（t）<w≤ w（t）和0≤ t<tr，φf（w，t），如果0≤ W≤ w（t）和tr≤ T≤ T，（2.16）在R.这里，w（T）=e-r（tr-t） w（tr）。

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2022-5-7 21:50:05

购买定期人寿保险的相关最佳策略如下：（a）当0≤ t<tr，只有在财富达到安全水平时才购买人寿保险；否则，什么都不要做，直到时间到了≤ T≤ 购买期限为1的人寿保险- 当财富相等时，直到死亡或毁灭，以先发生者为准。备注2.6。如果λ（t）≥ r代表al l t≥ 0和i f g（t）是非递减的，那么tr=0和位置2中g的条件。3次。因此，根据命题2.3，φ=φ在这种情况下成立。证据根据备注2.6，考虑λ（0）<r的情况是足够的。如果g（t）是非递减的，那么λ（t）必然是无界递增的；因此，λ（t）≥ r代表所有t≥ 我们用引理2.1来证明这个命题。首先，请注意（2.16）中的φ相对于w是不递减的，φ是连续的，并且对于R上的w和dt是可微的，φ（0，t）=0，φ（`w（t），t）=1。如果0≤ W≤ w（t）和0≤ t<tr，那么就可以证明这一点-tpx+tφf（wer（tr-t）满足（2.14）中的微分方程。接下来，我们证明φ满足了与不购买保险相关的不平等性，即1- (1 - w） φw≤ 0，（2.17），其中，从（2.11）开始，φw=tr-tpx+ter（tr-t） er（tfr-tr）=eRtrt（r-λ（s））dser（tfr-tr），其中TfRdefine d bytfr=tf（wer（tr-t），tr）。对于t≤ s≤ tr，我们有λ（s）≤ R因此，φw≥ er（tfr-tr）。因此，w=e-r（tr-t） Ax+tr:tfr-tr,和（2.17）如果以下等式成立：-r（tr-t） Ax+tr:tfr-tr≤ 1.- E-r（tfr-tr），或等效为e-r（tr-t） Ztfrtrg（s）trpxe-r（s）-tr）ds≤ZTFRTR e-r（s）-tr）ds，这最后一个不等式是真的，因为对于t<tr≤ s、 g（s）tpx≤g（tr）tpx≤g（tr）trpx=r.如果w（t）<w≤ w（t）和0≤ t<tr，那么命题2.2的证明告诉我们，（2.16）中的φ=φ满足了在财富达到安全水平之前不购买保险的条件，即不平等（2.17）。

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2022-5-7 21:50:09

最后，当t≥ tr，从P位置2.3的证明中，我们知道不等式1- (1 - w） φfw≥ 等一下。因此，对于t≥ tr，达到遗赠目标的最大概率等于φf，这意味着购买终身保险是最优的。因此，我们已经证明（2.16）中的φ满足R上等式的变化（2.7）。最优保险策略如下所述。例2.1。DeMoivre定律假设λ（t）=t-t对于0≤ t<t，对于某些特定的t。这种致命的力量对应于未来寿命的随机变量T（x）~ U（0，T），被称为德米维尔定律不符合实际；见Bowers等人（1997年）。对于θ=0，命题2.5给出了购买保险的最佳策略，因为T（x）的概率密度函数是一个常数，因此不递减。具体而言，如果r≤T（或相当于r≤ λ（t）对于所有0≤ t<t），那么，对于所有0≤ t<t，最好购买全额保险，直到死亡或破产，以先到者为准。如果r>T，那么在tr=T之前最好不要购买保险-r（除非在此之前达到安全水平）；在时间tr之后，最好购买全额保险，直到Deator破产。例2.2。假设λ（t）=utut+1≥ 0，对于某些常数u>0。这种致命的力量对应于未来的寿命和om变量T（x）~ 伽马（2，u）。如果u≤ r、然后我们从命题2.2知道，r上的φ=φ。T（x）的概率密度函数由g（T）=ute给出-ut，当t>1/u时降低；因此，提案2.5不适用。Bayraktar等人（2014）考虑了致命力为常数λ（t）的情况≡ u. 如果u>r，则存在财富w的价值*如果w<w*, 对于个人来说，购买全额保险是最理想的选择，她将在余生或直到破产。

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2022-5-7 21:50:12

另一方面，如果w≥ W*, 对于个人来说，最好等到她达到安全水平，然后再购买全额保险，这将为她的余生提供保障。此外，购买边界是w*随着死亡的力量增加。在伽马定律的情况下，limt→∞λ（t）=u，因此，我们期望当重要性恒定时，购买人寿保险的最优策略的限制行为接近该界限。实际上，在数值计算中，当t足够大时，当θ=0时，以下公式保持φ（w，t）=maxφf（w，t），φ（w，t）=φf（w，t），如果0≤ w<w*（t），φ（w，t），如果w*（t） <w≤ w（t），（2.18）对于某些w*（t）∈ （0，\'w（t））由φ和w的连续性确定*（t）随着时间的推移，值增加到w*来自Bayraktar等人（2014年）。我们邀请感兴趣的读者用大脑验证这个结果。为了具体起见，我们讨论了一些数值结果。r=0.02，u=0.05；因此，个体的预期未来寿命为u=40。所以，我们有一个中年的indiv idualwho，平均来说，有40年的时间来实现她的目标，将1个单元留给她的继承人。对于t largeenough（在本例中，t≥ 13.4），我们通过数值验证φ由（2.18）给出；具体来说，我们检查了1- (1 - w） φfw（w，t）≥ 0换0≤ w<w*（t）那1- (1 - w） φw（w，t）≤ 0代表w*（t）≤ W≤ (R)w（t）。还有，w*（t）增加到w*= 0.682，Bayraktaret al.（2014）得出的值，当死亡率等于常数u时。然而，w*（t）向w缓慢增加*= 0.682:w*（25）=0.448，w*（40）=0.511，w*(75) = 0.582. 个体存活75年的可能性只有11%，而w*（75）是不是很低*= 0.682.

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2022-5-7 21:50:15

即使当t=150时，存活概率小于百分之一的一半，w*(150) = 0.630.对于t的小值，φd不等于（2.18）中的表达式，因为它不满足变分不等式（2.7）。事实上，当t很小时，很难确定最佳策略是什么。看来，获得遗产的最大可能性并不是由涉及φfand和φ的转移构成的，因为最好先购买一段时间的人寿保险，然后再等待。现在，我们给出一个与前面示例末尾的评论相关的负面结果。具体地说，我们证明了如果个体未来寿命随机变量的概率密度函数是递减的，那么φ6=φfwhen t=tr.命题2.6。假设θ=0，未来寿命g（t）=λ（t）tpxis的概率密度函数随t减小≥ 同样，假设λ（tr）=r。那么，对于任何w>0的情况，φ（w，tr）6=φf（w，tr）。证据给出n个任意（w，t），（2.8）可以写w=Ax+t:tf-t |=ertZtfte-蒸汽发生器（t+s）tpxds。g上的条件意味着g（tr+s）trpx<g（tr）trpx=λ（tr）=r。对于任何w>0，我们有tf（w，tr）>tr；因此，w<ertrZtf（w，tr）trre e-r=1- E-r（tf（w，tr）-tr）。从这一点和（2.11）中，可以得出以下结论1- (1 - w） φfw（w，tr）<0。换言之，购买定期人寿保险的条件不适用于任何w>0；因此，对于任何w>0的情况，φ（w，tr）6=φf（w，tr）。我们给出了另一个结果，当λ（t）严格增加时，比较了w=0附近的φfand和φ与w（t）附近的φfand。提议2.7。假设T=∞ λ（t）相对于t严格增加。那么，对于任何t≥ tr，存在δ>0使得φf（w，t）>φ（w，t），W∈ （0，δ），（2.19）并且存在>0使得φf（w，t）<φ（w，t），W∈ （`w（t）- ，w（t））。（2.20）此外，当T<∞, 当T<∞θ>0。证据

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mingdashike22

2022-5-7 21:50:18

从（2.11）中，我们得到φfw（w，t）=eRtft（r+θλ（s））ds1+θ。从tf（0，t）=t和limw→ \'w（t）tf（w，t）=t=∞, 因此，φfw（0，t）=1+θ，和limW→ \'w（t）φfw（w，t）=∞.从（2.15）中，我们得到φw（w，t）=er（t）-t） e-Rttλ（s）ds（1+θ）1.-[h] Ax+t.来自limw→0t（w，t）=t=∞ t（\'w（t），t）=0，我们有limw→0φw（w，t）=limt→∞呃(t)-t） e-Rttλ（s）ds（1+θ）1.-[h] Ax+t= 0，（2.21）和φw（\'w（t），t）=limt→三（t）-t） e-Rttλ（s）ds（1+θ）1.-[h] Ax+t=(1 + θ)1.-[h] Ax+t,其中（2.21）中的限制在必要时遵循L\'H^opital规则（即iflimt）→∞Ax+t=1，当且仅当λ（t）无界增加时发生。根据φfandφ在w=0和‘w（t）时的导数之间的关系，以及两个概率在w=0时等于0，在w=1时等于‘w（t）这一事实，可以得出p位置的结论。例2.3。在这种情况下∞ θ=0，我们有limW→ \'w（t）φfw（w，t）=er（t-t）和φw（`w（t），t）=1- Ax+t，我们一般不能订购。例如，在德莫维雷定律的情况下，我们有ax+t=1- E-r（T）-t） r（t）- t） )；因此，当t>tr=t-r、 φw（`w（t），t）=er（t）-t）呃(t)-（t）-呃(T)-（t）-1r（T）-t） >呃（t）-t） =limw→ \'w（t）φfw（w，t），其中不等式来自于er（t-（t）-呃(T)-（t）-1r（T）-t） <1当t>tr.因此，在w=\'w（t）的邻域中φf（w，t）>φ（w，t），我们已经从例子2.1中知道了这一点，我们从命题2.5中得出结论，当t≥ tr.另一方面，假设我们个人年龄x的死亡时间的概率密度函数由g（t）=r给出-2（rT）- 1） Tt，为0≤ T≤ T我们可以证明，死亡率的相应反应力λ（t）在增加，λ（0）=r，因此tr=0。

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2022-5-7 21:50:23

因为g（0）=r，而且g（t）在减小，所以我们有了中兴-r tg（t）dt<ZTr e-r-tdt，或相当于e，Ax<1- E-r T，表示φw（`w（0），0）=1- Ax>e-r T=limw→ \'w（0）φfw（w，0）。因此，φf（w，t）<φ（w，t）在w=\'w（t）附近。例2.4。R econsider示例2.2中的伽马定律。概率密度函数（pdf）增加，直到时间t=1/u，然后降低。如果u/2<r<u，则TR=ru（u- r） >u，这意味着[tr]上的pdf正在减少，∞). 因此，根据命题2.6，当u/2<r<u时，对于任何w>0的情况，φ（w，tr）6=φf（w，tr）。此外，从命题2。7，我们在区间（0，δ）内推导出w的φf（w，tr）>φ（w，tr）；因此，（2.18）不适用于w∈ （0，δ）和t=trifu/2<r<u。因此，与命题2.5.2.3离散时间模型的结论相比，“当t大时”意味着有时t大于trin。将我们的连续时间模型与相关的离散时间模型进行比较是有益的。假设我们选择一段时间，这段时间可能很短，我们可以选择一次购买一段时间的定期人寿保险，如果在这段时间内死亡，保险金将在期限结束时支付。考虑最大化实现遗赠目标的概率的问题，即死亡时财富至少等于1。在这种离散情况下，目标是最大化在死亡期结束时总财富为1的概率。设qx+k等于某个年龄为x+k的个体在时间k+1之前死亡的概率，且设px+k=1- qx+kdenote个体存活到时间k+1的概率，我们用时间段的单位来衡量年龄。假设从x岁开始测量的死亡时间随机变量的最大值为N，因此qx+N-1= 1.

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何人来此

2022-5-7 21:50:26

保险费的计算方法是，使用死亡率等于qx+k=（1+θ）qx+k。我们使用周期性有效利率I代替利息力r。因此，在时间k等于vqx+k的情况下，一个周期定期保险的1个单位的成本v=1+I。在任何时间k=0，1，N- 1.当时拥有财富w的个人将不购买保险或购买死亡福利为BK=1的保险- （1+i）w1- ~qx+k，因为这个数量将导致在周期结束时的总收益为1，如果该dividual再次死亡。确定最优策略是一个典型的离散时间动态规划问题。设φ（w，k）表示在k=0，1，…，时，一个富有的个体在k时成功的最大概率，N- 1.该最大概率通过后向导数计算如下：φ（w，N）- 1) =1，如果w≥ v、 0，如果w<v，对于k=0，1，N- 2，φ（w，k）=最大值px+kφ（w（1+i），k+1），qx+k+px+kφw（1+i）- ~qx+k1- qx+k，k+1.最佳策略不是在时间k购买一期定期人寿保险，当最大值是右侧表达式中的第一项时，而最佳策略是在最大值是右侧表达式中的第二项时购买BK单位的人寿保险。这个模型中的最优策略可能与人们的预期大相径庭。在离散时间模型中，如果一个人的财富不足以在一个完整的时期内购买保险，则该个人被迫等待，即使在允许的情况下，通过使用可用的财富在一段时期内购买保险，她的成功概率可能会增加。最佳策略可能是在一段时间内购买，然后在随后的一段时间内等待。

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mingdashike22

2022-5-7 21:50:29

举个例子，N=3，qx=0.3，qx+1=0.4，i=1，θ=0。对于在时间0时财富为0.3的个人而言，最佳策略是在时间0时购买，然后在时间1.3时等待。总结与结论我们研究了购买短期人寿保险的最佳策略，以最大限度地提高达到给定遗赠目标的概率，这是财务规划中的一个重要问题。我们证明，如果死亡的力量不大于无风险资产的回报，那么最好等到达到安全水平后再购买任何人寿保险。另一方面，如果无风险资产的收益率等于0，则表明在死亡或破产前购买所谓的全期人寿保险是最优的。当未来寿命随机变量的概率密度函数为非递减时，我们确定了最优策略，即等待死亡的力量超过无风险资产的回报，然后购买全期人寿保险，直到死亡或破产。此外，我们还讨论了bequ-est问题的离散时间版本，并表明离散时间中的结果不一定与连续时间中的结果相匹配，因为卜英人寿保险对离散时间的限制。在未来的工作中，我们将考虑两个扩展：（1）我们将允许个人从她的投资账户中消费，因为她会找到购买人寿保险的最佳策略，以最大限度地实现她的遗赠目标；（2）此外，我们将允许个人购买终身年金，以支付她的消费，再次，因为她最大限度地提高了实现其beque s t目标的可能性。

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