（53）参见图7了解（53）的说明。结合（52）和（53）得到δp（0）ymax≤ -p′（ymax）ymaxK，（54）或δ≤K-p′（ymax）ymaxp（0）。（55）因此δ=O（1/K）。PSfrag替换SP（0）p（ymax- δ） δp（0）ymaxymax- δymaxFig。7:5.2的图形演示。结合证据的两部分，ymax-Xkx（Sk）=OK+ O千牛. （56）将两边除以Ymax得到期望的d结果：rO=1- OK- O千牛. （57）我们终于证明了。4.让fv和fw分别为Vand W的pdf。ThenE（V+W）- （a）+- E（W）- （a）+=Z∞Zμ-v（u+v）- u）fW（w）fV（v）dwdv+Z-∞Zu+xu（u- w） fW（w）fV（v）dwdv+Z∞uZw-uu-wvfV（v）fW（w）dvdw+ZinftyZu+xuwfW（w）fV（v）dwdv。通过fV，Z的对称性∞uZw-uu-wvfV（v）fW（w）dvdw=0。通过fW，Z的对称性-∞Zu+xu-w fW（w）fV（v）dwdv+ZinftyZu+xuwfW（w）fV（v）dwdv=0。因此（V+W）- （a）+- E（W）- （a）+=Z∞Zμ-v（u+v）- u）fW（w）fV（v）dwdv+Z-∞Zu+xufW（w）fV（v）dwdv≥ 0.3.附录D配套3屋顶。设（S，…，SK）是（1，…，N）的等长分区（每个分区的大小为N/K）。考虑群的决定论博弈（π，…，πK）。让（x（S），x（SK））是这个博弈的纳什均衡。让（x（S），x（SK））是博弈（π，…，πK）的纳什均衡。自E[f（xK- XK）]在x（Sk）中增加，XK≤xK，我们可以重写xKas xK-  具有 ≥ 根据定理1的证明，我们得到（代替（49））：K ≤E[f′（xK- XK）]-p′（0）。（58）因为f′是有界的，所以E[f′（xK-Xk）]≤ B Pr（xK-XK≥ 0）对于一些B.Theref ore 比例为O（K/N）。按照定理1证明中的相同步骤，效率比为1- OK- O千牛. 一个类似于支柱的命题。4可以被定义为一个凸的和包含的f，并且类似的泰勒展开参数可以被用于基于rO的界。附录4P屋顶的防护。考虑一个群体。

这足以证明PR（Pi∈SkXi≤ ymax/K）是O（K/N），因为屋顶的其余部分与T heorem 1完全相同。等式（20）意味着PRXi∈SkXi≤ ymax/K！≤c（u）- ymax）KN=O千牛.（59）（参见，例如[34]，了解该标准结果。）附录F定理2的屋顶。这个证明遵循与定理1相似的路径。我们假设e（24）为真，并证明e（23）成立。然后我们证明（24）。通过对称性，x（Sk）对所有k都相等，我们表示pkk=1x（Sk）a s xK和xK=Kx（s）。让XKdenoteKX（Sk）。根据假设4，随机变量xkc与Z相关，asXK=Z+^xkw，其中^xkha的分布与^XK=KN/KXi=1^Xi的分布相同。因此UKXK=1x（Sk）！-KXk=1Eh（x（Sk）- X（Sk））+i=U（xK）- ExK- Z-^XK+.设^X=PNi=1^Xi。ThenrW=U（xK）- ExK- Z-^XK+U（y′max）- Ey′max- Z-^X+.使用道具。4，ExK- Z-^XK+≤ExK- Z-^X-^XK+其中^X独立于^XK。通过与定理1的证明完全相同的论证，通过假设（24），我们可以证明rw=1- OK- O千牛.我们通过第一次定义以下中间游戏来证明（24）成立。定义收益函数：πk=pXkx（Sk）！x（Sk）-E[（x（Sk）-K（Z）-u))+]. （60）让（x），x（SK））是由（π，…，πK）定义的配子的纳什均衡（见（60））。根据对称性，x（Sk）对于所有k都是相同的。我们用xk表示这个值；它满足：p（KxK）+p′（KxK）xK- Pr（xK≥K（Z+u））=0。（61）让（x），x（SK））是博弈的纳什均衡（π，…，πK）。由于对称性，所有公司都选择相同的生产水平。用xK表示该值。类似地，将X（Sk）表示为XK。sinc e[（xK-XK）+]在增加inx（Sk），XK≤xK。因此我们可以重写xKas xK- ,对一些人来说 ≥ 0解：p（K（xK- )) + p′（K（xK）- ))（xK）- )- Pr（xK-  ≥ XK）=0。（62）根据XK的定义，（62）可以写成：p（K）（XK- )) + p′（K（xK）- ))（xK）- )- 公共关系xK-  ≥KZ+N/KXi=1^Xi= 0

（63）从（63）中减去（61），按照定理1中证明的步骤，我们得到(-p′（0））≤ 公共关系xK-  ≥KZ+N/KXi=1^Xi- 公共关系xK≥K（Z+u）= 公共关系KxK- K ≥ Z+KN/KXi=1^Xi- Pr（KxK≥ Z+u）。自从 ≥ 0，K(-p′（0））≤ 公共关系KxK≥ Z+KN/KXi=1^Xi- Pr（KxK≥ Z+u）。将平均u与Z而非^Xi关联是很方便的。定义Z′=Z+u和^X′K=KPN/Ki=1^Xi。随着变量的变化，我们需要限制pr（KxK≥ Z′+X′K）- Pr（KxK≥ Z′）。根据条件概率和Z′和^X′K的独立性，Pr（KxK≥ Z′+X′K）- Pr（KxK≥ Z′）=Pr（KxK≥ Z′+^X′K|^X′K≤ 0）Pr（^X′K≤ 0）+Pr（KxK≥ Z′+^X′K|X′K>0）Pr（^X′K>0）- Pr（KxK≥ Z′）={Pr（KxK）≥ Z′）+Pr（KxK<Z′，KxK≥ Z′+^X′K|^X′K≤ 0）}Pr（^X′K≤ 0）+Pr（KxK≥ Z′+^X′K|X′K>0）Pr（^X′K>0）- Pr（KxK≥ Z′）≤{Pr（KxK）≥ Z′）+Pr（KxK<Z′，KxK≥ Z′+^X′K|^X′K≤ 0）}Pr（^X′K≤ 0）+Pr（KxK≥ Z′）pr（^X′K>0）- Pr（KxK≥ Z′）=Pr（KxK<Z′，KxK≥ Z′+^X′K|^X′K≤ 0）Pr（^X′K≤ 0)≤Pr（KxK<Z′，KxK≥ Z′+^X′K|^X′K≤ 0）Pr（^X′K≤ 0）+Pr（KxK<Z′，KxK≥ Z′+^X′K |^X′K>0）Pr（^X′K>0）=Pr（KxK<Z′，KxK≥ Z′+X′K）。假设Z′是一个具有丰富密度函数的连续随机变量，我们用fZ′表示其密度。设fZ，max表示fZ′的最大值。此外，表示^X′Kby fX′的密度。然后pR（KxK<Z′，KxK≥ Z′+X′K）=Z-∞ZKxK-xKxKfZ′（z）fX′（x）dzdx（a）≤ fZ，maxZ-∞(-x） fX′dx（b）=fZ，maxZ∞xfX′dx（c）≤ fZ，max·const·var（^X′），其中（a）来自fZ的有界Ne ss，（b）来自^X′中的对称性，（c）来自^X′的有界e d方差这一事实。因此pXK-PxK=O（KN）。现在，我们通过定义y′maxsolvesp（y′max）来发现xx和y′max之间的差异- Pr（y′max）- Z- u > 0) = 0 .

（64）写KxKas y′max-对于某些δ>0的δ，从（61）中减去（64）得到{p（y′max- δ) - p（y′max）}+p′（y′max- δ） y′max- δK- {Pr（y′max）- δ - Z- u > 0) - Pr（y′max）- Z- u > 0)} = 0.由于p是递减且凹的，且δ>0，我们得到了p′（y′max）- δ)(-δ） 大于0 p′（y′最大值）≤ p′（y′max）- δ) ≤ 0和{Pr（y′max- δ - Z- u > 0) - Pr（y′max）- Z- u > 0)} < 0.因此（y′max- δ) - p（y′max）≤ - p′（y′max）y′max。由于p是凹的且在减小，p（y′max-δ) - p（y′max）≥δp（0）-p（y′max）y′max（见图7）。因此：δ≤ -p′（y′max）y′2maxK（p（0）- p（y′max））。结合证明的前半部分，给出了渴望的结果。附录G提案3的屋顶。根据假设2，E[min（xi，xi）]存在并且是凹的（对w点最小值的期望）。根据假设5，xi^p（Pxi）是凸的。因此，对于所有xi>0的情况，Ti都是凹的。由于E[min（xi，xi）]最多与xind^p（Pxi）线性增加是凸的且无界增加，因此存在常数Bisuch E[min（Bi，xi）]- Bi^p（Bi）<0。对于企业i，没有动机选择xi大于BIS，因为选择xi=0会更好。因此，我们可能会将FIR m i的战略空间限制为[0，Bi]。策略空间（[0，B]，[0，BN]）由（T，…，TN）定义的博弈现在是一个对称的严格凹博弈：每个收益在x上是凹的和连续的，并且策略空间是非空的和紧的。因此，纳什均衡是存在的。附录HP2引理的屋顶。对于任意一组实数A，b，A，b，thatmin（A+b，A+b），都可以证明这一点≥ min（a，a）+min（b，b）。（65）引理2源自（65）的重复应用。为了证明（65）个案例成立，我们考虑了几个案例。设一个条件{A≤ A、 b≤ B} 或{a≥ A、 b≥ B} 。在a下，最小（a+b，a+b）=最小（a，a）+最小（b，b）。

（66）A的补语由两个不相交的格组成：{A>A，b<b}和{A<A，b>b}如果{A>A，b<b}，min（A+b，A+b）=A+b>A+b=min（A，A）+min（b，b）。类似地，如果{a<a，b>b}min（a+b，a+b）>min（a，a）+min（b，b）（67）在条件a下，组合（6）和（67）得到（65）。附录I定理3的屋顶。我们一个接一个地证明这四种说法。权利要求1的证据。假设np是连续的、可微的、凸的和递增的，np是连续的、可微的、凹的和递减的。自^p（y）→ ∞,P→ -∞; 而由于^p（0）<1，^p′（0）>0，p（0）>0和p′（0）<0。权利要求2的证明。由U的定义，UXixi=ZPixip（z）dz=ZPixi（1）- ^p（z））dz=Xixi- CXixi！。（68）AlsoXixi- E西溪-西溪+= E西溪-西溪-西溪+=（E[Pixi-Pixi+Pixi]ifPixi>PiXiE[Pixi]ifPixi≤PiXi=E“minXixi，XiXi！#（69）结合（68）和（69）得到（33）。（34）的推导也以类似的方式进行。权利要求3的证明。我们已经确定（33）成立。它证明了（28）的任何解x将满足ypixi<ymax，其中ymax是p（y）=0的唯一解。根据我们的定义，p（y）=1- ^p（y）；因此，ymax是^p（ymax）=1的唯一解。现在假设p（Pixi）>1，然后看（29），ddyE“min（y，XiXi）#！y=Pixi≤ 1（70）和ddyc（y）|y=Pixi=^p（Xixi）>1。（71）因此，x不是（28）的最优解，或等价地，不是（28）mu st satisfyPixi<ymax的任何解。权利要求4的证据。该权利要求的证据与权利要求3的pro非常相似。由于（34）成立，我们只需要证明，在博弈（T，…，TN）和博弈（π，…，πN）中，没有一家公司会出价xi>ymaxin a nashequirium m。根据前面的证据，可以直接证明，如果一家公司选择xi>ymax，那么不管其他公司的行为如何，它都会有负的年增长率。因此，没有一家公司会选择这样的xi。参考文献[1]A.A。

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