古诺博弈中联盟的竞争与效率

2022-5-7 21:55:40

具有不确定性的古诺博弈中联盟的竞争和效率张宝森，成员，即EE，Ramesh Johari，成员，IEEE，Ram Rajagopal，成员，IEEE，摘要我们研究了联盟形成对生产者面临不确定性的古诺博弈效率的影响。特别是，我们研究了一个市场模型，在实现不确定的生产能力之前，企业必须确定其产量。与标准的古诺模型相比，我们发现，当有许多小企业时，博弈并不有效。相反，生产商往往采取保守的行动来对冲风险。我们表明，在存在不确定性的情况下，当允许企业利用多样性形成一定规模的群体时，博弈就变得有效。我们将市场力量和减少不确定性之间的权衡描述为集团规模的函数。特别是，我们比较了由单一系统运营商控制产出时，联盟竞争产生的福利和产出，以及相同的基准。我们展示了当有企业在场时，不同规模的集团之间的竞争Ohm(√N）在福利和群体规模方面产生社会最优平衡Ohm（N2/3）在生产方面处于社会最优状态。我们还通过建立Cournot寡头垄断和Cournot寡头垄断之间的等价关系，将我们的结果推广到需求不确定的情况。我们用来自风力发电渗透率显著的电力市场的真实数据来展示我们的结果。指数术语古诺博弈，不确定性下的决策，效率，联盟，电力市场。简介古诺游戏是多家公司之间寡头竞争研究最广泛的模型之一。ACournot o ligopoly是一个模型，参与者通过控制他们生产的同质黏液的数量来相互竞争。

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2022-5-7 21:55:44

市场价格取决于企业总产出。一个企业的利润是市场价格和产量的乘积，减去任何成本。假设生产者采取战略性和理性的行动，以最大化其个人利益。该模型最初是由[1]研究的；有关此类模型的调查，请参见，例如[2]、[3]、[4]。在本文中，我们考虑了面临生产不确定性的企业之间的古诺竞争。在我们考虑的模型中，企业首先承诺达到预期的产出水平；随后，实际生产从企业事先选定的水平所确定的分布参数中得出。与预提交级别相比的任何不足都将导致授权。这种模型捕捉了企业在环境中的生产决策，在了解影响生产的所有相关因素之前，必须做出承诺。B.张在华盛顿大学电气工程系工作，电子邮件：zhangbao@uw.edu.R.Johari在斯坦福大学管理科学与工程系工作，电子邮件：ramesh。johari@stanford.edu.R.Rajagopal在斯坦福大学土木与环境工程系工作，电子邮件：ramr@stanford.edu.Electricity市场是这种环境的一个激励例子。在电力市场中，生产商在预定的交货时间（例如提前一天）之前提交报价。然而，风能和太阳能等可再生资源具有极大的不确定性（即使是在提前一天的时间尺度上）。因此，生产商在承诺阶段面临实际生产能力的不确定性。我们的论文关注的是一个基本的权衡。

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kedemingshi

2022-5-7 21:55:47

一方面，在经典的Cour not模型中，效率是指单个企业的数量，因为这削弱了企业的市场力量（通过生产选择影响市场价格的能力）。另一方面，当存在生产不确定性时，这一结果不会继续存在：企业通过相对于效率水平的生产不足来保护自己免受无法满足先前承诺的风险。在考虑如何恢复高效性能时，我们自然会想到企业的联合。非正式地说，如果企业聚集在一起，它们可以缓解其中一方在未来生产中可能感知到的个人不确定性（一个大数效应定律）。当然，联盟并非没有其缺点：联盟拥有比个人更大的市场力量。事实上，这一点非常重要，因为联盟必须具有相当大的规模，才能消除生产不确定性的不利影响。在电力市场的背景下，监管机构必须考虑到允许风力发电机和其他可再生资源在投标进入市场时形成煤炭的后果。因此，我们引出了一个根本性的问题：如果监管机构在最大限度地提高整体市场效率方面发挥作用，那么应该允许组建多少联盟，联盟的规模是多少？我们通过研究允许生产者组建联盟时古诺竞争的效率来描述这种权衡。我们的主要贡献如下。首先，在上述模型中，我们描述了竞争联盟之间的均衡，以及社会最优基准。其次，作为效率的衡量标准，我们比较了企业在竞争条件下的福利和生产产出与最优福利和产出。

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2022-5-7 21:55:51

我们描述了一种最佳的协同结构缩放机制（在许多公司的限制下），在这种机制下，效率损失可以非常小。也就是说，有一些联盟（生产者的分割）基本上有效地降低了不确定性，但没有明显的市场影响力。我们还可以描述效率损失消失的速度，并在企业可能存在相关不确定性时确定这些结果。最后，通过建立Cournot寡头垄断和Cournot寡头垄断之间的等价关系，我们证明了结果也适用于需求不确定的环境；特别是，我们将后者应用于城市停车分配。古诺博弈中的效率和福利损失在不同的背景下得到了广泛的研究。[5]和[6]对福利损失进行了早期实证分析。从分析角度来看，在许多公司竞争的极限下，许多作者表明存在竞争极限[7]、[8]、[9]、[10]。[11]考虑了此类限额的数量，其中假定企业的边际成本是恒定的。[12]的研究表明，对于具有相同成本函数的N个生产商，在竞争具有可微需求曲线的资源时，当生产商具有战略和价格预期时，效率损失不超过1/（2N+1）。[13]的论文推导了凸德曼德曲线的一个更精确的界，并[14]研究了如何在实践中估计lo-ss。[15]研究了不对称流动条件下的损失。之前的大多数文献都得出结论，当大量生产商相互竞争时，就可以实现充分的效率。在本文中，我们表明，当生产不确定性在企业利润中发挥作用时，情况并非如此。

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2022-5-7 21:55:53

供应（或需求）不确定性下的利润最大化属于运营文献中经过充分研究的新闻供应商问题。然而，之前关于ar ea的大部分工作都是针对单个零售商[16]。寡头垄断竞争在[17]中研究了加法需求，在[18]中研究了乘法需求；[19]中讨论了不同企业之间收入共享的相关模型。据我们所知，之前在这方面的工作都没有考虑到有效的联盟形成。另一项相关研究是areais合同设计（参见，例如[20]），在该研究中，设计师实施了一些措施，以确保企业按预期运营。在本文中，惩罚来自于问题固有的不确定性。与我们自己的研究密切相关的一项工作是[21]，作者在该研究中研究了大型经济体中多元化和竞争之间的中介角色。他们的结果是在影响所有消费者的共同随机性假设下得出的，而在我们的工作中，每个生产者都面临着自己的随机性（可能与其他人相关）。后一种效应是通过以下联盟的形成来创造效率收益的。论文的其余部分组织如下。第二部分介绍了古诺竞争的基本模型，分为两个阶段：第一阶段是生产承诺，第二阶段是实际可用产能。市场价格在第一阶段根据生产承诺确定。在第二阶段，如果产能低于企业承诺水平，生产商将被处以罚款。然后，我们研究了同一模型，假设企业采取行动。由于本文的重点是团队之间的竞争，我们不研究团队内部资源共享合同的性质；参见，例如[22]和[23]。在第三节中，我们首先研究了FIMSFACE i.i.d。

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2022-5-7 21:55:58

生产不确定性。我们首先表明，随着企业数量的增长，效率损失并没有消失（由于生产不确定性的不利影响）。我们还表明，另一个极端，即所有生产者的大联盟，是不称职的（由于过度行使市场权力）。然后，我们研究了联盟竞争：特别是，我们描述了效率损失法的最优群体规模和最优速率。通过平衡市场力量的不利影响和减少生产不确定性的好处，我们表明√N生产rs（so）√N联盟在市场上完全相同），效率损失不超过O（1/√N）。在第四节中，我们展示了在两个相关生产不确定性模型下相同的结果。第五节通过推导古诺电信（竞争供应商品的企业）和古诺电信（竞争消费商品的企业）之间的等价关系，展示了如何将结果应用于需求不确定性。第五节通过对美国中大西洋地区的电力市场的acase研究，说明了当风力发电商被纳入市场时，这些结果如何应用于实践；本节基于[24]中的材料。第七节总结本文件。二、技术准备在本节中，我们定义了一个两阶段的游戏，其中多家公司竞争以满足对单一资源的需求。两阶段模型与经典古诺竞争的主要区别在于，竞价发生在第一阶段，但ea c h生产商在交货期（第二阶段）的生产能力不确定。假设有N家公司。该市场分两个阶段运行，如图1所示。在第一阶段，企业选择一个企业投标第一阶段启用产能定价第二阶段FIG。1：两阶段市场模式。

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可人4

2022-5-7 21:56:02

企业在第一阶段投入生产，这决定了商品的价格。能力在第二阶段实现，如果企业的承诺低于其实现的能力，将评估处罚。承诺的生产量将使其进入市场。设p（y）表示提交y个aggregateoutput单位时的市场价格。让西德诺特满足我的生产能力限制。注XI在第一阶段是一个ran dom变量，在第二阶段实现。在本文中，我们将假设Xi是连续的，即它们遵循连续概率密度函数的分布。为了关注生产不确定性的影响，我们假设每个企业都没有生产资源的成本。如果承诺金额（xi）大于产能（xi），则i号企业将受到单位短缺成本q的惩罚。因此，如果每家公司面临相同的边际生产成本，我们的结果将保持不变。企业i的短缺成本为q（xi- Xi）+。在不损失通用性的情况下，我们为论文的其余部分设置q=1。在关于报童问题的文献中，假设短缺量为线性是相对常见的。这种能力使我们能够捕捉到与短缺相关的风险，即承诺比实际能够提供的更多；事实上，惩罚有助于企业在选择承诺水平时规避风险。我们的主要结果仍然适用于形式E[f（xi）的处罚-Xi）+]，a s longas f是凸的、递增的，并且具有有界导数。罚金的结构有两个重要假设：第一，罚金仅取决于企业自身的不足（即，没有企业内部的外部性）；而且，一座城市的任何过剩产能都不能在二级市场转售。在实践中，这些假设可能会被违反。

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2022-5-7 21:56:05

例如，在电力市场中，实时市场的运行是为了平衡实际的供需，对此类市场的研究是我们未来的一个重要方向。然而，我们相信，我们的模型捕捉到了生产不确定性对企业行为的首要或次要影响，以及联盟在实现高效产出中的作用。我们使用符号x-ito表示除i以外的所有公司的现金数量；也就是说，x-i=（x，x，…，xi-1，xi+1，xN）。FIRI的预期收益为πi（xi，x-i） =pNXl=1xl！xi- E[（xi）- Xi）+]。（1）当每家公司的价格都是预期的，给定x-i、 fim i选择xi>0以最大化πi。由（π，…，πN）定义的博弈的纳什均衡基数是向量x≥ 0使得对于所有i:πi（xi，x-（一）≥ πi（～xi，x）-i），全部xi≥ 0.（2）为了分析该博弈的纳什均衡，我们对概率函数p作了如下假设；这一假设在整篇论文中仍然有效。假设1。我们假设：1）p严格递减且p（0）>0；2） p（y）在y上是凹的可微的≥ p′（0+）<0时为0；3） p（y）→ -∞ 就像我一样→ ∞.由于p在减小，p（0）>0，并且趋于-∞, re是唯一的过零点ymax，即：p（ymax）=0。（3）这些假设在文献中很常见（例如，见[12]）。第一个假设表明，价格随着数量的增加而降低，p（0）>0避免了琐碎的解决方案。需求函数的凹性在很大程度上是为了便于分析，并避免长时间的推导。（见本节末尾的Rema rk 1，它表明，即使在需求假设较弱的情况下（例如对数凹度），关于最优公司规模的主要结果仍然有效。）最后，对于实数z，让z+表示z的正部分，即z+=z或z>0，否则为0。为了分析的简单性，也做出了假设。

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2022-5-7 21:56:08

在实践中，对于大的enoug h y，p ic e变为零。这在分析上是不可取的，因为p可能不是全局凹的，所以在第三个假设中，我们允许p为负。这一假设基本上没有失去普遍性，因为利益制度总是局限于总产量，其中PI为非负（见命题1）。本文对随机变量进行如下假设：假设2。对于所有的i，xi是一个连续的随机变量，具有fine me an。这种假设主要是为了便于分析。现在可以直接证明博弈（π，…，πN）存在唯一的纳什均衡，如下结果所示。提议1。与假设1和Xi满意度假设2相反。然后，对于由（π，…，πN）定义的博弈，存在唯一的纳什均衡x。此外，Pxi≤ ymax。这一命题的证明见附录A。注1。反d emandfunction p的凹性假设可以放宽到更弱的条件。例如，假设p是递减的、连续的，并且存在一个ymax，使得p（ymax）=0。注：p不必保存。如果所有公司都经历了相同边际分布的不确定性，则惩罚函数E[（x-Xi）+]对于企业一来说是相同的。根据[25]的结果（或参见[26]中的定理M1），存在由（π，…，πN）定义的博弈的对称均衡。当然，如果不了解更多关于p的知识，就很难描述游戏的e平衡。在本文中，我们研究了凹p的情况，但作为递减结果的结果，我们期望我们的主要结论应该扩展到更一般类型的逆需求函数，至少在企业相同的情况下。答：系统操作员我们对博弈（π，…）的纳什均衡的效率感兴趣。

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2022-5-7 21:56:12

，πN）。在本节中，我们将概述我们考虑的基准柜福利；特别是，我们将重点放在集中系统操作员实现的最大值上。首先，给定价格函数p，我们以通常的方式将总消费者剩余定义为：U（y）=Zyp（z）dz。（4）系统运营商的目标是最大化总消费rsurplus，但会根据预期的总短缺产生成本，假设它可以控制所有生产商的产量。请注意，这项工作和现有文献之间的一个关键区别是如何计算成本：系统运营商有效地优化了，就像它是所有企业的“大联盟”，效用由总消费者剩余确定。该模型的灵感来自电力市场中的独立系统运营商（ISO）；参见，例如[27]。我不知道！- ENXi=1xi-NXi=1Xi+（5a）根据xi≥ 0, i、（5b）系统运营商面临总短缺的原因，EPNi=1xi-PNi=1Xi+, PNi=1Eh（xi），而不是单个短缺的总和- Xi）+i，是指通常情况下，根据不同的来源来平衡可能的质量不足。在电力市场的激励示例中，假设一个系统运营商控制了所有风电场。因此，只要实现的风电总量PiXi大于承诺的风电总量PiXi之和，可再生能源就不会产生额外成本。以下引理规范化了聚合对系统运营商的好处。引理1。假设Xi满足假设2。ThenENXi=1xi-NXi=1Xi+≤NXi=1Eh（xi- Xi）+i.（6）这个引理的证明是Jensen不等式a的直接应用，见附录B。注意，（5）中的目标函数仅取决于pni=1xi。通过改变变量，我们可以将（5）改写为：最大化U（y）- EY-NXi=1Xi+（7a）根据y≥ 0

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2022-5-7 21:56:15

（7b）根据假设1，U是可微凹的，所以（7）的最优解是唯一的正解top（y）- 窥探≥NXi=1Xi！=因此，我们有以下推论。推论1。当且仅当：Xixi=y′max，（9）其中y′max是（8）的唯一解时，向量x是有效的（即，解决优化问题（5））。福斯特，麦克斯≤ymax。因此，在均衡状态下，如果企业总产量为y′max，则均衡状态为社会最优。利用p递减的事实，可以直接证明，在任何均衡条件下，企业的产量都小于y′max。我们省略了这个标准参数。B.效率比在本节中，我们定义了两个密切相关的效率比。第一个是基于纳什均衡和系统操作员的最佳结果之间的差距的通常概念。这类似于“无ZF状态的代价”（例如[28]），但随着基准是系统运营商的回报的变化。第二个效率比定义为纳什均衡下的总产出与安迪最大定义1之间的差距。考虑古诺博弈（π，…，πN）。设（x，…，xN）为该博弈的纳什均衡，lety′maxn为（8）的解。与福利相关的效率比rW为：rW=UPNi=1xi-PNi=1E[（xi）- Xi）+]U（y′max）- Ey′max-普尼西+. （10）与产出相关的效率比rO为：rO=PNi=1xiy′max。（11）这两个效率比都值得关注。福利比率衡量纳什均衡的效率，数量比率直接比较纳什均衡下的总产出和更大的社会产出。

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2022-5-7 21:56:18

例如，在电力市场中，独立系统运营商（ISO）通常有兴趣确保可再生能源（如风能）的最大容量注入市场。因此，在纳什均衡条件下，总产出与最大可能产出之比rO比福利之比rW更能直接引起我的兴趣。这篇文章的其余部分调查了卢旺达的行为——公司数量和联盟数量的增长。特别是，我们描述了两种效率比的渐近标度关系。C、确定性古诺博弈在讨论第三节和第四节的主要结果之前，我们考虑古诺博弈的确定性版本，即没有生产不确定性的版本。对这个确定性游戏的理解为我们的结果提供了c语境；此外，我们的证明使用了确定性设置作为构建块。在确定性环境中，我们忽略了游戏的第二阶段。因此，企业i的收益为：πi（xi，x-i） =pNXl=1xl！xi（12）与（1）相比，注意短缺的成本是有限的。在本文的其余部分中，我们使用超边界变量来表示确定性博弈中的数量。考虑由（π，…，πN）定义的博弈。通过与命题1相同的理由，该博弈存在唯一的纳什均衡，由（x，…，xN）表示。ymax的社会福利（y）最大化。该游戏的效率比定义为：rW=U普尼西U（ymax）（13）andrO=PNi=1xiymax。（14）广域漫游的行为是众所周知的；参见，例如[12]。如提案2所述，rWapproa c hes 1和GAME在许多公司的限制下变得有效。正如我们在第三节中所展示的，如果存在生产不确定性，这就不再是事实。命题2（文献[12]中的推论18]）。画→∞rW→ 1和limN→∞rO→ 1.D。

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2022-5-7 21:56:21

联盟在本节中，我们定义了古诺在企业联盟中的共同竞争。考虑到N家公司，让我们，SKbe是{1，…，N}的一个分区。设（x，…，xN）为每个企业的生产水平向量。Groupski的总生产承诺表示为x（Sk）：x（Sk）=Xi∈Skxi。同样，设X（Sk）=Pi∈SkXidenote组SK的聚合（随机）实现容量。该集团的收益定义为：πk（x（Sk））=pXkx（Sk）！x（Sk）- E[（x（Sk）- X（Sk））+]。（15）请注意，对于系统运营商而言，联盟的好处在于能够使用一个成员的超额产量来弥补另一个成员的不足。因此，联盟产生的惩罚是其总实现产能和总生产承诺之间的不足。请注意，我们不考虑每家公司的内部利益分享合同；相反，我们关注的是公司的利润最大化。考虑到，Sk，我们可以通过pa-yoff函数（π，…，πk）定义联盟之间的古诺博弈。在这个游戏中，集体滑雪的动作是总产量承诺x（Sk）；与pro-fit一样，我们并不关注这一承诺在各个企业之间的分配。联盟玩的游戏是N家公司玩的原版游戏的“缩放”版本。关键的区别在于，惩罚不是企业的专利。通过引理1的类似结果，E[（x（Sk）- X（Sk））+]≤xi∈SkE[（xi）- Xi）+]。（16）正如我们在接下来的章节中所描述的，正是这种风险的降低使联盟变得有用。三、独立公司在本节中，我们考虑了当企业间的生产不确定性为i.i.d.时，两阶段博弈的效率。由于我们对大的N域感兴趣，我们需要指定随机变量（X，…，XN）是如何标度asN inc的。回想一下，Ximes对已实现的产能进行了建模。

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2022-5-7 21:56:24

由于我们将pric e函数保持为常数，因此我们应该合理地证明，每个企业将在限制内产生极小的产量。如果我们不相应地调整capa城市的生产能力，那么在大N限制下，每家公司实际上将不会面临生产不确定性。在形式上，我们根据以下假设调整每家企业的产能规模。假设3。设X是E[|X |]<∞. 设E[X]=u，我们假设u>ymax；设Var（X）=σ。假设有N家公司。随机变量X，X根据X/N的分布绘制i.i.d.在上述假设下，预期总容量固定在u，并在N家公司中平均分配。有界三阶矩的技术假设避免了带有很重尾的随机变量，这在很大程度上是为了便于分析。假设u>ymaxstreamlist是公共物品，但不是必要的。我们注意到，假设3 c可以通过保持每家企业的生产能力不变，而不是随着生产商数量的增加，按N·p的比例调整价格来等效计算。在假设3下，所有企业在事前都是相同的：它们拥有相同的利润，面临相同的生产不确定性。在本节中，我们考虑了联盟竞争，其中企业被平均分为K组；由于我们对大N场景感兴趣，我们假设，在不损失通用性的情况下，是K的倍数。K的两个极值是K=1和K=N：前者对应于大联盟，而后者对应于单个企业之间的竞争。下一个orem是本节的主要结果，它将效率比与群体规模K联系起来。定理1。假设有N个公司和X，假设3。让我们。

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2022-5-7 21:56:27

，SK）是K个集团，每个集团都有N/K家公司。让（x（S），x（SK）是游戏的解（π，…，πK）。效率等级为：rW=UPKk=1x（Sk）-PKk=1Eh（x（Sk）- X（Sk））+iU（y′max）- Ey′max-普尼西+= 1.- OK- O千牛（17） andrO=PKk=1x（Sk）y′max=1- OK- O千牛. （18）我们在这里重点讨论结果；定理1的附录ix C中给出了定理1的最后两个术语。（17）和（18）C中的最后两个术语可以分别解释为市场力量和生产不确定性的影响。在（17）中，由市场功率引起的效率为1/K，并随着Kg的增加而降低。另一方面，生产不确定性导致的效率以K/N来衡量，随着N/K（每个联盟中成员的数量）的增加而降低。同样，在（18）中，1/K代表市场力量导致的效率低下，K/N代表不确定性导致的效率低下。从（17）和（18）中可以看出，只要K和N/K都是无约束增长的，那么rWand rOapproa c h 1。下面的推论给出了使接近1的速率最大化的最佳假设大小。推论2。最大化（17）中的右手sid的最佳联盟结构是将公司分成Ohm（N1/3）组，每个大小Ohm（N2/3）。使（18）最大化的最佳联盟结构是将公司分成Ohm(√N）组，每个大小Ohm(√N）。这一推论直接来自于对“罪恶之神”一词的平衡。值得注意的是，卢旺达被不同的联盟组织所控制。然而，bothrates认为，除了个体企业和大联盟这两个极端之外，拥有联盟规模的中间机制更有效。定理1中的结果可以推广到更一般的短球惩罚，如下推论所示。推论3。

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2022-5-7 21:56:31

设f是一个有界导数的凸增函数，满足f（x）=0≤ 0.对于ra群S，让其总性能由以下公式给出：πS（xS）=pNXi=1xi！Xk∈Sxk！- E[f（xS）- XS）]。（19）在与Theo rem 1相同的条件下，效率比Still量表asrW=1- OK- O千牛安卓=1- OK- O千牛.附录e ndix D.备注2给出了这一推论的证明。定理1和推论3中的标度率为下界。有迹象表明这些利率很紧。例如，设p（x）=1- x、在这种情况下，可以准确计算市场力量导致的净效率，并按rW=Ohm（1/K）安卓=Ohm（1/K）。假设Xibe是一个连续的随机变量，它满足切比雪夫不等式（见[29]）。然后两人都和罗斯卡尔一样Ohm（K/N）。（有关详细信息，请参见ORE m 1的证明。）值得注意的是，理论1和推论3中的标度率代表了企业的渐近行为。标度率项的常数由生产不确定性的特定分布和价格函数决定。我们用下面的例子来说明效率比在fine N的行为。例1。设p（y）=1-y、设X正态分布为N（1.1,1）。请注意，ymax=1<1.1。让锡伯拉尼。i、 d.根据X/N的分布。图2绘制了两组大小的效率比：√N和N2/3。理论1和推论2表明，规模为N2/3的群体对于福利效率和规模为√对于速率效率而言，N不是最佳值。尽管图2b中有一个切换点，但图2a和2b也涵盖了这些说法。0 1 2 3 4生产商数量×100.950.960.970.980.99√NN2/3（a）福利效率比的比例。0 1 2 3 4生产商数量×100.950.960.970.980.99√NN2/3（b）数量效率比的比例。无花果

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2022-5-7 21:56:35

2：规模为N2/3和√N（适用于N1/3和√N分别为s组）。当群体规模为N2/3时，福利率、rW、接近1比当群体规模为√N.当群的大小为g时，量的比rO渐近地更快地接近E 1√当组的大小为N2/3时，为N次。四、相关公司在本节中，我们考虑了两个模型，其中公司具有相关的生产不确定性。（17）和（18）中的O（K/N）项是大数定律的结果。下面的推论使用了相关随机变量的大数定律。推论4。设X b e为满足假设2的随机变量。设E[X]=u>ymax。假设没有公司。假设随机变量X，Xneachh具有与X/N相同的边际分布。设（S，…，SK）为K组，每组有N/K个公司。让（x（S），x（SK））是游戏的解（π，…，πK）。IfNXj=1 | E[cor（Xi，Xj）]|≤cN i（20）对于一些不依赖于N的c，则效率比在（17）和（18）中进行分级。相关Xi满足上述条件的一个例子是cov（Xi，Xj）≤ Aρi-j |，对于某些定义A和ρ<1。这种类型的模型捕捉到了霍特林式的地理结构，在这种结构中，指数相似的企业更有可能面临相同的生产约束。这与电力市场尤其相关，在电力市场中，风力涡轮机相互靠近。附录E.B中给出了推论4的证据。强相关公司更严格地说，我们认为生产能力弱相关的公司，即公司之间的相关性随着公司数量的增长而衰减。

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kedemingshi

2022-5-7 21:56:38

在本节中，我们考虑了生产能力强相关的情况，其中所有企业之间的相关性仍为正。当企业具有相关能力时，通常很难获得与OREM 1类似的结果，因为有限的微生物分布不一定集中；任何这样的结果都将取决于Xi的特定联合分布。对于本节，我们假设随机变量之间的相关性来自一个相加模型，如以下假设所述。假设4。设X是一个零随机变量，具有对称密度和满足性∞.随机变量^X，^X根据与X/N相同的分布绘制i.i.d。设Z为连续随机变量，其均值为u，方差为有限，密度在其均值周围对称。随机变量Z和^X，^XNare独立。随机变量Xi由以下公式得出：Xi=^Xi+zn对于所有i.（21）由于Xi的相关性很强，PiXino不再集中在其mea n周围。因此，即使对于联合控制所有企业产出的系统运营商，系统中也存在一些剩余确定性。然而，分享所有企业的生产，然后分摊总短缺的成本，对该系统仍然是有益的。使用消费4中使用的符号，系统操作员的问题是axy≥0U（y）- E[（y- Z-NXi=1^Xi）+]。（22）和前面一样，设y′max是（22）和y′max的唯一解≤ymax。定理2说明福利和数量之间的效率比具有与定理1相同的大N渐近行为。定理2。让^X，^x和Z是满足假设4的随机变量。设（S，…，SK）是（1，…，N）的一个分区，每个分区的大小为N/K。让（x（S），x（Sk））是两阶段博弈（π，…，πK）的解。假设u>y′max。

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2022-5-7 21:56:42

效率比量表为：rW=UPKk=1x（Sk）-PKk=1Eh（x（Sk）- X（Sk））+iU（y′max）- Ey′max-普尼西+= 1.- O（K）- O（KN）（23）andrO=Pkx（Sk）y′max=1- OK- O千牛. （24）定理2的证明步骤与定理1的证明步骤类似，可在附录f.C.中找到。模拟结果在此我们绘制了相关公司的效率比，并将其与独立公司进行比较。与例1类似，letp（y）=1-y、设^X正态分布为N（1.1,0.71），设zbe正态分布为sn（0,0.71）；注意，在这个定义下，^X+Z的方差为1。让我们一起来。i、 d.根据与^X/N相同的分布。图3显示了不同规模群体的效率比√N在半对数图上。作为基线，我们还绘制了效率比，其中随机变量以正态分布n（1.1,1）i.i.d.绘制。0 5 10 150.40.60.81log（生产商数量）效率比相关。I.D.图3：相关企业和I.I.D.企业的效率比，作为企业数量日志的一部分。集团规模√N表示其他情况。我们发现，在c相关的情况下，效率比i.i.d.情况增长得更快。从图3中，我们可以看出，如果企业相互关联，效率比接近1的速度要快得多。这并不意外，因为生产不确定性主要由普通随机变量Z控制，而且个体随机性更容易平均。V.古诺寡头垄断有一个自然的古诺寡头垄断博弈，与前面章节讨论的古诺寡头垄断博弈相关。企业不能被认为是共同产品的消费者，而不是共同产品的供应商。

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2022-5-7 21:56:47

如果企业的需求存在不确定性，自然会产生一个问题：在古诺寡头垄断的情况下，合作是否会提高古诺寡头垄断的效率？我们通过证明在特定的需求侧模型下，通过古诺寡头垄断和古诺寡头垄断之间的等价关系，可以直接应用前面章节的所有结果来回答这个问题。在介绍技术细节之前，让我们先来看看以下Parking商业区的激励示例。例2。世界上许多城市的市中心和商业区的车辆流量都在增加。目前，大多数城市为企业分配固定数量的停车场。对于第一家公司，支持分配一定数量的停车位。访问该企业的车辆数量（企业需求）是一个由Xi表示的随机变量。如果车辆成功找到停车位，该公司将获得一定的效用。如果用户试图访问一家公司时，停车场不可用，那么它就没有效用。因此，公司i的效用与min（xi，xi）成比例。停车位的增加与通往市中心的交通有关。交通量的增加可能会增加拥堵，因此停车场受到城市的严格控制。我们用价格函数^p（Pxi）对该成本进行建模，而我公司的成本为xi^p（Pxi）。基于上述动机，我们确定了企业i到beTi（xi，x）的预期收益-i） =E[min（xi，xi）]- xi^pNXl=1xl！。（25）每家公司都是预期的，我选择xi>0来最大化给定x的TIF-i、该博弈的纳什均衡定义为与（2）相同。作为假设1的类比，我们对价格假设5作如下假设。

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2022-5-7 21:56:51

我们假设：1）^p严格递增，0<^p（0）<1；2） ^p（y）是c onv ex，在y上可微≥ ^p′（0+）>0时为0；3） ^p（y）→ ∞ 就像我一样→ ∞.^p（0）<1的假设是为了避免琐碎的解决方案，因为如果^p（0）>1，没有企业会选择正面报价。请注意，效用函数和价格函数E[min（xi，xi）]和^p已被适当地缩放，以具有相同的un its。不包括私人停车场。这是直接证明游戏（T，…，TN）存在纳什均衡，如第3条所示。提议3。假设^p满足假设5，而xi满足假设2。然后，对于由（T，…，TN）定义的博弈，re存在唯一的纳什均衡。这一命题的证明见附录g.A.社会福利和效率鉴于价格函数^p，我们将总成本定义为：C（y）=Zy^p（z）dz。（26）与寡头垄断的情况类似，控制所有企业的系统运营商总是会聚合引理2所示的供需。引理2。假设x，一组实数一个dX，一组真实的随机变量，每个都满足假设2。然后“minNXi=1xi，NXi=1xi！”#≥NXi=1E[min（xi，xi）]。（27）附录2中给出了这个引理的证明。因此，从系统操作员的角度来看，最优分配的特点是解决以下问题：最大化E“minNXi=1xi，NXi=1xi#- CNXi=1xi！（28a）根据xi≥ 0, i、（28b）在（28）中的目标函数只取决于分配的和，所以我们可以把它写成maximize E“miny，NXi=1Xi#- C（y）（29a）受y约束≥ 0.（29b）让^ymaxe解为（29）。与定义1一样，我们定义了两个效率比，一个基于福利，一个基于数量。定义2。以古诺博弈（T，…，TN）为例。设（x，…，xN）为该博弈的纳什均衡。

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2022-5-7 21:56:55

与福利相关的效率比rW为：rW=PNi=1E[min（xi，xi）]- CPNi=1xi最小照度^ymax，PNi=1Xi我- C（^ymax）。（30）与工程量相关的效率比rO为：rO=PNi=1xi^ymax。（31）如第三节和第四节所述，我们对卢旺达的行为感兴趣。下一节表明，本节中研究的game（T，…，TN）与第II节和第IV节中研究的博弈（π，…，πN）之间存在精确等价性。因此，定理1和定理2中的主要结果直接延续。B.寡头垄断和寡头垄断之间的等价性：在古诺博弈中，寡头垄断和寡头垄断之间通常存在一定程度的对称性，但关键在于确保两个模型之间的有效分配和纳什均衡保持不变。以下定理是本节的主要结果。定理3。假设假设2和5成立。定义新价格p为：p（y）=1- ^p（y）。（32）定义一个特殊的效用函数U（y）=Ryp（z）dz。然后1）假设1由p.2）满足，适用于任何变量x≥ 0，下面的内容是：E“minXixi，XiXi#- CXixi！=UXixi！- E西溪-西溪+, （33）以及：Ti（xi；x）-i） =E[min（xi，xi）]- xi^pXlxl！=xipXlxl！- E[（xi）- Xi）+]=π（Xi；x-i）。（34）3）向量x是（5）中的系统算子问题，当且仅当它解决了（28）中的系统算子问题。4）向量x是（T，…，TN）定义的博弈的纳什均衡，当且仅当它是（π，…，πN）定义的博弈的纳什均衡。在附录I中，我们提供了上述四项索赔的证据。六、电力系统风电整合案例研究本节将本文的结果应用于电力市场。该材料基于[24]。我们关注的是美国的PJMF控制区（该区域覆盖了美国大西洋中部各州的大部分地区）。

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2022-5-7 21:56:58

近年来，PJM的风力发电量急剧增加。在其他影响中，与该文件最相关的一个影响是，随着风渗透的增加，能源价格将大幅下降。图e 4（转载自[30]）显示，在风力穿透率仅为10%的情况下，一天的电价可能下降50%。PJM和美国大多数其他地区的电力市场采用两级结构。第一阶段约在实际供电时间前24小时开始，即发电商竞争满足预测需求的前一天阶段。第二阶段被称为实时阶段，因为它调整供应和需求，以满足电力交付时可能出现的任何不平衡。因为大多数传统的g发生器。4：2012年PJM日ahea d价格和风力发电的散点图。图由[30]重新生成。水平轴是风的穿透力，垂直轴是PJM区域的平均清算价格。随着风力穿透量从0%增加到10%，sy stem的平均价格下降了一半以上。（例如，煤炭、核能、水力发电等）至少需要几个小时才能改变生产水平，大部分市场在前一天的阶段就已经清空。在本文中，我们对风力发电商感兴趣，并将常规发电商视为非战略实体。根据PJM市场报告（[31]），常规发电机似乎已经在当前市场上出价了真实成本，因此在风力发电商进入市场时不会改变其出价（出价较低没有经济意义，出价较高会降低其重新结算的幅度）。

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2022-5-7 21:57:03

然而，研究可再生能源和常规发电机之间的结合是未来研究的一个重要领域。我们认为风力发电商s是在日前市场竞争的公司。每家公司都面临着不确定的供应，因为其产量取决于未来的风力条件；此外，每家公司都会影响价格，如图4所示。因此，本文开发的古诺博弈可以用来模拟他们的行为。为了进行实证研究，我们使用美国东部国家可再生能源实验室（NREL）提供的风力数据[32]。风的预报值和预报误差都包含在数据集中。我们将预测值解释为随机供应的平均值，将误差解释为供应的变化。PJM控制区内有302个风电场。图5显示了总预测的标准化标准偏差与总预测中风电场数量的函数关系。可以观察到这些预测之间存在很强的相关性。应用第一节和第五节中的分析，图6显示了风电场的最佳性能。注：社会最优解决方案被认为是最大限度地将风注入市场的解决方案。感兴趣的读者可以在[24]中找到更详细的分析。0 50 100 150 200 250 300 3500.20.30.40.50.60.7生产商数量标准偏差（p.u.）图5：标准偏差作为聚集中生产商数量的函数。纵轴通过聚集的总capa城市进行标准化。图6：根据NREL数据集中风力发电场的组数，进入日前市场的风力发电投标总额。最大值出现在30个团体，而最小值出现在单个团体（大联盟）。七、

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2022-5-7 21:57:06

结论在本文中，我们研究了生产不确定的Courn-ot博弈中企业和联盟的战略行为。我们通过描述一个基本的权衡来研究古诺竞争的效率：一方面，市场力量增加，运价规模增加；另一方面，随着联盟规模的增长，生产不确定性的成本也会降低。我们向他们展示了一个“最佳点”，即存在足够大的群体来实现大联盟的不确定性降低，但足够小的群体没有显著的市场影响力。这些结果对电力市场等生产不确定性行业的监管机构具有重要意义。具体而言，我们的研究结果表明，在一定范围内，例如电子钱包制造商之间的联盟可能会增加整体福利。我们已经在[24]中的电力市场中验证了这些结果，在[24]中，我们实证研究了（一定数量的）风力发电机联盟的自身利益。最后，我们指出了两个重要的开放方向。首先，如前所述，在许多可再生能源市场（包括电力市场），产量短缺的惩罚不是外生的。相反，一家企业可能面临一个“现货”或二级市场，它可以向其中出售过剩产能，或者从中购买额外产能以弥补缺口。模拟这两个阶段的市场游戏仍然是一个重要的挑战。第二，我们所有的结果都是渐近的，尽管我们确实用最优联盟规模描述了收敛到效率的速度。由于企业数量众多（可能存在异质性），监管机构面临着计算最优联盟作为基准的潜在挑战。开发解决这个问题的方法仍然是一个悬而未决的问题。附录A建议1预防措施。

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可人4

2022-5-7 21:57:09

我们首先观察到，每个企业的战略空间可以限制在一个紧凑的集合中，而不会失去普遍性。对于任何向量x-其他公司认为，如果Pr（Xi<ymax）>0，那么选择0总比选择大于ymax的数量好。如果pr（Xi<ymax）=0，pk6=ixk>0，那么选择0总比选择大于ymax的产量好。如果Pr（Xi<ymax）=0，pk6=ixk=0，则i公司的最佳策略是最大化xip（Xi）。根据假设1，xip（xi）的唯一最大化子严格大于0，严格小于ymax。因此，我们可能会将企业的战略空间限制为[0，ymax]。由于p满足假设1，p（Pixi）xi是凹的。假设2，E[（xi- Xi）+]存在和-E[（xi）- Xi）+]在Xi是集中的。通过凹函数的可加性，所有xi的πiisconcave≥ 0.策略空间（[0，ymax]，[0，ymax]）由（π，…，πN）定义的博弈现在是一个严格凹的博弈：每个支付π在x上是连续且严格凹的，而i的策略空间是一个非空紧集。ByRosen的存在定理（见[33]），这个游戏有一个唯一的纳什均衡。此外，假设pxi>ymax。那么，xi至少有一个是积极的。但如果能减少xi的话，我公司的情况会更好。因此，平衡时的e，Pxi≤ ymax。附录B引理1的屋顶。这个引理来自詹森不等式。让我们，Wnn是随机变量。设g（·）=（·）+。因为g是凸的，所以我们有[g（NXiNWi）]≤NNXiE[g（Wi）]。（35）由于g是恒生的，所以将（35）的两边乘以NgivesE[g（NXiWi）]≤NXiE[g（Wi）]。识别WI与xi- Xi完成了证明。附录C定理1的附录。

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2022-5-7 21:57:13

我们首先假设（18）成立，并用它来证明（17）。然后我们证明（18）是真的。首先我们观察到所有群都是对称的，因此每个群都有相同的期望代价：KXk=1Eh（x（Sk）- X（Sk））+i=KEh（X（Sk）- X（Sk））+i=Eh（Kx（Sk）- KX（Sk））+i.为了方便起见，设xK=KX（Sk）和xK=KX（Sk）。注意E[XK]=u。设^XK=XK- u是零均值版本。类似地，我们可以写epnixi=u+^X，其中^X是零均值。利用这些旋转，效率比rWisrW=U（xK）- ExK- u -^XK+U（y′max）- Ey′max- u -^X+. （36）以下命题有助于界定rW。提议4。设V和W是具有对称密度的独立连续随机变量。此外，假设E[V]=E[W]=0。设a为正实数。ThenEh（V+W）- a） +i≥ 呃（W）- a） +i.（37）道具的证明。4在后面给出。应用它，我们有xK- u -^XK+≤ ExK- u -^X-^XK+,（38）当X独立于^XK时，现在对^X和^XK进行实验。因此，对于较低的rW，有必要使用下限U=U（y′max）- Ey′max- u -^X+- U（xK）- ExK- u -^X-^XK+. （39）将^X的一个独立副本插入期望中，允许我们使用泰勒展开式分析（39）。设δ=y′max- xK，U（xK）=U（y′max- δ）≈ U（y′max）- δU′（y′max）+δU′（y′max），（40），其中我们忽略了泰勒展开中的高阶项。设g（y）=EY- u -^X+.

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2022-5-7 21:57:17

获得E的泰勒展开xK- u -^X-^XK+在y′max附近，我们通过在^X和^X:E上连续条件化来使用条件期望xK- u -^X-^XK+= E^XhE^XKhg（y′max- δ -^XK）|Xii≈ E^X“E^XK”g（y′max）- （δ+^XK）g′（y′max）+（δ+^XK）g′（y′max）#（a）=g（y′max）- δg′（y′max）+δg′（y′max）+E[^XK]g′（y′max），（41）其中高阶项再次被忽略，并且（a）由E[^XK]=0以及^x和^XK之间的独立性得出。将（40）和（41）替换为（39）得到：U≈ U（y′max）- g（y′max）-U（y′max）- δU′（y′max）+δU′（y′max）+（g（y′max）- δg′（y′max）+δg′（y′max）+E[^XK]g′（y′max））=δ（U′（y′max）- g′（y′max））+δ（g′（y′max）- U′（y′max））+E[^XK]g′（y′max）（a）=δ（g′（y′max）- U′（y′max））+E[^XK]g′（y′max），（42），其中（a）来自第一阶最优性条件和y′max使U（y）最大化的事实- g（y）。现在我们推导出（42）中常数的更显式公式f:g′（y′max）=ddyE[（y）]- u -^X）+]|y′max=ddyE[1（y- u -^X）+]=ddyPr（^X≤ Y- u）=^f（y）- u），其中^f是^X的pdf；U′（y′max）=p′（ymax）。根据假设2，^f存在；根据假设1，p′（y′max）为负。因此g′（y′max）和-U′（y′max）是正常数。偏差δ可由fr om（18）计算得出。通过（18），δ标度为O（K）+O（KN），δ标度为asOK+ ON+ O千牛.由于^XKis是零均值，E[^XK]=Var（XK）=VarKN/KXi=1Xi= KNKσ=KNσ=O千牛.结合以上论点，我们得到了（y′max）- g（y′max）- （U（xK）- E[（y- u -^X-^XK）+]=OK+ ON+ O千牛+ O千牛= OK+ O千牛.靠道具。4，E[（y-u -^X-^XK）+]≥ E[（y-u -^XK）+]我们的效率比量表为RW=1- OK- O千牛. （43）我们现在证明（18）。证明策略分两步进行。首先，我们考虑了一个有K个博弈人的决策博弈，并定义了博弈的纳什均衡（π，…，πK）和决策博弈的纳什均衡之间的差。n我们限定了后者和ymax之间的差异。让我们。

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