养老基金资产负债管理中的综合机会约束

2022-5-7 22:41:43

这些钱（被认为是总财富或总资产）被投资于各种各样的资产。资产配置的方式是在一定程度上保证未来债务的支付。这并不是那么微不足道：资产产生的回报是随机的，未来的收益是不确定的。资产负债管理研究（ALM）为解决这一问题提供了丰富的理论背景。其目标是确定适当的资产分配和缴款率，以保证当前和未来养老金的支付。在养老基金中使用ALM方法有着悠久的传统。起初，它是从确定性方法开始的。根据这些方法，对未来现金流进行了估计并假设其是确定的；这些财富主要分配给被视为无风险的债券。债券的选择方式是，债券的相关收入与每年的养老金支付相对应。这些模型基本上基于免疫接种和现金流匹配；例如，见库普曼[18]和雷丁顿[31]。确定性方法已被证明是无效的，因为不确定性变得越来越难以处理。随机方法，尤其是盈余优化理论，在某种程度上考虑了不确定性问题。这种方法通常基于马科维茨[25]的有效投资组合理论。该领域的文献非常丰富，我们可以引用夏普和丁特[35]以及莱博维茨[22]等。然而，养老金问题是一个长期问题，其期限大约为30年。因此，它的模型应该是动态的。此外，法规通常会施加多种类型的限制。剩余优化方法几乎不考虑这些参数。在实践中，由于模拟方法能够结合上述问题，因此通常使用模拟方法。

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2022-5-7 22:41:46

起初，他们坚持制定一套可行的分配和缴款率，并从某种意义上选择最佳的分配和缴款率。选择基于对未来路径的模拟。由于技术革新，这些方法随着Wilkie[39]和Ahlgrim andal的工作而显著发展。[1] 关于经济情景生成。Moller和Steffeensen[26]提供了不同的工具来评估养老基金负债。近年来，随机规划方法也出现了。由于其复杂性，随机规划通常基于模拟，为ALMs提供了灵活而强大的工具。它的重要性在于它能够在一个共同的框架中整合多种功能。此外，资产和负债都受到许多风险来源的影响，风险规避也得到了调节；该框架的时间跨度很长，分为多个子周期（多阶段）；投资组合可以在每个子周期开始时动态重新平衡；所有这些都整合在一个单一且一致的结构中，同时满足运营或监管限制和政策要求。Carino和al【7】、Consigli和Dempster【9】、Kusy和Ziemba【41】以及Kouwenberg和Zenios【19】将多级随机规划（MSP）模型应用于养老基金的ALM。本文中的ALM模型是一个MSP，在风险、法律、预算、监管和运营约束下，我们最小化了总融资成本。总的资金成本由经常性捐款和补救性捐款组成。定期供款占总工资的一定比例（供款率），而补救供款是雇主（或赞助人）在偿付能力目标出现问题时提供的额外财务支持。

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2022-5-7 22:41:50

更具体地说，WEF关注的是风险约束，这是本研究中的综合机会约束（ICC）类型。作为机会约束（CC）的替代方案，ICC在计算方面有着极大的兴趣；尤其是当定量风险度量更可取时。我们将融资比率定义为总资产与总负债的比率。我们的目标是在每个子周期结束时达到一定的资金比率，这里称为目标资金比率。对于预先确定的目标融资比率，国际商会对预期缺口设定上限，即未达到目标的预期金额。Haneveldand al.[13]和Drijver[11]介绍了ICC在养老基金资产负债管理中的应用。然而，他们的模型中考虑的风险参数既不是无标度的，也不是时间依赖的。我们的模型与Haneveld等人[13]的模型非常接近，其特殊性在于风险参数是总负债的线性函数。然后，它就变得与基金的规模和时间无关。我们定义了两种类型的ICC：单周期综合机会约束（OICC）和多周期综合机会约束（MICC）。顾名思义，OICC只涵盖一个时期，而MICC则考虑了几个时期。为此，我们开发了一个多级随机线性规划，并特别提到了MICC的建模。论文的其余部分组织如下。在第2节中，详细介绍了理论背景、动力学和ALM优化问题。第3节定义了风险契约，并说明了CC如何导致ICC。此外，还介绍了OICC和MICC，并推导了它们的随机线性规划格式。在第4节中，我们从投资股票、房地产、债券、存款和现金的固定收益基金的角度来研究一个数字示例。

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能者818

2022-5-7 22:41:53

所有数值结果均使用数学编程语言AMPL中的解算器CPLEX实现。我们首先分析风险参数对最优决策的影响。本节最后简要比较了两种国际商会。第五部分总结全文。2设置本章介绍ALM模型的动力学及其特定特征。2.1多阶段追索模型在本节中，我们描述了多阶段决策框架的经典架构。这里展示的模型设置主要针对Haneveld和al。[13]。由于我们的目标是战略决策，我们对ALM流程进行了多年建模，每年都会做出一组决策。我们对时间进行了相应的离散化，使模型具有（有限）个一年的时间段。因此，我们假设ALM模型从现在起有一个3年的时间范围，每个时间间隔为1年。由此产生的年份用指数t表示，其中时间t=0是当前时间。t年（t=1，··，t）指的是时间跨度[t]- 1，t）。我们定义：={t，t+1，···，t}。我们假设不确定参数（如资产收益率）可以建模为具有已知分布的随机变量。每次∈ T、养老基金可以根据对参数的实际了解做出决策（对应于年度修正）。在每一年期间，相应随机参数的实现变得已知（例如，该年的资产回报）。

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nandehutu2022

2022-5-7 22:41:56

也就是说，我们模型背后的概念是以下决定和观察序列：decise-observeXωX··ωT-1XT-1ωtw这里xt是时间t的决策变量向量∈ T、向量ωT，T∈ t对养老基金管理的不确定性和风险来源的所有经济事件进行建模，在我们的案例中，这些经济事件是资产回报、随机供款和负债流。时间t被假定为财政年度t的结束。我们假设财政年度与日历年一致。时间t∈ T决策是在充分了解过去[0，t]的情况下做出的，但只有关于未来的概率信息（t，t）。模型中的不确定性通过从t=0到t=t的有限个样本路径来表示，称为情景。也就是说，我们假设随机变量遵循一个离散分布，有S个可能的结果。每个情景代表模型中所有不确定参数的一个可能实现序列。如上所述，ω是随机向量过程LUE在t年显示。然后，所有场景的集合是所有实现的集合ST=0事件t=1事件t=2事件t=3图2.1.1：一个包含40个场景和66个节点的场景树。ωs:=（ωs，··，ωsT），s∈ S:={1，···，S}的ω：=（ω，···，ωT）。场景s的概率为ps，其中ps>0，Pss=1ps=1。它代表了对可能未来的描述，从after=0开始。如果我们假设我们可以在时间t（0<t<t）观察到“世界的状态”，那么（ω，···，ωt）就有一段独特的实现历史-1）导致这种状态，但从t开始的未来可能会以几种方式展开。也就是说，有几个不同的场景，它们在时间t之前有一个共同的历史。

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2022-5-7 22:42:00

场景树给出了一组场景的合适表示（见图2.1.1）。关于图2.1.1，我们将节点定义为给定时间t内随机向量ωtat的可能值∈ T.ωT从T=0到T=3的每条路径代表一种情况；场景树的每个节点都有多个成功者，以便对随时间逐步显示的信息过程进行建模。按照惯例，场景按其结束节点自上而下编号。树中的圆弧表示一个时间段内的实现。我们在此假设，对于特定的决策时间t∈ T、在一个时间段内，从当前节点下降的实现数是相同的。例如，在图2.1.1中，我们有一个为期3年的地平线场景树，包含40个场景。在从时间0到时间1的第一个期间，有五种可能的实现。从这些认识中，我们在第二年有四种可能的结果；它们中的每一个都是一个条件实现，因为它依赖于前面的节点。在第三个阶段，第二个阶段的每个观察都可能导致两种可能的结果。所有这些给出了1的分支结构- 5.- 4.- 2并导致总共出现S=5×4×2=40种可能的情况。多阶段追索权模型是在这样的情景树上定义的优化问题。考虑到以（t，s）为根的子树表示的剩余未来，在给定该点可用信息的情况下，为事件树的每个节点（t，s）做出最优决策。最优性定义为当前成本加上预期未来成本，根据适当的条件分布、Vlerk和al[37]计算。理想情况下，人们希望在每个时间点对每条路径做出不同的决定∈ T、但这会导致模型中出现不受欢迎的预期性。

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可人4

2022-5-7 22:42:03

避免这种情况的最简单方法是通过添加显式约束，在每个时间t为所有路径做出一个单一决策。也就是说，对于任何两种不同的塞纳里奥沙（s，s∈ S和s6=S）在时间t之前具有相同的历史∈ T、我们执行Xst=Xst，其中Xst是场景s下的决策。例如，在图2.1.1的空圆圈中，X=X=·X=X.2.2 Dynamics2。2.1资产在本文中，我们正在考虑一种适用于DB计划的买入持有模型，在该模型中，我们寻求最小化预期融资成本。在这方面，应明确规定资产和负债的动态。在初始时间t=0时，决策者可获得财富和负债的确切水平，决策者必须在每个时期决定如何重新安排其投资组合，以覆盖负债，同时在金融市场上实现高回报。回报率越高，贡献率越低。让我们用时间t表示财富总量∈ T.总财富被分配到d类资产和现金中。让k∈ K:={1，…，d}表示资产分类指数。在每个决策时间t∈ T、具体金额为港币，分配给资产k，现金金额为港币。我们可以写=dXk=1Hk，t+Ct。通过买入和卖出，投资者在每次t时重组其投资组合。一旦作出TTHStage决定，就可以计算持有量Hk，TCA。然后，投资组合中的股票将保持不变，直到下一次决策时。香港的价值受到市场回报的影响。定义ξk，t:=1+rk，其中rk是t年期间k类资产的随机回报率。在t年期间，养老基金向其非活跃成员支付福利，并从活跃成员或/和雇主（也称为发起人）处收取供款。

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2022-5-7 22:42:07

福利金将退休人员养老金、伤残和死亡年金或一次性付款重新组合，而供款由所有在职成员和/或计划赞助人的年度付款组成。如果根据偿付能力目标，该计划似乎没有资金，发起人可能会为该计划提供资金。如Vlerk和al[37]所述，我们将该资金称为补救性捐款。然后，我们假设，当偿付能力目标未完成时，可以从发起人处获得现金补偿。实际上，它并不是这样工作的。例如在Vlerk andal。[37]只有在连续两段时间资金不足后才提供补救措施。我们将在模型描述中看到，参数的设置使得补救贡献变量仅在某些条件下非零。一般来说，对于DB计划，未来的福利和负债取决于公司的政策规定，并且可以进行估计，而年供款则定义为年薪的一定比例。资产配置和出资率根据未来收益和负债水平确定（如瑞士）。Kim[16]提供了关于不同类型养老金计划和特征的丰富信息来源。t年期间，Letbents和WT分别表示支付的福利总额和工资水平。变量CRT是t+1年的确定缴款率。对于收益和现金流变量，指数t意味着付款发生在t年，但现金流在年底入账。因此，总资产动态建模为asAt=dXk=1Hk，t-1ξk，t+Ct-1（1+rf）+crt-1Wt- Bent+Zt=dXk=1Hk，t+Ct（2.2.1）表示t∈ T、式中，Rf是无风险利率，Zt是时间T的补救贡献。

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2022-5-7 22:42:11

在时间t收到补救性捐款之前，总财富定义为*一个人可以写*t=dXk=1Hk，t-1ξk，t+Ct-1（1+rf）+crt-1Wt- 弯曲- Zt。（2.2.2）资产收益率（ξt）Tt=1：=ξ1，t··ξk，t··ξd，tTt=1，养老金支付和工资在过滤概率空间中建模为随机过程Ohm, F、（F）Tt=1，P. 显然，在每个决策时间，Atis都是一个随机变量，其分布一方面取决于ξt、wt和bent，另一方面取决于t之前的资产分配。在特定日期t，可以观察到变量Atis。初始财富由“A”定义，在初始时间t=0时已知。根据（2.2.1），总财富-1时间t- 1分为d类资产和现金。每项资产k都会产生一个收益ξk，在整个周期[t]内- 1，t]。初始财富加上期末累计利息将由外部流动余额增加：供款减去养老金支付。后者可能是积极的，也可能是消极的，这取决于贡献和支付的福利之间的差异。负差额可能是因为公司不再雇佣新员工。这可能是由于各种原因造成的：资金流失、经济困难等。显然，总贡献是有限的-随着总工资的下降，WT将大幅下降，而随着人们离开基金，WT将趋于增加。当t时，总资产不能满足养老基金偿付能力目标时，它可能会获得补救性供款Zt。为了尽可能接近金融市场的现实，必须考虑交易活动的成本。因此，我们将比例交易成本包括在内：=\'\'cB。“”cBk。“‘中央商务区’和“cS:=“cS。\'\'cSk。“cSd分别用于购买和销售。交易成本的纳入将导致资产动态发生一些变化。

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2022-5-7 22:42:15

因此，（2.2.1）被替换为AT=dXk=1HT-1，kξT，k+CT-1（1+rf）+crT-1WT- 弯曲=A*T（2.2.3）在一段时间内[T- 1，T]当T∈ T\\{T}，At=dXk=1Hk，T-1ξk，t+Ct-1（1+rf）+crt-1Wt- Bent+Zt-dXk=1\'cBkBk，t+\'cSkSk，t= ξtHt-1+Ct-1（1+rf）+crt-1Wt- Bent+Zt-“cBBt+”cSSt= A.*t+Zt-“cBBt+”cSSt= e·Ht+Ct（2.2.4），其中e：=1 1 · · · 1是一个（1×d）向量。向量Ht：=H1，t··Hk，t··Hd，t>, 英国电信：=B1，t··Bk，t··Bd，t>和圣路易斯：=S1，t··Sk，t··Sd，t>每个维度（d×1）分别是每个决策时间t的资产持有量、购买量和出售量∈ T.事实上，（2.2.4）是通过在（2.2.1）的第一个等式中减去交易成本得到的。在时间T，不再购买或出售资产：BT=ST=0；投资组合的价值由所有资产价值相加确定，包括上期收益和外部流动。这就是为什么没有交易成本（2.2.3）。读者应该注意到变量crt、Zt、Bt和HTS都是决策变量。我们用“Hk”表示，初始持有资产k，k∈ K和H：=“H·香港·Hd”>是ad×1向量。\'\'Cis初始现金金额。第一阶段的资产配置由H=`H+B决定- 总资产=e·\'H+\'C+Z-“cBB+”cSS=“A+Z”-“cBB+”cSS= e·H+C.代表t≥ 1，Ht=ξtHt-1+Bt- 定义了两个连续决策时间之间持有资产的动态。对于任何给定的（k，t），只要Sk，t>0，Bk，t=0，反之亦然。交易成本也会影响现金动态。购买数量为xk的资产需要xk1+/cBk现金和出售同等数量的资产产生xk1.- “-cSk现金。

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2022-5-7 22:42:18

最初，C=`C+Z-e+/cBB+E- \'cS为t准备的沙子≥ 1，Ct=Ct-1（1+rf）+crt-1Wt- Bent+Zt-e+-cBk英国电信+E- “-cSk我们假设crt-1Wt、Bent和ZT都是现金。2.2.2负债和外部流动当我们考虑DB计划时，总负债是未来预付款的贴现预期值。在给定的时间t，它代表基金在必须关闭时必须偿还的金额。其价值必须根据适当的规则进行估算，考虑到精算风险、养老基金准备金和雇主业务线的其他相关因素。让Lt表示时间t的负债总额。本文考虑的所有定量模型都将应用于大型稳定养老基金的规划问题。然后，我们可以假设该基金在研究期间保持相同的结构和成员数量。因此，在研究期间，负债、供款和福利与精算风险有关是不变的。精算风险将影响基金成员数量的随机事件重新组合。然而，这些变量每年都会随着工资的增长而指数化∈ T、我们有：Lt=Lt-1（1+wt）；Wt=Wt-1（1+wt）和弯曲=弯曲-1（1+κwt）（2.2.5）及其初始值L，在t=0时已知；κ ≥ 0是一个模型参数。在实践中，养老金支付通常以一定的比率进行指数化，该比率是通货膨胀率的函数。为了降低模型的复杂性，我们假设该指数化率是工资增长的一定比例，因为后者与通货膨胀高度正相关。根据上述定义，不确定性由向量表示（1+wt），ξtTt=1，影响资产和负债。在文学作品中经常出现（例如：。

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2022-5-7 22:42:22

Kouwenberg[20]），我们使用向量自回归模型（VAR模型），如下所示：ht=c+Ohmht-1+ TT~ N（0，∑），ht:=ln（1+wt）ln（ξ1t）·ln（ξkt）·ln（ξdt）>,T∈ T（2.2.6）式中，Ht是连续复合速率的{（d+1）×1}向量，c是系数的{（d+1）×1}向量，Ohm 系数的{（d+1）×（d+1）}矩阵，t误差项的{（d+1）×1}向量和∑{（d+1）×（d+1）}协方差矩阵。该模型的参数估计需要时间序列分析。例如，在Kouwenberg[20]中，对总资产收益和1956年至1994年的总体工资增长的年度观察被用于估算VARmodel的系数。由此产生的估计值将用于构建场景树，该场景树构成了多阶段随机程序的工作马。2.3资产负债管理问题融资的总成本是定期（Pcrt）的总和-1Wt）和补救（PZt）在研究期间的贡献。在这项研究中，我们寻找的是总预期资金成本最小化的投资策略、供款率和补救供款。优化是在风险、法律、预算、监管和运营约束下进行的。本节将介绍ALM研究的约束条件和目标。我们用符号Et（x）表示随机变量x相对于自然过滤ftp的条件期望，而P{E}表示事件E的发生概率。在每个决策时间t，优化问题在于最小化以下小节中考虑的约束下的总预期成本。为了简化符号，我们省略了情景指数s.2.3.1风险约束养老基金希望为参与者保证一定数额的养老金。但成员国也依赖养老基金来实际满足他们未来的需求。

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2022-5-7 22:42:27

因此，投资组合的安全性至关重要。这种安全性转化为风险约束。养老基金有长达数十年的长期义务，因此其规划范围也很大。资产负债管理的主要目标是找到可接受的分配，以保证基金在规划期内的偿付能力。一般来说，偿付能力是通过我们在给定时间内确定的融资比率Ft（也称为局部覆盖率）来衡量的，t byFt:=a*tLt。当资金比率小于1时，就会出现资金不足。英国《金融时报》的断言≤ 1相当于表示时间t的盈余，即A*T- 它是阴性的。出现这种情况时，资金短缺可以由基金的发起人或任何其他外部捐款提供。这就是汉诺德和艾尔[13]的补救贡献。取决于随机向量ωt：=（1+wt），ξt, T∈ T、行为可能会随着时间而改变。因此，养老基金会重新平衡其资产组合，并确定其供款率，以控制资金比率。FTI越高，基金越健康。然而，决策者希望尽可能避免分配率的变化。我们将在模型描述中看到，可以设置参数以限制这些变化。养老基金的长期目标包括充分填补长期和短期（一年）限制。本文定义了两种类型的融资比率风险约束。他们的目标是训练资金比率，使其平均大于预先确定的最小γ，γ≥ 0.也就是说，预期的短缺额-1（A）*H- γ（Lh）-, h>t，要求小于时间t时已知的一定量βt-:= 麦克斯{-a、 0}是a的负部分∈ R.此外，为了简化理解，使用表达式“预期短缺”来命名Eh-1（A）*H- γ（Lh）-.

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2022-5-7 22:42:30

这与精算学中γ必须等于1的定义略有不同。单期风险约束（OICC）用ET表示A.*t+1- γLt+1-≤ βt，t∈ T\\{T}。（2.3.1）对于多周期（MICC）方法-1（A）*H- γ（Lh）-≤ βt，h∈ Tt+1和t∈ T\\{T}（2.3.2），其中β和γ是养老基金定义的参数。根据短期方法（2.3.1），在每个决策时间t，下一个时期的预期缺口应小于一定数量的βt。请注意，在时间t，短期风险仅控制A.*t+1- γLt+1-在接下来的一年里。当我们想要在整个剩余期限直至到期期间控制预期短缺时，风险约束（2.3.2）是长期风险（多期）的一个很好的衡量标准。也就是说，在时间t，等式（2.3.2）意味着一个时期的预期短缺额-1（啊- γ（Lh）-应该比任何未来带有h的节点都小∈ Tt+1。方程（2.3.2）可以改写为axh∈Tt+1Eh-1（A）*H- γ（Lh）-≤ βt，t∈ T\\{T}（2.3.3）表示在时间T时，在剩余的成熟期内，最高的一年预期缺口必须小于金额βT。参数β由养老金基金在时间T时定义，是当时可用信息的函数；e、 g.βt:=f（At，Lt）=αAt，0≤ α ≤ 1.读者应该注意，当T=1时，（2.3.1）相当于（2.3.2）。在随机规划中，（2.3.1）和（2.3.2）等约束，即限制预期短缺，被称为综合机会约束（ICC）。它们由Haneveld[17]提出，作为机会约束（CC）的定量替代方案。在第3节中，将更具体地讨论ICC和CC。国际商会在养老基金资产负债管理中的成功应用可以在Drijver[11]和Haneveld及al[13]中找到。

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2022-5-7 22:42:33

作者假设βt:=β在研究期间不变，在他们的数字说明中，ICC仅适用于FIRSTOICC（分别为MICC）代表单期综合机会约束（分别为多期综合机会约束），这将在第3.2节中更明确地定义。阶段在这种情况下，可以证明OICC和MICC是等价的。相反，我们在工作中消除了这种假设。因此，我们定义：βt:=αLt（2.3.4），其中α，0≤ α ≤ 1表示无标度风险参数。到目前为止，我们还不知道MICC（2.3.2）在多阶段框架中的任何实现。OICC比MICC更放松。显然，这两个约束不能同时在同一个模型中实现。此外，本文还有另一个特殊之处：我们分析了多期风险约束，然后衡量它与单期方法相比的保守程度。2.3.2其他约束风险约束很重要，但关于养老基金运营的制度和法律规则也很重要。正如P fl ug和al.[28]所述，制度和法律规则旨在限制可能对退休人员产生不利影响的损失风险。因此，以下限制被整合到模型中。首先，基金不得出售非自有资产。这不是卖空资产约束，可以用HK，t表示≥ 0，Bk，t≥ 0，Sk，t≥ 0代表k∈ K和t∈ T.非卖空约束与CT表示的不借入现金约束相一致≥ 0，t∈ T.其次，基金应在任何时候以最低金额的现金进行处置，以支付死亡抚恤金或养老金等最终索赔。

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2022-5-7 22:42:36

这可以被称为流动性约束，并在我们的模型asCt（1+rf）+Et（crtWt+1）中公式化- 弯曲+1）≥ 0这意味着，平均而言，t时的现金分配CTA应足以覆盖[t，t+1]期间现金流量余额的最终负值。请注意，此处使用的术语liquidityconstraint在另一个上下文中可能有不同的含义，例如在宏观经济框架中的Fonseca和al.[12]。第三，该基金受到立法者施加的投资组合约束，以保持对其风险敞口的最小控制。它包括通过在Hk、t上分别设置上限和下限（UK和LK）来限定资产k的持有量≤ 香港，t≤ ukAt，k∈ K、 t∈ T\\{T}。（2.3.5）例如在瑞士，分配给股票的金额不应超过总财富的五分之一。在这种情况下，lstocks=0，ustocks=0.5at，约束（2.3.5）等于0≤ H斯托克斯，t≤ 0.5At，t∈ T\\{T}。这些界限也适用于现金CTA和我们获得的LCAT≤ 计算机断层扫描≤ ucAt，t∈ T\\{T}。（2.3.6）请注意，在方程式（2.3.5）和（2.3.6）中，上限和下限也可能与时间有关。最后，在一个资产配置问题中，第2节已经定义了动态和预算约束。2.不可撤销。如果不考虑它们，优化程序将是无限的。本小节介绍的约束在任何ALM随机规划实现中都是常见的；如Kusy和al[21]、Carino和al[7]、Dempster和Consigli[9]、Bogentoftand al[6]和Dert[10]等，请参见。OPP2 1984年4月18日，第55-b条，（截至2012年1月1日）2.3.3优化问题ALM模型是一种动态决策优化工具，用于在风险和运营约束下最小化总预期成本。

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2022-5-7 22:42:40

在每一年期开始时作出决定。因此，ALM模型被发展为一个多阶段决策问题，为此，我们需要在每年年初提出一个最优的资产配置、贡献率和补救贡献。此外，惩罚成本被分配给不希望发生的事件：补救贡献和贡献率的年度绝对变化。所有这些成分共同构成目标函数：minH、cr、ZE“T-1Xt=0vt+1（crtWt+1+λzZt+1）+T-2Xt=0vt+1λ铬crtWt+1#（2.3.7）其中crt:=| crt+1- crt |是从t年到t+1年供款率的绝对变化，vt是t年现金流的贴现系数λzandλcare分别是治疗贡献和贡献率绝对变化的惩罚参数。变量crtandcrtarebounded:crl≤ 阴极射线管≤ 克鲁兰铬≤ 阴极射线管≤cr，t∈ 其中crl，crare下限和cru“crt的上界，分别是crt。在研究结束时，最佳决策必须导致资金比率大于某个最小值（有时称为目标资金比率）：T:FT=ATLT≥“F。整个ALM模型，包括目标和约束，见附录1。像（2.3.7）这样的优化程序通常被称为“此时此地”问题。不确定性，以ωt为特征=（1+wt），ξt, T∈ T、通过场景接近。因此，我们用有限数量的可能实现来定义ω：∈ S:={1，…，S}，从t=0到t=t，相对概率为ps。目标（2.3.7）显然是线性的，因为它可以重写为决策变量的线性组合。

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2022-5-7 22:42:43

我们还可以注意到，第2.2节和第2.3节中提出的动力学和约束（风险约束除外，对于随机程序，风险约束必须以线性形式重写）在决策变量中都是线性的。如果风险约束OICC（2.3.1）和MICC（2.3.2）以线性形式编写，ALM问题将是一个随机线性规划（SLP），理论上可由任何SLP软件根据其大小进行求解。在下一节中，我们将展示如何将它们转化为线性。Kall和Mayer[15]、Shapiro和al[34]以及Birge和Louveaux[5]等书为解决此类问题提供了很好的资源。当尺寸较大时，分辨率可能需要神经重建方法。规模大意味着资产类别的数量大或/和时间范围长或/和场景的数量大。决策变量包括Ht、Bt、St、Ct、CRT和Ztfort∈ T但只有第一阶段的值H、B、S、C、crand Zare对决策者至关重要，因为几乎可以肯定，随机数据的真实实现将不同于生成的场景集。随机规划（SP）在ALMs中越来越流行。Zenios和Bertola[40]表示，它的优势在于能够轻松解决各种类型的约束。它植根于Ziemba和al[21]的工作，他们根据向温哥华市储蓄信用社提交的5年期申请证明，SLP在理论上和操作上都优于相应的决定论线性规划（LP）模型。作者已经证明，实施ALM所需的效率及其计算要求与确定性模型相当。从那时起，许多其他作者重新审视了ALMs中的SP，例如Ziembaand Mulvey[41]，Carino and al。

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2022-5-7 22:42:48

[7] ，Aro和Pennanen[3]以及Zenios和Bertola[40]等。根据定义，养老基金风险问题通常是一个短缺问题。在此类模型中，企业风险的相关度量是未达到目标的预期金额（如有），Carino和al。[7]。本文考虑的模型具有一般的DB ALM结构，如Haneveld和al.[13]以及Ziemba和al.[41]中所述。其主要的特殊性在于通过OICC（2.3.1）和MICC（2.3.2）将ICC整合在一起。关于DB基金ALM中的约束（2.3.1）的成功实施，请参见Vlerk和al.[37]以及Haneveld和al.[13]。在他们的工作中，假设参数βt为常数：βt=β，则解决了优化问题。此外，只有在资金比率连续两年低于时，才提供补救性捐款。实现后一个条件导致使用二进制变量。作者提出了这个问题的启发式解决方案。正如我们将在第3.2节中解释的，参数β不是无标度的。对于两个不同的养老基金来说，β的某个值没有同等的意义。对于某个基金来说，它可能太低，而对于另一个基金来说，它可能太高。此外，还应考虑养老基金的实际情况。本文是Haneveld等人[13]的延伸。作为新颖之处，我们假设风险参数βt与时间t有关，并定义为时间t时实际可靠性水平的比例α，见等式（2.3.4）。粗略地说，平均而言，总资产应覆盖一定比例的数量（1- α）随时承担责任。然而，在我们的模型中，在偿付能力受到质疑的任何时候都可以提供补救性贡献，从而避免使用二元变量，间接地避免了启发式的需要。

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2022-5-7 22:42:51

惩罚参数λz惩罚滥用补救性捐款。本研究的主要特点围绕以下几点展开：o与Haneveld和al[13]一样，在分析风险参数β不同值的最佳决策时，我们首先测量风险参数α对决策H、crandZ的影响；这与OICC有关。此外，对于固定值α，还探讨了初始融资比率的影响其次，作为OICC的一个更安全的替代方案，我们提出了MICC（约束（2.3.2）），然后我们测量了它与OICC相比的难度。在约束（2.3.2）中，索引h是一个决策时间索引，我们不知道ALM中有任何此类约束的实现。第一项中考虑的OICC实际上扩展到了多期风险约束，加强了养老基金ALM的长期方面。在本文的其余部分，OICC（分别为MICC）将代表一个时期（分别为多个时期）的ICCitself以及具有OICC（分别为MICC）的ALM模型。3风险约束的框架最重要的约束，当然，涉及养老基金的目标：在任何情况下，对资金比率保持一定的控制。后者在本文中用ICC类型的短路约束表示。由Haneveld[17]提出，ICC的公式化直接源自CC。这就是为什么在本章中，我们首先介绍CC及其对ICC的影响。其次，讨论了ICC，我们展示了约束（2.3.1）和（2.3.2）与IT的关系。

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2022-5-7 22:42:55

最后，我们提出了（2.3.1）和（2.3.2）的简单线性公式。为了清晰起见，我们定义了一般线性函数G:Rd×Ξ→ 使得g（X，ω）：=BX- DWX在哪里∈ X是决策变量的d向量，X Rdi是一个多面体闭集，ω：=（B，D）：Ohm → Rm×Rd×Rmis概率空间上的随机参数(Ohm, F、 P）。ω的支撑被定义为最小闭集Ξ Rm×Rd×Rm具有性质yp（ω）∈ Ξ) = 1. 因为我∈ I:={1，···，m}，向量B的维数为Rm×rdb，例如：=B··Bi··Bm>和Bi∈ RDD：=D··Di··Dm>和迪∈ R.假设在我们的SP模型中，我们假设ω=（B，D）有一定数量的可能实现ωS=（Bs，Ds），S∈ S={1，…，S}具有各自的概率ps.3.1机会约束变化约束（CC）模型可作为SPs中风险和风险规避的建模工具。设0为零的m维向量。满足约束G（X，ω）≥ 0可能会导致高成本或不可行。这个等式指的是一个有限的m不等式系统。相反，如果ω的分布是已知的，我们可以给出G（X，ω）的概率≥ 0非常高，即接近1。isP{G（X，ω）≥ 0} ≥ 1.- （3.1.1）其中固定参数（1- ) ∈ [0,1]被称为概率水平，由决策者选择，以模拟安全要求。等式（3.1.1）是机会（概率）约束的一般形式，可被视为与实施约束G（X，ω）要求的折衷≥ 所有值ω均为0∈ 不确定数据矩阵的Ξ。当m=1时，G（X，ω）：=G（X，ω）是一个标量，方程（3.1.1）导至顶部{G（X，ω）≥ 0} ≥ 1.- （3.1.2）带g:Rd×Ξ→ R.方程式（3.1.2）称为单个CC。

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2022-5-7 22:42:59

对于m>1，我们得到p{gi（X，ω）≥ 0，我∈ 我}≥ 1.- , （3.1.3）称为联合CC。查恩斯和艾尔[8]在生产计划中提到了机会受限的项目。从那时起，它们得到了广泛的研究，并被应用于许多其他领域，如电信、金融、化工和水资源管理。尽管取得了重要的理论进展和实践意义，但CCs的数值处理可能存在重大问题，见艾哈迈德和夏皮罗[2]和涅米罗夫斯基和夏皮罗[27]。特别是当ω具有离散分布时，Raike[30]引入了CC的混合整数格式。假设m=1，等式（3.1.2）等价于toSXs=1ps·1（g（X，ωs）≥0(s)≥ 1.- 式中1（g（X，ωs）≥如果g（X，ωs），则0（s）=1≥ 否则为0和0。现在，我们可以在混合整数规划（MIP）公式中编写不等式（3.1.2）。我们引入二元变量δs，s∈ 它们起到指示函数的作用：在场景S中，如果g（X，ωS）<0，则δS=1，否则等于0。根据这些额外的决策变量，CC可以写成线性等式GS（X，ωs）+δsM≥ 0，s∈ S、（3.1.4）SXs=1psδS≤ , s∈ S、（3.1.5）x∈ 十、 δs∈ {0,1}，s∈ S、（3.1.6）其中M是一个足够大的数字。如果δs=0，则约束g（X，ωs）≥ 与示例中的实现s相对应的0被强制执行。另一方面，如果δs=1，则任何候选解都满足约束。这些二元变量的概率加权平均值等于不满足条件g（X，ωs）的风险≤ 0和决策X，这最多应该是.该公式在SP中广为人知，Dert首次将其应用于养老基金的资产负债管理[10]。它也适用于m>1的联合CC情况。

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能者818

2022-5-7 22:43:03

实际上，{gi（X，ω）≥ 0，我∈ I}等价于mini∈I{gi（X，ω）}≥ 也可以写成线性不等式gsi（X，ωs）+δsiM≥ 0，我∈ 我，s∈ S、（3.1.7）s≥ δsi，i∈ 我，s∈ S、（3.1.8）SXs=1pss≤ , s∈ S、（3.1.9）x∈ 十、s、 δsi∈ {0,1}，我∈ 我，s∈ S.（3.1.10）即使有这些线性设置（3.1.4）- （3.1.6）和（3.1.7）- （3.1.10），通过合理数量的场景实现该约束可能在计算上具有挑战性，因为可行集明显不是线性的，也不是凸的。这是由于在每个场景中引入至少一个二进制变量，导致MIP的复杂性增加。Kall和Mayer[15]、Luedtke[23]、Luedtke和al[24]、Tanner和Ntaimo[36]、Prekopa和al[29]以及Ruszczynski[33]的第4章中提出了有效的求解算法。请注意，如上所述，CC只考虑风险的定性方面，即只关注被积方是否满意。更好的方法是控制失败的数量方面，即Gs负值的大小。对于养老金基金来说，情况往往是这样的，在这些基金中，赞助者希望大致了解他们在接下来的时间里愿意贡献多少。由于Haneveld[17]的思想，删除了二进制文件δ，并提出了积分机会约束。3.2综合机会约束由于（3.1.10）中的完整性条件，MIP约束（3.1.7）至（3.1.10）很难实现。对于涉及二进制（或一般整数）决策变量的问题，一种自然的方法可以放松完整性并解决由此产生的放松，参见Vlerk和al。[37]。如果我们放松积分约束，替换ys:=δsM和β：=αM，我们就得到了bsx+ys≥ Ds，s∈ S（3.2.1）SXs=1psys≤ β、（3.2.2）ys≥ 0，s∈ S（3.2.3）X∈ X，（3.2.4），其中参数β为非负。

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2022-5-7 22:43:06

根据（3.2.1），对于每个s，非负变量不小于短缺（Bsx- Ds）-, 其中（a）-:= 麦克斯{-a、 0}是a的负部分∈ 因此，R.Theinequality（3.2.2）为预期短缺量设定了一个上限β。即系统（3.2.1）- （3.2.4）等于前束角（BX- D）-=SXs=1ps（BsX- Ds）-≤ β. （3.2.5）这种约束称为综合机会约束（ICC），由Haneveld[17]引入，作为CC的替代方案。然而，Haneveld and al.[13]、Vlerk and al.[37]和Drijver[11]已经将其应用于养老基金的资产负债管理，自那时起，它已在实践中实施。通过定义，可行集由线性不等式定义（3.2.1）- （3.2.4）是一个多面体（凸），因为它只包含连续的决策变量，参见Haneveld和Vlerk[14]。因此，通常可以使用适当的软件有效地解决这个问题。限制条件（3.2.1）- （3.2.4）从算法的角度来看非常有吸引力。Haneveld和Vlerk[14]针对大型问题提出了一种更快的算法。从不同的角度来看，ICC是CC的一个很好的替代方案：o首先，CC只测量短缺的概率，而ICC使用概率分布来测量短缺的预期程度。我们可以说，ICC同时考虑了短缺的数量和质量方面，而CC只考虑了质量方面。CC表示，只有在资金是否不足的情况下，尤其是在实践中，才有必要限制赞助者在几年后愿意提供的补救捐款金额其次，ICC和CC分别对所谓的条件风险价值（CVaR）和风险价值（VaR）进行了调整。与被称为相干的CVaR（Rockafellar和Uryasev[32]）相反，众所周知，VaR不是一个相干的风险度量，因为它不满足次可加性条件。

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nandehutu2022

2022-5-7 22:43:10

因此，ICC比CC更具吸引力。要了解有关一致性风险度量的更多信息，请参见Artzner和al.[4]。o我们还应该补充一点，如果风险规避参数发生变化，ICC情况下的可行区域会平稳变化，而CC、Drijver[11]情况下的可行区域会粗略变化最后，我们应该承认 CCs是无标度的，与养老基金经理更熟悉的风险概念相对应。国际刑事法院的情况并非如此。我们解决这个问题的办法是将β设为负债的一个比例α。从现在起，在不失去普遍性的情况下，我们假设m>1。因此，方程式（3.2.5）可以写成：（比克斯）- Di）-, 我∈ 我≤ β是ICC的联合形式，参见Haneveld和Vlerk[14]。当指数i是一个决策阶段指数X且在阶段i有条件期望时，我们得到一个多级规划，变量X变为阶段相关（Xi）。也就是说，在第j阶段∈ I\\{m}:Ei（Bi+1Xi）- Di+1）-≤ βj，i∈ {j，j+1，··，m- 1} （3.2.6）相当于I=Tand Bh+1Xh的MICC（2.3.2）- Dh+1=Ah+1- γLh+1。在timet，那就是：呃A.*h+1- γ-Lh+1-≤ βt，h∈ Tt\\{T}。（3.2.7）然后在时间t设置参数βt，并将一直适用到t。在每个阶段做出决策时，MICC不等式（2.3.2）显示了从t=0到t=t的一系列不等式（3.2.7）- 1.类似地，当m=1时，可以证明等式（3.2.5）导致OICC（2.3.1）。3.3 OICC和MICC：情景树解释第2.1节简要解释了我们的情景树模型。我们记得，节点（t，s）在决策时间t对应于某个场景s。为了避免预期性，我们必须考虑许多节点（t，s）可能在图形上对应于场景树图片上的同一事物。例如，在图2.1.1中，节点（1,1）、（1,2）、（1,8）以图形方式对应于空的红色圆。

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2022-5-7 22:43:13

在每个节点（t，s），基金经理必须重新平衡资产组合并确定出资率。这些决策是在考虑实际情况、未来可能的路径以及风险约束的情况下做出的。3.3.1 OICCIn原则，考虑到某个节点（t，s），OICC约束（2.3.1）将按如下方式实现：Et，sA.*st+1- γLst+1-:=Xs∈Spst，sA.*st+1- γLst+1-≤ αLst（3.3.1），其中pst，sst代表到达节点的条件概率t+1，s从（t，s）和PST开始，对于任何情况，s=0，sof t+1不从（t，s）下降。正如Vlerk和al[37]中所述，我们在多级追索模型的每个子问题（t，s）中都包含了线性不等式（3.3.1）。在（t，s）处，他们反映了短期风险约束，指出下一个时期（t+1）的预期资金短缺最多为αLst。换句话说，平均而言，养老基金应该能够覆盖这个比例（1- α）它的全部责任。随着α的增加，优化问题将变得越来越松弛。3.3.2考虑到节点（t，s），MICC约束可以用以下方式表示：-1，s（A）*嘘- γ（Lsh）-≤ αLst，h∈ Tt+1和t∈ T\\{T}（3.3.2）与eh-1，s（A）*嘘- γ（Lsh）-=Xs∈嘘-1.sA.*嘘- γ-Lsh-.在（3.3.2）项下，在每个节点（t，s）处，做出决策，以使下降节点的一个周期预期冲击球小于αLst（在当前节点定义）。这种限制允许在整个剩余期间内对覆盖率进行一定的控制：[t+1，t]；而（3.3.1）只覆盖一个周期：[t，t+1]。例如，在初始时间t=0时，定义了最小成本，使得树中任何节点（作为初始节点的后代）的预期短缺小于Haneveld和al中的β=αLSA。

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