几乎可以肯定的是，对冲会带来永久性的价格影响

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收藏 2022-05-07

英文标题：
《Almost-sure hedging with permanent price impact》
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作者：
B. Bouchard and G. Loeper and Y. Zou
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
We consider a financial model with permanent price impact. Continuous time trading dynamics are derived as the limit of discrete rebalancing policies. We then study the problem of super-hedging a European option. Our main result is the derivation of a quasi-linear pricing equation. It holds in the sense of viscosity solutions. When it admits a smooth solution, it provides a perfect hedging strategy.
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中文摘要：
我们考虑一个具有永久价格影响的财务模型。连续时间交易动态是作为离散再平衡政策的限制而导出的。然后研究了欧式期权的超套期保值问题。我们的主要结果是推导了一个准线性定价方程。它在粘度溶液的意义上成立。当它允许一个平滑的解决方案时，它提供了一个完美的对冲策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure 交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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Almost-sure_hedging_with_permanent_price_impact.pdf
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大多数88

2022-5-7 22:49:54

几乎可以肯定的是，用永久价格B进行套期保值。布查德*和G.Loeper+和Y.Zou2018年10月17日摘要我们考虑具有永久价格影响的金融模型。连续时间交易动态是作为离散再平衡政策的限制而导出的。然后研究了超套期保值的欧式期权问题。我们的主要结果是推导了一个拟线性的定价方程。它在粘度溶液的意义上成立。当它提供一个平滑的解决方案时，它提供了一个完美的对冲策略。关键词：套期保值，价格影响。AMS 2010科目分类：91B28；93E20；49L20简介Black和Scholes期权套期保值方法的两个基本假设是，价格动态不受套期保值者行为的影响，并且套期保值者可以以价格过程的瞬时价值交易不受限制的资产金额。换句话说，它依赖于缺乏市场影响和流动性成本或流动性约束。这项工作解决了价格动态模型下的期权套期保值问题，该模型直接包含套期保值者的交易活动，因此违反了这两个假设。*Ceremed、巴黎多芬大学和CREST-ENSAE。ANR Liquirisk和Avenir投资公司（ANR-11-IDEX-0003/Labex Ecodec/ANR11-LABX-0047）支持的研究+法国巴黎银行（BNP Paribas）和FiQuant——金融量化委员会主席（Ceremed、巴黎多芬大学（UniversitéParis Dauphine）和CREST-ENSAE）。在文献中，我们发现了许多与该主题相关的研究。其中一些包含流动性成本，但没有价格影响，价格曲线不受交易策略的影响。在[6]的设置中，这不会影响超级混合价格，因为交易基本上可以在曲线起点的边际现货价格以有界变化的方式进行。

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mingdashike22

2022-5-7 22:49:57

然而，如果对可接受的策略施加额外的限制，这将导致一个修正的定价方程，该方程在解的二阶导数中显示一个二次项，并使定价方程完全非线性，甚至不是无条件的抛物线，见[7]和[20]。文献的另一个分支侧重于通过清算条件推导价格动态。在论文[9]、[16]、[15]中，作者研究了“参考”和“计划”交易者（即期权套期保值者）产生的供求曲线，以建立修正的价格动态，但不考虑流动性成本，另见[12]。这种方法也适用于非线性偏微分方程，但非线性来自修改的波动性过程，而不是流动性成本源项。最后，该系列论文[17]、[19]、[14]通过对可接受交易策略的“伽马”施加限制，间接地解决了流动性问题，没有明确建模流动性成本或价格影响。最近，[13]和[1]考虑了一种新方法，其中价格动态由经典维纳过程和（局部）线性市场影响项之和驱动。线性市场影响机制导致了一个修正的波动过程，以及一个非平凡的平均执行价格。

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kedemingshi

2022-5-7 22:50:00

然而，交易人在股票中以正确的头寸开始套期保值，而不必解除最终头寸（这相当于交割的“备兑”期权）。这些综合效应导致完全非线性的pde，给出准确的复制策略，这并不总是抛物线，取决于瞬时市场影响（流动性成本）和永久市场影响之间的比率b。在本文中，我们建立在与[13]相同的框架上，在这种情况下，内在的市场影响等于永久性影响（无放松效应），并进一步考虑（可能）在到期时解除投资组合的影响，以及建立初始投资组合的影响。因此，在建立对冲投资组合时，现货在初始时间“跳跃”，在解除赎回时，现货在到期时“跳跃”（取决于支付的性质，也可以在股票中进行交割）。在这个框架中，我们发现最优的超级复制策略遵循一种改进的准线性Black和Scholes pde。尽管und Erling模型与第二作者[13]提出的模型相似，但定价pde在本质上是不同的（准线性与完全非线性）。关于数学方法，虽然在[13]中，作者着重于通过验证方法展示精确的复制策略，但在这项工作中，我们遵循随机目标方法，并从动态规划原理推导pde。困难在于，由于市场影响机制，状态过程必须由资产价格和套期保值者的投资组合（即套期保值者扣留的风险资产的数量）来描述，这导致了高度奇异的控制问题。

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可人4

2022-5-7 22:50:04

通过适当的变量变化，将风险资产的初始头寸降为零，并根据组合清算后的资产价格过程陈述几何动态规划原理的一个版本：如果交易者立即清算其头寸，将获得的价格。论文的结构如下。在第1节中，我们介绍了影响规则，并推导了连续时间交易动态作为离散时间再平衡政策的限制。超级套期保值问题在第二节被设定为一个随机目标问题。我们首先证明了几何动态规划的一个合适版本，然后推导出粘性解意义下的相应pde。唯一性和正则性是在适当的假设下建立的。最后，我们进一步讨论了持续影响系数的情况，以便更好地理解“对冲策略”。一般符号。给定一个函数φ，我们用φ′和φ′表示其一阶和二阶导数（如果存在）。当φ依赖于几个参数时，我们使用符号xφ，xxφ表示关于x参数的一阶和二阶偏导数，并写xyφ表示（x，y）-参数中的交叉二阶导数。报纸上到处都是，Ohm 是R+上从0开始的连续函数的正则空间，P是维纳测度，W是正则过程，F=（Ft）t≥0是其增强的原过滤。所有随机变量均定义在(Ohm, F∞, P）。L（resp.L）表示（resp.square integrable）Rn值随机变量的空间，而Lλ（resp.Lλ）表示可预测Rn值过程的集合（resp.使得kθkLλ：=E[R∞|θs |ds]）。

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大多数88

2022-5-7 22:50:07

整数n≥ 1由上下文给出，|x |表示x的欧几里德范数∈ 注册护士。给定一个随机过程ξ，我们总是用ξ表示连续部分。1投资组合和价格动态本节致力于推导我们的连续时间交易模型。我们首先考虑的情况是，交易信号由连续的It过程给出，股票头寸在离散时间内重新平衡。在这种情况下，股票价格和财富过程的动力学是根据Ourict规则给出的。第一个连续时间交易动态是通过让两个连续交易之间的时间消失而获得的。然后，我们将跳跃作为短期内持续交易的极限。我们这里只限于一个股票市场。这只是为了简单起见，向多维市场的扩展只是一个符号问题。1.1影响规则我们通过影响函数F对策略对价格过程的影响进行建模：购买（最小）数量δ的价格变化du∈ 如果交易前资产价格为x，则股票的R为δf（x）。购买额外δ单元的成本由δx+δf（x）=δZδδ（x+f（x）ι）dι给出，其中δδ（x+f（x）ι）dι应解释为每个额外单元的平均成本。两次交易之间τ≤ τ、股票的动力学由随机微分方程dxt=u（Xt）dt+σ（Xt）dWt的强解给出。在这篇论文中，我们假设∈ Cband（严格地）为正，（u，σ，σ-1）是Lipschitz和有界的。（H1）备注1.1。a、我们在这里限制一个影响规则，它在订单的大小上是线性的。但是，请注意，在下文中，它将仅适用于最小尺寸的订单（在限制范围内）。

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大多数88

2022-5-7 22:50:12

因此，通过考虑更一般的冲击规则δ7，可以获得下面的s am最终动态（1.22）-（1.23）→ F（x，δ）当满足F（x，0）=ΔδF（x，0）=0和δF（x，0）=F（x）。见下文备注1.2。否则，对于我们的分析，我们只需要考虑冲击函数的值和斜率δ=0。b、这种函数的一个典型例子是F=x在哪里x（x，δ）：=x（x，δ）- x，（1.1），其中x（x，·）定义为x（x，·）=x+Z·f（x（x，s））ds的解。（1.2）曲线x具有自然解释。对于小尺寸的订单ι、股票价格从x跳到x+ιf（x） x（x，ι). 通过另一个订单ι使其再次移动到大约x（x（x，ι), ι） =x（x，2）ι）等传递给lim itι → 0，但保持总交易规模等于δ提供了渐进的价格变动等于x（x，δ）。该特定曲线将在我们的分析中发挥核心作用，参见第1.3.1.2节从连续信号到连续时间交易限制的离散再平衡我们首先考虑的情况是，交易员希望持有的股票数量是由形式Y=Y+Z·bsds+Z·asdWs的连续It过程Y给出的，（1.3）式中（a，b）∈ A:=∪Ak，Ak:={（a，b）∈ Lλ：|（a，b）|≤ kdt×dP- a、 e.}表示k>0。为了推导我们的连续时间交易动力学，我们考虑时间网格上相应的离散时间再平衡策略集Tni:=iT/n，i=0，n、 n≥ 1，然后传递到极限n→ ∞.如果交易者只在离散时间tni改变其投资组合的组成，那么他在每个时间间隔[tni，tni+1]持有Ytnistock。

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大多数88

2022-5-7 22:50:15

除此之外，在t≤ T isYnt:=n-1Xi=0Ytni{tni≤t<tni+1}+YT{t=t}（1.4），购买的股份数为δnt:=nXi=1{t=tni}（Ytni）- 伊特尼-1).根据我们的影响规则，股票价格过程的相应动力学为xn=X+Z·|u（Xns）ds+Z·∑（Xns）dWs+nXi=1[tni，T]δntnif（Xntni-), （1.5）其中Xis是常数。为了描述投资组合过程，我们提供了与股票头寸相关的现金持有量和潜在金额YnXn之和的动态：Vn=现金头寸+YnXn。（1.6）注意，这不是投资组合的清算价值，Yn=0时除外，因为Ynstocks的清算将对市场产生影响，不会产生等于YnXn的收益。然而，如果我们记住Yn，这对夫妇（Vn，Yn）给出了投资组合中现金和股票的确切组成。通过对语言的轻微滥用，我们称之为投资组合价值或财富过程。假设无风险利率为零（为了便于标注），其动力学由Vn=V+Z·Yns给出-dXns+nXi=1[tni，T]（δntni）f（Xntni）-), （1.7）或等效YVn=V+nXi=1[tni-1，T]Ytni-1（Xn·∧tni-- Xntni-1） +nXi=1[tni，T]（δntni）f（Xntni）-) + 伊特尼-1δntnif（Xntni-), （1.8）其中V∈ R.让我们来评论一下这个公式。右边的第一项对应于严格在两次交易之间的投资组合价值演变；它由持有的股份数量乘以价格增量得出。当tni发生规模为δNTNIO的交易时，购买股票的成本为2-1（δntni）f（Xntni）-) + δNtinxNtni-但除了YNTNI之外，它还提供了更多的股票-= 伊特尼-1已在投资组合中的单位。在交易产生价格变动后，这些股票在Xntni进行评估。

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能者818

2022-5-7 22:50:20

du值随价格移动而增加，因此附加位置为δntniXntni+Yntni-（Xntni）- Xntni-).自Xntni以来- Xntni-= δntnif（Xntni-), 我们得到了（1.8），其紧凑版本如（1.7）所示。我们的连续时间交易动态是通过传递给limitn获得的→ ∞, i、 e.考虑越来越快的再平衡战略。提议1.1。设Z:=（X，Y，V），其中Y定义为（1.3）f或一些（a，b）∈ A、和（X，V）solvesX=X+Z·σ（Xs）dWs+Z·f（Xs）dYs+Z·（u（Xs）+as（σf′（Xs））ds（1.9）和V=V+Z·YsdXs+Z·asf（Xs）ds。（1.10）将Zn:=（Xn，Yn，Vn）定义为（1.5）-（1.4）-（1.7）。然后，存在一个常数C>0，这样的常数sup[0，T]E|锌- Z|≤ Cn-1对于所有n≥ 1.证据。这遵循标准论点，我们只提供主要观点。在这个证明中，我们用C表示一个不依赖于n或i的一般正常数≤ n、而且可能会随着生产线的变化而变化。在dt×dP-a.e.意义上，我们将重复使用（H1）和a和b被某个常数k所限定的事实。a、这个过程的收敛是明显的：sup[0，T]E|伊恩- Y|≤ Cn-1.（1.11）为了以后使用，设置Xn:=X-Xnand还观察到es timatesup[tni-1.tni）E|Xn|≤ 嗯|Xntni-1 | i（1+Cn）-1） +Cn-1、（1.12）是标准。

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mingdashike22

2022-5-7 22:50:23

现在，我们设置Xnt:=Xnt+Ant+Bnt，tni-1.≤ T≤ tni，地点：=Zttni-1f（Xns）dYs+Zttni-1as（σf′）（Xns）dsBnt:=Zttni-1（Y）- 伊特尼-1）（uf′+σf′）（Xns）ds+Zttni-1（Y）- 伊特尼-1）（σf′）（Xns）dWs。因为Antni+Bntni=δntnif（Xntni-), 我们有Xntni=Xntni。设置~Xn:=X-~Xn，β：=bf+aσf′和β：=af，所以|~Xnt |=2~Xnt[（u+βt）（Xt）- （u+βt）（Xnt）]dt+[（σ+βt）（Xt）- （σ+βt）（Xnt）- （Yt）- 伊特尼-1）（σf′（Xnt）]dt- 2.~Xnt（Yt）- 伊特尼-1）（uf′+σf′）（Xnt）dt+2~Xnt[（σ+βt）（Xt）- （σ+βt）（Xnt）]dWt- 2.~Xnt（Yt）- 伊特尼-1）（σf′）（Xnt）dWt。鉴于（1.11）-（1.12），这意味着|~Xnt | i≤ 嗯|Xntni-1 | i+CE“Zttni-1(|~Xns |+|Xs- Xns |+| Ys- 伊特尼-1 |）ds#≤ 嗯|Xntni-1 | i（1+Cn）-1） +CE“Zttni-1|~Xns | ds+n-2#，因此-1.tni]Eh|~Xn | i≤ 嗯|Xntni-1 | i（1+Cn）-1） +Cn-2，（1.13）由Gronwall引理。因为Xntni=Xntni，这表明|Xntni | i≤ Cn-1就我所知≤ n、把这个不等式代入（1.12），然后我们推导出sup[tni-1.tni]E|Xn|≤ Cn-1就我所知≤ n、（1.14）b.我们现在考虑差异V-越南。由（1.8）可知Vntni=Vntni-1+Ztnitni-1Ytni-1u（Xns）ds+Ztnitni-1Ytni-1σ（Xns）dWs+Ztnitni-1.asf（Xns）+Ytni-1as（f′σ）（Xns）ds+Ztnini-1Ytni-1f（Xns）dYs+Ztnitni-1α1nsds+Ztnitni-1α2nsdws，其中，通过（1.11），α1和α2是满足sup[tni]的自适应过程-1，tni）E[|α1n |+|α2n |]≤ Cn-1.鉴于（1.11）-（1.14），这导致Vntni=Vntni-1+Vtni- Vtni-1+Ztnitni-1γ1nsds+Ztnitni-1γ2nsdWs（1.15），其中γ1和γ2是符合SUP[tni]要求的适配工艺-1，tni）E[|γ1n |+|γ2n |]≤ Cn-1.

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何人来此

2022-5-7 22:50:27

（1.16）设置)Vnt:=Vntni-1+Vt- Vtni-1+Zttni-1γ1nsds+Zttni-1.2nsdWs，tni-1.≤ T≤ 特尼。然后，通过将它的引理应用于| |Vnt-Vt |，利用（1.16）和Gronwall引理，我们得到了sup[tni-1，tni]Eh | | Vn- V|i≤ 呃| Vntni-1.-Vtni-1 | i（1+Cn）-1） +Cn-2，因此，通过恒等式Vntni=Vntni和一个归纳式，呃| Vntni- Vtni |i≤ Cn-1.我≤ n、我们通过观察得出结论|Vnt- Vt|≤ 切赫| Vntni-1.- Vtni-1 |+|Vntni-1.- Vnt |+| Vtni-1.-Vt|i≤ C呃| Vntni-1.- Vtni-1 | i+n-1.,为了tni-1.≤ t<tni。备注1.2。如果冲击函数δf（x）被更一般的形式f（x，δ）的Cb函数代替，则f（x，0）=ΔδF（x，0）=0，在上述证明中进行的计算只会导致δF（X，0）dY和aσ（X）用xδF（x，0）代替动力学（1.9）中的F（x）dY和a（σF′）（x）。类似地，termaf（X）将被δF（X，0）in（1.10）。1.3跳跃和大阶分裂我们现在解释如何将跳跃纳入我们的动力学。设uk表示随机{0，··，k}值测度的集合，由[-k、 k]×[0，T]与t7的感觉相适应→ ν（A×[0，t]）适用于A的所有Borel子集[-k、 k]。我们塞图：=∪K≥0Uk。请注意，U的元素ν可以写成形式ν（A，[0，t]）=kXj=1{（δj，τj）∈A×[0，t]}（1.17），其中0≤ τ<··<τk≤ T是停止时间，每个δjis是τj-随机变量的实值。然后，给定（a，b，ν）∈ A×U，我们定义了交易信号asY=Y0-+Z·bsds+Z·asdWs+Z·ZΔν（dδ，ds），（1.18），其中Y0-∈ R.鉴于前面的部分，我们假设当Y没有跳跃时，股票价格和投资组合价值过程的动力学由（1.9）-（1.10）给出。通过假设交易者遵循在小时间间隔内将大订单拆分为小部分的自然想法，公司会跳起来。这是目前的做法，旨在避免产生太大的影响，并支付太高的流动性成本。

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nandehutu2022

2022-5-7 22:50:31

考虑到上一节已经推导出的渐近解，我们可以将其简化为在[τj，τj+ε]上以恒定速率δj/ε连续进行的情况，对于某些ε>0。我们用（X0）表示-, V0-) 初始价格和投资组合价值。然后，投资组合中与战略相关的股票数量（a，b，ν）∈ 由Yε=Y+kXj=1[τj，T]-δj+ε-1δj(·∧ （τj+ε）- τj）, （1.19）以及相应的股票价格和投资组合价值动态areXε=X0-+Z·σ（Xεs）dWs+Z·f（Xεs）dYεs+Z·（u（Xεs）+as（σf′（Xεs））ds（1.20）Vε=V0-+Z·YεsdXεs+Z·asf（Xεs）ds。（1.21）当通过极限ε→ 0，我们得到了Zε：=（Xε，Yε，Vε）到Z=（X，Y，V）的收敛性，其中（X，V）定义在（1.22）-（1.23）中。在下文中，我们仅陈述了终值的收敛性，请参见更完整描述的证明。它使用了上文（1.2）中定义的曲线x，也包括（1.1）。提议1.2。给定（a，b，ν）∈ A×U，设Z=（X，Y，V）由（1.18）和X=X0定义-+Z·∑（Xs）dWs+Z·f（Xs）dYcs+Z·（u（Xs）+as（σf′（Xs））ds+Z·Zx（Xs）-, δ） ν（dδ，ds）（1.22）V=V0-+Z·YsdXcs+Z·asf（Xs）ds+Z·Z（Ys）-x（Xs）-, δ） +I（Xs）-, δ）其中i（x，z）：=Zzsf（x（x，s））ds，对于x，z∈ R.（1.24）设置Zε：=（Xε，Vε，Yε）。然后，存在一个常数C>0，即E|ZεT+ε- ZT|≤ C（ε+P[supt≤Tν（R[T，T+ε]）≥ 2] ），对于所有ε∈ (0, 1). 此外，limε→0P[支持]≤Tν（R[T，T+ε]）≥ 2] = 0.证据在所有这些证明中，我们用C表示一个通用的正常数，它不依赖于ε，并且可能在每一行之间变化。在这里，我们将再次讨论（H1）和a和b被某个常数k所限定的事实，在dt×dP-a.e.意义上。对于某些k，设ν的形式为（1.17）≥ 注意，最后一个声明简单地遵循了{τj+1- τj≥ ε} ↑ Ohm 对于所有j≤ k、第一步。我们首先考虑τj+1的情况≥ 所有j的τj+ε≥ 1.

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mingdashike22

2022-5-7 22:50:34

同样，对| ZεT+ε的估计-ZT |遵循简单的观察和标准估计，我们只强调主要观点。我们将证明这一点≤ J≤ k+1E“sup[τj-1+ε，τj）|Z- Zε|+sup0≤s≤εE[|Zτj+s- Zετj+ε|#≤ Cε，（1.25），其中我们使用约定τ=0和τk+1=T。（Yε，Y）的结果是微不足道的，因为它们在每个区间[τj]上相等-1+ε，τj）和（a，b）是有界的。a、我们首先证明了（Xε，X）的一个更强的结果。修正p∈ {2, 4}. 设xε为普通微分方程xεt=xτj的解-+Ztδjεf（xεs）ds。设置Xε：=Xε- xε·-τj.它的引理引导tod(Xεt）p=p(Xεt）p-1α1，εtdt+p（p- 1)(Xεt）p-2（α2，εt）dt+p(Xεt）p-1α2，εtdWt+pδjε(Xεt）p-1（f（Xεt）- f（xεt）-τj）dton[τj，τj+ε]，其中α1，ε和α2，ε是有界过程。不平等-1.≤xp-2+xp，f和Gronwall引理的Lipschitz连续性，然后implysup0≤T≤εEh | Xετj+t- xεt | pi≤ 总工程师|Xετj-- Xτj-|p+Zε| Xετj+s- xεs | p-2ds.我们现在使用变量的简单变化来获得xεε=x（xτj-, δj）=Xτj，其中X在（1.2）中定义，而≤T≤εE|Xτj+t-Xτj | p≤ Cεp.由于X和Xε在[τj+ε，τj+1]上具有相同的动力学，这表明e“sup[τj+ε，τj+1）|Xt- Xεt | p#≤ CEh | Xτj+ε- Xετj+ε| pi≤ CEh | xε- Xετj+ε| p+| Xτj+ε- Xτj | pi≤ 总工程师|Xετj-- Xτj-|p+Zε| Xετj+s- xεs | p-2ds+εp.对于p=2，这提供了“sup[τj-1+ε，τj）|X- Xε| p+sup0≤s≤εE[|Xτj+s-Xετj+ε| p#≤ Cεp，通过对j的归纳，情况p=4如下。为了以后使用，请注意estimatesup0≤T≤εEh | Xετj+t- xεt|i≤ Cε（1.26）是我们分析的结果。b、关于V的估计- Vε也得到了类似的证明。我们引入Vεt:=Vτj-+Ztδjεsf（xεs）ds+Yτj-Ztδjεf（xεs）ds=Vτj-+ZtYεsδjεf（xεs）ds，并使用（1.26）：Eh | Vετj+t获得第一个估计- vεt|i≤ CE“|Vετj-- Vτj-|+ ε +Zεε-1Yετj+sδj | Xετj+s- xεs | ds#≤ CEh | Vετj-- Vτj-|+ εi，对于0≤ T≤ ε.

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mingdashike22

2022-5-7 22:50:39

然后，我们观察到Vε=Vτj-+ I（Xτj）-, δj）+Yτj-x（xτj）-, δj）=Vτj，而uP0≤T≤εE|Vτj+t- Vτj|≤ Cε。通过使用X上的估计-在a中得到的Xε，我们随后证明e“sup[τj+ε，τj+1）|Vt- Vεt|#≤ CEh | Vτj+ε- Vετj+ε|+εi，并通过对j的归纳得出结论。步骤2。我们现在考虑一般情况。我们定义τεj+1=（ε+τεj）∨ τj+1，Δεj+1=Z（τεj，τεj+1]Δν（dδ，dt），j≥ 其中（τε，Δε）=（τ，δ）。关于Eε：={minj≤K-1（τj+1）- τj）≥ ε} ，（τεj，Δεj）j≥1=（τj，δj）j≥1.因此，从步骤1开始。那是|ZεT+ε- ZT|≤ Cε+CEh | | ZεT+ε|+| ZT | iP[Ecε]，其中Zε代表与（τεj，Δεj）j相关的动力学≥1.现在根据标准估计值（~ZεT+ε）0<ε≤1和Z以L为界。我们用一个命题来结束本节，该命题收集了命题1.1中出现的函数x和I的一些重要性质。它们将在下一节中使用。提议1.3。为了所有的x，y，ι∈ R、（i）x（x（x，ι），-Y- ι） =x（x，-y），（ii）f（x）xx（x，y）=yx（x，y）=f（x（x，y）），（iii）I（x（x，x，ι），-Y- ι），y+ι）- I（x（x，-y），y）=y x（x，ι）+I（x，ι），（iv）f（x）xI（x，y）+x（x，y）=yI（x，y）=yf（x（x，y））。证据（i）是函数F的Lipschitz连续性的直接结果，它确保了（1.2）中定义x的唯一性。更一般地说，它具有流动特性，我们将在下面的论证中使用它。断言（ii）是定义x:x（x（x，ι），y的直接结果- ι） =x（x，y）表示ι>0和yx（x，0）=f（x），因此在ι=0时的差异提供（ii）。（iii）中的一致性来自直接计算。至于（iv），必须写出I（x（x，ι），y- ι） =Ryι（t）- ι） f（x（x，t））dt表示ι>0，再次表示在ι=0时的差异。备注1.3。根据命题1.3，我们的模型允许圆tripsat（精确地）零成本。

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大多数88

2022-5-7 22:50:42

也就是说，如果x是当前的股票价格，v是财富，andy是投资组合中的股票数量，那么执行大小δ的中间跳跃会使（x，y，v）跳到（x（x，δ），y+δ，v+yx（x，δ）+I（x，δ））。立即以相反的顺序通过，我们回到位置（x（x，δ），-δ），y+δ-δ、 v+yx（x，δ）+I（x，δ）+（y+δ）x（x（x，δ），-δ） +I（x（x，δ），-δ））=（x，y，v），根据命题1.3（i）-（iii）。这是一个理想的属性，如果一个人想要有机会完美地对冲期权，或更普遍地获得一个非退化的超级对冲价格。2欧洲索赔的超级套期保值我们现在转向超级套期保值问题。从现在起，我们将可采性策略定义为形式y=y+Z·bsds+Z·asdWs+Z·ZΔν（dδ，ds）（2.1），其中y∈ R、（a，b，ν）∈ A×U和Y本质上是有界的。如果| Y |≤ k和（a，b，ν）∈ Ak×Uk，那么我们说（a，b，ν）∈ Γk，k≥ 1，我们让Γ：∪K≥1Γk.我们将在下面的备注2.1中评论我们限制有界控制的原因。给定（t，z）∈ D:=[0，T]×R×R×R，我们定义zt，z，γ：=（Xt，z，γ，Yt，z，γ，Vt，z，γ）为（1.22）-（2.1）-（1.23）在与γ相关的[T，T]上的解∈ Γ和初始条件Zt，z，γt-= z、 2.1超级hedg定价欧洲未定权益由其支付函数定义，即可测量的mapx∈ R7→ （g，g）（x）∈ R.第一部分是现金结算部分，即到期时支付的现金量，而gis是交付部分，即待交付的股票单位数。容许策略γ∈ Γ允许从时间t ifZt，z，γt的初始条件z开始，对与支付相关的索赔进行超级对冲∈ GwhereG:={（x，y，v）∈ R×R×R:v- yx≥ g（x）和y=g（x）}。

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mingdashike22

2022-5-7 22:50:45

（2.2）回想一下，V代表投资组合的无摩擦清算价值，它是现金成分和未考虑清算影响的股票价值Y X的总和。我们设置gk（t，z）：={γ∈ Γk:Zt，z，γT∈ G} ，G（t，z）：=∪K≥1Gk（t，z），并定义超级对冲价格asw（t，x）：=infk≥1wk（t，x），其中wk（t，x）：=inf{v:Gk（t，x，0，v）6=}.为了以后使用，让我们精确地确定这些函数的T值。提议2.1。definegk（x）：=inf{yx（x，y）+g（x（x，y））- I（x，y）：|y |≤ k s.t.y=g（x（x，y））}，x∈ R、 G:=infk≥1Gk。然后，wk（T，·）=gk和w（T，·）=G.（2.3）证明。设置z=（x，0，v）和fixγ=（a，b，ν）∈ Γ. 通过（1.22）-（1.23），我们得到了zt，z，γT=（x（x，y），y，v+I（x，y）），其中y:=zΔν（dδ，{T}）。鉴于（2.2），ZT，z，γT∈ 那么G等于v+I（x，y）- yx（x，y）≥ g（x（x，y））和y=g（x（x，y））。通过定义w（分别为wk），我们必须计算一些y的最小v∈ R（分别为| y |≤ k）。备注2.1。让我们在结束这一节时，对有界控制集Γ的选择进行评论。a、首先，这确保了X、Y和V的动态得到很好的定义。这显然可以通过施加Lλ边界来放松。但是，请注意，边界无论如何都应该是一致的。这对于确保第2.2节所述的动态编程原则有效至关重要，因为它使用了可测量的选择参数：ω7→ θ[ω] ∈ Lλ并不意味着Ehkθ[·]kLλi<∞. 相关讨论见下文备注2.2。b、在定理2.1的证明中，我们需要执行与形式为dM=-MχadW，其中χamay以aif a的速度爆炸是没有界的。参见第1步。定理2.1的证明。

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大多数88

2022-5-7 22:50:49

为了确保这个局部鞅被很好地定义，并且实际上是一个鞅，我们应该对a施加非常强的可积条件。为了简化表示，我们因此坚持有界控制。还有许多其他选择是可能的。然而，请注意，在cas e f中≡ 0，一大类期权会导致我们的套Γ中的对冲策略，高达GT中的轻微回报，以避免到期时delta或gamma的爆炸。这意味着，尽管完美的套期保值策略可能不属于Γ，但它至少是Γ元素的极限，并且超级套期保值价格是一致的。2.2动态规划我们的控制问题是[18]中研究的一个随机目标问题。本节的目的是展示其几何动态编程原理的一个版本。然而，值函数w不适用于动态规划。原因是它假设在时间t时初始持股为零，而位置Yθ（通常）在以后的时间θ时不会为零。因此，先验地不可能将随后的财富过程Vθ与相应的超级对冲价格w（θ，Xθ）进行比较。尽管如此，如果我们引入^Xt，z，γ：=x（Xt，z，γ，-Yt，z，γ）（2.4），代表股票头寸清算后的股票价值。我们参考下面的备注2.2，以了解以下动态规划原则的第（ii）部分为何用（wk）k表示≥1代替w.提案2.2（GDP）。固定（t，x，v）∈ [0，T]×R×R.（i）如果v>w（T，x），则存在γ∈ Γ和y∈ R等于vt，z，γθ≥ w（θ，^Xt，z，γθ）+I（^Xt，z，γθ，Yt，z，γθ），表示所有停止时间θ≥ t、其中z:=（x（x，y），y，v+I（x，y））。（ii）修复k≥ 1.

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kedemingshi

2022-5-7 22:50:54

如果v<w2k+2（t，x），则我们无法找到γ∈ Γk，y∈ [-k、 k]和振荡时间θ≥ t使得vt，z，γθ>wk（θ，^Xt，z，γθ）+I（^Xt，z，γθ，Yt，z，γθ）与z:=（x（x，y），y，v+I（x，y））。证据第一步。为了将s-tochastic目标问题转化为时间一致性问题，我们引入了对应于初始持有y股票的辅助值函数：^w（t，x，y）：=infk≥1^wk（t，x，y），其中^wk（t，x，y）：=inf{v:Gk（t，x，y，v）6=}.注意wk+1（t，x）≤ inf{v: Y∈ [-k、 k]s。t、 Gk（t，x（x，y），y，v+I（x，y））6=}.这是从（1.22）-（1.23）得出的。自从x（x（x）以来，-y），y）=x，见命题1.3，这意味着^wk（t，x，y）≥ wk+1（t，x（x，-y））+I（x（x，-y），y），（2.5）表示| y |≤ k、类似地，由于I（x，-y） +yx（x，-y） =-I（x（x，-y）通过命题1.3，我们得到了^wk+1（t，x，y）≤ wk（t，x（x，-y））+I（x（x，-y），y）。（2.6）第2步。a、假设v>w（t，x）。w的定义意味着我们可以∈ R和γ∈ G（t，z），其中z:=（x（x，y），y，v+I（x，y））。根据[18，定理3.1的第一步证明]，Vt，z，γθ≥ ^w（θ，Xt，z，γθ，Yt，z，γθ），对于所有停止时间θ≥ t、然后，（2.5）申请k→ ∞ 提供（i）。b、现在假设我们可以找到γ∈ Γk，y∈ [-k、 k]和停止时间θ≥ t求Vt，z，γθ>（wk+I）（θ，^Xt，z，γθ，Yt，z，γθ），其中z:=（x（x，y），y，v+I（x，y））。通过（2.4）-（2.6），Vt，z，γθ>^wk+1（θ，Xt，z，γθ，Yt，z，γθ），并根据[18，步骤2，3.1]和推论A.1得出v+I（x，y）≥ ^w2k+1（t，x（x，y），y）。通过引用（2.5）和恒等式x（x（x，y），我们得出结论（ii）成立，-y） =x andI（x（x，y），-y），y）=I（x，y），见命题1.3。我们以纯粹的技术考虑来结束本节，这些考虑证明了上述动态编程原则的形式。它们对以后的发展毫无用处，但可能有助于澄清我们的方法。备注2.2。提案2.2的第（ii）部分不能用w来表述。

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可人4

2022-5-7 22:50:57

原因是，可测量的选择技术不能与集合Γ一起使用。的确，如果ω7→ γ[ω] ∈ Γ，则相应的界依赖于ω且不一致：可测控制族{γ[ω]，ω∈ Ohm} 不允许在Γ中构造元素。命题2.2的（i）部分只要求使用条件论证，这可以在Γ内完成。备注2.3。（^wk）k的几何动态规划原理的一个版本≥1，这是上述证明的副产品。因此，尝试推导函数^w的偏微分方程是很有诱惑力的。然而，控制在（X，Y，V）的动力学中线性出现的事实使得这个问题非常奇异，而且“标准方法”似乎不起作用。我们将在引理2中看到。1.这个奇点dis出现在参数化x（x，-Y）用于命题2.2。此外，套期保值意味着对动力的扩散部分进行控制，从而转化为Y和空间梯度D^w（·X，Y）之间的强关系。这将导致pde设置在坐标（t，x，y）上的曲线上，取决于d^w（pde的解）。2.3定价方程为了理解w应该求解的偏微分方程是什么，让我们陈述以下关键引理。虽然控制b在（X，Y，V）的动力学中呈线性，但下面的结果表明，当把它的引理应用于V时，它可能产生的奇异性实际上并没有出现-（^+I）（·，^X，Y），回忆（2.4），它被函数X和I吸收（与备注2.3相比）。这个引理的解释被推迟到第2.5节。引理2.1。固定（t，x，y，v）∈ D、 z:=（x，y，v），γ=（a，b，ν）∈ Γ. 那么，^Xt，z，γ=x（x，-y） +Z·t[^u（^Xt，Z，γs，Yt，Z，γs）+(xxu-xxasff′（Xt，z，γs，-Yt，z，γs）]ds+z·t^σ（^Xt，z，γs，Yt，z，γs）dWs。给定∈ C∞b、设置Et，z，γ：=Vt，z，γ- （^+I）（·，^Xt，z，γ，Yt，z，γ）。

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nandehutu2022

2022-5-7 22:51:00

然后，Et，z，γ- Et，z，γt=z·t[Yt，z，γs-ˇYt，z，γs]（u）- f′fas/2）（Xt，z，γs）ds+z·t[Yt，z，γs-ˇYt，z，γs]σ（Xt，z，γs）dWs+z·t^Fˇ（s，^Xt，z，γs，Yt，z，γs）dsin，其中ˇYt，z，γ：=Yt，z，γ+Xt，z，γ- Xt，z，γf（Xt，z，γ）+x^（·，^Xt，z，γ）f（^Xt，z，γ）f（Xt，z，γ）和^f^-t~n- ^ux[~n+I]-^σxx[~n+I]，其中表示（x′，y′）∈ R×R^u（x′，y′）：=[xxxσ]（x（x′，y′），-y′）和σ（x′，y′）：=（σxx）（x（x′，y′），-y′）。现在，让我们求助于命题2.2，并将引理2.1应用于ν=w，假设w是光滑的，并且即使我们从v=w（t，x）开始，命题2.2（i）也是有效的，即假设w定义中的inf是一个min。根据上述引理的符号，命题2.2（i）通常应用于θ=t+会导致0≤ dEt，z，γt=（y- ^y）[u -ff′at/2（x（x，y））]dt+σ（x（x，y））dWt+^F w（t，^x，y）dt其中^y=y+^x- x（x，y）f（x（x，y））+xw（t，^x）f（^x）f（x（x，y））和^x=x（x（x，y），-y） =x。保持在正式水平，这个不等式不能成立，除非y=^y，因为σ6=0，且^F w（t，x，^y）=^F w（t，^x，y）≥ 0.这意味着w应该是一个超解ofF^（t，x）：=^F k（t，x，^y[k]（t，x））=0（2.7），其中，对于光滑函数^，^y[k]（t，x）：=x-1（x，x+f（x）x~n（t，x））和x-1表示x（x，·）的倒数。从命题2.2的（ii）中，我们可以（形式上）推导出上述不等式应该是一个等式，因此w应该解（2.7）。为了理解上述情况，我们假设x（x，·）对于所有x都是可逆的∈ R（x，z）∈ R×r7→ 十、-从（2.3）来看，1（x，z）是C.（H2），因此我们认为w是一个解，它与φ1[0，T[+（φ）无关- G） [0，T]×R.（2.8）上的1{T}=0，因为w可能不是光滑的，并且（ii）2.2的位置是用wk而不是w表示的，所以我们需要考虑粘性解的概念和（wk）k的松弛半极限≥1.

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kedemingshi

2022-5-7 22:51:04

因此，我们定义了新的*（t，x）：=lim-inf（t′，x′，k）→（t，x，∞)wk（t′，x′）和w*（t，x）：=lim-sup（t′，x′，k）→（t，x，∞)wk（t′，x′），在这种情况下，极限值通常会超过t′<t。注意，w*实际上与w的下半连续包络重合，这是因为w=infk≥1wk=limk→∞↓ 工作，按施工。我们现在可以陈述本节的主要结果。在下文中，我们假设G是连续的，Gk是连续的↓ G在紧集上一致。W*而w*在[0，T]×R.（H3）上定义，（H3）的第一部分将用于获得边界条件。第二部分是自然的，因为否则我们的问题将是不适定的。定理2.1（定价方程）。函数w*而w*分别是（2.8）的aviscosity super和subsolution。如果它们是有界的且f>0，那么w=w*= W*w是（2.8）的唯一有界粘性解。如果加法G是有界的，且C是G，G′，G′H"older连续的，那么w∈C1,2（[0，T）×R）∩ C（[0，T]×R）。证据见第2.5节。现在让我们讨论一下验证对应项。备注2.4（验证）。假设φ是（2.8）的光滑解，我们可以找到（a，b）∈ A使得以下系统保持[t，t]：X=X+x（x，^y[~n]（t，x））+Z·tσ（Xs）dWs+Z·f（Xs）dYcs+Z·（u（Xs）+as（σf′（Xs））ds+x（XT）-, -YT-)1{T}Y=^Y[~n]（T，x）+Z·tbsds+Z·tasdWs- YT-{T}=x-1（^X，^X+（fx^）（·，^x））- YT-{T}^X:=X（X，-Y）V=ˋ（t，x）+I（x，ˋY[ˋ]（t，x））+Z·tYsdXcs+Z·asf（Xs）ds+（YT）-x（XT）-, -YT-) + I（XT）-, -YT-))1{T}。a、注意，^Xt=x（Xt，-Yt）=x（x（x，^y[~n]（t，x）），-^y[^]（t，x））=x，回想命题1.3（i），因此Yt=^y[^]（t，x）=x-1（^Xt，^Xt+（fx^（t，^Xt））。因此，我们需要找到（a，b），使得X=X（^X，Y）=^X+（f^x.（·，^x）。

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何人来此

2022-5-7 22:51:07

这相当于求解：σ（X）+f（X）a=σ（X，Y）xψ（·，^x）f（x）b+（u+aσf′）（x）=（^u（^x，Y）+(xxu-xxasff′（X，-Y）xψ（·，x）+^σ（^x，Y）其中ψ（t，X）：=X+（f）（t，x）。由于f>0，该系统有一个解决方案。在附加光滑性和有界性假设下，（a，b）∈ A.b.对于上述动力学，设ˇY为引理2.1。因为X=X（^X，Y）=^X+（f通过构造，我们得到了[t，t]上的71y=Y-= ν（T，^XT）-) + 我（^XT）-, YT-) = G（^XT）-) + 我（^XT）-, YT-).因为XT=^XT-还有YT-x（XT）-, -YT-) + I（XT）-, -YT-) + 我（^XT）-, YT-) = 0，见命题1.3，这意味着VT=G（XT）。因此，套期保值策略包括采取初始头寸，即股票等于Yt=^y[~n]（t，x），然后使用控制（a，b）直到t。最终即时交易在T进行。特别是，股票数量Y在（t，t）上是连续的。2.4一个例子：固定影响案例在本节中，我们考虑了一个简单的情况，即所有x的常数影响函数f:f（x）=λ>0∈ R.这当然是一个过于简单的模型，但这让我们能够突出我们的结果结构，作为本例中的pde简化。

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能者818

2022-5-7 22:51:11

事实上，对于x（x，y）=x+yλ和I（x，y）=yλ，我们有^u（x，y）=0，σ（x，y）：=σ（x+yλ），^y[ν]：=x~n。定价方程由局部波动率模型给出，其中波动率取决于套期保值价格本身，因此取决于要套期保值的索赔（g，g）：0=-t~n（t，x）-σ（x+xаλ）xx~n（t，x）。至于备注2.4中验证参数中的过程Y，其由Y=x^（·，^x）=x~n（·，x）- λY）。这表明套期保值策略（如果定义明确）包括以下内容：-对冲是一种策略 = x^根据股票^x的价值计算得出，如果股票头寸被清算，将获得该价值。注意，当σ为常数时，我们得到了通常的热方程。这是预期的，显示了固定影响模型的局限性。为了解释这一点，让我们考虑更简单的情况g=0，并使用备注2.4中的符号。我们还将u=0设置为便于使用符号。由于σ是常数，策略Y不会影响X的动力学系数，它只会在每次购买或出售时产生一个位移λdY。因为YT=0，而YT-= 0，总影响为空：XT=XT-+σ（WT）-Wt）。至于财富过程，我们有vt=~n（t，x）+Ytλ+ZTtYsdXcs+ZTtasλds- YT-λ+YT-λ=φ（t，x）+ZTtYsσdWs+λ（Yt）- YT-) +ZTtλYsdYcs+ZTtasλds=~n（t，x）+ZTtYsσdWs。否则，清算成本将被取消：买入时，交易者支付成本，但价格会上升；卖出时，交易者再次支付成本，但以更高的价格卖出。如果对X和f的基本动力学没有影响，这完全抵消了。然而，对冲策略仍然受到影响：Y=x~n（·，x）- λY）。2.5偏微分方程特征的概率。5.1关键引理我们首先提供关键结果的证据。引理2.1的证明。为了简化注释，我们省略了超级脚本。A.

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nandehutu2022

2022-5-7 22:51:17

我们首先从命题1.3（i）中观察到x（x，-Y）具有连续路径，而命题1.3（ii）暗示fxx-yx=0（因此f′）xx+fxxx-xyx=0）。利用它的引理，这导致todx（Xs，-Ys）=（u）-asff′（Xs）xx（Xs，-Ys）ds+σ（Xs）xx（Xs，-Ys）dWs+σxxx- asfxyx+asy yx（Xs，-Ys）ds。我们现在使用身份fxyx- y yx=0，这也是命题1的结果。3（ii），将上述表达式简化为dx（Xs，-Ys）=[xx（u）-asff′）+xxxσ]（Xs，-Ys）ds+（σ）xx）（Xs，-Ys）dWs。b、同样，从命题1.3（iii）中可以看出，V- I（^X，Y）有连续路径，E也有连续路径。在应用It^o引理推导E的动力学之前，让我们观察一下yI（x（x，-y） y=yf（x（x），-y），y））=yf（x）并且yI（x（x，-y） y=y（f′）（x）+f（x）。还要注意^σ（x（x，-y） y）=σ（x）xx（x，-y）。然后，利用上面导出的^X动力学，我们得到des=（Ys）-ˇYs）σ（Xs）dWs+（Ys）-ˇYs）[u-as（ff′）（Xs）ds+^F~n（s，^Xs，Ys）ds+asσ（Xs）[Ysf′（Xs）- xx（Xs，-Y）xyI（^Xs，Ys）]ds，其中ˇY:=x（^+I）（·，^x，Y）xx（X，-Y）。根据提案1.3（ii）（iv），f（x）xyI（x，y）=y[yf（x（x，y））-x（x，y）]=y（f′f）（x（x，y））。自从xx（x，-y） =f（x（x），-y））/f（x），见提案1.3（ii），其如下所示：xx（X，-Y）xyI（x（x，-Y=yf′（X），这意味着des=（Ys）-ˇYs）σ（Xs）dWs+（Ys）-ˇYs）[u-as（ff′）（Xs）ds+^F~n（s，^Xs，Ys）ds。我们现在从命题1.3推导出xI（^X，Y）=-x（^x，Y）+yf（x（^x，Y））f（^x）=^x- X+yf（X）f（^X）xx（X，-Y=f（^X）/f（X），所以ˋY=x^（·，^x）f（^x）f（x）+^x- Xf（X）+Y。2.5.2上下解性质我们现在证明定理2.1的上下解性质。上解性质。我们首先证明了上解的性质。它源自[5]中类似的论点。让~n成为一个C∞b函数，和（to，xo）∈ [0，T]×Rbe w的严格（局部）最小点*-~n使（w）*- ν）（to，xo）=0。A.

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何人来此

2022-5-7 22:51:20

我们首先假设to<T和F k（to，xo）<0，并朝着一个矛盾的方向努力。考虑到（2.7），^Fа（t，x，y）<0如果（t，x）∈ B和| y- ^y[~n]（t，x）|≤ ε、来点开球B [0，T[×R，其中包含（to，xo）和一些ε>0.Sincex-1是连续的，这意味着如果（t，x）∈ B和| x+x~n（t，x）f（x）- x（x，y）|≤ εf（x（x，y）），（2.9）在可能改变B和ε之后。设（tn，xn）nbe为B中收敛到（to，xo）且w（tn，xn）的序列→ W*（致，xo）（回想一下w*与较低的半连续包络（w）相连。设置vn:=w（tn，xn）+n-1.根据命题2.2（i），我们可以找到（an，bn，νn）=γn∈ Γ和yn∈ R使得vtn，zn，γnθn≥ w（θn，^Xtn，zn，γnθn）+I（^Xtn，zn，γnθ，Ytn，zn，γnθn），（2.10），其中zn:=（x（xn，yn，yn，vn+I（xn，yn））和θ是从B（注意，^Xtn，zn，γntn=x（x（xn，yn）开始的tnof（·xn，zn，γn）之后的第一个exit时间，-yn）=xn）。在下文中，我们使用简化符号Xn、^Xn、vn和yn表示（tn、zn、γn）索引的相应数量。因为（to，xo）达到了严格的最小值w*- 这意味着vnθn≥ ι（θn，^Xnθn）+I（^Xnθ，Ynθn）+ι（2.11）对于某些ι>0。让我们像引理2.1一样，观察一下- Yn=^Xn+x^（·，^Xn）f（^Xn）- x（^Xn，Yn）f（x（^Xn，Yn））。（2.12）集χn:=（u）- f′f（ans）/2）（Xn）σ（Xn）+^f~n（·，^Xn，Yn）（Yn）-ˇYn）σ（Xn）|Yn-ˇYn|≥ε并考虑由dpndp=Mnθ定义的测量值pn，其中Mn=1-Z·∧θntnMnsχnsdWs。然后，从（2.11）、引理2.1、（2.9）和（2.12）得出ι≤ EPn[Vnθn- （^+I）（θn，^Xnθn，Ynθn）]≤ vn+I（xn，yn）- （~n+I）总氮，x（x（xn，yn），-yn，yn）=vn- （tn，xn）。右侧变为0，这是必需的矛盾。b、我们现在解释如何将上述证明修改为=T。在可能更换（t，x）7之后→ ~n（t，x）乘（t，x）7→ ~n（t，x）-√T- t、我们可以假设t~n（t，x）→ ∞ 作为t→ T，在每个紧集的x上一致。

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mingdashike22

2022-5-7 22:51:23

那么（2.9）仍然保持[T]形式的B-η、 T）×B（xo），其中B（xo）是一个围绕xo的开球，η>0。假设φ（T，xo）<G（xo）。然后，在可能改变B（xo）之后，我们得到了φ（T，·）≤ G- ιon B（xo），对于某些ι>0。然后，用a.的符号。，我们从（2.3）-（2.10）推导出vnθn≥ ^（θn，^Xnθn）+I（^Xnθ，Ynθn）+∧ ι、其中ι：=min{（w）*-~n）（t，x）：（t，x）∈ [致-η、 T）×B（xo）}>0，θ现在是T和T之后的第一次之间的最小值，此时^x等于B（xo）。然后根据与上述相同的参数推导出对比。次解析属性。现在，我们来看看subsolution属性。同样，这个极限接近于[5]，除了我们必须考虑命题2.2（ii）中所述的动态编程原理的特殊形式。让~n成为一个C∞b函数，和（to，xo）∈ [0，T]×R是w的严格（局部）最大点*-~n使（w）*- ν）（to，xo）=0。通过[2，引理4.2]，我们可以找到一个序列（kn，tn，xn）n≥那么→ ∞, （tn，xn）是w的局部最大点*千牛- 和（tn、xn、wkn（tn、xn））→ （to，xo，w）*（to，xo））。a、如上所述，我们首先总结为<T。设置|n（t，x）：=|（t，x）+t- tn |+|x-xn |假设F k（to，xo）>0。然后，在包含（tn，xn）、F或所有足够大的n的（to，xo）的开放邻域b上，F~nn>0。因为我们要将动力学局部化，所以我们可以修改φn，σ，u和f，使它们在紧致a外等同于0 B.然后是备注2.4a。在可能改变n之后≥ 1.我们可以找到（bn，an）∈ Akensch认为下面给出了一个强有力的解决方案：Xn=Xn+x（xn，^y[~nn]（tn，xn））+Z·tnσ（Xns）dWs+Z·tnf（Xns）dYn，cs+Z·tn（u（Xs）+ans（σf′）（Xns））dsYn=^y[~nn]（tn，xn）+Z·tnbnsds+Z·tnansdWs=x-1（^Xn，^Xn+（f^Xn:=x（Xn，-Yn）Vn=Vn+I（xn，^y[~nn]（tn，xn））+Z·tnYnsdXn，cs+Z·tn（ans）f（Xns）ds。在上面，我们设置了vn:=wkn（tn，xn）- N-1.

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可人4

2022-5-7 22:51:27

观察Yn的构造确保它与引理2.1的相应过程相一致。还要注意^Xntn=x（x（xn，yn），-yn）=xn，并将θnbe设为（·，^xn）存在B之后的第一次。通过应用它的引理，使用引理2.1和F^n≥ 对于B，我们得到vnθn≥ （ηn+I）（θn，^Xnθn，Ynθn）+vn- ~nn（tn，xn）。设2ε：=min{t- 到|+| x- xo |，（t，x）∈ B} 。对于足够大的n，上面的公式表示vnθn≥ （wkn）-1+I）（θn，^Xnθn，Ynθn）+ε+ιn，其中ιn:=（ιn- wkn-1）（tn）-1，xn-1） +vn- ~nn（tn，xn）收敛到0。因此，我们可以找到vnθn>（wkn-1+I）（θn，^Xnθn，Ynθn）。现在我们可以改变子序列（kn）n≥1以这样的方式：≥ 2kn-1+ 2. 那么，vn=wkn（tn，xn）- N-1<w2kn-1+2（tn，xn），这与命题2.2（ii）相矛盾。b、还有待考虑的是T=T的情况。如步骤1所示。，我们只解释了如何修改上面使用的论点。让（vn，kn，tn，xn）与a中的一样。我们现在设置φn（t，x）：=φ（t，x）+√T- t+| x- xn |。自从t~nn（t，x）→ -∞ 作为t→ T，我们可以找到足够大的≥ [tn，T）×B（xo）上的0，其中B（xo）是围绕xo的一个开放球。假设对于某些η>0的情况下，φ（T，xo）>G（xo）+η。那么，在可能改变B（xo）后，我们可以得出如下结论：ηn（T，·）≥ B（xo）上的G+η。我们现在使用与a中相同的构造，但θ定义为与第一次^Xnexists B（xo）之间的最小值。我们得到了vnθn≥ （ηn+I）（θn，^Xnθn，Ynθn）+vn- ~nn（tn，xn）。设2ε：=min{x- xo |，x∈ B（xo）}。对于足够大的n，上面的表示是vnθn≥ wkn-1（θn，^Xnθn）1θn<T+G（^Xnθn）1θn=T+I（^Xnθn，Ynθn）+ε∧ η+ιn，其中ιn收敛为0。通过（2.3）和（H3），Vnθn>wkn-1（θn，^Xnθn）+I（^Xnθn，Ynθn），对于足够大的n。我们的结论是a。2.5.3与本节相比，我们在f>0的附加条件下工作。

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能者818

2022-5-7 22:51:30

（2.13）直接计算（使用（2.7）和命题1.3）表明^Fа的形式为^Fа=-t~n- B（·，f）x~n）x~n-A（·，f）x~n）xx~n- L（·，f）式中A，B和L:（t，x，p）∈ [0，T]×R×R→ R是Lipschitz连续函数。设Φ为普通微分方程Φ′（t）=f（Φ（t）），t的解∈ R.（2.15）那么Φ是R上的双射（因为f是Lipschitz，1/f是有界的），下面是粘度溶液定义的直接结果。引理2.2。设v是（2.8）的上解（分别是下解）。修正ρ>0。那么，由v（t，x）=eρtv（t，Φ（x））定义的v是0=ρφ的上解（分别是下解）- t~n-B（Φ，e）-ρtx~n）/f（Φ）-A（Φ，e）-ρtx~n）f′（Φ）/f（Φ）x~n-A（Φ，e）-ρtx~n）xx~n/f（Φ）- eρtL（Φ，e）-ρt终端条件下的xа（2.16）а（T，·）=eρTG（Φ）。（2.17）为了证明比较适用于（2.8），必须证明比较适用于（2.16）-（2.17）。对于后者，这是以下结果的结果。这是另一个标准，但我们提供了完整的证据，缺乏精确的参考。定理2.2。设O是R的开子集，u（分别为v）是[0，T）×O的上半连续子解（分别为下半连续s上解）-t~n-\'B（·e）-ρtx~n）x~n-“A（·e）-ρtx~n）xx~n-eρt′L（·e-ρtx~n=0（2.18），其中ρ>0为常数，\'A，\'B和\'L:（t，x，p）∈ [0，T]×O×R→ R是Lipschitz连续函数。证明u和v有界且满足u≤ v在[0，T）×O的抛物线上，然后u≤ 关于[0，T]×O证明的闭包。假设与之相反的是sup[0，T]×O（u）- v） n>0时，定义n:=sup（t，x，y）∈[0，T）×Ou（t，x）- v（t，y）-n | x- y|-2n | x|.然后，存在大于0的值，因此≥ ιn足够大。

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大多数88

2022-5-7 22:51:34

因为你和瓦雷在一起≤ 在域的抛物线边界上，我们可以找到（tn，xn，yn）∈ [0，T）×达到上述上确界。通常，我们应用Ishii引理，结合u和v的子解和超解性质，以及\'A，\'B和\'L的Lipschitz连续性来获得，符号为pn:=n（xn- yn），ρ（u（tn，xn）- v（tn，yn））≤ [B（xn，e）-ρtn（pn+nxn））-\'B（yn，e-ρtnpn）]pn+nxn\'B（xn，e-ρtn（pn+nxn））+3n[\'A（xn，e-ρtn（pn+nxn））-\'A（yn，e-ρtnpn）+2n′A（xn，e-ρtn（pn+nxn））+eρtnL（xn，e）-ρtn（pn+nxn））-L（yn，e）-ρtnpn）≤ Cn（xn- yn）+xn- yn |+nxn+n对于一些不依赖于n的常数C，鉴于下面的引理2.3，以及ρ>0和u（tn，xn）- v（田纳西州，伊恩）≥ Θn≥ ι、上述情况导致了足够大的矛盾。最后，我们给出了在上述论证中使用的技术引理的证明。引理2.3。设ψ是[0，T]×R上的有界上半连续函数，ψi，i=1，2是R上的两个非负下半连续函数，例如{ψ=0}={0}。对于n>0，设置Θn:=sup（t，x，y）∈[0，T]×Rψ（t，x，y）- nψ（x）- y）-nψ（x）并假设存在（^tn，^xn，^yn）∈ [0，T]×Rsuch:Θn=ψ（^tn，^xn，^yn）- nψ（^xn）- ^yn）-nψ（^xn）。然后，在可能传递给子序列之后，（i）limn→∞nψ（^xn）- ^yn）=0和limn→∞nψ（^xn）=0。（二）林→∞Θn=sup（t，x）∈[0，T]×Oψ（T，x，x）。证据为便于以后使用，请设置“R:=R”∪ {-∞} ∪ {∞} 注意，我们可以将ψ扩展为[0，T]×`R上的有界上半连续函数。集合M:=sup（T，x）∈[0，T]×Rψ（T，x，x），并选择一个序列（tn，xn）n≥1.如此→∞ψ（tn，xn，xn）=M和limn→∞nψ（xn）=0。设C为ψ的上界。然后，C- nψ（^xn）- ^yn）-nψ（^xn）≥ ψ（^tn，^xn，^yn）- nψ（^xn）- ^yn）-nψ（^xn）≥ ψ（tn，xn，xn）-nψ（xn）≥ M- εnwheren→ 0

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mingdashike22

2022-5-7 22:51:37

因为ψ和ψ是非负的，所以n→ ∞ 在上述情况下，不平等导致→∞ψ（^xn）- ^yn）=0这意味着limn→∞（^xn）- ^yn=0，假设{ψ=0}={0}。在可能传递到子序列之后，我们可以假设limn→∞^xn=limn→∞^yn=^x∈“R和limn→∞^tn=^t∈ [0，T]。因为ψ是上半连续的，所以上面的结果是toM- 林恩芬→∞nψ（^xn）- ^yn）+nψ（^xn）≥ ψ（^t，^x，^x）- 林恩芬→∞nψ（^xn）- ^yn）-nψ（^xn）≥ 林尚→∞ψ（^tn，^xn，^yn）- nψ（^xn）- ^yn）-nψ（^xn）≥ M、我们的索赔如下。备注2.5。由上可知，只要它们有界，例如，如果Gis有界，那么w*≥ W*. 由于施工w*≤ W≤ W*, 这三个函数等于（2.8）的唯一有界粘性解。2.5.4光滑性我们在这里证明了定理2.1的证明，证明了当f>0，G有界且G，G′，G′H"older连续时，光滑解的存在性成立。（2.19）注意，假设inf>0和（H1）意味着Φ-1是C，回忆（2.15）。因此，根据第2.5.3节中相同的参数，C1,2（[0，T）×R的存在性）∩（2.16）-（2.17）的C（[0，T]×R）解意味着C1,2（[0，T）×R）的存在∩C（[0，T]×R）溶液为（2.8）。至于（2.16）-（2.17），这是[11，Thm 14.24]在（H1）和（2.19）下的结果。还有一点需要说明的是，解可以有界，那么第2.5.3节的比较结果将意味着w就是这个解。同样，它需要使用（2.16）-（2.17）。设φ为C1,2（[0，T）×R）∩ （2.16）（2.17）的C（[0，T]×R）溶液。设St，xbe由t定义，xs=x+ZstuS（S，St，xs）ds+ZstσS（S，St，xs）dWs，S≥ t、式中：uS:=B（Φ，e）-ρtx~n）/f（Φ）-A（Φ，e）-ρtx~n）f′（Φ）/f（Φ）σS:=A（Φ，e）-ρtx~n）/f（Φ）。请注意，sde的系数可能仅为局部Lipschitz。然而，它们是有界的（回忆（H1）和（2.19）），这足以通过标准定位程序确定解决方案。

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