进一步研究这一联系似乎是未来研究的一个有希望的方向。结论我们为一类具有一般移民的霍克斯过程引入了年龄金字塔的概念。这种方法的优点是跟踪所有过去的事件。这允许对具有一般移民的霍克斯过程进行易于处理的计算，而生育率函数是流行指数情况的时间相关的推广，提供了现有结果在这个方向上的自然扩展。此外，我们还说明了霍克斯动力学的路径构造及其潜在的人口过程。总的来说，我们的方法似乎通过强度过程或分支动力学来协调霍克斯过程的定义。这个框架似乎是进一步研究的一个有希望的方向。例如，测度值种群动力学领域中的大种群渐近性可以进一步深入了解霍克斯过程的宏观行为。5.3关于pathwise Representation致谢，作者感谢他的主管Nicole El Karoui帮助改进结果和整篇论文。作者还感谢Mathieu Rosenbaum、ThibaultJaisson和Monique Jeanblanc的富有成效的讨论和富有启发性的评论。附录5.推论的证明。让我们确定等式（17）中的项。让我们表示为-1（t）。。。，一-1（t））。第一个组件的标识如下：-1An-1（t）+A-1（t）=0。（48）第二个部件通向A（t）+cAn-1（t）+吃。M- 1 = 0. （49）至于1≤ K≤ N- 1.我们走了-1（t）+ckAn-1（t）+Ak（t）=0。（50）的递归计算（50）提供了0≤ K≤ N- 1，Ak（t）=(-1） n-1.-卡（n）-1.-k） n-1（t）+n-1.-kXl=1(-1） lck+lA（左）-1） n-1（t）。（51）我们从（51）中推断出a（t）=(-1） n-1A（n）n-1（t）+n-1Xk=1(-1） kckA（k）n-1（t）。

让我们引入函数G（t）=RtTAn-1（s）ds并选择一个-1（t）=θ- C-1G（t）表示满意（48）。现在，将（51）和（52）放入（49）中，得到以下G的非线性微分方程(-1） n-1G（n+1）（t）+n-1Xk=0(-1） kckG（k+1）（t）+expθ- C-1G（t）+mn-1G（t）+n-2Xk=0mk“(-1） n-1.-千克（n）-k） （t）+n-1.-kXl=1(-1） lck+lG（l）（t）#- 1 = 0.让我们简化指数形式的和。通过将变量k改为n-1.-k、 它等于-1k=1mn-1.-k(-1） 千克（k+1）（t）+Pn-1k=1Pkl=1(-1） lmn-1.-kcn-1.-k+lG（l）（t）。参考然后交换总数导致toPn-1k=1mn-1.-k(-1） 千克（k+1）（t）+Pn-1l=1(-1） lPn-1k=lmn-1.-kcn-1.-k+lG（l）（t）。最后，通过设置← l+1，交换符号k和l，（53）成为(-1） n-1G（n+1）（t）+n-1Xk=0(-1） kckG（k+1）（t）+expθ- C-1G（t）+n-1Xk=0bkG（k+1）（t）！- 1=0，（54）其中0≤ K≤ N- 1，bk=(-1） k锰-1.-K-Pn-1l=k+1mn-1.-lcn-l+k.现在，让我们使用（20）和（49）来获得[exp（v.XT）]=exp-uZT（A（t）+cAn-1（t））dt,= 经验-uZT(-1） n-1G（n+1）（t）+n-1Xk=0(-1） kckG（k+1）（t）！dt！，=经验-u(-1） n-1（G（n）（T）- G（n）（0））+n-1Xk=0(-1） kck（G（k）（T）- G（k）（0））！！，第二个等式来自哪里（52）。让我们把A（T）=θ设为1≤ K≤N- 1，Ak（T）=0。通过（51）可以看出，前面的条件与终端值G（n）（T）相等(-1） n-1θ和1≤ K≤ N- 1，G（k）（T）=0。注意，通过定义G，我们也得到G（T）=0。因此我们得到[exp（θNT+θ.hZT，φi）]=exp(-uθ+ (-1） nG（n）（0）+n-1Xk=0(-1） k+1kg（k）（0）！）。证据到此结束。参考Adamopoulos，L.1975。相互激励过程的一些计数和区间性质。应用概率杂志78-86。A"it-Sahalia，Y.，Cacho Diaz J.，Laeen R.J.A.2010。使用相互激励的跳跃过程对金融传染进行建模。国家经济研究局技术代表。本苏姗，H.，A.布梅佐德，N.埃尔卡鲁伊，S.洛伊塞尔。2010–2015. 异质性对人类种群动态的影响。

工作文件。Brémaud，P.，L.Massoulié。1996.非线性hawkes过程的稳定性。《可能性年鉴》1563-1588年。Brémaud，P.，L.Massoulié。2002.随机激励下一般散粒噪声和hawkes点过程的功率谱。应用概率的进展205–222。乔恩拉尔，E.2011。概率与随机，第261卷。斯普林格。Fonseca公投，J.，R.Zaatour。2014.霍克斯过程：快速校准、应用于贸易集群和差异限制。期货市场杂志34（6）548–579。Daley DJ D Vere Jones。2003.点过程理论导论，卷一：概率的基本理论和方法及其应用。斯普林格，纽约。Daley，DJ，D.Vere Jones。2008.点过程理论导论。第二卷。一般理论和结构。概率及其应用。Dassios，A.，H.Zhao。2011年，一个动态的传染过程。应用概率的进展43（3）814–846。德拉特，S.，N.福尼尔，M.霍夫曼。2014.高维霍克斯过程。arXiv预印本arXiv:1403.5764。Errais，E.，K.Giesecke，L.Goldberg。2010.一个有效点流程和组合信用风险。暹罗金融数学杂志1（1）642–665。N.福尼尔，S.梅勒德。2004.局部调节种群的微观概率描述和宏观近似。应用概率年鉴14（4）1880-1919。格里格里奥尼斯，1971年出生。整值随机测度作为泊松测度上的随机积分的表示。利托夫斯克。小地毯某人。11 93–108.哈迪曼，S.，N.贝科特，J.-P.布沙德。2013.金融市场的关键反应：ahawkes过程分析。arXiv预印本arXiv:1302.1405。哈里斯，T.E.1963年。分支过程理论。技术代表霍克斯，A.G.1971年。一些自激和互激点过程的光谱。Biometrika 58（1）83–90。霍克斯，A.G.，D.奥克斯。1974

自激励过程的集群过程表示。应用概率杂志493–503。约瓦诺维奇，S.，J.赫兹，S.罗特。2014.霍克斯点过程的累积量。arXiv预印本arXiv:1409.5353。克斯坦，J.1964。Teilprozesse poissonscher prozesse。跨。第三章布拉格形态信息论，中央集权主义者。决策函数，随机过程（Liblice，1962）377-403。刘易斯，P.A.W.，谢德勒。1978.通过细化模拟非齐次泊松过程。技术代表，海军研究生院。马苏利，L.1998年。一类一般的交互点过程动力学和应用的稳定性结果。随机过程及其应用75（1）1–30。奥克斯，1975年。马尔可夫自激过程。应用概率杂志69-77。绪方，Y.1981年。关于刘易斯的点过程模拟方法。信息论，IEEE学报，第27（1）23–31页。兰巴迪，M.，P.佩内西，F.利洛。2014.围绕宏观经济新闻建模外汇市场活动：霍克斯过程方法。arXiv预印本arXiv:1405.6047。索内特。2011.多变量自激励流行病过程的生成函数和稳定性研究。欧洲物理杂志B-Complex Systems 83（2）271–282。Tran，V.C.2006年。特殊随机模型用于解决问题的进化适应和解决统计问题的近似。Tran，V.C.2008。描述年龄结构种群的

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