霍克斯过程的人口观

2022-5-8 03:54:03

这被称为霍克斯过程的集群（或分支）表示，它基于以下注释：如果事件发生在时间Tn，那么t- 这只不过是t.Fewyears时这一事件的“年龄”。在霍克斯（1971）的开创性工作之后，霍克斯和奥克斯（1974）提出了自激过程的集群表示法。他们将其解释为随年龄变化的移民出生过程：他们证明，在某些平稳条件下，它可以被描述为分支泊松过程（也称为泊松聚类）。此外，在Dassios和Zhao（2011）中，通过集群表示给出了动态传染过程的定义。到目前为止，大多数关于霍克斯过程的研究都回顾了移民的出生表征，如下所示：移民有时是由强度为u的泊松过程给出的。然后，每一个移民开始了新一代：它产生了具有生育功能φ的新个体，每个人产生了具有相同生育功能φ的新个体。这通常被用作霍克斯过程的定义，为其行为提供良好的直觉。霍克斯和奥克斯（1974）的聚类表示法要求每个个体的平均子女数为kφk=R∞φ（a）满足kφk<1。在本文中，我们展示了潜在的移民出生动态，这不需要平稳假设。人口中的每个人都有自己的年龄和特点。这种结合了强度过程定义和分支表示的方法的优点是，人口年龄金字塔保持了所有过去事件的轨迹。这用于计算具有一般移民的线性Hawkes过程类的新分布性质。在文献中，Hawkes过程的分布特性已经在平稳条件下进行了研究。

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2022-5-8 03:54:06

Hawkes（1971）研究了二阶平稳性，而Adamopoulos（1975）利用Hawkesand Oakes（1974）的聚类表示推导了平稳性下的概率生成泛函。在这项工作中，Adamopoulos（1975）将概率母函数表示为某个函数方程的解。此外，Brémaudand Massoulié（2002）介绍了利用Bartlett谱研究平稳Hawkes过程矩的框架。我们还要提到最近两项关于平稳性下分布性质的研究。动量母函数在Saichev和Sornette（2011）中表示为某种超越方程的解。此外，Jovanovi'c等人（2014年）提出了一种图形化方法来推导累积量密度的闭式表达式，从而得出平稳Hawkes过程的矩。有趣的是，最近的贡献依赖于Hawkesand Oakes（1974）的静态分支表示。近年来，非平稳条件下统计性质的计算在数学分析和统计估计技术中得到了广泛的关注。然而，该框架中的最新研究只关注一个指数生育率φ（t）=αeβt。他们所依赖的工具是强度过程（λt）的最小发生器，对于这种指数生育率而言，它是马尔可夫的（见Oakes（1975））。这包括Errais等人（2010）、A"it-Sahaliaet等人（2010）、Dassios和Zhao（2011）以及Da Fonseca和Zaatour（2014）的工作。

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2022-5-8 03:54:09

我们的论文将这些研究自然地推广到更广泛的Hawkes过程中。本文的范围本文的目的是（i）为一般Hawkes过程引入年龄金字塔的概念，并研究其随时间变化的动力学，（ii）使用此概念计算一类推广了流行指数情况的肥力函数的新分布性质，以及（iii）对霍克斯的一般过程及其潜在的移民动态给出一个可行的描述。我们将人口描述为随年龄变化的多类型动态，包括移民和突变出生。我们引入年龄金字塔概念的人口观点受到Bensusan等人（2010-2015）的启发（另见Tran（2008））。正如Bensusan等人（2010-2015）所强调的那样，关键的观点是，人口年龄结构和特征（保持对过去事件的跟踪）提供了比强度本身更多的信息，并允许研究整个系统。通过这种方式，我们讨论了一类广泛的时间相关生育函数的一般移民的霍克斯过程的分布性质的计算。我们还给出了一个由泊松点测度驱动的随机方程的测度值过程解表示的年龄金字塔的路径构造，这是Thinning数值过程的理论对应。我们的方法似乎通过强度过程或分支动力学来调和霍克斯过程的两个定义。论文的结构如下。第2节重点介绍了标准霍克斯过程与时间无关的生育功能。在这个特殊的案例中，我们给出了人口的观点，并研究了年龄金字塔随时间的变化。

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2022-5-8 03:54:12

第三章，我们用这个概念计算了一类Hawkes过程的新分布性质，如动量和Laplace变换，它推广了PopularePontial情形。第4节详细介绍了标准Hawkesprocess及其底层总体的路径构造。我们的一般人口代表性和结果在第5节中给出，其中我们重点讨论了具有一般移民的霍克斯过程。特别地，我们推导了一类广泛的时间相关生育率函数的动力学和拉普拉斯变换。2.人口观点（标准线性）霍克斯过程的定义及其强度很低。让(Ohm, A、 P）是满足通常条件的概率空间。再次证明计数过程（Nt）的强度过程（λt）是（FNt）可预测的过程，因此Nt-Rtλsds是（FNt）-局部鞅，其中（FNt）表示（Nt）的正则过滤。定义1。设φ为连续非负映射。具有核φ的霍克斯过程（Nt）是一个具有典型过滤（FNt）的计数过程，它允许（FNt）可预测的强度λt=u+XTn<tφ（t- Tn）=u+Z（0，t）φ（t- s） dNs，（1）其中u>0，而（Tn）是（Nt）的跳跃次数。前面的定义提供了强度过程的表示，为了研究霍克斯过程的行为，这很有趣。但事实上，关于动力学的所有信息都丢失了。事实上，回顾霍克斯和奥克斯（1974）的分支代表，将潜在的人口动态铭记在心，是很有趣的。首先，移民根据参数为u的泊松过程到达。然后，每一个移民按照以下规则生成一组后代：如果一个个体在某个时间到达或出生，它将以φ（t）的速率产生新的个体- s）在时间t。

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2022-5-8 03:54:15

请注意，事实上-s只不过是在s时出生的个体在t时的年龄。因此，生育机制可以重新表述为：人口中任何年龄为a的个体以φ（a）的速率生育。整个动力学描述了一个随年龄变化的移民出生过程，其中移民率为u，出生率为φ（a）。由于移民出生机制对于理解霍克斯动力学至关重要，现在的目标是跟踪人口中的所有年龄段。解决这个问题的一种方法是计算在时间t时年龄低于‘a>0的个体数量，表示为Zt（[0，‘a]）。这可以计算为在时间t之前到达的个体数量，而不是在时间t之前到达的个体数量- \'a，即zt（[0，\'a]）=Nt- 新界-\'a=Z（0，t]t-s≤“阿德斯。前面的方程式表明，对于固定的t，这定义了年龄间隔+的度量，这是跳跃度量dNt的图像。它可以写成zt（da）=Z（0，t]δt-s（da）dNs=NtXn=1δt-田纳西州（da）。（2）请注意，Zt（da）只收取[0，t]的费用，因为在时间0之后出生的个体都不能达到大于t的年龄。从形式上讲，Zt（da）的衡量标准是对每个在时间t时活着的人的年龄进行加权，因此我们在人口统计分析中称之为年龄金字塔。一般来说，人口统计学研究关注的是每一年龄组的个体数量，例如一年，因此感兴趣的数量是e.g.Zt（[a，a+1]）。度量表示法的优点是，可以通过将人口年龄结构与年龄金字塔进行积分来计算人口年龄结构的函数f。为此，我们使用符号hzt，fi=ZR+f（a）Zt（da）=Z（0，t]f（t）- s） dNs。（3）例如，霍克斯过程可以计算为Nt=hZt，1i。

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能者818

2022-5-8 03:54:18

此外，方程（1）中定义的强度过程可以使用（3）重写为λt=u+hZt-, φi.强度是迁移强度u和个体出生强度之和：这确实是迁移率u和出生率φ（a）的移民出生过程的强度，其中所有个体都独立行为。视为一个随机过程，（Zt（da））t≥0是一个度量值过程。实际上，这是一个金字塔过程，也就是度量值过程（Zt（da））t≥0是一个马尔可夫过程（见Tran（2006））。然而，请注意，它在时间上的差异并不直接（见Bensusan等人（2010-2015）和下面的引理1）。年龄金字塔过程的马尔可夫性质表明，所有需要的信息都包含在人口年龄结构中。让我们提到哈里斯（1963年）的开创性观点，他说，“如果我们不只是通过存在的物体数量，而是通过所有物体的年龄列表来描述当时人口的状态，那么从广义上讲，我们获得马尔可夫过程似乎在直觉上是合理的。”然而，在实践中，这些信息“太大”，无法进行易于处理的计算。在下一节中，我们将说明如何确定一些最小的组件，以添加到霍克斯过程中，从而使动力学马尔可夫。为此，我们首先需要解决年龄金字塔的时间演化问题。下面的引理详细说明了在f可微的情况下hZt，fi的动力学。这是我们在第3节中得出结果的关键工具。引理1。对于每个不同的f:R+→ R、 hZt，fi=f（0）hZt，1i+ZthZs，fids。（4）引理1的证明。让我们在s和t之间写，f（t）-s） =f（0）+Rtsf（u）-s） duan将其用于方程（3）中，得到hZt，fi=f（0）hZt，1i+RtRtsf（美国）- s）杜dNs。根据富比尼定理，和的最后一项是相等的联阵（美国）- s）域名解析根据方程式（3），这等于toRthZu，fidu。

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mingdashike22

2022-5-8 03:54:22

证据到此结束。分解（4）在测度值人口动力学领域是经典的（见Tran（2008）和Bensusan等人（2010-2015））。第一个术语指的是0岁个体到达的纯跳跃部分，而运输类型的第二个术语说明了老龄化现象：所有年龄都沿时间轴转换。特别是，这说明了为什么强度过程λt=u+hZt-, 在生育率函数是指数函数的情况下（见Oakes（1975）），即φ（a）=αeβa。在这种情况下，φ=βφ，方程（4）中有f≡ φ导致差异形式DHZT，φi=αdNt+βhZt，φidt。注意，Dnton通过当前值λt依赖于（λt）的过去，这证明了马尔可夫性。这句话是我们研究的起点，它在自然环境中扩展了指数情况。3指数情况在本节中，目的是使用第2节中引入的年龄金字塔过程的概念，计算非平稳3的几个分布特性。1关于出生率霍克斯过程的假设。特别是，我们提供了一阶和二阶矩的普通微分方程和拉普拉斯变换。所有的计算都是在出生率φ的假设下进行的，这自然扩展了普遍的假设情况。3.1关于出生率的假设假设1。地图∈ R+7→ φ（a）是非负的，属于Cn（R+）类，存在c=（c）-1.cn-1) ∈ Rn+1使得φstatisφ（n）=c-1+n-1Xk=0ckφ（k），（5）初始条件φ（k）（0）=mk，对于0≤ K≤ N- 1.满足假设1的出生率包括指数情况，但也包括对各种应用感兴趣的生育力函数。

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2022-5-8 03:54:24

让我们介绍向量=（1，m，…，mn）-1） T，（6）和矩阵C=（Ci，j）-1.≤i、 j≤N-1受Ci驱动，i+1=1表示0≤ 我≤ N- 2和CN-1，j=cj表示-1.≤ J≤ N- 1，所有其他组件均为零。因为它完全由向量c决定，所以我们表示c（c）=0 00 1......0摄氏度-1c··cn-2cn-1.. （7）方程（5）可以改写为Φ=CΦ，其中Φ=（1，φ，…，φ（n-1） T，谁的解由Φ（a）=eaCm给出。然后φ可以恢复为矩阵Φ（a）的第二个分量。特别地，如果多项式P（y）=yn-Pn-1k=0ckykis，具有不同的根y。。。，和相应的多重数n。。。，np，那么φ可以写成一个常数asPpi=1Pi（a）Eyia，其中Pi是一个多项式，其阶数为ni-1.这是一组非常大的函数，用于逼近假设1范围之外的任何受精函数。例如，幂律核在许多应用中都很重要。在地震的背景下，大森定律描述了流行病型余震（ETAS）模型：它对应于一种特殊形式φ（a）~Ka1+. 此外，在金融微观结构领域，最近的研究（参见E.g.Hardiman等人（2013））发现，高频金融活动最好通过具有幂律核的霍克斯过程来描述，而不是指数过程。3。2具有切向效应的动态幂律核可以近似为Hardiman等人（2013）中的情形，通过光滑函数φ（a）=M将其近似为常数-1Xi=0e-a/（τmi）（τmi）1+- 硒-a/（τm）-1）式中，S为φ（0）=0。一般来说，人们可以用近似理论构造一系列生育率函数，这些函数趋向于原始函数。因此，这构造了一系列近似原始霍克斯过程的霍克斯过程。3.2动态让我们回到时间金字塔的动态。

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2022-5-8 03:54:28

使我们能够计算分布特性的关键特性是，人口使我们能够识别要添加到霍克斯过程中的成分及其强度，从而使动力学成为马尔可夫过程。这是在下面的命题中陈述的。提议2。在假设1下，过程Xt=（hZt，1i，hZt，φi，…，hZt，φ（n-1） i）Tsatis fies dynamicsXt=Ntm+ZtCXsds，（8）其中向量m和矩阵C分别在（6）和（7）中给出。特别是，X是一个马尔可夫过程。命题2的证明。让我们用引理1得到0≤ K≤ N- 1，带F≡ φ（k），hZt，φ（k）i=mkNt+ZthZs，φ（k+1）id。（9）通过假设1，我们得到了rhzt，φ（n）-1） i=mn-1Nt+n-1Xk=-1ckZthZs，φ（k）内径，（10）带φ(-1)≡ 1.这意味着动力学（8），这也表明Xis是一个马尔可夫过程。（n+1）维向量Xt的动力学（8）给出了一组n方程，X的第一个分量是自由的Hawkes过程n。在第四节中，我们将通过基于泊松点测度的随机表示给出一个关于霍克斯过程N的方程。这将为X的组成部分提供一个完整的方程组，以及一个路径表示。目前，我们感兴趣的是推导X.3.3动量3中霍克斯过程及其附加分量的几个分布性质。3动量一阶矩方程（8）的微分系统是线性的，允许我们提出一个简单的一阶矩微分方程。我们还可以对小尺寸n=1和n=2进行显式计算。提议3。

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2022-5-8 03:54:31

在假设1下，向量映射u（t）：=E[Xt]是解tou（t）=um+Au（t），（11）其中（n+1）×（n+1）矩阵A由A=C+mJ给出，（12）其中j=（0，1，0，…，0），（13），向量m和矩阵C分别在（6）和（7）中给出。命题3的证明让我们使用补偿计数过程的鞅性质，然后使用Fubini定理和Lebesgue measurecharges无点的事实来得到E[Nt]=Rt（u+E[hZs，φi]）ds。现在，让我们取期望值（8）并使用前面的公式得到等式（11）。微分方程（11）允许获得预期事件数的显式公式。我们回忆起流行的指数情形φ（a）=e的一阶矩-ca（参见Dassios和Zhao（2011））并给出出生率φ（a）=αae的明确公式-βa.注意，这种情况可用于模拟激励下的平滑延迟的各种应用。还要注意一阶矩的不同行为，尤其是在临界情况下∞φ（a）da=1，对应于c=1和α=β。对于下面给出的两个例子，计算留给读者。推论1。对于φ（a）=e的Hawkes过程-ca，c>0，（假设1中n=1），E[Nt]=ut+t如果c=1，E[Nt]=u1- Ce（1）-c） t- 11- C- 计算机断层扫描, 如果c6=1。推论2。对于φ（a）=αae的Hawkes过程-βa，α，β>0，（在消耗1中n=2），E[Nt]=u8β1.- E-2βt+3ut+βut，如果α=β，E[Nt]=μβ- αt+αue（α）-β） t- 1(α - β)-E-（α+β）t- 1(α + β), 如果α6=β.3.3动量本小节中的二阶矩，我们导出过程Xt的方差方差矩阵的动力学：=（Nt，hZt，φi，…，hZt，φ（n-1） i）T.因此，我们将二阶矩表示为线性有序微分方程的解。

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mingdashike22

2022-5-8 03:54:35

我们的方法基于微分微积分和微分过程（Xt）以及动力学（8），可以扩展到更高的矩。提议4。让我们引入方差-协方差矩阵Vt=Xt‘Xt，其中‘Xt表示Xt的转置。然后矩阵vt满足动态vt=dNtXt-“m+m”Xt-+ 嗯+ dtVt-C+CVt.具体而言，矩阵v（t）=E[Vt]满足以下普通微分方程v（t）=v（t）`A+Av（t）+u（m\'m+u（t）`m+u（t）`m+Ju（t）m.（14），其中u（t）是（11）的解，矩阵A在（12）中定义。命题4的证明。让我们使用符号Xt=（X[-1] t，X[0]t。。。，X[n-1] t）。通过部件进行集成，例如-1.≤ l、 k≤ N- 1，dX[k]tX[l]t= X[k]t-dX[l]t+X[l]t-dX[k]t+mkmldNt。上一个等式显示dVt=Xt-d\'Xt+（dXt）\'Xt-+ dNt。根据命题2，由于Lebesgue测度不收费，我们得到DVT=dNtXt-“m+m”Xt-+ 嗯+ dtVt-C+CVt.回想一下u（t）=E[Xt]。现在，将上一个等式中的期望值取为getv（t）=Eh（u+X[0]t）Xti\'m+mEh（u+X[0]t）\'Xti+u+E[X[0]t]m\'m+v（t）\'C+Cv（t）。最后，请注意X[0]tXt=Vt\'J，我们记得J是由J=（0，1，0，…，0）定义的，这使得前面的方程简化为（14）。我们给出了流行的指数生育率函数φ（a）=e的显式公式-对于φ（a）=βae的情况，在更高的阶上-βa，与临界情况相对应，因为每个个体的平均儿童数量满足∞φ（a）da=1。计算基于微分方程（14），由读者自行决定。推论3。对于φ（a）=e的Hawkes过程-ca（假设1中n=1），Var（Nt）=ut1+t+t+t如果c=1，则Var（Nt）=u（1- c）1.- c/21- ce2（1）-c） t+3c- 11- C- 2cte（1）-c） t- ct+c（1/2）- 3c）1- C, 如果c6=1.3.4拉普拉斯变换推论4。

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2022-5-8 03:54:38

对于φ（a）=βae的Hawkes过程-βa（假设1中n=2），强度的方差由var（λt）=βu给出-+3βt+βt+1- β-te-2βt-E-4βt.3.4拉普拉斯变换的目的是展示与过程X相关的指数鞅，从而以半显式形式表达其拉普拉斯变换。这在下面的命题中给出。有趣的是，（i）点指的是一些前向鞅，而（ii）点关注的是后向鞅。注意，基于拉普拉斯变换，恢复任意阶矩是经典的。提议5。让我们表示（FXt）过程X的规范过滤，并让我们在假设1下工作。（i）对于任何确定性和可微的At，以下过程是（FXt）鞅：exp在Xt-兹塔斯。（CXs）ds-兹塔斯。Xsds-Zt（eAs.m）- 1） λsds. （15）（ii）对于任何（n+1）实向量v，E[exp（v.XT）]=exp-uZT（1）- eAs。m） ds, （16）其中矢量图A满足以下非线性微分方程“CAt+At+（eAt.m- 1） J=0，（17）终端条件为=v。这里，v.XT表示vand XT之间的标量积，J在（13）中定义，`C是矩阵C的转置。（iii）此外，方程（17）存在唯一解。命题5的证明指数公式表明，对于任何确定性αs，expZtαsdNs-Zt（eαs）- 1） λsds. （18）现在，通过分段积分和使用等式（8），在。Xt=ZtAs。dXs+ZtAs。Xsds=ZtAs。mdNs+ZTA。（CXs）ds+ZTA。Xsds。然后通过方程（18），αs=As。m、（15）中的过程是鞅。为了证明第二点，我们的目标是找到一个形式为exp{At.Xt+D（t）}的鞅，其中有一些确定性的D（t）和一个终端条件At=v。为了做到这一点，让我们选择（15）中被积函数的随机部分消失。

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2022-5-8 03:54:42

因为λs=u+hZs-, φi，这等于得到每个向量X=（X[-1], ...., X[n-1] ）猫。X+At。X+（eAt.m）- 1）（u+X[0]）=0。（19）现在，让我们确定X中的项，从而得出A:“CAt”的方程式。X+At。X+（eAt.m）- 1） X[0]=0，即“CAt+At+（eAt.m- 1） J=0，其中J在（13）中定义。如果我们把终端条件设为=v，我们得到方程（20）。最后，方程（17）的存在性和唯一性源自柯西-利普希茨定理，自地图Y 7起→\'\'CY+（eY.m.）- 1） J是Con Rn+1类，因此是连续的和局部的lipschitz。前面的结果可以用一个函数来表示，下面是关于霍克斯过程及其强度的推导。证据见附录。推论5。在假设1下，对于每个实θ和θbyE[exp（θNT+θλT）]=exp，给出了霍克斯过程的联合拉普拉斯变换及其强度(-u(-1） nG（n）（0）+n-1Xk=0(-1） k+1kg（k）（0）！），（20）其中，函数G满足非线性常微分方程：对于每个0≤ T≤ T(-1） n-1G（n+1）（t）+n-1Xk=0(-1） kckG（k+1）（t）+expθ- C-1G（t）+n-1Xk=0bkG（k+1）（t）！- 1=0，终端条件G（k）（T）=0表示0≤ K≤ N- 1和G（n）（T）=(-1） n-1θ，（21）和0≤ K≤ N- 1，bk=(-1） k锰-1.-K-Pn-1l=k+1mn-1.-lcn-l+k.4霍克斯种群的路径表示本节的目的是详细介绍霍克斯进程及其底层种群的路径构造。这是通过泊松点测度驱动的随机微分方程实现的。这种方法的优点在于，它似乎能够调和霍克斯过程的强度过程定义及其分支表示。

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mingdashike22

2022-5-8 03:54:45

我们首先以泊松测度描述霍克斯过程的构造，然后展示驱动广义指数情形的方程组，最后讨论一般出生率的路径人口动态。霍克斯过程的构建定义中出现的一个问题1指的是这种过程的构建和路径唯一性的概念。答案可以通过细化表示给出，其工作原理如下。考虑泊松点度量Q（ds，dθ），强度度量Q（ds，dθ）=R+×R+上的dsdθ（定义见例如inlar（2011）），并表示（FQt）由Q生成的标准过滤。注意，强度度量Q不是有限的，只是σ-有限的，这使得不可能对泊松点测度Q的时间点进行排序。但这种灵活的表示允许表示广泛的计数过程。设（λt）是一个（FQt）可预测的过程，例如，对于每个t>0，Rtλsds<+∞. 接下来的过程（Nt）是一个计数过程，其（FQt）-可预测强度λt:Nt=R（0，t]RR+[0，λs]（θ）Q（ds，dθ）。实际上，N显然是一个计数过程，因为Q的每个原子的权重为1或0。此外，由于a.s.Rtλsds<+∞, 泊松点测度的鞅性质确保-RtRR+[0，λs]（θ）dθds=Nt-Rtλsds是一个（FQt）-局部鞅。现在，让我们描述一下霍克斯过程的构造。由于（1）中的强度是作为过程本身的一种特殊形式给出的，因此我们的想法是将霍克斯过程定义为随机方程n=Z（0，t]ZR+[0，u+R（0，s）φ（s）的解-u） dNu]（θ）Q（ds，dθ）。（22）关于霍克斯过程（甚至非线性）的存在性和唯一性的一般结果可以在Brémaud和Massoulié（1996）和Massoulié（1998）中找到（参见Delattre et al.（2014）以及Daley和Vere Jones（2008）和inlar（2011）的著作）。

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2022-5-8 03:54:48

将计数过程表示为随机方程解的细化方法实际上是经典的。这种普遍的数学表达可以追溯到克斯坦（1964）和格里格里奥尼斯（1971）。其中一个经常提到刘易斯和谢德勒（1978年）以及绪方（1981年）提出的thinningalgorithms，这些算法对于非常复杂的强度过程进行数值模拟非常有用。当人们想要展示霍克斯过程的存在时，稀释公式的第一个优点就出现了。这是通过Picard迭代法完成的（见Massoulié（1998））：一个人构造一个序列（Nk）k≥0计数进程从N开始≡ 0和k≥ 0，Nk+1t=Z（0，t]ZR+[0，u+R（0，s）φ（s-u） dNku]（θ）Q（ds，dθ）。（23）可以证明序列（Nk）是柯西的，因此收敛到所需的过程。此外，另一个优点是具有很强的独特性。对于这个问题，细化表示似乎具有使用“一次一个噪声”的优点，从而给出路径构造和结果。有趣的是，Delattre et al.（2014）使用这种方法来显示相互作用的Hawkes过程的有限图的存在性和唯一性。由于路径表示和迭代构造，还可以识别动力学中的每一代。事实上，我们在（23）中看到了柯西序列的构造，它计算了移民的数量，而N- N统计移民的子女- 移民的孙辈等等。一般来说，Nk+1t- Nktis是在时间t之前出生的k代个体的数量。这表明了路径构造的另一个优势：所谓的“细化参数”θ提供了有关动力学的额外信息，特别是可以单独研究每一代。

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2022-5-8 03:54:51

在给出年龄金字塔的表示之前，我们首先回到指数情况的扩展。我们首先讨论出生率φ满足假设1的特殊情况。（n+1）的动力学-维度向量Xt:=（Nt，hZt，φi，…，hZt，φ（n-1） i）第（8）条中给出了dXt=dNtm+CXtdt。这实际上给出了n个方程，第一个坐标是自由的。路径表示法（22）允许通过dxt=ZR+m1h0，u+X[0]t导出完整的方程组-i（θ）Q（dt，dθ）+CXtdt，其中我们回忆起符号Xt=（X[-1] t，X[0]t。。。，X[n-1] t）。具有一般生育功能的移民生育过程在出生率一般的情况下，必须代表整个年龄金字塔，即给出基本移民生育过程的细化表示。在人口动力学领域，这种方法被用于构建随年龄增长的出生-死亡过程，尤其是在Bensusan等人（2010-2015年）中（另见Fournier and Méléard（2004年）和Tran（2008年））。从方程（3）和（22）中，我们得到了路径表示zt（da）=Z（0，t]ZR+[0，u+hZs-,φi]（θ）δ（t）-s）（da）Q（ds，dθ）。（24）这说明了一个事实，即t时的人口只不过是t时（移民或出生）之前到达的所有个体；如果一个人在某个时间到达，那么他在时间t的年龄是t- s、注意，在这种形式下，区别并不直接（见Bensusan等人（2010-2015））。但从引理1中，我们可以写出以下（有限）方程组：对于每个可微的f:R+→ R、 dhZt，fi=f（0）ZR+[0，u+hZt-,φi]（θ）Q（dt，dθ）+hZt，fidt。（25）这种方法似乎调和了霍克斯过程的强度过程定义及其分支表示。事实上，人口年龄金字塔是通过方程（25）给出的，它是一个具有自身强度的随机测度值过程。

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2022-5-8 03:54:55

在讨论霍克斯过程的最后一部分之前，我们将在下面的备注中简要讨论现有的集群表示。备注1。我们回顾了霍克斯过程的定义，即霍克斯和奥克斯（1974年）提出的泊松聚类，以及戴利安·维尔·琼斯（2003年）一书中的调查。设Nc（ds）是R+上的泊松点度量，强度度量为uds：这定义了簇中心，也称为祖先。让我们介绍一类点过程{N（dt|s），s∈ R+}。对于每一个s，N（dt）定义了位于s的祖先群中的所有泉水的位置。聚类过程^N通过^N（dt）=RR+|N（dt）Nc（ds）计算所有移民的所有泉水的数量。也就是说，截至时间t的所有有效弹簧的数量由^N（[0，t]）=ZR+-N（[0，t]|s）Nc（ds）给出。因此，在集群表示法中，霍克斯过程可以写成移民及其影响力的总和，即Nc（[0，t]）+N（[0，t]）。值得注意的是，通过使用分支过程领域的结果，聚类表示法已证明有助于研究平稳性下的霍克斯过程。我们的人口代表似乎是非平稳的对应物，因为它允许我们在这个框架中导出新的分布属性。我们的人口代表性不仅提供了截至时间t的总后代的大小，而且还根据人口年龄结构提供了各种感兴趣的数量。第3节中使用了这一点，以确定使动力学马尔可夫所需的组件。

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2022-5-8 03:54:58

这也将在下一节中用于研究霍克斯过程与普通移民的关系。5.关于更一般的霍克斯过程在本节中，我们将重点介绍一类被称为“普通移民霍克斯过程”（见Brémaud and Massoulié（2002））的计数过程，如下所述。定义2。一般移民的霍克斯过程是一个计数过程，其强度由λt=u（t）+XTn<tΦt（t）给出- Tn，Xn）+XSk<tψt（t- Sk，Yk），（26）5.1两种种群动态的描述，其中tn是N的跳跃次数，Sk是具有确定强度ρ（t）的计数过程的跳跃，Xn（resp.Yk）是分布为G（resp.H）的实正iid。假设（Sk）、（Yk）和（Xn）相互独立。在这个模型中，Tn是Nt跳跃的次数：如果系统在Tn发生事件，强度增加Φt（t- Tn，Xn），其中Xn是一些标记。这部分对自激特性进行了建模。同时，外部事件有时发生，并以一定量的ψt（t）激发感兴趣的系统- Sk，Yk）：这是外部激励组件。通过设置Φt（a，x）=φ（a）和ψt（a，x）=0，可以恢复前面章节中研究过的标准霍克斯过程。Brémaud和Massoulié（2002年）介绍并研究了一般移民的霍克斯过程。由于其灵活性和自然解释，此类模型最近在金融应用中受到了关注，例如Dassios和Zhao（2011）、Wheatley等人（2014）和Rambaldi等人（2014）。

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可人4

2022-5-8 03:55:01

特别是，Dassios和Zhao（2011）在Φt（a，x）=ψt（a，x）=xe的情况下研究了这种过程的分布特性-δa，其中强度过程是马尔可夫过程。本节的目的是研究具有一般移民的非平稳霍克斯过程的动力学和分布特征，以获得更大类别的生育功能，可能与时间有关，这在这个方向上扩展了Dasios和Zhao（2011）之前的工作。为了做到这一点，我们代表了一个具有年龄和特征的两人口迁移出生动力学。5.1两个种群动态的描述目标是构建多个个体（或粒子）的种群，每个个体的年龄a随时间演化，特征x∈ R+。我们构建了两个群体：第一个代表外部冲击，而第二个代表霍克斯过程的事件。每个群体（i），i=1或2，在时间t时表示为一个衡量指标，用于衡量每个个体的年龄和特征，表示为Z（i）t（da，dx）。这两个种群是基于定义2 asZ（1）t（da，dx）=XSk引入的≤tδ（t-Sk，Yk）（da，dx）和Z（2）t（da，dx）=XTn≤tδ（t-田纳西州（田纳西州，田纳西州）。（27）由于涉及年龄和个体特征，我们更喜欢称之为Z（i）t人口结构，而不是更具体的年龄金字塔。至于标准的霍克斯人口代表，我们可以计算整个人口结构的函数，甚至可以依赖于时间。考虑一个函数ft（a，x）5.1描述两个种群的动态随时间变化，以及个体的年龄和特征。这可以通过HZ（i）t，fti=ZR+×R+ft（a，x）Z（i）t（da，dx），（28）对i=1或i=2的总体进行计算。例如，霍克斯过程是N（2）t=hZ（2）t，1i。

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能者818

2022-5-8 03:55:05

此外，方程（26）中给出的霍克斯过程N（2）t的强度λtof可以改写为λt=u（t）+hZ（2）t-, Φti+hZ（1）t-, ψti。这表明潜在的人口动态如下所示。（i）让我们首先描述外部冲击的总体（1）。它是由到达人口（1）的移民以ρ（t）的比率得出的；到达时，他们的年龄为0，并用分布H绘制了一些特征x。在t时属于人口（1）的任何个体（a，x）以ψt（a，x）的速率生育。新生儿属于人群（2）；它的年龄为0，一些特征用分布G绘制。（ii）现在让我们完成人口（2）的描述。除了人口（1）的出生，人口（2）还根据另外两种事件进化：移民和内部出生。移民以0岁的速率u（t）到达人口（2），并以分布G绘制特征。属于人口（2）的任何个体（a，x）在t时以Φt（a，x）的速率生育。新生鸟也属于种群（2）；它的年龄为0，一些特征用分布G绘制。这种动态如图1所示。至于我们对标准霍克斯过程的分析，关键的一步是研究人口结构随时间的动态变化。也就是说，当i=1或2时，过程hZ（i）t，fti的动力学是什么？下面的引理说明了这一点。引理6。对于每个函数f：（t，x，a）7→ ft（a，x）在t和a中是不同的，过程的动力学hZ（i）t，对于i=1或2，fti由dhz（i）t给出，fti=ZR+ft（0，x）N（i）（dt，dx）+hZ（i）t，（a+t） ftidt，其中点度量N（1）和N（2）由N（1）（dt，dx）=Xk给出≥1δ（Sk，Yk）（dt，dx）和N（2）（dt，dx）=Xn≥1δ（Tn，Xn）（dt，dx）。

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2022-5-8 03:55:07

（29）引理6的证明该证明是引理1的直接改编，使用（27）和（28）以及ft（t）的事实- s） =fs（0）+Zts（a+t）傅（u）- s）杜。与引理1类似，这个结果显示了左手边的纯跳跃部分，而漂移部分说明了老化项和时间依赖性。漂移既取决于hZ（i）t，afti和hZ（i）t，tfti是我们在下文中得出的结果的起点。5.2主要结果图1：移民出生过程的动态：移民抵达人口（1）（外部冲击）。然后每个个体1产生个体2（由外部冲击引起的事件）。同时，移民抵达人口2（因基线强度而发生的事件）。最后，每个个体2复制（自激）。一般移民的霍克斯过程可以恢复为个体数2.5.2。主要结果如下，我们介绍了允许恢复有限维马尔可夫动力学的假设。假设2。（i）出生率Φ和ψ是非负的，满足Φt（a，x）=v（t）φ（a，x）和ψt（a，x）=w（t）ψ（a，x），其中φ（n）（a，x）=c-1+n-1Xk=0ckφ（k）（a，x）和v（p）（t）=d-1（t）+p-1Xl=0dl（t）v（l）（t），带n，p≥ 初始条件φ（k）（0，x）=φ（k）（x）和ψ（m）（a，x）=r-1+m-1Xk=0rkψ（k）（a，x）和w（q）（t）=k-1（t）+q-1Xl=0kl（t）w（l）（t），带m，q≥ 初始条件ψ（k）（0，x）=ψ（k）（x）。注意，我们使用了旋转f（k）（a，x）=akf（a，x）。（ii）地图（dl）-1.≤L≤P-1和（吉隆坡）-1.≤L≤Q-1你是连续的。备注2。假设2定义了一类广泛的自激励和外部激励生育函数，其形式为Φt（a，x）=v（t）φ（a，x）。让我们首先关注与时间无关的部分，并引入F（a，x），使得F=（1，φ，…，φ（n）-1））然后。2主要结果f=CF，其中C在（7）中定义。

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2022-5-8 03:55:11

特别地，如果多项式P（y）=yn-Pn-1k=0ckykis分裂，有明显的根y。。。，YP和相应的乘法YN。。。，np，那么φ可以写成一个常数asPpi=1Pi（x，a）Eyia，其中Pi是a中的多项式，次数最多为ni- 1的系数可能取决于x。这包括Dassios和Zhao（2011）的框架，其中Φt（a，x）=ψt（a，x）=xe-δa.由于我们还考虑了时间依赖性，满足2的出生率Φ和ψ似乎也有助于定义非平稳霍克斯过程，尤其是包括季节性。例如，我们可以简单地想象一个形式为cos（αt）φ（a，x）的核，其中v（t）=cos（αt）满足v=4α（1）- v）。这一部分的目的是展示一些指数鞅，这将导致我们计算整个动力学的拉普拉斯变换。这特别提供了霍克斯过程与一般移民及其强度的联合拉普拉斯变换。这是本文的主要结果。我们首先陈述以下引理。引理7。让我们来定义-1.≤ K≤ N- 1和-1.≤ L≤ P- 1，Xk，lt:=hZ（2）t，aktlΦti和for-1.≤ K≤ M-1和-1.≤ L≤ Q-1，Yk，l:=hZ（1）t，aktlψti。让我们也来定义两个矩阵M（2）t=X（k，l）t-1.≤K≤N-1.-1.≤L≤P-1和M（1）t=Y（k，l）t-1.≤K≤M-1.-1.≤L≤Q-1.（i）让我们回忆一下，D表示给定矩阵D的转置。过程M（1）和M（2）遵循动态dm（i）t=ZR+W（i）（t，x）N（i）（dt，dx）+C（i）M（i）t+M（i）t\'D（i）t, （30）式中oW（1）k，l（t，x）=W（l）（t）ψ（k）（x）-1.≤ K≤ M- 1和-1.≤ L≤ Q- 1，oW（2）k，l（t，x）=v（l）（t）φ（k）（x）对于-1.≤ K≤ N- 1和-1.≤ L≤ P- 1，oC（1）=C（r），C（2）=C（C），D（1）t=C（k（t））和D（2）t=C（D（t）），其中C（.）由方程式（7）确定。（ii）由于动力（30），M（1）t，M（2）tT≥这是一个马尔可夫过程。引理7的证明我们关注Xk，l的动力学，Yk，l的问题也是一样的。

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2022-5-8 03:55:14

引理6中的0≤ K≤ N- 2和0≤ L≤ P- 2，dXk，lt=v（l）（t）ZR+φ（k）（x）N（2）（dt，dx）+（Xk+1，lt+Xk，l+1t）dt。（31）5.2假设2的主要结果，Xn，lt=Pn-1k=-1ckXk，Lt和Xk，nt=Pp-1l=-1dl（t）Xk，lt.这表明对于0≤ L≤ P- 2，dXn-1，lt=v（l）（t）ZR+φ（n）-1）（x）N（2）（dt，dx）+N-1Xk=-1ckXk，lt+Xn-1，l+1t！dt，（32）和0≤ K≤ N- 2，dXk，p-1t=v（p-1）（t）ZR+φ（k）（x）N（2）（dt，dx）+Xk+1，p-1t+p-1Xl=-1dl（t）Xk，lt！dt。（33）还有-1，p-1t=v（p-1）（t）ZR+φ（n）-1）（x）N（2）（dt，dx）+N-1Xk=-1ckXk，p-1t+p-1Xl=-1dl（t）Xn-1，中尉！dt，（34）此外，引理6给出了0≤ L≤ P- 1，dX-1，lt=v（l）（t）dN（2）t+X-1，l+1tdt。（35）和0≤ K≤ N- 2，dXk，-1t=ZR+φ（k）（x）N（2）（dt，dx）+Xk+1，-1tdt。（36）最后，再次通过假设2，我们得到以下两个方程：-1，p-1t=v（p-1）（t）dN（2）t+p-1Xl=-1dl（t）X-1，中尉！dt，（37）和dxn-1.-1t=ZR+φ（n）-1）（x）N（2）（dt，dx）+N-1Xk=-1ckXk，-1t！dt。（38）从方程（31）到（38），我们可以推导出动力学（30）。为了确保拉普拉斯变换在以下定理中的可处理性，我们还陈述了以下假设。假设3。对于每个λ>0，ZR+expλmax0≤K≤N-1φ（k）（x）G（x）dx<+∞.我们的主要结果如下。请注意，矩阵“uM givenby Tr（\'uM）=Pk，luk，lMk，l的轨迹计算了agiven矩阵M的组成部分的线性组合，并且回忆一下，“u表示矩阵u的换位。5.2主要结果ToRem 8。

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可人4

2022-5-8 03:55:17

让我们表示由（M（1），M（2））生成的规范过滤。在假设2下，（i）对于任何具有导数（A（1）t）和（A（2）t）的确定性和可微分矩阵（A（1）t）和（A（2）t），以下过程是FM鞅：Xi=1TrA（i）tM（i）t-ZtTrA（i）sC（i）M（i）s+A（i）sM（i）s\'D（i）s+A（i）sM（i）sds-ZtZR+eTrA（1）西南（1）（s，x）- 1.ρ（s）H（x）dxds-ZtZR+eTrA（2）西南（2）（s，x）- 1.u（s）+M（1）s[0,0]+M（2）s[0,0]G（x）dxds.（39）（ii）对于每个分别具有（n+1）（p+1）和（m+1）（q+1）维数的矩阵u和v，联合拉普拉斯变换可以表示为hexpTr（\'uM（1）t+\'vM（2）t）i=expZtZR+eTrA（1）西南（1）（s，x）- 1.ρ（s）H（x）dxds+ZtZR+eTrA（2）西南（2）（s，x）- 1.u（s）G（x）dxds,（40）我为什么∈ {1,2}，A（i）t+A（i）tC（i）+D（i）tA（i）t=锆+1.- eTrA（2）tW（2）（t，x）G（x）dxK、（41）终端条件为A（1）T=\'u和A（2）T=\'v，（42），其中矩阵K由K=\'JJ给出，J在（13）中给出。此外，如果假设3满足，则存在（41）-（42）的解。定理8的证明我们首先展示指数鞅（39）。让我们表示hN（i），Hit=RtRR+H（s，x）N（i）（ds，dx）。对于确定性α（t，x）和β（t，x），则根据经典指数公式，以下过程是鞅exphN（1）、αit+hN（2）、βit-ZtZR+eα（s，x）- 1.ρ（s）H（x）dxds-ZtZR+eβ（s，x）- 1.u（s）+hZ（1）s-, ψsi+hZ（2）s-, ΦsiG（x）dxds.（43）现在的目标是计算过程M（1）和M（2）t的联合拉普拉斯变换。这仍然是为了计算EheTr（\'u.M（1）t+\'v.M（2）t）i，因为Tr（\'u.M）=Pk，luk，lMk，l.5.2主要结果让我们分别考虑两个（确定性）过程A（1）和A（2）两个尺寸（M+1）（q+1）和（n+1）（p+1）。通过部件集成，dA（i）tM（i）t=A（i）tdM（i）t+A（i）tM（i）tdt。

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2022-5-8 03:55:20

从（30）开始，我们得到了动态CSDTRA（i）tM（i）t=ZR+TrA（i）tW（i）（t，x）N（i）（dt，dx）+TrC（i）M（i）t+M（i）t\'D（i）t+A（i）tM（i）t让我们现在使用方程（43）和α（t，x）=TrA（1）tW（1）（t，x）β（t，x）=TrA（2）tW（2）（t，x）得到鞅（39）。为了得到拉普拉斯变换，仍然需要使被积函数（39）的随机部分消失。为此，让我们首先确定M（1）中的术语，以获得i=1的线性方程（41）。此外，对于i=2，M（2）中的项导致（41）。如果weset终端条件（42），我们通过（39）的鞅性质得到拉普拉斯变换（40）。利用柯西-利普希茨定理来总结这个定理的存在性和唯一性。为了证明Cto（41）类解的存在性和唯一性，有必要证明映射（Y，t）7→RR+eTr（yw（2）（t，x））G（x）dx属于C类。由于被积函数是由假设2（i）和（ii）给出的，因此有必要证明eTr（Y W（2）（t，x））Y，eTr（Y W（2）（t，x））tW（2）（t，x）（44）局部有界于某个独立于Y和t的量，并且相对于G是可积的。让我们使用一些局部化参数，并定义setB（0，r）={A实（n+1）×（p+1）矩阵，使得kAk∞≤ r} ，其中r>0和kak∞= 最大值-1.≤我≤N-1便士-1j=-1 |哎，j |。现在，对于（Y，t）∈ B（0，r）×我们得到expTrY W（2）（t，x）≤ 扩展-1Xi=-1p-1Xk=-1 |易，k|W（2）k，i（t，x）!≤ exp（n+1）最大值-1.≤我≤N-1p-1Xk=-1 |易，k|W（2）k，i（t，x）!≤ expr（n+1）最大值-1.≤L≤P-1中断∈[0，T]v（l）（t）最大值-1.≤K≤N-1.φ（k）（x）!,上一次的不平等使用了Y∈ B（0，r）。至于（44）的第一部分，“Yl，k≤ 对于第二个组成部分tW（2）k，l（t，x）≤φ（k）（x）监督∈[0，T]v（l+1）（t）, 通过使用假设2和假设3得出结论。

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2022-5-8 03:55:24

5.3关于路径代表5。3.关于霍克斯过程的路径代表性至于标准的霍克斯过程，我们可以用普通移民及其底层人口给出霍克斯过程的路径代表性。为此，让我们首先将第4节中的细化构造扩展到带有标记的点过程。泊松点测度不仅可以用来表示计数过程，还可以用来表示R+×E上的一般随机点测度，比如Γ（ds，dy）=Pn≥1δ（Tn，Yn）（ds，dy），其中（E，E）是一些可测空间。至于霍克斯过程，TN被视为个人进入人口的时间（移民或出生）。此外，E代表特征空间，符号Yn指的是到达时间Tn的个体所继承的特征。让我们构造一个随机点度量Γ（ds，dy），其一般强度度量γ（ds，dy）假设它允许一个密度：γ（ds，dy）=γ（s，y）dsu（dy）。在这个模型中，事件发生的强度为s7→Rx∈Eγ（s，x）u（dx），如果出生发生在时间Tn，则新生儿的特征yn用分布γ（Tn，y）u（dy）Rx绘制∈Eγ（Tn，x）u（dx）。设Q（ds，dy，dθ）是R+×E×R+上的泊松点测度，强度测度为u（dy）dθ。让我们仍然表示（FQt）由Q生成的规范过滤，并引入P（FQt）与FQt相关的可预测σ场。我们进一步假设γ（t，y）是P（FQt）×E-可测的，也假设γ（s，y）dsu（dy）<+∞ a、 s。。现在，定义Γ（ds，dy）=ZR+[0，γ（s，y）]（θ）Q（ds，dy，dθ）。（45）这清楚地定义了一个点度量，Q的鞅性质确保了随机点度量Γ（ds，dy）具有强度度量γ（s，y）dsu（dy）。这种构造可以在Massoulié（1998）中找到；更多细节请参阅本文。我们现在准备构造给定不等式（29）的两点测度N（1）和N（2）。

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