中径向对称边值之间的最优布朗停止

2022-6-1 16:20:59

一般维度径向对称边缘之间的最优布朗停止由Nassif Ghoussoub+Young Heon Kim+和Tongseok Lim+不列颠哥伦比亚大学+和牛津大学+在Rd上给出初始（分别，终端）概率度量u（分别，ν），我们描述了最大化或最小化函数E | B的最优停止时间τ- Bτ|α，α>0，其中（Bt）具有初始定律B的提斯布朗运动~ u和最终分布-一旦在τ处停止-等于Bτ~ ν. 这种停止时间的存在是由Skorohod类型的概率测度嵌入到布朗运动中的“次谐波序”来保证的。该问题等价于一个具有一定约束的最优质量输运问题，即最优次调和鞅输运问题。在u和ν上径向对称的假设下，我们证明了最佳停止时间是一个合适势垒的击中时间，Hencei是非随机化的，并且是唯一的。1、简介。设u和ν为Rd，d上的两个概率测度≥ 2具有有限的一阶矩，并让（Bt）t生成具有初始定律u的布朗运动。我们考虑以下关于布朗过滤的停止时间集（可能为空）：T（u，ν）={τ|τ是停止时间，B~ u，Bτ~ ν、和E[τ]<∞},在这里和续集中，符号X~ λ表示随机变量X的定律是概率测度λ。对于成本函数c:Rd×Rd→ R、我们将考虑以下优化问题：在τ上最大化/最小化E[c（B，Bτ）]∈ T（u，ν），（1.1）*这两位第一作者部分得到了加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC）的支持。Y、 H.Kim还得到了阿尔弗雷德·P·斯隆研究奖学金的支持。T

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2022-6-1 16:21:02

Lim得到了不列颠哥伦比亚大学博士研究生奖学金、奥地利科学基金会（FWF）通过Y782拨款以及欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）/ERC第335421号拨款协议下的欧洲研究理事会的部分支持。这项研究的一部分是作者在2014年秋季“变分法”主题项目期间访问多伦多菲尔德研究所时完成的。我们感谢研究所提供的热情好客和良好的研究环境。MSC 2010学科分类：初级49-XX、60-XX；次要52个XX关键词和短语：最佳传输、Skorokhod嵌入、单调性、径向对称性。2 N.GHOUSSOUB、Y-H KIM和T.LIMprovided当然T（u，ν）是非空的。回想一下，过滤概率空间上的停止时间(Ohm, F、（Ft）t，P）是arandom变量τ：Ohm → [0, +∞] 使得{τ≤ t}∈ 每t的FTF≥ 0.a最大停车时间是一个概率度量τonOhm × [0, +∞] 这样foreach u∈ R+，随机时间ρu（ω）：=inf{t≥ 0：τω（[0，t]）≥ u} 是一个停止时间，其中（τω）是τ沿路径ω的分解，根据P，即τ（dω，dt）=τω（dt）P（dω）。在续集中，“停止时间”是指随机停止时间，除非另有说明。我们注意到，如果衰变τω是P a.e.ω在R+上的狄拉克测度，则停止时间是非随机化的。在本文中，我们将重点讨论formc（x，y）=| x的成本函数- y |α，（1.2），其中0<α6=2，尽管大多数结果可以应用于更一般的形式c（x，y）=f（| x）的成本函数- y |），其中f:R+→ R是一个连续函数，因此f（0）=0。本文的目的是确定和描述此类最佳停车时间，即达到（1.1）的时间。

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2022-6-1 16:21:05

特别是，我们将调查最佳停车时间何时是“真实”停车时间，而不是随机的，因此是唯一的。但首先，我们回顾了Skorokhod嵌入问题（SEP）——本质上要求哪些对（u，ν），集合T（u，ν）是非空的——是由Korokhod在20世纪60年代早期提出的。从那时起，大量研究人员对该问题及其变体进行了研究，并在概率论和随机过程中产生了一些重要结果。我们参考Ob l’oj【34】了解该主题的卓越研究，其中描述了不少于21种（SEP）解决方案。最近，霍布森（Hobson）[26]将SEP与金融工具的稳健定价和对冲联系起来。此外，霍布森·克里梅克（Hobson Klimmek）[28]和霍布森·纽伯格（HobsonNeuberger）[29]将其与为远期启动跨座（forward StartingSpaddle）确定稳健的价格界限联系在一起。另见霍布森的优秀调查【27】。因此，人们的兴趣转移到在解决的问题（SEP）中找到最优解决方案的问题上。换言之，在T（u，ν）中的停止时间中，最大化或最小化给定的成本函数。在对这些问题做出的众多贡献中，我们仅列举了贝格洛克·考克斯·休斯曼（Beiglb¨ock Cox Huesmann）[4]、考克斯·奥布·洛伊图兹（Cox Ob l\'ojTouzi）[13]、多林斯基·索纳（Dolinsky Soner）[15、16]、郭Tan Touzi（25%）、科巴拉德·谭Touzi（K¨allblad Tan Touzi。然而，我们确实挑出了Beiglb¨ock CoxHuesmann[4]最近的工作，该工作使用了最佳SEP和最佳质量输运理论之间的类比，以确定和证明所谓的单调性原理（MP），这将是本文使用的主要工具之一。我们注意到，上面提到的大多数文章和调查只涉及边缘是实线度量的情况。底层空间的维数更高的情况更为微妙。

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2022-6-1 16:21:08

这在我们的论文【22】中得到了说明，在这里我们处理一般鞅质量输运。本文研究了径向对称边缘之间的最优SKOROKHOD嵌入问题以及高维中一些相关的最优停止问题。使SEP研究更多地涉及到更高维度的事实是≥ 2、有许多与高维布朗运动相容的凸性自然概念，如次调和性和多重次调和性，这些概念比凸性更一般，有时更微妙。除非T（u，ν）非空，否则优化问题（1.1）显然毫无意义。自{f（Bt），t≥ 0}是Rd上任何次调和函数f的子鞅，我们有Ef（B）≤ Ef（Bτ），因此（1.3）Zf du≤Zf dν，这显然是T（u，ν）非空的必要条件。这种条件也是有效的，这是许多研究的主题，从斯科罗霍德在一维情况下的原始工作开始。我们还参考了门罗（Monroe）[33]、罗斯特（Rost）[38]、查孔·沃尔什（ChaconWalsh）[11]、福克纳（Falkner）[19]和许多其他人的研究成果，以获得不同的证据。在第2节中，我们将给出这一事实的另一个证明，并证明每一步次调和鞅（X，Y），即验证（1.4）f（X）的任意一对随机变量≤ E[f（Y）| X]对于每个f次谐波，都可以通过停止布朗运动来实现，即存在一个-可能随机-停止时间τ，使得（1.5）（B，Bτ）和（X，Y）具有相同的联合分布。我们将在第3节中使用这一事实来证明以下对偶结果：用SH（O）表示开集O上的次调和函数锥，并考虑O×O.P（O×O）={P上的函数锥∈ C（O×O）| p（x，x）=0和p（x，·）∈ 所有x的SH（O）∈ O} 。定理1.1。

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2022-6-1 16:21:11

假设u，ν是满足（1.3）的两个紧支撑概率度量，因此suppu∪ suppν包含在开集O中。如果cis是O×O上的连续代价，则以下对偶成立：inf{E[c（B，Bτ）]；τ∈ T（u，ν）}=supZOβdν-ZOαdu；(β, α) ∈ Kc（O）,式中，kc（O）：={α，β：O→ R局部Lipschitz，这样就有p∈ P（O×O）带β（y）- α（x）+p（x，y）≤ c（x，y）x、 y型∈ 面向对象。4 N.GHOUSSOUB、Y-H KIM和T.LIMIn为了证明这种对偶性，我们使用了（1.1）实际上等价于最优次调和鞅问题的事实。实际上，首先回顾一下最优鞅问题包括以下内容：最小化成本[π]=ZZO×Oc（x，y）dπ（x，y）除以π∈ MT（u，ν）（1.6），其中MT（u，ν）是鞅运输计划集，即O×O上的概率π集，使得oπ具有边缘u和ν对于每个π∈ MT（u，ν），其崩解（πx）x∈Rdw。r、 t.u使得πxis的重心位于x。换句话说，对于O上的任何凸函数f Rd，g（x）≤ZOg（y）dπx（y）。（1.7）问题（1.6）已经得到了广泛的研究，特别是Beiglb¨ock Juillet【7】、Beiglb¨ock Nutz Touzi【8】在一维方面的研究，以及Ghousoub Kim Lim【22】最近在更高维方面的研究。此外，关于鞅输运的高维分解的最新进展，见De March Touzi【14】和Ob l’oj Siorpaes【35】。在我们的情况下，我们需要考虑亚调和鞅运输计划的类，即那些π的类SMTO（u，ν）∈ MT（u，ν），使得不等式（1.7）也适用于O上的每个次谐波函数f。这就导致了次谐波鞅最优传输（SMOT）问题：最小代价[π]=ZZO×Oc（x，y）dπ（x，y）除以π∈ SMTO（u，ν）。（1.8）由于每个凸函数都是次谐函数，SMTO（u，ν） MT（u，ν），对于d=1，这两组是相同的。

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2022-6-1 16:21:14

然而，对于d≥ 2、纳入严格，问题（1.6）和（1.8）有所不同。实际上，如果u是单位球体inRd上的统一度量，且ν的一半质量位于原点，另一半均匀分布在半径为2的球体上，那么很明显，MT（u，ν）6=. 另一方面，如果我们考虑次谐波函数g（z）=log | z |，那么zg（z）du（z）>-∞ =Zg（z）dν（z），这意味着SMTO（u，ν）=.然而，就像一维中的凸情形一样，我们将能够显示inf{E[c（B，Bτ）]；τ∈ T（u，ν）}=infZZO×Oc（x，y）dπ；π ∈ SMTO（u，ν）.（1.9）径向对称边缘之间的最佳SKOROKHOD嵌入5然后我们解决了我们的主要问题，即表明（1.1）中的最佳停止时间不是随机的，因此是唯一的。虽然我们将在即将发表的一篇论文[23]中表明，在适当的条件下，这一结论将适用于一般边缘u，ν，但一般情况仍然难以捉摸。在本文中，我们将关注u和ν径向对称的情况，这有其自身的兴趣。定理1.2。假设u，ν在Rd，d上是径向对称且紧支撑的概率测度≥ 2、假设u∧ ν=0，u（{0}）=0。设c（x，y）=x- y |α，其中0<α6=2。然后，边际u，ν下的优化问题（1.1）的解是唯一的，并且由非随机停止时间给出。我们注意到，对于极小化问题，当0<α≤ 1，假设u∧ ν=0将不是必需的。2、球面鞅与Skorohod嵌入。在本节中，weshall将证明以下结果，这些结果属于围绕Skorohod嵌入的一系列结果。如果u，ν是O ofRd域中支持的两个概率度量，我们有时会使用Choquet理论的Reminesent表示法uOνifROfdu≤每f的ROfdν∈ SH（O）。定理2.1。

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2022-6-1 16:21:18

设u，ν是Rd上的两个紧支撑概率测度，O是包含suppu的开集∪ 补充ν。然后，以下属性是等效的：1。u Oν。2、存在一个次调和鞅计划π∈ SMTO（u，ν）。此外，对于每个次调和鞅计划π∈ SM到（u，ν），存在一个映射时间τ和一个d维布朗运动（Bt），其中定律（B）=u，定律（Bτ）=ν，π是（B，Bτ）的联合分布。此外，τ=τ∧ κ、式中，κ是Btfrom O的首次退出时间。换句话说，TO（u，ν）是非空的。备注2.2。如果u，ν不是紧支撑的，而是在它们有有限的二阶矩的条件下，同样的结果成立。在这种情况下，条件是uOν应替换为ZRDFDu≤每f的ZRdfdν∈ SH（Rd）带f（x）≤ Cf（1+| x |）。在这种情况下，TO（u，ν）再次是非空的，并且存在一个停止时间τ和一维布朗运动（Bt），其中定律（B）=u，定律（Bτ）=ν，和（Bτ∧t） t型≥0是一个L有界鞅。6 N.GHOUSSOUB、Y-H KIM和T.LIMTo证明1）意味着2），我们将使用Strassen经典定理的以下变体【40】。设Lip（O）是O上有界函数和Lipschitz函数的Banach空间。由O上的所有Borel概率测度组成的集P（O）将与对偶空间Lip（O）的一个闭有界凸集识别*. 证明了可测映射T:O的存在性→ P（O）使得所有函数f的i）hν，f i=RhT（x），fidu（x）∈ 边缘（O）。ii）δxSH（O）πxf或u-几乎所有x∈ O、为此，确定每个f∈ Lip（O）函数^f（x）=inf{ν（x）；-φ ∈ SH（O）和Д≥ f}。关于所有简单Borel函数θ：O的向量空间S→ Lip（O），定义公共职能部门→ R乘以p（θ）=Rθ（x）^（x）du（x）。设Sbe为由形式XB的函数生成的子空间定义人（XB f）（x）=f如果x∈ B0如果x/∈ b定义线性函数l(11 f） =hν，fi。

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2022-6-1 16:21:21

订单uOν意味着l ≤ S上的p。让▄l 是的任何Hahn Banach扩展l 然后我们可以检查向量measurem：∑→ 边缘（O）*由hm（A）确定的钻孔σ-现场POF，hi=~l（XA） h）对于所有A∈ ∑andh∈ Cb（O）的平均范围为P（O）：ism（A）u（A）∈ 所有A的P（O）∈P、由于后者具有Radon-Nikodym性质【17，18】，m的密度为T:O→ P（O）。很容易检查T在P（O）中的值是否满足i）和ii）。现在通过π（D）=RT（x）（Dx）Du（x）确定O×O上的概率π，其中Dx={y∈ O；（x，y）∈ D） }。很容易证明π是次调和鞅π∈ SMTO（u，ν）。对于定理的第二部分，我们引入了球面鞅的概念。定义2.3。设U是单位球面inRd上的一致概率测度。Let（Xi）∞i=某概率空间上的1be i.i.d随机变量(Ohm, P），其分布为U。我们定义球面鞅如下：F=x∈ Rd（2.1）Fn（X，…，Xn）- Fn公司-1（X，…，Xn-1） =rn（X，…，Xn-1） ·Xn。（2.2）换句话说，在每次n时，一个粒子均匀地分裂到半径为rn的环绕球体上。一个简单但重要的观察结果是，球面鞅fn在δxb的径向对称边缘7测量之间的前推最优SKOROKHOD嵌入与Bxτ具有相同的规律，其中停止时间τ定义如下：τ是第一次Bx，其球面S（x，r）以x为中心，半径为r。IfBτ（ω）=x∈ S（x，r），然后定义τ为球体（x，r）的第一次击中时间bx。然后可以归纳地确定一系列停止时间τ≤ τ≤ ...使得Fn（P）=定律（Bxτn）。下面的引理类似于Bu Schachermayer[10，命题2.1]在球面鞅情况下的结果。引理2.4。设O是rdf中的开集，f:O→ R∪ {-∞} 是上半连续函数。

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2022-6-1 16:21:25

定义f=f，对于n≥ 1fn（x）=infZfn公司-1（x+ry）dU（y）其中，母公司接管了所有r≥ 0使得{x+rB} O、然后（fn）∞n=0逐点减少到由f支配的O上的最大次谐波函数^f。证据首先注意序列（fn）∞n=0正在减小。为了显示^f的上半连续性，我们进行归纳并假设fn-1上部半连续。If（xk）∞k=0英寸O是指limk→∞xk=x和r≥ 0是这样的{x+rB}O、其中b是闭单位球，那么k是{xk+rB} Ofor k≥ k、上半连续函数fn-1在相对紧集上有界∪∞k=k{xk+rB}，对于每个z∈ B、 fn公司-1（x+rz）≥lim SUP公司→∞fn公司-1（xk+rz）。因此由Fatou引理Zfn-1（x+ry）dU（y）≥ lim SUP公司→∞Zfn公司-1（xk+ry）dU（y）≥ lim SUP公司→∞fn（xk）。因此fn（x）≥ lim SUP公司→∞fn（xk），因此表明fn和由此产生的^f是上半连续的。设g是O上g的次调和函数≤ f同样，假设g≤ fn公司-1，则对于{x+rB} O、 Zfn公司-1（x+ry）dU（y）≥Zg（x+ry）dU（y）≥ g（x）和so fn（x）≥ g（x）。因此^f≥ g、最后，对于{x+rB} O、我们从单调收敛^f（x）=limn得到→∞fn（x）≤ 画→∞Zfn公司-1（x+ry）dU（y）=Z^f（x+ry）dU（y）。这表明^f是次谐波的，引理的证明是完整的。8 N.GHOUSSOUB、Y-H KIM和T.LIMWe现在可以将fn重写如下：fn（x）=inf{E[f（fn）]：（Fi）ni=0是O中的球面鞅，f=x}。（2.3）引理2.5。设u，ν为定理2.1中的概率，使得uOν，andΦ是Lip的以下子集*（O），这是所有有限测度onO的空间，具有有限的一阶矩，Φ={Fn（P）：（Fi）ni=0是一个球面鞅，值为O，F~ u}.对于某些σ，设置▄ν：=（1+| x |）ν和▄Φ=（1+| x |）Φ：={▄σ|▄σ=（1+| x |）σ∈ Φ}.那么ν处于弱态*-唇口处￠Φ闭合*（O）。证据首先观察Φ是凸的。

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2022-6-1 16:21:28

实际上，如果（F′i）ni=0和（F′i）mi=0是两个球面鞅，我们可以假设n=m，然后通过让F=F定义球面鞅（Fi）n+1i=0~ u和1≤ 我≤ n、 Fi+1（X，X，…，Xi+1）=（F′i（X，…，Xi+1）如果Xis在上半球，F′i（X，…，Xi+1）如果Xis在下半球。显然Fn+1（P）={F′n（P）+F′n（P）}/2，因此Φ是凸的，因此Φ=（1+| x |）Φ在唇部是凸的*（O）。如果现在引理的陈述是错误的，那么根据哈恩-巴拿赫定理，我们可以在O和实数a<b上找到Lipschitz函数f，这样zg dν≤ a、 whileZg公司o FndP公司≥ b每Fn（P）∈ Φ，其中g（x）=（1+| x |）f（x）。但由于Φ中的每个元素都有初始分布u，那么通过引理2.4和（2.3），我们得到了r^g du≥ b，因此a≥Rg dν≥R^g dν≥R^g du≥ b、这是一个矛盾。定理2.1的证明。根据定理2.5，我们有一个序列{νn} ΦsuchthatR | x | dνn（x）→R | x | dν（x）。我们知道，νn=稳定时间τ序列的定律（Bτn）和初始定律为u的布朗运动B。因此，特别是τn=E | Bτn |=R | x | dνn（x）≤ 对于某些常数V和所有n，序列（τn）是紧的，并且标准的是，它有一个收敛的子序列到a–可能随机化–停止时间τ，这样Ef（Bτk）→ Ef（Bτ）表示Rd上的f连续有界函数（参见示例[3]或[4]）。换句话说，定律（Bτk）→ 定律（Bτ），因此，Bτ~ ν. 注意，τk=τk∧ κ由Φ定义，因此τ也满足τ=τ∧ κ. 还要注意，Eτ=E | Bτ|≤ V也是，因此是鞅（Bτ∧t） t型≥0在L中有界。径向对称边缘9let nowπ为次调和鞅计划，let（πx）xbe其分解w之间的最优SKOROKHOD嵌入。r、 t.u。设（Bt）为带B的布朗运动~ u.

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能者818

2022-6-1 16:21:31

自δx起几乎所有x的Oπxf，并注意到带Bt- 完全独立，我们可以应用上面的方法来选择可测量的停止时间τ，这样给定B，我们就有了定律（Bτ∈ · | B） =πB（·）。很明显，定律（B，Bτ）=π。以下内容立即生效。推论2.6。假设u，ν是紧支持的，并且O是包含suppu的开放集∪ 补充ν。如果uOν，then，inf{E[c（B，Bτ）]；τ∈ T（u，ν）}=infZZO×Oc（x，y）dπ；π ∈ SMT（u，ν）.3、最优Skorohod嵌入问题的弱对偶性。从现在起，我们将假设规定的边缘u和ν在大量的开放球O中得到支持因此，续集中出现的每个度量值也支持O，并且对于每个停止时间τ，τ=τ∧ κ、式中，κ是布朗运动从O.换句话说，任何人都无法逃脱“宇宙”O。之所以做出这种假设，是因为我们要处理每一个α>0的成本（1.2），并且应该能够根据（1.2）中的α在边缘u，ν上假设适当的力矩条件。例如，如果α≤ 2那么u，ν只能假设有有限的二阶矩，并且相同的参数将在没有明显修改的情况下工作。为了证明定理1.1，我们首先证明了次调和鞅最优运输问题的弱对偶性。为此，我们首先用它们相对于锥P（O×O）的“正交性”来刻画这些鞅。引理3.1。假设π∈ Prob（O×O）是这样的，它的第一个边缘π相对于Lebesgue测度是绝对连续的。那么，π是O上的次调和鞅输运计划当且仅当（3.1）ZUp（x，y）dπ（x，y）≥ 0p∈ P（O×O）和a.e.x∈ O、证明。

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2022-6-1 16:21:34

首先注意，如果π∈ SMT（O），然后对于任何p∈ P（O×O）我们有，这要归功于y7的次谐波→ p（x，y），thatZp（x，y）dπ（x，y）=Zp（x，y）dπx（y）dπ（x）≥Zp（x，x）dπ（x）=0。相反，我们假设（3.1）成立，并考虑公式p（x，y）=ψz（x）（ν（y））的函数- ^1（x）），10 N.GHOUSSOUB，Y-H KIM和T.LIMwhere 0≤ ψz∈ C（O），ψz→ δzin Las→ 0，且ν是O上的任意次谐波函数。显然p（x，y）∈ P（O×O），因此，0≤Zp（x，y）dπ（x，y）=ZψZ（x）ZИ（y）dπx（y）- ^1（x）dπ（x）。取→ 0，并看到对于两个可测函数x 7的每个勒贝格密度点z→RД（y）dπx（y）- ν（x）和度量π，0≤ZИ（y）dπZ（y）- ^1（z）。由于π是绝对连续的，这表明π∈ 根据需要进行SMT（O），完成证明。有了这个引理，我们可以通过使用标准参数来证明以下对偶性。提案3.2。假设u，ν在有界开集O中紧支撑，使得u相对于Lebesgue测度和u是绝对连续的Oν。如果c是O×O上的连续代价，那么以下对偶成立：infZO×Oc（x，y）dπ|π∈ SMT（u，ν）= 啜饮ZOβdν-ZOαdu；(β, α) ∈ Kc（O）,式中，kc（O）：={α，β：O→ R局部Lipschitz，这样就有p∈ P（O×O）带β（y）- α（x）+p（x，y）≤ c（x，y）x、 y型∈ 面向对象。证据

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2022-6-1 16:21:37

显然，右手边比左手边小，因为对于Kc（O）中的每一个α，β及其对应的p（O×O），我们有rp（x，y）dπ（x，y）≥0和π具有边缘u和ν。对于反向不等式，我们首先注意到成本为c（x，y）的标准最优运输问题的Kantorovich对偶- p（x，y），收益率为ZOβdν-ZOαdu；(β, α) ∈ Kc（O）= 支持∈Pinfπ∈Γ（u，ν）Z（c（x，y）- p（x，y））dπ。现在，通过冯·诺依曼最小-最大定理，我们可以交换inf和sup的阶（注意，X=Γ（u，ν）在Prob（Rd×Rd）中是紧凸的，而Y=pshisponic在L(Ohm × Ohm)) 要得到那个SUPZOβdν-ZOαdu；(β, α) ∈ Kc（O）= infπ∈Γ（u，ν）支持∈PZ（c（x，y）- p（x，y））dπ。（3.2）径向对称边缘之间的最佳SKOROKHOD嵌入11现在，请注意，后者中p上的上确界只能在NRP（x，y）dπ（x，y）=0时才能确定，因为否则，对于某些λ6=0，我们可以将p替换为λp，使得积分R（c（x，y）的值为-λp（x，y））dπ（x，y）尽可能大。因此，从引理3.1中，可以将（3.2）中的上限限制为π∈ SMT（u，ν），即supZOβdν-ZOαdu；(β, α) ∈ Kc（O）= infπ∈SMT（u，ν）支持∈PZ（c（x，y）- p（x，y））dπ。但最后一个表达式大于或等于infZO×Oc（x，y）dπ|π∈ SMT（u，ν）,自0起∈ P（O×O）。这就完成了子MartingalTransport计划弱对偶性的证明。定理1.1的证明如下所述，并结合命题2.6.4。单调性原理及其对称形式。我们首先对我们操作的过滤布朗概率空间进行更精确的处理。我们考虑C（R+）={ω：R+→ Rd |ω（0）=0，ω连续}为从0开始的路径空间。概率空间为Ohm := C（R+）×R配备概率测度P：=W u，其中W是维纳测度，u是Rd上的给定（初始）概率测度。

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2022-6-1 16:21:40

停车时间和随机停车时间将与此明显过滤的概率空间有关。根据Beiglb¨ock-Cox-Huesmann[4]，我们让每个（ω，x）∈ Ohm 表示路径（ω，x）（t）=ωx（t）：=x+ω（t），从x开始∈ 然后，我们将S设为allstopped路径的集合ss={（fx，S）| fx：[0，S]→ Rdis连续且fx（0）=x}。（4.1）接下来，我们介绍给定的条件随机停止时间（fx，s）∈ S、也就是说，我们遵循路径fx直到时间S的归一化停止度量。对于（fx，S）∈ S和ω∈ C（R+），定义串联路径fx⊕ ωby（fx⊕ ω）（t）=fx（t）如果t≤ s、和（外汇）⊕ ω）（t）=fx（s）+ω（t- s）如果t>s。定义4.1（条件停止时间[4]）。给定ξ的条件随机化停止时间（fx，s）∈ S、由ξ（fx，S）表示，定义在ω上∈ C（R+）如下：ξ（fx，s）ω（[0，t]）=1- ξfx⊕ω（[0，s]）（ξfx⊕ω（[0，t+s]）- ξfx⊕ω（[0，s]）如果ξfx⊕ω（[0，s]）<1，ξ（fx，s）ω（{0}）=1如果ξfx⊕ω（[0，s]）=1.12 N.GHOUSSOUB，Y-H KIM和T.Lim根据[4]，这是“短柱”（fx，s）后面的“衬套”的归一化停止度量。注意ξfx⊕ω（[0，s]）不依赖于衬套ω。现在，我们对下面介绍的一个概念进行启发式描述。设τ为停止时间，并假设布朗运动从x开始，在t时达到y，然后继续运动直到停止时间τ，即Bxt（ω）=y，t<τ（ωx）。现在，根据强马尔可夫性质，布朗运动在到达y后将在剩余时间τ内继续- t导致（条件）概率测度ψy=定律（由τ-t）以y为中心。假设从x′开始的布朗运动在τ处停止，让y′=Bx′τ（ω′）。然后，我们将用（x）表示沿停止时间τ的这对传输→ ψy:x′→ y′）∈ τ.

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2022-6-1 16:21:43

然后，我们将考虑这对运输工具C（x）的以下成本→ ψy:x′→ y′）=Zc（x，z）dψy（z）+c（x′，y′）。（4.2）更正式地，考虑S是所有停止路径的集合，并让Γ S是给定停止时间τ的浓度集，即τ（Γ）=1。我们将写（x→ ψy:x′→ y′）∈ （τ，Γ），（4.3）如果存在（fx，t），（gx′，t′）∈ Γ和s<t，使得y=fx（s），y′=gx′（t′），ψy=定律（通过（τ（fx，s）））。在后半部分中，我们将用SH（x）表示重心x满足δx的任何概率测度ψOψ。如上所述，这些是从x开始的停止布朗运动可以得到的概率。下面的命题对我们的主要结果至关重要。Beiglb¨ock-Cox-Huesmann[4]证明了更一般的路径依赖成本。定理4.2（单调性原理[4]）。假设c是一个成本函数，τ是最小化问题（1.1）的最佳停止时间。然后，存在stsa Borel集合使得τ（Γ）=1，并且Γ在以下意义上是c-单调的：如果ψy∈ SH（y）和（x→ ψy:x′→ y）∈ （τ，Γ），thenC（x→ ψy:x′→ y）≤ C（x→ y:x′→ ψy）。（4.4）这里是单调性原则的首次简单应用。推论4.3。设τ为使问题（1.1）最小化的停止时间（u，ν），并假设c（x，y）=x- y |α，0<α≤ 那么，我们必须在公共质量u上取τ=0∧ν. 因此，最小化问题（1.1）可以限制为不相交的边缘|u：=u- u ∧ ν和？ν：=ν- u ∧ ν.证据事实上，如果不是，那么试探性地，在x inu处有一个粒子∧ νwhichdi fff用于某些ψx∈ SH（x）\\{δx}，因此y处的另一个粒子，y 6=x，必须在径向对称边缘13到x之间进行最佳SKOROKHOD嵌入，并弥补损失。

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2022-6-1 16:21:46

数学上，对于任何Γ τ（Γ）=1的S，应存在x，y∈ Rd，x 6=y和ψx∈ SH（x）\\{δx}，这样（x→ ψx:y→ x）∈ (τ, Γ).现在0<α≤ 1和z∈ Rd，| x- z |α+| y- x |α≥ |y- z |α，因此z | x- z |αdψx（z）+y- x |α≥Z | y- z |αdψx（z）。（4.5）换句话说，C（x→ ψx:y→ x）≥ C（x→ x：y→ ψx）。（4.6）但由于ψx6=δx，该不等式实际上是严格的，因此根据定理4.2，τ不能是极小值。备注4.4。注意，上述推论意味着，每当我们研究成本c（x，y）=| x的最小化问题时- y |α，0<α≤ 1，我们可以假设u∧ ν=0，但不丧失一般性。现在我们给出了定理4.2的一个变体，它利用了边缘u和ν的径向对称性。为此，我们将介绍与半径对称性相关的几个概念。首先，回想一下，可以将停止时间ξ视为停止路径集S上的概率度量。我们按照以下方式将ξ解释为运输计划：for（fx，s）∈ S、 ξ传输最小质量dξ（外汇，s）来自x∈ Rdtofx（s）∈ 沿路径的关系曲线（fx，s）。现在定义地图T:S→ Rd×RdbyT（（fx，s））=（x，fx（s）），设Tξ是映射T对测度ξ的推进，因此Tξ是Rd×Rd上的一个概率测度。现在我们给出了R-等价的定义。定义4.5。设λ（x）=| x |为模映射。如果λ的前推测度重合，即λ#Д=λ#ψ，则称Rd上的两个概率测度Д和ψ为R等价。然后我们写下~=Rψ。2、如果Tξ和Tζ的第一个边缘和第二个边缘分别为R-等效，则两个停车时间ξ和ζ称为R-等效。然后我们写ξ~=Rζ。[32]中针对鞅最优输运问题引入了以下对称化。这在本文中也很有用。设M是所有d×d实正交矩阵的群，H是M上的Haar14 N.GHOUSSOUB、Y-H KIM和T.LIMmeasure。

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2022-6-1 16:21:49

对于给定的M∈ M和停止时间ξ，我们将Mξ定义如下：对于每个a S、 set（Mξ）（A）=ξ（M（A））。显然，Mξ也是一个停止时间。现在我们引入对称化算子，它既作用于Rd上的概率测度，也作用于停止时间。定义4.6。对称化算子Θ作用于Rd上的概率测度集和停止时间集，如下所示：1。对于RDB和B上的每个概率度量u Rd，（μ）（B）=ZM∈M（Mu）（B）dH（M）。2、每次停车时间ξ和A S、（ξ）（A）=ZM∈M（Mξ）（A）dH（M）。观察到Θu是唯一的径向对称概率度量，isR相当于u。此外，对于任何停止时间ξ，请注意，如果Tξ具有边缘u和ν，则T（ξ）具有边缘u和ν。（4.7）这导致了以下重要观察结果：假设c（x，y）是旋转不变的成本函数，即c（Mx，My）=c（x，y），对于任何M∈ M、并将停车时间ξ的成本定义为：C（ξ）=ZRd×Rdc（x，y）Tξ（dx，dy）。如果ξ解决了最小化问题（1.1），其中Tξ具有径向对称边缘u和ν，那么对于任何停止时间ζ，我们必须有c（ζ）≥ C（ξ）每当ζ~=Rξ。（4.8）事实上，如果C（ζ）<C（ξ），则Θζ将以相同的边际u、ν和更低的成本解决最小化问题（1.1），这是一个矛盾。当然，如果ξ解决了最大化问题，那么（4.8）中的相反不等式必须成立。现在我们准备介绍径向单调性原理。命题4.7（径向单调性原理）。假设c是旋转变量成本函数，τ是相应最小化问题（1.1）的最佳停止时间，其中边缘u，ν是径向对称的。

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2022-6-1 16:21:52

然后，径向对称边缘之间的最优SKOROKHOD嵌入存在Borel集Γ 使得τ（Γ）=1，并且Γ在以下意义上是径向c单调的：如果ψy∈ SH（y），（x）→ ψy:x′→ y′）∈ （τ，Γ）和| y |=| y′|，然后c（x→ ψy:x′→ y′）≤ C（x→ y:x′→ ^1y′（4.9）对于任何Дy′∈ SH（y′）是R-等价于ψy的证明。它直接源于一般单调性原理，曾经应用于边缘径向对称的情况。事实上，如果最佳停止时间τ允许一个从x开始的粒子在到达y时发生变化，从而成为概率测度ψy，但另一个粒子在x′停止在y′，并且如果我们有相反的不等式（x→ ψy:x′→ y′）>C（x→ y:x′→ ^1y′（4.10）对于某些Дy′∈ SH（y′），然后我们可以将停止时间τ“修改”为τ′，这样x处的粒子现在在y处停止τ′，但x′处的粒子开始在y′处使用，直到变为νy′。则（4.10）表示τ′的成本小于τ，但请注意，修改后的停车时间τ′可能不满足终端边际条件ν。然而，作为ψy~=RИy′和| y |=| y′|，τ′也等于τ，这是（4.8）的矛盾。径向单调性原理证明了一组停止路径Γ的存在，这些路径支持最佳停止时间，并抵抗任何此类修改。一个变分引理。设Sy，rbe为圆心y和半径r球面上的统一概率测度，可以说是SH（y）中最简单的元素。我们选择c（x，y）=x- y |为简单起见，考虑以下“增益”函数，G（x）=G（x，y，r）：=Z | x- z | dSy，r（z）- |x个- y |，及其梯度xG。请注意，G本质上是当y Diff处的Diracmass均匀地用于球体时成本的增加。它满足以下特性：1。

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2022-6-1 16:21:55

如果| x- y |<x′- y′|和r是固定的，然后G（x，y，r）>G（x′，y′，r）。换言之，对于相同的差异，当距离| x时，成本的增加更大- y |很小。因此，对于最小化问题，最好在源x附近停止粒子，并使用远离x的粒子，只要满足给定的边缘条件。2、向量G（x）指向y方向- x、因此方向导数uG（x）为如果hu，y，uG（x）<0- xi<0。因此，当x远离“扩散中心”y时，增益函数减小。通过将其与径向单调性原理相结合，可以获得关于最佳停止时间的关键信息。16 N.GHOUSSOUB、Y-H KIM和T.Lim从现在开始，c（x，Y）=x- y |α，0<α6=2。我们定义了增益函数g（x，ψy）：=Z | x- z |αdψy（z）- |x个- ψy的y |α∈ SH（y），注意g（x，ψy）- G（x′，νy′）=C（x→ ψy:x′→ y′）- C（x→ y:x′→ ^1y′）。下面的变分引理对我们的分析至关重要。引理5.1。设x，y为Rd中的非零向量，r=| x |。设u是球面Srat x的单位切线向量，使得hu，yi<0。Letψy∈ SH（y）\\{δy}。然后，存在一个φy∈ SH（y），R-等价于ψy，使得G（x，ψy）=G（x，ψy）如果0<α<2，uG（x，Дy）<0，如果α>2，则uG（x，Дy）>0，其中方向导数应用于x变量。引理5.1的证明。设c（x，z）=x- z |α并取其偏导数xdat x=0，获得h（z）：=edc（x，z）x=0=-α| z |α-2zd（5.1）取z中的拉普拉斯函数，我们得到 h（z）=-α(α - 2）（α+d- 2） | z |α-4zd。（5.2）换句话说，函数h isi）在下半空间{zd<0}中严格超谐，如果0<α<2ii）在下半空间{zd<0}中严格次谐，如果α>2。设0<α<2，假设x=xe=（x，0，…，0），u=ed，则hu，yi<0，这意味着y在下半空间中。

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2022-6-1 16:21:59

LetH={z∈ Rd:zd=0}并选择布朗运动的停止时间τ，通过该定律（通过τ）=ψy，并让η是第一次通过H。让σy=定律（通过τ∧η).那么σy在下半空间中是受支撑的，并且它是非平凡的，因此通过严格超谐性（5.2），我们得到uG（x，σy）<0。现在我们用以下方式将τ修改为τ′；ifτ≤ η、然后我们让τ′=τ。但如果τ>η，换句话说，如果y处的粒子落在H上，但没有完全阻止径向对称边缘之间的最佳SKOROKHOD嵌入17byτ，那么我们对称化τ相对于H的剩余时间（即条件停止时间），得到τ′。更准确地说，让τHbe反映τ相对于H的条件停止时间；也就是说，如果τ停止从H发出的路径，则τhs同时停止反射路径。现在定义τ′：=τ+τHto为随机化；在重新开始H上的布朗运动之前，我们将一个硬币放进去，并选择τ或τhf作为条件停止时间。现在，定义Дy=定律（通过τ′）并观察i）Дy~=Rψyb是τ′定义中相对于H的对称性。（二）uG（x，Дy）=uG（x，σy），因为函数z 7→ edc（x，z）在zd中是奇数（见（5.1）），因此τ′定义中的对称性没有改变uG。这证明了引理。这是变分引理的一个结果。提案5.2。设x，x，y为r中的非零向量，r=| x |=| x |。假设| x- y |<x- y |。固定一个度量值∈ SH（y）\\{δy}和定义R（x，Дy）：=ψy∈ SH（y）：ψy∈ arg最小σy~=RИyZ | x- z |αdσy（z）,R（x，Дy）：=ψy∈ SH（y）：ψy∈ arg最大σy~=RИyZ | x- z |αdσy（z）,G（x）：=G（x，ψy）=Z | x- z |αdψy（z）- |x个- 任意ψy的y |α∈ R（x，Дy），G（x）：=G（x，ψy）=Z | x- z |αdψy（z）- |x个- 任意ψy的y |α∈ R（x，Дy）。如果0<α<2，则G（x）>G（x）和G（x）>G（x），如果α>2，则G（x）<G（x）和G（x）<G（x）。证据

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2022-6-1 16:22:03

首先，我们认为G（x）和G（x）是连续的。的确，让xn→ Rd中的x和definec（x）：=G（x）+x- y |α=Z | x- 任意ψy的z |αdψy（z）∈ R（x，Дy）。设置an=C（xn）和a=C（x）。选择{an}的任意子序列{ak}和相应的测度序列ψk∈ R（xk，Дy）。根据紧性，{ψk}有一个子序列{ψl}，它收敛到，比如ψ。注意ψ∈ SH（y）和ψ~=RИyby weak18 N.GHOUSSOUB、Y-H KIM和T.LIMconvergence。现在，writeZ | xl- z |αdψl（z）-Z | x- z |αdψ（z）=Z（| xl- z |α- |x个- z |α）dψl（z）+Z | x- z |αdψl（z）-Z | x- z |αdψ（z）.第一个括号变为零，为l→ ∞ 自| xl起- z |α- |x个- z |α→ 0一致是Rd中的一个非常紧的集，第二个括号从ψl开始变为零→ ψ.现在我们声明z | x- z |αdψ（z）=C（x）=a，即ψ∈ R（x，Дy）。（5.3）如果不是，则存在ρ∈ R（x，Дy）使Z | x- z |αdψ（z）>z | x- z |αdρ（z），henceZ | xl- z |αdψl（z）>z | xl- z |αdρ（z）对于所有大l，自ψl以来的矛盾∈ R（xl，Дy）。因此→ a、因为这适用于任何子序列。为了完成命题的证明，我们让0<α<2，并选择任意可微曲线x（t）：[0，1]→ SRX（0）=x，x（1）=x且| x（t）- y |在严格地增加。换句话说，我们选择x（t）的方式是| x（t）|=r和hddtx（t），yi<0表示所有t。现在，对于固定t∈ [0，1]，选择任意ψy∈ R（x（t），Дy）。引理5.1给出σy∈ R（x（t），Дy），DDTG（x（t），σy）<0。定义G（x（s））≤ G（x（s），σy）表示任何s，G（x（t））=G（x（t），σy）。

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2022-6-1 16:22:06

Hencelim sup↓0G（x（t+））- G（x（t））≤ lim sup↓0G（x（t+），σy）- G（x（t），σy）=ddtG（x（t），σy）<0。函数G（x（t））是连续的，满足上述严格不等式∈ [0，1]，因此它必须严格递减。对于G（x（t）），我们同样使用σy∈ R（x（t），Дy）和DDTG（x（t），σy）<0至getlim inf↓0G（x（t- )) - G（x（t））≥ lim inf↓0G（x（t- ），σy）- G（x（t），σy）=-ddtG（x（t），σy）>0。我们再次看到g（x（t））是严格递减的。α>2的情况可以用类似的方式证明，命题如下。径向对称边缘之间的最佳SKOROKHOD嵌入196。径向对称边的最优停止问题。最后，借助命题5.2，我们建立了主要定理。回想一下，根据COLLARY4.3，我们可以假设0<α的最小化问题≤ 1该u∧ ν=0，但不丧失一般性。定理6.1。假设u，ν是Rd，d上紧支撑的径向对称概率测度≥ 2、假设u∧ν=0，u（{0}）=0。设c（x，y）=x-y |α，其中0<α6=2。然后，优化问题（1.1）在边缘u，ν下的解是唯一的，并且由非随机停止时间给出。证据固定0<α<2，并使τ为（1.1）的最小值。对于Rdx中的x，y 6=0，x 6=y，我们定义了势垒集：Uyx={z∈ Rd：| z |=| y |和hx，yi<hx，zi}。我们应该说，当（0）=g（0）6=0时，s中的一对（f，s）和（g，t）是禁止的，并且s′<s使得f（s′）∈ Ug（t）g（0）。也就是说，一对被禁止的线由一条穿过另一条线所形成的屏障的线组成。我们用FP表示禁止对集。首先，我们声称存在Γ τ集中在S上，使得Γ不允许任何位于Γ×Γ中的“禁止对”。实际上，如定理4.7所示，为τ选择一个径向c-单调函数，并假设fp∩ (Γ × Γ) 6= .

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2022-6-1 16:22:09

然后，根据马尔可夫性质，穿透路径产生一个条件概率，即条件概率，其重心位于障碍物被击中的点。但这与推论5.2和命题4.7相矛盾。因此，FP∩ (Γ × Γ) = .现在，我们证明，由于Γ不允许禁止对，那么集中在Γ上的每个停止时间必然是非随机的，这显然产生了唯一性。实际上，设ξ为T（u，ν）中的任何停止时间，ξ（Γ）=1。注意，作为u∧ ν=0且u（{0}）=0，我们可以假设每个停止的路径（fx，s）∈ Γ的s>0，x 6=0。现在我们声称自从FP∩ (Γ × Γ) = , ξ必须为非随机化类型。假设没有。然后存在一个元素（fx，s）∈ Γ使得条件停止时间ξ（fx，s）非零。这意味着在时间s>0之前沿着路径fx的布朗运动将在y：=fx（s）处继续运动。现在考虑势垒U：=uyx，注意，由任何非零停止时间控制的从y开始的布朗运动将在其完全停止之前通过曲面U，因为y位于U的边界圆上。这意味着存在一个停止的路径（gy，t）∈ 这样串联（fx⊕ gy、s+t）∈ 对于一些s′<s+t，（fx⊕ gy）（s′）∈ U、这意味着该对（（fx⊕ gy，s+t），（fx，s））∈ Γ×Γ是一对轨道对，这是一个矛盾。20 N.GHOUSSOUB、Y-H KIM和T.Limsour，每个极小化子都是非随机化类型，唯一性遵循通常的方式，即如果τ和τ′是两个极小化子，并且如果它们的分解不一致，即τωx6=τ′ωxf对于所有ωx∈ 当P（B）>0时，则停止时间τ+τ′必须是随机类型，这是一个矛盾，因为它显然是一个更好的imimizer。α>2时的最大化问题可以用类似的方式证明。备注6.2。设Γ为径向c-单调集，OREM6.1中的优化器集中在该集上。

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2022-6-1 16:22:13

定理6.1的证明实际上告诉我们，对于0<α<2的极小化问题或α>2的极大化问题，最佳停止时间由第一次布朗运动Bxhits The following union of barriersUx给出：=∪yUyx，其中y=某些（fx，s）的fx（s）∈ Γ.此外，根据u和ν的唯一性和径向对称性，这些集合Ux在旋转下是全等的，即如果M是正交矩阵，且M（x）=x′，则M（Ux）=Ux′。对于α>2的极小化问题或0<α<2的极大化问题，我们有相同类型的结果，但障碍将被逆转：它将由Vx给出：=∪yVyx，其中y=某些（fx，s）的fx（s）∈ Γ，其中vyx是反向barrierVyx={z∈ Rd：| z |=| y |和hx，yi>hx，zi}。这是由于根据α值，增益函数（5.1）导数的超谐波和亚谐波区域互换。还请注意，在处理最大化问题时，必须颠倒单调性原则中的不等式（4.4）和（4.9）。最后，我们注意到，本文中的思想可以应用于比| x形式更一般的成本-本文考虑y |α。特别地，它们适用于一类在旋转和方向导数下不变的代价函数c（x，y）x变量中的uc（x，y）在y变量中具有合适的子/超谐波区域。参考文献【1】L.Ambrosio和A.Pratelli，最优运输理论中的存在性和稳定性结果。优化运输和应用。施普林格·柏林·海德堡，数学系列讲座笔记第1813卷（2003）123–160。[2] L.Ambrosio、B.Kirchheim和A.Pratelli，结晶形态最佳运输图的存在性。杜克数学杂志，第125卷，第2期（2004）207-241。[3] J.R.Baxter和R.V.Chacon，《停止分布的电势》。

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2022-6-1 16:22:18

Illinoi s J.数学。，18:649–656, (1974). MR358960径向对称边缘之间的最佳SKOROKHOD嵌入21【4】M.Beiglb¨ock，A.M.G.Cox和M.Huesmann，最佳传输和SKOROKHOD嵌入。《数学发明》，2017年5月，第208卷，第2期，第327-400页。[5] M.Beiglb¨ock、P.Henry Labord\'ere和F.Penkner，《期权价格的模型独立界限——一种大众运输方法》。《金融与随机》，17（2013）477–501。[6] M.Beiglb¨ock、P.Henry Labord\'ere和N.Touzi，《单调鞅运输计划和Skorohod嵌入》。《随机过程及其应用》，第127卷，第9期，2017年9月，3005–3013。[7] M.Beiglb¨ock和N.Juillet，关于边际鞅约束下的最优运输问题。安。Probab，第44卷，第1期（2016），42–106。[8] M.Beiglb¨ock、M.Nutz和N.Touzi，线上鞅最优运输的完全对偶。安。概率。，第45卷，第5期（2017），3038–3074。[9] 向量值函数的极因子分解和单调重排。《纯粹数学和应用数学通讯》，第44卷，第4期（1991年）375-417。[10] S.Bu和W.Schachermayer，《全纯函数下图像测度对Jensen测度的逼近及其应用》。变速箱。美国。数学Soc。，331 (1992), 585–608.[11] R.V.Chacon和J.B.Walsh，《一维势嵌入》。在S’eminaire deProbabilit’es，X.数学课堂讲稿中。，第511卷。柏林斯普林格（1976），19-23。MR445598。[12]G.Choquet，Forme abstraite du’eor’eme de Capacabilit’e.Ann。仪器傅里叶。格勒诺布尔，9（1959）83–89。[13] A.M.G.Cox、J.Ob l'oj和N.Touzi，《多边际嵌入问题的根解：最优停止和时间反转方法》。http://arxiv.org/abs/1505.03169(2015).[14] H.De March和N。

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2022-6-1 16:22:21

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