二叉树方法与美式网格的显式差分格式

2022-5-8 05:35:06

具有时间相关系数的美式期权的二叉树方法和显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案显式差分方案。o@ryongnamsan.edu.kpAbstract研究了具有时间相关系数的美式期权变分不等式模型的二叉树方法（BTM）和显式差分格式（EDS）。当波动率与时间有关时，如果使用等分的时间间隔划分，则假设标的资产价格的动态形成二叉树是不合理的。提供了一种时间间隔划分方法，允许标的资产价格的二叉树动态。发现了BTM和EDS美式期权价格在时间变量上具有单调性的条件。利用美国期权变分不等式模型的EDS收敛性，证明了时间变量上美国看跌期权价格的递减性和最优行使边界的递增性。首先，考虑看跌期权。

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能者818

2022-5-8 05:35:09

然后研究了具有时间相关系数的美式期权的变分不等式模型的BTM和EDS中价格函数的线性齐性和看涨期权对称性，并利用它们研究了看涨期权。美式期权；二叉树方法；显式差异方案；汇聚粘度溶液；时间相关系数2010数学学科分类35Q91、35R35、65M06、65M12、91B021简介期权定价有两种数值方法；一种是基于概率方法，另一种是PDE的有限差分法。Cox、Ross和Rubinstein[6]首次提出的二叉树方法（BTM）是期权定价的概率数值方法之一。由于其简单性和灵活性，它已成为最流行的期权定价方法之一。[1,2,5,10,14,18,19]众所周知，Black-Scholes扩散模型中欧式期权的BTM收敛于Black和Scholes的相应连续时间模型（[8]）。蒋[10]特别指出，欧式期权的BTM等价于Black-Scholes偏微分方程的特殊有限差分格式，并用偏微分方程方法证明了其收敛性。Amin和Khanna[2]首先使用概率方法证明了美式期权BTM的收敛性。Jiang和Dai（[11,12]）利用偏微分方程的粘性解理论证明了美式期权显式差分格式和BTM的收敛性。他们证明了美国期权的BTM等价于Black-Scholes偏微分方程相关变量不等式的特殊显式有限差分格式，通过BTM和显式有限差分格式证明了价格的单调性，近似最优边界的存在性和单调性，并使用了Barles等人[3,4]的方法和[3,7]的比较原理。

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2022-5-8 05:35:12

蒋和戴[13]通过PDE方法研究了欧洲和美国2 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kimpath依赖期权的BTM收敛性。Liang等人[16]获得了采用惩罚法的美式看跌期权BTM的收敛速度，Hu等人[9]获得了显式有限差分格式的非最优收敛速度，以及美式看跌期权变量不等式问题的BTM。BTM被扩展到期权定价的跳跃扩散模型。Amin[1]将[2]的算法推广到跳跃扩散模型。张[25]研究了跳跃扩散模型中美国期权的数值分析。Xu等人[24]研究了Amin跳跃扩散模型中欧式期权BTM的数值分析，并对明码差分格式给出了严格的误差估计，对BTM给出了最优误差估计。钱等人[23]证明了跳差模型中美式期权的BTM和显式差分格式的等价性，显式差分格式的收敛性，最优行使边界的存在性和单调性。罗[19]研究了跳跃扩散模型中美式选择的近似最佳运动边界。Liang[15]获得了跳跃扩散模型中美国看跌期权BTM的收敛速度。Liang等人[17]获得了在扩散模型中美式看跌期权的变分不等式问题的BTM的最优收敛速度，以及近似最优行使边界到实际自由边界的收敛速度估计。上述结果是在利率和波动率均为常数的假设下得到的。另一方面，蒋[10]研究了具有时间相关系数的Black-Scholes偏微分方程，作为扩散模型中欧式期权的模型，并给出了推广的Black-Scholes公式。H.C。

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2022-5-8 05:35:16

O等人[22]推导了一个具有时间相关系数的高阶二元函数的定价公式，并利用它研究了公司零息债券的定价问题。这种具有时间相关系数的高阶二进制出现在具有离散息票（[21]）的公司债券定价问题中。H.C.O等人[20]研究了非齐次Black-Scholes偏微分方程解的一些一般性质，这些偏微分方程具有不连续的成熟度和时间相关系数。本文研究了具有时间相关系数的美式看跌期权的二叉树方法和单调性。我们用二叉树方法和显式差分格式研究了具有时间相关系数的美式看跌期权变分不等式模型的单调性和价格收敛性，并用它们证明了美式看跌期权价格的递减性和时间变量上最优执行边界的递增性。当系数与时间相关时，尤其是在与时间相关的可用性的情况下，如果我们使用等分时间间隔的划分，则假设基础资产价格的动态形成二叉树是不合理的。因此，我们的主要问题之一是找到一种时间间隔划分方法，允许标的资产价格的二项式树动力学。另一点是证明期权价格的单调性和近似最优行使边界。Jiang和Dais的收敛性证明（[12]）强烈依赖于期权价格的单调性，但当包括利率和波动性在内的系数与时间相关时，期权价格的单调性可能不成立，如下面的备注3.2所示。

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2022-5-8 05:35:19

我们发现了一种特殊的时间区间划分方法和条件，使得美式看跌期权byBTM和显式差分格式的价格在时间变量上具有单调性。在证明粘性解的收敛性时，这种特殊的时间间隔划分需要一些恼人的考虑。BTM和EDS适用于具有时间相关系数的美式期权3本文的剩余部分组织如下。在第2节中，我们找到了一种时间间隔分割方法，该方法允许标的资产价格的二叉树动态，并简要提及欧洲期权的BTM。在第三节中，我们研究了美式看跌期权的BTM价格、单调性和近似最优行使边界的存在性。在第四节中，我们研究了美式看跌期权变分不等式模型的显式差分格式，并证明了期权价格在时间变量上的单调性和近似最优行使边界的存在性。第5节致力于显式差分格式和BTM的收敛性证明。第6节、第7节和第8节研究了具有时变系数的美式期权变分不等式模型的BTM和EDS中价格函数的线性齐次性和看涨期权对称性，并给出了美式看涨期权的结果。2具有时间相关系数的欧式期权的时间间隔划分和BTM。设r（t）、q（t）和σ（t）分别为利率、股息率和期权标的资产的波动率。设0=t<t<···<tN=t是生命时间间隔[0，t]的一个划分，表示如下rn=r（tN），qn=q（tN），σn=σ（tN），ηn=1+qntn，ρn=1+rntn，tn=tn+1- tn，n=1，··，n- 1.标的资产的波动率σ（t）决定其价格在时间间隔[t，t]内的波动+t] 。

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2022-5-8 05:35:22

因此，如果我们将[0，T]除以相等的部分，那么在时间的子区间[tn，tn+1]内基础资产价格的动态可能不会形成二叉树。在时间相关系数的情况下，这使得B*****i变得困难。另一方面，从波动率σn的实际意义来看，尽管我们考虑了某个区间[tn，tn+1]内的标的资产价格，但如果σn较大，标的资产价格会发生剧烈变化；如果σ很小，则标的资产价格S变化不大。所以我们可以想象，如果我们不同地定义长度，我们可以使所有子区间中S的变化宽度保持不变tn=tn+1-根据σn的大小计算子区间[tn，tn+1]的tn。换句话说，如果我们定义tn=tn+1-使σn·tn=const=（ln u），那么我们可以假设每个子区间[tn，tn+1]中S的变化宽度为u，每个子区间[tn，tn+1]中S的动力学满足一个周期-两个状态模型[10]。然后凝视随机变量，[0，T]中的演化形成一棵二叉树。这种划分方法提供了一个关键，可以克服时间相关系数的情况下出现的困难。让我们更明确地定义tn（n=1，··，n）。假设u>1。首先，我们定义为0，σ=σ（t），t=（lnu）σ，t=t+t=（lnu）·σ。如果没有≤ 然后我们定义如下：σ=σ（T），t=（lnu）σ，t=t+t=（ln u）·σ+σ.4 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim感应式，如果tn≤ T，那么我们定义如下：σn=σ（tn），tn=（lnu）σn，tn+1=tn+tn=（ln u）·σ+··+σn. （2.1）该过程持续到tN≤ T<tN+1。子区间数N取决于u，T和σ（T）。如果我们假设0<σ≤ σ（t）≤ “∑，（2.2）然后我们得到大小的上下界t时间的子间隔数和子间隔数N。从定义（2.1）开始tn，我们有（lnu）\'σ≤ tn≤（lnu）σ。

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2022-5-8 05:35:25

（2.3）另一方面，如果我们使用tN≤ T<tN+1，那么我们有T·σ（lnu）- 1<N≤T·′σ（lnu）。（2.4）备注2.1。如果你↓ 1，然后是N→ ∞ 和0≤ T- tN<tN=（ln u）·σN→ 0 .现在我们考虑标的资产价格s的动态。假设每个子区间[tn，tn+1]中s的变化宽度为u，d=u-而每个次区间[tn，tn+1]的S动力学满足一个周期-两个状态模型。也就是说，标的资产价格Stnat time TN变为Stnu或Stnd。如果S的初始价格为S，则STNCA可以取以下值之一SNα=Sun-αdα（0≤ α ≤ n）或者Sj=Suj（j=n，n- 2, ··· , -n+2，-n）。假设dηn<ρn<uηn，n=0，1，·n.（2.5），如果我们表示θn=ρn/ηn- 杜- d、 n=0，1，··，n.（2.6）那么我们有0<θn<1，并且具有时间相关系数的欧式期权的BTM价格如下所示：VNα=（SNα- E） +（用于通话）或（E）- SNα）+（用于put），0≤ α ≤ N、 Vnα=ηN[θnVn+1α+1+（1- θn）Vn+1α-1], 0 ≤ α ≤ n、 n=n- 1, ··· , 1, 0. （2.7）备注2.2。利用蒋的方法（[10]），我们可以很容易地证明如下：BTMCA可以被视为Black-Scholes偏微分方程的一种特殊显式差分格式五、t+σ（t）五、x+r（t）- q（t）-σ（t）五、十、- r（t）V=0，- ∞ < x<∞, 0≤ t<t，V（x，t）=（ex- E） +或（E）-ex）+，- ∞ < x<∞. （2.8）时间相关系数为5Let xm=m的美式期权的BTM和EDSx(-∞ < m<∞), 0=t<t<··<tN=t和tn=tn+1-tn.表示vnm=V（xm，tn）。然后（2.8）的显式差异方案如下所示：VNm=（em十、- E） +或（E）-相对长度单位x） +，Vnm=1+rntn1.-σntn十、Vn+1m+σntn2x+注册护士- qn-σntn十、Vn+1m+1+σntn2十、-注册护士- qn-σntn十、Vn+1m-1., n=n- 1, ··· , 1, 0. （2.9）如果r（t）、q（t）和σ（t）在[0，t]上有界且连续，则方案（2.9）是一致的。如果σn，这种显式差分格式是稳定的tn≤ 十、1.-σn注册护士- qn-σn十、≥ 0, 0 ≤ N≤ N- 1.让我们十、→ 0 .

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2022-5-8 05:35:29

然后tn→ 0和（2.9）收敛到（2.8）的解。因此，BTM价格（2.7）也收敛于（2.8）的解。对于具有时间相关系数的美式看跌期权，BTM价格为3。设0=t<t<tN≤ T是（2.1）中定义的时间划分，且letSj=Suj（j=n，n- 2, ··· , -n+2，-Nn=0，·，n），νj=（E）- Sj）+。然后，美式看跌期权的BTM价格Vnj=V（Sj，tn）如下所示：Vnj=~nj，Vnj=maxρnθnVn+1j+1+（1）- θn）Vn+1j-1., ~nj, n=n- 1, ··· , 1, 0. （3.1）现在我们考虑美式看跌期权的BTM价格VNJJ的单调性。定理3.1美式看跌期权的BTM价格vnj=P（Sj，tn；E）（n=0，1，·，n，j=n，n）- 2, ··· , -n+2，-n）（3.2）相对于Sj减小，相对于E增大。也就是说，Vnj=P（Sj，tn；E）≥ P（Sj+1，tn；E）=Vnj+1，P（Sj，tn；E）≤ P（Sj，tn；E）如果E<E.6 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.KimProof VNj=~nj=（E- Sj）+是Sj上的递减函数，E上的递增函数。现在假设Vk+1j≥ 当n=k+1时，Vk+1j+1。那么我们有vkj=maxρkθkVk+1j+1+（1- θk）Vk+1j-1., ~nj≥ 最大值ρkθkVk+1j+2+（1）- θk）Vk+1j, νj+1= Vkj+1。因此，Sj上的VKJI降低。同样，我们可以证明Vkjis在E（QED）上增加，为了证明Vnjis在时间变量上减少，我们需要以下引理。引理3.1（i）如果r（t）/σ（t）在t上增加，那么ρn≤ ρn+1。（ii）如果q（t）/σ（t）在t上减小，则ηn≥ ηn+1。（iii）如果r（t）/σ（t）增加，q（t）/σ（t）减少，并且Tn非常小，那么ρn/ηn≤ ρn+1/ηn+1；θn≤ θn+1。证明（i）如果r（t）/σ（t）在增加，则从tn，我们有+1σn+1≥rnσn<=> （lnu）·rn+1σn+1≥ （ln u）·rnσn<=>ρn+1=1+rn+1tn+1≥ 1+rntn=ρn.（ii）的证明方式与（i）类似。（iii）如果Tn非常小，那么ηn>0。自ρn≤ ρn+1和ηn≥ ηn+1，我们有ρn/ηn≤ ρn+1/ηn+1。因此，从（2.6）中，我们得到θn≤ θn+1。

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2022-5-8 05:35:32

（QED）引理3.2（i）如果A≤ B和0≤ α ≤ β、然后是αA+（1）- α） B≥ βA+（1）- β） B.证明αA+（1）- α） B- βA- (1 - β） B=（β- α）（B）- （A）≥ 0.（QED）定理3.2假设（2.5）满足，r（t）/σ（t）在t上增加，q（t）/σ（t）在t上减少。那么对于美式看跌期权的BTM价格，我们有-1j≥ Vnj。我们有（3.1）的证据-1j≥ νj=VNj（j=N，N- 2, ··· , -N+2，-N）。时间相关系数为7的美式期权的BTM和EDS现在假设Vkj≥ Vk+1j(j）。那我们就有了-1j=最大值ρk-1.θk-1Vkj+1+（1- θk-1） Vkj-1., ~nj≥ 最大值ρk-1.θk-1Vk+1j+1+（1）- θk-1） Vk+1j-1., ~nj≥ 最大值ρkθk-1Vk+1j+1+（1）- θk-1） Vk+1j-1., ~nj≥ 最大值ρkθkVk+1j+1+（1- θk）Vk+1j-1., νj+1= Vkj。第一个不等式来自归纳假设Vkj≥ Vk+1j(j）引理3.1（i）中的第二个不等式，引理3.1（iii）中的最后一个不等式，定理3.1和引理3.2。（QED）备注3.1。定理3.2有力地代表了时间相关系数的影响。这里的主要工具是引理3.1和引理3.2。备注3.2。定理3.2的条件是必要的。参见以下图表：图1：当r（t）=0.1，q=0，σ=1，t=5，E=1，j=1时的曲线图（tn:V（Sj，tn））标记3.3。仅使用引理3.1和引理3.2的类似物，似乎很难得出8 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim图2:R（t）在增加，所以在t上V在减少。图3:Plot（tn:V（Sj，tn））当R（t）=P iecewise{0.2，0≤ t<2}，{0.1,2≤ t<5}；q=0，σ=1，T=5，E=1，j=1BTM和EDS对于具有时间相关系数的美式期权9图4:r（T）没有增加，因此V在T上没有减少，而美式看涨期权的BTM价格在T上减少。现在我们考虑近似最优行使边界的存在。定理3.3必须足够小。

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大多数88

2022-5-8 05:35:36

在定理3.2的条件下，forevery tn（0≤ N≤ N- 1）存在一个jn∈ Z使得vnj=对于j≤ jn，Vnj>对于j=jn+1，Vnj≤ νjj≥ jn+2。此外，我们还有-1.≤ jn。（3.4）在不丧失普遍性的情况下，我们假设S=1，E=1。（否则，使用变量^S=S/E，^h=V/E的变化。）因为vnj=（1- Sj）+=j，（j=N，N- 2, ··· , -N+2，-N），我们有φj=VNj=0（j≥ 0); νj=VNj>0，（j≤ -1).自从VN-1j=最大值ρN-1[θN-1~nj+1+（1）- θN-1） ~nj-1] 我们有-1j≥ 0=VNj=~nj，j≥ 0.10 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，特别是H.Y.Kim，VN-1j=аj（j≥ 1); 越南-1= ρ-1N-1(1 - θN-1)φ-1> 0 = φ. （3.5）现在我们考虑j的情况≤ -1.VN-1j=最大值ρN-1[θN-1~nj+1+（1）- θN-1） ~nj-1] ，~nj= 最大值ρN-1.θN-1(1 - uj+1）+（1）- θN-1)(1 - uj-1), ~nj= 最大值ρ-1N-1.- η-1N-1uj，1- uj. （3.6）注意如果j→ -∞ , 那么ρ-1N-1.- η-1N-1uj<1和1- uj→ 1.所以存在-1=最大{j∈ Z:j≤ -1, ρ-1N-1.- η-1N-1uj≤ 1.- uj}。如果j≤ jN-1，那么我们有ρ-1N-1.- η-1N-1uj≤ 1.- 乌贾德-1j=1- uj=k j.IfjN-1+ 1 ≤ J≤ -1，那么我们有ρ-1N-1.-η-1N-1uj>1-乌贾德-1j>~nj.所以-1含n=n的满意度（3.3）-1.（尤其是当ηN-1.≤ 1(<=> qN-1.≤ 0），然后是jN-1= -1.）现在假设当n=k时，存在（3.3）和（3.4）。那么如果≤ jk- 1，然后是Vkj-1=φj-1，Vkj+1=аj+1，因此根据公式（3.1）和（3.6）中的相同计算，我们得到了vk-1j=最大值ρk-1[θk-1~nj+1+（1）- θk-1） ~nj-1] ，~nj= 最大值ρk-1.-ujηk-1, 1 - uj.如果ηk-1> 1 (<=> qk-1> 0），letl=max{j∈ Z:j≤ jk- 1, ρ-1k-1.- η-1k-1uj≤ 1.- uj}那么我们有了l≤ jk- 1.如果l<jk- 1，然后我们定义jk-1=l。

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能者818

2022-5-8 05:35:40

然后，当n=n时，使用与考虑类似的方法- 1和定理3.2，我们有j≤ jk-1.=> Vk-1j=аj；j=jk-1+ 1 => Vk-1j>~nj；J≥ jk-1+ 2 => Vk-1j≥ Vkj≥ 如果l=jk，则为j- 1（即Vk-1j=对于所有j≤ jk- 1），然后注意j=jk-1+ 1 => Vk-1j≥ Vkj>νj；J≥ jk-1+ 2 => Vk-1j≥ Vkj≥ 一般来说，我们有Vkj≥ 当j=jk时为jj。因此，如果Vkjk>~njk，那么我们定义jk-1=jk- 1.如果Vkjk=jk，则我们定义jk-1=jk。因此无论如何jk-1(≤ jk）定义明确。（QED）含时系数美式期权的BTM和EDS 114含时系数美式期权变分不等式模型的显式差分格式。给出了美式期权的一个变分不等式定价模型，该模型具有时间相关系数：-五、T-σ（t）S五、s- （r（t）- q（t））S五、S+r（t）V，V- ψ= 0,0 ≤ t<t，0<S<∞,V（S，T）=ψ（S），0<S<∞. （4.1）这里ψ（S）=（S）-E） +（用于调用），ψ（S）=（E）- S） +（用于put）。使用变换u（x，t）=V（S，t）；S=ex，（4.2）将问题（4.1）更改为以下问题min-UT-σ（t）U十、-r（t）- q（t）-σ（t）Ux+r（t）u，u- φ= 0,0 ≤ t<t，- ∞ < x<∞,u（x，T）=а（x），- ∞ < x<∞. （4.3）这里的φ（x）=（ex- E） +（用于通话），ν（x）=（E）-ex）+（用于put）。我们在∑={-∞ < x<∞, 0≤ t<t}如下所示：选择任意c∈ 兰德十、设xj=jx+c。当0<α≤ 1.我们定义如下：t=0，t=αxσ（t），t=t+Tt=αxσ（t），··，tn=tn-1+ tn-1.tn=αxσ（tn），n=0，1，2，·。（4.4）该过程持续到tN=tN-1+ tN-1.≤ T<tN+1=tN+αxσ（tN）。然后我们在∑={-∞ < x<∞, 0≤ t<t}:Qc={（xj，tn）：xj=jx+c，0≤ N≤ N、 j∈ Z} 。（4.5）在假设（2.2）下，我们有αx′σ≤ tn≤αxσ。（4.6）12 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim因此存在N，使得tN≤ T<tN+1，我们有T·σα十、- 1<N≤T·∑α十、

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2022-5-8 05:35:43

（4.7）因此，如果十、→ 0，然后是N→ ∞ 和0≤ T- tN≤ tN≤αxσ→ 0 .unj=u（j）x+c，tn）表示（j）处的近似值x+c，tn），并设аj=а（jx+c）。考虑到（4.3）中时间的显式差分和空间变量的常规差分离散，我们得到了(-un+1j- unjtn-σ（tn）·un+1j+1- 2un+1j+un+1j-1.十、-r（tn）- q（tn）-σ（tn）un+1j+1- un+1j-12x+r（tn）unj，unj- νj）=0。（4.8）如果我们表示rn=r（tn），qn=q（tn），σn=σ（tn），那么（4.8）相当于tounj=max1+rntn1.-σntn十、un+1j+σntn十、+x2σn注册护士- qn-σnun+1j+1+-x2σn注册护士- qn-σnun+1j-1., ~nj.这里，如果我们表示S=ec，那么φj=（Sej十、- E） +（用于通话），νj=（E）- Sejx） +（用于put）。从（4.4）我们得到α=σntnX和勒坦=+x2σn注册护士- qn-σn. （4.9）然后我们有明确的差异模式nj=j，j∈ Z、（4.10）Unj=最大值ρn(1 - α） Un+1j+αanUn+1j+1+（1）- an）Un+1j-1., ~nj, （4.11）n=n- 1, ··· , 1, 0.（注意ρn=1+rn尤其是，如果α=σntn那么x=1x=σn√tnandUnj=maxρnanUn+1j+1+（1）- an）Un+1j-1., ~nj, n=n- 1, ··· , 1, 0. （4.12）现在我们考虑BTM与美式期权显式差异方案的关系。具有时间相关系数的美式期权的BTM和EDS 13引理4.1，如果ln u=x=σn√tn，我们有θn=+x2σn注册护士- qn-σn+ O(x）。这里，由（2.6）定义的BTM的θnare系数。证据很简单。对比（3.1）和（4.12），BTM相当于一个特殊的显式差异方案（4.12），在忽略O的意义上(x）。现在我们证明了美式（看跌）期权价格的条件是单调的。定理4.1假设0<α≤ 1和xσn注册护士- qn-σn< 1.（i）如果φj=（Sej十、- E） +（呼叫），然后是Unj≤ Unj+1和0≤ Unj≤ ejx+c.（ii）如果φj=（E）- Sejx） +（put），然后是Unj≥ Unj+1和0≤ Unj≤ E.假设我们有0<an的证明≤ 1.（i）UNj=~nj=（Sej）十、- （E）+≤ （Se（j+1）十、- E） +=~nj+1=UNj+1。现在假设UK+1j≤ 英国+1j+1。

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2022-5-8 05:35:46

那么我们就有了UKJ=maxρk(1 - α） Uk+1j+αakUk+1j+1+（1）- ak）英国+1j-1., ~nj≤ 最大值ρk(1 - α） Uk+1j+1+αakUk+1j+2+（1）- ak）英国+1j, νj+1= Ukj+1。（ii）以与（i）相同的方式证明。（QED）定理4.2假设0<α≤ 1.xσn注册护士- qn-σn< 1，r（t）/σ（t）在t上增加，q（t）/σ（t）在t上减少。然后，美式看跌期权的价格由（4.10）和（4.11）给出，其中φj=（E- Sejx） +在t上减少，即Unj≥ Un+1j，j∈ Z、 n=n- 1, ··· , 1, 0.n=n时的证明- 从（4.11）开始，我们有联合国-1j≥ νj=UNj，j∈ Z假设UK+1j≥ 英国+2j，j∈ Z根据假设和引理3.1（i），我们得到ρk≤ ρk+1和Thusukj=最大值ρk(1 - α） Uk+1j+αakUk+1j+1+（1）- ak）英国+1j-1., ~nj≥ 最大值ρk+1(1 - α） Uk+2j+αakUk+2j+1+（1）- ak）英国+2j-1., ~nj.14 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kimak=+十、rkσk-qkσk-假设我们有ak≤ ak+1。根据理论4。1（ii），我们有英国+2j-1.≥ Uk+2j+1，因此引理3.2与ak≤ ak+1gives usak+1Uk+2j+1+（1）- ak+1）英国+2j-1.≤ akUk+2j+1+（1）- ak）英国+2j-1.因此我们有UKJ≥ 最大值ρk+1(1 - α） Uk+2j+αak+1Uk+2j+1+（1）- ak+1）英国+2j-1., ~nj= 英国+1j。（QED）备注4.1。定理4.2有力地代表了时间相关系数的影响。这里的主要工具是引理3.1（i）和引理3.2。定理4.2的条件是必要的。如果r（t）/σ（t）没有增加，那么通过明确差异方案的美式看跌期权的价格可能不会在t上下降，如备注4所示。备注4.2。仅使用引理3.1和引理3.2的类似物，似乎很难证明美式看涨期权的价格在t上下降。参见第6节和第7节。现在我们证明了近似最优运动边界的存在性。定理4.3在定理4.2的假设下，对于任何0≤ N≤ N-1.存在∈ 就是这样≤ jn=> Unj=аj；j=jn+1=> Unj>~nj；J≥ jn+2=> Unj≥ ~nj.（4.13）j≤ J≤ ··· ≤ jN-1.

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何人来此

2022-5-8 05:35:49

（4.14）证明注释UNj=（E）- Sejx） +=在j上减小的μjis∈ Z.Letk=max{j∈ ZE- Sejx> 0}。（4.15）如果j≤ K- 1那么j- 1，j，j+1≤ 坎德尼j-1=E- Sej十、-x、 ~nj=E- Sejx、 ~nj+1=E- Sejx+x> 0。让u=ex、 d=e-xandψj=EρN-1.- Suj·1-α+α[aN]-1u+（1）-一-1） d]ρN-1、thenUN-1j=最大值ρN-1[(1 - α） νj+α（aN-1~nj+1+（1）- 一-1） ~nj-1） ]j= max{ψj，ψj}。然后我们有了Limj→-∞ψj=EρN-1<E=limj→-∞νj，（j）≤ K- 1).首先，我们考虑ψj≤ ~nj(J≤ K- 1). 如果j≤ K- 1那么联合国-1j=j，如果j=k+1，则φj=j+1=0，φj-1> 0，所以我们没有-1j=最大值α(1 - 一-1） ρN-1~nj-1, 0> 0=φj.BTM和EDS，适用于具有时间相关系数15If j的美式期权≥ k+2，然后从（4.11）开始我们有UN-1j≥ 那么如果联合国-1jk>~njk，然后我们定义-1=k- 1.如果联合国-1jk=~njk，那么我们定义jN-1=k。接下来，我们考虑以下情况：j（j）≤ K- 1）：ψj>ψj.我们定义-1=最大{j<k- 1：ψj≤ ~nj}。然后我们有了J≤ jN-1.=> ψj≤ ~nj=> 联合国-1j=j，j=jN-1+ 1 => ψj>ψj=> 联合国-1j=ψj>ψj，j≥ jN-1+ 2 => 联合国-1j≥ 因此，我们证明了jN的存在-1.≤ k、现在我们假设当n=k+1时，存在jk+1，比如jk+1≤ jk+2≤ ··· ≤ jN-1，j≤ jk+1=> Uk+1j=νj，j=jk+1+1=> Uk+1j>~nj，j≥ jk+1+2=> 英国+1j≥ ψj.（4.16）如果j≤ jk+1- 1，然后j+1，j，j- 1.≤ jk+1，因此Uk+1i=~ni（i=j- 1，j，j+1）。如上所述，设ψj=Eρk- Suj·1-α+α[aku+（1-ak）d]ρk.然后通过（4.11）我们得到了最大值ρk[（1）- α） νj+α（ak~nj+1+（1- ak）~nj-1） ]j= max{ψj，ψj}。注意，对于足够大的j，ψj<φj∈ Z.如果ψj≤ ~nj(J≤ jk+1-1），我们有Ukj=对于所有j≤ jk+1-1.根据定理4.2和归纳假设（4.16），我们得到了一个事实，即j=jk+1+1=> Ukj≥ 英国+1j>英国；J≥ jk+1+2=> Ukj≥ 英国+1j≥ 因此，如果Ukjk+1>φjk+1，那么让jk=jk+1- 1.

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2022-5-8 05:35:52

如果Ukjk+1=~njk+1，那么让jk=jk+1。如果j（j）≤ jk+1- 1）：ψj>ψj，我们定义jk=max{j<jk+1- 1：ψj≤ ~nj}。然后≤ jk=> Ukj=j，j=jk+1=> Ukj=ψj>ψj，j≥ jk+2=> Ukj≥ 因此我们证明了jk的存在≤ jk+1。（QED）备注4.3。如果x足够小，那么jk∈ [jk+1- 1，jk+1]。现在我们估计接近成熟期的最佳锻炼边界。在定理4.3证明的第一部分，我们证明了jN的存在性-1.接近成熟期的近似最佳运动边界。如果kis是16年定义的Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim（4.15）和S=ec，那么k=max{j∈ ZE- ejx+c>0}对于j≤ K- 1，我们有φj=E- ejx+cand letψj=ρN-1[(1 - α） νj+α（aN-1~nj+1+（1）- 一-1） ~nj-1)] .如果ψj≤ ~nj(J≤ K- 1）我们认识jN-1=k- 1或k.然后我们有了- ejN-1.x+c>0，E- e（jN）-1+2)x+c≤ 所以我们有- 2.十、≤ jN-1.x+c≤ 在E.（4.17）中，如果j（j）≤ K- 1）：ψj>ψj，根据定理4.3，我们有jn-1=最大{j≤ K- 1：ψj- ~nj≤ 0}.通过使用anand Taylor展开的定义，我们得到x+（1）- an）e-x=1+rn- qnσnx+O(x）。那么对于j≤ K- 1我们有ψj- νj==（1）- α）（E）- ejx+1）+α一-1（E）- e（j+1）x+1）+（1）- 一-1）（E）- e（j）-1)x+1）ρN-1.-（E）- ejx+1）=ρN-1·∑N-1.tN-1.十、（qN）-1ejx+c- 注册护士-1E）xσN-1+O(十）.注意E>ejx+CforJ≤ K- 1.如果qN-1.≤ 注册护士-1，然后是rN-1E>qN-1ejx+candifx足够小，那么我们有ψj<φj(J≤ K-1) . 因此，在我们的情况下j（j）≤ K-1）：ψj>ψj，我们必须有qN-1> 注册护士-1.那么对于足够小的我们有-1=最大{j≤ K-1:qN-1ejx+c≤ 注册护士-1E}因此jN-1.x+c≤ LNN-1qN-1E。如果j=jN-1+1，然后是qN-1ejx+c>rN-1E因此（jN-1+ 1)x+c>lnrN-1qN-1E。

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能者818

2022-5-8 05:35:55

索威·哈维尔恩-1qN-1E- x<jN-1.x+c≤ LNN-1qN-1E。因此，将这个不等式与（4.17）相结合，我们得到了以下定理，它提供了接近到期日的近似最佳行使边界的估计。定理4.4 ln minE、注册护士-1qN-1E- 2.十、≤ jN-1.x+c≤ 最小E、注册护士-1qN-1E.固定的近似最佳运动边界x=ρx（t）定义如下：ρx（t）=t- tntn+1- 总氮（jn+1）x+c）+tn+1- ttn+1- tn（jn）x+c），t∈ [tn，tn+1]，n=0，·n- 2.推论（i）ρx（tN）-1) ∈林敏E、注册护士-1qN-1E- 2.x、最小E、注册护士-1qN-1Ei、（ii）ρx（t）在美式期权的t.BTM和EDS上增加，其时间相关系数是显式差异方案和美式看跌期权的BTM的175收敛。在这一节中，我们将证明美式看跌期权的显式差分格式（4.10）和（4.11）收敛于变分不等式（4.3）的粘性解，并用它证明美式看跌期权价格及其最优性边界的单调性。我们用l表示∞（Z）具有超范数的所有有界双边序列的Banach空间。在洛杉矶∞（Z），我们定义（Uj）≤ （Vj）<=> Uj≤ Vj，J∈ Z.对于固定的每n，双边序列Un=（··，Uj，··）∞j=-∞美国putoption的价格Uj，J∈ 由（4.10）和（4.11）给出的Z由定理4.1有界。如果我们用（FnUn+1）j表示（4.11）的右侧，那么FnUn定义了一个操作符un:=FnUn+1={（FnUn+1）j}∞j=-∞（5.1）将tn+1时间价格序列Un+1发送至tn时间价格序列UNO。运算符Fn不仅取决于n和x，但也在tnand上tn.引理5.1如果0<α≤ 1.xσn注册护士- qn-σn< 1，那么fn在增加，也就是U≤ 五、 U，V∈ L∞（Z）=> FnU≤ FnV。（证明）注意到从假设中我们有1- α ≥ 0和0<an<1时，所需结果很容易来自（4.11）。

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大多数88

2022-5-8 05:35:58

（QED）引理5.2如果U∈ L∞（Z） K=（··，K，K，K·）和K≥ 0，然后fn（U+K）≤ FnU+K.（证明）由于ρn>1，我们有fn（U+K）==最大值ρn[（1）- α）（Uj+K）+α（an（Uj+1+K）+（1- an Uj-1+K））]，νj∞j=-∞≤最大值ρn[（1）- α） Uj+α（anUj+1+（1- an）Uj-1） ]j+ 最大值Kρn，0∞j=-∞≤ FnU+K（QED）定义扩展函数ux（x，t）如下：∈ [（j）- 1/2)x+c，（j+1/2）x+c），t∈ [tn，tn+1）=> Ux（x，t）：=Unj，（5.2）x∈ [（j）- 1/2)x+c，（j+1/2）x+c），t∈ [tN，T]=> Ux（x，t）：=UNj。（5.3）备注5.1。给你xis分段连续函数。如果我们定义你，下面的讨论也是正确的Xa是插值数据集（j）的连续函数x+c，tn；18 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim根据定理4.1，我们有0≤ Ux（x，t）≤ E.（5.4）因此，对于每个固定的t，如果我们表示ux（o，t）：={ux（x，t）：x∈ R} 那我们就有你了x（o，t）∈ L∞（Z）。当t∈ [tn，tn+1），n=0，·n- 1.如果我们定义t=t（t，x）：=t- tntn+1- tntn+1+tn+1- ttn+1- tntn，（5.5）然后t+T∈ [tn+1，tn+2）因此我们有x（o，t）=Fnux（o，t+t）。(5.6)Ttn=t-tntn+1-tn·σn+1σn+tn+1-ttn+1-tn·1是σn+1σ与1的凸线性组合。因此，如果σ（t）是连续的，那么当十、→ 0 . 这样，我们证明了下面的引理：引理5.3假设σ（t）是连续的。然后林十、→0t（t，十）tn=1。为了证明收敛性，我们回顾了粘性解的概念。设USC（[0，T]×R）（LSC（[0，T]×R））是定义在[0，T]×R上的所有上（下）半连续函数的空间。

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2022-5-8 05:36:01

如果你∈ U SC（[0，T]×R）（LSC（[0，T]×R））满足以下两个条件，则U称为变分不等式（4.3）的粘性次解（上解）：（i）U（x，T）≤ (≥)ψ（x），（ii）如果Φ∈ C1,2（[0，T]×R）和u- Φ在（x，t）处达到其局部最大值（最小值）∈[0，T]×R，我们有-ΦT-σ（t）Φ十、-r（t）- q（t）-σ（t）Φx+r（t）u，u- φ（x，t）≤ (≥)0u∈ C（[0，T]×R）称为变分不等式（4.3）的粘性解，如果它同时是（4.3）的粘性次解和粘性上解。引理5.4（比较引理）[7]如果u和v是（4.3）和| u（x，t）|，|v（x，t）|的粘性下解和上解≤ E、然后你≤ v、定理5.1[7]如果r（t），q（t）在[0，t]上是连续的，那么问题（4.3）有唯一的粘性解。此外，存在一个最佳运动边界ρ（t）：[0，t]→ R（连续函数），如果x<ρ（t），那么u（x，t）=φ（x）；如果x>ρ（t），那么u（x，t）>~n（x），在这个区域，u（x，t）是方程的经典解-UT-σ（t）U十、-r（t）- q（t）-σ（t）Ux+r（t）u=0。时间相关系数美式期权的BTM和EDS 19备注5.2。用[10]的方法很容易显示ρ（T）=ln E min[1，r（T）/q（T）]。定理5.2假设u（x，t）是（4.3）的粘性解。假设0<α≤1，r（t）/σ（t）在t上增加，q（t）/σ（t）在t上减少。然后我们有（i）ux（x，t）收敛到u（x，t）为十、→ 0.（ii）ρx（t）收敛到ρ（t）as十、→ 0.证明假设u（x，t）是（4.3）的粘度解，并表示u*（x，t）=lim十、→0，（y，s）→（x，t）辅助x（y，s），u*（x，t）=lim十、→0，（y，s）→（x，t）inf ux（y，s）（5.7）来自（5.4），美国*你呢*定义明确，我们有0个≤ U*（x，t）≤ U*（x，t）≤ E显然你*∈ USC（[0，T]×R）和u*∈ LSC（[0，T]×R）。

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2022-5-8 05:36:04

如果我们能证明*你呢*分别是（4.3）的下解和上解，然后从引理5.4，我们得到u*≤ U*因此你*= U*= u（x，t）变成了（4.3）的粘性解，因此我们有近似解u的收敛性x（x，t）。我们将证明*是（4.3）的子解。（事实上*是一个类似证明的超解。）从定义（5.3）中，我们可以很容易地知道*（x，T）=~n（x）=（E）- ex）+。假设φ∈ C1,2（[0，T]×R）和u*-φ在（x，t）处达到局部最大值∈ [0，T）×R。我们不妨假设（u）*- φ）（x，t）=0且（x，t）是严格的局部极大元Br={（x，t）：t≤ T≤ t+r，| x- x|≤ r} ，r>0。设Φ=φ- , > 0，然后是u*- Φ在（x，t）和（u）处达到严格的局部最大值*- Φ）（x，t）>0。（5.8）从美国*, 存在一个序列uxk（yk，sk）这样xk→ 0，yk→x、 sk→ 坦德利克→∞Uxk（yk，sk）=u*（x，t）。（5.9）如果我们表示u的全局最大点xk- Φ在Brby（^yk，^Sk）上，则存在一个u序列xki（^yk，^Sk）使xki→ 0，（^yki，^Ski）→ （x，t），（u）xki- Φ）（^yki，^Ski）→ （u）*- Φ）（x，t）作为ki→ ∞.（5.10）的确，假设（^yki，^Ski）→ （y，s），然后从（5.9）我们有（u*-Φ）（x，t）=limki→∞（u）xki-Φ）（yki，滑雪）≤ 林基→∞（u）xki-Φ）（^yki，^Ski）≤ （u）*-Φ）（^y，^s）。因此我们有（y，s）=（x，t），因为（x，t）是（u）的严格局部极大值*- Φ).因此，对于足够大的ki，t=t(由（5.5）定义的xki）足够小，如果（x，^Ski+t(xki）∈ 那么我们有xki- Φ）（x，^Ski+t(xki）≤ （u）xki- Φ）（^yki，^Ski），20 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim也就是说，uxki（x，^Ski+t(xki）≤ Φ（x，^Ski+t(xki）+（uxki- Φ）（^yki，^Ski）。（5.11）从（5.8）到（5.10），我们有xki- Φ）（^yki，^Ski）>0（对于足够大的ki）。（5.12）对于每个ki，定义tnandtn=αxkiσ（tn）如（4.4）所示xki。

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2022-5-8 05:36:09

选择tniand jki=j suchthat^yki∈ [（j）- 1/2)xki+c，（j+1/2）xki+c），^Ski∈ [tni，tni+1），简单地表示tni=tn和j=jki。然后从（5.6），引理5.1和（5.11）以及引理5.2我们有xki（^yki，^Ski）=Unj=（FnUn+1）j=[Fnutki（o，^Ski+t([xki]（^yki）≤ {Fn[Φ（o，^Ski+t） +（u）xki- Φ）（^yki，^Ski）}（^yki）≤ {Fn[Φ（o，^Ski+t） ]}（^yki）+（uxki- Φ）（^yki，^Ski）。因此我们有Φ（^yki，^Ski）- {Fn[Φ（o，^Ski+t） ]}（^yki）≤ 因此使用（4.11）我们有Φ（^yki，^Ski）- 最大值1+rntn1.-σntnxkiΦ（^yki，^Ski+t(xki）++σntnxki[anΦ（^yki+xki，^Ski+t） +（1）- an）Φ（^yki- xki，^Ski+t） ], ~nj≤ 0.这个不等式等价于以下等式。闵(tn1+rntn“Φ（^yki，^Ski）- Φ（^yki，^Ski+t(xki）tn--σnΦ（^yki+xki，^Ski+（t）- 2Φ（^yki，^Ski+t） +Φ（^yki）- xki，^Ski+t）二,xki--注册护士- qn-σnΦ（^yki+xki，^Ski+（t）- Φ（^yki）- xki，^Ski+t）二,xki++rnΦ（^yki，^Ski）i，Φ（^yki，^Ski）- ~njo≤ 0.注意到tn1+rntn>0，我们有min（Φ（^yki，^Ski）- Φ（^yki，^Ski+t(xki）tn--σnΦ（^yki+xki，^Ski+（t）- 2Φ（^yki，^Ski+t） +Φ（^yki）- xki，^Ski+t）二,xki--注册护士- qn-σnΦ（^yki+xki，^Ski+（t）- Φ（^yki）- xki，^Ski+t）二,xki++rnΦ（^yki，^Ski），Φ（^yki，^Ski）- ~njo≤ 0.BTM和EDS对于时间相关系数为21的美式期权，该不等式等价于以下等式。min（“Φ（^yki，^Ski）- Φ（^yki，^Ski+t(xki）t(（xki）#t(（xki）tn--σnΦ（^yki+xki，^Ski+（t）- 2Φ（^yki，^Ski+t） +Φ（^yki）- xki，^Ski+t）二,xki--注册护士- qn-σnΦ（^yki+xki，^Ski+（t）- Φ（^yki）- xki，^Ski+t）二,xki++rnΦ（^yki，^Ski），Φ（^yki，^Ski）- ~njo≤ 0.让ki→ ∞, 然后xki→ 从引理5.3，我们得到t(（xki）tn→ 1.这样我们就有了-ΦT-σ（t）Φ十、-r（t）- q（t）-σ（t）Φx+r（t）Φ，Φ-φ（x，t）≤ 0.（这里我们考虑了（^yki，^Ski）→ （x，t）和jki→ ~n（x）。允许 → 0，那么我们有分钟了-φT-σ（t）φ十、-r（t）- q（t）-σ（t）φx+r（t）φ，φ-φ（x，t）≤ 0.自从你*（x，t）=φ（x，t），u*是（4.3）的子解。

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2022-5-8 05:36:12

因此我们证明了（i）。现在我们来证明ρx（t）收敛到ρ（t）as十、→ 0.主要思想来自[12]。首先，从定理4.4和注释9的推论，我们得到了十、→0ρx（tN）-1） =分钟E、 r（T）q（T）E= ρ（T）。现在Fix t∈ [0，T）并假设x<lim十、→0supρx（t）。然后存在一个序列xksuchxk→ 0和limk→∞ρxk（t）>x.用{t（k）n}表示对应于让t∈ [t（k）n-1，t（k）n）。然后t（k）n→ 塔斯k→ ∞. 自ρ我们有ρxk（t（k）n）≥ ρxk（t）。选择xksuch使之成为limxk=x。对于足够大的k，xk<ρxk（t（k）n）=jnxk+c因此我们有了你xk（xk，t（k）n）=~n（xk）（因为xk在运动区域）。我们就这样xk→ 0=> u（x，t）=а（x）=> 十、≤ ρ（t），所以我们有lim supρx（t）≤ ρ（t）。现在我们将证明lim-infρx（t）≥ ρ（t）。假设存在 > 0，使lim infρx（t）<ρ（t）- 2. . 从ρ（t）是连续的这一事实来看，存在δ>0的lim infρx（t）<ρ（t）-2., T∈ [t]-δ、 t+δ]。因此存在一个序列xk→ 0使得ρxk（t）<ρ（t）-2., T∈ [t]-δ、 t+δ]。现在让ρ：=min{ρ（t）：t∈ [t]-δ、 t+δ]}和Q={（x，t）：t∈ （t）- δ、 t]，x∈ (ρ - 2., ρ - )}. 那么既然ρxk（t）在增加，我们有ρxk（t）≤ ρxk（t）≤ ρ - 2. < x<ρ- 对于（x，t）∈ 因此我们有ρxk（t）<x<ρ（t）- , （x，t）∈ Q.（5.13）22 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kimxk（t）<x，让uxk（x，t）=Unj，那么我们有-Un+1j- UnjT-σ（tn）Un+1j+1- 2Un+1j+Un+1j-1.十、-r（tn）- q（tn）-σ（tn）Un+1j+1- Un+1j-12x+r（tn）Unj=0。让xk→ 0，然后是uxk（x，t）（=Unj）收敛到粘性解u（x，t），根据粘性解的正则性（定理5.1），我们得到Ut+σ（t）Ux+r（t）- q（t）-σ（t）U十、- r（t）u=0（x，t）∈ Q.（5.14）另一方面，从（5.13）中，我们有x<ρ（t）- , 因此，x处于（4.3）的运动区域，u（x，t）=E- 前任。

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2022-5-8 05:36:15

所以我们有Ut+σ（t）Ux+r（t）- q（t）-σ（t）U十、- r（t）u=q（t）ex- r（t）E，（x，t）∈ 问：这与（5.14）相矛盾。因此我们证明了lim-infρx（t）≥ ρ（t）≥ lim supρx（t）。所以我们有limρx（t）=ρ（t）。（QED）推论（美式看跌期权价格的单调性和最优行使边界）假设u（x，t）是（4.3）的粘性解。假设r（t）/σ（t）增加，q（t）/σ（t）在t上减少。那么我们有（i）u（x，t）在x上减少，t.（ii）ρ（t）在t上增加。（证明）（i）来自定理4.1（ii）、定理4.2和定理5.2（i）。（ii）来自定理4.4和定理5.2（ii）的推论（ii）。（QED）引理5.5[12]LetOhm Rmand fn（x，··，xm）点态收敛于连续函数f（x，··，xm）。假设fn和f是单调的Ohm. 然后FnUniformlyConverge到f的任何紧子集上Ohm.定理5.3当十、→ 0，然后是u在[0，t]×R和ρ的任意有界子域上，x（x，t）一致收敛于u（x，t）x（t）一致收敛于ρ（t）。（证明）从定理5.3的结果来看，u（x，t）和ρ（t）都是单调的。因此，从引理5.5中，我们得到了期望的结果。（QED）备注5.3。考虑二叉树方法的收敛性。如第3节所示，在晶格中Qc={（xj，tn）：xj=jx+c，0≤ N≤ N- 1，j∈ Z} ，具有时间相关系数的美式期权的explicitBTM和EDS 23差异方案（4.12），α=σntn/x=1在忽略O的意义上与BTM一致(x）。让我们通过明确的差异方案（4.12）和BTM价格确定价格。那么我们有unj=maxρnanUn+1j+1+（1）- an）Un+1j-1., （E）- Sej十）+,Vnj=最大值ρnθnVn+1j+1+（1）- θn）Vn+1j-1., （E）- Sej十）+.让u=e十、

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2022-5-8 05:36:18

然后我们有| Vnj- Unj|≤ρn|θnVn+1j+1- anUn+1j+1 |+|（1）- θn）Vn+1j-1.- (1 - an）Un+1j-1个|≤ρnθn | Vn+1j+1- Un+1j+1 |+|θn- an | Un+1j+1+（1）- θn）|Vn+1j-1.- Un+1j-1 |+|θn- an）|Un+1j-1.≤ρnkVn+1- 联合国+1公里∞（Z） +2O(x） kUn+1公里∞（Z）.这里我们考虑引理4.1：θn=an+O(x）。请注意，kUn+1kl∞（Z）≤ E、然后我们有|Vnj- Unj|≤ρnkVn+1- 联合国+1公里∞（Z） +2E·O(十）.由于rn/σnis增加，我们有(-注册护士tn）=exp(-注册护士x/σn）≤ 经验(-Rx/σ）=:A，并使用ρ-1n=（1+rntn）=exp(-注册护士tn）+O(tn），然后我们有|Vnj- Unj|≤ AkVn+1- 联合国+1公里∞（Z） +2AE·O(x）。因此，我们有KVN- 乌克尔∞（Z）≤ AkVn+1- 联合国+1公里∞（Z） +A2E·O(十）≤ AkVn+2- Un+2kl∞（Z） +（A+A）2E·O(x） ·········≤ 一-nkVN- 乌克尔∞（Z） +（A+A+···+A）-n） 2E·O(x）。这里注意到kVN- 乌克尔∞（Z） =max{| VNj- UNj |}=0，我们有kvn- 乌克尔∞（Z）≤A1- A2E·O(x） =O(x）。因此，从定理5.2，当十、→ 0，BTM价格VNJ收敛于变分不等式（4.3）的粘性解。24 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim6美式期权的BTM看跌期权平价及其应用为了证明价格在t上的单调性，我们不仅需要引理3.1和引理3.2，还需要以下引理，它们的证明方法与[10]相同。引理6.1如果θn=ρn/ηn-杜-d、 θn=ηn/ρn-杜-dθnuρn=1- θnηn（1）- θn）dρn=θnηn（6.1）证明它的证明方法与[10]相同。

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2022-5-8 05:36:22

（Q.E.D）引理6.2（同质性）如果我们用P（Sj；E）表示美式看跌期权的BTM价格，用C（Sj；E）表示美式看涨期权的BTM价格（E是行权价格），那么我们有C（αSj；αE）=αC（Sj；E），P（αSj；αE）=αP（Sj；E）（6.2）证明它是用与[10]（Q.E.D）相同的方式证明的，通过使用这两个引理，我们得到了以下看跌对称性。定理6.1（BTM中的看涨期权对称性）分别表示标的资产价格Sj、行权价格E、利率R和股息率Qnbyc（Sj，E，n）=C（Sj，E，ρn，ηn）和P（Sj，E，n）=P（Sj，E，ρn，ηn）的美式期权价格。我们有c（Sj，E，ρn，ηn）=P（E，Sj，ηn，ρn）。（6.3）（ρn=1+rn）tn，ηn=1+qnn=n，C（Sj，E，n）=（Sj）情况下的证明- E） +=P（E，Sj，N），我们有（6.3）。现在我们假设（6.3）适用于n=k+1，并证明当n=k时，从（2.4）开始，美式看涨期权的BTM价格isC（Sj，E，ρn，ηn）=maxρn[θnC（Sj+1，E，n+1）+（1）- θn）C（Sj）-1，E，n+1）]，（Sj- （E）+= 最大值ρn[θnC（Sju，E，n+1）+（1）- θn）C（Sjd，E，n+1）]，（Sj- （E）+通过使用引理6.1和引理6.2（同质性），我们得到c（Sj，E，ρn，ηn）=maxρn[θnuC（Sj，Ed，n+1）+（1）- θn）dC（Sj，Eu，n+1）]，（Sj- （E）+= 最大值ηn[（1）- θn）C（Sj，Ed，n+1）+θnC（Sj，Eu，n+1）]，（Sj- （E）+时间相关系数为25的美式期权的BTM和EDS利用归纳假设和看跌期权的BTM价格公式，我们得到C（Sj，E，ρn，ηn）=maxηn[θnC（Sj，Eu，n+1）+（1）- θn）C（Sj，Ed，n+1）]，（Sj- （E）+= 最大值ηn[θnP（Eu，Sj，n+1）+（1）- θn）P（Ed，Sj，n+1）]，（Sj- （E）+= P（E，Sj，ηn，ρn）利用这些结果，我们可以证明t上看涨期权价格的递减性。（Q.E.D）定理6.2 Vnj（n=0，1，··，n，j=0，±1，±2，··）是美式看涨期权的BTM价格。假设r（t）/σ（t）在t上减少，q（t）/σ（t）在t上增加，那么我们有vn-1j≤ Vnj。（6.4）我们通过归纳法证明的证据。

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2022-5-8 05:36:26

从美式期权的性质来看，我们有-1j≥ νj=（Sj）- E） +=VNj（j=0，±1，··），因此该断言对n=n是正确的。归纳而言，我们假设Vkj≥ Vk+1j。ThenVk-1j=最大值ρk-1[θk-1Vkj+1+（1- θk-1） Vkj-1] ，~nj= 最大值ρk-1[θk-1C（Sju，E，k）+（1）- θk-1） C（Sjd，E，k）]，j(6.5)≥ 最大值ρk-1[θk-1C（Sju，E，k+1）+（1）- θk-1） C（Sjd，E，k+1）]，j利用引理6.1和引理6.2，我们的归纳假设，以及调用-放置对称性（定理6.1），我们得到了vk-1j≥ 最大值ρk-1[θk-1uC（Sj、E、k+1）+（1）- θk-1） dC（Sj，E，k+1）]= 最大值ηk-1[θk-1P（Eu、Sj、k+1）+（1）- θk-1） P（Ed，Sj，k+1）]，νj根据定理和引理3.1的假设，我们得到了ρk-1.≥ ρk，ηk-1.≤ ηk，θk-1=ηk-1/ρk-1.- 杜- D≤ θk，如果我们考虑P（Eu）≤ P（Ed）和引理3.2，我们得到θk-1P（欧盟）+（1）- θk-1） P（教育）≥ θkP（Eu）+（1）- θk）P（Ed）.26 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.KimSo我们有-1j≥ 最大值ηk-1[θkP（Eu，Sj，k+1）+（1）- θk）P（Ed，Sj，k+1）]，νj. （6.6）再次使用引理6.2、引理3.1和定理6.1，我们得到了vk-1j≥ 最大值ρk[θkC（Sju，E，k+1）+（1）- θk）C（Sjd，E，k+1）]，νj= 最大值ρk[θkVk+1j+1+（1- θk）Vk+1j-1] ，~nj= Vkj。（6.7）（Q.E.D）我们可以从t上BTM的单调性证明近似最优行使边界的存在性。定理6.3假设Vnj（n=0，1，··，n，j=0，±1，±2，··）是美式看涨期权的价格，定理6.2的假设是满足的，并假设r（t），Q（t）>0。然后对于每个tn（0≤ N≤ N- 1）存在Jnj，因此vnj=对于j≥ jn；Vnj>对于j=jn- 1.Vnj≥ νjj≥ jn- 2.（6.8）j≥ ··· ≥ jk≥ jk+1··≥ jN-1.（6.9）备注6.1条件q（t）>0是必要的，这与看跌期权的条件不同。如果q（t）=0，则最佳运动边界不存在，不需要提前运动。证明就像定理3.3一样，我们假设E=S=1，S- j=uj，无通用性损失。

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2022-5-8 05:36:31

然后vnj=（uj- 1） +=j，（j=0，±1，±2，··）。因此如果j≤ 0，则φj=VNj=0，如果j≥ 1然后φj=uj- 1=VNj>0。FromVN-1j=最大值ρN-1[θN-1~nj+1+（1）- θN-1） ~nj-1] ，~nj,因此如果j≤ -1然后φj+1=φj=φj-因此VN-1j=VNj=0=~nj。另一方面，如果j=0，则魟>0，魟=魟-1=0和VN-1= ρ-1N-1φ> 0 = φ. 所以我们有-1> ~n（6.10）美国期权的BTM和EDS，时间相关系数为27If j≥ 1那么j- 1.≥ 0和ψj=uj- 1>0，νj-1=uj-1.- 1.≥ 0，那么我们有-1j=最大值ρN-1[θN-1（uj+1- 1) + (1 - θN-1）（uj）-1.- 1） ]uj- 1.= 最大值ρN[θN-1uj+1+uj-1.- 1.- θN-1uj-1] ，uj- 1.= 最大值ρN-1.ujuθN-1+(1 - θN-1） u- 1., uj- 1.= 最大值ujuθN-1ρN-1+(1 - θN-1） ρN-1u-ρN-1，uj- 1.从引理6.1，我们得到θnuρn+（1）-θn）dρn=η，因此我们有-1j=最大值ηN-1uj-ρN-1，uj- 1..自qN以来-1> 0，我们有ηN-1> 因此，如果我们比较ηN的图-1x-ρN-1和X- 1.我们可以看到有两种情况是可能的。如果J≥ 1, η-1N-1uj- ρ-1N-1.≤ uj- 1.我们有VN-1j=uj- 1=当jN-1= 1.相反，如果J≥ 1, η-1N-1uj- ρ-1N-1> uj- 1.我们定义-1=分钟J≥ 1| η-1N-1uj- ρ-1N-1.≤ uj- 1..然后（6.8）保持不变。就是说，j≥ jN-1.=> 越南-1j=аj；j=jN-1.-1.=> 越南-1j>~nj.因此存在jN-1.∈ 证明了Z。假设当n=k时，有jk（jk≥ jk+1≥ ··· ≥ jN-1）因此（6.8）是正确的，即ej≥ jk=> Vkj=аj；j=jk- 1.=> Vkj>νj；J≤ jk- 2.=> Vkj≥ νj（诱导假说）。Vk-1j=最大值ρk-1[θk-1Vkj+1+（1- θk-1） Vkj-1] ，~nj还有j≥ jk+1=> J- 1.≥ jk=> Vki=ψi，i=j+1，j，j-所以我们有-1j=最大值ρk-1[θk-1（uj+1- 1) + (1 - θk-1）（uj）-1.- 1） ]，（uj- 1)= 最大值ηk-1uj-ρk-1，uj- 1..自qN以来-1> 0，那么ηk-1> 可能有两种情况，一种是J≥ jk+1，ηk-1uj-ρk-1.≤ uj- 1（6.11），另一个是J≥ jk+1：ηk-1uj-ρk-1> uj- 1.（6.12）28 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim如果（6.11）是真的，那么Vk-1j=аj。

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2022-5-8 05:36:33

因此，如果j=jk- 1，然后是Vk-1j≥ Vkj>~nj.所以ifVk-1jk>~nj然后让jk-1=jk+1，如果Vk-1jk=~nj然后让jk-1=jk。如果（6.12）是真的，那么letjk-1=分钟J≥ jk+1：ηk-1uj-ρk-1.≤ uj- 1..那么如果j≥ jk-1然后Vk-如果j=jk，则1j=~njand-1.-1然后Vk-1j>~nj.如果j≤ jk-1.-2.thenVk-1j≥ Vkj≥ νj.因此jk的存在-1(≤ jk）被证明。（Q.E.D）备注6.2定理6.2和定理6.3强烈代表了时间相关系数情况下的特征。特别值得注意的是，在看跌期权和看涨期权中，时间递减性的条件是相反的。确定近似的最佳运动边界S=S（t）关于区间[0，t]，如下所示。s（t） =（uj）-1，t=tn（t-tn）tn+1-tnS（tn）+（tn+1）-t） tn+1-tnS（总氮+1），总氮≤ T≤ tn+1.7美式看涨期权变分不等式模型EDS中的看跌期权对称性及其应用具有时间相关系数的美式期权变分不等式模型和时间间隔划分方法、格构和显式差分模式如第4节所示。与BTM一样，我们需要同质性和看跌期权平价，以便通过美式看涨期权变分不等式模型的显式差分格式证明价格在时间上的单调性。定理7.1（通过显式差异方案得出的价格同质性）如果u=ex、那么我们有U（uSuj，uE）=uU（Suj，E）u > 0, J∈ Z.（7.1）这里unj=u（j由（4.10）和（4.11）定义的x+c，tn）由U（Suj，E；n）表示。证明n=n是显而易见的，其他情况则由归纳法证明。（Q.E.D）现在，通过显式差异方案考虑价格的看跌期权平价。与inBTM一样，我们可以按如下方式编写看涨期权和看跌期权的价格。现在，通过显式差异方案来考虑价格的看涨期权对称性。

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2022-5-8 05:36:36

像BTM一样，我们可以将看涨期权和看跌期权的价格写如下。c（S，E；r，q；k）=美式期权的BTM和EDS，时间相关系数29=最大值ρk[（1）- α） C（S，E；k+1）+α（akC（Su，E，k+1）+（1- ak）C（Sd，E，k+1）），（S- （E）+（7.2）p（S，E；r，q；k）=maxρk[（1）- α） P（S，E；k+1）+α（akP（Su，E，k+1）+（1- ak）P（Sd，E，k+1）），（E- （S）+（7.3）备注7.1对于显式差分方案，无法获得（6.3）inBTM等完美对称性。我们的目标是证明（S，E；r，q；k）=p（E，S；q，r；k）+O(xδ）k=N，N- 1, ··· , 0. （7.4）这里δ将在后面定义。当k=N（7.4）明显成立时，sincec（S，E；N）=（S- E） +=p（E，S；N）。在显式差异方案中，我们使用以下符号：=+x2σn注册护士- qn-σn, 安=+x2σnqn- 注册护士-σn. （7.5）考虑到均匀性（定理7.1），我们有c（S，E；r，q，N）- 1） ==最大值ρN-1[(1 - α） c（S，E；N）+α（aN）-1c（Su，E，N）+（1）- 一-1） c（Sd，E；N）），（S）- （E）+= 最大值ρN-1c（S，E；N）+α一-1uρN-1c（S、Ed、N）+（1- 一-1） dρN-1c（南、欧盟、北）, （S）- （E）+= 最大值(1 - α） ρN-1ηN-1ρN-1c（S，E；N）+α一-1uρN-1c（S，Ed，N）+（1）- 一-1） dρN-1c（南、欧盟、北）, （S）- （E）+= 最大值(1 - α） ηN-1c（S，E；N）+（1）- α） qN-1.- 注册护士-1ρN-1αxσN-1c（S，E；N）+α一-1uρN-1c（S，Ed；N）+（1）- 一-1d）ρN-1c（南、欧盟；北）, （S）- （E）+.现在我们有一个uρn-1.- ηn=exρn+x2σn注册护士- qn-σn-ηn-x2σnqn- 注册护士-σn=ρnηnηne十、+x2σn注册护士- qn-σn- ρn-x2σnqn- 注册护士-σn.30 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim如果我们缩写索引以避免复杂性，那么我们有ηne十、+x2σn注册护士- qn-σn==+ 十、+2σn注册护士- qn-σn+ 十、qnα2σn++2σn注册护士- qn-σn+ O(十）-ρn-x2σnqn- 注册护士-σn=+ 十、2σnqn- 注册护士-σn- xrnασn+O(x）。因此ηne十、+x2σn注册护士- qn-σn- ρn-x2σnqn- 注册护士-σn== 十、qn（α）- 1） 2σn+rn（1）- α） 2σn+ O(x） =O(xδ）。这里是δ=2，α<13，α=1（7.6），因此我们有一个ρn-1.- anηn=O(xδ）。

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