论奖金计划的失败

2022-5-8 05:37:33

关于奖金计划的失败David Lagziel:和Ehud Lehrer；2018年10月30日摘要：一位决策者（DM）通过两家投资公司投资了一些资金。她希望根据公司的收入分配额外的资金。一方面，DM试图最大化总预期收益，而企业则试图最大化其管理的总体预期资金。在本文中，我们证明，对于每个市场，DM都有一个最优的奖金政策，这样企业就有动机根据DM的利益行事。另一方面，我们也证明了在普通市场上唯一最优的政策是独立于企业的行为和收益的。《经济文献期刊》重新分类号：C72、D47、G11、G14、G23、G24。关键词：奖金计划；投资决策；市场设计；投资组合管理作者感谢Rani Spiegler和Eddie Dekel的宝贵评论。莱勒感谢以色列科学基金会（Grant#762/045）的支持。Lagziel感谢以色列科学基金会（Grant#538/11）的支持：特拉维夫大学数学科学学院，以色列特拉维夫69978。电子邮件：davidlag@post.tau.ac.il.;特拉维夫大学数学科学学院，以色列特拉维夫69978，位于西德，Bd.deConstance，77305 Fontain ebleau Cedex，法国。电子邮件：lehrer@post.tau.ac.il.1介绍奖金计划在竞争市场，尤其是金融市场中，对激励代理人有着重要的作用。从理论上讲，这些计划旨在确保财务经理投入他们最好的时间和精力，为他们的投资者创造最佳的可能收益。虽然这些奖金的动机很明确，但其影响相对模糊。

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2022-5-8 05:37:36

当结果是随机的，且计划基于过去的表现时，从投资者的角度来看，代理人会冒不必要的风险，以增加自己的预期收益。因此，制定激励计划必须确保代理人的行为符合他们所代表的人的最佳利益。在本文中，我们通过一个基本的设置来解决这个问题。我们假设决策者（DM）希望使用多家公司投资额外资金。为此，她选择了一个分配规则，一个奖金计划，这是公司业绩的函数。例如，一名DM通过两家公司投资了10万美元，她希望根据年终收入分配额外的5万美元。另一个例子——DM是一家投资公司的经理，需要根据其年度回报向多个部门分配额外的资金。企业最大化其管理的预期资金总额的动机可能会带来问题，因为这可能与DM最大化预期回报的愿望不一致。由于这可能发生在现实生活中，企业可以利用对其业务的不完善监控来降低自己的预期收益，而成本由DM承担。本文的结果从两个方面反映了这个问题。首先，我们证明了远期市场，即对于企业的每一组可能行为，DM可以确定一个最优奖金计划，从而使企业在均衡状态下根据DM的偏好行事。这一结果适用于市场相对稳定的情况，即动作集不会发生剧烈变化。我们以建设性的方式展示了我们的支持，并为众多公司和行动提供了支持。

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2022-5-8 05:37:39

事实证明，与企业收入差异之和成线性关系的奖金计划是最优的。另一方面，我们也证明了一个普遍的，非平凡的，最优的奖金计划是不存在的。换言之，当市场频繁变化，且一系列行动可能发生重大变化时，人们无法设计出一个保持最优的奖金计划，除非它独立于企业的结果。这些结果表明，鉴于aWe有时将企业称为代理人，将决策者称为投资者，我们将重点放在最优奖金计划的存在上。需要奖金计划，而不是讨论计划本身的必要性。我们假设，由于缺乏激励，在他们产生的结果之间存在差异的代理人几乎肯定会导致次优结果。例如，没有基于结果的支付（无论是正面还是负面）的公司将没有理由投资研发、拓展新市场、获取个人信息，甚至提高其交易能力。这一观点推迟了我们的研究和以前的论文。在大多数以前的工作中（详细描述见第1.1小节），主要问题是DM是否可以设计一个激励计划，以奖励熟练的代理，而筛选出非熟练的代理。然而，我们表明，即使所有的代理人都很熟练，每一个基于结果的奖金计划都可能导致次优结果。因此，个人投资能力或独特的私人信息不会对代理人选择的投资组合产生积极影响。另一个不同于我们的工作和以前的工作的方面是美国基准投资组合的时代。当我们比较每个代理的实际结果和潜在结果时，考虑到代理的能力和信息，我们不需要外部基准。尽管如此，我们仍然认为这是一个线性的w.r.t.奖金计划。

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2022-5-8 05:37:42

两种药剂的均匀性差异之和是最优的，这意味着药剂之间的比较是必不可少的。我们的研究结果的影响不仅限于激励性的例子，即在竞争企业之间分配额外资金。我们的模型也适用于投资者希望根据未来表现重新分配其先前投资的基金的情况。因此，投资者使用的分配规则可能意味着实际的奖金和罚款，以及两者的任何组合。1.1相关文献对基于绩效的薪酬和计算在确定性市场中的重要性进行了大量研究。然而，据我们所知，weexamine方面从未被讨论过。许多论文研究了众所周知的“羊群”现象，当代理人倾向于模仿其他代理人时，尽管他们可以更好地表现出一定的能力，以维护他们的声誉。我们可以把这个概念追溯到凯恩·埃斯（Keyn es，1936）的话：“世俗的智慧告诉我们，名誉以常规方式失败比以非常规方式成功要好。”（第四册第12章第158页）。Scharfstein和Stein（1990）遵循这一观点，并表明在某些情况下，代理人只是模仿他人的行为，而忽略了他们所拥有的实质性信息。具体而言，当市场根据代理人的表现和惯例评估代理人的能力时，代理人可能会相互模仿，导致次优结果。Dasgupta和Prat（2006）继续了这项工作。它研究了职业担忧对基金经理业绩的影响。Dasgupta和Prat给出了一个特定的模型，表明在没有职业顾虑的情况下，只有具备特殊能力的基金经理才能交易。

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2022-5-8 05:37:45

然而，他们也证明，职业问题可能会导致一种平衡，即非熟练的基金经理必须交易才能脱颖而出，这可能涉及承担不必要的风险。这一工作在Dasgupta和Prat（2008）中被推广到一个动态模型。然而，后者关注的是职业担忧对市场公关和交易量的影响。在这两种情况下，投资者都是风险中性回报最大化者。虽然“羊群”现象不是我们在本文中的主要关注点，但它与我们的结果是一致的。我们证明了一个潜在的次优结果的存在，因为代理人需要与他们的竞争对手保持一致。总的来说，非熟练特工的可操作性被证明存在于多篇论文中，如Lehrer（2001）；Sandroni等人（2003年）；Sandroni（2003）；Shmaya（2008）；奥尔舍夫斯基和桑德罗尼（2008）。Foster and Young（2010）证明，如果熟练的经纪人得到奖励，而非熟练的经纪人被市场淘汰，那么几乎不可能产生奖金。这一结果基于这样一个假设：代理人的策略和战术是不可观察的。最近，他等人（2015年）表明，如果设置了液体离子边界，并要求代理人自己存款以抵消潜在损失，则该结果可能会发生改变。Holmstrom和Milgrom（1991）在与我们完全不同的背景下研究委托代理问题，但得出了一个类似的结论，即有时唯一的最优激励计划是不变的。这证明了代理人会将他们的工作转移到更容易衡量他们表现的地方，以增加他们的报酬，并得出与工作设计相关的影响。

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2022-5-8 05:37:49

例如，根据学生的考试成绩获得奖金的教师可能会忽略其他重要方面。假设风险中性投资者知道一些行为，Carroll（2015）检查了投资者通过与自己所知一致的aworst案例标准评估代理人绩效的合同。在这些条件下，它表明线性契约是最优的。然而，我们不应该混淆这种线性和我们提出的线性奖金计划。Carroll（2015）的结论是，固定份额的回报率是最优的，而我们建议签订一份合同，将线性与其他代理进行比较。1.2论文大纲论文组织如下。第2节提出了一个简单的两公司奖金计划问题，说明了竞争性非确定性市场中基于结果的激励的缺点。在第3节中，我们介绍了模型和主要假设。第4节包括分为两部分的主要结果：在第4.1节中，我们展示了如何为任何特定市场制定最佳奖金计划；在4.2小节中，我们证明了随着市场的发展，每个Bonuplan都可能失败，除非它独立于结果。第5.2节给出了一个激励示例——一个2公司奖金计划问题。决策者（DM）希望通过投资公司投资一些基金。有两种可能的投资公司，公司1和公司2。

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2022-5-8 05:37:52

DM已经通过两家公司投资了一些资金，她希望根据公司年收入的某种预定规则分配额外的资金。DM的目标是最大化过去和未来投资的预期收益。然而，由于她不知道市场上可能存在的债券，她选择将全部可用金额分配给该公司，该公司在次年年底前的收益最高。如果两家公司都有相同的收益，则资金在两家公司之间平均分配。公司可以投资于债券X，该债券的年收益率为5%，概率（w.p.）为1；或者投资于债券X，该债券的年收益率为5.1%，概率（w.p.）为0.6%，概率（w.p.）为0.4%。根据下面给出的效用函数，企业的目标是最大化预期收益，并最大化其管理的总体资金。在这个例子中，我们证明了，尽管相对于债券X的投资而言，债券X的投资在预期上是次优的（而且风险也更高），但唯一的均衡是当两家公司都投资债券X时，假设A“tX，Xu是企业的行动集。我们认为行动X和X是分布在同一概率空间上的随机变量，X”每年1.05 w.p.1，X ,andUpXi，Xjq“λXj`p1`λq”tXjasui`tXj”sui,对于公司1和公司2的每一项行动。也就是说，效用函数是DM分配的收入和额外资金的加权平均数。下面的引理表明，这两种形式的最佳行动是X引理1。

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2022-5-8 05:37:55

唯一的平衡是当两家公司选择只投资债券X时。引理1举例说明了一个有趣的情况。BondXis的预期年收益为3.006%，而Bond Xis的预期年收益为5%。因此，如果两家公司都选择投资X，那么所有相关方、企业和DM都将受益。然而，唯一的均衡是pX、Xq，该市场无法达到最佳结果。证据让我们计算企业1对于每一个纯行动的预期效用。我们需要考虑四个项目，每个项目中公司1的预期效用是：，Xqs“1.05λ`0.5p1\'λq”0.5`0.55λ；ErUpX，Xqs“1.05λ`0.6p1\'λq”0.6`0.45λ；ErUpX，Xqs“1.0306λ`0.4p1\'λq”0.4`0.6306λ；ErUpX，Xqs“1.0306λ`0.5p1\'λq”“0.5`0.5306λ。公司2也有类似的计算。将这些预期值插入到一个两人游戏中。XXX0.5`0.55λ，0.5`0.55λ0.4`0.6306λ，0.6`0.45λX0.6`0.45λ，0.4`0.6306λ0.5`0.5306λ，0.5`0.5306λ表1：公司1和公司2作为λ的函数进行的游戏。对于每一个Tron P公司，1q和每一个动作，i xsp，i，n结果如下。这个例子说明了当有两个公司和两个纯行动时的问题。第3节介绍的模型涉及企业和行动方面的更一般情况。3模型将n P n和n“t1，…，nu定义为一组指数。对于每个i P n，让Xibe-arandom变量具有可数支持度，并在概率空间上定义有限期望Ohm . 我们称其为纯粹的行动。表示一组纯动作X，XnbyA“tX，…，Xnu，并表示一个bySA”TiPNSi中随机变量的支持函数。混合作用（或策略）是一个随机变量的凸组合，使得q“rni”1qixind pq。

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2022-5-8 05:37:58

，qnq P帕克。注意，混合作用q是一个随机变量，对于每个ωP，qpωq“rni”1qiXipωqOhm.修正一个自然kě2。维度k的奖金计划（BP）是一个函数f:Rk~nRk，对于每个Rk，k"yi“1fiprq”1（1）和f prq P r0，1sk。k-玩家奖金计划问题由DM和k-玩家（或公司）组成。DM，不熟悉A中的纯动作，pu blicly致力于奖金计划，该计划定义了k-玩家游戏gf，如下所示。每个P层i根据纯动作集A选择一个策略，用σfi表示。表示σf“Pσf，…，σfkq。ωPOhm 是随机的，每个玩家我都会收到fi`σfpωq，而DM则会收到rki“1σfipωq.definition 1.策略的概率σfis A纳什均衡在GfifE“fi'σfi，σf'i'E”fi'q，σf'i'305，对于每个玩家i和策略q。考虑k玩家奖金计划问题的一个便捷方法是假设玩家正在玩由DM诱导的游戏，这意味着DM本质上是agame设计器或机制设计器。GFP中的玩家希望在均衡状态下最大化他们的预期收益，这取决于奖金计划f，DM希望最大化他们的预期收益，这是Gf中玩家均衡策略的函数。我们使用pBq表示集合B上的概率测度集。从上下文中可以清楚地看出，我们将不再涉及函数f的维数。正式地玩家i希望最大化E“fi`σfEUR，其中σf是Gf中的纳什均衡，而DM希望最大化E“ki”1σfii。布恩斯计划问题与委托代理问题有一些相似之处。DMF代表有兴趣激励其代理人（如投资公司）的委托人以产生最佳预期收益。然而，第2节给出的例子表明，合适的方法并不总是简单的方法。

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2022-5-8 05:38:02

有时，一个简单或直观的奖金计划可能会给各方带来次优结果。下一节给出了由该示例激发的一般结果。定义2。奖金计划f是最优的，如果诱导的k人博弈GFP有一个平衡σf，如<<k"yi“1σf f f”k最大能量。（2）也就是说，如果存在一个平衡σf，则f是最优的，其中所有p层的混合作用是具有最大期望值的纯作用的加权平均值。注1.为了简化计算和符号，我们假设ErxsaErXis，（3）对于每2didn。这意味着奖金计划f是最优的当且仅当pX，Xqis是Gf中的一个平衡。备注2。对于每个奖励计划f和每个纯行动向量X，因此，游戏gf是一个固定和游戏，即所有玩家的预期收益之和为1。对于每一个奖金计划f和每一个游戏gf，我们可以确定一个辅助奖金计划fprq“f prq'`k，…，k对于每一个r P Rk。诱导博弈Gf是一个对称的零和k-玩家博弈。4主要结果在本节中，我们证明了本文的两个主要结果。第一个结果表明，对于每一个有限的随机变量集a，存在一个最优奖金计划f。第二个结果表明，对于每一个非平凡的（即，非常数）奖金计划f，存在一组f不是最优的情况。在考虑合同规划时，这些结果的结合非常重要。一方面，在任何不确定的市场中，DM都可以设计一个合同，以确保代理保留自己的利益。另一方面，如果市场是动态的，这意味着市场在可能的行动方面不断变化，那么任何不平凡的奖金计划最终都可能导致次优结果。

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2022-5-8 05:38:05

换句话说，唯一能确保玩家按照DM的偏好行事的奖金计划，是一个自相矛盾的、独立于玩家行为的奖金计划。4.1固定作用集我们证明的第一个定理是构造性的。对于每一组动作A，我们都指定一个op Timal奖励计划f。我们提出的最佳奖金计划f在玩家学习的差异上是线性的。我们从有界集SA的简单情况开始。确定一组纯动作a。确定包含Sa所有值的最小、有限和闭合区间，并确定IA中最大元素的绝对值（w.r.t绝对值）。也就是ωPOhm 而每个动作Xi，都是Xipωq P IAand | Xipωq | MA。通过FIPRQ“$和%k`rkj”1pri\'rjq2kpk\'1qMA，如果r P IkA，k，如果r r IkA，确定线性奖金计划f。可以验证f是否已确定，因为对于每项r P Rk，平等性定理1.对于每一组具有有限支撑SA的纯作用A，MA线性Bonuplan是最优的。证明。我们必须证明pX，…，Xq是Gf中的平衡，或等价地，对于每一个参与者i和参与者i的每一个策略q“rni”1qixio（当q‰X时），不等式E rfipX，XqsaE rfipq，X，Xqs h olds。在不丧失一般性的情况下，假设i“1，因此rfpq，X，…，Xqs”E<<f"yn"yi“1qiXi，X，…，X,ff”E“pk\'1qrni”1qiXi\'pk\'1qX2kpk\'1qMA`k“2kMAE<<n"yi”1qiXi\'X fff\'kak”E rfipX，…，Xqs，当第二个和最后一个等式从f的定义开始跟随f，不等式从q‰X和Erqs“E rrni”1qiXisaErXs这一事实开始跟随。pX，…，Xq是一个平衡的事实并不令人惊讶。它直接从ri中fiprq的线性开始。

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2022-5-8 05:38:09

这种线性意味着Xis是每个玩家的主导策略，因此，平衡是唯一的。以下定理给出了一般情况下（即，对于SAI无界的情况）的有界线性奖励计划f，并证明了它是最优的。定理2。对于每一组纯动作A，都存在一个最优奖金计划。证据我们通过构造一个新的最优奖励计划，将eorem 1推广到无界集。让^rq，i“pq，pXqj‰iq是一个动作向量，玩家i选择混合动作q，每个p层玩X。请注意，对于每个q‰X，对于某些cqa0，预期值rq\'Xs“\'cqa0。由于预期值为负且有限，因此存在一个真实的数字mpqqa0，使得对于每M pqqqqe“pq\'xqq1t | q\'Xmuapq，（4）和pql。（5）伊内克。（4）（5）是严格的，在此之前存在一个包含q的开集Bpqq，这两个不等式适用于每一个qP Bpqq，其中q‰X。混合作用集q是复杂的，因为它可以用一个pn′1q simp lex表示，因此开集TBPQQ是一个开放的覆盖。众所周知，在BA上存在一个有限的亚群。修正c“minqPBAcqa0，让MěM axqpbacpqq为正数，这样对于每MěM和每q‰X，E”pq\'Xq1t | q\'X | muac，（6）和l | M | l | Prpq | Xalqac.（7）注意（7）保持q | X的弱不等式。用有界线性奖金计划f `prq 1241pk“1pri\'rjqkpk\'1qMdk，k，如果不是这样的话。我们可以验证f是一个定义良好的bonu计划。我们通过显示w.l.o.g.thatErfpq，X，…，Xqsak”ErfpX，…，Xqs，来证明pX，…，Xq是由有界线性rbnus计划诱导的博弈中的一个平衡。注意0dk\'j‰ipq\'xq2mdkqd124; X，因此。

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nandehutu2022

2022-5-8 05:38:13

，Xqs“E^krj‰ipq˙xqkpk˙t | q | Xd2Mu`kPrp | q | X | 2M qdkd2MkE | pq | xqt | q | X | 2Mu‰k | l | 2MPrpq | X“lq。它来自（6）和（7）thaterpq，X，…，Xqsak | c4Mk 2Mk | l | lPrpq | c4Mk |c4Mk“k，如前所述。4.2通用奖金计划通用奖金计划f是一个非恒定奖金计划，因此对于每一组行动，f都是最优的。具体而言，通用奖金计划f是一个非恒定奖金计划，例如对于每一组行动X，…，Xn，其中ErXsaErXjs对于每2djdn，行动pX，…，Xq的比例在Gf中是一个平衡。以下是：这个定理证明这样的计划是不存在的。定理3。如果有两名参与者，则不存在通用奖金计划。证据让xayaz.我们首先证明fpy，yqěfpx，yq。相反，假设fpy，yqafpx，yq。假设A“tX，Xu是两个动作X和X的集合，具有联合概率分布，XzXx yx 0 y 1 0注意erxaerx。然而，ErfpX，Xqs“fpx，yqafpy，yq”ErfpX，Xqs，这意味着pX，Xq在Gf中不是一个平衡，因为玩家1可以从偏差X中受益。因此，fpy，yqěfpx，yq。（8）出于类似的原因，fpy，yqěfpy，Xq接下来我们证明了fpx，xqěfpy，xq。设p是p0中的一个数，1q，设A“tX，xx是两个作用x和x的集合，具有联合概率分布，XzXx yx 0 pz 1\'p 0A直接计算表明ErfpX，Xqs\'ErfpX，Xqs“ppfpx，xq\'fpy，xqq\'p1\'pq pfpz，zq\'fpx，zqq。回想一下，fpz，zq\'fpx，zq是有界的。如果fpx，xqafpy，xq，那么p小于，但非常接近1，因此对于每一个z，ErfpX，Xqs\'ErfpX，Xqsa0。换句话说，ErfpX，Xqs，Xqs。（10）现在人们可以选择z非常大，因此（ErXs）不相等这意味着pX，Xq在Gf中不是一个平衡，因为玩家1可以从偏离X中受益。因此，fpx，Xqěfpy，Xq。

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2022-5-8 05:38:16

（11）类似的原因暗示fpx，xqěfpx，yq。（12）现在我们将不等式（8）、（9）、（11）和（12）相加，得到fpy，yq`fpy，yq`fpx，xq`fpx，xqěfpx，yq`fpy，xq`fpy，xq`fpx，yq。根据等式（1），我们得到了等式。Thu s，（8）、（9）、（11）和（12）实际上是相等的。因此，fpx，将定理3推广到任意数量的参和者kě3是不容易的。事实上，要求f不为常数是不够的。例如，以任何非常数的f:Rk~nRk为例“对于至少具有两个相同坐标的每个r P Rk。在这种情况下，对于每个动作Xj，策略的性能pXj，…，Xjq是非平衡的，因为单个参与者的任何偏差都不会影响支付。另一方面，要求所有平衡满足等式（2）当f为常数时不成立，因为所有的比例都是平衡。因此，当玩家数量达到三个或更多时，我们增加了一个新的要求。定义3。一个强大的通用奖金计划f是一个奖金计划，其中维持等式（2）的所有活动都是一个平衡。定理4。如果f是一个非常普遍的奖金计划，那么每一项行动都是不平衡的。证据让f成为一个强有力的通用奖金计划。清晰地定理3意味着该结果适用于k的情况“2.修正kě3.我们证明了这个定理，证明了对于每一个结果向量Rk，Bonuplan的坐标fiprq在ri中是不递减和不递增的。相反地，假设存在一个参与者i，一个结果向量Rk，一个dwiP r，使得fipwi，r\'iqafipri，r\'iq其中wiari.定义了随机变量X，比如PrpX“xqa0 i fff x”rj1djdk.使用每个j‰i的PrpX“riqaPrpX”rjq。此外，定义一组i.i.d。

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2022-5-8 05:38:20

随机变量Xj“X，其中1djdk.定义向量值随机变量pW，Xdiq byPrppW，X\'iq“xq”PrppXi，X\'iq“xq@X‰r，和prppw，X\'iq“pwi，r\'iqq”PrppXi，X\'iq“rq.显然，pW，X\'iq和W是很明确的。直接计算表明ErW saErXs。然而，向量pXi，X\'iq不是一个平衡点，因为我可以偏离W并增加他的报酬，因为fipwi，r\'iqafipri，r\'iq。因此fip¨，r\'iq对于每个i和每个r\'i都是不减少的。现在假设相反，fipri，r\'iq在ri中严格增加。也就是说，存在玩家i，一个结果r P Rk的向量，和yiP r，使得fipyi，r\'iqafipri，r\'iqari。设z，zpr为两个实数，使得每1djdk为zarjaz，p为p0，1q中的一个数。定义随机变量Y，使得概率p，随后，当1djdk（假设PrpY“riqaPrpY”rjq为每j‰i）时，概率为1`p，随机变量y等于z。此外，定义一组i.i.d.随机变量Yj，其中1djdk.定义向量值随机变量pZ，y\'iq byppz，y\'iq“yq”ppyi，y\'iq“yq@y‰r，yj‰z@j，PrppZ，y'iq”pyi，r'iqq“PrppYi，y'iq”rq，如果y P r中存在坐标j，那么yj“'z，然后是PrppZ，y'iq”pz，y'iqq“PrppYi，y'iq”yq。显然，pz，y'iq和z定义得很清楚。请注意，erfipz，y'iqs“E”fipYi，y'iq1tY'i‰r，yj'z@ju 305；\'fipYi，r\'iqPrppYi，Y\'iq“rq"yyPRk:Dj，yj”\'zfipz，Y\'iqPrppYi，Y\'iq“yqaE”fipYi，Y\'iq1tYjz@juiyPRk:Dj，yj\'\'zfipz，Y\'iqPrppYi，Y\'iq“yq（13）”E rfipYi，Y\'iq\'iq\'yPRk:Dj，yj\'\'zpfipz，Y\'iq Fipyiq，Y）当Y\'fyq遵循假设时，Y\'fiq（13，Y\'。

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2022-5-8 05:38:23

式（14）中的和是有界的，在我们可以选择足够接近1的p（但仍然小于1）之前，这样对于每个z，不等式ErfipZ，Y\'iqsaE rfipYi，Y\'iqs成立。取一个足够大的z和一个足够低的z，可以保证每个saerz。总之，向量pYi，Y\'iq不是一个平衡点，因为玩家i可以偏离Z并增加他的报酬。矛盾因此，对于每一个i和每一个i，r\'iq都是不稳定的。这两个结果的结合，证明了fip是独立的。这意味着每一个玩家i的预期收益都独立于他的行为，并且每一个行为都是一种平衡。5结论和补充评论本文给出的结果有两个完整的方面：应用性和理论性。一方面，我们给出了奖金计划的具体描述，该计划保证代理人有动机按照DM的意愿行事。另一方面，我们证明了最优奖金计划根本不存在，除非它与abonus计划（常数，意味着固定支付）一样无用。这项工作基于这样一个假设，即DM努力使其预期收益最大化。尽管这种假设在文献中很常见，但人们仍然可以遵循Holmstrom和Milgrom（1991）的路线，并假设DM试图同时优化新元素。例如，最大化预期收益，同时最小化风险。总的来说，我们可以假设决策者对一系列行动有一定的偏好关系，并试图找到一个在均衡中实现这种偏好的奖金计划。这些问题有待进一步研究。另一个有待进一步研究的元素是定理4中给出的推广。这种概括可以通过多种方式来实现。

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