扑克诉讼游戏 - 外文文献专区

2022-5-9 04:05:03

法律实践和扑克之间的对称性，”8据我们所知，没有人将诉讼和法律程序正式建模为扑克游戏。本文是第一篇这样做的论文。具体来说，我们提出了一个简单的“扑克诉讼游戏”，然后找到玩这个游戏的最佳策略。本文的剩余部分组织如下：第2节总结了诉讼和扑克游戏之间的相似之处。接下来，第3节介绍了我们的扑克诉讼游戏的一个简单模型，然后第4节介绍了基于David L.McAdams工作的正式游戏解决方案。第5节结束！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！1.不列颠哥伦比亚大学圣巴巴拉分校。耶鲁大学法学院法学博士、中佛罗里达大学（UCF）、迪克森会计学院工商管理学院讲师。！2.见Steven Lubet，侧边栏：游戏是律师扑克，32诉讼。59, 59 (2005).!3.有关扑克游戏的概述，请参见约翰·斯卡恩，《卡上的斯卡恩》224-40（1965年8月版）。！4.Ronald J.Gilson&Robert H.Mnookin，《通过代理人进行的争议：诉讼中律师之间的合作与冲突》，哥伦比亚大学第94期。L.牧师。509, 514-22 (1994).!5.Paul Klemperer，《为什么每个经济学家都应该学习一些拍卖理论》，社会科学研究网络（2000年10月12日），可在http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=241350.6.F.E.格拉·普约尔、科斯和宪法，14位富人。J.L.酒吧。内景593595-97（2010）。！7.F.E.Guerra Pujol，《机会与诉讼》，21 B.U.酒吧。《国际法律期刊》第45期，第46-48期（2011年）。！8.卢贝特，前注2，第59-70页。！9!见大卫·L·麦克亚当斯，世界上最简单的扑克，廉价的谈话（2012年11月20日），可在http://cheeptalk.files.wordpress.com/2012/11/worlds-simplest-poker.pdf.!!3.2.

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2022-5-9 04:05:06

扑克和诉讼之间的相似性诉讼与扑克游戏有许多共同的重要特征，例如：（i）扑克和诉讼都是战略游戏，玩家/诉讼方必须相互独立做出选择；10（ii）扑克和诉讼都是零和非合作博弈，其中玩家/诉讼方的经济利益受到反对；11（iii）两者都是信息不完整的游戏：就像扑克游戏中的玩家不确定另一个玩家何时在“虚张声势”，民事或刑事案件中的诉讼当事人可能不确定在预审谈判中对手的案件的强度；12（iv）这两种游戏都涉及机会或运气的重要因素：例如，扑克中随机分配的牌；在民事和刑事案件中随机挑选法官和陪审员。除此之外，在计算机科学、扑克理论等领域有16门学科，其中有15门学科。17然而，本文首次将诉讼正式建模为扑克游戏。我们在下面的第3节中展示了一个简单的扑克诉讼游戏模型，然后在第4节中找到玩这个游戏的最佳策略。3.模型建立在约翰·冯·诺依曼、奥斯卡·摩根斯坦、约翰·纳什和其他人的工作基础上，我们将诉讼和法律程序模拟为一场扑克游戏。18具体来说，我们的扑克诉讼游戏分为以下四个连续阶段：（i）时间T1。第一轮，每位玩家发一张牌！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！10!看，例如。，！约翰·纳什，《非合作游戏》，54年数学年鉴。286, 286 (1951).!11!例如，参见DOUGLAS g.BAIRD等人的《博弈论与法律》220-24（1994）。

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2022-5-9 04:05:10

12!例如，参见史蒂文·卢贝特《律师的扑克：律师可以从纸牌玩家那里学到的52个教训》92-93（2006）。！13!参见NEIL DUXBURY，《随机正义：关于彩票和法律决策》（1999）。！14!纳什，前注10，第293-94页；！哈罗德·W·库恩（Harold W.Kuhn&Albert W.Tucker，eds.，1950）是一款简化的双人扑克，对博弈论做出了贡献。！15!约翰·冯·诺依曼和奥斯卡·摩根斯坦，《博弈论与经济行为》（3d版，1953年）。！16!Darse Billings等人，《扑克的挑战》，人工智能134（2002）。！17!LUBET，前注12；如需有关扑克的历史概述和一般描述，请参见上文注3中的《黑杰克作弊》。！18!有关扑克术语和短语的词汇表，请参见比林斯，前注16，第237-39页。另见斯卡恩，前注3，第228-32页。！！4.（ii）时间T2。一个安静的回合，玩家检查他们的洞牌（iii）时间T3。玩家下注的一轮赌博（iv）时间T4。最后一轮，赌注支付给胜利者。我们的扑克诉讼游戏的规则和支付结构如下：1。有三名参与者：（i）参与者P，原告，（ii）参与者D，被告，（iii）参与者J，交易商/法官。玩家P和D的目标是赢得扑克诉讼游戏（通过最大化他们在游戏中的收益），而庄家/法官的目标相反，是洗牌和发牌、收集和支付赌注，以及执行和管理游戏规则。19 2. 每个玩家，P和D，在比赛开始时，即时间T1，由庄家/裁判“面朝下”发放一张牌。总之，这些“洞”牌（或私人牌）代表了每个玩家情况的强弱。

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2022-5-9 04:05:13

为了简单和数学上的可处理性，我们假设玩家的私人卡的值在区间[0,1]上是独立且相同分布（i.i.d.）的随机变量。20我们进一步假设值较高（即值接近1）的卡被认为比值较低（值接近0）的卡更强（即价值更高）。21 3。玩家可以（但不需要）在时间T2检查他们的洞牌，尽管他们的牌的价值直到下注轮结束后才会显示。22换句话说，每个玩家/诉讼方都能够确定自己案件的优势或劣势，但不知道其他诉讼方案件的优势或劣势！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！19!以前的扑克游戏数学模型认为，庄家/裁判的角色是理所当然的。例如，见McAdams，前注9；冯·诺依曼和摩根斯坦，前注15，第186-219页；纳什，前注10，第293-94页；约翰·纳什和劳埃德·S·沙普利，一个简单的三人扑克游戏，在《对游戏理论的贡献》第105-16页（哈罗德·W·库恩和阿尔伯特·W·塔克编辑，1950年）；库恩，前注14，第93-103页。相比之下，在我们的模型中，法官是一个必不可少的参与者，因为她的角色是检测作弊行为并监控游戏规则的遵守情况。20!也就是说，我们假设一副无限的牌，其值范围为2、3、4、5、6、7、8、9、10、杰克、皇后、国王和王牌，而不是一副标准的、有限的牌，其值范围为0到1。！21!McAdams，前注9。另见冯·诺依曼和摩根斯特恩，前注15，第187-88页（“每位玩家画一个数字s+1，…，s）。

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mingdashike22

2022-5-9 04:05:17

我们的想法是，s=s对应于最强的手，s=s–1对应于次强的手，等等，最后s=1对应于最弱的手……因此游戏开始时有两个机会动作：为玩家1绘制数字s，为玩家2绘制数字s，我们表示s1和s2。”）（原文中的省略号）。22!见下文第4条。请注意，在下注回合结束之前，即使是裁判也不允许看到球员的私人洞牌。！！5.4.在检查他们的洞牌后，玩家必须在T3时间同时秘密下注。23具体来说，所有赌注必须放在单独的密封信封中，并交给法官，然后法官将在T4时间结束时将组合赌注奖励给获胜的玩家。24 5. 玩家只允许进行两次可能的下注，一次高下注a，或一次低下注b，其中a>b>0，并且在T3时间进行的所有下注都是最终下注。25因此，只有一轮下注，玩家不允许“叫牌”或“重新筹码”26此外，为了进一步简化和易于处理，我们假设a=2b。27 6. 最后，玩家在时间T4展示他们的牌，庄家/裁判根据以下子规则宣布赢家：a.如果玩家P和D都提交了高赌注，则拥有最高牌的玩家赢得两次赌注，净收益为+a（如果打成平局，玩家收回原来的赌注并再次玩）；b、如果两名玩家都投注了较低的赌注，则拥有最高牌的玩家将赢得两次赌注，获得+b的净收益（在平局的情况下，玩家将收回其原来的赌注并再次玩）；c、如果一名玩家提交了高赌注，而另一名玩家提交了低赌注，那么提交高赌注的玩家将自动（默认）赢得两个赌注，获得+b的净收益，而不管玩家的牌的值是多少！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！23!查阅

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2022-5-9 04:05:20

冯·诺依曼和摩根斯特恩，前注15，第188页（“扑克一般游戏的下一个阶段包括玩家的‘出价’”）。在本文中，我们将使用更常见的术语“下注”而不是“出价”！24!见下文第6条。另一方面，在这个简单的游戏中，玩家的赌注可以比作诉讼当事人的“投资水平”。也就是说，在诉讼过程中，每个诉讼当事人必须决定（独立于其他诉讼当事人的决定）在其案件中投入多少精力。然而，与诉讼不同的是，在诉讼中，投资水平可能会对案件的结果产生一些影响，而在扑克中，赌注的大小对一个人的洞牌强度没有影响。！25!参见冯·诺依曼和摩根斯坦，前注15，189-90(“我们将以最简单的形式表达……对投标规模的限制……我们将假设两个数字a，b a>b>0是从一开始就给出的，并且对于每个投标，只有两种可能性：投标可能是‘高’，在这种情况下是a；或‘低’，在这种情况下是b。通过改变a/b比率——这显然是唯一重要的事情，我们可以做出决定。”当a/b远大于1时，游戏有风险；当a/b仅略大于1时，游戏相对安全。”）。！26!身份证号码：186-88。我们做出这些假设是为了数学的可处理性和易于解释。！27!高赌注就像是“双倍或零”赌注，因为高赌注是低赌注的两倍。！！6.虽然我们的扑克诉讼游戏模型简单且人为，但它分离出了游戏的两个重要变量：（i）每个玩家在其案例中的赌注大小或投资水平（变量a和b），以及（ii）其案例的相对强度（取决于其随机分配的洞卡）。

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2022-5-9 04:05:23

此外，我们的模型捕捉到了扑克和诉讼的几个共同的基本特征：这两种活动都是战略性的、涉及运气或机会因素的不完全信息的零和游戏。具体来说，扑克诉讼游戏是一种战略游戏，因为玩家必须独立选择他们的策略（即下注），而不需要相互沟通，他们的选择一旦做出，就是最终决定。28此外，扑克诉讼游戏是一个信息不完全的游戏，这个条件使得游戏的解决方案非常重要。如果玩家的洞牌的价值是常识（也就是说，如果玩家在下注之前可以看到对方的牌），那么解决方案将是微不足道的。玩家总是会做出最佳下注：当一个人的牌的价值低于另一个玩家的牌时，下注要低，以尽量减少自己的损失。29鉴于这套简单的规则（见上文规则#1-6）以及游戏的时间和战略结构，扑克诉讼游戏中的最佳或最佳战略是什么？30换句话说，考虑到扑克诉讼游戏是一个信息不完全的战略游戏，玩家应该在什么时候下注高还是低，以最大限度地减少损失，最大限度地增加收益？正式地说，游戏中的任何策略都能保证玩家获得非负的预期收益吗？下面，我们继续寻找扑克诉讼博弈的解或对称均衡（纯策略或混合策略）。4.解博弈论中最著名的解概念是纳什均衡。32正式地说，一个游戏有一个平衡点，当“没有玩家可以盈利地偏离[e。

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2022-5-9 04:05:26

考虑到其他玩家的行为，采取不同的策略。”33 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!28!Nash，前注10，第286页（“每位参与者独立行事，不与任何其他人合作或沟通。”）；另见马丁·J·奥斯本和阿里尔·鲁宾斯坦的《博弈论课程》14（1994）（“要将一种情况建模为战略博弈……玩家[必须]独立做出决策，在做出自己的决策之前，没有玩家被告知其他玩家的选择。”）。！29!参见Alvin E.Roth&Michael Malouf，《博弈论模型与信息在谈判中的作用》，86 PSYCHOLOGICAL REVIEW 574（提供信息在博弈论中的作用概述）；另见贝尔德等人，前注10，第79-121页。！30!正式地说，P和D的均衡策略或纳什均衡是什么？31!参见McAdams，前注9。！32!纳什，前注10，第286页；例如，见奥斯本和鲁宾斯坦，前注28第14-15页；另见贝尔德等人，前注11，第19-23页。！33!奥斯本和鲁宾斯坦，前注28，第15页。！！7.简单地说，考虑到其他参与者的可能选择，当策略是最佳响应时，它就是纳什均衡。34岁的大卫·麦克亚当斯运用纳什的矛盾分析方法，35我们推测存在一个平衡点，阈值为t，概率为p，这样一个玩家在给定任何一张值大于t的牌时（即当该玩家有“强”情况）总是下高赌注，而在给定任何一张值小于t的牌时（当该玩家有“弱”情况）总是下低概率p赌注。

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2022-5-9 04:05:29

为了验证这个猜想，我们考虑了三种不同的处理方式或诉讼场景：（i）案例#1，当玩家的私人卡的价值等于t时（换句话说，当玩家有一个“边缘”或接近的案例，在这个案例中，他赢的可能性和输的可能性一样大）；（ii）情况#2，当他的洞牌的价值低于t的某个未知量x，或t–x（即当玩家有“弱”情况时）；和（iii）情况#3，当他的洞牌价值超过阈值t×x或t+x时（玩家有“强”情况）。4.1. 案例#1:t假设一个给定的玩家（例如，玩家P，原告）喜欢对冲他的赌注：当他的洞牌的价值大于或等于某个阈值t时，他下注高a，当他的牌低于该阈值时，下注低b。36简单地说，这种策略背后的直觉是，一个人应该下更大的赌注，一个人的牌越强，以使自己的收益最大化，因为当一个人有一张强有力的牌时，他赢得比赛的几率就越高。37现在，假设玩家P的牌的价值等于t，另外，假设他的对手，玩家D，也喜欢对冲他的赌注。38玩家P必须考虑两种可能的情况：玩家D的牌大于t（在这种情况下，玩家D下注高，a）或小于t（在这种情况下，玩家D下注低，b）。如果玩家D下注低b是因为他的洞牌小于t，那么玩家P将赢得+b，无论他是玩家P下注高还是低。

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2022-5-9 04:05:34

相比之下，如果玩家D的牌的价值大于t，那么玩家P将输掉赌注（无论他，玩家P，已经下了高赌注还是低赌注），但是因为玩家P在这种情况下下注高时输得比下注低时多，所以在这种情况下，玩家P应该选择低赌注，以尽量减少他的损失，因为！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！34!见McAdams，前注9。！35!纳什，前注10，第293页。！36!作为参考，我们将此策略指定为“m型”策略或混合策略。！37!相反地，一个人应该在较弱的牌上下较小的赌注，以尽量减少自己的损失。！38!正式声明，假设玩家D也是m型玩家。也就是说，假设玩家D对玩家P的m型策略与玩家P对D的m型策略相同。！！8.b<a.但请注意，当玩家P的洞牌价值大于或等于阈值t时，这种偏好与玩家P的高赌注策略不一致；因此，对于玩家P来说，混合策略或m型策略不可能是均衡策略或最佳反应。该分析将我们引向游戏中更大的一点：一个玩家即使有一张高价值的洞牌，也可能会输，这取决于另一个玩家的洞牌，因为游戏的最终结果取决于两名玩家的洞牌各自的价值（相反，一名玩家即使持有低价值的洞牌，仍然可以获胜）。换句话说，就像诉讼一样，玩这个游戏和下注都是有风险的活动，因为高下注（和低下注）会带来成本和收益。在均衡中，这些成本应该等于收益，因此我们继续定义这些成本和收益，以找到这个博弈的均衡策略。

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2022-5-9 04:05:37

首先，假设玩家P的牌的值等于t，而另一个玩家的牌（玩家D的牌）大于t，这一事件发生的概率为1–t。39因此，玩家P将输掉游戏，无论他下注高还是低，但他输了–a当他下注高，b当他下注低。（也就是说，在这种情况下，玩家P损失了额外的金额，a和b之间的差额，这个差额损失等于b，因为我们之前假设a=2b。）因此，从玩家P的角度来看，在这种情况下进行高赌注的真正成本a是b（1–t）。接下来，假设玩家D的私人卡低于阈值t，这是一个概率为t.40的事件。同样，假设玩家D在这种情况下以概率p下注高。在这种情况下，当玩家D下注低时，玩家p赢+b（玩家D下注低的值），无论玩家p自己下注高还是低。但是，当玩家D下注高（概率为p的事件）时，玩家p赢+a（或2b，因为a=2b）。41因此，在这种情况下（即当玩家D的牌低于t时）下注高对玩家p的好处可以正式表述为：（b+a）（t）（p），或3b×t×p（因为a=2b），或3btp！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！39!参见上述规则#2。！这个事件发生的概率为1–t，因为我们假设游戏中每个玩家的牌的可能值在区间[0,1]上是独立且相同分布（i.i.d.）的随机变量。因此，如果t是玩家P或D的牌等于t的概率，那么1–t是玩家D的牌大于t的概率。！40!见前注39。

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2022-5-9 04:05:40

这个事件发生的概率为t，因为根据定义，如果玩家D的牌高于t，概率为1–t，那么他的牌将低于t，概率为t。！41!顺便说一句，值得一问的是，为什么玩家D会用低值卡赌高？因为如果玩家P下注低而不是高，那么玩家D就会赢+b而不是输-a。！！9!在均衡状态下，在两种情况下进行高赌注的成本和收益必须相同：b（1–t）=3btp，或等效（简化后）：1/t=1+3p。此外，在均衡状态下，这种等式不仅必须在阈值t处成立，而且必须在t上方和下方的任何地方成立。因此，我们考虑两种额外的情况或案例：下面第4.2小节中的案例#2，当一名球员的洞牌价值低于t（即当该球员有“弱”情况时），以及第4.3小节中的情况#3，当他的牌超过t（当他有“强”情况时）。4.2. 案例#2:t–x我们现在开始确定一名球员的最佳策略或最佳反应，当他的洞牌价值小于t时。为了简单起见，从球员P的角度考虑第二种情况。42假设玩家P的私人卡的价值低于阈值t的未知量x，或t–x。总之，玩家P的策略集中有两个选项：他可以进行高赌注、a或低赌注，b.但是，与第一种情况下（即，当玩家P的私人卡价值等于t时）相比，在这种情况下，玩家P对每种策略的回报是什么？总之，如果玩家P在第二种情况下下注高（即当他的洞牌的价值为t–x时），那么只有当满足两个条件时，玩家P才会输-a，而不是赢+a：当（i）玩家D的私人洞牌的价值在间隔[t–x，t]上时，（ii）玩家D下注高。

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2022-5-9 04:05:44

由于玩家D在这个特定场景中（即当他的洞牌位于区间[t–x，t]）以概率p乘以x下注（回想一下，假设玩家在洞牌的值低于t时以概率p下注），在这种情况下，玩家P的回报比在第一种情况下（当玩家P的洞卡值等于t时）的相同情况下低-2apx（或等效地说：-4bpx，因为a=2b）。然而，如果在第二种情况下，玩家P下注低，那么只有在满足两个条件时，他才会输-b而不是赢+b：（i）当玩家D的牌的价值在区间[t-x，t]上时，以及（ii）当玩家D下注低时。由于玩家D将以低概率（1-p）x下注，玩家p的回报现在是-2b（1-p）x，比第一种情况下发生相同情况（阈值=t）时低！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！42!然而，回想一下，我们的分析也适用于玩家D，因为这个游戏中的收益是对称的。！！10!接下来，为了找到玩家P的最佳反应，我们将玩家P对两种策略的修正收益设置为彼此相等，并简化如下：43 2p=（1–P），或者简单地说，P=1/3，在高下注和低下注之间随机选择是给定任何小于t的牌的最佳反应。或者，正式声明，只有当另一个玩家以1/3的概率下高赌注时，玩家（玩家P和对称的玩家D）才会对x的所有值进行高赌注或低赌注。否则，如果其中一名玩家下注概率大于或小于1/3的高赌注，另一名玩家可以相应调整其下注策略以增加其收益（或减少其损失）。

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mingdashike22

2022-5-9 04:05:47

此外，假设p=1/3，当我们用这个值代替原始平衡方程中的p，1/t=1+3p，并求解t时，我们看到t=1/2或0.5。因此，最佳阈值为0.5，当洞牌的值低于该临界阈值时，玩家应以1/3的概率高下注（或以2/3的概率低下注）。4.3. 案例#3:t+x最后，我们希望确认一个玩家的最佳策略（最佳反应），当他的洞牌的价值大于t时。同样，为了简单起见，从特定玩家的角度考虑第三种情况，玩家P，虽然同样的分析也适用于玩家D，因为这个游戏是对称的，但现在，假设玩家P的私人卡的值超过阈值t的未知量x，或t+x。与之前一样，玩家P在这个游戏中有两种可能的移动（即他可以进行高赌注a或低赌注b），因此在这种情况下（即当玩家D的卡的值位于间隔[t，t+x]），我们继续寻找玩家P在每种策略下的收益，并将其与第一种情况下的收益进行比较（当阈值设置为t时）。如果玩家P在这种情况下下下了高赌注（即，当他的牌超过t的数量x时），那么当玩家D的牌的价值在区间[t，t+x]上时，他会赢+a而不是输-a，因为根据假设，当他的牌大于t时，玩家总是下高赌注a。因此，在这种情况下，玩家P的收益比第一种情况下（阈值=t）发生相同情况时的收益高+2ax（或者，因为a=2b，所以高+4bx）。

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2022-5-9 04:05:52

然而，如果玩家P在这种情况下下注较低，他将赢得+b，这与他在第一种情况下（当阈值=t时）在相同的两个条件满足时在这种情况下赢得的金额相同：当（i）玩家D的洞牌值小于t，并且（ii）玩家D下注较低。因为这些都是玩家P在第一种情况下获胜的条件，玩家！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！43!我们将这些“t–x”收益设置为彼此相等，因为在均衡状态下，一个玩家（玩家P和对称的玩家D）应该在高赌注和低赌注之间保持中立。！！11!P在第三种情况（情况#3）中的收益与在情况#1中发生相同情况时的收益相同。在区间[t，1]中，高赌注的回报是增加的，低赌注的回报是恒定的，因为根据定义b=b，玩家P（以及对称的玩家D）严格地喜欢在洞牌的价值高于t时高赌注。此外，由于这是一个对称的游戏，同样的结论也适用于玩家D，根据我们游戏的规则和支付结构，当一名玩家的私人卡价值低于t时，他应该以1/3的概率高下注（或以2/3的概率低下注），而在所有其他情况下，他应该以高下注。5.结论在结束之前，我们希望承认并谈谈我们扑克诉讼游戏的人为性，44或者用Nate Silver的话说，我们希望解释为什么我们的模型“复杂而简单”45不可否认，我们的扑克诉讼游戏是一种更复杂活动（民事和刑事诉讼）的简单表现或模型，但出于几个原因，节俭和简单也是一种美德。46一个是易处理性。一个简单的模型比“现实世界”更容易分析和使用。

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2022-5-9 04:05:55

也就是说，扑克（或诉讼）的一种更简单的表现形式比正在建模的真实世界游戏更容易处理，或者用博弈论创始人约翰·冯·诺依曼和奥斯卡·莫根斯特恩的话说，“真实的扑克（就像我们要加上的真实诉讼一样）是一个非常复杂的主题，无法进行详尽的讨论。”47简洁的另一个优点是清晰。创建一个简单模型的过程需要我们识别参与者及其策略集，明确定义我们的术语，明确陈述我们的假设，与纯粹的口头描述现实不同，正式模型允许我们对现实世界做出可证伪的预测。但最重要的是，一个简单、设计良好的模型可以捕捉到在更复杂的现实世界中存在的战略互动的本质。具体来说，我们简单的诉讼模式可以帮助我们隔离和展示法律程序的一些基本特征。在本文中，我们提出了一个简单的诉讼过程模型，即“扑克诉讼游戏”，其前提是诉讼有很多好处！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！44!见冯·诺依曼和摩根斯坦，前注15；另见纳什，前注10；另见Nash&Shapley，前注19；另见库恩，前注14（所有人都发明了简化扑克游戏，以阐明博弈论的基本原理）。！45！NATE SILVER，《信号与噪音：为什么这么多预测都失败了——但有些预测却没有。——225（2012）。！46!例如，见冯·诺依曼和摩根斯坦，前注15，第186-88页；另见F.E.Guerra Pujol，《波多黎各地位辩论和其他立法消耗战的博弈论分析》，上午18点。《纽约大学性别社会学》。POL\'Y&L.625630-31（2010）。！47!冯·诺依曼和摩根斯坦，前注15，第186页。！！12!常见于扑克游戏。

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2022-5-9 04:05:58

总之，我们的简单模型是有用的，因为它分离出了游戏的两个重要变量：（i）每个玩家在其案例中的赌注大小或投资水平（由变量a和b捕获），以及（ii）其案例的相对强度（由变量t捕获）。此外，我们的模型为琐碎索赔（或“负预期价值”诉讼）以及检察官不当行为的存在提供了另一种解释，因为我们的模型的主要教训之一是（从玩家的角度来看），扑克诉讼游戏中存在最佳程度的虚张声势，虚张声势的定义是，即使自己的实力较弱，也有可能或随机下大赌注。但在我们的游戏中，这种最佳的虚张声势是什么？考虑到我们游戏的规则和支付结构，当一个人的私人卡价值低于临界阈值0.5时，最佳水平是以1/3的概率高下注。同样地，在现实世界的诉讼游戏中，我们希望虚张声势（即轻率的索赔）的最佳水平是两个变量的函数：（i）风险金额，或在我们的模型中，赌注的总和，以及（ii）玩家P和D案例的相对优势和劣势。！13!致谢首先，作者要感谢Jeffrey Ely在cheaptalk上发帖。org David McAdams的扑克游戏（“世界上最简单的扑克”）以及McAdams简单而优雅的游戏解决方案。顺便说一句，除了一个，所有针对伊利教授最初的博客帖子（包括我自己的解决方案）发布的解决方案都是错误的。（关于我最初解决游戏的失败尝试，请参见附录。）我还必须感谢Ely教授和McAdams教授在假期里抽出时间回答我关于McAdams模型的技术问题。

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2022-5-9 04:06:02

2012年年终假期，我在佛罗里达州库珀市我亲爱的朋友雷纳德和拉坦亚·达蒙的家里，在佛罗里达州塔彭斯普林斯我亲切的姻亲厄尔和安德里亚·罗宾逊的家里，在加利福尼亚州格伦代尔我慈爱慷慨的父母弗朗西斯科和奥伊达·格拉的家里，开发了我的扑克诉讼游戏，并撰写了本文的初稿。因此，我还要感谢格拉斯夫妇、罗宾逊夫妇和达蒙夫妇的好意、支持和款待。最后，我要感谢我的妻子Sydjia Guerra对我论文中的数学进行了校对和复核。（我的封面上的图片由维基公共资源提供，可在http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Holdem.jpg.)参考书目贝尔德、道格拉斯·G、罗伯特·H·格特纳和兰德尔·C·皮克（1994），哈佛大学博弈论与法律。比林斯、达斯、亚伦·戴维森、乔纳森·谢弗和杜安·萨夫隆（2002），“扑克的挑战”，人工智能，134:201-240。尼尔·杜克斯伯里（1999），随机正义，牛津。Ely，Jeffrey（2012），“伟大的预备问题：世界上最简单的扑克游戏”，博客，2012年11月20日，在线提供，URL=http://cheaptalk.org/2012/11/20/great-prelim-question-worlds-simplest-poker-game（最后一次访问时间为2012年12月12日）。Gilson，Ronald J.和Robert H.Mnookin（1994），“通过代理人的争议：诉讼中律师之间的合作和冲突”，《哥伦比亚法律评论》，94（2）：509-566。Guerra Pujol，F.E.（2010a），“科斯与宪法”，里士满法律与公共利益杂志，14（4）：593-609。Guerra Pujol，F.E.（2010b），“波多黎各地位辩论和其他立法消耗战的博弈论分析”，《美国大学性别、社会政策和法律杂志》，18（3）：625-648。格拉·普约尔，F.E。

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2022-5-9 04:06:04

（2011），《机会与诉讼》，波士顿大学公共利益法期刊，21（1）：45-59。Paul Klemperer（2000），“为什么每个经济学家都应该学习一些拍卖理论”，2000年8月在西雅图举行的经济计量学会世界大会邀请论文，可在线获取，URL=http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=241350!14!（最后一次访问时间为2012年12月12日）。哈罗德·W·库恩（1950），“简化的双人扑克”，摘自《哈罗德·W·库恩和阿尔伯特·W·塔克对博弈论的贡献》，普林斯顿，第一卷，第97-103页。史蒂文·卢贝特（2005），“边栏：游戏是律师的扑克”，诉讼，32（1）：59-70。史蒂文·卢贝特（2006），牛津律师扑克。McAdams，David L.（2012），“世界上最简单的扑克”，未发表论文，可在线获取，URL=http://cheeptalk.files.wordpress.com/2012/11/worlds-simplest-poker.pdf（最后一次访问时间为2012年12月12日）。纳什、约翰和劳埃德·S·沙普利（1950），“一个简单的三人扑克游戏”，哈罗德·W·库恩和阿尔伯特·W·塔克著，编辑，对博弈论的贡献，普林斯顿，第一卷，105-116页。约翰·纳什（1951），《非合作博弈》，数学年鉴，54（2）：286-295。奥斯本、马丁·J.和阿里尔·鲁宾斯坦（1994），麻省理工学院博弈论课程。Roth，Alvin E.和Michael W.K.Malouf（1979），“博弈论模型和信息在谈判中的作用”，《心理学评论》，86（6）：574-594。Roth，Alvin E.和J.Keith Murnighan（1982），“信息在谈判中的作用：一项实验研究”，计量经济学，50（5）：1123-1124。约翰·斯卡恩（1965），《卡片上的斯卡恩》，修订版，扩充版，皇冠。Silver，Nate（2012），《信号与噪音：为什么这么多预测都失败了，但有些预测没有，企鹅》。冯·诺依曼、约翰和奥斯卡·摩根斯坦（1953），《博弈论与经济行为》，第三版，普林斯顿。

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2022-5-9 04:06:07

作为旁白，我在本附录中陈述了解决扑克诉讼游戏（即在游戏中找到最佳或最佳策略）的初步尝试（但失败）。我把我的错误开始与游戏的正确解决方案进行了对比，我从大卫·麦克亚当斯和杰夫·伊利那里得到了正确的解决方案。总而言之，在我最初尝试解决游戏失败的过程中，我考虑了三种类型的玩家：“a型”玩家总是下高赌注，“b型”玩家总是下低赌注，以及“m型”玩家，他们的赌注取决于洞牌的价值。a型玩家首先，我认为a型玩家总是下高赌注，a型玩家只有在两个条件满足时才会输掉赌注：（I）当另一个玩家出价高，以及（ii）当他的牌的价值低于另一个玩家的牌时。！15!否则，a型玩家总是赢（根据上述规则#6c），因此，如果这样的玩家玩诉讼游戏无限次，当另一个玩家出价较高时，他的预期回报等于pa–（1–p）（a）之和，其中p是他的牌高于另一个玩家牌的概率，当另一个玩家出价较低时，他的预期回报等于+a。b型玩家接下来，我考虑了一个“b型”玩家，其策略是总是下低赌注，b。总之，一个b型玩家只有在满足两个条件时才能赢得游戏：（I）当他的牌的价值高于另一个玩家的牌时，以及（ii）当另一个玩家提交低出价时。否则，当这两个条件都不满足时，b型玩家将永远失败。

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2022-5-9 04:06:11

因此，如果一个b型玩家玩诉讼游戏无限次，当另一个玩家提交高出价时，他的预期收益等于-b和当另一个玩家提交低出价时pb（1-p）（-b）之和，其中p是他的牌高于另一个玩家牌的概率。m型玩家最后，我考虑了一个使用混合或概率策略的m型玩家，也就是说，当他的牌低于某个阈值（即0.5）时，他下注低b，当他的牌高于这个临界阈值时，他下注高a。48 m-type玩家在诉讼游戏中有很多赢或输的方法，这取决于其他玩家选择的策略和其他玩家的牌的价值。因此，我们发现m型玩家对a型玩家、b型玩家和其他m型玩家的预期收益如下：首先，m型玩家对a型玩家的预期收益，即总是出价高的玩家，等于以下值：E（m | a）=q（–b）+（1–q）[pa–（1–p）（–a）]，其中E（m | a）是m型玩家对a型玩家的预期回报，q是m型玩家的牌低于临界阈值0.5的概率，其中p是他的m型玩家的牌高于其他玩家的牌的概率。换言之，当与高赌注a型玩家博弈时，m型玩家在其洞牌价值低于临界阈值（即当q<0.5）时输掉赌注b，并以概率p赢+a，但当其洞牌价值超过临界阈值（即当q>0.5）时，以概率1输-a–p。

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2022-5-9 04:06:14

接下来，当m型玩家与b型玩家对抗时会发生什么，也就是说，一个总是下低赌注的玩家？在这种情况下，m型玩家的预期收益等于：E（m|b）=q[pb-（1–p）（b）]+（1–q）（b），其中E（m|b）是m型玩家对b型玩家的预期收益，q是m型玩家的牌低于阈值0.5的概率。在平原上！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！48!这种混合策略本质上是概率的，因为根据扑克诉讼游戏规则#2，一个人的洞牌的值是区间[0,1]上的一个统一独立随机数。！16!英语，当与低出价b型玩家比赛时，m型玩家以概率p赢得+b，但当他的洞牌价值低于临界阈值时，即当q<0.5时，他以概率1–p输掉赌注b，当他的洞牌价值超过临界阈值时，即当q>0.5时，他赢得+b的出价。第三也是最后一点，当一个m型球员与另一个m型球员比赛时会发生什么？也就是说，当他的对手也使用相同的混合策略或概率策略时会发生什么？现在，m型玩家的预期收益不仅取决于q，即m型玩家的牌低于临界阈值0.5的概率；他的预期回报也是r的函数，r是另一个玩家的牌低于阈值的概率。

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2022-5-9 04:06:17

正式地说，当与另一个m型玩家比赛时，一个m型玩家的预期收益等于以下值：E（m | m）=qr[pb-（1–p）（b）]+q（1–r）[b]+（1–q）（r）[b]+（1–q）（1–r）[pa-（1–p）（-a）]，其中E（m | m）是一个m型玩家对另一个m型玩家的预期收益，q是m型玩家的洞牌低于临界阈值0.5的概率，r是其他玩家的洞牌低于临界阈值的概率。因为这是一个很长的等式，我们将把它分解为四个组成部分，并用简单的语言解释每一部分的实质内容如下：qr[pb-（1-p）（b）]+q（1-r）[b]+（1-q）（r）[b]+（1-q）（1-r）[pa-（1-p）（-a）]场景#1场景#2场景#3场景#4请注意，这个冗长的预期收益等式的每一部分都对应于以下一个场景：四种可能的情况：1。场景#1——两名玩家的洞牌都低于临界阈值。2.场景#2-第一个m-type玩家的洞牌低于阈值；另一名玩家的洞牌高于阈值。3.场景#3-第一个m-type玩家的洞牌高于阈值，而另一个玩家的洞牌低于阈值。4.场景#4-两名玩家的洞牌都超过了临界阈值。因此，根据哪种情况发生，也就是说，根据玩家持有卡的值，m型玩家将获得以下回报：1。在场景#1中，m型玩家以概率p赢得+b，但以概率1–p.2输掉赌注b。在场景#2中，m型玩家输了——b.3。在场景3中，m型玩家赢得+b.4。在场景#4中，m型玩家以概率p赢+a，但以概率1-p输-a。

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