由（3.16）和（3.18）可知，eΦ（α）[e-（Φ（α）+β）Xeq]=|Iq | Yi=1ρi，qρi，q+Φ（α）+β|J | Yj=11+Φ（α）+βηj, β ≥ 0，PΦ（α）（Xeq∈ dy）=|Iq|Xi=1|~Iq | Yj=1j6=iρj，qρj，q- ρi，q | | J | Yj=1 |ηJ- ~ρi，q~ηjρi，qe-ρi，qydy，y>0。作为q↓ 0，我们有△ρi，q→ ρi，0，尤其是ρ1，q→ §ρ1,0=0和limq↓对于所有i，q6=0≥ 2.因此，对于β>0，limq↓0~ρ1，qEΦ（α）[e-（Φ（α）+β）Xeq]=（Φ（α）+β）·I | Yi=2ρI，0+Φ（α）+βρI，0 | J | Yj=1JηJ+Φ（α）+β=（ρ1，α+β）·I | Yi=2ρI，α+βρI，0 | J | Yj=1JηJ+J+1β，在第二等式（A.50）中使用。此外，对于x<b和β≥ 0，比值Φ（α）[e-（Φ（α）+β）Xeq{Xeq>b-x} ]ρ1，q=~ρ1，qZ（b）-十、∞)E-（Φ（α）+β）y |Iq | Xi=1|~Iq | Yj=1j6=iρj，qρj，q- ρi，q | | J | Yj=1 |ηJ- ~ρi，q~ηjρi，qe-~ρi，qydy=~ρ1，q|Iq|Xi=1|~Iq | Yj=1j6=iρj，qρj，q- ρi，q | | J | Yj=1 |ηJ- ~ρi，q~ηj·~ρi，q~ρi，q+βe-[Φ（α）+β+～ρi，q]（b）-x） =|Iq | Xi=2 |ρ1，q- ρi，q|~Iq | Yj=2j6=iρj，qρj，q- ρi，q | | J | Yj=1 |ηJ- ~ρi，q~ηj·~ρi，q~ρi，q+βe-[Φ（α）+β+～ρi，q]（b）-x） +ρ1，q+Φ（α）+β|~Iq | Yj=2ρj，qρj，q- ρ1，q | | J | Yj=1 |ηJ- ~ρ1，q~ηjE-[Φ（α）+β+～ρ1，q]（b）-x） ，作为q↓ 0，倾向于| | I | Xi=2|~I | Yj=2j6=Iρj，0ρj，0- ρi，0 | | J | Yj=1 |ηJ- ~ρi，0~ηj·-1~ρi，0+Φ（α）+βe-[Φ（α）+β+～ρi，0]（b）-x） +Φ（α）+βe-（Φ（α）+β）（b）-x） =I | Xi=2|~I | Yj=2j6=Iρj，0ρj，α- ρi，α| | J | Yj=1ηJ- ρi，αηj·-1ρi，α+βe-（ρi，α+β）（b）-x） +ρ1，α+βe-（ρ1，α+β）（b）-x） 。（A.52）结合（A.47），（A.48），（A.51）和（A.52），我们得到，对于所有β≥ 0，Ex[e]-ατ+b-β（Xτ+b）-b） {τ+b<∞}]=|Iα| Xi=2|Iα| Yj=2j6=Iρj，α+βρj，α- ρi，α| J | Yj=1ηJ- ρi，αηj+β·-Φ(α) - βρi，0e-ρi，α（b）-x） +|Iα| Yj=2ρj，α+βρj，α- ρ1，α| J | Yj=1ηJ- ρ1，αηj+βe-ρ1，α（b）-x） =|Iα| Xi=2|Iα| Yj=1j6=Iρj，α+βρj，α- ρi，α| | J | Yj=1 |ηJ- ~ρi，0~ηj+βE-ρi，α（b）-x） +|Iα| Yj=2ρj，α+βρj，α- ρ1，α| J | Yj=1ηJ- ρ1，αηj+βe-ρ1，α（b）-x） =|Iα| Xi=1|Iα| Yj=1j6=Iρj，α+βρj，α- ρi，α| J | Yj=1ηJ- ρi，αηj+βE-ρi，α（b）-x） =ψ+α（β）|Iα| Xi=1AiρI，αρI，α+βe-ρi，α（b）-x） 。

（A.53）这就完成了证明。A.8定理3.1的证明我们只需要证明情况α的断言≤ 0，因为[23]中讨论了非负贴现率α>0的情况。我们首先根据b>x来区分g（1）（x，b）∨ 记录K以获取背景（1）（x，b）=-eb+Kψ+α(-1)ψ+α(-1） ·| Iα| Xi=1AiρI，αe-ρi，α（b）-x） ,，显然，x？=log（Kψ+α）(-1） ）满足一阶条件g（1）（b，x）/b=0。来证明x？确实是最佳运动阈值，我们只需要验证以下内容（例如，参见[26]）：1。为了x≥ 十、对于所有的b>x和supb，g（1）（x，·）都在减小≤xg（1）（x，b）=φ（x）≥ 肢↓xg（1）（x，b）；2.对于x<x？，对于所有的x<b，g（1）（x，·）都在增加≤ 十、对所有的b来说都是不增加的≥ 十、还有supb≤xg（1）（x，b）=φ（x）≤ 肢↓xg（1）（x，b）。自ψ+α(-1） >0，从（A.54）可以看出，对于b>x，g（1）（x，·）的单调性相当于表明| Iα| Xi=1AiρI，αe-ρi，αy≥ 0, y>0。通过在（A.51）中设置β=0，我们得到LimQ↓0~ρ1，qEΦ（α）[e-Φ（α）Xeq]=ρ1，α·| Iα| Yi=2ρI，αρI，α- ρ1，α| J | Yj=1ηJ- ρ1，αηj=ρ1，α·A.（A.55）同样，从（A.52）可以得出，对于所有y>0，dylimq↓0e-Φ（α）yPΦ（α）（Xeq∈ dy）~ρ1，q=-|Iα| Xi=2|Iα| Yj=2j6=Iρj，α- ρ1，αρj，α- ρi，α| J | Yj=1ηJ- ρi，αηj- ρ1,αE-ρi，αy+e-ρ1，αy=|Iα| Xi=2ρI，α·Aiρ1，α·Ae-ρi，αy+e-ρ1，αy=| Iα| Xi=1ρI，α·Aiρ1，α·Ae-ρi，αy（A.56）从（A.55）和（A.56）中，我们得到|iα| Xi=1Aiρi，αe-ρi，αy=e-Φ（α）ydylimq↓0PΦ（α）（Xeq）∈ dy）EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]≥ 0, y>0。（A.57）完成证明x？确实是最佳运动阈值，我们需要证明，对于任何x≥ 十、φ（x）≥ 肢↓xg（1）（x，b）；对于x<x？，φ（x）≤ 肢↓xg（1）（x，b）。为此，请注意φ（x）=g（1）（x，x？）福尔x≥ 十、另一方面，使用推论3.1，我们得到了这个肢体↓xg（1）（x，b）=1.-ψ+α(∞)ψ+α(-1)前任- K（1）- ψ+α(∞)) = φ（x）+ψ+α(∞)前任？- exψ+α(-1)=≤ φ（x），如果x≥ 十、≥ φ（x），如果x<x？。因此，BK确实是任何x的最佳运动阈值∈ R

最后，（3.24）在（3.23）的基础上设置b=x？。A.9命题3.2的证明首先，请注意（3.23）和（3.32）意味着，对于任何固定x∈ R、 函数g（k）（x，b）在b中对所有b>x是可微的∨ log K.直接计算（使用（3.28））得出导数bg（k）（x，b）=Iα| Xi=1AiρI，αe-ρi，α（b）-十）前任？- ebψ+α(-1)+φ∞E[E]-αδ（v（k）-1） +（b+Xδ）-ρi，αφ∞v（k）-1） （b+Xδ）]-|Iα| Xi=1AiρI，αe-ρi，α（b）-十）E[E]-αδv（k）-1） （b+Xδ）](-ρi，αφ∞+ ν({0})) -Z（0，∞)E[E]-αδv（k）-1） （b+y+Xδ）]ν（dy）=前任？- ebψ+α(-1)+E[E]-αδv（k）-1） +（b+Xδ）]φ∞-Z[0，∞)E[E]-αδv（k）-1） （b+y+Xδ）]ν（dy）×|Iα| Xi=1AiρI，αe-ρi，α（b）-十）=前任？- ebψ+α(-1） +E[E]-αδu（k）-1） （b+Xδ）]×|Iα| Xi=1AiρI，αe-ρi，α（b）-十）. （A.58）回想一下α的不平等性（A.57）≤ 对于α>0，我们从（3.18）计算得到| Iα| Xi=1AiρI，αe-ρi，αy=dyP（Xeα∈ (dy)≥ 0, y>0。注意，由于e的线性独立性-ρi，αy’s，上述方程的左侧严格为正，但可能是R+中的有限集。此外，对于所有x≥ 十、k、 我们有g（k）（x，x？k）≥ φ（k）（x）=v（k）（x）≥ g（k）（x，b）表示所有b≥ x、 因此b | b=x+g（k）（x，b）≤ 这意味着？- ebψ+α(-1） +E[E]-αδu（k）-1） （b+Xδ）]≤ 0, B≥ 十、k、 另一方面，对于所有x≤ 根据命题2.1的证明，我们知道g（K）（x，x？K）-1) ≥ g（k）（x，x）=φ（k）（x）。因此，至少存在一个b∈ [x，x？k-1]  [x，x？]以至于bg（k）（x，b）>0，亨塞克斯？- ebψ+α(-1） +E[E]-αδu（k）-1） （b+Xδ）]>0。假设u（k）的连续性-1） ，我们知道（3.35）至少存在一个解。如果最佳运动阈值为b？kexists，那么我们知道b？K≤ 十、K≤ x？<∞. 对于任何固定的x<b？k、 函数g（k）（x，b）在b=b时最大化？k、 因此b | b=b？kg（k）（x，b）=0表示所有x<b？k、 这意味着b？kis是（3.35）的解决方案。A.10命题3.3的证明我们将首先证明一个辅助引理，该引理将度量{νi（dy）}iα| i=1与ν（dy）连接起来。引理A.1。

设（νi）+（z）和ν+（y）分别是νi[0，z）和ν[0，y]的右导数-|Iα| Xi=1AiρI，α[（？）+（z）][（？）+（y）]=ν+（z+y），y、 z>0。（A.59）证据。我们将用二元拉普拉斯变换证明（A.59）。为此，让β，β≥ β6=β，那么由（3.28）和（3.29）我们得到-Z（0，∞)Z（0，∞)E-βy-βz | Iα| Xi=1AiρI，α[（？）+（y）][（？）+（z）]dydz=-|Iα| Xi=1AiρI，αρi，α+βψ+α（β）-φ∞ρi，α+βψ+α（β）-φ∞=1/(β- β） ψ+α（β）ψ+α（β）|Iα| Xi=1Aiρi，αρi，α+β-ρi，αρi，α+β+|Iα| Xi=1Aiφ∞ψ+α（β）ρi，αρi，α+β+ψ+α（β）ρi，αρi，α+β-ρi，αφ∞=β- βψ+α(β) - ψ+α(β)ψ+α(β)ψ+α(β)+φ∞1.-ψ+α(∞)ψ+α(β)+ 1 -ψ+α(∞)ψ+α(β)-φ∞|Iα| Xi=1AiρI，α=β- βψ+α(β)-ψ+α(β)+φ∞2.-ψ+α(∞)ψ+α(β)-ψ+α(∞)ψ+α(β)-φ∞|Iα| Xi=1AiρI，α=β- βψ+α(β)-ψ+α(β)+φ∞, （A.60）在上一次平等中，我们使用了以下事实：-J是从属的，那么φ∞= ∞; 否则，我们有ψ+α(∞) = 0和| Iα| Xi=1AiρI，α=limβ→∞β·| Iα| Xi=1AiρI，αρI，α+β= limβ→∞βψ+α(β) = φ∞.另一方面，由（3.27）我们得到，对于β，β≥ 使得β6=β，Z（0，∞)Z（0，∞)E-βy-βzν+（y+z）dydzs=y+z=z（0，∞)E-βsν+（s）dsZ（0，s）e（β-β） ydy=Z（0，∞)E-βse（β-β） s- 1β- βν+（s）ds=β- βZ[0，∞)E-βsν（ds）- ν({0}) -Z[0，∞)E-βsν（ds）+ν（{0}）=β- βψ+α(β)-βφ∞-ψ+α(β)+βφ∞=β- βψ+α(β)-ψ+α(β)+φ∞. （A.61）从（A.60）和（A.61）我们知道（A.59）适用于所有y，z>0。我们现在准备给出命题3.3的证明。因为阈值型策略对于问题（2.6）和（k）是最优的- 1） 根据假设，v（k-1） （x）=g（k）-1） （x，x？k）-1） 为了所有的x∈ R、 和u（k）-1） （x）=u（k）-1） （x）对于所有x∈ R通过比较（3.33）和（3.36）。同样，观察g（k）（x，bk）=φ（k）（x）代表x≥ bk>logk。

将这一事实应用于（3.36），我们得到u（k）（x）=φ（k）（x）φ∞-Z[0，∞)φ（k）（x+y）ν（dy）=ex+ex[e-αδv（k）-1） +（Xδ）]φ∞-Z[0，∞)（ex+y）- K+Ex[e]-αδv（k）-1） （y+Xδ）]ν（dy）=exφ∞-ψ+α(-1)-(-1)φ∞+ K+EE-αδv（k）-1） +（x+xδ）φ∞-Z[0，∞)v（k）-1） （x+y+xδ）ν（dy）=前任？- exψ+α(-1） +E[E]-αδu（k）-1） （x+xδ）＝u（k）（x）。（A.62）对于x<bk，我们使用（3.30）和（3.31）来写eg（k）（x，bk）=Ex[e-ατ+bkφ（k）（Xτ+bk）11{τ+bk<∞}] =|Iα| Xi=1AieρI，α（x-bk）Z[0，∞)φ（k）（bk+y）／i（dy）。因此，φ∞xg（k）（x，bk）=Z[0，∞)φ（k）（bk+y）|Iα| Xi=1Aie-ρi，α（bk-x） ρi，αφ∞νi（dy）, （A.63）Z[0，bk-x） g（k）（x+z，bk）ν（dz）=z[0，bk-x） Z[0，∞)φ（k）（bk+y）|Iα| Xi=1Aie-ρi，α（bk-十、-z） νi（dy）ν（dz）=Z[0，∞)φ（k）（bk+y）|Iα| Xi=1Aie-ρi，α（bk-十）Z[0，bk-x） eρi，αzν（dz）νi（dy）.（A.64）此外，从引理A.1我们知道| Iα| Xi=1Aie-ρi，α（bk-十）ρi，αφ∞-Z[0，bk-x） eρi，αzν（dz）νi（dy）=-|Iα| Xi=1AiρI，α[（？）- x） [y]dy=v（bk）- x+dy）。（A.65）从（A.63），（A.64）和（A.65）我们有u（k）（x）=φ∞xg（k）（x，bk）-Z[0，bk-x） g（k）（x+z，bk）ν（dz）-Z[bk-十、∞)g（k）（x+y，bk）ν（dy）=Z[0，∞)φ（k）（bk+y）ν（bk）- x+dy）-Z[bk-十、∞)φ（k）（x+y）ν（dy）=Z[bk-十、∞)φ（k）（x+y）ν（dy）-Z[bk-十、∞)φ（k）（x+y）ν（dy）=0。（A.66）因此，我们有)u（k）（x）≡ 所有x<bk的值均为0。将其与（A.62）相结合得到（3.37）。此外，从（3.35）中u（k）（x）的定义，我们知道u（k）在[bk]上没有增加，∞). 一阶条件（3.35）表明u（k）在bk也是连续的，因此u（k）在引理3.2的R.A.11证明中是非正的。对于（3.35）有两种不同的解决方案，例如，bk<bk。然后通过命题3.3，我们有一个非递增的非正函数{x≥bk}前任？- exψ+α(-1） +E[E]-αδu（k）-1） （x+xδ）], 十、∈ R.此外，这个函数对于所有x都是严格递减的≥ bk.这意味着？- ebkψ+α(-1） +E[E]-αδu（k）-1） （bk+Xδ）<0。这与假设（3.35）相矛盾。为了完成证明，我们让BK成为（3.35）的唯一解决方案。（A.58）中的通知1。

对于所有固定的x≥ 对于所有的b>x，函数g（k）（x，·）在b中减小；2.对于所有固定x<bk，对于所有x<b，函数g（k）（x，·）在b中增加≤ bk，所有b的b降低≥ bk.我们现在应用一个类似于定理3.1证明中的论点来证明，对于所有x≥ bk，肢体↓xg（k）（x，b）≤φ（k）（x）；对于所有的x<bk，肢体↓xg（k）（x，b）≥ φ（k）（x）。这将使我们得出结论，BK确实是最佳运动阈值。为此，从（3.16），（3.21），（3.27），（3.29）以及ψ+α(∞) · φ∞= 0，我们知道| Iα| Xi=1Ai |νI（dy）=11{y=0}- ψ+α(∞)ν（dy）。（A.67）下面我们分别考虑两种情况：1。如果-J不是从属项，那么ψ+α(∞) = 0和φ∞> 0.利用（3.30）和（3.31）以及单调收敛定理，我们得到了任意固定x的极限∈ R:四肢↓xg（k）（x，b）=Z[0，∞)φ（k）（x+y）|Iα| Xi=1Ai′νI（dy）= φ（k）（x），（A.68），我们在上一个等式中使用（A.67）。2.如果-J是一个从属函数，然后是ψ+α(∞) > 0和φ∞= 0.与（A.68）类似，对于任何固定x，我们使用（A.67）来获得∈ R、 肢体↓xg（k）（x，b）=Z[0，∞)φ（k）（x+y）|Iα| Xi=1Ai′νI（dy）= φ（k）（x）- ψ+α(∞)Z[0，∞)φ（k）（x+y）ν（dy）=φ（k）（x）- ψ+α(∞)Z[0，∞)前+后- K+E[E]-αδv（k）-1） （x+y+xδ）]ν（dy）=φ（k）（x）+ψ+α(∞)前任？- exψ+α(-1） +E[E]-αδu（k）-1） （x+xδ）]=φ（k）（x）+ψ+α(∞)~u（k）（x）=≤ φ（k）（x），如果x≥ bk>φ（k）（x），如果x<bk，（A.69），我们在第三行中使用了（3.27），（3.33）和（3.35），并且当且仅当最后一步中x<bk时，~u（k）（x）>0。A.12任何固定x的命题3.4证明∈ R、 注意{x+Xeq≥ Bk} ={τ+b？k-十、≤ 除了测度PΦ（α）和thatXτ+b下的空集？K-x=xτ+b？K-xon{τ+b？k-x<∞}. 此外，请记住u（k）（x）11{x≥Bk} =所有x的u（k）（x）∈ R

因此我们有了Limq↓0EΦ（α）[e-Φ（α）Xeq(-~u（k）（x+Xeq））11{x+Xeq≥Bk} ]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]=limq↓0EΦ（α）[e-Φ（α）Xeq(-~u（k）（x+Xeq））11{τ+b？k-十、≤eq}]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]=limq↓0EΦ（α）[EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq(-~u（k）（x+Xeq））11{τ+b？k-十、≤eq}|Fτ+b？K-x] ]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]=limq↓0EΦ（α）[11{τ+b？k-十、≤eq}EΦ（α）[E-Φ（α）（Xτ+b？k）-x+Xeq-Xτ+b？K-十）(-~u（k）（x+xτ+b？k）-x+Xeq- Xτ+b？K-x） ）| Fτ+b？K-x] ]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]。（A.70）现在让我们用Mq:=Xeq表示- Xτ+b？K-x、 请注意，Mqlaw=Xeqand mqd独立于Fτ+b？K-xon theevent{τ+b？k-十、≤ 所以上面的表达式（A.70）进一步等于↓0EΦ（α）[11{τ+b？k-十、≤eq}e-Φ（α）Xτ+b？K-xEΦ（α）[e-Φ（α）Mq(-~u（k）（x+xτ+b？k）-x+Mq）| xτ+b？K-x] ]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]=limq↓0EΦ（α）[e-qτ+b？K-十、-Φ（α）Xτ+b？K-xEΦ（α）[e-Φ（α）Mq(-~u（k）（x+xτ+b？k）-x+Mq）| xτ+b？K-x] 11{τ+b？k-x<∞}]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]=limq↓0EE-（q+α）τ+b？K-xEΦ（α）[e-Φ（α）Mq(-~u（k）（x+xτ+b？k）-x+Mq）| xτ+b？K-x] EΦ（α）[E-Φ（α）Mq]{τ+b？k-x<∞}. （A.71）在上一个等式中，我们应用了度量的变化，以及支配收敛定理（见（A.47））。另一方面，使用递归（3.37）和数学归纳法，我们可以证明存在正恒量C，C>0，使得|u（k）（x）|≤ Cex+C，十、∈ R.因此，随机变量E-qτ+b？K-xEΦ（α）[e-Φ（α）Mq(-~u（k）（x+xτ+b？k）-x+Mq）| xτ+b？K-x] EΦ（α）[E-Φ（α）Mq]{τ+b？k-x<∞}由非负随机变量控制-qτ+b？K-xEΦ（α）[e-Φ（α）Mq（Cex+Xτ+b？k）-x+Mq+C）| xτ+b？K-x] EΦ（α）[E-Φ（α）Mq]{τ+b？k-x<∞}≤Cex+Xτ+b？K-xEΦ（α）[e-(Φ(α)-1） Mq]EΦ（α）[E-Φ（α）Mq]+C{τ+b？k-x<∞}作为q↓0---→Cex+Xτ+b？K-xψ+α(-1） +C{τ+b？k-x<∞},我们用limq↓0EΦ（α）[e-(Φ(α)-1） Xeq]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]=ψ+α(-1） 在最后一步。类似地，使用（3.39）我们得到φ（k）（x）=ex- K+E[E]-αδv（k）-1） （x+xδ）]=limq↓0EΦ（α）E-Φ（α）XeqEΦ（α）[e-Φ（α）Xeq]ex+Xeq- 前任？ψ+α(-1)- E[E]-αδu（k）-1） （x+xδ+Xeq）|Xeq]= 林克↓0EΦ（α）[e-Φ（α）Mq(-~u（k）（x+Mq））]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]。

（A.72）通过支配收敛定理，我们从（A.71）和（A.72）得到了thatlimq↓0EΦ（α）[e-Φ（α）Xeq(-~u（k）（x+Xeq））11{x+Xeq≥Bk} ]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]=ExE-ατ+b？kφ（k）（Xτ+b？k）11{τ+b？k<∞}= g（k）（x，b？k）。为了证明超鞅性质，我们使用了这样一个事实：在事件{t<eq}上，我们有Xt+sups∈[t，eq]（Xs）-Xt）≤ Xeq，PΦ（α）-a.s.和Mq:=sups∈[t，eq]（Xs）-Xt）与Xeq具有相同的规律，但与Ft无关。它遵循Xeq的非负性和非递减性-对于任何t>0，g（k）（x，b？k）=limq↓0EΦ（α）[e-Φ（α）Xeq(-~u（k）（x+Xeq））]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]≥ 林克↓0EΦ（α）[EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq(-~u（k）（x+Xeq））11{t<eq}|Ft]]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]≥ 林克↓0EΦ（α）[EΦ（α）[E-Φ（α）（Xt+Mq）(-~u（k）（x+Xt+Mq）11{t<eq}|Ft]]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]=limq↓0e-qtEΦ（α）[EΦ（α）[E-Φ（α）（Xt+Mq）(-|u（k）（x+Xt+Mq））|Ft]]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]≥EΦ（α）E-Φ（α）Xt·limq↓0EΦ（α）[E-Φ（α）Mq(-~u（k）（x+Xt+Mq））|Xt]EΦ（α）[E-Φ（α）Mq]=E[E]-αtg（k）（x+Xt，b？k）]=Ex[e-αtg（k）（Xt，b？k）]。这里的第三个不等式来自法图引理和X的强马尔可夫性质。这就完成了证明。参考文献[1]L.Alili和A.E.Kyprianou。关于列维过程第一段的一些评论，美国的put和smoothpasting。安。阿普尔。Probab。，15:2062–2080, 2004.[2] S.Asmussen和H.Albrecher。破产概率。《世界科学》，2010年。[3] 瑟伦·阿斯穆森、弗洛林·阿夫拉姆和马蒂恩·R·皮斯托留斯。指数型L’evy模型下的俄罗斯和美国看跌期权。随机过程。应用程序。，109(1):79–111, 2004.[4] F·阿夫拉姆、A·E·基普里亚努和M·R·皮斯托留斯。光谱负L’evy过程的退出问题以及（加拿大化）俄罗斯选项的应用。安。阿普尔。Probab。，14:215–235, 2004.[5] 克里斯蒂安·本德。数量约束下多重行使期权的双重定价。《金融与随机》，2011年15:1-26。[6] 菲舍尔·布莱克。利率是一种选择。《金融杂志》，50（5）：1371-13761995年。[7] N。

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