具有负贴现率和随机变量的最优多次停止

2022-5-8 06:18:28

L’evy模型下具有负贴现率和随机折射时间的最优多次停止*本文研究了一类由L’evy过程驱动的最优多重停止问题。我们的模型允许负的有效贴现率，这在许多金融应用中都会出现，包括股票贷款和实物期权，其中执行价格的增长率可能高于原始贴现率。此外，连续的锻炼机会由i.i.d.时间分隔。在具有一般随机折射时间的一类广泛的双边L’evy模型下，我们严格地证明了行使连续看涨期权的最优策略的唯一特征是一系列上交时间。相应的最佳阈值在单次停止情况下显式确定，在多次停止情况下递归确定。关键词：最优多次停车；负贴现率；随机折射时间；列维过程；股票loanJEL分类：G32、D81、C61数学学科分类（2010）：60G40、60J751简介我们研究一类由潜在的L’evy过程驱动的最优多重停止问题。我们模型的两个关键特征是：（i）贴现率可以是负的或正的，以及（ii）允许的停止时间序列由i.i.d.随机折射周期分离。负有效贴现率与许多金融应用有关。例如，夏和周[26]提出了股票贷款的估值模型，其中贷款利率高于无风险利率。因此，股票贷款可以被视为一种有效贴现率为负的美式看涨期权。

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2022-5-8 06:18:31

实物期权文献[15,21]中的一个例子是，投资成本的增长率高于企业的贴现率。此外，根据Black[6]及其参考文献，虽然名义短期利率不能为负，但实际利率可能为负，特别是在低收益率制度下。因此，将贴现率扩展到负域还可以评估实际利率下的现金流。在上述申请中，同一期权可以在未来重复行使，这意味着投资者可以获得一系列股票贷款，或者企业可以随着时间的推移进行顺序投资。这促使我们在分析中加入多个停止机会。通常用于能源输送的摆动期权的定价也具有折射周期和多次行使的特点。例如，Carmona和Touzi[9]在几何布朗运动模型下，将摆动看跌期权的估值表述为具有恒定折射周期的最优多重停止问题。在一项相关研究中，Zeghal和Mnif[27]在基本列维价格过程没有负跳的情况下，对永久性美国摇摆看跌期权进行估值。它们为相关的最优多重停车问题提供了数学描述和数值解。相比之下，我们认为*美国纽约哥伦比亚大学IEOR系。电子邮件：leung@ieor.columbia.edu.+日本大阪关西大学数学系。电子邮件：kyamazak@kansai-u、 ac.jp.美国纽约哥伦比亚大学统计系。电子邮件：hzhang@stat.columbia.edu.exercises正贴现率和负贴现率下具有随机折射时间的摆动看涨期权。

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2022-5-8 06:18:35

我们还对双边L’evy模型下的最优多重停止问题进行了严格的分析。在一大类具有一般随机折射时间的双边L′evy模型下，我们证明了多个永久看涨期权的最优行使具有非递增的行使阈值序列（见下文第2.2条和定理3.2）。相应的最佳阈值在单停止情况下显式确定，在多停止情况下递归确定。我们的结果将夏和周[26]以及蔡和孙[7]的股票贷款模型从他们的单一股票贷款扩展到序列股票贷款，并从几何布朗运动[26]和双指数跳跃扩散[7]模型扩展到我们论文中的一类一般双边L’evy过程。因此，对折射时间和潜在的L’evy过程的最小假设阻止使用适合分析和计算的模型/分布特性。我们通过拉普拉斯变换、测度变换、鞅理论以及其他分析技术克服了这一挑战。我们的分析允许递归计算最优值函数以及所有运动阈值，从而为多运动选项的现有文献中常见的模拟方法提供了一种替代方法（参见[5,22]等）。我们还研究了折射时间分布对最佳运动阈值的影响。在我们的模型中，连续锻炼机会之间的随机折射时间也可以解释为连续随机的结果。为此，Kyprianou和Pistorius[17]应用L’evyprocess的波动理论来研究衍生品定价的到期随机化（Canadization）方法。随机化程序将有限的到期选择权转变为永久的到期选择权。

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2022-5-8 06:18:38

Avram等人[4]考虑了光谱负L’evy过程的一些退出问题，并将其应用于随机成熟度的俄罗斯期权估值。相比之下，我们考虑了多重行使权的问题，考虑到负贴现率，以及潜在的列维过程的负和正跳跃。Christensen和Lempa[11]最近的工作讨论了一个由i.i.d.指数折射周期的强马尔可夫过程驱动的最优多重停止问题。Christensen等人[12]的另一项相关工作是研究具有随机等待时间的最优多次停车问题，该问题是一系列单次停车问题。它们为永久看跌期权的问题提供了一个明确的解决方案，根据该方案，连续的练习会被几何布朗运动的首次通过时间折射。与他们的工作相比，我们的模型不仅考虑了负贴现率和一般的随机折射时间，而且还通过一个L’evy过程将潜在过程中的跳跃与任何分布的正相位型跳跃和负跳跃结合起来。如[3]中所讨论的，具有相位型跳变的L’evy过程能够逼近一类一般的L’evy过程。在这里，主要的主题挑战是在给定最小的跳跃和屈光时间分布结构的情况下，确定最佳运动策略的特征。当前的论文也与越来越多涉及顺序计时决策的金融应用有关。示例包括多个行使期权[8,22]、员工股票期权组合[11,16,19]、顺序基础设施投资[10,13]以及重新加载和暂停期权[14]。

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2022-5-8 06:18:41

由于其中一些应用还涉及一系列永久看涨期权，因此我们的分析直接适用于负利率贴现。让我们来概述一下这篇论文。在第二节中，我们建立了最优多重停止问题，并给出了一些一般的数学性质。在第三节中，我们分析了双边L’evy过程引起的单停和多停问题。第4节讨论了数值实现，并提供了一些示例。第五部分总结全文。我们的证据是论文的重要组成部分，包含在附录中。2问题公式和一般性质在背景中，我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P）主持一个L’evy进程X=（Xt）t≥0由其拉普拉斯指数ψ（β）唯一表征：=logeeβX= cβ+σβ+Z(-∞,∞)（eβz）- 1.- βz1{z |<1}）π（dz），（2.1）对于每个β∈ C使得0≤ <β<β（z的实部小于z∈ C）其中β：=sup{β∈ R:E[EβX]<∞}, （2.2）对于某些c∈ R、 σ≥ 0，以及一个度量∏及其支持向量R\\{0}，这样z(-∞,∞)(1 ∧ z） ∏（dz）<∞. （2.3）我们认为，通过解析延拓，拉普拉斯指数ψ可以扩展到<β=β的线之外。自始至终，我们假设β>1-X不是从属关系。我们将px表示为概率，exa表示初始值为X=X的期望值∈ R.当X=0时，我们在px和Ex中删除下标。设F:=（Ft）t≥0是由X产生的自然过滤。基础价格过程由指数L’evy过程St:=eXt，t建模≥ 0.现在我们来描述我们的最佳多次停止问题，在连续练习之间有一个折射周期。在一般情况下，我们可以将折射周期δ作为确定性常数或正随机变量。

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2022-5-8 06:18:44

我们将在整篇论文中假设随机变量Xδ的分布没有原子。用T表示F停止时间的集合。然而，纳入随机折射时间要求我们扩大过滤。对于任何正随机变量的集合，我们将F（Ξ）表示为最小的过滤，使得所有Ξ的成员都是停止时间（见[12]）。对于每个固定的n≥ 1.我们引入了运动时间的可容许序列集：T（n）：={~τ=（τn，···，τ）：τn∈ T，τiis an F（{τj+δj}nj=i+1）–停止时间和τi+1+δi+1≤ τi，i=n- 1，···，1}，其中δi’s是一些正值随机变量δ的i.i.d.副本，它们独立于L′evy过程X。当剩下i个锻炼机会时，停止时间τ是允许的锻炼时间。特别是，τ是第一次锻炼时间，τ是最后一次锻炼时间。在整个过程中，我们将使用奖励函数φ（x）：=（ex- K） +,，十、∈ R、我们称K>0为执行价。和n≥ 1.运动机会，最佳停止问题定义为v（n）（x）：=sup~τ∈T（n）Ex“nXi=1e-ατiφ（Xτi）11{τi<∞}#, 十、∈ R.（2.4）我们施加了一个长期的技术可积性条件，以确保问题得到很好的定义。假设2.1。存在一个常数%>1，使得L’evy过程X满足sup0≤t<∞E-αtφ（Xt）%< ∞, 十、∈ R.（2.5）在第3节中，我们将在假设3.1中提供关于α的条件，以便该可积性条件成立。我们的模型的一个关键特征是，常数参数α可以被视为正/负，代表一个收缩/收缩因子。在夏和周[26]提出的股票贷款模型中，当银行收取的利率γ高于利率r时，就会产生负的有效贴现率。为了了解这一点，我们考虑一个投资者，他从一家银行借了K，使用股票S的一部分作为抵押品。

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2022-5-8 06:18:47

借款人有权随时通过支付应计本金赎回股票≥ 0.因此，我们将预期的贴现支付额写入-rτ（Sτ）- eγτK）+]=Ex[e-（r）-γ） τ（~Sτ）- K）对于τ，+]∈ T，其中α=r- γ<0且Sτ=e-γτSτ。在不同类别的应用中，当投资成本K以高于企业贴现率r的速率γ增长时，负有效贴现率也与实物期权行使时间有关。为了解决最优多次停止问题（2.4），我们将建立其等价于以下最优单次停止问题的递推：v（K）（x）：=supτ∈特克斯-ατφ（k）（Xτ）11{τ<∞}式中φ（k）（x）：=φ（x）+Exhe-αδv（k）-1）（Xδ）i，k=1，2，··，n，（2.7）和v（0）（X）：=0。为此，我们首先给出了每k值函数v（k）的一些有用性质∈{1，···，n}。引理2.1。对于每个整数k∈ {1，··，n}和所有s∈ R+：=（0，∞), 函数U（k）（s）：=v（k）（logs）是非递减的凸函数，因此在R+上几乎处处可微。由于凸性和单调性，我们得到了k=1的连续fit点的存在性和唯一性。更具体地说，使用[26]中推论3.1的证明中的参数，我们知道存在alevel x？∈ （日志K，∞] 使得v（1）（x）=φ（x）>0当且仅当x≥ 十、请注意，我们可以在不损失一般性的情况下排除x的可能性？≤ 记录K（用钱锻炼）。对于任何b∈ R、我们用τ+b表示首次交叉时间τ+b=inf{t≥ 0:Xt≥ b} 。在本文中，我们定义了inf := ∞. 此外，每k∈ {1，···，n}，我们定义了阈值策略τ+b的贴现收益值∈ asg（k）（x，b）：=Exhe-ατ+bφ（k）（Xτ+b）11{τ+b<∞}我十、∈ R

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2022-5-8 06:18:50

（2.8）当x∞, 我们知道k=1的辅助问题（2.6）的值函数由v（1）（x）=g（1）（x，x？）给出，十、∈ R.什么时候x？=∞, 这个问题很简单，值函数v（1）（x）由τ+Mby取M任意大时的期望值来近似。我们现在假设前者，并给出充分条件，以便类似的结果适用于k的问题（2.6）∈ {2，···，n}。为此，我们对[9]引理3.2的证明中的论点进行了调整，以得到以下结果。引理2.2。假设x？∈ （日志K，∞). 然后每1≤ K≤ n和所有x∈ [x？]？，∞), 我们有φ（k）（x）=v（k）（x）。引理2.2意味着随着s的增加，U（k）（s）最终将持续fitφ（k）（logs）。通过U（k）（s）的凸性≡ v（k）（logs）和φ（k）（logs），我们知道U（k）（s）几乎处处都是从上到下的边界∈R+sφ（k）（对数s）. 反过来，我们推导出E[E]-αδv（k）（x+xδ）]在R上的x上是可微的，因为xδ的分布在v（k）不可微的（最多）可数点上没有正测度。推论2.1。假设x？∈ （日志K，∞) 和E[E]-αδ+Xδ]≤ 1.对于每个整数k∈ {1，···，n}，我们有0≤v（k）（x）≤ kex，a.e.和0≤xE[e-αδv（k）（x+xδ）]=E[E-αδv（k）（x+xδ）]≤ 凯克斯，十、∈ R.我们现在建立（2.4）和（2.6）之间的等价关系。让我们首先递归地定义停止时间τ？n:=inf{t≥ 0:v（n）（Xt）=φ（n）（Xt）}，（2.9）τ？i:=inf{t≥ δi+1+τ？i+1:v（i）（Xt）=φ（i）（Xt）}，对于i=n- 1, · · · , 1. （2.10）我们在下面展示（τ？n，·τ？）∈ T（n）求解最优多重停车问题（2.4）和（2.6）-（2.7）。定理2.1。假设x？∈ （日志K，∞). 修正一个k∈ {1，··，n}，然后停止时间（τ？i）1≤我≤（2.9）-（2.10）中定义的kde满足Px（τ？i<∞, 1.≤ 我≤ k） >0，代表所有x∈ R

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2022-5-8 06:18:54

此外，（i）辅助问题的值函数，v（k）of（2.6），满足v（k）（x）=Ex“kXi=1e-ατ?iφ（Xτ？i）11{τ？i<∞}#, 十、∈ R（2.11）（ii）（2.6）中的值函数v（k）（x）等于（2.4）中每x的v（k）（x）∈ R（iii）对于每个初始值X=X∈ R、集合中的所有随机变量（k）：={e-ατv（k）（Xτ）：τ是a.s.有限F-停止时间}一致有界于L%（dPx）。现在我们回到最优多重停车问题（2.6）-（2.7）。从引理2.2我们知道，如果x？∈（日志K，∞), 那么每一个k∈ {2，···，n}，我们可以定义一个有限的levelx？k:=inf{x≤ x？：v（k）（y）=φ（k）（y），Y≥ x} 。（2.12）那么，每k∈ {1，···，n}，区间[x？k，∞) 必须是问题（2.6）的最佳停止区域的一个连通域，有k个锻炼机会。应该注意的是，一般来说≥ 2.由于复合支付函数φ（k）（logs）在s中不再是分段线性的，最优停止区域可能被断开，由多个不相交的区间组成∈ R+。然而，如果[x？k，∞) 是唯一的最佳停车区域，然后是上行交叉时间τ+x？k必须是问题（2.6）的最佳停止时间，对于所有x，v（k）（x）=g（k）（x，x？k）∈ R.解决可能存在多个断开组件的问题，以实现k的最佳停车≥ 2.在所有首次交叉时间{τ+b:b中，我们考虑最佳阈值类型策略∈ R} ，然后给出其最优性的充分条件。定义2.1。我们称之为b级？K∈ R当且仅当函数g（k）（x，b）在b=b时最大化时，有k个锻炼机会的问题（2.6）的最佳锻炼阈值？KforAll x∈ R

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2022-5-8 06:18:57

更具体地说，如果b？k满足以下条件：（a）对于任何固定x<b？k、函数g（k）（x，·）的上确界由g（k）（x，b？k）给出；（b）对于任何固定的x≥ Bk、函数g（k）（x，·）的上确界由φ（k）（x）给出。当k=1时，我们知道b？=十、如果后者是有限的。注意，对于一般的k≥ 2、最佳运动阈值b？可能不存在。下面的结果描述了x？坎德b？k、当后者存在的时候。提议2.1。假设x？∈ （日志K，∞). 修正一个整数k∈ {2，··，n}，假设v（k）-1）（x）>v（k）-2）（x）对于所有x∈ R、那[x？k-1.∞) 是（k）问题（2.6）的唯一最优停止区域-1）锻炼机会。然后我们有（i）v（k）（x）>v（k）-1）（x）对于所有x∈ R（ii）x？K∈ （logk，x？），如果b？kexists，我们也有b？K>logk；（iii）如果b？kexists和过程（e-αtg（k）（x，b？k））t≥0是a（Px，F）-超马氏体，那么x？k=b？kand[x？k，∞) 是唯一的最佳停车区域。因此，上交叉时间τ+x？kis最佳。备注2.1。命题2.1意味着，每个值函数都可以通过首先优化logk以上的所有候选阈值上的预期值，然后验证超级鞅属性来确定。因此，就最优阈值而言，我们可以有效地去除支付函数φ（x）中的+符号。根据命题2.1，我们得出结论[x？k，∞) 是唯一的最佳停止区域，以及每个最佳运动阈值b？k=x？kexists，且其上以x？为界？。我们现在证明，如果[x？k，∞) 是所有1的唯一连接的最佳停止区域≤ K≤ 我想买一些∈{1，··，n}，然后（x？k）1≤K≤lis在k中不增加。为了证明这一点，我们首先证明了过程v（k-1） t:=e-αtv（k）-1）（Xt）- v（k）-2）（Xt）, T≥ 0，对于任何固定的k来说都是一个超级艺术家∈ {2，···，l+1}。提议2.2。

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2022-5-8 06:19:01

假设是x？∈ （日志K，∞) 而[x？k，∞) 是所有车辆的唯一连接最佳停车区域1≤ K≤ 我想买一些∈ {2，··，n- 1} 然后是最佳运动阈值（x？k）1的顺序≤K≤l+1在k中不增加，即对数k<x？l+1≤ 十、L≤ · · · ≤ 十、以及过程（V（k-1） t）t≥0是任何2的（Px，F）-类（D）[24，第3章]的超鞅≤ K≤ l+1。命题2.2告诉我们，如果阈值型策略对于问题（2.6）来说是最优的，那么所有1人都有k个锻炼机会≤ K≤ l、然后最佳运动阈值（x？k）为1≤K≤因此，即使对于有l+1锻炼机会的问题（2.6），阈值型策略不是最优的，最优停止区域也应该包含[x？l，∞). 此外，对于任何数量的剩余行权机会，行权高于执行价始终是最佳选择。3分析结果在本节中，我们假设X是一个谱负的L’evy过程，它不是从属函数的负，或者是一个具有任意负跳跃分布和正相位型跳跃分布的L’evy过程[3]：Xt- X=Jt+NtXn=1Zn，0≤ t<∞. （3.13）这里，（Jt）t≥0是一个带或不带布朗运动分量（Nt）t的谱负L′evy过程≥0是到达率ρ的aPoisson过程，Z=（Zn）n=1,2，·是一个相位型分布随机变量的i.i.d.序列，表示为（d，α，T）。此外，J和Z是相互独立的。关于这一过程及其在美式和俄式期权中的应用的全面研究，请参考[3]。回想一下，如果R+上的分布是由一个吸收状态和d组成的有限状态连续时间马尔可夫链中的吸收时间分布，则R+上的分布是相位型的∈ N瞬态。

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2022-5-8 06:19:04

因此，任何相位类型分布都可以用d、所有瞬态T上的d×d跃迁强度矩阵和马尔可夫链α的初始分布来表示。在不丧失一般性的情况下，我们假设正相位型跳跃分布用d相位最小表示。从[3]中，这保证了具有正实部的拉普拉斯指数ψ的奇异性是T的特征值。此外，根据[25]第58页的定理5b，我们知道（2.2）中定义的β是ψ和limβ的最小正极↑βψ(β) = ∞. 此后，我们将实施以下技术条件。假设3.1。拉普拉斯指数ψ和贴现率α满足（i）ψ（1）<α，或（ii）ψ（1）=α<0和ψ（1）<0。在这些条件下，我们将在下面的引理中证明，（2.6）中的最优停止问题对于每一个1都是好的≤ K≤ n在满足假设2.1中的可积条件的意义上。此外，折扣价格过程（e-αt+Xt）t≥P下的0必须是一个超鞅，而不是当α≥ 0[23，定理1]。如果无效，则排除了永久等待的琐碎优化策略。引理3.1。假设3.1意味着假设2.1。我们在附录a.6中提供了详细的证据。接下来是一个α∈ R、我们将Φ（α）定义为ψ（β）=α的最大正根，如果存在，它是一个小于β的实数。注意，假设3.1和β>1意味着Φ（α）存在，Φ（α）>1和ψ（Φ（α））≥ 0.我们用iα={ρi，α：ψ（ρi，α）=α，<ρi，α来表示具有正实部的有限根集≥ Φ(α)}1≤我≤|Iα|，（3.14），其中，为了数学上的方便，我们假设给定α的根都是不同的∈ R.得出ρ1，α=Φ（α）<β和<ρi，α≥ 尽管我≥ 2.此外，我们注意到| Iα|=d或d+1根据-J是否为从属[3，引理1]。

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2022-5-8 06:19:07

我们标记ρi，α的方式是（<ρi，α，=ρi，α）按升序（这里=z是任何复数z的虚部）。同样，我们定义了第二组具有正实部的根，其标记方式与Iα：J:={ηJ:ψ（ηJ）=0，<ηJ>0}1的元素相同≤J≤|J |，（3.15），其中多个根分别计算。注意，我们有β=η∈ J和| J |=d.备注3.1。如果X是一个谱负的L′evy过程，即| J |=0，那么，根据我们的假设-X不是一个算符，我们有Iα={Φ（α）}和| Iα|=1。修正α≥ 0.设eα是一个指数随机变量，其速率参数α与X无关。我们遵循e=∞, P-a.s.那么，从[3]的引理1可知，Xeα的拉普拉斯变换：=sup0≤T≤eαx由ψ+α（β）给出：=e[e-βXeα]=|Iα| Yi=1ρI，αρI，α+β| J | Yj=11+βηj= ψ+α(∞) +|Iα| Xi=1AiρI，αρI，α+β，β ≥ 0，（3.16）带ψ+α(∞) = limβ→∞ψ+α（β），以及部分分数系数：Ai:=|Iα| Yj=1j6=Iρj，αρj，α- ρi，α| J | Yj=1ηJ- ρi，αηj.（3.17）因此，Xeα的分布由以下公式给出：P（Xeα∈ dx）=Iα| Xi=1AiρI，αe-ρi，αxdx，x>0。（3.18）备注3.2。如[3，备注4]中所述，为方便起见，假设根不同。当存在多个根时，相应的分布P（Xeα∈ dx）将采用类似于（3.18）的形式，并具有不同的恒定系数。此外，多根的情况只发生在αoverR的最多可数个值上。

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2022-5-8 06:19:10

换言之，如果任意设置γ和r的值，则结果具有多个根的概率为零。在下一小节中，我们推导了满足假设3.1.3.1的任何贴现率α的单次停止问题的值函数和最优执行阈值，前提是ψ（1）<α和α≥ 0，那么从[23]的定理1可知，对于执行价格K>0的美式呼叫，最佳停止时间由τ？=inf{t≥ 0:Xt≥ log（Kψ+α）(-1））），美式看涨期权的价值由以下公式得出：Exhe-ατ?φ（Xτ？）11{τ?<∞}i=K | iα| Xi=1[Kψ+α(-1)]-ρi，αeρi，αxAiρi，α- 1、（3.19）中定义了人工智能（3.17）。对于α<0的情况，可以使用（3.14）中的集合Iα和（3.15）中的集合J来计算（3.19）中的类似预期，我们将在下面的命题3.1中证明这一点。为了解决贴现率为负（α<0）的情况，我们的主要步骤之一是应用测量值的变化。对于κ∈ [0，β），我们定义了一个新的概率测度Pκx~ PxbydPκxdPxFt=exp（κ（Xt- 十）- ψ（κ）t），t≥ 0.（3.20）那么，对于β>-κ、 X的拉普拉斯指数由[18，定理3.9]ψκ（β）给出：=κσ- c+Z(-1,1）z（eκz- 1） π（dz）β+σβ+Z(-∞,∞)（eβz）- 1.- βz1{| z |<1}）eκz∏（dz）。在新的概率测度Pκ下，该过程也是一个具有负跳跃分布和正相型分布的L′evy过程，具有一个新的标度L′evy测度∏κ（du）：=eκu∏（du）。提议3.1。我们扩展了α的定义（3.16）≤ 0并定义函数ψ+α（β）和部分分数系数（Ai≡ A（ρi，α））1≤我≤|Iα|使用ψ+α（β）：=|Iα| Yi=1ρI，αρI，α+β| J | Yj=11+βηj≡ ψ+α(∞) +|Iα| Xi=1AiρI，αρI，α+β，β ∈ C.（3.21）然后对于任何固定的b>x和β≥ 我们有E-ατ+b-β（Xτ+b）-b） {τ+b<∞}=ψ+α（β）|Iα| Xi=1AiρI，αρI，α+βe-ρi，α（b）-x）。（3.22）利用命题3.1，我们可以计算任何阈值型策略τ+b的预期收益。

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2022-5-8 06:19:14

根据定理5b-onp。[25]中的58，我们可以将（3.22）两边的β扩展为复数，只要<β>-ρ1,α. 特别是，通过设置β=-1, 0 > -ρ1，α在（3.22）中，我们得到以下结果。推论3.1。为了所有的b≥ 对数K和b>x（因此φ（xτ+b）=eXτ+b- 关于{τ+b<∞}), 我们有g（1）（x，b）=Exhe-ατ+bφ（Xτ+b）11{τ+b<∞}i=ψ+α(-1） ·| Iα| Xi=1Aie-ρi，α（b）-十）ρi，αρi，α- 1eb- Kψ+α(-1). （3.23）由于我们已经知道，当k=1时，最佳停止时间是阈值类型的，因此通过优化运动阈值b，我们可以很容易地获得单次停止问题的值函数的解析表达式。定理3.1。单次停止问题的最佳运动阈值由x？：=log（Kψ+α）(-1）相应的值函数由v（1）（x）=g（1）（x，x？）给出=（φ（x），x≥ 十、K·P | Iα| I=1[Kψ+α(-1)]-ρi，αeρi，αxAiρi，α-1，x<x？，（3.24）其中函数g（1）（·，·）在（2.8）中定义。备注3.3。最近，蔡和孙[7]考虑了一个超指数跳跃扩散模型下的单股贷款问题，并给出了永久单停问题的解析解。相比之下，我们的定理3.1适用于（3.13）和假设3.1中描述的更一般的L'evy模型。备注3.4。如果X是一个光谱负的L’evy过程，那么（3.24）可以简化为v（1）（X）=φ（x），x≥ 十、φ（x？）E-Φ（α）（x？-x），x<x？，（3.25）其中x？=log（Kψ+α）(-1） ψ+α（β）=Φ（α）Φ（α）+β。注意，Ex[e]-ατ+b]=e-Φ（α）（b）-x）对于所有x<b.3.2最优多次停止问题，在本小节中，我们描述了使g（k）（x，·）最大化的最佳运动阈值。首先，回想命题3.1，对于所有x<b，以及给定的α∈ R和β≥ 0，前E-ατ+b-β（Xτ+b）-b） {τ+b<∞}=ψ+α（β）|Iα| Xi=1AiρI，αρI，α+βe-ρi，α（b）-x）。（3.26）Xτ+b的分布可以通过反拉普拉斯变换从（3.26）中检索出来。

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2022-5-8 06:19:18

为此，让我们介绍一下φ∞:= limβ→∞βψ+α(β) =Q | Iα| I=1ρI，αQ | J | J=1ηJ>0，如果-J不是下属∞, 其他的然后[0]上存在一个唯一的（可能是有符号的）度量，∞), ν（dy），这样z[0，∞)E-βyν（dy）=ψ+α（β）-βφ∞, β ≥ 0.（3.27）备注3.5。如果我们假设J中的元素都是不同的，那么我们有，ν（dy）=（P | Iα| I=1ρI，α-P | J | J=1ηJ）φ∞{y=0}+P | J | J=1ψ+α(-ηj）e-ηjydy，如果-J不是一个从属ψ+α(∞){y=0}+P | J | J=1ψ+α(-ηj）e-ηjydy，否则，Y≥ 例如，当向上跳跃为超指数时，情况就是这样。此外，我们在[0]上定义了一个度量，∞) 每1个≤ 我≤ |Iα|：：νI（dy）：=ρI，αφ∞{y=0}+ρi，αe-ρi，αy-ρi，αφ∞+Z[0，y）eρi，αZν（dz）迪，Y≥ 0.（3.28）那么就可以很容易地验证z[0，∞)E-βy′νi（dy）=ρi，αρi，α+βψ+α（β），β ≥ 0, 1 ≤ 我≤ |Iα|。（3.29）由于（3.26）和（3.29），我们有E-ατ+b{Xτ+b=b}{τ+b<∞}=φ∞|Iα| Xi=1AiρI，αe-ρi，α（b）-x），（3.30）ExE-ατ+b{Xτ+b-B∈dy}{τ+b<∞}=|Iα| Xi=1Aie-ρi，α（b）-x） νi（dy），y>0。（3.31）方程（3.30）和（3.31）可用于计算Ex[e-α（τ+b+δ）v（k）（Xτ+b+δ）]。为此，设Y在P下具有与Xδ相同的分布，但与Fτ+b无关。然后，对于所有X<b，Exhe-α（τ+b+δ）v（k）（Xτ+b+δ）11{τ+b<∞}i=|iα| Xi=1Aie-ρi，α（b）-十）Z[0，∞)E[E]-αδv（k）（b+Y+Y）]νi（dy）=|Iα| Xi=1Aie-ρi，α（b）-十）ρi，αφ∞E【E】-αδv（k）（b+Y）]+Z（b，∞)E[E]-αδv（k）（u+Y）]νi(-b+du）. （3.32）从推论2.1中回想E[E]-αδv（k）（b+Y）]对于所有b都是可微的∈ 因此，最佳运动阈值b？KC的特点是一阶条件：b | b=b？对于任何x<b的情况，kg（k）（x，b）=0？k、在这一小节的剩余部分中，我们将归纳地证明，如果阈值策略对于问题（2.6）是最优的，且最大为k- 1锻炼机会，对一些人来说∈ {2，···，n}，那么存在唯一的最佳运动阈值b？kfor问题（2.6）与k锻炼机会。

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2022-5-8 06:19:23

表明阈值型策略τ+b？kis确实是T中所有F停止时间的最佳值，我们进一步证明了过程（e-αtg（k）（Xt，b？k））t≥0是一个超级艺术家。最后，根据第3.1节中k=1的结果，数学归纳法随后将得出最佳运动阈值b？的存在性和唯一性？k、阈值型策略τ+b的最优性？k、尽管如此，k∈ {2，···，n}。为了便于以后的计算，我们定义了所有1≤ K≤ n thatu（k）（x）：=v（k）+（x）φ∞-Z[0，∞)v（k）（x+y）ν（dy），（3.33），其中v（k）+是v（k）的右导数。特别是，当k=1时，我们可以使用（3.24）和（3.33）（参见下面用v（1）（x）=g（1）（x，x？）证明命题3.3）和v（0）（x）≡ u（0）（x）≡ 0）获得：u（1）（x）=ex？- exψ+α(-1） {x≥x？}。（3.34）注意，u（1）在R上是连续的、非正的、非递增的，并且在[x？]上严格递减？，∞).以下结果描述了最佳运动阈值b的一阶条件？k、提议3.2。如果有固定的k∈ {2，···，n}，阈值型策略τ+x？K-1对于（2.6）和（k- 1）锻炼机会，v（k）-1）（x）>v（k）-2）（x）对于所有x∈ R、函数u（k）-1）（x）在R上是连续的，那么方程中至少存在一个解bk>logk:~uk（bk）=0，其中~u（K）（x）：=ex？- exψ+α(-1） +E[E]-αδu（k）-1）（x+xδ）]，十、∈ R.（3.35）此外，如果最佳运动阈值b？kexists，它满足（3.35）。在下一个结果中，我们建立了函数u（k）的单调性，以及（3.35）的解的唯一性。提议3.3。在命题3.2的假设下，进一步假设函数u（k-1）（x）是一个非递增函数。设bk为（3.35）的任意解，且定义u（k）（x）：=φ∞+xg（k）（x，bk）-Z[0，∞)g（k）（x+y，bk）ν（dy），（3.36）其中+xis是右偏导数算子。

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2022-5-8 06:19:27

那么，~u（k）在R上是连续的、非正的、非递增的。此外，它可以表示为~u（k）（x）=11{x≥bk}u（k）（x）。（3.37）我们现在证明了最佳运动阈值b的存在性和唯一性？k、引理3.2。在命题3.3的条件下，（3.35）有一个唯一的解，这个解就是最佳运动阈值b？k、因此，命题3.2适用，最佳运动阈值b？kis由（3.35）唯一确定。接下来，我们证明了过程（e）的超鞅性质-αtg（k）（Xt，b？k））t≥为了证明问题（2.6）的最佳停止区域是单边的，因此b？k=x？kyields最优停车时间τ+x？k、主要工具是通过对Xeq函数的期望来重新表达阈值类型策略g（k）（x，b？k）的值（类似的解决方法见[1]）。我们从k=1的情况开始。从命题3.1的证明中可以很容易地看出，v（1）（x）=g（1）（x，x？）=林克↓0EΦ（α）[e-Φ（α）Xeq(-u（1）（x+Xeq））]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]。（3.38）我们使用（3.38）初始化诱导步骤。提议3.4。在命题3.3的条件下，进一步假设v（k-1）（x）=g（k）-1）（x，x？k）-1） =limq↓0EΦ（α）[e-Φ（α）Xeq(-u（k）-1）（x+Xeq））]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]。（3.39）那么我们有g（k）（x，b？k）=limq↓0EΦ（α）[e-Φ（α）Xeq(-~u（k）（x+Xeq））]EΦ（α）[E-Φ（α）Xeq]，（3.40），其中函数u（k）在（3.36）中定义。此外，过程（e-αtg（k）（Xt，b？k））t≥0是一个超级艺术家。总之，我们将数学归纳法应用于命题2.1、2.2、3.2、3.3和3.4以及引理3.2，以得到以下结果。定理3.2。每k∈ {1，···，n}，最优停车问题（2.6）由上交时间τ+x？k、 x在哪里？kis是（3.35）的唯一解决方案，满足对数K<x？N≤ 十、N-1.≤ · · · ≤ 十、值函数由v（k）（x）=g（k）（x，x？k）给出，可以用上面的（3.40）表示。

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2022-5-8 06:19:30

此外，值函数的顺序如下：0<v（1）（x）<v（2）（x）<···<v（n）（x），十、∈ R.4数值例子在本节中，我们根据分析结果给出数值例子。我们特别说明了最佳阈值对折射时间分布的敏感性。数字实现通常是一个挑战。它涉及对期望值的评估E-αδv（k）-1）（Xδ）而随机变量Xδ的分布通常不是明确的，甚至是未知的。正如[27]中所使用的，蒙特卡罗模拟是最具前瞻性的方法。然而，除非k是一个非常小的数字，否则它是不实用的。对于折射多重停止问题，需要知道整个预期的未来收益函数来执行反向引导。模拟方法需要计算每个步骤的任意多个起点的这些期望值，这增加了计算负担并限制了其适用性。特别是，我们问题的支付函数是无界的（并且呈指数增长）；模拟方法下需要的截断将产生不可忽略的误差，随着k的增加，误差将进一步放大。对于我们的数值例子，我们假设δ是Erlang分布的（即i.i.d.指数随机变量之和），并使用我们的separatepaper[20]中描述的方法数值求解最佳运动阈值。该方法利用预解测度（或X在独立指数随机时间上的分布），并重复和解析地执行关于该测度的积分。结果值函数显示为分段解析形式。

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2022-5-8 06:19:33

当跳跃大小分布为相位类型时，结果是准确的，并且由于相位类型L’evy过程的密集性，可以用作其他L’evy跳跃问题的近似值。该方法还可以通过加拿大化技术应用于折射时间恒定的情况。有关其计算性能的详细分析，请参阅[20]。在我们的数值结果中，我们从（3.13）考虑了一个具有i.i.d.指数跳跃的谱负L’evy过程：Xt- X=ect+σBt-NtXn=1Zn，0≤ t<∞,对某些人来说∈ R和σ≥ 0.这里B=（Bt）t≥0是标准布朗运动，N=（Nt）t≥0是一个泊松过程，到达率ρ，Z=（Zn）n=1,2，。。。是参数λ>0的指数随机变量的i.i.d.序列。这些过程被认为是相互独立的。对于我们下面的研究，我们设定σ=0.2，ρ=λ=1，k=50。此外，我们使用α=-0.02和c=0.36，因此α- ψ（1）=0.1>0，这保证了假设3。我们考虑两种类型的折射时间：（1）指数和（2）形状参数为2的Erlang。我们计算预期折射时间范围内的结果，用‘δ：=Eδ表示。在图1中，我们绘制了最佳运动阈值x？k或k=1，5根据不同的折射时间δ=0.5,1.0,1.5，10.与命题2.2一致，随着k的增加，阈值单调降低。特别是，最高阈值对应于最后一次剩余运动（k=1）。在这种情况下，折射时间完全无关，因此在任何分布下，阈值在不同的平均折射时间内保持不变。有趣的是，在k固定的情况下，阈值在平均折射时间内不是单调的。

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2022-5-8 06:19:36

一方面，折射时间是对停止时间的限制，因此它们减少了值函数，但不一定减少了运动阈值。直观地说，很长的屈光时间会降低后续锻炼机会的价值，并激励持有者更关注下一次立即停止。这有助于解释，在较长的平均折射时间内，阈值往往更接近。5结论我们研究了一类L’evy模型下具有负贴现率和随机折射时间特征的最优多重停止问题。为了解释负贴现率，虽然新指标下的分析具有挑战性，但指标变化技术被证明是非常有用的。如上文第3.1条和第3.2条所示，最佳运动阈值在单次停止情况下明确确定，在多次停止情况下则粗略确定。虽然我们的问题设置是基于对股票贷款的应用而选择的，但本文也提出了一个蓝图，以严格分析具有替代收益（如看跌期权）的永久最优折射多重止损问题。

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2022-5-8 06:19:40

这将是未来研究的自然方向。1.5 2.5 3.5 4.5 5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 104.54.64.74.84.955.1平均阈值1.5 2 2.5 3.5 4 4.5 5 5.5 6.5 7.5 8 8.5 9.5 104.54.64.74.84.955.1平均阈值水平（1）指数（2）ErlangFigure 1：最佳多运动阈值x？kfor k=1,2,3,4,5，分别在指数（左）和Erlang（右）分布时，绘制不同平均折射时间¨δ的曲线。附录。引理的证明2.1我们首先注意到，对于任何固定的k∈ {1，··，n}，U（k）（s）=supτ∈特赫-ατφ（k）（对数s+Xτ）11{τ<∞}i、对于k=1，对于任何停止时间τ和任何s，s∈ R+使得s>s，它来自于φthatU（1）（s）=supτ的单调性∈TEE-ατφ（对数s+Xτ）11{τ<∞}≥ supτ∈TEE-ατφ（对数s+Xτ）11{τ<∞}= U（1）（s）。同样，从上确界的次可加性和（φ）的凸性o 我们有，对于任何p，q>1，这样p+q=1，以及任何s，s∈ R+，thatU（1）（s）p+U（1）（s）q=psupτ∈TEE-ατφ（log（sexp（Xτ）））11{τ<∞}+qsupτ∈TEE-ατφ（log（sexp（Xτ）））11{τ<∞}≥ supτ∈TEE-ατφ（log（sexp（Xτ）））p+φ（log（sexp（Xτ）））q{τ<∞}≥ supτ∈TEE-ατ(φ o 日志）sp+sqexp（Xτ）{τ<∞}= supτ∈TElog（sp+sq）E-ατφ（Xτ）11{τ<∞}= U（1）sp+sq.因此，对于k=1，凸性也成立。这意味着U（1）（s）在R+上几乎处处可微。现在假设k=l的说法是正确的- 一个一个∈ {2，··，n- 1}; 也就是说，U（l）-1）是非递减且凸的。通过上述同样的论证，我们得出结论E[E]-αδU（l）-1）（s exp（Xδ））]也是非递减凸的。这意味着φ（l）和v（l）都具有单调性和凸性。通过归纳，我们得出结论。A.2推论的证明2.1对于k=1，我们有0≤ U（1）（s）=v（1）（对数s）/s≤ 1.a.e.s.的∈ R+，或相当于0≤ v（1）（x）≤ 前，a.e.x∈ R和| v（1）（x+) - v（1）（x）|≤ 前| e- 1 |，对于任何x， ∈ R

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2022-5-8 06:19:44

让我们用D（1）表示：={x∈ R:U（1）+（x）>U（1）-（x） }={x∈ R:v（1）+（x）>v（1）-（x） }，其中U（1）+和U（1）-（v（1）+和v（1）-, 分别）分别是U（1）（v（1）的右导数和左导数。然后我们知道D（1）最多是引理2.1的可数集。另一方面，利用Xδ没有原子的事实，我们知道，对于任何固定的X∈ R、对于P-几乎每个ω∈ Ohm,x+xδ（ω）（ω）/∈ D（1）。因此，e-αδ（ω）v（1）（x+xδ（ω）（ω））在这个固定的x上几乎肯定是可微的∈ R、和0≤ E-αδv（1）（x+xδ）≤ E-αδ+Xδ·ex，P-a.s.根据假设，非负随机变量e-αδ+Xδ·呼出一个有限的期望值。现在有了 6=0，如图所示 → 我们通过Jensen不等式得到≤E[E]-αδ（v（1）（x+ + Xδ）- v（1）（x+xδ））]- E[E]-αδv（1）（x+xδ）]≤ EE-αδv（1）（x+ + Xδ）- v（1）（x+xδ）- v（1）（x+xδ）→ 0，其中我们使用了| v（1）（x）这一事实++Xδ）-v（1）（x+xδ）- v（1）（x+xδ）|≤ ex+Xδ（|e-1|||+ 1）安第斯-αδ·lim→0v（1）（x+ + Xδ）- v（1）（x+xδ）- v（1）（x+xδ）= 0，P-a.s.和支配收敛定理。因此E[E]-αδv（1）（x+xδ）]在x中是可微的，且为0≤xE[e-αδv（1）（x+xδ）]=E[E-αδv（1）（x+xδ）]≤ E[E]-αδ+Xδ]ex≤ 现在假设k=l的说法是正确的- 一个一个∈ {2，··，n- 1}. 然后我们知道φ（l）（x）在R\\{logk}上是可微的，它的导数允许上界φ（l）（x）≤ 前任+xE[e-αδv（l）-1）（x+xδ）]≤ ex+（l）- 1） ex=lex，x6=对数K，即0≤sφ（l）（对数s）≤ 我为所有的人祈祷∈ R+\\{K}。因此，0≤ U（l）（s）≤ l、 a.e.这意味着≤ v（l）（x）≤ 莱克斯，a.e。

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2022-5-8 06:19:48

通过与上面相同的参数，我们也得到了，对于所有x∈ R、 0≤xE[e-αδv（l）（x+xδ）]≤ 莱克斯。现在的结果来自数学归纳法。A.3定理2.1的证明首先，引理2.2意味着Px（τ？i<∞, 1.≤ 我≤ k）如果x？<∞ 和-X不是从属关系。接下来，根据[9]中的引理2.1，我们递归地推导出v（k）（x）≤ 前任sup0≤t<∞E-αtφ（k）（Xt）≤前任sup0≤t<∞E-αtφ（k）（Xt）%%< ∞, （A.41）对于所有k≥ 1.因此，单一最优停车问题（2.6）已明确定义。为了确保最优停止时间的存在，我们可以将[27]中命题3.2的证明改编为可能具有负贴现率α和类似于呼叫的回报的设置。更准确地说，通过引理2.1和推论2.1，我们知道U（k）（s）在全球范围内是Lipschitzin s∈ R+，这意味着，通过[27]中命题3.2的证明，e的预期跳跃-ατv（k）（Xτ），在任何可预测的时间τ为零，即[（e）-ατv（k）（Xτ））11{τ<∞}] = 0，k≥ 1.在哪里（e）-ατv（k）（Xτ））：=e-ατ[v（k）（Xτ）- v（k）（Xτ）-)]. 这意味着斯奈尔包络线（e-αtv（k）（Xt））t≥0在预期中是连续的。反过来，这允许我们应用[9]中定理2.1中的论点来得出结论（2.11）。这证明了（我）。为了证明（ii），我们首先指出，对于k=1的情况，结果基本成立。为了k∈ {2，··，n}，我们从（2.11）观察到v（k）（x）≤ ■v（k）（x）自（τ？i）1≤我≤kare容许候选者停车时间（见（2.9）-（2.10））。逆不等式可以用归纳法证明。为此，请注意v（1）（x）≥ 例如-ανφ（Xν）11{ν<∞}] 对于任意F停止时间ν∈ 对于k=1，T乘以（2.6）。现在通过应用（2.6），（2.7）和重复期望，我们得到v（2）（x）≥ 告密-ατφ（Xτ）+EXτhe-αδv（1）（Xδ）i{τ<∞}我≥ 告密-ατφ（Xτ）+EXτhe-αδEXδhe-α(ν-δ-τ） φ（Xν）-δ-τ)11{ν<∞}二、{τ<∞}i=ExE-ατφ（Xτ）11{τ<∞}+ E-ανφ（Xν）11{ν<∞}（A.42）对于每个F-停止时间τ和F（τ+δ）-停止时间ν≥ τ + δ.

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2022-5-8 06:19:51

在（τ，ν）上最大化（A.42）∈ T（2）产生v（2）（x）≥ ■v（2）（x）。现在的结果来自数学归纳法。最后，对于（iii），对于任何有限的F-停止时间τ∈ 根据强马尔可夫性，我们得到了E-ατv（k）（Xτ）%我≤ 前任E-ατ·EXτsup0≤s<∞E-αsφ（k）（Xs）%≤ 前任E-ατ%· EXτsup0≤s<∞E-αsφ（k）（Xs）%= 前任sup0≤s<∞E-α（τ+s）φ（k）（Xτ+s）%≤ 前任sup0≤s<∞E-αsφ（k）（Xs）%< ∞,第一次和第二次不平等源自（A.41），而这种平等是由于重复的期望。因此我们得到了S（k）元素在L%（dPx）中的一致有界性。这证明了（iii）并完成了证明。A.4命题2.1If v（k）的证明-1）（x）>v（k）-2）（x）对于所有x∈ R、通过（2.7），我们知道φ（k）（x）>φ（k）-1）（x）对于所有x∈ R.此外，如果[x？k-1.∞) 是（k）问题（2.6）的唯一最优停止区域- 1）运动机会，那么上升时间τ+x？K-这是最佳停车时间。因此，对于所有x∈ R、我们通过不等式v（k）（x）证明（i）≥ g（k）（x，x？k）-1） =前E-ατ+x？K-1φ（k）（Xτ+X？k）-1） 11{τ+x？k-1<∞}>前任E-ατ+x？K-1φ（k）-1）（Xτ+X？k）-1） 11{τ+x？k-1<∞}= g（k）-1）（x，x？k）-1） =v（k）-1）（十）。为了证明（ii），我们首先回顾引理2.2，x？K∈ (-∞, x？]。因此，对于第一项权利要求，充分证明v（k）（x）6=φ（k）（x）在(-∞, 日志K]。事实上，我们使用值函数的超鞅性质来获得thatEx[e]-αδv（k）-1）（Xδ）]≤ v（k）-1）（x）对于所有x∈ 因此，对于所有x≤ 对数K，v（K）（x）>v（K）-1）（十）≥ 例如-αδv（k）-1）（Xδ）＝φ（k）（X）。这是x？K∈ （logk，x？）。类似地，如果最佳运动阈值b？K存在，那么我们有g（K）（x，b？K）≥ g（k）（x，x？k）-1） >g（k）-1）（x，x？k）-1） =v（k）-1）（十）≥ 例如-αδv（k）-1）（x）]。因此，对于x=logk，我们有g（K）（logk，b？K）>φ（K）（logk），这意味着b？k> log k.我们现在通过建立最优性的充分条件来证明（iii）（参见[1，第6节]）。

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2022-5-8 06:19:55

如果最佳运动水平是b级？那么很容易看出（a）对于所有x∈ R、 g（k）（x，b？k）≥ g（k）（x，x）=φ（k）（x），并且g（k）（x，b？k）>0，因为b？k> 日志k（见第（ii）段）；（b）为了所有的x∈ [b？k，∞), 我们有g（k）（x，b？k）=φ（k）（x）；（c）对于所有的t>0，根据X的强马尔可夫性质，我们得到了g（k）（X，b？k）=ExE-ατ+b？kφ（k）（Xτ+b？k）11{τ+b？k<∞}= 前任前任E-ατ+b？kφ（k）（Xτ+b？k）11{τ+b？k<∞}英尺=前任E-ατ+b？kφ（k）（Xτ+b？k）11{τ+b？k≤t}+ 前任{τ+b？k>t}EXtE-ατ+b？kφ（k）（Xτ+b？k）11{τ+b？k<∞}=前任E-α（t）∧τ+b？k） g（k）（Xt）∧τ+b？k、 b？（k）.也就是说，停止的过程（e-α（t）∧τ+b？k） g（k）（Xt）∧τ+b？k、 b？k））t≥0是任意固定x的（Px，F）-鞅∈ R.现在如果我们另外知道（e）-αtg（k）（Xt，b？k））t≥0是一个超鞅，那么我们可以得出v（k）（x）=g（k）（x，b？k）和[x？k，∞) = [b？k，∞) 是唯一的停车区域。A.5命题2.2的证明显然该主张适用于l=2，因为我们已经知道x？≤ 十、V（1）t=e-αtv（1）（Xt）是（Px，F）-上鞅，定理2.1中集合S（1）中的所有随机变量在L%（dPx）中一致有界。如果我≥ 3，假设这个定理对k=2是真的，对一些h是真的∈ {2，··，l- 1}. 也就是说，logk<x？H≤ 十、H-1.≤ · · · ≤ 十、和Ex[V（k-1） [t]≤ V（k）-1） =v（k）-1）（十）- v（k）-2）（十），K∈ {2，···，h}。现在，根据最优停止的一般理论，我们知道停止的过程（e-α（t）∧τ+x？h） v（h）（Xt）∧τ+x？h））t≥0isa鞅（参见[1，第6节]）。因此，对于x？h=min1≤K≤hx？k、我们知道停止的过程（V（l）t∧τ+x？h） t≥0是一个鞅。此外，让我们介绍一下第一次下穿时间τ-b:=inf{t≥ 0:Xt≤ b} ,，B∈ R.如果x？h<x？H-1，然后停止过程（V（h）t∧τ-十、H∧τ+x？H-1） t≥0等于一个停止的超鞅减去一个停止的鞅，因此是一个超鞅。

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2022-5-8 06:19:58

最后，对于所有的x>x？H-1.≥ 十、h、我们有v（h）（x）- v（h）-1）（x）=φ（h）（x）- φ（h）-1）（x）=Ex[e-αδ[v（h-1）（Xδ）- v（h）-2）（Xδ）]。因此，对于所有t<∞ x>x？H-1.我们有Ex[V（h）t∧τ-十、H-1] =Ex[e-α（δ+t）∧τ-十、H-1） [v（h）-1）（Xδ+t）∧τ-十、H-1) - v（h）-2）（Xδ+t）∧τ-十、H-1)]]≤ 例如-αδ[v（h-1）（Xδ）- v（h）-2）（Xδ）]=v（h）（X）- v（h）-1）（x）=V（h），（A.43），其中我们使用了以下假设：-1） t）t≥0是一个超鞅，δ和X之间是独立的。结合所有情况，我们得出结论，过程（V（h）t）t≥0是一个超级艺术家。（V（h）t）t的类（D）性质≥现在，根据Minkowski不等式和元素inS（k），k=h- 1，h一致有界于L%（dPx）（见上文命题2.1）。为了完成证明，我们需要证明logk<x？h+1≤ 十、h、为此，我们注意到≥ 十、h、 v（h+1）（x）=supτ∈特克斯[e]-ατφ（h+1）（Xτ）]≤ supτ∈特克斯[e]-ατφ（h）（Xτ）]+supτ∈特克斯[e]-ατ[φ（h+1）（Xτ）- φ（h）（Xτ）]=v（h）（X）+supτ∈特克斯[e]-α（τ+δ）[v（h）（Xτ+δ）- v（h）-1）（Xτ+δ）]=v（h）（X）+supτ∈TEx[V（h）τ+δ]≤v（h）（x）+Ex[v（h）δ]=v（h）（x）+[φ（h+1）（x）- φ（x）]- [φ（h）（x）- φ（x）]=v（h）（x）- φ（h）（x）+φ（h+1）（x）=φ（h+1）（x），（A.44），其中我们使用了（V（h）t）t的（D）类性质≥第二个等式为0，第四个等式为（2.7）。这表明v（h+1）（x）=φ（h+1）（x）。

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2022-5-8 06:20:03

从x开始？h+1=sup{x≤ x？：φ（h+1）（y）=v（h+1）（y），y>x}，我们可以从（A.44）中得出结论，x？h+1≤ 十、h、 A.6引理的证明3.1对于任何p，q>1满足p-1+q-1=1，任何足够大的z>0，我们有px监督≥0[e]-αtφ（Xt）]>z= Px(T≥ 0，e-αtφ（Xt）>z）=Px(T≥ 0，Xt- αt>log（z+Ke）-αt）≤ 二甲苯T≥ 0，Xt- αt>plog（pz）+qlog（qKe-αt）= 二甲苯T≥ 0，Xt- αt+αqt>plog（pz）+qlog（qK）= 二甲苯sup0≤t<∞（Xt）-αpt）>plog（pz）+qlog（qK）~ 经验-ρhplog（pz）+qlog（qK）-xi=e~ρx（qK）-ρρq（pz）~ρp，其中我们使用了[2]第259页上的命题1.8，~ρ是ψ（~ρ）的最小正根-αp~ρ=0。现在已经足够证明，可以选择p>1，使得ρ>p，从而得出随机变量（supt≥0[e]-αt（eXt）- K） +]）%对%=（1+~ρp）>1有明确的期望。为此，我们证明了ψ（p）- α<0，对于足够小的p>1。实际上，对于所有0<β<p，我们有0>βp（ψ（p）- α) ≥ ψ(β) -βpα，这里我们使用djensen不等式（E[Y]）βp≥ E[Yβp]对于正随机变量Y=epXin，最后一步。因此，最小正解△ρ>p>1。首先假设ψ（1）- α < 0. 对于足够小的p>1，通过ψ在1处的连续性，我们得到了ψ（p）- α < 0.另一方面，如果ψ（1）- α=0，ψ（1）<0。对于足够小的p>1，我们有ψ（p）<0和ψ（p）- α=ψ（p）- ψ（1）<ψ（p）（p）- 1) < 0.A.7命题3.1的证明让我们通过（3.20）为κ=Φ（α）定义一个新的度量PΦ（α）。在这个测度下，X是一个L′evy过程，具有拉普拉斯指数[18，推论3.10]：ψΦ（α）（β）=ψ（β+Φ（α））- α, β > -Φ(α). （A.45）然后，对于任何t>0，测量值的变化都会产生期望值-ατ+b{τ+b<t}i=eΦ（α）xExE-ατ+b+Φ（α）（Xτ+b-x） ·e-Φ（α）Xτ+b{τ+b<t}= EΦ（α）xE-Φ（α）（Xτ+b）-x） {τ+b<t}. （A.46）我们现在让t→ ∞ 在（A.46）中。通过将单调收敛定理应用于（A.46）的左侧，我们得到了-ατ+b{τ+b<∞}].

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