例如，在Zariphopoulou（1992）中，可以证明以下结果。命题6.1：函数U的值是HamiltonJacobi-Belman方程的约束粘性解（r+λSx+t）U- 美国犹他州- （rw+A）Uw- 最大πσπUww+（u- r） πUw-马克斯≥0(-cUw+u（c））- λSx+tu（w），\'aOx+tUw- UA= 0.（26）等式（24）定义了财富年金收入空间中的“障碍”。如果财富和年金在时间t位于障碍物的右侧，那么个人将立即花费大量财富沿对角线移动至障碍物（u p和左侧）。这种变化是对角的，因为随着财富减少，养老金的数量增加，养老金收入也会增加。此后，如果财富低到足以保持在障碍左侧，年金收入将保持不变，或者年金收入将持续响应障碍处的微小财富变化。因此，正如Dixit和Pindyck（1994年，第359页）或Zariphopoulou（1992年）一样，我们发现最优年金购买计划是一种障碍控制。其他障碍控制政策出现在金融和保险中。在财务方面，Zariphopoulou（1999年、2001年）回顾了在存在交易成本的情况下，壁垒政策在最优投资中的作用；另请参阅她的两篇文章中的参考资料。参见Gerber（1979）关于风险理论的经典文本，其中包括关于最优股息支付的选择，并指出它遵循一种障碍控制。6.2恒定的相对风险规避偏好在本小节中，我们专门针对个人偏好表现出CRRA的情况，对之前的调查结果进行分析。对于这种情况，我们可以将问题简化为一个维度，并且我们证明了上一节中给出的障碍是从财富年金空间的原点发出的射线。Letu（c）=c1-γ1 - γ、 u（w）=ku（w），γ>0，γ6=1，k≥ 0

（27）参数k≥ 0表示遗产效用相对于消费效用的权重。Davis and Norman（1990）和Shreve and Soner（1994）表明，对于存在交易成本的消费和投资问题中的CRRA p参考，价值函数U是其HJB方程在经典意义上的解，而不仅仅是在粘性意义上的解。一般来说，如果死亡率“最终”大到足以定义价值函数，那么这也就解决了我们的问题。对于（27）中的效用函数，结果证明值函数U是阶1的齐次函数- γ与财富w和年金收入A有关，即U（bw，bA，t）=b1-b>0时的γU（w，A，t）。因此，如果我们用V（z，t）=U（z，1，t）定义V，那么我们可以从V byU（w，A，t）=A1中恢复U-γV（w/A，t），对于A>0。（28）由此可知，命题6.1中U的HJB方程变成了V的以下方程：min[（r+λSx+t）V- 及物动词- （rz+1）Vz- 最大πσ^πVzz+（u- r） πVz- 麦克斯≥0-^cVz+^c1-γ1 - γ- kλSx+tz1-γ1 - γ、 （z+aOx+t）Vz- (1 - γ） V]=0，（29），其中^c=c/A和^π=π/A。戴维斯和诺曼（1990）以及什里夫和索纳（1994）在存在交易成本的消费和投资问题中使用相同的变换。杜菲、扎里波普卢（1993）和库奥（1998）也利用这种变换研究了具有随机收入的最优消费和投资。出于空间考虑，我们仅参考米列夫斯基和杨（2002b）的工作文件版本，该文件研究了最优消费和投资政策的性质。

请参考这篇文章，以了解关于描述个人行为的后续命题的证明细节。命题6.2：对于t的每个值≥ 0时，存在一个财富与收入比率的v值，它解出（z（t）+aOx+t）Vz（z（t），t）=（1）- γ） V（z（t），t），（30）这样（i）如果z=w/A>z（t），那么个人立即购买年金- A\'aOx+tA+A=z（t）；（31）因此，在这种情况下，V（z，t）=V（z（t），t。（ii）如果z=w/A<z（t），则个人不购买年金；i、 例如，她在行动区。因此，在这种情况下，V解（r+λSx+t）V（32）=Vt+（rz+1）Vz+max^πσ^πVzz+（u- r） πVz+ 麦克斯≥0-^cVz+^c1-γ1 - γ+ kλSx+tz1-γ1 - γ.因此，在每个时间点，势垒w=z（t）A是一条从原点发出的光线，位于（w，A）空间的第一象限。注意，如果z（t）<∞, 那么，对于个人来说，最好是有正年金收入，因为正w轴位于区域{（w，A，t）：w/A<z（t）}。Davis和Norman（1990年）以及Shreve和Soner（1994年）发现，在存在比例交易成本的情况下，最优消费和投资问题的结果与命题6.2中的结果类似。在下一小节中，我们将展示如何将没有遗赠动机的个人的HJB方程线性化。6.2.1零遗赠动机：HJB方程的线性化到目前为止，我们在我们的规范中假设了遗赠和消费的效用。在这一小节中，我们将V的非线性偏微分方程在无遗赠动机（k=0）的方程（32）的不活动区域线性化。为此，我们考虑V的凸对偶，定义为V（y，t）=maxz>0[V（z，t）- zy]。（33）临界值z*解方程0=Vz（z，t）-Y因此，z*= I（y，t），其中I是vz相对于z的倒数。

请注意，可以通过关系V（z，t）=miny>0hV（y，t）+zyi从V中检索函数V。（34）实际上，临界值y*求解方程0=~Vy（y，t）+z=- I（y，t）+z；因此，y*= Vz（z，t）。在没有遗赠动机（k=0）的V w偏微分方程中，让z=I（y，t）并用V写出方程，得到V-（r+λSx+t）~V+λSx+tyVy+myVy=-Y-γ1 - γy1-γ、 （35）其中m=u-rσ. 注意，（35）是一个线性偏微分方程。接下来，考虑方程（24）中的边界条件UA（w，A，t）=aOx+tUw（w，A，t）。对于V，这个条件可以写成方程（27），为了方便起见，我们重复它-(1 - γ） V（z（t），t）+（z（t）+aOx+t）Vz（z（t），t）=0。（36）在边界处平滑粘贴意味着该边界条件相对于z=z（t）处计算的z的导数保持d，由γVz（z（t），t）+（z（t）+aOx+t）Vzz（z（t），t）=0给出。（37）我们还有一个z=0的边界条件，因为在这一点上，个人没有财富来投资风险资产。写^π*关于~V:^π*（y，t）=u-rσyVy。因此，对于z=0（y对应的g值写为ya（t）），我们得到ya（t）=0或Vy（ya（t），t）=0。因为Vz>0是相对于z严格递减的，所以我们有ya（t）>y（t）≥ 0代表所有t≥ 0，其中ya（t）和y（t）由ya（t）=Vz（0，t）和y（t）=Vz（z（t），t定义。（38）因此，因为ya（t）>0，根据V，边界条件变为Vy（ya（t），t）=0，（39）对于Vy（ya（t），t）=0，（40）和（1）- γ） V（y（t），t）+γy（t）~Vy（y（t），t）=aOx+ty（t），（41）对于~Vy（y（t），t）+γy（t）~Vy（y（t），t）=aOx+t。

（42）6.2.1.1恒定的致命力当我们假设致命力是恒定的，即λSx+t时，仍然在零遗产世界中运行≡ λ砂λOx+t≡ λ或全部t≥ 0，那么我们可以通过（35）和（39）-（42）给出的边值问题，得到V值的“隐式”解析解。参见Neuberger（2003）最近的相关工作。在这种情况下，V、~V、ya和yarein与时间无关，因此（35）成为普通微分方程- （r+λS）~V（y）+λSy~V′（y）+y~V′（y）=-Y-γ1 - γy1-γ、 （43）有界条件V′（ya）=0，（44）对于V′（ya）=0，（45）和（1）- γ） V（y）+γyV′（y）=yr+λO，（46）对于V′（y）+γyV′（y）=r+λO（47）（43）的通解是V（y）=DyB+DyB+yr+Cy1-γ、 （48）d d常数由边界条件确定，Cgiven byC=r+λSγ- m1- γγ（49），带b=2m（m）- λS）+q（m）- λS）+4m（r+λS）> 1、（50）和B=2m（m）- λS）-q（m）- λS）+4m（r+λS）< 0.（51）ygive{1+γ（B）的边界条件- 1） }yB+D{1+γ（B）- 1） }yB+yr=yr+λO，（52）和db{1+γ（B）- 1） }yB+DB{1+γ（B）- 1） }yB+yr=yr+λO.（53）解方程（52）和（53）得到y:D=-λ或（r+λO）1- BB- 比1-B1+γ（B）- 1） ，（54）和d=-λ或（r+λO）B- 1B- 比1-B1+γ（B）- 1). （55）接下来，用（44）和（45）中的Dand-Din＠V′（ya）+γya＠V′（ya）=0来得到λ或+λOB（1）- B） B- B耶B-1+λ或+λOB（B）- 1） B- B耶B-1= 1. （56）（56）给出了比率ya/y>1的方程式。要检查（56）是否有大于1的唯一解，请注意，当我们设置ya/y=1时，左手边（i）等于λO/（r+λO）<1，（ii）随着ya/ygo的增加而变为完整，以及（iii）严格地相对于ya/y增加。接下来，用Dand Din V′（ya）=0从（44）得到-λ或（r+λO）B（1）- B） B- B（是的）B-11+γ（B）- 1)-λ或（r+λO）B（B- 1） B- B（是的）B-11+γ（B）- 1） +r+C1.-γY-γa=0。

（57）替换雅/阴方程（57），并求解雅。最后，我们可以分别从方程（54）和（55）得到yfromy=yaya/y，（58）和dD。一旦我们得到了V的解，我们就可以从V（z）=maxy>0hV（y）+zyi=maxy>0hDyB+DyB+yr+Cy1中恢复V-γ+zyi，（59），其中临界值y*solvesDByB-1+DByB-1+r+C1.-γY-γ+z=0。（60）因此，对于给定的z=w/a值，求出（60）的y值，并将该y值代入（59）的U（w，a）=V（z）。也许更重要的是，我们感兴趣的是一个人花一笔钱购买更多年金收入的临界值。我们将在下一节的示例中继续讨论这一点。7个数值例子：随时注释任何东西在本节中，我们提供各种数值例子来说明我们的anythinganytime模型的结果。我们关注风险规避、投资波动性和保险费对最佳年金金额的影响。在第一组结果中，我们假设危险率参数的值如下：λS=λO=0.04。也就是说，死亡率是恒定的，因此预期未来寿命为：1/λ=25年。此外，我们将无风险利率设定为r=0.04，风险资产的漂移为u=0.08，其波动率为σ=0.20。我们选择了这些数字——比前面例子中使用的数字要低——以便更好地捕捉一个真实的（通货膨胀后）情况，在这种情况下，社会保障福利将被视为现有年金的一部分。在表4a中，对于γ的各种值，我们给出了财富与年金收益之比z=w/A的临界值，超过该临界值，个人将一次性花费财富以增加其年金收入。

我们还包括个人将在给定（预先存在的）年金收入a=$25000的年金上花费的金额，即（w）- zA）/（1+（r+λO）z）。表4a关于这里。例如，一名拥有100万美元流动可投资资产和2.5万美元预存年金收入的退休人员将立即（不可逆地）将727620美元至914176美元之间的年金化，这取决于相对风险规避的效率。从同一张表4a中可以看出，随着个人变得更加厌恶风险，在给定的财富水平下，年金的支出金额会增加，这是一个直观的令人愉悦的结果。此外，对于给定的风险厌恶程度，随着财富的减少，用于某项活动的金额也会减少。在表4b中，我们给出了当A=50000美元时的结果。请注意，当预先存在的年金收入从4万美元增加到5万美元，但在相同的财富水平下，立即用于额外年金购买的金额较少。表4b在这里。事实上，在这种情况下，当相对风险规避系数γ=2或更小时，财富为10万美元或更少的人不会将任何额外财富年金化。我们再次强调，这些数字结果假设绝对没有遗赠动机，也没有遗产、配偶或任何其他幸存者的重要性。在遗产中存在一定权重的情况下（这在现实世界中是意料之中的），年金化的金额不会再高。表4c关于这里。表4c考察了问题的一个不同方面，即投资波动率σ对任何时间环境下最佳年金金额的影响。在这种情况下，我们假设相同的λO=λS=0.04危险率，r=0.05无风险率和u=0.12漂移风险集。

我们提供了两种不同风险规避水平下的结果：高（γ=5）和低（γ=2）。在这两种情况下，我们假设退休人员/投资者拥有1000000美元的流动可投资财富和40000美元的现有年金收入。请注意，从表4c中可以看出，随着投资波动率σ从0.12增加到0.20，在两种（我们可以显示，所有）风险规避水平下，未经分析的金额都会下降。事实上，在高波动水平下，退休人员/投资者对γ=2和γ=5的年金分别为472871美元和768568美元。当投资波动率从0降低时，这些数字分别降至12692美元和469789美元。20比0.12。这一结果的经济直觉相当清楚。随着投资高回报替代品的相对风险降低，在风险调整的基础上，对个人财富进行合理化的吸引力就会大大降低。表4d关于这里。表4d调查了在同一框架下主观与客观健康状况对年金金额的影响。在这种情况下，我们假设客观（年度定价）风险率λO=0.04，但主观λs的值从0.03变为0.055。因此，保险公司认为年金受益人的预期寿命为1/0.04=25.0岁，而年金受益人认为他们更健康（预期寿命增至1/0.03=33.3岁）或更不健康（预期寿命降至1/0.055=18.2岁）。人们可以认为这代表了逆向选择或信息不对称对年金金额的影响。如表4c所示，我们假设退休人员/投资者拥有1000000美元的流动财富和每年40000美元的现有年金收入。

无风险利率的市场参数为r=0.05，风险资产的漂移为u=0.10，投资波动率的市场参数为σ=0.16。在这种情况下，与全有或全无结果的结果相比，In-cr-hazardrate对年金金额具有统一的影响。也就是说，在所有其他条件相同的情况下，认为自己健康状况较差的人年金较少。更具体地说，γ=2的退休人员/投资者如果认为自己的预期寿命（仅）为18.2年，将获得514496美元的年金，而当他认为自己的预期寿命超过33.3年时，将获得574840美元的年金。在风险厌恶程度较高的情况下也观察到了同样的结果，尽管名义（和边际）风险厌恶程度较低。注意，在低（γ=2）风险厌恶水平下，预期寿命的15年差异会减少60000美元的年金金额。但是，如果风险厌恶程度更高（γ=5），差异仅为2.8万美元。我们提醒读者，这些结果是在各种假设下获得的，即恒定的风险率（指数未来寿命分布）和零遗赠动机，以及恒定的无风险率和风险溢价。消除这些限制是正在进行的研究的主题。8结论和主要见解本文确定了一个效用最大化的个人的最佳动态政策，该个人有兴趣将终身支付年金（或固定福利收入）纳入其退休投资组合。我们调查了各种各样的制度安排和市场结构，并有不同的限制和约束。

我们的主要结果如下：一个人面临着何时开始固定（名义或实际）终身养老金年金的不可逆转的决定——附带条件是年金必须以“要么全有，要么全无”的形式进行——被赋予了推迟的动机，这在年轻人中是非常有价值的即使没有遗赠动机，也有推迟年金化的动机。这是因为市场的不完善不允许退休人员购买支付年金，从而使资产配置更加灵活，与个人的主观消费偏好和健康状况相匹配。不同的是，一个即时重新协商的生命或有音调的市场不会产生我们的“延迟选择”结果在全有或全无的框架下（这是许多公共和私人养老金系统的一个特点），年金的最佳年龄是延迟选择的时间价值为零的年龄。该值被定义为因无法达到最佳状态而造成的效用损失。这个值取决于一个人的相对风险规避系数，以及他们的主观健康状况利用历史市场参数和现实的死亡率估计，我们得出结论，在这个“全有或全无”的模型中，追求纯生命的最佳年龄在70岁之前并不存在。这一结果与各种基于概率的模型一致，这些模型基于死亡率积分与竞争资产类别回报之间的关系如果支付年金中有完整的资产配置灵活性，这类似于某些国家和司法管辖区提供的可变即时年金，那么年金的最佳年龄确实更早。

当然，与非年金化财富相关的高额管理费和费用可能会对年金化的收益产生强烈的影响当我们朝着一个开放的制度体系迈进，在这个体系中，年金可以在任何时候小部分进行，我们发现，效用最大化的投资者应该获得基本金额的年金收入（即社会保障或DB养老金），然后当他们的财富与收入之比超过一定水平时，将额外金额的年金化。在这种情况下，我们随时给任何东西贴上标签，个人只要有机会就将一小部分财富年金化——也就是说，他们不等待——然后随着他们变得更富有，他们就会购买更多的年金因此，与全有或全无养老金结构相比，在一个可以持续购买年金的开放系统中，我们发现70岁之前的个人应该拥有最低数额的年金收入，如果他们还没有从现有的DB养老金中获得这一收入，则应立即将部分财富年金化，以创造这一终身收入的基础水平。我们重申，即使存在遗赠动机，只要提案6.2中的z（t）小于完整性，个人也应始终持有一定的年金最后，我们的Anythine anytime模型表明，在其他条件相同的情况下，相对于现有年金收入而言，更大的财富、更高的风险规避水平、更大的投资波动性σ和更好的健康状况（即更低的主观死亡率）都将有助于增加自愿年金的金额。

而且，尽管这一70岁后结果的重要性也在各种流行的新闻文章中得到了宣传，比如2003年9月3日《华尔街日报》C1页上的一篇文章，乔纳森·克莱门茨（Jonathan Clements）的《拖延是值得的：你等待购买一个单位的时间越长，你得到的就越多》。结果取决于所涉及的具体参数，所有这些比较静态数据都符合我们的定性直觉，因此应重新执行规范性投资建议。8.1未来研究的方向我们的论文提出了一些问题，这些问题应该在关于这个主题的任何未来研究中加以考虑，我们现在将详细阐述。首先，到目前为止，我们在对受限allor nothing市场和anytime anytime环境建模时做出的最强假设是，无风险利率和市场风险溢价假定为常数。因此，我们从任何术语结构效应，或利率演变的可预测性，以及投资波动率σ和市场风险溢价的随机性中提取出来。然而，最近的资产配置和投资组合选择模型已经远远超出了经典的默顿框架，这是我们分析的基础。从我们的角度来看，下一步是增强我们模型的财务基础，并考虑更复杂的市场动态。事实上，许多从业者主张，当利率较低时，人们不要进行年金化，当利率较高时，年金化更具吸引力。其他评论员则主张采用美元成本平均法进行年金化，以消除利率风险，这与我们的分析结果一致。

显然，在这种情况下，人们可能会质疑高利率和低利率的精确定义，但研究假设利率和可能的收益率曲线的均值回复过程的影响肯定会很有趣。这就需要对名义利率与实际利率的演变以及通货膨胀的行为进行建模。因此，我们设想了一个高级模型，在该模型中，r eal（经通胀调整）和名义终身年金在最优投资组合中共存。这使得我们的基本模型变得复杂，因为在PDE/ODE中至少产生了一个以上的状态变量，这就是为什么我们要留给未来的研究。同样，美国退休收入市场最近的一项创新是引入了保障性生活福利，这基本上是一种投资组合上的交错普惠选项，保证年金受益人在其有生之年获得最低水平的收入。这些产品属于担保最低取款福利（GMWB）的行业标签，具有一些长寿保险功能和一些衍生证券功能。这些产品是美国万亿美元可变年金（VA）行业的一部分，正日益流行，并可能作为一种产生可持续退休收入的方式，与传统的终身年金竞争。进一步的研究将检验包括这些混合产品在内的最佳需求和资产配置。Fur thermore，鉴于本文的规范性重点，我们忽略了正平衡的影响。在这种情况下，主要的问题是个人希望在最佳时间实现年金化的愿望如何影响年金价格。事实上，传统金融资产的收益并不取决于年龄或死亡率，因此也不取决于边缘投资者的人口结构或健康状况。

根据我们分析的自由裁量和自愿终身年金，我们可以设想这样一种情况，即很少有人在50岁时购买终身年金，从而减少了整个群体中的个人数量，而死亡风险可以根据大量数字进行分散。这将对定价曲线和客观风险率产生直接影响，我们认为这是给定的。详细的均衡分析将试图得出市场的客观风险是参与者主观风险率的异质混合的结果。但是，这远远超出了本文的范围。另一方面，我们的模型隐含地假设未来的死亡率是完全可预测的，并且我们可以在整个时间范围内指定一个su rvival函数和年金定价方程，条件是利率的价值。换句话说，我们假设客观风险率是确定性的。然而，越来越多的实证和理论文献认为，死亡风险的定价是均衡的。在极端情况下，这意味着如果推迟年金化，那么即使个人已经老龄化，年金价格也会实际上涨。当然，这将在决策中引入另一个变量，并使对最佳年金年龄的分析进一步复杂化。尽管如此，随着美国婴儿潮一代退休人数的逐渐减少，以及工业界从固定福利（DB）向固定缴款（DC）养老金计划的转变，我们相信这些问题将需要进一步的学术关注，因为它们具有更大的实际重要性。9附录9。1附录A：目标与目标的影响。

主观健康在本附录中，我们表明，如果死亡的主观力量与客观力量略有不同，以至于所有x的“aSx<2”AoX，那么最佳数值化时间从（16）右侧的0给出的T开始增加。特别是，如果个人健康状况不如正常人（λSx>λox表示所有x），则所有x的“aSx<”AOX表示年金化的最佳时间延迟。此外，如果个人比正常人更健康，但仅达到“aSx<2”的程度，则年金化的最佳时间会延迟。假设一些小ε为“aSx+T=”aOx+T+ε，不一定为正。然后，临界值T处的方程式（16）变为0=γ1 - γ\'aOx+T+ε\'aOx+T！-1.-γγ-1.- γ+aOx+T+ε-aOx+T+\'aOx+T+εδ -r+λOx+T. （61）我们可以把这个方程简化为0=\'aOx+T+εδ -r+λOx+T--1.- γγ- 1.ε′aOx+T！--1.- γγ- 1.-1.- γγ- 2.ε′aOx+T！+，（62）如果ε′aOx+t介于-1和1。因此，根据中值定理，存在ε*介于0和ε\'aOx+Tsuch that0之间=\'aOx+T+εδ -r+λOx+T+2γ(ε*),或者相当于0=δ -r+λOx+T+(ε*)2γ′aOx+T（1+ε′aOx+T）。（63）无论ε的符号是什么，上述方程的第二项都是正的（且很小）。因此，T由设置决定δ -r+λOx+T等于一个负数。因此，对于λx相对于x的增量，T的这个值将大于（17）的零。注意，上述结果的一个有效条件是ε\'aOx+t介于-1和1。不费吹灰之力，我们可以证明这一要求相当于“aSx+T<2”aOx+T。对于不太健康的人（λSx>λOX代表所有x），我们有“aSx<2”aOx代表所有x，所以“aSx+T<2”aOx+自动选择。

此外，这种不平等性也有一定的回旋余地，因此，即使是更健康的人也可能有“aSx+T<2”aOx+T。即使这种不平等性不成立，我们推测，在（17）右手边的0给出的时间之后，我们仍然有一个延迟，正如我们在第5.9.2节附录B中的示例e中所看到的：减少支付的概率在最佳年金化时间的消费（占初始财富的百分比）比一个年金化立即相等时的消费低p%的概率*T\'aOx+T<（1- 0.01p）w\'aOx | w=w！=Pwe2δ-r（u）-r） 2σ2γT-RTk（s）ds+u-rσγBT<（1）- 0.01p）w\'aOx+T\'aOx！=Peu-rσγBT<（1）- 0.01p）\'aOx+T\'aOxe-2δ-R-(u-r） 2σ2γ！T+RTk（s）ds= PBT<ln(1-0.01p）\'aOx+T\'aOx-2δ - R-(u-r） 2σ2γT+RTk（s）dsu-rσγ= Φ自然对数(1-0.01p）\'aOx+T\'aOx-2δ - R-(u-r） 2σ2γT+RTk（s）dsu-rσγ√T. （64）这里，Φ表示标准正态分布的累积分布函数。9.3附录C：可变和固定年金收益在本文正文中，我们假设年金化后唯一可用的终身年金提供固定支付。在本附录中，我们考察了一个市场，在该市场中，年金“包装器”可用于所有资产类别，并具有完全的资产配置流动性。我们研究了该市场的最优消费、投资和年金化政策。我们引入SYMBOLβ来代表年金化时投资于可变年金的财富比例，因此1- β是固定年金的投资比例。我们假设可变年金和固定年金之间的混合，即β与1-β、 在年金受益人的余生中保持不变，这是一种所谓的资金组合计划，并具有Charupat和Milevsky（2002）提出的某些最优特征。同样，我们考虑CRRA实用程序，并为power utility案例提供公式。

在电力公司u（c）=1的情况下，通过让λ在消费、投资和年金化政策中接近1，可以很容易地处理对数情况-γc1-γ, γ >0, γ 6= 1.为了进一步了解该产品的显著特征，我们假设养老金提供商对固定年金的保险负担为非零，因此固定年金的有效“回报”为r′，其中r′≤ r、 类似地，可变年金上存在非零保险负载，因此可变年金上的漂移为u′和u′≤ u和u′- r′≤ u - r、 对于变量年金和固定年金的混合，定义价值函数V byV（w，t；t）=sup{cs，πs，β}Ew，t“ZTte-r（s）-t） s-tpSx+tc1-γs1- γds（65）+Z∞Te-r（s）-t） s-tpSx+t1- γWT′aO，r′x+Teβu′-r′-βσ（s）-T）+βσ（Bs）-（英国电信）！1.-γds，其中，aO上的秒数r′x+T，即r′，是用于计算年金实际现值的贴现率。我们可以通过注意（比约克，1998）Ew，t“W1来处理β的选择-γTeβ（1）-γ)u′-r′-βσ（s）-T）+β（1）-γ） σ（Bs）-BT）#（66）=东，西1-γ-β（1）-γ)u′-r′-βγσ（s）-T）。因此，如果我们最大化β，期望值就会最大化u′- r′-βγσ. 结果表明，β的最优值等于β*=u′- r′σ。（67）请注意，β的最佳选择与年金化的最佳时间T无关。当然，如果β*如果大于1，则持有的股份将被年金的卖方以100%的股份截断。接下来，V求解HJB方程r+λSx+tV=Vt+maxπσpVww+（u- r） πVw+ rwVw+maxc≥0h-cVw+1-γc1-γi，V（w，T；T）=1-γw\'aO，r\'x+T1.-γ′aS，r-(1-γ)(u′-r′）的σyx+T.（68）注意，这与之前的HJB方程相同，只是边界条件反映了可变年金和固定年金的混合。精算现值的第二个上标表示年金支付的贴现率。

除“aSx+T=”as，rx+T替换为“as，r”之外，V的形式与等式（12）中给出的形式相同-(1-γ)(u′-r′）sσyx+T，（69）和‘aOx+T=’aO，rx+T被‘aO，r′x+T’所取代。此外，请注意，对于固定支付情况，最优投资政策与本文正文中给出的类似。如果固定和可变年金没有负担，也就是说，如果r′=r和u′=u，那么在年金化之前投资于风险资产的财富比例等于年金化之后的比例；然而，在这种情况下，个人的最佳策略是立即年金化。后者源于Yaari（1965）的工作。对于CRR投资者（没有bequ est动机）而言，在年金上没有保险负担，风险资产和无风险资产之间的最佳组合对于投资组合是否年金化不变量。V对T的导数与δVδT成正比∝γ1 - γ“作为，r-(1-γ)(u′-r′）sσyx+T′aO，r′x+T1.-γγ-1.- γ+aS，r-(1-γ)(u′-r′）sσyx+T′aO，r′x+T（70）+aS，r-(1-γ)(u′-r′）sσyx+Tδ - δ′- λOx+T,其中δ′=r′+（u′）-r′）2σγ。我们可以利用这个方程来确定在任何给定情况下T的最佳值。

在表5中，我们比较了当个人只能购买固定年金（与表1相比）和个人可以购买可变和固定年金的货币组合时，最佳年金化年龄和延迟的估算值。表5a在这里。我们假设金融市场和死亡率如第5节所述，除了可变年金外，保险公司的回报率有100个基点的死亡率和费用风险，因此修正后的漂移为u′=0.11，固定年金的d，收益率的收益率有50个基点的利差，因此，修正后的回报率为r′=0.055。表5b就在这里。假设个人的CRRA为γ=2，由此得出个人将在年金化前投资75.0%的风险股票，在年金化后投资68.7%的可变年金。9.4附录D：提高年金收益意味着个人可以购买提高年金。不断升级的年金指的是工资以（固定）g的速度增长的年金。这些年金被称为COLA（生活成本调整）年金，可从销售固定年金的供应商处获得。由于在美国几乎不可能获得与通胀挂钩的真实年金，这些不断上涨的年金作为对冲（预期）通胀的手段很受欢迎。不断上涨的年金的精算现值可以写为-gx；也就是说，贴现率r被付款的增长率g降低。在前两节中，我们考虑CRRA效用，并提供了电力效用的公式。因此，我们可以通过v（w，t；t）=sup{cs，πs，g}定义相应的值函数埃兹特-r（s）-t） s-tpSx+t1- γc1-γ-sds（71）+Z∞Te-r（s）-t） s-tpSx+t1- γWT′aO，r-gx+Teg（s）-T）！1.-γdsWt=w这个表达式对于g if1是最大化的- γR∞E-（r）-(1-γ） g）sR∞E-（r）-g） sspOx+Tds1.-γ（72）最大化。

这个表达式对g的导数与toR成正比∞se公司-（r）-(1-γ） g）sspSx+TdsR∞E-（r）-(1-γ） g）sspSx+Tds-R∞se公司-（r）-g） sspOx+TdsR∞E-（r）-g） sspOx+Tds。（73）注意，这是对两种概率分布的“s”期望的不同。另外，请注意，如果λSx=λOx- 对于所有x和一些常数c，则g的最佳值为*=例如，如果个人更健康，主观风险率比客观（定价）风险率低0.01，那么年金支付的最佳收益率（一旦个人将其财富年金化）为0。01γ. 请注意，一般来说，健康的人会希望购买g值为正的递增年金，而患病的人会希望购买g值为负的递增年金。这是有道理的，因为健康的人预期寿命比正常人更长，所以他们将来可以享受更大的年金支付。另一方面，不太健康的人活不长，所以他们现在要求更高的报酬。表6提供了一个数字示例，表明一个人认为他或她比正常人更健康，f=-0.5; 也就是说，一个人的死亡率是普通人的一半。假设CRRA为γ=1.5。我们将这些数字与个人只能购买固定年金的数字进行比较。结果表明，所有年龄段和性别的最优升级率g=2%（到两个小数位数）。表6关于这里。请注意，如果有2%的递增年金可用，个人愿意提前年金；然而，等待还是有好处的。表1a：低风险厌恶γ=1，女性（男性）γ=2，女性（男性）年龄最优值Prob下的最佳年金年龄和延迟值。较低的最优值问题。

（80.3）44.0）10.3（4.3）10.3（4.3）3（4.3）0.3）0.3）0.3（0.353）78.4（73.0）78.4（73.0）78.3）78.4（73.0）7（73.0）10.3（4.353）78.3）78.4（7）7（73.0）7）15.3（7）15（8（8）15（8）15.9）15（8（8）15（8（8）15（8）9）9）10（8（8（8（8）9）9）10（8（8.9）9）9）9）10（8（8（8（8（8（8）9）9）9）10.9）9）10（8（8（8（8（9）9）10）10）10.9）10.9）10（8（8（8（8（8）9（0.470）78.4（现在）1.2（0.0）0.428（不适用）80 84.5（80.3）3.7（0.02）0.473（0.500）现在（现在）阴性。（负数）不适用（不适用）85现在（现在）不适用。（负数）不适用现在不适用。（负数）不适用（N/a）注：全有或全无市场：相对风险规避系数γ=1和γ=2的男性和女性推迟年金化的期权价值。我们假设非套利基金投资于漂移u=0.12且波动率σ=0.20的风险资产。风险自由率为r=0.06。假设死亡率为Gompertz Makeham fit，符合IAM2000表的S标度G投影。例如，一名相对风险规避系数γ=2的70岁女性，如果她选择立即年金，将有效地支持相当于其财富损失5.2%的效用。她领取年金的最佳时间是78.4岁。该表还显示了延期失败的概率，即在最佳年龄购买的年金提供的收入低于当前购买的年金的概率。表1b：较高风险规避下的最佳年金年龄和延迟价值相关风险规避系数γ=5平均女性当前年龄最佳延迟年龄60 63.4 0.41%70.4 2.94%65现在为负。70.4 1.04%70现在为负。70.4 0.01%75现在为负。现在是负数。注：全有或全无市场。无风险利率为r=0.06，漂移为u=0.12，波动率为σ=0.20。我们使用Gompertz-Makeham死亡率，男性m=88.15，b=10.5，女性m=92.63，b=8.78。

请注意，即使在风险厌恶程度较高的情况下，男性（尤其是女性）也不会在60岁之前领取年金。表2：假设最佳行为，延迟时高消耗的概率是多少？γ=1，女性（男性）γ=2，女性（男性）年龄问题。至少消耗Prob。比初始年金多消费至少20%比初始年金多消费60 0.644（0.596）0.631（0.551）65 0.602（0.549）0.565（0.459）70 0.552（0.494）0.474（0.296）75 0.493（0.425）0.316（0.133）80 0.414（0.137）N/a（N/a）85 N/a（N/a）N/a（N/a）注：全有或全无市场。假设个人自行年金，并将购买终身年金的时间推迟到最佳年龄，与立即年金相比，此表显示了在年金化时消费至少多20%的概率。因此，举例来说，65岁的女性（男性）如果相关风险规避系数=1，则有64.4%（59.6%）的机会创造20%的更大年金流量。表3：主观健康状况如何影响最佳行为？f最佳年龄价值消费率消费率消费率或多或少健康年金年金化后年金化前延迟-1.0 78.28 13.79%7.55%13.38%-0.8 74.58 10.54 7.95 11.79-0.6 73.71 9.68 8.18 11.47-0.4 73.29 9.23 8.37 11.33-0.2 73.09 8.99 8.54 11.260.0 73.03 8.87 8 8.70 11.240.2 73.08 8 8 8.84 8.85 11.260.5 73.31.9.9.06 11.10 3310.11.9.11.9 599.1012.032.0 76.96 10.89 9.98 12.762.5 79.71 12.01 10.26 14.123.0 85.38 13.38 10.55 18.01注：全有或全无市场：60岁男性推迟年金化的估算值，CRRAγ=2。我们假设这些基金投资于漂移u=0.12且波动率σ=0.20的风险资产。无风险率为r=0.06。假设死亡率为GompertzMakeham fit，符合IAM2000表格的预测量表G。

因此，例如，如果个人的客观风险率比保险公司用于定价年金的死亡率表高20%（即健康状况较差），最佳年金化点是73.1岁，期权价值是60岁时其财富的8.84%。当60岁的男性等待年金时，他的消费率为资产的8.85%，一旦他购买固定年金，他的消费率——以及生活水平——将增加到资产的11.26%。表4a：财富和风险规避如何影响年金化？在不同财富和风险规避水平的年金上花费的金额（A=25000美元）γ=1.5γ=2.0γ=2.5γ=3.0γ=5.0财富（z=3.273）（z=2.354）（z=1.837）（z=1.506）（z=0.874）1000000美元727620美元792020美元831852美元858901美元914176美元500000美元3313384美元391251美元395909美元412653美元446871美元250000美元133266美元160866美元189529美元143475美元1549美元143475美元55655美元73027美元50000美元0美元0美元3559美元11030美元26296美元注：任何时间的市场：表4说明了不同级别的相对风险规避γ，流动财富与预先存在的年金收入之比的临界值z=w/A，高于该值，个人将一次性支出以增加其年金收入。我们还包括个人将用于年金的金额，即（w-zA）/（1+（r+λO）z）。我们假设以下参数值：死亡率λS=λO=0.04，这意味着预期寿命为25年，无风险回报率为r=0.04，风险资产的漂移为u=0.08，风险集合的波动率为σ=0.20。

请注意，与受限的全有或全无市场相比，个人立即将基本收入水平年金化，然后随着财富超过更高水平，逐渐将更多收入年金化。表4b：财富和风险规避如何影响年金化？不同财富和风险规避水平的年金花费金额（A=50000美元）γ=1.5γ=2.0γ=2.5γ=3.0γ=5.0财富（z=3.273）（z=2.354）（z=1.837）（z=1.506）（z=0.874）1000000美元662802美元742477美元791789美元825271美元893741美元500000美元266555美元321715美元355854美元379034美元426436美元250000美元111334美元137886美元155915美元1920美元52592美元50000美元5862美元注：任何时间都可以进入市场。在表4a中，预先存在的年金收入A等于25000美元，而在表4b中，A翻了一番，达到50000美元。直觉上，现有年金收入水平越高，必须将流动性越低的财富进行年金化，以提供最佳年金消费流。表4c：投资波动如何影响年金化？财富为1000000美元，初始年金收入为40000美元投资波动性低风险规避（γ=2）高风险规避（γ=5）σ=0.12$12692$496789σ=0.14$164292$598755σ=0.16$289253$672235σ=0.18$390628$726853σ=0.20$472871$768568注：r=0.05和u=0.12，λO=λS=0.04。投资波动性（风险）越高，立即年金化的金额就越大。表4d：主观健康状况如何影响年金化？财富1000000美元，初始年金收入40000美元主观风险率低风险规避（γ=2）高风险规避（γ=5）λS=0.030美元574840美元817383λS=0.035美元563603美元812222λS=0.040美元551941美元806842λS=0.045美元539862美元801242λS=0.050美元527375美元795423λS=0.055美元514496美元789388注：r=0.05，u=0.10，λ=0.16，σ=0.04。

较高（不太健康）的风险率导致年金化水平降低。表5a：在低风险厌恶下，可变和固定即时年金的全有或全无决策固定年金，可变（68.7%）和女性（男性）固定年金的混合（31.3%），女性（男性）年龄最佳价值年龄最佳价值年龄推迟年金化延迟60 80.2（75.2）21.0（13.4）%70.8（64.1）3.4（0.6）%65 80.2（75.2）14.8（7.5）70.8（现在）1.3（负）7080.2（75.2）8.5（2.5）70.8（现在）0.04（负）75 0.2（75.2）2.9（0.003）现在（现在）负。（负数）注：在全或无年金化环境下——固定和可变年金均可获得，且具有完整的资产配置灵活性——本表说明了CRRA为γ=2的男性和女性延迟年金化的估算值。我们假设非套利基金投资于漂移u=0.12且波动率σ=0.20的风险资产。风险自由率为r=0.06。我们分别以100个基点和50个基点的顺序介绍可变年金和固定年金的保险负担。假设死亡率开始符合IAM2000表中的预测量表5b：在不同保险水平下的所有或不所有决策缓慢风险规避（γ=2）高风险规避（γ=5）保险费扣除女性男性男性男性男性50 b.p.67.2 60.0 66.9 60.0100 b.p.70.8 64.0 68.4 61.2125 b.p.72.1 65.6 69.1.9150 b.p.73.2 66.9 69.6 62 00 b.p。

74.9 69.0 70.6 63.8注：假设参数值与表5a相同。表6：可变和固定即时递增年金（固定年金）2%递增年金女性（男性）女性（男性）年龄最优年金价值年龄推迟年金价值年龄60 80.9（76.1）23.68（15.59）%78.5（73.2）17.41（9.61）%65 80.9（76.1）17.05（9.24）78.5（73.2）11.50（4.88）70 80.9（76.1）10.22（3.57）78.5（73.2）9675 80.9（76.1）3.96（0.15）78.5（现在）1.29（0.00）注：在养老金不断增加的全或无年金化环境中，此表显示了C R aγ=1.5的男性和女性的延迟值。我们假设流动资金投资于漂移u=0.12且波动率σ=0.20的风险资产。无风险利率为r=0.06。死亡率为Gompertz Makeh Fit，符合IAM2000表格中的投影量表G，而个体的主观死亡率信念等于客观死亡率的一半。请注意，增加年金的可用性——更好地匹配期望的消费比例——会加速最佳年金年龄，并降低等待的期权价值。图#1注：该图显示了在Gompertz-Makeham h azard分析率下，未来寿命随机变量的概率密度函数，该概率密度函数适用于2000年个人年金死亡率表，投影量表为G。对于男性，“最佳拟合”参数为（m，b）=（88.18,10.5），而对于女性为（92.63,8.78）。图#2注：该图显示了60岁男性的预期消费量，而o认为他比平均人口率健康20%；如果他在60岁时将财富年金化，消费率为8.34%。我们还显示了60至75岁之间消费分布的第25和第75个百分位数。参考文献[1]阿克洛夫，G。

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