选择理论中的多元化偏好

2022-5-8 12:20:49

ChoiceEnrico G.De Giorgi理论中的多元化偏好*Ola Mahmoud+2016年10月7日摘要多样化代表了选择多样性而非一致性的理念。在选择理论中，多样化的可取性被公理化为对等价排序的选择的凸组合的偏好。这与假设冯·诺依曼·摩根斯特恩预期效用模型时的风险规避理论相对应，但在其他模型中，这种等价性无法成立。本文在不同的选择理论模型中分析了多元化概念的分类及其与风险规避和凸偏好相关概念的关系。讨论了这些概念对投资组合选择的影响。我们涵盖了独立于模型的多样化偏好、风险下选择模型中的偏好，包括预期效用理论和更一般的等级依赖性预期效用理论，以及不确定性公理下的选择模型Dvia Choquet预期效用理论。结论中给出了行为选择模型中对多样化偏好的解释。关键词：多元化、风险规避、凸面偏好、投资组合选择。JEL分类：D81，G11。*瑞士圣加仑大学经济与政治学院经济系，Bodanstrasse 6，9000圣加仑，电话+41+71 2242430，传真+41+712242894，电邮：enrico。degiorgi@unisg.ch.+瑞士圣加仑大学经济与政治学院数学与统计学院，博丹斯特拉斯6号，9000圣加仑，以及美国加利福尼亚大学伯克利分校埃文斯霍尔风险管理研究中心，邮编：94720-3880，电子邮件：ola。mahmoud@unisg.ch1引言从我们的理论中可以得出另一条可能被证明有用的规则。

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可人4

2022-5-8 12:20:52

这是一条规则，建议将暴露在某些危险中的货物分成若干部分，而不是将它们全部置于风险之中Daniel Bernoulli，1738“多样性”一词表达了将多样性引入一组对象的想法。从概念上讲，伯努利（1738）可能是第一个在经济环境中认识到多元化好处的人。在1738年发表的关于圣彼得堡悖论的基本面文章中，他举例说，厌恶风险的投资者会希望多元化。在金融领域，多元化或许是最重要的投资原则。在这里，它大致被理解为通过投资各种各样的资产来缓解总体投资组合风险。Markowitz（1952）关于投资组合理论的开创性工作为我们今天对投资多元化金融的理解奠定了数学基础。马科维茨的投资组合理论为多元化和风险这两个不可分割的概念之间的联系提供了重要的形式化描述；它假设投资者应该最大化投资组合收益，同时最小化投资组合风险，由收益方差给出。因此，金融多元化相当于整体风险的降低（但通常不是消除）。有趣的是，假设市场由马科维茨（1952年）的投资者组成，只有不可分散的风险才以均衡价格定价，正如夏普（1964年）、林特纳（1965年）和莫辛（1966年）开发的著名资本资产定价模型（CAPM）所示。简而言之，在资本资产定价模型下，投资者只会因不可分散或系统性风险而获得回报。多元化在经济理论中扮演着同样重要的角色。个体经济主体在给定选择理论模型中做出决策的方式构成了如何看待多元化的基础。

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2022-5-8 12:20:56

选择多样化的经济主体被理解为更喜欢多样化而不是相似性。从公理上讲，一组选择X上的偏好关系%表现出对多样化的偏好，如果对任何X，xn∈ X和α，αn∈ [0,1]其中pni=1αi=1，x~ · · · ~ xn=>nXi=1αixi%xjj对于所有j=1，n、因此，个人会希望在一系列选择中实现多样化，所有这些选择的排名都是相等的。这种多样性的概念相当于先验的凸性，即αx+（1- α） y%y，对于所有α∈ [0,1]，如果x%y。上述选择理论意义上的多元化最常见的例子是在资产市场领域内，投资者面临风险头寸的选择，如股票、衍生品、投资组合等。此类风险头寸通常被建模为某个状态空间上的随机变量Ohm 在给定的客观参考概率下。然后，通过状态凸组合αx（ω）+（1）来表示两个同等排名的风险资产x和y之间的差异- α） P-几乎所有ω的y（ω）∈ Ohm 和α∈ [0, 1]. 在这种情况下，偏好多元化意味着投资者会将分数α分配给资产x和分数1- α向资产y投资，而不是全部投资其中任何一项资产。在传统的风险决策理论中，偏好形成于彩票，即概率测度p:Z→ [0,1]在一系列奖项中，多元化还有另一种解释。

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nandehutu2022

2022-5-8 12:21:00

这里是一个凸组合αp+（1- α）通过分别取每个奖品z的凸组合，即，（αp+（1），定义了同样理想彩票p和q的q- α） q）（z）=αp（z）+（1- α） q（z）。这种彩票的凸组合可以解释为一些额外的随机化，因为它对应于p或q的抽样，取决于概率为α或1的二元逻辑的结果- α.多元化和风险规避的概念紧密交织在一起。在公理化选择理论中，风险规避大致是指对某个可能较低回报的结果的偏好，而不是对预期值相等或更高的不确定结果的偏好。更准确地说，如果一个随机变量的预期值比随机变量本身更可靠，那么决策者就是风险规避者。非正式地说，有人可能会说，通过多元化引入多样化的目的是减少“风险”或“不确定性”，因此有人可能会认为多元化决策者具有规避风险的倾向。在预期效用理论（EUT）中确实如此，风险规避和对多元化的偏好正是通过效用函数的凹性来体现的。然而，这种等价性在其他选择的模型中并不成立。尽管多样化的愿望是金融和经济领域广泛投资组合选择模型的基石，但模型之间的精确形式定义有所不同。类似地，多元化概念在投资管理界的解释和实施方式也大相径庭。

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2022-5-8 12:21:03

因此，多元化战略在理论和实践上都涉及广泛的领域，从马科维茨的方差最小化和冯·诺依曼·摩根斯坦的预期效用最大化的经典方法，到更为天真的等权或增加资产数量的方法。从本质上讲，多元化可以被视为一种不同形式的选择启发。本文从选择理论的角度首次全面概述了多元化概念的各种现有形式化。在一些最常见的决策理论框架内，对多元化概念的不同公理化及其与风险规避相关概念的关系进行了审查。出于伯努利实现其财务和经济效益的动机，我们讨论了多元化的每一个主要定义对港口的影响。我们在第二部分首先建立了理论选择的理论框架。第3节探讨了多样化概念的各种选择理论公理化，以及它们与偏好凸性和效用凹性的关系。鉴于风险规避与多元化之间的内在联系，第4节回顾了风险规避的常见定义，包括弱风险规避、强风险规避和单调风险规避，以及它们之间的相互关系。第5节研究了在没有特定模型假设的情况下，多元化偏好、凸偏好和风险规避之间的关系。第6节回顾了预期效用理论框架内的分类结果，其中所有多元化偏好的定义以及所有风险规避的概念都与冯·诺依曼-摩根斯坦效用表示的凹性一致。

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2022-5-8 12:21:07

第7节考虑了奎金（1982）的更一般的秩相关预期效用模型，其中弱风险规避和强风险规避之间的等价性不会从预期效用模型中延续。类似地，风险厌恶和多元化偏好之间的对应关系不再成立。第8节将讨论从风险下的选择模型扩展到不确定性下的选择模型。这包括决策模型，其中世界状态集上不存在特定的客观概率分布，其公理化由Choquet期望效用理论给出。在非加性主观概率测度下的预期效用模型中，讨论了多元化和不确定性规避的概念，而不是风险规避。在不确定性条件下，模糊厌恶现象大致反映了对已知风险和未知风险的偏好。在第9节中，我们回顾了歧义的最显著定义，将其与多元化的概念联系起来，并讨论了对投资组合选择的影响。第10节总结了用行为选择模型对多元化偏好的解释。2理论设置我们采用数学金融和投资组合中使用的经典风险评估设置。我们考虑从向量空间X=L中进行选择的决策者∞(Ohm, F、 P）概率空间上本质有界实值随机变量的(Ohm, F、 P）在哪里Ohm 是自然状态的集合，F是事件的σ-代数，P是事件的σ-加性概率测度(Ohm, F）。注意，决策者还能够形成由状态凸组合αx+（1）表示的复合选择- α） y代表x，y∈ X和α∈ [0,1]，由αx（ω）+（1）定义-α） P-几乎所有ω的y（ω）∈ Ohm. 空间X被赋予X阶≥ Y<=> x（ω）≥ P-几乎所有ω的y（ω）∈ Ohm.

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可人4

2022-5-8 12:21:10

我们假设输出空间是实数的集合R，它具有内在的排序和混合运算，这使得对结果的自然货币解释成为可能。X上的弱偏好关系是一个二元关系，满足：（i）完备性：对于所有X，y∈ X，X%y∨ 及物性：对于所有的x，y，z∈ X，X%y∧ y%z=> x%z.x上的每个弱偏好关系%都会导致一个差异关系~ 关于X定义的byx~ Y<=> （x%y）∧（y%x）。对应的严格偏好关系在X上由X定义 Y<==> x%y∧ （x）~ y）。preferencerelation%的数值或效用表示是实值函数u:X→ R的x%y<==> u（x）≥ u（y）。为了x∈ X，Fx表示X的累积分布函数，由Fx（c）=P[X]定义≤ c] 对于c∈ R、 e（x）是x的期望值，即e（x）=Rc-dFx（c）。Forc∈ R、对于P-几乎所有ω，δc表示δc（ω）=c的退化随机变量∈ Ohm.x的确定性等价物∈ X是值c（X）∈ R这样x~ δc（x），即c（x）是决策者认为与结果不确定的选择x同样可取的特定值。x的风险溢价π（x）∈ X是选择X的预期收益∈ 为了使不确定和特定的选择同样具有吸引力，X必须超过保证结果的值。形式上，它被定义为π（x）=e（x）- c（x）。单调性。模仿大多数经济理论框架，似乎有理由假设决策者倾向于多而不是少。特别是，考虑到空间X的货币解释，偏好关系%的自然假设是单调的。（iii）单调性：对于所有x，y∈ X，X≥ y==> 偏好的单调性相当于有一个严格递增的效用函数u。的确，对于x≥ y、我们有x%y和u（x）≥ u（y）。

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2022-5-8 12:21:14

效用函数的单调性仅仅意味着代理人相信“越多越好”；结果越大，效用越大，对于高风险的赌注，经纪人更喜欢一阶随机占优的赌注，而不是另一种赌注。连续性出于技术原因，偏好的连续性通常被认为是有效的，因为它可以作为一个充分的条件，表明在有限集合上的偏好可以具有效用表示。它直观地表明，如果x y、那么，与x或y的微小偏差不会改变顺序。（iv）连续性：每x y、有Bx社区 X分别围绕X andy，这样每X∈ BX和y∈ 到，x y、在本文中，除非另有说明，否则我们假设偏好是单调的和连续的。Debreu定理（Debreu 1964）指出，存在单调和连续偏好关系的连续单调效用表示u%。3凸性、多样性和风险的基本概念凸性偏好、多样性偏好和风险的概念在概念上和数学上是内在联系的。我们回顾了正式定义及其关系。3.1凸性偏好我们从数学上更熟悉的凸性概念开始。偏好凸性的概念本质上与伯努利（Bernoulli，1738）提出的多样化的经典理想有关。为了能够表达偏好关系的凸性，一个假设是X上的选择混合操作，允许代理组合（即多样化）多个选择。通过将两个选择结合起来，决策者可以确保在凸性条件下，他永远不会比这两个选择中最不受欢迎的一个“更糟糕”。定义1（凸面偏好）。

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能者818

2022-5-8 12:21:18

如果对于所有X，y，X上的偏好关系%是凸的∈ X和所有α∈ [0,1]，x%y==> αx+（1）- α）在数学和经济理论中，凸性是一个非常有用的性质，尤其是在最优化中。它在选择理论中所起的作用导致了一些方便的结果，因为它对相应的效用表示进行了说明。我们回顾了代表凸偏好的效用函数的一些众所周知的性质。提议1。X上的偏好关系%是凸的当且仅当其效用表示u:X时→ R是准凹的。这意味着偏好的凸性和效用的准凹性是等价的。这个结果的一个直接推论是，效用的凹性意味着偏好的凸性。但是，凸面首选项可能具有非凹面的数字表示。更强烈的是，一些凸偏好可以以不允许任何凹效用表示的方式构造。3.2多元化偏好选择理论中的一个重要属性是多元化。人们认为，选择多样化的经济人更喜欢多样化而不是相似性。从公理上讲，多元化的偏好形式化如下：；见Dekel（1989）。为了了解这一点，假设u是一个凹效用函数，表示凸偏好关系。然后是函数f:R→ R严格递增，复合函数fo u是%的另一个实用代表。然而，对于给定的凹效用函数u，我们可以相对容易地构造一个严格递增函数f，使得fo u不是凹的。定义2（偏好多元化）。如果对任何x，…，偏好关系%显示出对多元化的偏好，xn∈ X和α，αn∈ [0,1]其中pni=1αi=1，x~ · · · ~ xn==>nXi=1αixi%xjj对于所有j=1。

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2022-5-8 12:21:21

n.这一定义表明，个人希望在一系列选择中实现多样化，所有这些选择的排名都是相等的。这种多元化最常见的例子是在资产市场领域，投资者面临着在Stringsky资产中的选择。我们记得，在我们的设置中，这种多元化的概念相当于偏好的凸性。提议2。X上单调且连续的偏好关系%是凸的当且仅当它表现出对多样化的偏好。文献中还存在各种其他多元化定义。Chateauneuf and Tallon（2002）引入了更强烈的多元化概念。大致上，sure Diversification规定，如果决策者在一系列选择之间不存在差异，并且可以通过这些选择的凸组合获得确定性，那么他应该更喜欢特定的组合，而不是组合中使用的任何不确定的选择。定义3（倾向于确定多元化）。如果对任何x，…，偏好关系%表现出对确定的多样性的偏好，xn∈ X和α，αn≥ 0满足Pni=1αi=1和c，β∈ R、 “x~ · · · ~ xn∧nXi=1αixi=βδc#==> βδc%xi，i=1，n、 Chateauneuf和Lakhnati（2007）引入了多元化偏好概念的弱化，即强烈多元化偏好。强烈多样性的偏好意味着决策者希望在两个分布相同的选择之间进行多样性。定义4（偏好强烈的多元化）。一种偏好关系%参展商如果所有x、y∈ X，Fx=fy，α∈ [0,1]，αx+（1- α） y%y。偏好多元化意味着偏好确定的多元化，但反之亦然。

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2022-5-8 12:21:24

人们还可以证明，对强多样性的偏好等同于要求偏好尊重二阶随机优势（参见Chateauneufand Lakhnati（2007）的证据概述）。此外，Chateauneuf和Lakhnati（2007）也提供了一个反例，表明对强烈多样性的偏好并不意味着凸偏好。Chateauneuf和Tallon（2002）提出了另一个多元化的概念，即科摩诺酮多元化。两个随机变量x，y∈ 如果X的状态空间从最好到最坏的顺序相同，则X是共单调的；对于每一个ω，ω∈ S、（x（ω）- x（ω））（y（ω）- y（ω））≥ 0.共脊椎动物多样性定义如下：定义5（共脊椎动物多样性）。如果决策者对所有的共单调x和y都表现出对共单调多样化的偏好~ y、 αx+（1）- α）所有α的y%xF∈ (0, 1).同Schmeidler（1989）将独立性限制在共单调随机变量上一样，共单调变量的多样性本质上是偏好的凸性（Schmeidler模型的更详细讨论见第8节）。在这种限制性更强的多元化类型下，禁止任何Wakker（1990）意义上的对冲。3.3分散性和拟凸风险在数学金融中，分散性通常被理解为一种降低总体风险的技术，在这里，人们可以遵循奈特（Knight 1921）的观点，将风险通知视为可测量的不确定性。在数学金融的经典风险评估中，固定时间范围内的不确定投资组合结果表示为概率空间上的随机变量。风险度量将每个随机变量映射为一个实数，总结了投资组合中风险资产的总体状况。

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2022-5-8 12:21:28

马科维茨（Markowitz，1952）在他的主要论文中，尽管他提出将方差作为风险度量，但强调了风险度量对鼓励多元化的重要性。在过去二十年中，许多学术成果更正式地提出了风险度量应该满足的属性，例如F¨ollmer and Schied（2010）和F¨ollmer and Schied（2011）的工作，他们与马科维茨的观点一致，认为“良好”的风险度量需要促进多元化。关键特性再次是凸性，如果满足凸性，则不允许分散风险超过单个独立风险。因此，它反映了经济学和金融学的关键原则，以及选择理论中的关键规范性陈述，即多元化不应增加风险。我们在选择理论的风险度量背景下回顾了这种多元化范式。我们模拟了Drapeau和Kupper（2013）的正式设置，其中选择的风险感知通过二元关系^%“风险顺序”，即满足一些适当规范性属性的onX进行建模。风险顺序代表决策者的个人风险感知，其中x^%y被解释为x的风险小于y。风险度量则是拟凸单调函数，它起到了风险顺序数值表示的作用。由风险序捕获的风险的两个主要性质是凸性和单调性。凸性公理反映了两种选择之间的差异使总体风险低于更差的选择；单调性公理表明风险序与向量前序是相容的。正式定义如下。“多元化是可以观察到的，也是合理的；必须拒绝不暗示多元化优越性的行为规则。”定义6（风险顺序）。

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2022-5-8 12:21:31

集合X上的风险序是满足凸性和单调性公理的反射弱偏好关系。风险顺序的数值表示继承了决策者风险感知的凸性和单调性这两个关键属性，被称为风险度量。定义7（风险度量）。实值映射ρ：X→ R是一个风险度量，如果它是：（i）拟凸：对于所有x，y∈ X和λ∈ [0,1]，ρ（λx+（1- λ） y）≤ max{ρ（x），ρ（y）}（ii）单调：对于所有x，y∈ X，X≥ y==> ρ（x）≤ ρ（y）下面的定理说明了风险顺序和它们通过风险度量的表示之间的双射对应关系。定理1（Drapeau和Kupper（2013））。任何数值表示ρ^%：X→ X上风险顺序^%的R是一个风险度量。相反，任何风险度量ρ：X→ 在X×X上定义风险顺序^%ρ<==> ρ（x）≤ ρ（y）。在^%=^%ρ^%和ρ^%ρ=h的意义上，风险顺序和风险度量是双射等价的o ρ对于某些递增变换h:R→ R.注意，在选择理论的背景下，对应于agiven风险阶^%的风险度量ρ^%实际上是凸和单调总前序^%的拟凹效用表示的负。在我们的选择中∞(Ohm, F、 P），这种风险度量的一个常用示例是尾均值（Acerbian和Tasche 2002b、Acerbi和Tasche 2002a），由TMα=E[x | x>qα（x）]定义，其中α∈ （0，1）是置信水平，qα（x）=inf{x∈ R:P（x）≤ 十）≥ α} 是随机变量x的较低α分位数。根据前面的讨论，风险顺序表现出对多样性的偏好（通过等效凸性公理），当且仅当相应的风险度量表示它是拟凸的。

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2022-5-8 12:21:34

这削弱了定量风险度量理论中对多元化的一般理解，在考虑凸风险度量（Follmer and Schied 2010、Follmerand Schied 2011）或更强烈的次加性风险度量（Artzner、Delbaen、Eber和Heath 1999）时鼓励多元化。Drapeau和Kupper（2013）将凸性属性称为拟凸性，我们认为它在数学上更合适。然而，为了一致性，我们坚持使用更广泛使用的凸集终结论。尾均值的定义仅适用于连续分布的假设，即可积x。风险度量ρ：x→ 对于所有x，y，R是凸的∈ X和λ∈ [0,1]，ρ（λx+（1- λ） y）≤ λρ（x）+（1）-λ） ρ（y）。风险度量ρ：X→ 对于所有x，y，R是次可加的∈ X，ρ（X+y）≤ ρ（x）+ρ（y）。在数学金融中，从凸性到拟凸性的过程在概念上是困难的，但意义重大；例如，参见Cerreia Vioglio、Maccheroni、Marinacci和Montrucchio（2011a）。虽然凸性通常被视为多样性概念的数学形式化，但它实际上相当于平移不变性假设下的拟凸性概念。通过考虑拟转换风险这一较弱的概念，我们可以从无风险资产的流动性假设中分离出多元化原则——这是一种通过转换不变性原理封装的抽象简化。如上所述，风险度量的拟凸性的经济对应物效用函数的拟凸性，相当于偏好的凸性。4.风险规避的概念多元化和风险规避的概念紧密交织在一起。

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2022-5-8 12:21:39

非正式地说，人们可能会说，通过多元化引入多样化的目的是减少“风险”或“不确定性”，因此人们可能会认为多元化决策者反对阿里斯克。我们稍后会看到，情况通常并非如此。在公理选择理论中，风险规避大致是指对预期收益可能较低的特定结果的偏好，而不是对预期价值相等或较高的不确定结果的偏好。在经济学文献中，风险规避通常被效用函数的共度所准确捕捉，这是基于预期效用理论的潜在隐式框架。然而，在其他模型中，风险规避不再与效用函数一致，除非重新考虑风险规避的定义。在本节中，当将风险规避与偏好的多样性或凸性联系起来时，我们将关注风险规避的内在概念，而不是依赖于模型的定义。为此，我们使用了弱、强和单调风险厌恶这三个最常用的定义。在预期效用理论中，所有这些概念都是一致的，并以效用函数的凹性为特征。然而，我们强调以下定义的模型独立性。4.1弱风险规避风险规避的第一个最常见的概念是基于arandom变量与其预期值之间的比较。如果决策者总是倾向于随机变量的预期值，而不是随机变量本身，那么他就是弱风险规避者。定义8（弱风险规避）。X上的偏好关系%是弱风险规避的，每X的δe（X）%X∈ 其中e（X）表示随机变量X的期望值。

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2022-5-8 12:21:42

如果决策者总是确定地偏好任何随机变量而不是其期望值，那么他就是弱风险寻求者；正式的，如果所有x∈ X，X%δe（X）。决策者是一个风险度量ρ：X→ R是平移不变量（或现金加法），如果对于所有x∈ X和m∈ R、 ρ（x+m）=ρ（x）- m、弱风险中性，如果他总是在任何随机变量和其预期值之间毫无差别；正式的，如果所有x∈ X，X~ δe（x）。根据风险溢价，可以给出弱风险规避的简单描述。事实上，决策者是弱风险厌恶的当且仅当与任何x相关的风险溢价π（x）为∈ X总是非负的。利用这一点，我们可以得到决策者之间的关系，对他们的风险厌恶程度进行排名。决策者Dis说，要比决策者Dif更厌恶风险，而且只有在每x∈ X，与X相关的风险溢价π（X）对Das来说至少与D.4.2强风险规避一样大。风险规避的第二个概念是基于Hadar和Russell（1969年）以及Rothchild和Stiglitz（1970年）（另见Landsberger和Meiligson 1993年）对风险增加的定义，他们根据平均保留价差来定义风险。定义9（平均保留扩散）。对于两个随机变量x，y∈ X，y是X的保序扩散当且仅当e（X）=e（y）且X二阶随机支配y，写为X%SSDy，即如果对于任何C∈ R、 ZC-∞外汇（c）dc≤ZC-∞Fy（c）dc。平均值保持扩展直观上是从一个概率分布到另一个概率分布的变化，后者是通过扩展前一个分布的概率密度函数或概率质量函数的一个或多个部分而形成的，同时保持预期值不变。

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2022-5-8 12:21:45

因此，保均值利差的概念提供了一种根据风险等级对等均值选择进行随机排序的方法。从定义中，我们可以看出，当期望值重合时，通过平均保留分布排序选择是通过二阶随机优势排序选择的特例。此外，这种排序具有以下特性。引理1。x，y上均值保持扩散诱导的随机序∈ X（i）只依赖于X和y的概率分布；和（ii）意味着非递减方差，但非递减方差并不意味着均值保持价差。强烈风险厌恶的概念可以被视为对任何风险增加的厌恶，下一步根据均值保持利差进行形式化。定义10（强烈的风险规避）。偏好关系%是强风险规避的，且仅当对任何x，y∈ 因此，y是X，X%y的平均保留扩散。如果对任何X，y∈ 使得y是X，y%X的均值保持扩散。如果对于任何X，y，偏好关系%是强风险中性的∈ 所以y是X，X的平均保持扩散~ y、强烈规避风险（分别强烈寻求风险）的偏好也强烈规避风险（分别弱寻求风险）。这是因为对于任何x∈ X，X始终是δe（X）的平均保持扩散。

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2022-5-8 12:21:48

还要注意的是，强风险中性和弱风险中性是等价的，因为弱风险中性意味着任何x都与δe（x）无关，因此如果y是x的均值保持分布，它们都与δe（x）无关。4.3单调风险规避强风险规避的概念可能被一些决策者认为过于强烈。这导致奎金（1992年）（另见奎金（1991年））定义了一种新的方法来衡量风险的增加，并因此定义了一种新的风险规避较弱的概念，称为单调风险规避。单调风险厌恶的定义涉及共单调随机变量。重新计算两个随机变量x，y∈ 如果X从最好到最坏产生相同的状态空间顺序，则X是共单调的。显然，每一个常数随机变量都与其他随机变量是同单调的。然后可以定义单调随机变量风险增加的度量，如下所示。定义11（平均保持单调扩展I）。假设x和y是两个共单调随机变量。如果e（x）=e（y）和z=y，那么y是x的均值保持单调扩展- x与x和y是共单调的。这一定义确保了，由于x和z是共单调的，所以在x和z之间没有对冲，因此y可以被视为比x更具风险。它可以扩展到不一定是共单调的随机变量，如下所示。定义12（平均保持单调扩展II）。对于两个随机变量x，y∈ 如果存在随机变量θ，则X，y是X的均值保持单调扩散∈ 这样，y与X+θ具有相同的概率分布，其中e（θ）=0，且X和θ是共单调的。单调风险厌恶的概念可以被视为对单调递增风险的厌恶，它基于均值保持单调扩散的定义。

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2022-5-8 12:21:51

我们随后将证明，这种风险规避的概念与奎金（1982）的秩相关预期效用理论是一致的，奎金（1982）是预期效用理论最著名的推广之一，其中共单调性在公理化水平上起着基本作用。定义13（单调风险厌恶）。如果对于任何X，y，X上的偏好关系%是单调风险厌恶的∈ 其中，y是X，X%y的均值保持单调扩散。对于任何X，y，它都是单调风险寻求∈ 其中y是X，y%X的均值保持单调读入，对于任何X，y，它是单调风险中性的∈ 其中y是X，X的保均值单调扩散~ y、最后，弱、强和单调风险厌恶这三个概念之间的以下关系成立。提案3（科恩（1995））。强烈的风险厌恶意味着单调的风险厌恶；单调风险厌恶意味着弱风险厌恶；弱风险中性、强风险中性和单调风险中性是相同的。5.模型独立的多元化偏好我们研究多元化偏好、凸偏好和风险规避之间的关系，前提是偏好不符合特定的选择理论模型。和以前一样，我们简单地假设偏好是单调和连续的。5.1弱风险规避和多元化由于传统的多元化定义太强，当我们超越预期效用理论的假设时，无法产生与弱风险规避等价的定义，因此引入了较弱的确定多元化概念。这种较弱的多元化概念实际上相当于较弱的风险规避，独立于任何模型。提案4（Chateauneuf and Lakhnati（2007））。

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2022-5-8 12:21:54

单调且紧凑的连续偏好关系%在且仅当其风险规避较弱时，才会表现出对确定多样性的偏好。5.2强烈的风险规避和多元化在概率分布而非随机变量的空间中，Dekel（1989）表明——假设没有特定的选择模型——对多元化的偏好通常比强烈的风险规避更强烈。事实上，他表明，对多元化的偏好意味着风险厌恶，但反之则是错误的。提案5（Dekel（1989））。强烈规避风险的偏好关系不一定表现出对多元化的偏好。这意味着对多元化的偏好通常强于强烈的风险厌恶。然而，通过减弱通过强多元化概念获得的对多元化的偏好，可以实现对强风险规避的完整描述。定理2（Chateauneuf和Lakhnati（2007））。单调且紧凑的连续偏好关系%表现出对强多样性的偏好，当且仅当它尊重二阶随机优势时。这一结果的直接后果是偏好的凸性，或对多元化的等效参考，意味着强烈的风险规避。我们指出，Dekel（1989）在概率分布的框架下证明了同样的结果。推论1。偏好关系%表现出对多元化的偏好是强烈的风险厌恶。当x%y是有界序列（xn）n时，偏好关系%是紧连续的∈n每n的分布收敛到x和xn%y。

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2022-5-8 12:21:57

正如Chew和Mao（1995）所指出的，许多广泛使用的预期效用偏好的例子实际上是紧连续的，当相应的效用函数不连续或无界时，它们不是连续的。Dekel（1989）用于推导本节所述结果的理论体系是一个非常特殊的体系，我们鼓励读者阅读他的文章以了解细节。6.风险下的选择I：预期效用理论vonNeumann和Morgenstern（1944）发表的关于博弈和经济行为的开创性理论，预期效用理论（EUT）主导了风险下决策的分析，并被普遍认为是理性选择的规范模型。在预期性理论下，成功地对以前超出经济形式化范围的各种经济现象进行了建模。本节说明，在预期效用理论的公理体系中，（i）所有风险规避的概念都与效用的凹性一致，（ii）所有多元化的概念都一致，（iii）偏好多元化（即偏好的凸性）等同于风险规避。6.1冯·诺依曼-摩根斯坦表示EUT下X上偏好关系%的效用表示采用公式u（X）=Zu（c）dFx（c），X∈ X，c∈ R、 u:R→ R.传统上，冯·诺依曼-摩根斯坦设置中的选择对象比通过概率分布形式化的随机变量大得多。因此，代理选择集是可分离度量空间（s，B）上所有概率测度的集合M，B是Borel集合的σ域。

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nandehutu2022

2022-5-8 12:22:00

M上偏好关系%的效用表示u采用公式u（u）=Zu（x）u（dx），u∈ M、美国→ R.由分布αu+（1）表示的复合彩票- α)ν ∈ M、对于α∈ [0,1]给出概率为α的u和概率为（1）的ν- α）因此，复合抽奖的结果x的概率由（αu+（1）给出- α） ν（x）=αu（x）+（1）- α） ν（x）。确定预期效用理论的另一个重要公理是独立公理。它也被证明是最具争议的。独立性公理表明，在比较两种复合彩票αu+（1）时- α） ξ和αν+（1）- α） ξ，决策者应关注u和ν之间的区别，并独立于α和ξ保持相同的参考。关键的想法是用ξ代替u的一部分和ν的一部分不应该改变最初的偏好排名。公理的正式陈述如下。尽管有证据支持替代性描述模型，表明人们的实际行为明显偏离了这一规范性模型。参见Stanovich（2009）和Hastie and Dawes（2009）的讨论。独立性：对所有人而言，u，ν，ξ∈ M和α∈ [0, 1], u % ν ==> αu + (1 - α)ξ %αν + (1 - α)ξ.备注1。在本文中，我们采用了数学金融中的经典设置，即随机变量空间。然而，如上所述，冯·诺依曼-摩根斯坦的设置是彩票的空间。鉴于我们对投票偏好的讨论，我们参考了Dekel（1989年，命题3），该命题指出，彩票空间上的投票偏好凸性以及风险规避意味着对随机变量空间上的投票偏好。

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2022-5-8 12:22:04

这阐明了偏好在彩票空间上的凸性与偏好在随机变量空间上的凸性之间的联系。6.2 EUT中的风险规避对风险规避概念的分析，以及根据随机优势对风险增加的相应解释，在很大程度上有助于EUT研究风险相关问题的成功。事实上，在EUT中，风险规避对应于效用函数的一个简单条件：在允许冯·诺依曼-摩根斯坦表示的偏好关系类别中，决策者通过其凹效用函数被刻画。提议6。假设偏好关系%满足预期效用理论，并采用冯·诺依曼-摩根斯坦效用表示u。那么：（i）%是弱风险规避的当且仅当u是凹的；（ii）%是强烈的风险规避当且仅当u是共存的。命题6和命题3的一个直接结果是，在预期效用框架下，弱、强和单调风险规避的三个概念是一致的。推论2。在预期效用理论的假设下，弱风险规避、强风险规避和单调风险规避的定义是等价的。本质上，预期效用理论对选择模式施加了限制。事实上，如果不强烈地规避风险，就不可能做到弱规避风险。因此，在EUT中，人们只说“风险规避”，而不需要具体说明具体的动机。因为它的特点是效用的凹性，人们可以通过效用函数的曲率来描述风险厌恶的程度。我们回顾了由Arrow（1965年）和Pratt（1964年）提出的最常用的风险规避措施及其在预期效用模型中的特征。定义14（风险规避的Arrow-Pratt度量）。

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2022-5-8 12:22:07

对于效用函数为u的预期效用理论决策者，对于任何结果c，都定义了绝对风险规避的Arrow-Pratt系数∈ R byA（c）=-u（c）u（c）。提议7。假设UAN和UAR是R上的两个严格递增和两次连续可微函数，分别代表预期效用偏好和相应的Arrow-Pratt系数A和A以及风险溢价π和π。那么下列条件是等价的：（i）A（c）≥ A（c）所有结果c∈ R（ii）u=go 对于某些严格递增凹函数g；（iii）π（x）≥ π（x）表示allx∈ 十、这本质上体现了通过ArrowPratt系数更厌恶风险的关系。6.3 EUT中的多样化偏好在预期效用理论的假设下，确定性和共单调性的两种形式都由效用指数的凹度表示，因此无法区分。此外，它们无法与多元化的传统概念区分开来，后者对应于偏好的凸性。提案8（Chateauneuf and Tallon（2002））。假设%在预期效用理论框架中是一种偏好关系，效用指数为u。那么以下陈述是等价的：（i）%显示出对多元化的偏好（ii）%显示出对确定多元化的偏好（iii）%显示出对共单体多元化的偏好（iv）u是凹的，回想一下，在预期效用框架中建立的多元化和风险规避之间的等效性在更一般的框架中并不成立。特别是，强烈分散的概念，即偏好两个相同分布资产之间的分散，被证明相当于强烈的风险规避。

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2022-5-8 12:22:10

在EUT的假设下，这仅仅意味着强烈的多元化与所有形式的风险规避相一致，因此与效用的凹性相一致。推论3。假设%是预期效用理论框架中的一种偏好关系，效用指数为u。那么以下陈述是等价的：（i）%表现出对强多样性的偏好（ii）%是风险规避的（iii）概括而言，u是凹的，本文介绍的所有风险厌恶（弱、强、单调）和多样化（肯定、强、共单调和凸偏好）的概念都与预期效用理论框架下的效用凹性一致。为了说明这种对应关系的具体投资组合选择含义，考虑投资一个无风险资产的问题，回报率为r，一个风险资产的回报率为随机z。在完全投资假设下，假设决策者将w投资于风险资产，剩余的1- 在安全资产中，意味着wz+的总体投资组合回报率（1- w） r.效用最大化u形式上意味着最大化wz+（1）- w） r）dF（z），其中F是风险资产的累积分布函数（cdf）。风险中性的投资者只关心预期回报，因此会将所有可用资产投入预期回报最高的资产。如果投资者是风险规避者，效用是凹的，因此最大化问题的二阶条件完全刻画了解的特征。更重要的是，这意味着，如果风险资产的后回报率高于无风险利率（即z>r），那么规避风险的投资者仍然会选择在风险资产上投资一定数额的w>0。

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能者818

2022-5-8 12:22:14

总之，在预期效用最大化者的差异偏好下，所有规避风险的决策者仍然希望以正回报承担一定的风险。在他所谓的局部风险中性定理中，阿罗（1965）正式推导了预期效用投资组合选择模式。事实上，必须在安全资产和风险资产之间分配高度的经济代理人，在且仅当资产的预期价值超过价格时，才会对资产进行投资。购买资产的金额取决于代理人对风险的态度。相反，如果预期价值低于资产价格，代理人将希望卖空资产。因此，投资者对某项资产的需求应该在低于某一价格时为正，高于同一价格时为负，而在该价格时为零。如果存在许多风险资产，该价格不一定是预期价值。Arrow的结果在没有交易成本的情况下成立，因为它可以购买少量资产。通过分析风险偏好的变化如何影响最优投资组合选择，可以使用Arrow（1965）和Pratt（1964）的比较风险规避度量来展示以下直观结果。如果一个效用为u的预期效用投资者比另一个效用为v的预期效用投资者更厌恶风险，那么在投资组合选择问题中，对于任何初始水平的财富，前一个投资者在风险资产上的最优投资将少于后一个投资者。然而，罗斯（1981）指出，这一结果关键取决于风险较小的资产具有一定的回报这一事实。

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能者818

2022-5-8 12:22:18

如果两种资产都有风险，其中一种风险比另一种低，那么就需要一个更强大的条件来保证风险厌恶程度较低的投资者在同等财富水平下，会比风险厌恶程度较高的投资者更多地投资于风险较高的资产。7.风险下的选择2：等级相关的预期效用理论银行相关的预期效用理论（RDEU）是预期效用理论的一个推广，它适应了经济主体既购买彩票（暗示风险寻求偏好）又投保损失（暗示风险厌恶）的观察。特别是，RDEU通过削弱独立公理解释了在阿拉斯悖论中观察到的行为。Quiggin（1982）首次将RDEU公理化为预期效用理论，Yaari（1987）、Segal（1989）、Allais（1987）和Wakker（1990）等人对其进行了进一步研究。在回顾了RDEU的基本原理之后，我们发现弱风险规避和强风险规避之间的等价性并没有从预期效用模型中延续下来；参见Machina（1982）和Machina（2008）。类似地，在RDEU框架中，多元化偏好和风险规避偏好的对应失败。7.1 R决策概述秩相关预期效用理论的发展是基于这样一种观点，即同样可能发生的事件不一定得到相同的决策权重。这种概率加权方案旨在结合在违反EUT模型时观察到的具有极端后果的低概率事件的明显特征。RDEU模型有一个简单的形式化，其中结果由avon Neumann-Morgenstern效用函数转换，概率由权重函数转换。效用函数与EUT中的效用函数相同，这意味着为EUT开发的标准分析工具可以应用于RDEUF框架，并进行一些修改。

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nandehutu2022

2022-5-8 12:22:21

概率加权方案首先对世界各国进行排列，使它们产生的结果从最坏到最好，然后根据其排名和概率为每个国家赋予权重。这些想法形式化如下。定义15（等级相关预期效用理论下的偏好）。决策者满足秩相关期望效用（RDEU）理论，当且仅当其偏好关系%可以用实值函数V表示，即对于每个x，y∈ X，X%y<==> Vf，u（x）≥ Vf，u（y），其中Vf，ui定义为每个z∈ X byVf，u（z）=z-∞（f（P[u（z）>t]）- 1） dt+Z∞f（P[u（z）>t]）dt，其中u:R→ R、假设表示%的效用函数是连续的，严格递增的，并且在正有效变换之前是唯一的，f:[0,1]→ [0，1]是满足f（0）=0和f（1）=1的唯一、连续且严格递增的函数。当X有一定数量的结果时≤ 十、≤ · · · ≤ xn，这个表示减少到vf，u（z）=u（x）+nXi=2fnXj=ipj！（u（xi）- u（xi）-1)) .因此，RDEU下的偏好以函数u和f为特征；效用函数u被解释为确定性下的效用水平，转换函数f被解释为对概率的感知。注意，在f（p）=p的情况下∈ [0,1]，RDEU简化为预期效用理论。另一方面，考虑f（p）的情况≤ p、这意味着决策者对概率的感知小于实际概率。对于有限X，该条件意味着至少具有效用u（X）的决策者系统性地降低了额外效用u（xi）的权重- u（xi）-1). 这样的决策者被称为（弱）悲观。定义16。

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