无论哪种方式，由于被积函数是柱形的，因此积分在R+，=R{}+上退化为一维积分。当假设标的资产价格过程是几何下降的，F=Gμσ时，第8.16节（[14]第440–444页）显示‘F=Gρσ，其中σ是波动率，u是过程的增长率，ρ是无风险利率。在这种情况下，美式通话的初始值由[14]第442页的（8.53）给出，τ替换为。如何确定最佳运动时间？如果过程分布函数F是一个表达式，如Gμσ，那么（4）的预期贴现差q（s）具有一种特殊形式，其最大值可以估计；因此，相应的s，=，也可以被估计。另一方面，假设F（或至少F的近似值）是根据经验确定的，如第488页第9.11节[14]所示。然后，可以使用不同的s值，根据经验计算（4）的预期贴现差异q（s），并使用结果估计，即给出最大预期贴现差异的锻炼日期。作为确定最佳运动时间的练习，采用F=Gμσ，这是传统的（但通常不正确）假设。然后，利用引理，暂时搁置如何做出选择的问题。这种假设通常是不正确的。

参见[14]第9.9节，第479-485页。（第309-310页，共[14]页）随变量z（s）=eu，（4）becomesq（s）=ZR]0，s]+e的变化-s（z（s）- κ） Gμσ（I[N]）；（5） soq（s）=e-sZ∞-∞欧盟σ√2πse-U-uσ√s杜- κZ∞-∞σ√2πse-U-uσ√s杜= E-seus+σs- κ.当u=0、σ=0.5、τ=2，以及行使价格κ=0.1、2、1和5时，图1、2、3和4分别说明了相应期权的预期值q（s），如果它们在s时间行使0≤ s≤ 2.这些图表表明，如果行使价格κ非常低（图1），可以将情况与（1）进行比较，最好立即行使期权。换句话说，在t=0时，“此时此地”基本上没有风险；那么，为什么要等待潜在股价的上涨呢？毕竟，后者实际上可能会减少。如果κ稍大一点（图2），在时间t=0时，最安全的做法是计划在合同终止日期s=τ或其附近行使期权。因为，即使（如本文所描述的情况）基础股价的增长率u为零，由于波动性，存在σ的“结构性”平均增长率。因此，投资者在t=0时对美式看涨期权的态度将倾向于后期行使。对于κ的中间值（图3），最佳运动时间≈ 1介于0和2之间。对于非常大的κ（图4），期权合同中的多头仓位似乎没有吸引力。潜在买家可能对具有如此高行使价格的期权中的多头仓位不太感兴趣，也不会为此支付太多费用；所以它只能以很小的价格出售。图4并不意味着具有这些参数的选项永远不会出现在货币中。

函数q（s）产生的是预期值，而不是实际值。但图表表明，一旦期权达到货币状态，就应该立即行使，而不必等待潜在股价进一步上涨。其次，在时间t=0时，此类期权的购买价格应基于时间s=τ时的行权，而不是更早，以便考虑潜在股价的任何可能增长。最佳运动日期可以通过如图1至图4所示的方法进行估计。一旦建立了，就可以使用[14]第442页的Black-Scholes pricingformulae（8.53），用替换τ；图3给出了这种情况下更详细的q（s）图。结果表明，q（s）的最大值出现在s=1.83左右。一些关于美国看涨期权的评论表明，早期的期权根本没有价值。图1：κ=0.1图2：κ=1.1图3：κ=1.1，t=0，τ=2图4：κ=1图5：κ=5图6：κ=1.1，t=1.5，τ=2美式看涨期权的初始（t=0）值asw=zN0,1lnzκ+ρ +σσ√!- κe-ρN0,1lnzκ+ρ -σσ√!（6） 现在假设在时间s=0时创建的选项在时间t，0<t<τ时未执行。假设期权持有人希望在时间t出售该期权。该期权的价格应该是多少？换句话说，w（t）（或wt）的值是多少？是否可以预期，在时间t晚于0时，尚未行使的期权的预期行权日期为，即（2）中通过最大化获得的行权日期？如果是这种情况，那么[14]第442页的公式（8.54）可用于wt，用代替τ；因此，beztN0,1lnztκ+ρ +σ( - t） σ√ - T-κe-ρ(-t） N0,1lnztκ+ρ -σ( - t） σ√ - T（7） 这个论点的问题在于，不一定是实际的锻炼日期。这是一个在s=0时估计的日期，用于在该时间对期权进行定价。

期权持有人可以选择提前或晚于的某个时间行使期权。事实上，如果行使被推迟，那么t（在新定价方案中是“存在的”）可能大于（7）中的。在那种情况下（7）是没有意义的。然而，通过适当的修改，定价参数可能适用于t>0。时间t≥ 0估计的运动日期是s（t）的值≤ s≤ τ） 其中最大值sqt（s）：=E[pt（s，ZT）]=ZR]t，s]+pt（s，ZT）F（I[N]）。（8） 如果股票价格过程Z的分布函数F是Gμσ，（8）becomesqt（s）=ZR]t，s]+e-（s）-t） （z（s）- κ） Gμσ（I[N]）。（9） 与之前一样，由于点被积函数是圆柱形的，因此qt（s）=e-（s）-（t）Z∞-∞euσp2π（s）- t） e-U-uσ√s-T杜- κZ∞-∞σp2π（s）- t） e-U-uσ√s-T杜或qt（s）=e-（s）-（t）eu（s）-t） +σ（s）-（t）- κ在u=0、σ=0.5、κ=1.1、τ=2和t=1.5的情况下，图6是从s=1.5=t到s=2=τ的qt（s）图。该选项的参数（u、σ、κ、τ）与上面图2和图3中所述的参数相同，只是输入时间t=1.5而不是时间0。但是，图3显示了一个估计的Dexercise日期≈ 1.83，图6表示锻炼日期1.5=2。因此，美式看涨期权在时间t（0）的估计值w（t）（或wt）≤ t<τ）为wt=ztN0,1lnztκ+ρ +σt- t） σ√t- T-κe-ρ（t）-t） N0,1lnztκ+ρ -σt- t） σ√t- T（10） 在t=τ时，未行使的美式看涨期权的价值为wτ=max{zτ- κ, 0}.前面的研究使用了分布函数Gσ。但价格过程Z遵循几何布朗分布的假设通常是成立的，如[14]第9.9节第479–485页所示。此外，欧洲和美国期权的行权价值取决于标的资产在期权行权之日的价值。

相比之下，亚洲型期权的价值不仅取决于期权行使日期的股票价值，还取决于期权存续期内股票的平均价值：w（τ）=max{A（zT）- κ、 0}，其中A（zT）是股票在行权日期τ之前获得的已知或观察值的平均值，为此目的，该值为“存在”。因此，如果期权的寿命由100万个“时间刻度”组成，到时间τ时，将观察到100万个z（s）值中的每一个的共享值z（s），并且，当T==0时，τ]，A（zT）是100万个z（s）值除以100万的总和。然而，在τ之前的任何时间t，包括期权合约创建时的时间t=0，未来值z（s）（0<s≤ τ） 都是未知和不可预测的。但如果它们的联合分布F已知，那么A（ZT）是一个联合连续可观测的，A（ZT）\'A（ZT）RT+，F,同样，fτ（ZT）\'max{A（ZT）-κ, 0}RT+，F. Asian选项在时间t，0时的值≤ 然后可以从[14]第440页的（8.47）中推导出t<τ：wt=e-ρ(τ -t） E\'Ffτ“ZT= E-ρ(τ -t） ZR]t，τ]+fτ（zT）`f（I[N]）。【14】第9.9节（第479-485页）概述了上述论点背后的假设（几何布朗运动假设）的缺陷。

[14]第9.10和9.11节概述了估算此类过程实际联合分布函数的经验方法。本文的其余部分使用Maple程序，应用这种方法来估计Glanbia股票的亚洲看涨期权的价值。欧洲和美国期权都有行权价值，行权价值取决于标的资产在期权行权之日的价值。相比之下，其他类型的期权合同的价值不仅取决于期权行权日的股票价值，还取决于期权合同有效期内标的资产在不同时间的价值。例如，亚洲类型的期权取决于期权有效期内股票的平均价值：w（τ）=max{A（zT）- κ、 0}，其中A（zT）是股票在行权日期τ之前获得的已知或观察值的平均值。因此，如果期权的寿命由100万个“时间刻度”组成，当达到时间τ时，将观察到100万个z（s）值中的每一个的共享值z（s），并且，对于T==0，τ]，A（zT）是100万个z（s）值除以100万的总和。然而，在τ之前的任何时间t，包括期权合约创建时的时间t=0，未来值z（s）（0<s≤ τ） 都是未知和不可预测的。但如果它们的联合分布F已知，那么A（ZT）是一个联合连续可观测的，A（ZT）\'A（ZT）RT+，F,同样，fτ（ZT）\'max{A（ZT）-κ, 0}RT+，F. Asian选项在时间t，0时的值≤ 然后可以从[14]第440页的（8.47）中推导出t<τ：wt=e-ρ(τ -t） E\'Ffτ“ZT= E-ρ(τ -t） ZR]t，τ]+fτ（zT）`f（I[N]），（11）根据[14]第8.13-8.19节第433-466页的风险中性鞅定价论证，其中fτ（zT）=max{A（zT）- κ、 0}（12）表示zT∈ RT+。

在欧洲和美国期权的情况下，fτ取决于单个变量xτ或x，且τ（或）固定，因此后一个积分减少为Rτ+（或R+）上的积分。但（11）中的积分是有限维的。请注意，如果t>0表示“存在”，则zT的一些值，={z（s）：0<s≤ τ}是已知值，而其他值仍在未来，必须视为不可预测的可观测值。Sowt=e-ρ(τ -t） ZR]t，τ]+fτ（（zT，zT））-f（I[N]），其中值zT∈ R] 0，t]+是已知的，值为zT∈ R] t，τ]+是联合基本观测的潜在出现点，t\'zThR]t，τ]+，Fi。与对数正态性假设不同，这些论点似乎相当可靠。总之，w=e-ρ（τ）ZR]0，τ]+fτ（zT）`f（I[N]），其中fτ（zT）=max{A（zT）- κ}. （13） [14]第486-489页没有假设F=Gσ，而是建议使用[14]第436-438页第8.14节风险中性、无套利定价论点的实证方法。将这一论点应用于格兰比亚股价系列[224]，可以通过以下步骤来解决这一问题：使用历史Glanbia数据zT，按照第487–489页[14]第9.11节的规定，构造经验分布值SF（I[N]）估计价格过程的增长率。

例如，可以通过计算Glanbia数据zT的最小二乘回归来实现计算折扣版本z（s）=e-格兰比亚价格数据的usz.o使用增长率估计值u，调整分布值F，以便就修正值F而言，折扣价格z（s），w（s）是所有s的鞅ZT\'ZT[RT+，\'F]，WT\'WT[RT+，\'F]：E\'F[Zs]=z（0），E\'F[Ws]=w（0），0<s≤ τ; z（0）=z（0），w（0）=w（0）。o通过估算积分w（0）=w（0）=E\'F[wτ]=ZR]0，τ]+w（τ）\'F（I[N]）=ZR]0，τ]+Fτ（zT）\'F（I[N]），计算估算值w（0）。对于亚式期权，后一个积分取决于所有出现的z（s），0<s≤ τ.因此，积分不是柱形的，为了估计它，可以使用适当的R]0，τ]+，=RT+规则分区，以及被积函数的阶跃函数估计。至少在原则上，阶跃函数近似是很容易理解和应用的，即使是在多维积分的情况下，当积分是一个柱形函数，其积分恰好减少为一维积分时，我们不需要求助于巨大的简化，就像在欧美期权的情况下一样。但是，即使存在阶跃函数简单性，仍有必要遵循风险中性估值中涉及的财务原则。这让我们面临许多棘手的问题。主要问题是将过程分布F转换为鞅分布F。

例如，在格兰比亚的价格过程中，如何解决这个问题？（r，q）-分区在实践中有点麻烦，下面将使用其他类型的常规分区。接受F不能被视为几何布朗函数[14]第9.10节和第9.11节（第486-489页）建议使用计数或“相对频率”方法来估计可观测的XT\'XT[RT，F]的F。这是有问题的。假设一个可观测的X在样本空间R，X\'X[R，P]上有分布函数，那么一个P-可测的潜在发生率集合a R有概率P（A）。相对频率的概念意味着A的“多次出现”，以总出现次数的一小部分表示，提供了P（A）的估计值。大数定律（见[14]第5.9节，第224-233页）对该估算进行了一些解释。问题在于，随机变量X（或过程ZT）的“多次出现”与通常对随机变量或过程的数学理解相反。

随机变量/可观测值通常被理解为某事物未来可能发生的数学描述；也就是说，一个未来的观测或测量有多个可能的值，其中只有一个可能真正“发生”。因此，不存在“多次发生”，从中可以计算出相对频率作为概率估计。另一方面，多次出现和相对频率可以通过假设从大数定律中提取出来，假设不是一个多次出现的单一随机变量，而是多个每次出现的单一随机变量。但为了将这条推理路线与“相对频率近似概率”的概念联系起来，这一系列随机变量必须由统计上独立的随机变量组成。Glanbia（或任何其他）历史股价数据构成了一系列联合观察的单一事件{Zt:t∈ T}，写为进程ZT\'ZT[RT+，F]。过程的分布函数F（I[N]）可以被认为是由联合发生的转移概率（z（tj）组成的∈ I（tj），1≤ J≤ n） n={t，…，tn}。相对频率可以用来估计F（I[N]）？这个问题在[14]第486-489页中有说明。想法如下。Glanbia股价系列从1991年3月8日星期五的收盘价0.8开始，继续以5天工作日的每日价格计算，直到2011年3月9日星期三，收盘价为3.692。

因此，这些系列包含5000多个单项。（11）的I[N]中的价格变化是未来可能的变化。假设在数据的“历史”（过去、现在或未来）的任何阶段，这种转换模式的可能性对于这一特定系列的股价或多或少是固定的。可以计算历史数据或过去数据中与I[N]表示的一组可能的未来转换相对应的转换数量。要将其转换为相对频率，请将该数字除以与过去数据中的I[N]对应的可能转换总数。假设事件I[n]中的价格转换次数n与5000相比较小，则递减假设表明，该相对频率可作为F（I[n]）的近似值。接下来，为了执行风险中性估值，必须将（估计的）分布函数值F（I[N]）转换为（估计的）鞅分布值F（I[N]），用于I[N]∈ I（RT+）。如何做到这一点？考虑某个固定时间t的单一股价zt，0<t≤ τ . 对于cellsIt[]u，v]∈ I（R+），上述方法可用于确定可观测Zt’Zt[R+，Ft]，P（Zt）的估计分布函数Ft（It）∈ It=Ft（It），ut=E[Zt]=ZR+ztFt（It）=Z∞ztdP。基本可观测ZT可被视为RT+中的或有可观测，其中f（ZT）=ZT，f（ZT）\'f（ZT）[RT+，f]。

那么f是圆柱函数，f（zT）=zT，t固定；andE[ZT]=ZRT+f（ZT）f（I[N]）=ZR+ztFt（It）=utsince f（I[N]）=Ft（It）对于N={t}，I[N]=It。给定一个价格过程ZT\'ZT[RT+，F]，风险中性定价理论要求构造一个过程ZT\'ZT[RT+，F]，以便在分布函数F下，贴现值e-ρsz（s）是一个鞅的出现，带有e′FE-ρs′Zs= z（0）或E\'F\'Zs= 每个s的eρsz（0）∈ T，其中z（0）是已知的初始价格，其中，出于目前的目的，所有s的无风险利率ρ均为常数。示例1“fta”的构造可以如下所示。假设我们有一个可观测的X\'X[R，H]，平均值u=E[X]。假设我们希望通过改变H的值来构造一个不同的可观测的“X”，其平均值是某个给定的数字E“H[”X]=”u，6=u。这可以分两个阶段完成。首先用平均值0构造X\'X[R，H]，然后用平均值u构造\'X=\'X[R，H]。对于第一阶段，假设I=]u，v]∈ R.Writeu=u+u，v=v+u，所以u=u- u，v=v- u，对于它=]u，v]，定义H（I）=H（I），所以EH[X]=0。第二阶段是相似的。对于“It=]”u，“v]∈ R writeu=\'u+u- \'u，v=\'v+u- u，所以u=u- u+u，v=v- u + u;对于它，定义H（\'I）=H（I），因此E\'H[\'X]=\'u，根据需要。这可以从多个角度加以批评。然而，一个好处是没有恢复独立。

任何条件作用或依赖都会通过计数过程来识别。元素x、x、x不是不同的数字；它们中的每一个都代表了R中可能出现的任意情况。回到“ZT”ZT[RT+，“F]的构造，示例1显示了如何为每个t构造“FTT”∈ 所以，对于N={T}，可以找到值F（I[N]）。但是，如果要将“zt”定义为一个过程或联合可观测，则必须定义联合分布函数“F（I[N]），不仅针对单态N={t}，而且针对所有N∈ N（T）和所有相应的I[N]∈ I（RT+）。计数程序通过考虑各种过渡模式来进行调整。[14]第9.11节（第487-489页）中所述的格兰比亚每日价格份额数据包括5225每日收盘格兰比亚股价，从1991年3月8日星期五开始，到2011年3月9日星期三结束。假设后一个时间点是现在，并且在那一刻就格兰比亚股份签订了一份为期3个月的看涨期权合同。由于股票价格每周5天每天报告一次，因此将3个月的期权期限定为60天，从2011年3月10日上午开始，到2011年6月1日星期三结束，共计5219个单日/价格。假设期权为亚洲型，其报酬取决于期权期限内的平均股价。为了确定签订本合同的经济价格，有必要对期权60天期限内的股票每日预期价值进行估计；同样，股票价格的每日标准差也是如此。

此外，在期权期限内，还需要估计股票价格过程中的联合概率值F（I[N]）。Maple对历史股价的计算可以用来制作这样的模型。历史上的格兰比亚价格数据[4]可以在Excel文件中找到inhttps://sites.google.com/site/stieltjescomplete/The近期目标是估算期权期限内每天的预期股价价值，即2011年3月10日、2011年3月11日等日期（截至2011年6月1日）的预期股价；所有这些都在“未来”。同样，估算期权期限内每天的股价标准差。Maple对历史或过去数据的计算提供了这样的估计。计算11。使用（工具）；（统计数据）；2.Q:=导入（“glanbia.xls”）：3。A1:=seq（Q[j][2]，j=2500..5010）：A2:=[A1]：A3:=向量（A2）：4。J1:=seq（j，j=2500..5010）；J2:=[J1]；J3:=向量（J2）；5.y:=指数位（J3，A3，t）；6.格兰比亚图：=[seq（[t，Q[t+7][2]，t=2500..5000]）；7.绘图（[GlanbiaGraph，y]，t=2500..5000）8。p:=7；q:=p+59；9.对于k，从1到5160 do10。A[k]：=seq（Q[j][2]，j=p..Q）；11.B[k]：=[A[k]；p:=p+1；q:=q+1；12.m[k]：=平均值（B[k]）；s[k]：=标准偏差（B[k]）：13。结束做；14.m:=seq（m[k]，k=1..5160）；s:=seq（s[k]，k=1..5160）；15.S:=seq（S[k]，k=5000..5160）；T:=[S]；s0:=平均值（T）16。M[1]：=3.7*exp（0.006）；M[2]：=3.7*exp（0.012）；M[3]：=3.7*exp（0.018）：17。k从1到5219 do18。z[k]：=Q[k+6][2]：19。完：20。N:=6；J:=seq（J，J=-3..2); seq（q，i=1..3）；seq（b，i=1..3）；21.我从1岁到216岁。对于j，从1到3 do23。q[j]：=trunc（（i）- 1） /N（j）- 1)) + 1;24.b[j]：=mod（q[j]- 1，N）+1；25.p[i][j]：=j[b[j]]26。结束do27。结束do28。ex:=3.5；w0:=0；29.概率：=0；30.我从1岁到216岁。f:=0；32.k从4550到5000 do33。

如果（z[k+20]>=m[k+20]+s[k+20]* p[i][1]34。z[k+20]<m[k+20]+（p[i][1]+1）* s[k+20]）35。z[k+40]>=m[k+40]+s[k+40]* p[i][2]）36。z[k+40]<m[k+40]+（p[i][2]+1）* s[k+40]）37。z[k+60]>=m[k+60]+p[i][3]* s[l+60]38。z[l+60]<m[l+60]+（p[i][3]+1）* s[l+60]）39。那么f:=f+1:40。如果结束；41.结束；42.P:=（1/50）* F43.Prob:=Prob+P；44.a1:=（M[1]+p[i][1]* s0+M[2]+p[i][2]* s0+M[3]+p[i][3]* s0）/3- 前任；45.如果a1>0，则a2:=a1；如果结束；46.如果a1<=0，则a2:=0；如果结束；47.a3:=a2*经验(-0.02);48.w:=a3* P49.w0:=w0+w:50。结束做；51.w0；52.evalf（Prob）；为了便于解释，上面的Maple代码行已编号。这些数字不是程序的一部分，不应包含在实际应用程序代码中。第1-7行获取历史Glanbia数据，并将其导入程序，以便对其执行Maple计算。这些数据可以在中的Excel文件中找到https://sites.google.com/site/stieltjescomplete/and应存储在上述Maple代码所在的同一文件夹中，以便该代码能够访问它们。在Maple版本18中，首次使用时，必须关闭FILEWITH Import命令，然后重新打开，然后才能成功导入。第3行和第4行将股价数据转换为适合第5行的格式，使用2500天到5010天大约一半的可用价格；包括哪些数据是判断的问题。第5行计算价格数据的最小二乘回归，公式为y=a exp（ut）。这里的想法是，价格遵循某种“比例”特征的基本增长率；价格的随机变化叠加在这一基本趋势上。

换句话说，如果t日的股价为zt，且不考虑价格的叠加随机变化，则zt+1ZT为常数lnzt+1zt= u.在这种情况下，由Maple计算的指数最佳拟合度约为yy=0.1e0。0007吨，因此每日增长率约为u=0.0007。这意味着股票价值的年增长率约为20%。Maple代码的第7行和第8行生成了这一底层增长的图表（y），叠加在实际价格的图表上。请参见本文末尾的图8。为了对“今日”（2011年3月9日）的亚洲期权进行定价，当“今日”股价为3.7时，无风险日增长率为0.0003（低于基本增长率u=0.0007），因此亚洲期权期间（截至2011年6月1日，或总共60天）的股票基本趋势值取bey=0.1e0。0003t。然后，如果我们可以在这些价格趋势值上叠加适当数量的随机变化，我们可以使用（11）来估计亚式期权的价值。第8-13行是实现这一目标的第一步。这部分程序计算历史股价连续60天的平均值。还有相应的标准偏差。后者显示了这些股票价格的随机变化或波动的规模，和是联合似然分布F（I[N]的一种指标，它“决定”股价过程ZT\'ZT[RT+，F]。这些“移动平均值”和“移动标准差”如本文末尾的图7和图9所示。Maple程序还将使用这些平均值和标准差数据作为“3σ”RT+的规则分割中的分割点，T是亚式期权的60天周期或期限，用于估计期权估值（11）。第15行取60天标准偏差的平均s0。

这是亚洲期权60天期限内每天股价的标准差，见第44行。第16行计算期权60天期限内的三个20天趋势值M[1]、M[2]、M[3]。但这些都不是“真正的”趋势值；它们是假设值，表明进行（11）的风险中性鞅估值所需的无风险日增长率为0.0003。第17至19行将熟悉的符号z[k]（或zt）归因于历史股价值。第20-27行计算六个数字的重复排列-3.-2.-1,0,1,2一次取三个。有6=216个这样的条件，对于i=1到216，每个条件由（p[i][1]、p[i][2]、p[i][3]给出。不是实际趋势，只是鞅pricingof贴现值所需的假设无风险趋势。代码第16行显示了期权期限内20天内连续的“无风险趋势”值。一个这样的排列是（1，-1, 2); 那个isp[i][1]=1，p[i][2]=-1，p[i][3]=2。利用平均值m和标准偏差s，这些数字然后被用来构造3σ划分区间[m]- p[i][j]*s、 m- （p[i][j]+1）* s[，对于p[i][j]=-3.-2.2，给出六个单元格[m]-3s，m-2s[，[m]-2s，m-s[，[m]-s、 m[，[m，m+s[，[m+s，m+2s[，[m+2s，m+3s[。在任何特定的一天，股价通常会处于这些区间之一。zt- m |>3s很小，在期权估值计算中可以忽略。假设2011年3月9日的开始时间t=0，2011年6月1日的开始时间t=τ，t==0，τ]，t=τ=20，t=τ=40，t=τ=60。对于j=1,2,3，writeIj=[M[j]+p[i][j]* s0，M[j]+（p[i][j]+1）* s0[（14），其中s0和M[j]的值由Maple代码的第15行和第16行给出。然后，用N={τ，τ，τ}将选项的域RT+划分为Cylindersi[N]=Yj=1Ij×RT\\M+。

（15） 有216个这样的圆柱形单元，对应于216个排列（p[i][1]，p[i][2]，p[i][3]）。这是RT+中的常规分区。它并没有完全耗尽域RT+，但ZT不在这些圆柱状神经中的概率非常小。Maple程序的第28行将期权的行权价格设定为ex=3.5。赋值w0:=0设置（11）的黎曼和估计的初始值。黎曼和有216项，每项一项（p[i][j]；j=1,2,3）。黎曼和的每个项都有值w（第48行），在第48行和第49行的216次迭代中，项值w累积为w0。w0返回的最终值是（11）的黎曼和估计值。对于期权行使价格ex=3.5，Maple程序给出初始值W0=1.31。这是（11）中的w（0）。代码中使用了第29行的表达式Prob来跟踪或累积计算中生成的概率。第43行返回的总概率约为0.97，表明RT+的3σ正则划分虽然不是穷举的，但几乎是满的。使用历史Glanbia股价数据，程序的第30-43行使用“相对频率”类型的参数来产生计算（11）的黎曼和估计w0所需的联合转移概率F（I[N]的估计。第32行显示，该程序在分区单元（15）中只使用50个周期或3×20天转换的迭代。为了获得更高的准确度，增加样本量是很容易的。第42行计算了单个跃迁排列（p[i][j]：j=1,2,3）的相对频率。P的这个值是对（11）的黎曼和的单个项的F（I[N]的估计。对于i=1，216，每个置换（p[i][j]：j=1，2，3）生成（11）的黎曼和的单项。

第44-48行中给出了这些术语的计算方法。如何将值F（I[N]）转换为风险中性概率F（I[N]）？这是在第44行完成的。数量M[j]+p[i][j]*s0是（14）和（15）形式的分区单元的下限，它们是（11）中函数A（zT）的一个标记点或求值点。但这些边界点与第33–38行中的相应边界不同。后者以日趋势增长率u=0.0007增长，第44行中的界限以无风险增长率ρ=0.0003增长。因此，在某种意义上，从第33-42行产生的概率F（I[N]）在第44行应用于RT+的“错误”细胞。但这是在RT+中产生假想的“F（I[N]）所需的适当调整。（11）中的点被积函数是函数（12），计算为a2内线44–46。第47行计算了（12）的折扣值。将其乘以P=\'F（I[N]）得到黎曼和的单个项w的值。将所有排列相加，i=1，216，给出了初始时间t=0:w0=w=w（0）=1.3时期权价值的黎曼估计。为了测试上述Maple代码，建议单独测试其组成部分，以便更容易检测和纠正转录和编码错误。此外，在代码中的相关点上，可以试验替代参数和估计策略。在上述代码中，平均A（zT）仅以三个20天的间隔进行估计。对于60天期权，Excel文件中的Glanbia股价数据允许使用多达60个每日价格值来计算a（zT）。在实践中，必须在精度要求和可用计算能力之间取得合理的平衡。

当需要更高的准确性时，后者会迅速升级。[14] ，第480页，有一张20年的格兰比亚股价图。图8是部分数据的图表，叠加指数回归图=exp（0.0007t）。Maple项目第8–13行计算的第一个平均值是第1天（1991年3月8日）至第60天（含第60天）的平均价格。第二个平均值为第2天（1991年3月9日）至数据第61天（含第61天）。最终平均值是截至第5219天（2011年3月9日）的数据第5160天的平均价格。对于60天折扣，日利率0.0003约为60×0.0003=0.018。第47行使用e-0.02而不是e-0.018以无风险利率贴现。图7：所有移动平均值图8：指数回归图9：所有移动SD图10：选项值这是总共5160个周期，给出5160个平均值和5160个标准差。后者如图9所示。由于第一个移动平均值是前60天的平均值，因此它可以应用于第一个周期中间的第30天或第31天。其他移动平均线的情况也是如此；还有标准差。移动平均线图，图7，是原始格兰比亚股价数据图（图8）的“平滑”版本。但它不像图8所示的数据的指数回归图那样平滑。图10显示了亚式期权的初始价值如何取决于最终行使价格。3.0的低行使价格导致约5.5的高期权价格。

3.8的高行使价格产生约0的低期权价格。02.参考文献[1]R.G.巴特尔，《回归黎曼积分》，《美国数学月刊》103（8）（1980），625-632。http://mathdl.maa.org/images/upload图书馆/22/Ford/Bartle625-632。pdf[2]Bullen，P.S.，二十世纪的非绝对积分，美国数学学会非绝对积分特别会议，多伦多，2000年9月23日至24日，www.emis。de/proceedings/Toronto2000/papers/bullen。pdf[3]Chung，K.L.和Williams，R.J.，《随机积分导论》，伯克豪瑟，波士顿，1990年。[4] 格兰比亚，https://sites.google.com/site/stieltjescomplete/glanbia-smithglaxokline-and-rio-tinto-data[5] 亨斯托克，R.，连续实变量函数收敛因子的效率，伦敦数学学会杂志30（1955），273-286。[6] K.It^o和H.P.McKean，《扩散过程及其样本路径》，学术出版社，纽约，1965年。[7] R.Jarrow和P.Protter著，《随机积分和数学金融的简史：早期，1880-1970年》，http://people.orie.cornell.edu/protter/WebPapers/historypaper7。pdf[8]Karatzas，I.和Shreve，S.E.，布朗运动和随机微积分，斯普林格·维拉格，纽约，1991年。[9] 科尔莫戈罗夫，A.N.，格伦德贝格里夫·德瓦赫·谢因利奇特列赫农，埃尔格布尼塞·德马蒂克，柏林斯普林格，1933年（概率论的基础，切尔西出版公司，纽约，1950年）。[10] 麦基恩，H.P.，随机积分，学术出版社，纽约，1969年。[11] 麦克沙恩，E.J.，一个黎曼型积分，包括勒贝格-斯蒂尔特耶斯、博希纳和随机积分，美国数学学会回忆录第号。

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