管理终身年金中的系统性死亡风险：应用

2022-5-8 21:02:01

管理终身年金中的系统性死亡风险：LongevityDerivatives的应用该版本：2021年8月30日，澳大利亚悉尼新南威尔士大学风险与精算研究学院（m.c。fung@unsw.edu.au)澳大利亚悉尼新南威尔士大学风险与精算研究学院（k。ignatieva@unsw.edu.au)澳大利亚悉尼新南威尔士大学风险与精算研究学院cCEPAR（m。sherris@unsw.edu.au)JEL分类：G22、G23、G13摘要本文评估了基于指数的长寿互换和长寿上限的套期保值效果。尽管掉期是对冲长寿风险的自然工具，但具有非线性报酬的衍生品，如长寿上限，也提供了下行保护。建立了一个具有年龄相关漂移和波动性的可处理随机死亡率模型，并推导了这些寿命衍生产品的价格解析公式。对冲有效性被认为是一种假设的终身年金投资组合。根据长寿风险的市场价格、对冲工具的期限和基础年金投资组合的规模，对人寿年金投资组合的对冲进行全面评估。该模型使用澳大利亚的死亡率数据进行校准。研究结果对寿命对冲进行了全面分析，突出了线性和非线性支出结构的风险管理效益和成本。关键词：长寿风险管理；长寿互换；长寿选择；Hedge effectivenes1简介退休后确保舒适的生活对世界上大部分工作人口来说是至关重要的。然而，退休的一个主要风险是退休储蓄可能会过期。

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2022-5-8 21:02:05

提供终身收入保障的产品，如终身年金，需要以成本效益的方式提供，同时保持提供商的长期偿付能力。年金提供者和养老基金需要在终身年金或养老金组合中管理系统性死亡风险，这与潜在死亡强度的随机变化有关。系统性死亡风险不能随着投资组合规模的增加而分散，而特殊性死亡风险（代表死亡强度固定的投资组合中死亡的随机性）是可以分散的。再保险在管理年金和养老金提供者的长寿风险方面非常重要。然而，再保险公司担心再保险人的风险偏好有限，不愿承担这种“有毒”风险（Blake et al.（2006b））。事实上，即使他们愿意接受风险，保险业也不足以吸收年金提供商和养老基金目前承担的大规模长寿风险。资本市场的规模以及金融风险和人口风险之间几乎为零的相关性表明，它们将在长寿风险的风险管理中发挥越来越大的作用。针对长寿风险的第一代资本市场解决方案，以死亡率和长寿债券的形式（Blake and Burrows（2001）、Blake et al.（2006a）和Bauer et al.（2010））取得了有限的成功。涉及远期和掉期的第二代债券吸引了越来越多的兴趣（Blake et al.（2013））。基于指数的工具旨在降低系统性死亡风险，总体上成本较低，并设计为允许作为标准化合同进行交易（Blake et al.（2013））。与再保险等定制或定制对冲工具不同，它们不包括特殊抵押风险，并产生基差风险（Li and Hardy（2011））。

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2022-5-8 21:02:09

由于大型投资组合的特殊死亡风险降低，因此投资组合规模是决定基于指数的工具对冲效果的一个重要因素。具有线性回报的长寿衍生品，包括q-远期和S-远期，分别作为死亡率和生存率的基础（LLMA（20 10a））。Ngai和Sherris（2011）研究了不同年金投资组合中寿命风险静态混合的有效性，他们考虑了他们的对冲效应。他们将一系列与长寿相关的工具（包括q-远期、长寿债券和长寿掉期）视为对冲工具，以量化长寿风险，并展示其在降低长寿风险方面的优势。Li和Hardy（2011）也考虑用q-远期组合对冲长寿风险。他们强调基本风险是发展基于指数的长寿市场的障碍之一。到目前为止，具有非线性支付结构的长寿衍生品还没有受到太多关注。Boyer和Stentoft（2013）使用模拟评估欧洲和美国类型的幸存者选项，Wang和Yang（2013）在Lee-Carter模型的扩展下提出并定价幸存者楼层。这些作者不认为长寿期权和长寿掉期的对冲效果是对冲工具。从年金提供者的角度来看，长寿风险模型可能导致（随机）高估或低估所有年金受益人的生存概率。

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2022-5-8 21:02:13

因此，长寿风险也被称为系统性死亡风险。据估计，2012年，13个最大的主要养老金市场的养老金资产已达到近300万亿（2013年全球养老金资产研究，Towers Watson）。特别令人感兴趣的是2004年欧洲投资银行（EIB）试图发行欧洲投资银行长寿债券，该债券由法国巴黎银行（BNP Paribas）承销。正如Blake等人（2006a）所述，该债券未受到投资者的欢迎，由于其不足，无法产生足够的发行需求。尽管已经考虑了动态对冲，但由于LongevityRick缺乏流动性市场，静态对冲仍然是年金提供商唯一现实的选择。凯恩斯（2011）考虑了SQ远期和离散时间增量对冲策略，并将其与统计ic对冲进行了比较。由于动态套期保值策略需要在模拟中进行模拟，因此在评估套期保值有效性时，缺乏q-远期及其衍生产品定价的分析公式（称为“希腊人”）可能是一个重大问题。Luciano等人（2012年）也强调了可处理模型的重要性，他们还考虑了寿命和利率风险的动态对冲。Hari et al.（2008）应用广义双因素Lee-Carter模型研究长期evity风险对养老金偿付能力的影响。本文提供了长寿衍生品的定价分析，以及它们的对冲效果。我们考虑静态对冲。选择寿命掉期和上限作为线性和非线性产品，比较和评估基于指数的资本市场产品管理的长期风险管理。本分析使用的模型是死亡率的连续时间模型，具有基于年龄的漂移和波动性，允许使用易于处理的定价和对冲分析公式。

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kedemingshi

2022-5-8 21:02:17

该分析基于一个假设的终身年金投资组合，该投资组合存在长寿风险。本文根据一系列不同的基本假设，考虑使用长寿互换和长寿上限，分别使用S远期和长寿上限，对长寿风险进行套期保值，这些假设包括长寿风险的市场价格、套期保值工具的到期期限以及基本年金投资组合的规模。本文的组织结构如下。第2节详细介绍了双因素高斯死亡率模型，其参数使用澳大利亚男性死亡率数据进行估计。第3节从定价角度分析了longevity衍生品，尤其是长寿掉期和上限。在提出的双因素Ga-ussian死亡率模型下导出了显式的Pricingformula。第4节研究了长寿掉期的各种套期保值特征和套期保值效果，以及暴露于长寿风险的假设终身年金保单的上限。第5节总结了结果，并给出了总结性意见。2.死亡率模型(Ohm, 英尺=Gt∨ Ht，P）是一个过滤概率空间，其中P是真实世界的概率度量。亚过滤GT包含关于死亡强度动态的信息，而Ht捕捉个体的死亡时间。假设利率r是常数，其中B（0，t）=e-r t表示t年期零息票债券的价格，我们的重点是随机死亡率的建模。2.1模型规格为了财务风险管理应用，需要可处理的随机死亡率模型，并且能够很好地捕捉不同年龄段的死亡率动态。

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kedemingshi

2022-5-8 21:02:20

我们在有效死亡率强度框架下工作，假设死亡率强度为高斯分布，这样就可以导出寿命选项的分析价格，如第3节所述。Bauer等人（2010年）和Blackburn and Sherris（2013年）在前瞻性死亡率框架内考虑了高斯死亡率模型。Luciano和Vigna（2008）提出高斯死亡率，其强度遵循Ornstein-Uhlenbeck过程。此外，Jevtic等人（2013年）考虑了一个连续时间队列模型，其中潜在的死亡动力学是Ga-ussian。我们考虑了一个双因素高斯死亡率模型，用于年龄为x的队列在t=0时的死亡率强度过程ux+t（t）：dux（t）=dY（t）+dY（t），（2.1），其中dY（t）=αY（t）dt+σdW（t）（2.2）dY（t）=（αx+β）Y（t）dt+σeγxdW（t）（2.3）和dWdW=ρdt。第一个因子Y（t）是所有年龄段普遍存在的强度过程的总趋势。第二个fa cto r Y（t）取决于漂移项和波动项的初始年龄。因子的初始值Y（0）和Y（0）分别用yand和yx表示。该模型易于处理，并且对于参数的特定选择（当α=γ=0时），已在Br igo和Mercurio（2007）中应用于短期利率建模。命题2.1在双因素高斯死亡率模型（等式（2.1）-（2.3））下-t）年龄为x+t的受试者在时间t的年预期生存概率，以过滤Ft为条件，由x+t（t，t）def=EPt给出E-RTtux（v）dv= eΓ（t，t）-Θ（t，t），（2.4）式中，使用α=αx+β和σ=σeγx，Θ（t，t）=（eα（t-（t）- 1） αY（t）+（eα（t-（t）- 1） αY（t）和d（2.5）Γ（t，t）=Xk=1σkαkT- T-αkeαk（T-t） +2αke2αk（t-t） +2αk+2ρσσαT- T-eα（T-（t）- 1α-eα（T-（t）- 1α+e（α+α）（T-（t）- 1α+ α!.

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能者818

2022-5-8 21:02:24

（2.6）是积分tux（v）dv的均值和方差，分别为高斯分布。我们将利用积分RTTux（v）dv是高斯分布且具有已知均值和方差的事实，在第3节推导长寿期权的分析定价公式。证据解方程（2.2）t，得到Y（t）的n积分形式，我们有ZTtY（u）du=ZTtY（t）eα（u-t） du+ZTtσZuteα（u-v）杜先生。（2.7）式（2.7）中的第一项可以简化为ztty（t）eα（u-t）杜=eα（T-（t）- 1.αY（t）。为了简单起见，我们将ux+t（t）替换为ux（t）。事实上，我们可以用公式（2.3）中的x+t代替x。使用x+t将考虑到经验观察，即死亡率的波动性随着x+t年龄的增加而增加（图1和图2）。然而，对于高斯过程，当第二个因子（σeγ（x+t））的波动性变得非常高时，强度达到负值的概率将不可忽略，例如当x+t>100（给定γ>0）时。使用x而不是x+t也将使第3节中的结果易于理解。基于这些原因，我们假设第二个因子Y（t）仅取决于初始年龄x。对于第二项，我们有σZTteαuZute-αvdW（v）du=σZTtZute-αvdW（v）duαeαu=σαZTtdueαuZute-αvdW（v）-σαZTteαudu祖特-αvdW（v）=σαeαTZTte-αudW（u）-σαZTteαue-αudW（u）=σαZTteα（T-u）- 1 dW（u），其中部分随机积分应用于第二等式。为了获得Y（t）的积分表示，我们遵循与上述相同的步骤，用等式（2.7）中的Y（t）替换Y（t）。然后很容易注意到，tZTtux（u）du=ZTtY（u）+Y（u）du（2.8）是一个具有均值Θ（t，t）（等式（2.5））和方差Γ（t，t）（等式（2.6））的高斯随机变量。方程（2.4）通过应用高斯随机变量的矩母函数得到。

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2022-5-8 21:02:28

2.2参数估计离散化过程中，假设每个整数年龄和日历年的强度不变，用中心死亡率m（x，t）近似（Wills和Sherris（20 11））。图1显示了t=1970年、1971年……澳大利亚男性中心死亡率m（x，t），2008年，年龄x=60,61，95.图2显示了中心死亡率的差异m（x，t）=m（x+1，t+1）- m（x，t）。数据的可变性m（x，t）随着ag-ex的增加而明显增加，这导致了γ>0的预期。此外，与过去相比，对于固定年龄的x，近年来中心死亡率略有改善。1970198019902000020106070809010000.10.20.30.4岁（t）年龄（x）m（x，t）图1。澳大利亚男性中心死亡率m（x，t），其中t=1970，1971，2008年，x=60,61，95.确定强度过程波动性的参数{σ，σ，γ，ρ}如下所述。正如Jevtic等人（2013）所述，我们的目标是使用19701980199020000201060708090100方法估算参数-0.1-0.0500.050.10.15岁（t）年龄（x） m（x，t）图2。中心死亡率的差异m（x，t）=m（x+1，t+1）- m（x，t），其中t=1970、1971、2007和x=60、61、94。因此，将模型校准到死亡率面。然而，我们利用了高斯模型的优势，该模型的方差可以被明确计算，因此，我们通过将模型的方差与死亡率数据a相匹配来捕获过程的差异部分。具体而言，实施的程序如下所述：（1）使用x=60、65、，90我们评估了m（x，t）随时间变化，用Var表示(mx）。（2）方差Var模型(x年龄的ux）由Var给出(ux）=Var（σ）W+σeγxW）=σ+2σσρeγx+σe2γxT

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2022-5-8 21:02:32

（2.9）由于死亡率之间的差异是按年度计算的，我们设定t=1。（3）然后通过拟合模型方差Var来估计参数{σ、σ、γ、ρ}(ux）至样本方差Var(对于年龄x=60,65，90使用最小二乘估计，即通过最小化XX=60,65。。。（Var）(ux |σ，σ，γ，ρ）- 变量(mx））（2.10），并考虑参数{σ，σ，γ，ρ}。剩下的参数{α，α，β，y，y，y}如下所述进行估计：（1）根据中心死亡率，我们获得了2008年65岁和75岁cohor t s的经验生存曲线。通过设置^Sx（0，T）=TYv=1（1）获得存活曲线- m（x+v）-1,0））（2.11）我们同时校准了65岁和75岁的模型，以获得α和β的合理值，因为第二个因子Y（t）的漂移与年龄有关。其中m（x，t）是时间t时x岁儿童的中心死亡率。（2）然后通过使用最小二乘估计将模型t的生存曲线（Sx（0，t））拟合到经验生存曲线，即通过最小化xx=65,75TxXj=1，来估计参数{α，α，β，y，y}^Sx（0，j）-Sx（0，j）（2.12）其中T=31和T=21，关于参数{α，α，β，y，y，y}。表1中报告了估计参数。由于γ>0，我们观察到，对于年龄x的老年人（初始年龄l），过程的波动性更高。表1估计的模型参数。σσγρα0.0022465 0.0000002 0.129832-0.795875 0.0017508αβyyy0。0000615 0.120931 0.0021277 0.0084923 0.02946950 5 10 15 20 25 30 3500.511.522.533.54tux年龄x=65 0 5 10 15 20 25 30 3500.511.522.533.54tux年龄x=75 0 5 10 15 20 25 3500.20.40.60.81TSurvival概率sx（0，t）年龄x=65 0 5 10 15 20 25 30 3500.20.40.60.81TSurvival概率sx（0，t）年龄x=75。25%。百分之五十。第75个百分点。第95个百分点。第五个百分点。25%。百分之五十。第75个百分点。第95个百分点。99%CIMean99%CIMeanFig。3.

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2022-5-8 21:02:36

2008年65岁（左上图）和75岁（右上图）的澳大利亚男性模拟强度过程的百分比u（t）和u（t），以及65岁（左下图）和75岁（右下图）的相应生存概率（平均值和99%置信区间）。图3的上面板分别显示了左面板和右面板中65岁和75岁模拟死亡率的百分位数。有人观察到，75岁的人的运动强度波动性高于65岁的人。图3的下面板中显示了相应的生存概率，以及99%的置信区间。t=0代表2008日历年，我们估计了1年生存概率-m（x+v）-1,0）乘以1-m（x+v）- 1, 0).逐点计算。正如图中所示，上述双因素高斯模型尽管简单，但为65岁和75岁的人群提供了合理的死亡率动态。3长寿衍生产品的分析定价我们考虑了具有不同支付结构的长寿衍生产品，包括长寿互换、长寿上限和长寿指数。在第2节介绍的双因素高斯死亡率模型的假设下，推导出了这些寿命衍生产品价格的闭式表达式。这些工具以生存概率为基础，并从定价角度分析其属性。3.1风险调整措施为了实现无套利估值，我们要求在风险调整措施下记录因子Y（t）和Y（t）obe的动态。为了保持模型的可处理性，我们假设在风险调整测度Q下，动态过程＠W（t）和＠W（t）=dW（t）（3.1）d＠W（t）=λσeγxY（t）dt+dW（t）（3.2）是标准布朗运动。

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2022-5-8 21:02:41

（3.2）λ代表长寿风险的市场价格。在Q下，我们可以将因子动力学写为：dY（t）=αY（t）dt+σdW（t）（3.3）dY（t）=（αx+β）- λσeγx）Y（t）dt+σdW（t）。（3.4）相应的风险调整后生存概率由Sx+t（t，t）def=EQt给出E-RTtux（v）dv= eΓ（t，t）-Θ（t，t）（3.5），其中α=αx+β替换为（αx+β）-λσeγx）在Θ（t，t）和Γ（t，t）的表达式中，参见等式。（2.5）和等式（2.6）。由于流动性长寿市场尚未开发，我们的目标是根据法国巴黎银行和欧洲投资银行（EIB）于2004年宣布的长寿债券，确定λ的合理价值，如凯恩斯等人（2006年）提出的，并应用于梅里克和谢里斯（2014年），另见威尔斯和谢里斯（2011年）。BNP/EIB长寿债券是一种25年期债券，其耦合付款与基于实际死亡率的幸存者指数挂钩。长期债券的价格由v（0）=XT=1B（0，T）eδTEP给出E-RTux（v）dv（3.6）由于长寿命市场仍处于发展阶段，因此，总体而言，我们假设存在风险调整措施，但不是唯一的。对于简单性，我们假设第一个因素没有风险调整，λ与年龄无关。法国巴黎银行根据英国ZF精算师部门提供的基于2002年的风险预测，将发行价格确定为预期现金流。式中，δ是一个价差，或每年的平均风险溢价，T年预测生存率假设为第2节中建模的65岁澳大利亚男性队列的T年生存概率，见等式（2.4）。由于BNP/EIB债券的定价基于比标准EIB利率低20个基点的收益率（凯恩斯等人（2006）），因此我们的价差δ=0.002。在风险调整措施Q（λ）下，长寿债券的价格对应于VQ（λ）（0）=XT=1B（0，T）EQ（λ）E-RTux（v）dv.

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2022-5-8 21:02:44

（3.7）将利率固定为r=4%，我们发现一个依赖于模型的λ，使得风险调整后的债券价格VQ（λ）（0）与市场债券价格V（0）尽可能接近。例如，对于λ=8.5，我们有V（0）=11.9045和VQ（λ）（0）=11.9068。有关上述程序的更多详情，请参考Meyricke和Sherris（2014）。在下文中，我们假设风险调整措施Q由λ0.5 10 15 20 25 30 3500.10.20.30.40.50.60.70.80.91水平TSurvival概率S 65（0，t）λ=0λ=4.5λ=8.5λ=12.5图确定。4.长寿风险λ不同市场价格的风险调整生存概率。图4显示了65岁澳大利亚人的风险调整生存概率，以及长寿风险λ市场价格的不同值。从图中可以看出，λ的较大（正值）值会导致生存概率的提高，而λ的较小值则表明在风险调整措施Q.3.2长寿互换下生存概率的下降。PSA长寿互换涉及交易对手互换与给定时间段内参考人群中幸存者数量相关的固定付款，可以被认为是S-f orwards的一本书，见Dowd（2003）。LLMA（2010b）开发了S前锋或“幸存者”前锋。长寿掉期可被视为一系列不同的S-f向流动。利差δ取决于债券的期限和被跟踪的队列的初始年龄（凯恩斯等人（2006）），δ与长寿风险的市场价格λ相关，但不同于λ。BNP/EIB长寿债券的参考队列f是2003年英格兰和威尔士65岁的男性。由于澳大利亚正在开发长寿衍生品市场，我们假设δ=0.002的相同读数（与英国一样）适用于2008年65岁的澳大利亚男性群体。

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kedemingshi

2022-5-8 21:02:48

但请注意，敏感性分析将在第4节中进行。到期日。使用S-远期的优点之一是，在合同开始时没有初始资本要求，现金流只在到期时发生。考虑一个年金提供者，他有义务支付一笔金额，该金额取决于存活者的数量，以及在时间T时一个群体的生存概率。如果存在长寿风险，存活概率是随机的。为了保护自己不受超出预期的生存概率的影响，供应商可以签订S-for ward合同，支付固定金额的K∈ （0,1）并获得与实际生存概率exp相等的金额{-RTux（v）dv}a t时间t。在这样做的过程中，供应商面临的生存概率是确定的，并与某个固定价值K相对应。如果合同的定价方式是在该选项中没有预付成本，则必须保持B（0，t）等式E-RTux（v）dv- K（T）= 0（3.8）。因此，固定金额可以确定为风险调整后的生存概率，即K（t）=EQE-RTux（v）dv. （3.9）假设长寿风险的市场价格为正，支付固定支腿并接受浮动支腿的长寿风险套期保值者承担进入S-forward的成本。按照Bi ffis等人（2014）的术语，金额K（T）=Sx（0，T）可以被称为到期日为T的s-for病房的资产负债表。一般来说，带有固定支腿K（不一定如等式（3.9）中的K（t））的anS远期的按市值计价过程F（t）由F（t）=B（t，t）EQt给出E-RTux（v）dv- K= B（t，t）EQtE-Rtux（v）dve-RTtux（v）dv- K= B（t，t）\'Sx（0，t）~Sx+t（t，t）- K（3.10）对于t∈ [0，T]。

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2022-5-8 21:02:51

“Sx（0，t）=e-Rtux（v）dv | Ft（3.11）是实现的生存概率，或队列的存活指数，在给定的NFT下是可观察的。式（3.10）中出现的术语“Sx（0，t）~Sx+t（t，t）”有一个自然的解释。给定时间t=0时的信息，该项变为Sx（0，t），这是风险调整后的生存概率。随着时间的推移，越来越多的信息∈ “Sx（0，T）~Sx+T（T，T）一词是前T年的实际生存概率和下一年的风险调整生存概率（T）的乘积-t）好几年了。在成熟期T，该产品成为时间T之前的已实现生存概率。换句话说，我们可以将“Sx（0，t）~Sx+t（t，t）视为t年风险调整后的生存概率，其信息在时间t之前已知。等式（3.10）中的价格过程F（t）取决于S-forward writenten在时间t（x+t）与到期时间（t）相同的队列中的互换率Sx+t（t，t）- t）。如果开发了流动性长寿市场，可以从市场数据中获得互换率Sx+t（t，t）。由于在时间t可以观察到¨Sx（0，t），S-远期的按市值计价过程可以被认为是独立于模型的。然而，由于长寿市场仍处于发展阶段，市场互换率不可用，基于模型的风险调整生存概率如果长寿风险的市场价格为正，风险调整生存概率将大于“最佳估计”生存概率，见图4。必须使用Sx+t（t，t）。

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2022-5-8 21:02:56

如果风险调整后的生存概率以封闭形式表示，则可以获得Sforward按市价计价的分析公式，例如，可以在双因素Ga-ussian死亡率模型下执行。由于长寿掉期是以S-远期组合的形式构建的，长寿掉期的价格只是单个S-远期价格的总和。3.3长寿CapsA长寿cap是长寿CAPlet的对开本，提供了与longevityswap类似的对冲，但它是一种期权型工具。再次考虑第3.2节中描述的一种情况，年金提供商旨在对冲特定同居者的T年生存概率高于预期的情况。除了使用S型远期进行套期保值外，提供方还可以在T时间对应于tomax的时间点，以支付的方式进入长寿caplet的多头头寸E-RTux（v）dv- K, 0（3.12）其中K∈ （0，1）是执行价。如果实际生存概率大于K，套期保值者将获得n个数量经验{-RTux（v）dv}- K来自长寿帽。这种支付可以被视为对提供者必须在年金投资组合中增加支付的补偿，因为预期生存概率大于预期生存概率。如果实际生存概率小于或等于K，则不存在现金流出。换句话说，longevity caplet允许提供者将其寿命敞口“上限”为K，而不存在下行风险。因为长寿帽的回报是非负的，所以它是有代价的。一个长条龙的价格等等l（t；t，K）=B（t，t）EQtE-RTux（v）dv- K+!（3.13）在双因素G下，aussian死亡率模型由以下命题得出。命题3.1在双因素高斯死亡率模型下（等式（2.1）－等式。

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2022-5-8 21:02:59

（2.3）长寿帽C在t时的价格l（t；t，K），到期日为t，行距为K，则得到bycl（t；t，K）=StStB（t，t）ΦqΓ（t，t）- D- KB（t，t）Φ(-d）（3.14）式中，“St=”Sx（0，t）是在t时可观察到的实际生存概率，“St=”Sx+t（t，t）是下一个（t）时的风险调整生存概率-t）好几年了，d=√Γ（t，t）ln{K/（\'St)St}+Γ（t，t）Φ（·）表示标准高斯随机变量的累积分布函数。证据在风险调整措施Q下，我们从命题（2.1）中得出，LDEF=-ZTtux（v）dv~ N(-Θ（t，t），Γ（t，t））。（3.15）使用简化的符号Θ=Θ（t，t），Γ=Γ（t，t），我们可以编写l（t；t，K）=B（t，t）EQt（‘SteL’- （K）+= B（t，t）Z∞-∞√2πΓe-l+~Θ√~Γ“Stel- K+Dl长寿caplet的收益与Bi FFIS和Blake（2014）中描述的风险债券本金中嵌入的期权的收益相似B（t，t）Z∞ln K/“St+Θ√~Γ√2πe-l“Stel√~Γ-~Θ- KDl= B（t，t）ΓSteΓ-ΘZ∞ln K/“St+Θ√~Γ√2πe-l-√~ΓDl - KZ∞ln K/St+Θ√~Γ√2πe-lDl.方程式（3.14）使用Φ（·）的性质，并注意到▽St=eΓ-Θ，也就是说，Θ=Γ- 圣卢西亚。与S型远期类似，长寿caplet的价格取决于产品术语“Sx（0，t）~Sx+t（t，t）”。特别是，如果K>Sx（0，t）~Sx+t（t，t），则长寿帽被称为缺钱；当K=\'Sx（0，t）~Sx+t（t，t）时，为零；如果K<\'Sx（0，t）~Sx+t（t，t），则为货币。公式（3.14）通过表2中总结的蒙特卡罗模拟进行验证，其中我们设置r=4%，λ=8.5，t=0。其他参数如表1所示。表2定价寿命caplet Cl（0；T，K）通过公式（等式（3.14））和蒙特卡罗模拟ofEq。(3.13); [，]表示95%的置信区间。（T，K）精确M.C。

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能者818

2022-5-8 21:03:03

模拟（10,0.6）0.15632 0.15644[0.15631,0.15656]（10,0.7）0.08929 0.08941[0.08928,0.08954]（10,0.8）0.02261 0.02262[0.02250,0.02275]（20,0.3）0.08373 0.08388[0.08371,0.08406]（20,0.4）0.03890.03897[0.03879,0.03914]（20,0.03915）根据[0.00520.005]命题[0.00530]的结果，双因素高斯死亡率模型得出了寿命caplet的价格，该价格是以下变量的函数：o第一个t年的实际生存概率\'Sx（0，t）；o风险调整生存概率Sx+t（t，t）在下一个t- t年利率r；o执行价格K；o成熟时间（T- t） )；以及o标准偏差qΓ（t，t），它是到期时间和模型参数的函数。由于数量增加-RTux（v）dvois对数正态分布在双因素高斯概率模型下，等式（3.14）类似于期权定价的Black-Scholes公式，其中基础股票价格遵循几何布朗运动。在我们的设置中，T时的股票价格被T年风险调整生存概率Sx（0，T）Sx+T（T，T）所取代，其信息在T时可用。虽然股票是分级的，可以直接使用市场数据建模，长寿caplet的基础是生存概率，这是不可交易的，但可以作为死亡强度动态的输出来确定。因此，Black-Scholes公式中股票价格波动的作用是由死亡率强度的积分的标准偏差Tux（v）dv发挥的。

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2022-5-8 21:03:07

由于积分tux（v）dv捕捉了Q下t到t的死亡率强度ux（t）的整个历史，人们可以将标准偏差QΓ（t，t）解释为从t到t期间x+t年龄段的风险调整后总寿命风险的可承受性。图5的左面板显示了年龄为x=65的队列的caplet价格，使用表1中指定的参数，作为时间到ma t ur City t和strike K的函数。我们将r=0.04、λ=8.5和t=0设置为‘Sx（0，0）=1。较低的执行价表明，caplet的买家愿意支付更多的价格，以确保更好的保护，防止比预期更大的生存概率。在0。10.20.30.40.5101520253000.10.20.30.40.5罢工（K）到期时间（T）Cl（0；T，K）0 2 4 6 8 10 12 140.020.0250.030.0350.040.0450.05λCaplet价格图。5.C将价格作为（左面板）T和K以及（右面板）λ的函数，其中K=0.4和T=20。另一方面，当到期时间t增加时，潜在的生存概率很可能取较小的值，这导致固定K的caplet在到期时缺钱的概率更高，见等式（3.12）。因此，对于固定K，caplet价格随着T的增加而降低。图5的右面板说明了长寿风险λ的市场价格对caplet价格的影响。caplet的价格随着λ的增加而增加。如图4所示，较大的λ值将导致Q下生存概率的提高。因此，观察到较高的资本价格，因为当λ增加时，Q下的潜在生存概率更大（平均），见等式。

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2022-5-8 21:03:10

(3.13).由于寿命上限被构造为一个寿命上限投资组合，它可以被定价为单个上限价格的总和，另请参见第4.1.2.4节管理假设寿命年金组合中的寿命风险寿命互换和上限的边缘功能针对寿命风险的假设寿命年金组合进行检查。考虑的因素包括长寿风险的市场价格、对冲工具的到期期限和基础年金投资组合的规模。4.1我们考虑一个假设的终身年金投资组合，该投资组合由年龄x=65的队列组成。与投保人数量相对应的投资组合规模用n表示。队列的潜在死亡率强度遵循第2节所述的双因素高斯模型，模型参数在表1中有详细说明。我们假设年金政策不包含任何负担，费用也不包括在内。此外，我们假设年金受益人在支付日期之前的存续期内，每年支付1美元的单笔保费、终身年金。t=0时评估的年金的公允价值或溢价由ax=ω给出-xXT=1B（0，T）~Sx（0，T）（4.1），其中r=4%，ω=110是morta-ity模型中允许的最大年龄。因此，人寿年金提供者将获得整个投资组合的总保费，用a表示，对应于个人保费的总和：a=n ax。（4.2）这是年金提供者在t=0时持有的资产的现值。

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能者818

2022-5-8 21:03:13

由于承诺现金流取决于养老金受益人在portfo lio的死亡时间，因此负债的现值受死亡强度随机动态造成的随机性影响。每个投保人的负债现值由Lk表示，由投保人的死亡时间τk确定，并由K给出=τk对于模拟τk，XT=1B（0，T）（4.3），且Q 表示实数q的下一个较小整数。整个投资组合的负债L的现值为单个负债的总和：L=nXk=1Lk。（4.4）附录a总结了模拟年金受益人死亡时间的算法，该算法要求队列死亡强度的单一模拟路径。未对冲年金投资组合的贴现盈余分布（Dno）通过设置Dno=a获得-L.（4.5）长寿风险的影响通过模拟贴现盈余分布来捕捉，其中每个样本由cohor t的实际死亡率强度确定。由于传统的终身年金定价和风险管理依赖于分散效应或大数定律，我们考虑每个保单的贴现盈余分布。无（4.6）。图6显示了每个保单的贴现盈余分布，无长寿风险（即当设定σ=σ=0时），不同的投资组合规模，从n=2000到8000不等。正如预期的那样，由于pricingalgorithm中没有假设负荷，分布的平均值集中在零附近，而标准偏差随着保单数量的增加而减小。在下文中，我们将长寿互换和上限视为对冲工具。这些是基于指数的工具，其收益取决于幸存者指数或已实现的生存概率（等式（3.11）），后者又由已实现的死亡率强度决定。

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2022-5-8 21:03:17

我们不考虑基差风险，但由于投资组合规模有限，幸存者的实际比例-Ntn，其中Ntn表示队列在[0，t]期间经历的死亡人数，通常与幸存者指数相似，但不完全相同（附录a）。因此，静态对冲将能够降低系统性死亡风险，而特殊的morta lityrisk成分将由年金提供商保留。4.1.1 S wap对冲年金投资组合或以指数为基础的长寿掉期对冲的年金投资组合，从swapn支付E-RTux（v）dv- K（T）（4.7）如果存在基差风险，我们需要区分年金组合下人群的死亡率强度（uIx）和队列的死亡率强度（ux），见Bi ffis等人（2014年）。-0.50 0.50123456789美元密度贴现盈余分配每保单n=2000n=4000n=6000n=8000Fig。6.不同投资组合规模（n）下无长寿风险的保单贴现盈余分布。时间T∈ {1，…，^T}取决于实现的死亡率强度，其中^T表示寿命互换的成熟度。保单持有人的数量n作为互换合同的名义金额，因此数量n exp{-RTux（v）dv}代表在时间T时实现的死亡率强度所暗示的存活人数。我们将互换的执行与风险调整后的生存概率相结合，即K（T）=Sx（0，T）=EQE-RTux（v）dv（4.8）在t=0时，掉期价格为零，见第3.2节。掉期对冲年金投资组合的贴现盈余分配可以表示为DSWAP=a- L+Fswap（4.9），其中Fswap=n^TXT=1B（0，T）E-RTux（v）dv-~Sx（0，T）（4.10）是长寿掉期多头头寸的（随机）贴现现金流。

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2022-5-8 21:03:20

掉期对冲年金端口对账单的每保单贴现盈余分配由DSWAP/n.4.1.2上限对冲年金端口对账单或基于指数的寿命上限对冲年金端口对账单的现金流量最大值确定E-RTux（v）dv- K（T）, 0（4.11）在T∈ {1，…，^T}是长寿上限中多头头寸的付款。我们设定k（T）=Sx（0，T）=EPE-RTux（v）dv（4.12）这样，寿命上限的罢工是给定F的“最佳估计”生存概率。上限对冲年金投资组合的贴现盈余分布由DCAP=a给出-L+Fcap- Ccap（4.13），其中fcap=n^TXT=1B（0，T）maxE-RTux（v）dv- Sx（0，T）, 0（4.14）是持有寿命上限a ndCcap=n^TXT=1C的贴现现金流l （0；T，Sx（0，T））（4.15）是寿命上限的价格。Dcap/n.4.2结果给出了上限套期保值投资组合每保单的贴现盈余分布。套期保值结果通过汇总统计进行汇总，包括平均值、标准偏差（标准偏差）、偏度、风险价值（VaR）和未套期保值投资组合每保单贴现盈余分布的预期差额，掉期套期保值和上限套期保值投资组合。由于长寿上限的支付是非线性的，且上限对冲年金投资组合的分布是不对称的，因此包含了偏态。VaR定义为每个保单贴现盈余分配的Q分位数。ES定义为每个保单贴现盈余分配的预期损失，前提是损失等于或低于q分位数。我们假设q=0.01，因此VaR和ES的置信区间对应于99%。我们使用5000个模拟来获得贴现盈余的分布。

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2022-5-8 21:03:23

根据长寿风险（λ）、套期工具到期期限（^t）和投资组合规模（n）的市场风险（w.r.t.）的不同假设，对套期有效性进行了检验。基本情况的参数如表3所示。表3基本情况下的参数。λ^T（年）n8。5 30 40004.2.1套期保值特征寿命风险的w.r.t.市场价格寿命风险的市场价格λ是决定长期衍生产品和人寿年金政策价格的因素之一。由于长寿互换、上限和终身年金的支付取决于同一人群的潜在死亡率强度，所有这些产品的价格都是相同的λ。图7和表4说明了改变λ对n未对冲、掉期对冲和上限对冲年金端口对账单分配的影响。长寿风险的程度可以通过分布的标准差、VaR和ES来量化。我们观察到，增加λ会导致分布向右移动，导致更高的平均盈余。另一方面，改变λ对分布的标准偏差和偏度没有影响。对于长寿掉期，风险调整后的生存概率被用作履约价格，因此长寿掉期的价格在开始时为零。相比之下，长寿上限的价格不是零，而Sx（0，T）是罢工最自然的选择。-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.5λ=0无树篱-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.5λ=4.5无树篱-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.5λ=8.5无树篱-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.5λ=12.5无树篱。7.长寿风险λ的市场价格对每份保单贴现盈余分配的影响。表4长寿保险wap和cap w.r.t的边缘特征长寿风险λ的市场价格。我是说性病患者。

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2022-5-8 21:03:27

偏度变为0。99ES0。99λ=0无对冲-0.0076 0.3592-0.2804-0.9202-1.1027互换对冲-0.0089 0.0718-0.1919-0.1840-0.2231互换对冲-0.0086 0.2054 1.0855-0.3193-0.3515λ=4.5无对冲0.1520 0.3592-0.2804-0.7606-0.9431互换对冲0。0048 0.0718-0.1919-0.1703-0.2094Cap-hedged0。0682 0.2054 1.0855-0.2425-0.2746λ=8.5无对冲0.2978 0.3592-0.2804-0.6148-0.7973掉期对冲0.0204 0.0718-0.1919-0.1547-0.1938上限对冲0。1205 0.2054 1.0855-0.1903-0.2224λ=12.5无对冲0.4475 0.3592-0.2804-0.4650-0.6476Swap-hedged0。0398 0.0718-0.1919-0.1354-0.1744Cap-hedged 0.1619 0.2054 1.0855-0.1489-0.1810对于未对冲的年金投资组合，较高的λ会导致人寿年金政策的保费更高，因为年金价格由风险调整后的生存概率Sx（0，T）决定，见等式（4.1）。换句话说，年金价格的上涨补偿了提供者在出售人寿年金保单时承担的长期风险。风险溢价和可承受性之间也存在权衡。设定更高的保费显然会提高保险业务的风险和回报，但可能会降低潜在投保人的兴趣。Chigodaev等人（2014年）研究了隐含寿命和年金价格之间的经验关系。当使用寿命互换对冲人寿年金投资组合时，VaR和ES的标准差和绝对值会大幅降低。通过在人寿年金保单中收取更高的长寿风险市场价格而获得的更高回报是由互换合同中隐含支付的增加的价格决定的（自Sx（0，T）≥ 式（4.10）中的Sx（0，T）。结果表明，随着λ的增加，年金投资组合中获得的额外回报和寿命互换的高隐含成本几乎相互抵消。

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2022-5-8 21:03:30

净影响是，掉期套期保值投资组合在很大程度上仍然不受λ假设的影响，只会导致分布平均值略微增加。对于上限对冲年金投资组合，贴现盈余分布是正偏态的，因为当投保人的寿命短于预期时，上限寿命允许年金提供商获得上行潜力。与无对冲投资组合相比，VaR和ES的标准偏差和绝对值也会降低，但与掉期对冲投资组合相比，降低幅度较小。当λ增加时，我们观察到，上限对冲投资组合的分配平均值的增加快于掉期对冲投资组合，但慢于非对冲投资组合。注意到当年金受益人的生存概率被高估时，即当年金受益人的寿命比预期短时，持有长寿上限没有影响（除了在合同开始时支付长寿保护上限的价格），而持有长寿掉期时会出现现金流出，请参见EQ。（4.10）和等式（4.14）。在长寿风险文献中，VaR和ES ar e特别重要，因为在处理长寿风险敞口时，它们是决定资本储备的主要因素（Meyricke和Sherris（2014））。如表4所示，当λ增加时，掉期对冲和上限对冲组合在VaR和ES方面的差异变小。

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2022-5-8 21:03:34

事实上，对于λ≥ 17.5与长寿互换相比，长寿上限在降低年金投资组合的尾部风险方面更有效。这一结果表明，在长寿风险λ的市场需求价格较大时，长寿上限可以比长期掉期更有效地降低VaR和ES，从而能够捕捉上行潜力。4.2.2期限到到期的套期保值特征表5长寿掉期和上限期限到到期的套期保值特征。平均标准偏差偏差变量0。99ES0。99^T=10年无对冲0.2978 0.3592-0.2804-0.6148-0.7973掉期对冲0.2820 0.2911-0.3871-0.5707-0.7490上限对冲0。2893 0.2989-0.2661-0.5801-0.7592^T=20年无对冲0.2978 0.3592-0.2804-0.6148-0.7973掉期对冲。1740.1794-0.7507-0.3656-0.5061Cap-hedged 0.2234 0.2310.2006-0.3870-0.5259^T=30年无对冲0.2978 0.3592-0.2804-0.6148-0.7973互换对冲0.0204 0.0718-0.1919-0.1547-0.1938Cap-hedged0。1205 0.2054 1.0855-0.1903-0.2224^T=40年无对冲0.2978 0.3592-0.2804-0.6148-0.7973掉期对冲-0.0091 0.0668 0.0277-0.1616-0.1869上限对冲0.0984 0.1999 1.1527-0.1909-0.2131表5和图8总结了对冲工具到期期限的对冲结果。

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2022-5-8 21:03:37

由于合同的长期性质，套期保值对^t无效≤ 10年后，标准差仅减少17左右- 两种仪器均为19%。图3左下角的面板显示，对于65岁的队列，最初几年的实际生存概率几乎没有随机性，因此套期保值被赋予λ=17.5，掉期套期保值投资组合的VaR和ES为-0.1051和-分别为0.1441。对于一个上限对冲的投资组合，它们变成了-0.1038和-分别为0.1360。-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.5期限=10年无套期保值-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.5期限=20年无套期保值-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.5期限=30年无套期保值-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.5期限=40年无套期保值。8.套期保值工具的到期期限对贴现的保单超额收益分配的影响。^T较短时的标志。两种工具的^T=30和^T=40之间的套期保值效果差异也很显著。事实上，年金投资组合的长期evity风险在30年后变得很小，因为大多数年金受益人在达到95岁之前已经去世。在我们的模型设置中，65岁的老人活到95岁的几率约为6%（图4中λ=0），因此，30年后只有大约400 0×6%=240项政策仍然有效。

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2022-5-8 21:03:42

剩下的大部分风险归因于特殊的死亡风险，而使用基于指数的工具对冲小型投资组合的寿命风险的用途有限。对于掉期对冲投资组合，当^T>20年时，标准差显著降低。另一方面，平均盈余下降到几乎为零，因为随着交易量的增加，参与形成掉期的S-远期数量增加，这意味着对冲的成本更高。对于长期资本上限，观察到类似的套期保值特征，与^T相对应。然而，随着^T的增加，上限对冲投资组合的分布偏度增加。可以通过注意到，尽管寿命上限能够捕获上升潜力，无论^T如何，但当^T更大时，它提供了更好的寿命风险保护。因此，当^T增加时，acap套期保值portf olio的分布变得更加不对称。4.2.3套期保值特征w.r.t.投资组合规模表6和图9展示了长寿掉期和投资组合规模变化为n的上限的套期保值特征。我们观察到，当投资组合规模增加时，标准差、VaR和es（非绝对项）都会下降。与未对冲的portfo lio相比-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.54n=2000无树篱-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.54n=4000无树篱-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.54n=6000无树篱-1.5-1.-0.50 0.5 1 1.500.511.522.533.54n=8000无树篱。9.投资组合规模n对每份保单贴现盈余分配的影响。表6不同投资组合规模（n）的长寿掉期和资本增值税的套期保值特征。我是说性病患者。

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