离散系统拟似然函数的高效计算

2022-5-9 05:48:33

例如，可以直接估算电子邮件地址：josef。hook@it.uu.se（Lars Josef H¨o¨ok）在已知转移概率密度的情况下，使用最大似然法将参数提交给Elsevier 2018年8月13日，但在实践中很少出现这种情况。然而，通常可以近似计算跃迁概率密度。概率密度是通过对Lo（1988）中的Fokker-Planck方程（一个偏微分方程）的解进行蛮力数值计算得到的；Lindstr¨om（2007），而Pedersen（1995b）提出了基于蒙特卡罗的方法；达勒姆和格兰特（2002）；Beskos等人（2009年）；Lindstrom（2012b）及其参考文献。这些方法的计算成本很高，因此不适用于大型数据集。Ait-Sahalia（2002）提出了转移概率密度的Gauss-Hermite级数展开式，尽管该方法仅限于具有特定结构的模型。在收集和存储大量数据方面的最新进展正在将重点从计算速度缓慢但在统计上有效的最大似然法转移到计算速度更快、但在统计上不太有效的准最大似然法，因为数据的丰富性往往弥补了效率的损失。Florens Zmirou（1989）介绍了一种基于准最大似然技术的简单方法，其中条件均值和方差来自模型的Euler Maruyama离散化，参见Kloeden和Platen（1992）。从计算角度来看，这是非常有效的，Florens Zmirou（1989）表明，随着采样间隔变为零，随着偏差消失，他们的方法相当于最大似然估计。凯斯勒（1997）提出了这种方法的更高阶版本。

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2022-5-9 05:48:36

准最大似然法通常是无偏的，见Sorensen（2012），前提是平均值和方差是正确的。Florens Zmirou（1989）中的偏差；因此，凯斯勒（1997）的方法明确取决于条件矩近似的质量，参见H–o–ok和Lindstrom（2014）。本文的目的是发展一种适用于中大型数据集的离散观测扩散过程准极大似然估计的快速计算方法。我们表明，由于力矩的计算方式，计算成本是线性的而不是超线性的。（我们的模拟显示，计算复杂度与EulerMaruyama方案相当，因此比任何近似最大似然法都快）。这将在不存在与Euler Maruyama方法相关的偏差问题的情况下实现，Euler Maruyama方法实际上独立于采样间隔。论文的概要如下。在第2节中，我们阐述了统计问题，并讨论了计算条件矩的一些替代技术。接下来是第3节，我们给出了一个导致次线性复杂性的数值实现。第4节对两种不同性质的扩散过程以及随机抽样数据进行了论证，并在第5.2节得出结论。扩散过程与条件动量(Ohm, F、 P，{Ft}t≥0）是一个过滤的概率空间，让Xt（θ）是一个定义在该空间上的随机过程，它求解以下一维随机微分方程（SDE）dXt=aθ（Xt）dt+bθ（Xt）dWt，Xt=x。（1）在本文中，我们假设漂移项和扩散项是有规律的（例如：。

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2022-5-9 05:48:41

有界增长和局部Lipschitz，参见Karatzas和Shreve（2012），了解替代条件），以确保解的存在性和唯一性。估计参数θ的最佳方法是最大似然估计。设xk=x（tk），k=1，K是由等式（1）生成的观测值。最大似然估计量定义为^θMLE=argmaxθ∈其中对数似然函数由`（θ）=logpθ（x）+KXk=1logpθ（xk | xk）给出-1). （3）跃迁几率密度pθ（xk | xk）-1）由模型隐含定义。该模型的性质是通过分析生成器L=aθ（x）得到的x+bθ（x）x、（4）跃迁几率pθ（xk | xk）-1）是福克-普朗克方程的解，由伴随算子（Lu，v）=（u，L）定义*v）在内部产品（·，·）下。福克-普朗克方程，当从xkat时间tk开始，到tk+1结束时，由tpθ（x，t）=-L*初始条件为pθ（x | xk）=δ（x- xk）。由于不连续性，这种初始条件可能会导致等式（5）的数值实现出现问题，参见Lo（1988）中的实现和Lindstrom（2007）中提出的补救措施。计算转移概率的另一种方法是使用马尔科夫性质和全概率定律，将中间变量相加并积分，参见Pedersen（1995b，a）Let tk-1<s<tk。然后它保持pθ（xk | xk-1） =Zpθ（xk，xs | xk）-1） dxs=Eθ[pθ（xk | xs）|xk-1] （6）蒙特卡罗方法可以很容易地逼近预期值，但大多数应用都需要使用方差缩减技术，参见Durham and Gallant（2002）；林德斯特罗姆（2012a）。然而，对于更复杂的模型，我们不能期望能够以闭合形式求解福克-普朗克方程（5）或方程（6）中的条件期望。

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2022-5-9 05:48:44

这意味着这些近似最大似然法的复杂性在观测数量上是线性的（就昂贵的运算而言）。一种可能的补救方法是高斯-埃尔米特（Gauss-Hermite），见Ait-Sahalia（2002），或saddlepoint，见Ait-Sahalia和Yu（2006）的扩展。对于频繁采样的数据，这些方法可能非常准确，但也有重要的局限性。比如兰帕蒂变换的存在，以及k=tk- tk-1由于错误通常是OL+1kL是级数展开中的项数。一个关键的操作是对进程Yt=g（Xt）（7）进行Lamperti变换，使得zt的动力学由dyt=f（Yt）dt+dWt给出。（8） Ait-Sahalia（2002）中的跃迁概率由Hermite级数近似给出（此处假设k= 对于所有观测值）pY（yk | yk-1) = 1/2φyk- yk-1.1/2∞Xj=0ηθjHjyk- yk-1.1/2（9）系数ηθj=j！EθHjyk- yk-1.1/2|锌-1.（10）其中Hj是一个j阶埃尔米特多项式。值得注意的是，级数展开不会收敛于所有分布，而有限展开可能对某些值为负。后者可以通过考虑对数密度的级数展开来解决，但该级数可能不统一。尽管如此，复杂度本质上是次线性的，因为衍生展开式的主要复杂度只执行一次。一种更简单的方法是使用准最大似然估计，参见Godambe和Heyde（2010）；瑟伦森（2012）；Lindstrom等人（2015年）。

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2022-5-9 05:48:48

下边是统计效率的损失，因为最大似然估计的分布如下所示：√N^θ - θD→ N（0，I）-1F），（11）其中θ是真参数，如果是定义为（IF）i，j=E的Fisher信息矩阵θiθjlog p（X |θ）（12）或者等价地（如果）i，j=E(θilog p（X |θ））(θjlog p（X |θ））（13）而拟极大似然估计的分布由下式给出：√N^θ - θD→ N（0，J）-1IJ-1），（14）式中（J）i，J=Eθi|ogθψ和（I）I，j=E((θilogψ（X |θ））(θjlogψ（X |θ））ψ是高斯密度，位置和尺度参数由条件均值和（co）方差给出。协方差总是大于或等于最大似然估计的方差（这源自CramerRao不等式），对于近似高斯模型，差异通常相当小，参见Overbeck和Ryd\'en（1997）。2.1。使用QML进行条件矩参数估计是我们开始计算随机过程条件矩的一个原因。在本节中，我们假设g（·）是一个表示任何感兴趣的条件时刻的一般函数。条件矩由θ[g（Xk）|Xk给出-1=xk]=Zg（xk）pθ（xk | xk-1） dxk，（15）式中pθ（xk | xk-1）是条件概率密度。上一节中的讨论说明了为什么等式（15）在一般情况下难以处理，这就是为什么我们必须求助于近似。条件矩的大多数近似可以表示为加权的sumEθ[g（Xk）|Xk-1=xk]≈Xiωig（ξi）。（16）这种近似包括蒙特卡罗估计等技术和各种确定性求积规则，如矩形规则、高斯-厄米特求积的梯形规则。也可以使用It¨o Taylor展开来近似条件期望。假设函数g是2k+1次连续可微的。

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2022-5-9 05:48:52

然后它认为eθ[g（Xk）|Xk-1=xk]=LXl=0Llg（xk）lkl！+O(L+1k），k=tk- tk-1.（17）注意，除非对X施加额外的约束，否则这种扩展不能保证收敛，详情见Ait-Sahalia（2002），但它通常在小时间间隔内运行良好，因为领先误差项为0(L+1k）。这类近似用于计算埃米特级数展开式中的矩，伊纳·t-Sahalia（2002）。可能有必要在一系列较小的步骤上迭代It’o-Taylor展开式关于稀疏采样数据的t/m，参见龙格-库塔和多步方法，见Kloeden和Platen（1992）。一开始提到的另一种方法是使用生成器计算条件矩。这需要我们为每一时刻解一个偏微分方程。Feynman-Kac（F-K）公式，见Karatzas和Shreve（2012），建立了条件期望和抛物偏微分方程之间的关系。具体来说，让τ∈ [tk]-1，tk]定义条件期望u（x，τ）=Eθ[g（Xk）|xτ=x]（18），当动力学由式（1）给出时。然后给出期望值的解作为期望值的解τu（x，τ）=-Lu（x，τ）。（19）在初始条件下，给定的x（y）等于g（y），其中g（y）等于g（y）。与福克-普朗克方程相比，求解伴随问题至少有两个优点。首先，对于任意数量的观测，我们只需要求解一个Pd，这应该与蒙特卡罗和求积方法的计算复杂度进行比较，其中有必要在每次观测之间计算权重和/或粒子。其次，从数值的角度来看，求解伴随方程更具鲁棒性，因为它有一个完整的初始条件（方程在时间上向后求解）。

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2022-5-9 05:48:54

对于标准矩，一个多项式，xp。我们稍后会证明，不管我们感兴趣的时刻有多少，它实际上足以解一个偏微分方程。这使得计算复杂度与完整的近似最大似然估计相比微不足道。我们在表1中分别对每种方法的优缺点进行了概念性总结。我们在福克-普朗克方法上做了标记(*) 因为这种方法的性能很小kdepends在前面描述的initialcondition类型中非常强。表1：不同参数估计方法的可行性。方法小大的小数据集大数据集Euler Maruyama Yes-Yes Yes Sit¨o-Taylor（等式（17））Yes Yes YesFokker Planck* Yes Yes Monte Carlo Yes Yes Hermite级数Yes-Yes Yes Generator（F-K）Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes在下一节中，我们将介绍一种从科尔莫戈罗夫向后方程计算条件矩的数值方法。3.科尔莫戈罗夫后向方程的离散化数值求解科尔莫戈罗夫后向方程可以用大量不同的方法实现。我们选择了在空间上具有中心差异的半离散化，以实现最大的简单性，并且我们将在稍后看到重用计算的可能性。倒向方程式（19）是一个复杂的问题，因为它有一个由感兴趣的条件矩u（x，T）=g（x）定义的最终条件，但缺少边界条件。这类似于许多期权定价问题，在这些问题中，通常会从解的渐近展开中施加边界条件，参见von Sydow等人（2015），了解计算期权价格的数值技术概述。为了使公式（19）适定，有必要对系数的某些值施加边界条件。

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2022-5-9 05:48:57

必要时的条件可以从Offhera函数（此处为一维）中找到，Fich=0，NXiaθ（xi）+xbθ（xi）κ（20），其中κ={-1，1}是边界法线。Fich时不需要边界条件≥ 费希拉（1956年）于1950年出版。例如，x=0时Cox-Ingersoll-Ross模型的Fichera条件由ab给出≥ σ/2也被称为Feller条件。假设后向方程在正Fichera意义下是适定的，没有边界条件，我们仍然需要确定半离散系统的边界值的一些条件。Ekstrom等人（2009年）建议通过求解边界处的简化后向方程来计算边界值，并在内部节点点上定义有限差分。我们在这里通过使用内部节点点在边界处求解完整方程（19）来推广这种方法。这种方法的优点是，它不需要一个大的解域，也不需要在代数系统中引入右手边向量。这使得我们能够快速计算我们将使用的解决方案的时间积分。转向内部节点导数的离散化。倒立二阶偏导数由二阶中心差近似，其中un=u（xmin+nh），h是两个节点之间的距离。然后，导数由联合国十、≈2h（联合国+1）- 联合国-1）（21）及联合国十、≈h（un+1- 2un+un-1) . （22）两种近似值的误差均为O（h）。将FD近似值（21和22）插入式（19）中，结果为：联合国τ= -aθ（xn）2h（un+1）- 联合国-1) -2hbθ（xn）（un+1）- 2un+un-1) . （23）在边界0，N处，我们需要用扭曲的有限差解方程（19）。在下边界上，我们使用以下方案：联合国十、≈ -HU- 2u+u（24）及联合国十、≈h（2u）- 5u+4u- u）。

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2022-5-9 05:49:01

（25）在上边界上使用类似的近似值，联合国十、≈H联合国- 2uN-1+uN-2.（26）及联合国十、≈h（2uN）- 5uN-1+4uN-2.- 联合国-3) . （27）将这些FD近似（24-27）插入等式（19）中，得到与等式（23）类似的等式。在近似空间算子后，我们对Kolmogorov后向方程的近似如下：，联合国τ=Aun（τ）（28），其中A是一个带状矩阵，包含以下元素，Ai，i+1=Aθ（xi）2h-bθ（xi）2h，Ai，i=bθ（xi）h，Ai，i-1= -aθ（xi）2h-bθ（xi）2h。A中的第一行和最后一行具有来自外推边界方程的额外非零列。现在我们已经离散了空间算子，我们转向时间离散。在这篇文章中，我们将使用矩阵指数来预测时间，见Moler和Loan（2003）。由于前面介绍的边界技术，这是可行的。为了说明我们将边界值包含在A中的方法的好处，我们考虑了标准边界条件的情况。g、使用狄里克莱。然后，半离散化系统成为联合国τ=~Aun（τ）+b（29），其中b包含边界值（此处假设与时间无关）。式（29）的通解由un（tk）给出-1） =exp~A（tk）-1.- （tk）un（tk）+A-1.经验~A（tk）-1.- （tk）- 我b（30）的计算成本比等式（28）的解更高，un（tk）-1） =exp（A（tk）-1.- 联合国（tk）。（31）此外，经典边界值的另一个缺点是模糊（~A）dim（A），因为它需要一个更大的解域，以避免边界值影响解，这是一个额外的计算成本。返回toEq。（31）解析解的近似误差（以指数图的形式）由u（x，tk）给出-1） =exp（L（tk）-1.- tk）u（x，tk）（32）≈ exp（A（tk）-1.- n（tk）=n（tk-1） +O（h）。（33）由于A不正常，出于稳定性原因，我们可能需要及时对解进行子迭代。

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大多数88

2022-5-9 05:49:04

当我们需要在非固定时间间隔评估解决方案时，也需要这样做，例如在随机时间实例中收集数据时。从以下等式exp（Aτ）=（exp（Aτ/m））m获得子迭代解，其中m的典型良好值可从以下条件kaτ/mk中找到≤ 1在Moler and Loan（2003）中给出。我们使用三次样条插值来计算不属于有限差分网格的值的条件期望。三次样条函数产生的插值误差为O（h），由Adnese网格的有限差分误差决定。根据第一矩^u（1）（x，tk）的解精确计算条件均值和方差-1） =^E[Xk | Xk-1=x]和二阶矩^u（2）（x，tk）-1） =^E[Xk | Xk-1=x]。然后通过DVAR[Xk | Xk]的组合获得条件方差-1=x]=^E[Xk |Xk-1=x]-^E[Xk | Xk-1=x]=^u（2）（x，tk）-1) - ^u（1）（x，tk）-1). (34)3.1. 收敛由于时间积分，半离散化不会引入任何误差。然而，导数的离散化和插值都会产生误差。我们可以通过对数值解进行加和减来分解插值后的数值解^uinterpb，而不需要插值^u和真解u。这将导致^uinterp=^uinterp±^u±u=^uinterpb- ^u |{z}插值，O（h）+^u- u |{z}离散化，O（h）+u=u+O（h）。（35）因此，如果使用良好的插值方法，插值误差主要由离散化误差控制。这意味着条件平均值可以以任意精度计算。接下来，我们发现条件方差由^u（2）给出，interp- （^u（1），interp）=u（2）+O（h）-u（1）+O（h）（36）=u（2）- （u（1））+O（h）（37）意味着条件方差中的误差也受有限差分网格h的密集度控制。

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2022-5-9 05:49:07

这意味着均值和协方差的误差可以任意小（我们选择设计参数h），从而得到一致的估计，参见Sorensen（2012）。这与Florens Zmirou（1989年）和Kessler（1997年）中的近似QML估计值形成了对比，在这两个估计值中不可能存在一致性。通过将该方法与Cox-Ingersoll-Ross（CIR）及其逆函数的条件均值和方差（iCIR）进行比较，对该方法的数值质量进行了基准测试。这些模型定义为，dXt=a（b- Xt）dt+σX1/2tdWtCIR（38）dXt=haXt+（σ- ab）~Xtidt- σ~X3/2tdWtiCIR（39）x00 5 10 15绝对误差10-410-310-210-1100101102103It-TaylorEuler-MaruyamaNew方法（a）条件平均误差x00 5 10 15绝对误差10-610-410-2100102It-210-TaylorEuler-MaruyamaNew方法（b）条件方差误差图1：CIR模型在不同方法之间的绝对误差比较，T=1/6。这些方法包括Euler-Maruyama格式、截断的o-Taylor（k=1）公式（17）和建议的方法。请注意，Euler Maruyama和It\'o-Taylor的条件var（右图）相等，而平均值（左图）不相等。选择时间T，使所有方法收敛。如果使用目标T，则丸山函数和生成器近似值的性能会更差。带)Xt=1/Xt。这意味着我们可以（至少在概念上）计算iCIR过程的跃迁概率密度和矩。让xn∈ {xmin，…，xmax}是一个xmin=0.05，xmax=0.15和tm的网格∈ {0，…，T}其中最终时间T=1/6。iCIRprocess的条件平均值相当长，涉及伽马函数，此处不予以表达，见Ahn和Gao（1999）。

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2022-5-9 05:49:10

所提出的方法、使用It¨o-泰勒展开的条件矩和Euler-Maruyama格式之间的绝对误差与图1中CIR模型的精确矩进行了比较。数值方法的收敛性如图2所示，其中我们使用参数Nx=24:9绘制了相对误差（相对均方误差）作为CIR模型空间离散的函数- 1，其中h=（xmax- xmin）/Nx。4.参数估计为了检验所提出的框架的适用性，我们在两个扩散模型上评估了拟极大似然估计。准最大似然10-1100error10-610-410-2mean:CIRvariance:CIRreference:h2mean:ICIRFigure 2:iCIRand CIR模型条件平均值和CIR模型条件方差的空间相对均方误差。这里τ=1/6，时间步数为Nt=1000。本试验的参数为{a，b，σ}={15,3,2}。发动机罩估计器定义为^θ=argmaxθ∈ΘKXk=1logψxk；^Eθ[xt | xk-1] ，dVarθ[xk | xk-1]（40）式中ψxk；^Eθ[xk | xk-1] ，dVarθ[xk | xk-1]是具有平均值^Eθ[xk | xk]的高斯密度函数-1] 方差varθ[xk | xk-1] 用新方法计算。我们将第3节中伴随方程计算的力矩与Euler Maruyama方法进行比较，并将其与已知的精确力矩进行比较。4.1. 中等数据集的估计我们还考虑了利率建模中常用的逆CIR模型，见等式（39）。在达勒姆（2003）基于可能性的分析中，该模型（或实际上是其简化）是美国利率数据的首选模型。该模型具有挑战性，因为漂移是非线性的，但可以证明条件矩可以通过解析计算得到。测试数据由使用每月时间步长的逆CIR模型生成t=1/12。

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大多数88

2022-5-9 05:49:13

使用x=5初始值，我们使用参数{a，b，σ}={15，3，2}生成了N=1000个观测值。前100个观察结果作为burnin被丢弃，剩下900个观察结果。为了在独立的数据集上评估估计器，重复了100次。该估计是在IntelR的准最大似然框架内进行的2.5GHz的i5内核，8GB内存。作为一个优化器，我们在MatlabR中使用了标准的Nelder Mead（fminsearch）（R2014b）带有初始猜测{10,5,1}。iCIR过程的结果如图3所示，我们发现所提出的方法是无偏的，而Euler Maruyama和Durham Gallant（见Durham and Gallant（2002））的近似最大似然估计是有偏的（后者是由于时域内的插补不足）。我们还发现，所提出的方法几乎和基于闭式转移概率密度的最大似然估计一样好。我们还注意到，Euler Maruyama仍然比建议的方法更差，即使该估计器有更密集的采样数据集。4.2. 随机抽样数据集的估计为了进一步测试所提出方法的适用性，我们在随机时间到达样本的CIR过程的模拟数据集上估计参数，参见ait-Sahalia和Mykland（2003）。对于离散时间模型来说，这将是一个具有挑战性的问题，但在建议的框架内，可以用连续时间模型轻松处理。我们模拟了1000次来自CIR过程的观测，参考公式（38），其参数和burnin与具有随机时间间隔的iCIRprocess相同。时间间隔是均匀分布的-tk-1.~ U（[1/252,1/6]）。

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kedemingshi

2022-5-9 05:49:17

图4显示了使用推荐方法、Durham Gallant方法和Euler Maruyama方法估计参数时的结果（注意，我们仅将a和σ参数表示为b，基本上由数据的无条件平均值给出）。可以看出，所提出的方法即使对于随机抽样数据也是无偏的，但所提出的方法的方差也比基于分析转移概率密度的最大似然估计差。这与我们的直觉一致，因为对于稀疏样本数据，跃迁密度将变得不那么高斯，这使得MLE在这种情况下成为首选估计量。4.3. 大数据集的评估大数据集的挑战是开发快速的方法。Euler-Maruyama方法非常快（力矩以闭合形式给出），但需要T→ 0和kT→ ∞ 关于一致性，参见Sorensen（2012）。本文提出的方法在稠密数据集8101214161820上计算分析Euler Maruyama-Durham Gallant新方法Euler地面真值参数：在稠密数据集2上计算分析Euler Maruyama-Durham Gallant新方法Euler。852.92.9533.053.1Groundtruth参数：bAnalytical Euler Maruyama-Durham Gallant新方法Euler-稠密数据集1。41.61.822.22.4Groundtruth参数：σ图3：使用似然函数的分析表达式、Euler Maruyama近似、DurhamGallant方法、我们提出的方法和使用更密集采样数据的Euler Maruyama估计的iCIR模型的估计参数。数据采样间隔为t=1/12，适用于他们的CIR模型。由于该时间步长导致Euler-Maruyama方法存在较大偏差；我们还使用t=1/52，图中的虚线框。

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2022-5-9 05:49:20

对于这种密集的数据集，Euler Maruyama方法表现更好，但仍然存在偏差。分析型Euler Maruyama-Durham Gallant新方法8101214161820Groundtruth参数：A分析型Euler Maruyama-Durham Gallant新方法1。21.41.61.822.2GroundtruthParameter：σ图4：使用似然函数、Euler-Maruyama近似、Durham-Gallant方法和我们提出的方法的分析表达式，随机采样数据的CIR模型的估计参数。数据采样间隔随机分布如下：T~ U（[1/252,1/6]）。参考图3和图4，当有限差分网格足够密集时，对任何采样间隔进行几乎无偏的估计，因此只需要K→ ∞为了一致性。在这里，我们评估了当数据由K=2000000个观测值组成时，计算拟线性函数时的计算性能，这使得数据集在计算上对大多数其他估计器不可行。参数和取样与第4.1节相同。我们在图5中给出了计算EulerMaruyama和建议方法的一组增加的观测值（图中的每个点代表1000个额外观测值）的准似然函数所需的时间。该图基于三次模拟的平均值。所提出的方法最初比Euler Maruyama更昂贵，因为我们需要计算一个矩阵指数来获得矩。

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2022-5-9 05:49:23

然而，初始计算后的成本与Euler Maruyama相似（实际上，对于许多观测来说，它有些便宜），尽管我们的方法是一致的，而Euler Maruyama是严重偏差的。这一结果非常令人鼓舞，因为我们不需要频繁采样数据以获得一致性，这意味着我们可以在相同的计算成本下处理更长时间范围内采样的数据集，这意味着我们可以比仅使用Euler Maruyama或类似算法更好地估计某些（通常是漂移参数）。数据集大小：K×1060 0.5 1 1.5 2计算时间：T（K）[s]00.050.10.150.20.25Euler-MaruyamaNew×1040 5 10×10-301020图5：作为数据集大小函数的三次连续测量的平均计算时间（壁时钟时间）。5.结论本文介绍了一种计算扩散模型条件矩的框架，该框架基于Kolmogorov后向方程的数值计算，后向方程是Fokker-Planck方程的伴随，在时域上具有精确积分。与计算条件矩的标准方法相比，数值解非常精确。本文利用计算得到的动量，构造了参数估计的拟极大似然函数。该方法计算速度非常快，因为复杂度是次线性的。所需要的只是计算一个单一的矩阵指数来计算所有的矩，而不考虑观测的数量。这使得该方法非常适合于大型数据集的参数估计，如图5所示，这与许多近似最大似然方法形成了对比，对于这些方法，计算复杂度在观测数量上通常是超线性的。参考文献：德赫·萨恩，高，B.，1999年。期限结构动力学的参数非线性模型。

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2022-5-9 05:49:26

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