对于财富过程Utin（1.5），我们将得到破产概率的闭式表达式，并进一步研究其性质。值得注意的是，（1.5）中的Utprocess是Hawkesprocess的扩展，具有指数核和指数分布的跳跃大小。即强度为λ的简单点过程ue-βt+Pi：τi<tCie-β（t-τi）, 其中Ciare i.i.d.指数分布，与Fτi无关-. 如果我们让Ut=ue-βt+Pi:0<τi<tCie-β（t-τi）。然后用η（u）：=βu来满足动力学（1.5）。当λ（·）为线性时，称为线性霍克斯过程，以霍克斯[15]命名。线性霍克斯过程可以通过移民出生表征进行研究，参见霍克斯和奥克斯[16]。当λ（·）是非线性时，霍克斯过程被称为非线性，非线性霍克斯过程是由Br’emaudand Massouli’e[9]首次引入的。例如[6,8,28,29,24,27,25,17]研究了线性和非线性Hawkes过程的极限定理。例如[12,22,26]研究了霍克斯过程在保险中的应用。作为本文破产概率结果的副产品和推论，具有指数核和指数分布跳跃大小的非线性Hawkes过程的第一个通行时间因此也是可分析的，这是独立的，是对Hawkes过程理论的新贡献。论文的结构如下。在第2节中，我们将导出财富过程Utin闭式的破产概率。还将研究预期红利、财富过程的第一和第二时刻、破产时间的拉普拉斯变换和预期收益时间。我们将通过许多例子来说明我们的结果，从而得到更明确的公式。我们还将给出数值例子。证据将在第3.2节中提供。主要结果2。1.

破产概率。定理1。假设∞λ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdv存在且不确定。那么，单位概率ψ（u）=P（τ<∞|U=U）由（2.1）ψ（U）=P（τ<∞) =R∞uλ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdvR∞λ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdv。图1和图2再次展示了公司破产前的财富过程。在图1中，η（z）是一个常数，我们可以看到财富过程总是以恒定速率衰减。在图2中，η（z）在z中是线性的，即η（z）=α+βz，对于某些α，β>0，财富过程呈指数衰减，可能会被破坏。对衰变函数η（z）的非参数方法使我们更加灵活。双重风险模型50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.511.522.533.548图1。公司破产前财富随时间变化的一个例子。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10024681012如图2所示。公司破产前财富随时间变化的一个例子。例2。假设Ut=u- ρt+PNti=1Ci，其中对于任何t≤ τ，Ntisa简单点过程，其强度与财富过程呈线性关系，即强度α+βUt-对于某些α，β>0。即η（v）=ρ和λ（v）=α+βv，适用于6个凌炯转v≥ 因此，破产概率由ψ（u）=R给出∞uα+βvρeγv-Rvα+βwρdwdvR∞α+βvρeγv-Rvα+βwρdwdv（2.2）=R∞u（α+βv）eγv-2ρβ（α+βv）dvR∞（α+βv）eγv-2ρβ（α+βv）dv=-ρe-α2ρβ-αx-β2ρx+γx+√πγ4β（2ρβ）3/2eγ（ργ-2α）2βerfα+βx-γρ√2βρ∞U-ρe-α2ρβ-αx-β2ρx+γx+√πγ4β（2ρβ）3/2eγ（ργ-2α）2βerfα+βx-γρ√2βρ∞=√πγ4β（2ρβ）3/2eγ（ργ-2α）2βh1- erfα+βu-γρ√2βρi+ρe-α2ρβ-αu-β2ρu+γu√πγ4β（2ρβ）3/2eγ（ργ-2α）2βh1- erfα-γρ√2βρi+ρe-α2ρβ，其中erf（x）：=√πRxe-tdt是误差函数。例3。假设λ（v）=对于某个常数u>γ，μη（v）。然后，破产概率由（2.3）ψ（u）=R显式给出∞ue-(u-γ） 虚拟现实∞E-(u-γ） vdv=e-(u-γ） u.一般来说，如果我们假设。

概率分布q（dc），那么，（2.4）Af（u）=-η（u）Fu+λ（u）Z∞[f（u+c）- f（u）]Q（dc）=0。我们的目标是找到f，使Af=0。一般来说，这可能不会产生封闭形式的解决方案。在λ（u）=μη（u）的特殊情况下，对于某些u>EQ[c]，则Af（u）=0减小到（2.5）- f（u）+uZ∞[f（u+c）- f（u）]Q（dc）=0。让我们试试Ansatz f（u）=eθu，然后我们得到（2.6）- θ+u（EQ[eθc]- 1) = 0.函数F（θ）：=-θ+u（EQ[eθc]- 1） 在θ中是凸的，F（0）=0。SinceF（0）=-1+uEQ[c]>0，我们得出结论，F（θ）=0有唯一的负解θ*. 那么，f（u）=eθ*uand f(∞) = 因此，（2.7）ψ（u）=P（τ<∞) = eθ*u、 双重风险模型7例4。假设λ（v）=（α+β√v） η（v）对于某些常数α>γ和β>0。然后，破产概率由ψ（u）=R给出∞u（α+β）√v） eγv-αv-2β√虚拟现实∞(α +β√v） eγv-αv-2β√vdv（2.8）=-√πβγ(α-γ） 3/2eβα-γerf(√x（α）-γ)+β√α-γ) -αα-γe-αx-2β√x+γx∞U-√πβγ(α-γ） 3/2eβα-γerf(√x（α）-γ)+β√α-γ) -αα-γe-αx-2β√x+γx∞=√πβγ(α-γ） 3/2eβα-γ-herf(√u（α）-γ)+β√α-γ) - 1i+α-γe-αu-2β√u+γu√πβγ(α-γ） 3/2eβα-γ-herf（β√α-γ) - 1i+α-γ、 其中erf（x）：=√πRxe-tdt是误差函数。例5。假设λ（v）=（αvβ+γ）η（v），对于某些常数α，β>0。然后，破产概率由ψ（u）=R给出∞u（αvβ+γ）e-αβ+1vβ+1dvR∞（αvβ+γ）e-αβ+1vβ+1dv（2.9）=-γβ+1(αβ+1)-β+1Γ（β+1，αxβ+1β+1）- E-1x+1xβ1∞U-γβ+1(αβ+1)-β+1Γ（β+1，αxβ+1β+1）- E-αβ+1xβ+1∞=E-αβ+1uβ+1+γβ+1（αβ+1）-β+1Γ（β+1，αuβ+1β+1）1+γβ+1（αβ+1）-β+1Γ（β+1，0），其中Γ（s，x）：=R∞xts-1e-tdt是不完全伽马函数。例6。假设λ（v）=（α-β1+v）η（v），对于某些常数α>γ和α>β>1。

然后，破产概率由ψ（u）=R给出∞u（α）-β1+v）e-(α-γ） v+β对数（v+1）dvR∞(α -β1+v）e-(α-γ） v+βlog（v+1）dv（2.10）=R∞u[α（v+1）β- β（v+1）β-1] e类-(α-γ） 虚拟现实∞[α（v+1）β- β（v+1）β-1] e-(α-γ） vdv=β（α）- γ)Γ(β, (α - γ） （x+1））- αΓ(β + 1, (α - γ） （x+1））∞uβ（α）- γ)Γ(β, (α - γ） （x+1））- αΓ(β + 1, (α - γ） （x+1））∞=-β(α - γ)Γ(β, (α - γ） （u+1））+αΓ（β+1，（α- γ） （u+1））-β(α - γ)Γ(β, (α - γ)) + αΓ(β + 1, (α - γ） ，其中Γ（s，x）：=R∞xts-1e-tdt是不完全伽马函数。8.凌炯柱例7。假设λ（v）=（γ+β1+v）η（v），对于某些常数β>1。然后，破产概率由ψ（u）=R给出∞u（γ+β1+v）e-β对数（v+1）dvR∞（γ+β1+v）e-βlog（v+1）dv（2.11）=γγ+β- 1（1+u）β-1+β - 1γ + β - 1（1+u）β。备注8。解释破产概率公式的一种方法是将其写成（2.12）ψ（u）=E[EγVV≥u] E[EγV]，其中V是概率密度函数λ（V）η（V）E的正随机变量-Rvλ（w）η（w）dw。2.2. 预期股息。我们也可以研究单一股息支付问题。让我们来看看红利的障碍。对于第一次财富过程Ut超过屏障b，比如在第一次通过时τb:=inf{t>0:Ut≥ b} ，股息金额D=Uτb- b已付款。如果公司在到达障碍b之前就破产了，则不支付股息。我们有兴趣计算待支付股息的预期价值E[D1τb<τ]。注意，根据指数分布的无记忆性，假设Ci是指数分布的i.i.d.，参数γ>0- b也呈指数分布，参数γ>0。因此，（2.13）E[D1τb<τ]=γP（τb<τ）。因此，问题简化为计算在公司破产之前派发股息的概率。定理9。假设∞λ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdv存在且不确定。

然后，概率φ（u，b）：=P（τb<τ| u=u）由（2.14）φ（u，b）=Ruλ（v）η（v）eγv给出-Rvλ（w）η（w）dwdvR∞γe-γcRb+cλ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdvdc，预期股息由（2.15）E[D1τb<τ]=γRuλ（v）η（v）Eγv给出-Rvλ（w）η（w）dwdvR∞γe-γcRb+cλ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdvdc。我们可以考虑如下多次股息支付：（2.16）τ（1）b:=inf{t>0:Ut>b}，τ（i）b:=inf{t>τ（i）b:Ut>b}，i≥ 2.如果τ（i）b<τ，则τ（i）b是股息的第i次支付。设N为破产发生前应支付的股息总数，pni=1为破产发生前应支付的股息总值。一个双风险模型9回顾一下，φ（u，b）=P（τb<τ| u=u）是在定理9中用闭式公式计算的。很容易看出p（N=0）=1- φ（u，b），（2.17）P（N=N）=φ（u，b）φ（b，b）N-1(1 - φ（b，b）），n≥ 因此，（2.19）E“NXi=1Di#=γE[N]=γφ（u，b）1- φ（b，b）。还可以计算待支付股息总额的拉普拉斯变换。对于任何θ>0，Ehe-θPNi=1Dii=ehe-θPNi=1DiNii（2.20）=E“γγ + θN#=1- φ（u，b）+φ（u，b）∞Xn=1γγ + θnφ（b，b）n-1(1 - φ（b，b））=1- φ（u，b）+φ（u，b）（1）- φ（b，b））γγ+θ1-γγ+θφ（b，b）。例10。假设λ（v）=对于某个常数u>γ，μη（v）。然后，我们可以得到f（x）=e-(u-γ） xand（2.21）Z∞f（b+c）γe-γcdc=γue-11.b.示例。假设η（v）=ρ和λ（v）=α+βv，那么我们可以取（2.22）f（x）=-ρe-α2ρβ-αx-β2ρx+γx+√πγ4β（2ρβ）3/2eγ（ργ-2α）2βerfα+βx- γρ√2βρ.我们可以计算出（2.23）Z∞f（b+c）γe-γ-cdc=√πγ√2βρ3/2eγ（ργ-2α）2βerfα+βb- γρ√2βρ.例12。假设λ（v）=（α-β1+v）η（v），对于某些常数α>γ和α>β>1。

然后，我们可以取（2.24）f（x）=β（α）- γ)Γ(β, (α - γ） （x+1））- αΓ(β + 1, (α - γ） （x+1），10凌炯庄我们可以计算出z∞f（b+c）γe-γ-cdc（2.25）=-β(α - γ） e（b+1）γ（α）- γ)β(β - 1)α-βΓ(β - 1，（b+1）α）- β(α - γ） e（b+1）γ（α）- γ） β（b+1）β-1α-1e-α（b+1）+β（α- γ） Γ（β，（b+1）（α）- γ))+ α-βe（b+1）γ（α- γ） β+1Γ（β+1，（b+1）α）- αΓ（β+1，（b+1）（α）- γ)).例13。假设λ（v）=（α+β√v） η（v）对于某些α>γ和β>0。然后，我们可以取（2.26）f（x）=√πβγ(α - γ） 3/2eβα-γerf√x（α）- γ) + β√α - γ-αα - γe-αx-2β√x+γx，我们可以计算出z∞f（b+c）γe-γ-cdc（2.27）=√πβγ(α - γ） 3/2eβα-γebγe-βγ(α-γ)(γ+1)√γ+1erfc√b（γ+1）+β√α-γ√γ + 1!+ erf√b+β√α - γ-αα - γγ\"-√πβeβα+bγα3/2erfcα√b+β√α!+ebγ-αb-2β√bα#。其中erfc（x）：=1- erf（x）是互补误差函数。2.3. 财富过程的第一和第二时刻。我们也有兴趣研究财富过程的第一和第二时刻。请注意，由于财富过程仅定义到破产时间τ，因此我们应该评估[Ut]∧τ] 和E[Ut∧τ] ，这通常是一个计算挑战，因为它需要明确知道破产时间的分布。我们推导了财富过程的第一和第二时刻，而不是一个特殊情况。设η（u）≡ ρ+uu和λ（u）=α+βu，对于某些α，β≥ 0，即（2.28）dUt=-（ρ+uUt）dt+djt，其中Jt=PNti=1Ci，其中nti是强度为λ（Ut）的简单点过程-) =α+βUt-以及具有分布Q（dc）的Ciare i.i.d。在这种情况下，τ≥ T、 其中是ODE（2.29）dut=-（ρ+uut）dt，ut=u，等于零。求解上述ODE并获得（2.30）ut很容易=ρu+uE-ut-ρu，T=ulog1+uuρ.那么，对于任何t<t，t∧ τ=t.双重风险模型11命题14。

对于任何t<ulog1+uuρ,（2.31）E[Ut]=ρ - αEQ[c]u- βEQ[c]+uE-(u-βEQ[c]）t-ρ - αEQ[c]u- βEQ[c]，and[Ut]=ue-2β（等式[c]-u）t+αEQ[c]1- E-2β（等式[c]-u）t2β（等式[c]- u)- （2）（αEQ[c]- ρ） +βE[c]）ρ- αEQ[c]u- βEQ[c]1- E-2β（等式[c]-u）t2β（等式[c]- u）+（2（αEQ[c]- ρ） +βE[c]）ρ - αEQ[c]u- βEQ[c]+uE-β（EQ[c]-u）t- E-2β（等式[c]-μt（βc[EQ]- u).2.4. 破产时间的拉普拉斯变换。在对偶风险模型的破产理论中，研究破产时间（2.32）ψ（u，δ）=E的拉普拉斯变换是一个非常有意义的问题E-δττ<∞,其中δ>0。注意，ψ（u，δ）也可以解释为一个永久数字期权，在破产时支付1美元，贴现系数δ>0，可以作为无风险利率。定理15。假设方程λ（u）η（u）f（u）+[λ（u）η（u）+λ（u）- γη（u）λ（u）- λ（u）η（u）+Δλ（u）]f（u）（2.33）- （γλ（u）+λ（u））δf（u）=0具有满足f的一致有界正解f（u）(∞) = 那么，我们有ψ（u，δ）=f（u）/f（0）。一般来说，具有非常数系数的二阶线性常微分方程不存在闭式解。尽管如此，仍有许多特例可以给出解析解。例16。λ（u）≡ λ、 η（u）=ρ+uu。那么，我们有（2.34）[λρ+λuu]f（u）+[（λu+λ）- γλρ + δλ) - γλuuλ]f（u）- γλδf（u）=0。这是一个特殊的二阶常微分方程，有一个解，参见例如Polyanin和Zaitsev[20]（2.35）f（u）=eγuJu + λu,u + λ + δu; -γu-ργu,其中J（a，b；x）是退化超几何方程（2.36）xy（x）+（b）的解- x） y（x）- ay（x）=0，在b>a>0的情况下有解：（2.37）J（a，b；x）=Γ（b）Γ（a）Γ（b）- a） 泽克斯塔-1(1 - t） b-A.-1dt，其中Γ（·）是伽马函数。12凌炯柱例17。假设λ（u）=ue-γu.然后，（2.38）η（u）f（u）+[η（u）+ue-γu+δ]f（u）=0，由此得出（2.39）f（u）=Zuη（v）e-Rvue-γw+Δη（w）dwdv。例18。假设λ（u）=γη（u）。

然后，（2.40）η（u）f（u）+Δη（u）f（u）- （γη（u）+η（u））δf（u）=0。进一步假设η（u）=α+βu，其中α，β>0。然后，（2.41）f（u）+（Δβu+Δα）f（u）+(-Δγβu+Δβ- Δγα）f（u）=0，得到溶液（2.42）f（u）=eγuJγ+Δβ2Δβ，；-δβu+2γ+ΔαΔβ!,其中J在（2.37）中定义。例19。假设η（u）≡ η是一个常数，λ（u）=ueλuf对于某些u，λ>0。然后，我们得到（2.43）f（u）+μηeλu- γ - λ +δηf（u）-γη+ληδf（u）=0，它相当于（2.44）f（u）+（aeλu+b）f（u）+cf（u）=0，其中（2.45）a:=μη，b:=-γ - λ+Δη，c:=-γη+λη.通过让ξ=eu，（2.44）减少到（2.46）ξfξ+（aξλ+b+1）ξfξ+cfξ=0，并且通过让z=ξλ，w=f z-k、 当k满足二次方程（2.47）λk+λbk+c=0时，我们将（2.46）简化为（2.48）λzwzz+[λaz+2kλ+λ（λ+b）]wz+kλa=0，其有解，见[20]（2.49）w（z）=Jk、 2k+1+bλ；-aλz,其中J在（2.37）中定义。双风险模型132.5。预计破产时间。我们已经计算了破产概率P（τ）<∞) 在定理1中的某些假设下。注意，当P（τ<∞) < 1，E[τ]=∞. 如果破产发生的概率为1，即P（τ<∞) = 1，我们还可以计算出破产发生的预期时间。定理20。假设P（τ<∞) = 让我们定义（u）：=Zuλ（v）η（v）Zv[-λ（w）- γλ（w）]λ（w）eγ（v）-w）-Rvwλ（r）η（r）drdwdv（2.50）+g（0）Zuη（0）η（v）λ（v）λ（0）eγve-Rvλ（w）η（w）dwdv，其中（2.51）g（0）：=1+λ（0）R∞Rcλ（v）η（v）Rv[-λ（w）- γλ（w）]λ（w）eγ（v）-w）-Rvwλ（r）η（r）drγe-γ（c）-u） dwdvdcη（0）- λ（0）R∞Rcη（0）η（v）λ（v）λ（0）eγve-Rvλ（w）η（w）dwγe-γ（c）-u） dvdc。假设sup0<u<∞f（u）<∞. 然后，E[τ]=f（u）。2.6。数值例子。在本节中，我们通过一些数值例子来说明定理1中得到的破产概率ψ（u）。图3和表3给出了λ（u）=（αuβ+γ）η（u）情况下破产概率ψ（u）的汇总统计数据，其中α=γ=1.0，β=0.0、0.5、1.0、1.5和2.0。

图4和表4给出了固定γ=1.0和β=1.5、2.0、2.5、3.0和3.5的情况下λ（u）=（γ+β1+u）η（u）的破产概率ψ（u）的总和统计。如图3和图4所示，初始财富u的破产概率ψ（u）的形状不一定是指数型的。当我们改变参数β时，它表现出丰富的行为类别。因此，我们建立的依赖于状态的双重风险模型比文献中的许多经典双重风险模型更加灵活和稳健。ψ（u）u=1 u=2 u=3 u=4 u=5β=0.0 0.3679 0.1353 0.0498 0.0183 0.0067β=0.5 0.4325 0.1184 0.0233 0.0035 0.0004β=1.0 0 0 0 0.4867 0.0981 0.0076 0.0002 0.0000β=1.5 0.5343 0.0747 0.0013 0.0000β=2.0.5756 0.0506 0.0001 0.0000 0.0000表3。当λ（u）=（αuβ+γ）η（u）为固定α=γ=1.3时，破产概率ψ（u）的图示。附录：定理1的证明。从（1.5）中，财富过程的最小生成器可以写成（3.1）Af（u）=-η（u）Fu+λ（u）Z∞[f（u+c）- f（u）]γe-γ-cdc。让我们找到一个函数f，使Af=0，这相当于（3.2）-η（u）f（u）- λ（u）f（u）+λ（u）Z∞uf（c）γe-γ（c）-u） dc=0.14凌炯柱0.511.522.533.544.5500.10.20.30.40.50.60.70.80.91uψ（u）图3。当λ（u）=（αuβ+γ）η（u）时，破产概率ψ（u）相对于初始财富u的图示。黑色、蓝色、绿色、红色和cion线表示β=0.0、0.5、1.0、1.5和2.0的情况。α和γ固定为1.0。从图中可以看出，当β=0.0时，破产概率在初始财富中呈指数衰减。否则，衰减的形状不是指数型的。ψ（u）u=1 u=2 u=3 u=4 u=5β=1.5 0.5893 0.4491 0.3750 0.3280 0.2948β=2.0 0 0.3750 0.2222 0.1562 0.1200 0.0972β=2.5 0.2475 0.1155 0.0688 0.0465 0.0340β=3.0 0 0.1667 0.0617 0.0312 0.0187 0.0123β=3.5 0.1136 0.0336 0.0145 0.0077 0.00464表4。

当λ（u）=（γ+β1+u）η（u）为固定γ=1时破产概率ψ（u）的图示。关于u的差异（3.2），我们得到- η（u）f（u）- η（u）f（u）- λ（u）f（u）- λ（u）f（u）+λ（u）Z∞uf（c）γe-γ（c）-u） dc（3.3）- λ（u）γf（u）+λ（u）γZ∞uf（c）γe-γ（c）-u） dc=0。将（3.2）代入（3.3），我们得到（3.4）η（u）f（u）=λ（u）λ（u）η（u）+γη（u）- η（u）- λ（u）f（u）。双风险模型150 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 500.10.20.30.40.50.60.70.80.91uψ（u）图4。当λ（u）=（γ+β1+u）η（u）时，破产概率ψ（u）相对于初始财富u的图示。黑色、蓝色、绿色、红色和cion线表示β=1.5、2.0、2.5、3.0和3.5的情况。γ固定为1.0。破产概率与初始财富呈衰减多项式关系。通过让f（u）=g（u），我们得到了（3.5）dgg=λ（u）λ（u）+γ-η（u）η（u）-λ（u）η（u）du，这意味着（3.6）g（u）=λ（u）η（u）eγu-Ruλ（v）η（v）dv是（3.5）的一个特殊解。因此，对于（3.7）f（u）：=Zuλ（v）η（v）eγv，Af（u）=0-Rvλ（w）η（w）dwdv。根据我们的假设，f(∞) 存在并且是确定的，而且很明显，对于任何人≤ U≤ ∞, 0≤ f（u）≤ f(∞) < ∞. 因此，根据可选的停止定理，（3.8）f（u）=Eu[f（uτ）]=f（0）P（τ<∞) + f(∞)P（τ=∞),这意味着（3.9）ψ（u）=P（τ<∞) =R∞uλ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdvR∞λ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdv。定理9的证明。让我们回忆一下，对于（3.10）f（u）=Zuλ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdv，16 LINGJIONG-ZHUwe有Af=0，根据我们的假设f是一致有界的。根据光学停止定理，f（u）=Eu[f（uτ）∧τb）]（3.11）=f（0）P（τ<τb）+Z∞f（b+c）γe-γcdcP（τb<τ），这意味着e[D1τb<τ]=γP（τb<τ）（3.12）=γf（u）- f（0）R∞f（b+c）γe-γ-cdc- f（0）=γRuλ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdvR∞γe-γcRb+cλ（v）η（v）eγv-Rvλ（w）η（w）dwdvdc。14号提案的证明。Utprocess的最小生成器由（3.13）Af（u）=-（ρ+uu）f（u）+（α+βu）Z∞[f（u+c）- f（u）]Q（dc）。让f（u）=u，我们得到Au=-ρ - uu+EQ[c]（α+βu）。

根据丁金公式，E[Ut]=u+ZtE-ρ - uUs+EQ[c]（α+βUs）ds（3.14）=u+(-ρ+αEQ[c]）t+（βEQ[c]- u）中兴[Us]ds，其产量为（3.15）E[Ut]=ρ - αEQ[c]u- βEQ[c]+uE-(u-βEQ[c]）t-ρ - αEQ[c]u- βEQ[c]。设f（u）=u，我们得到Au=αEQ[c]+（2（αEQ[c]-ρ） +βE[c]）u+2（βE[c]-u）u.由Dynkin公式计算，（3.16）E[Ut]=u+αEQ[c]t+（2（αEQ[c]-ρ） 中兴[Us]ds+2（βE[c]-u）中兴[Us]ds，这意味着ODE：（3.17）ddtE[Ut]=αEQ[c]+（2（αEQ[c]- ρ） β[Ut[E]- u）E[Ut]。双重风险模型17这是一阶线性常微分方程。与（3.15）一起，我们得到e[Ut]=ue-2β（等式[c]-u）t+Zte-2β（等式[c]-u）（t）-s） αEQ[c]ds（3.18）+（2）（αEQ[c]- ρ） +βE[c]）中兴通讯-2β（等式[c]-u）（t）-（s）ρ - αEQ[c]u- βEQ[c]+uE-(u-βEQ[c]）十二烷基硫酸钠- （2）（αEQ[c]- ρ） +βE[c]）中兴通讯-2β（等式[c]-u）（t）-s） ρ- αEQ[c]u- βEQ[c]ds=ue-2β（等式[c]-u）t+αEQ[c]1- E-2β（等式[c]-u）t2β（等式[c]- u)- （2）（αEQ[c]- ρ） +βE[c]）ρ- αEQ[c]u- βEQ[c]1- E-2β（等式[c]-u）t2β（等式[c]- u）+（2（αEQ[c]- ρ） +βE[c]）ρ - αEQ[c]u- βEQ[c]+uE-β（EQ[c]-u）t- E-2β（等式[c]-μt（βc[EQ]- u).定理15的证明。假设我们有一个一致有界的正函数f，使得Af=δf。注意f（Ut）f（U）e-RtAff（Us）ds=f（Ut）f（U）e-这是一个鞅。根据可选停止定理，（3.19）1=Ef（Uτ）f（U）e-RτAff（Us）ds=f（0）f（u）EE-δττ<∞.因此，（3.20）ψ（u，δ）=f（u）/f（0）。现在，让我们试着找到一个函数f，使得Af=δf。注意，Af=δf等于（3.21）-η（u）f（u）- λ（u）f（u）+λ（u）Z∞f（u+c）γe-γcdc=δf，这意味着λ（u）η（u）f（u）+[λ（u）η（u）+λ（u）- γη（u）λ（u）- λ（u）η（u）+Δλ（u）]f（u）（3.22）- （γλ（u）+λ（u））δf（u）=0。定理20的证明。回想一下，Utprocess的最小生成器是（3.23）Af（u）=-η（u）Fu+λ（u）Z∞[f（u+c）- f（u）]γe-γ-cdc。让我们找到一个函数f，使得Af=-1.

也就是说，（3.24）- η（u）f（u）- λ（u）f（u）+λ（u）Z∞uf（c）γe-γ（c）-u） dc=-1.18 LINGJIONG ZHUDi微分方程（3.24）关于u，我们得到- η（u）f（u）- η（u）f（u）- λ（u）f（u）- λ（u）f（u）+λ（u）Z∞uf（c）γe-γ（c）-u） dc（3.25）- λ（u）γf（u）+λ（u）γZ∞uf（c）γe-γ（c）-u） dc=0。将（3.24）代入（3.25），我们得到（3.26）f（u）+η（u）η（u）+λ（u）η（u）-λ（u）λ（u）- γf（u）=-λ（u）λ（u）+γη（u）。设g（u）=f（u），则g（u）满足一阶线性常微分方程：（3.27）g（u）+η（u）η（u）+λ（u）η（u）-λ（u）λ（u）- γg（u）=-λ（u）λ（u）+γη（u），由此得出一般解g（u）=Zu-λ（v）λ（v）- γη（v）e-Ruvhη（w）η（w）+λ（w）η（w）-λ（w）λ（w）-γidwdv（3.28）+g（0）e-Ruhη（v）η（v）+λ（v）η（v）-λ（v）λ（v）-γidv=λ（u）η（u）Zu[-λ（v）- γλ（v）]λ（v）eγ（u-v）-Ruvλ（w）η（w）dwdv+g（0）η（0）η（u）λ（u）λ（0）eγue-Ruλ（v）η（v）dv。因此，我们可以选择f（u）=Rug（v）dv，它给出sf（u）=Zuλ（v）η（v）Zv[-λ（w）- γλ（w）]λ（w）eγ（v）-w）-Rvwλ（r）η（r）drdwdv（3.29）+g（0）Zuη（0）η（v）λ（v）λ（0）eγve-Rvλ（w）η（w）dwdv。接下来，让我们确定g（0）。回想一下g（0）=f（0），也注意到f（0）=0。注意，通过让u=0（3.24），我们得到（3.30）- η（0）g（0）+λ（0）Z∞f（c）γe-γ（c）-u） dc=-1，这意味着-1 = -η（0）g（0）+λ（0）Z∞Zcλ（v）η（v）Zv[-λ（w）- γλ（w）]λ（w）（3.31）·eγ（v）-w）-Rvwλ（r）η（r）drγe-γ（c）-u） dwdvdc+g（0）λ（0）Z∞Zcη（0）η（v）λ（v）λ（0）eγve-Rvλ（w）η（w）dwγe-γ（c）-u） dvdc。因此，（3.32）g（0）=1+λ（0）R∞Rcλ（v）η（v）Rv[-λ（w）- γλ（w）]λ（w）eγ（v）-w）-Rvwλ（r）η（r）drγe-γ（c）-u） dwdvdcη（0）- λ（0）R∞Rcη（0）η（v）λ（v）λ（0）eγve-Rvλ（w）η（w）dwγe-γ（c）-u） dvdc。由Dynkin公式建立的双风险模型，对于任何K>0，（3.33）E[f（Uτ）∧K） ]=f（u）+E“Zτ∧KAf（美国）ds#=f（美国）- E[τ∧ K] 。根据我们的假设<∞f（u）<∞ τ<∞ a、 因此被称为K→ ∞, 根据有界收敛定理，我们得到了E[f（Uτ）∧K） ]→ E[f（Uτ）]，根据单调收敛定理，E[τ]∧ K]→ E[τ]。

因此，E[τ]=f（u）- E[f（Uτ）]，即E[τ]=Zuλ（v）η（v）Zv[-λ（w）- γλ（w）]λ（w）eγ（v）-w）-Rvwλ（r）η（r）drdwdv（3.34）+g（0）Zuη（0）η（v）λ（v）λ（0）eγve-Rvλ（w）η（w）dwdv。其中g（0）在（2.51）中定义。参考文献[1]Abramowitz，M.和I.Stegun。数学函数手册，包括公式、图表和数学表格。国家标准局应用数学，华盛顿，1964年。[2] 阿方索，L.B.，卡多佐，R.M.R.和A.D.如idio dos Reis。(2013). 双重风险模型中的股利问题。保险：数学和经济学。53, 906-918.[3] 阿尔布雷彻，H.，巴德斯库，A.和D.兰德里奥。(2008). 关于纳税的双重风险模型。保险：数学和经济学。42, 1086-1094.[4] Avanzi，B.，Cheung，E.C.K.，Wong，B.和J.K.Woo。(2013). 在偿付能力连续监测的双重模型中，研究了一种周期性的股利限制策略。经济学：数学保险。52, 98-113.[5] 阿万齐，B.，格伯，H.U.和E.S.W.肖。(2007). 对偶模型中的最优红利。保险：数学和经济学。41, 111-123.[6] Bacry，E.，Delattre，S.，Ho Off mann，M.和J.F.Muzy。(2013). HawkesProcess的缩放限制以及在金融统计中的应用。随机过程及其应用123，2475-2499。[7] Bayraktar，E.和M.Egami。(2008). 在跳跃扩散模型中优化风险资本投资。运筹学的数学方法。67, 21-42.[8] Bordenave，C.和Torrisi，G.L.（2007）。泊松聚类过程的大偏差。随机模型，23593-625。[9] Br\'emaud，P.和Massouli\'e，L.（1996年）。非线性Hawkes过程的稳定性。安。Probab。，24, 1563-1588.[10] 张东健（2012）。分析随机收益业务的统一方法。斯堪的纳维亚精算杂志。2012, 153-182.[11] 张，E.C.K.和S.Drekic。(2008).

双重风险模型中的红利矩：精确和近似方法。阿斯汀公告。38, 399-422.[12] Dassios，A.和H.Zhao。(2012). 由动态传染索赔导致的破产。经济学：数学保险。51, 93-106.[13] Fahim，A.和L.Zhu（2015）。Optima投资于双重风险模型。预印本。[14] 格伯，H.U.（1979）。数学风险理论导论。胡伯纳基金会专著，第8期。[15] 霍克斯，A.G.（1971）。一些自激和互激点过程的光谱。生物计量学。58, 83-90.[16] 霍克斯，A.G.和奥克斯，D.（1974）。自激励过程的集群过程表示。J.阿普尔。问题。11, 493-503.[17] 卡拉巴什，D.和L.朱。(2015). 带标记的Hawkes过程的极限定理及其在风险模型中的应用。出现在随机模型中。[18] 吴亚青（2009）。在具有红利阈值的双重模型上。经济学：数学保险。44315-324.20令炯柱[19]Ng，A.C.Y.（2010）。关于具有相位型增益的双风险模型的上交叉概率和下交叉概率。ASTIN公告40281-306。[20] 波利亚宁，A.D.和V.F.扎伊采夫。普通微分方程精确解手册，第二版。查普曼和霍尔/CRC，博卡拉顿，2003年。[21]Rodriguez，E.，Cardoso，R.M.R.和A.D.如idio dos Reis。(2015). 关于erlang（n）双重风险模型的一些进展。阿斯汀公告。45, 127-150.[22]Stabile，G.和Torrisi，G.L.（2010）。非平稳霍克斯到达的风险过程。Methodol。计算机。阿普尔。问题。12 415-429.[23]杨，C.和K.P.森多娃。(2014). Sparre-Andersen对偶模型下的破产时间。保险：数学和经济学。54, 28-40.[24]朱，L.（2013）。霍克斯过程的中度偏差。统计与概率信件。83, 885-890.[25]朱，L.（2014）。具有Hawkes跳跃的Cox-Ingersoll-Ross过程的极限定理。

应用概率日志。51, 699-712.[26]朱，L.（2013）。具有非平稳到达和次指数索赔的风险过程的破产概率。保险：数学和经济学。53 544-550.[27]朱，L.（2013）。非线性Hawkes过程的中心极限定理。应用可能性杂志。50 760-771.[28]朱，L.（2015）。马尔可夫非线性Hawkes过程的大偏差。应用可能性年鉴。25, 548-581.[29]朱立军（2014）。非线性Hawkes点过程的过程级大偏差。安纳莱斯德·亨利·庞卡研究所，第50845-871页。明尼苏达大学数学学院双子城明尼苏达州东南部教会街206号美国邮政地址：zhul@umn.edu