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非线性偏微分方程在解决金融中的一些优化问题时出现，
mingdashike22
1152 20
2022-05-09
英文标题：
《Nonlinear PDEs risen when solving some optimization problems in finance,
  and their solutions》
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作者：
Andrey Itkin
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider a specific type of nonlinear partial differential equations (PDE) that appear in mathematical finance as the result of solving some optimization problems. We review some existing in the literature examples of such problems, and discuss the properties of these PDEs. We also demonstrate how to solve them numerically in a general case, and analytically in some particular case.
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中文摘要：
我们考虑一种特殊类型的非线性偏微分方程（PDE），它出现在数学金融中，是解决一些优化问题的结果。我们回顾了一些文献中存在的此类问题的例子，并讨论了这些偏微分方程的性质。我们还演示了如何在一般情况下数值求解它们，以及在某些特定情况下解析求解它们。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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kedemingshi
2022-5-9 07:37:16
非线性偏微分方程（PDE）在解决金融领域的一些优化问题及其解决方案时上升。伊特基纳，*纽约大学阿波罗理工学院工程学院，6 Metro技术中心，纽约布鲁克林RH 517E 11201，USA摘要我们考虑一种特殊类型的非线性偏微分方程（PDE），它出现在数学金融中，是解决一些优化问题的结果。我们回顾了一些文献中存在的此类问题的例子，并讨论了这些偏微分方程的性质。我们还演示了如何在一般情况下数值求解它们，以及在某些特定情况下解析求解它们。关键词：非线性偏微分方程、优化、有限差分模式1。动机和介绍在本文中，我们考虑一种特殊类型的非线性偏微分方程，它通过将优化应用于一些金融问题而出现在数学金融中。为了说明这一点，我们从利普顿（2001）给出的例子开始，他考虑了一个最优消费问题，第一次在默顿（1971）提出。1.1。利普顿的例子利普顿（2001）认为利普顿的投资组合包括国内和国外债券。国内债券Yt的相对值是常数，即Yt=Y=1，而国外债券Yt的相对值是随机的，并遵循几何布朗运动，具有恒定的真实世界漂移u和波动性σ，因此本文所代表的观点是作者自己的观点，不一定代表纽约大学的观点。*相应的authorEmail地址：aitkin@nyu.edu（A.Itkin）预印本于2021年9月7日提交给爱思唯尔。假设Υt=（Υt，Υt）是一种可预测的自我融资交易策略，其对应的线性财富∏t=Υt+ΥtYt，ωt=ΥtYt/是该财富中投资于外国债券的部分。策略的自我融资意味着给定的∏1有∏t=ΥtdYt=Υt（udt+σdWt）=ωt∏t（udt+σdWt），其中wt是布朗运动。
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kedemingshi
2022-5-9 07:37:19
最优消费问题在于找到策略ωT，该策略在到期日T时提供预期财富E（πT），使得E（πT）>π，同时最小化∏T的方差，即E（πT），其中Eis是以初始时刻T=0为条件的预期。通过使用拉格朗日乘子λ和函数J（t，Y，π）=minω[E（πt- λ∏T）]，前面的陈述等价于Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）问题的解minωJt+σF（ω）+uYJY+ω∏J∏= 0，（1）F（ω）=（Y）JY，Y+2ωY∏JY，π+（ω）J∏，π。当t=0时，函数J（0，Y，π）=∏- λ∏不依赖于Y，所以解J（t，Y，π）=J（t，π），因此等式（1）减少了tominωJξ-（ω） πJ∏，π- ω′u∏J∏, （2） 式中ξ=σ（T- t） ，u=u/σ。假设J∏，π>0（见Lipton（2001）进一步讨论），等式（1）有一个显式解ω=-“uJ∏/（πJ∏，π）可被替换回等式（1）以产生以下J问题：Jξ=“uJ∏J∏，π”。（3） 这是我们感兴趣的一个非线性方程。基于初始条件j（0，π）=∏- λ∏可通过将J表示为∏的水力学形式，并将系数表示为ξ的函数来解析求解。进一步的细节可以在Lipton（2001）中找到。Carr示例Carr（2014）认为，买入期权价格C（S，t），S是基础现货价格，是一些函数F（p；S，t）相对于一些变量p最大化的结果，p保持参数S和t不变。他证明了如果调用值C（S，t）是S的凸函数，那么F（p；S，t）=pS- C*（p；t），其中C*（p；t）是调用值C（S；t）的勒让德-芬切尔变换，即：*（p；t）≡ supS[pS]-C（S；t）]。Healso证明，如果调用值C（S，t）是S的凸可微函数，则函数F的参数p也是LegendreFenchel变换C的参数p*C（S；t）中的（p；t），也是调用的增量，即p=SC（S；t）。
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kedemingshi
2022-5-9 07:37:22
这一结果激发了他对期权定价的双重方法。这意味着，在期权定价的标准（原始）方法中，现货价格过程S是该方法的输入，而期权增量后面的随机过程是该方法的输出。相比之下，Carr的双重方法首先指定了一个随机过程，用于看涨期权的delta p，而不是标的资产的现货价格s。此外，卡尔在同一基础上考虑远期合约，并假设远期合约的价值Xt解出随机微分方程：dXt=a（Xt，t）dWt，t∈ [0，T），（4）其中a（Xt，T）是局部波动函数。换句话说，Xt遵循算术布朗运动。然后调用值函数c（x，T）≡等式[X+T | Xt=X]求解以下抛物线偏微分方程：a（X，T）c（X，T）+c（X，T）=0，X∈ R、 t∈ [0，T）。（5）根据终端条件：c（x，T）=x+，x∈ R.（6）这里等于风险中性度量下的预期，sub indexin cin Carr的符号表示c的第一个参数的第一个导数，sub INDEXDENOTES与第二个参数相同。因此，cis是第一个参数的二阶导数。与原始方法不同的是，在对偶方法中，Carr引入x作为（p，t）的函数，因此这些变量中的期权价格是c*（p，t）isc*（p，t）≡ p·x（p，t）- c（x（p，t），t），p∈ （0,1），t∈ [0，T）（7）因此，在一些温和的假设下*（p，t）关于第一个论点isc*（p，t）=x（p，t）+px（p，t）- c（x（p，t），t）x（p，t）=x（p，t），（8），因为p=c（x（p，t），t）和c*（p，t）=x（p，t）=c（x（p，t），t），p∈ [0,1]，t∈ [0，T），（9）通过反函数定理。自c（x，T）≥ 0意味着c*（p，t）≥ 0，c*在p中是凸的。
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何人来此
2022-5-9 07:37:24
也基于Legendre transformx=c的属性*（p，t）和thusc（x，t）=xc*（p（x，t），t）- C*（p（x，t），t），x∈ R、 t∈ [0，T）。（10）利用它的^o引理，卡尔还导出了nv（p，T）之间的一个重要关系——与δ过程Pt的波动性相关的函数≡ c（Xt，t），t∈[0，T）到调用delta p的级别∈ （0,1）到时间t∈ [0，T）：v（p，T）c*（p，t）=c（x（p，t），t）a（x（p，t），t），p∈ （0,1），t∈ [0，T）。（11）最终是一个双偏微分方程：v（p，T）c*（p，t）- C*（p，t）=0，p∈ （0,1），t∈ [0，T），（12）受终端条件限制↑Tc*（p，t）=x1（x>0）- x+=0。（13） 虽然式（5）中的标准偏微分方程通常被称为后向方程，但式（12）中的双偏微分方程是前向方程。尽管Carr（2014）没有发现这一点，但我们将展示如何将等式（12）转换为非线性偏微分方程。1.3. 进一步注意：上述考虑隐含地假设，delta过程的局部波动函数v（p，t）已知p和t的所有必要值，然后是远期PDE等式（12）和终端条件等式。（13） 解决了这个问题。然而，从实践的角度来看，这种假设可能是不现实的，因为市场没有明确地提供dev（p，t）。乍一看，克服这一问题的可能方法之一是首先解决向后问题，然后使用条件式（11）从给定地图p的选项gammas c（x，t）的预计算值恢复v（p，t）→ p（x，t）。然而，这并不是完全正确的。事实上，假设我们解决了反向问题，例如，使用有限差分法，现在在（x，t）中的二维网格上的每个点都有c（x，t）。因此，在t=0时，我们在这个网格上有p=p（x，0）的值。假设我们现在想要解决正问题，并使用这些p值作为p网格。
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可人4
2022-5-9 07:37:28
接下来，让我们用一个时间步长向前迈出一步t、 显然，p（x，t） 6=p（x，0）。因此，如果Westwill使用p（x，0）值构建的p网格，x网格固定在t=0，则逆映射为x(t） =x（p，t） 与x（0）不一致。因此，在x网格上定义的a（x.t）和c（x，t）的值必须在时间上重新插值t在x上(t） 网格。更糟糕的是，为了做到这一点，我们需要知道x(t） 对应于t=0时定义的P网格。所以，要么我们还需要在向后递归过程中在内存中存储c（x，t）的所有值，要么使用连接x（p，t）=c*（p，t）。在后一种情况下，方程（12）的正向线性方程变得非线性，因为根据方程（11），我们需要使用映射x（p，t），其中x反过来是c的函数*. 下面在给出数值结果时，我们将更详细地讨论映射x（p，t）的特性。同样值得一提的是，这种方法总体上存在一些缺陷。首先，一旦向后问题得到解决，我们很可能不需要解决对偶问题。一个可能的例外与长期期权的估值有关。其次，在x和t中存储网格上的所有伽马值（可能还有增量）可能会消耗内存。因此，我们对这个问题提出了另一种观点。在下文中，我们放松了上述假设，即PTI的局部波动函数v（p，t）已知。相反，我们假设只有远期过程的局部波动率a（x，t）是已知的。我们用新的变量p，t来表示它，为了消除任何混淆，我们引入了表示函数a的新符号，即^a（p，t）。
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