一类非线性核的随机控制及其应用

2022-5-9 10:14:15

一类非线性核函数的随机控制及其应用*谭小璐+潮州2017年7月28日摘要我们考虑一类非线性核的随机控制问题。更准确地说，我们感兴趣的问题在于，在一组可能非支配的概率测度上，对倒向随机微分方程（BSDE）的解进行优化。由于BSDE是传统（线性）期望的非线性推广，这个问题可以理解为一系列非线性实验的随机控制，或等价于非线性核的随机控制。我们的第一个主要贡献是在bs域环境中证明该控制问题的动态编程原理，然后使用该原理提供值函数的asemi-鞅特征。接下来我们将探讨我们的结果的各种应用。我们首先得到了二阶BSDE（如[86]中所述）的适定性结果，它不需要对终端条件和生成器进行任何正则性假设。然后，我们在稳健的s-集中证明了一个非线性的期权分解，扩展了[71]的最新结果，然后我们利用这个结果在不确定、不完全和非线性的金融市场中获得了一个超套期对偶。最后，在其他正则性假设下，我们将值函数与适当路径依赖的部分微分方程（PPDE）的粘度解联系起来。关键词：随机控制，可测选择，非线性核，二阶BSDE，路径依赖型偏微分方程，鲁棒超级混合MSC 2000主题分类：60H10；60H301简介动态规划原理（简称DPP）自20世纪70年代开始应用以来，一直是控制理论中的主要工具。

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2022-5-9 10:14:19

非正式地说，这个原则简单地说，全局优化问题可以分为一系列局部优化问题。尽管这一原则非常直观，但其严格的公正性已被证明是一个令人惊讶的难题。因此，对于随机控制问题，动态规划原理是*巴黎大学——巴黎理工学院研究大学道普·海恩，法国巴黎，法国塞雷梅德，75016，possamai@ceremade.dauphine.fr+巴黎大学——巴黎理工大学多芬分校，法国巴黎塞雷梅德国家研究院，75016，tan@ceremade.dauphine.fr新加坡国立大学数学系，matzc@nus.edu.sggenerally基于控制关于条件和串联的稳定性，以及一个可测量的选择参数，粗略地说，它允许证明相关值函数的可测量性，以及通过“粘贴”构造几乎最优的控制。这正是Bertsekas和Shreve[6]以及Dellacherie[25]针对离散时间随机控制问题所采用的方法。在连续的时间里，对动态规划原理的全面研究仍然比较难以捉摸。

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2022-5-9 10:14:23

因此，El Karoui在[34]中建立了连续时间环境下最优停止问题的动态规划原理，关键是利用了停止时间的强稳定性，以及在这种情况下可以避免可测量选择论证的事实，因为本质上确界的超限时间可以用可数随机变量族上的上确界来近似。后来，对于一般受控马尔科夫过程（连续时间）问题，El Karoui、HuuNguyen和Jeanblanc[36]提供了一个框架，通过将控制解释为正则轨道空间上的概率测度，利用可测选择定理推导出动态规划原理（参见[36]中的定理6.2、6.3和6.4）。推导DPP的另一种常用方法是，在附加假设下，通过证明值函数的先验规律性，绕过可测量选择论证。这是弗莱明和索纳[43]以及布沙尔和图齐[15]的所谓弱势民进党所采取的策略，后来布沙尔和努茨[10,12]和布沙尔[10,12]扩大了这一策略，Moreau和Nutz[9]研究了具有状态约束的最优控制问题，以及不同的问题（参见Dumitrescu、Quenez和Sulem[30]，了解BSDES上的联合停止-控制问题）。这种弱DPP的主要动机之一是，它通常足以将值函数描述为关联的Hamilton–Jacobi–Bellman偏微分方程（PDE）的粘性解。我们还要提到Bay raktar和s^irbu开发的所谓随机Perron方法，参见[4,5]，该方法允许马尔可夫问题在不使用DPP的情况下获得值函数的粘性解特征，然后将后者证明为后验概率。

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2022-5-9 10:14:27

最近，受新兴稳健金融理论的推动，Nutz等人[67,73]给出了一个框架，该框架允许证明次线性预期（或相当于非马尔可夫随机控制问题）的动态规划原理，其中的基本论点与[36]中的论点相近，尽管该陈述更现代、更具教育性且更容易理解。ElKaroui和Tan[41,42]也在比之前的参考文献更一般的背景下研究了连续时间的问题，但仍然基于与[36]和[67]相同的论点。然而，所有的ab ove工作只考虑了需要被定性为次线性的情况。事实上，所考虑的控制问题通常包括最大化对控制集的期望。尽管如此，在阿吉文概率空间上所谓的非线性预期（也就是说，作用于随机变量的算子保留了预期的所有属性，但保持了线性）现在已经有了很长的历史，无论是从经济学中使用的容量理论，还是将不满足冯·诺依曼和摩根斯坦通常公理的经济主体的偏好公理化，或是来自开创性的g-彭[76]介绍的期望值（orBSDEs）。

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2022-5-9 10:14:31

在继续之前，让我们回顾一下，在一个带有布朗运动W的概率空间的简单设置中，通过其（完成的）自然过滤，找到了一个具有生成器g和终端条件ξ的BSDE的解∈ FTA是指找到一对F-逐步可测量的过程（Y，Z），使得yt=ξ-ZTtgs（Ys，Zs）ds-ZTtZs·dWs，t∈ [0，T]，a.s.从随机控制的角度来看，这一理论特别有吸引力，因为它被构造为过滤（或时间）一致的，也就是说，它的条件版本满足与线性预期类似的塔特性，这本身就是一种动态编程原理。此外，Coquet等人[19]已经证明，满足适当控制属性的本质上是过滤一致的非线性预期可以用BSDE表示（我们请读者参考[50]和[18]了解该结果的最新扩展）。因此，我们在本文第2节中的第一个贡献是推广可测量选择参数，以在非线性期望（或核）的最优s-to快速控制的背景下推导动态规划原理，该非线性期望（或核）可以用BSDE表示（如上所述，这不是一个严格的假设）。我们强调，suchan扩展肯定不是直接的。事实上，在线性期望的背景下，有一个非常成熟的理论研究给定映射的可测性属性如何受到其与所谓随机核的积分的影响（粗略地说，在我们的背景下，人们可以将其视为条件期望的常规版本，例如[6，第7章]）。例如，将Borel映射与Borel随机核进行积分可以保持Borel可测性。

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mingdashike22

2022-5-9 10:14:34

然而，在BSDE的情况下，必须对非线性随机核进行积分，就我们所知，不存在这种可测性理论。此外，我们还得到了控制问题的值函数的s emi-鞅分解。这是第三节的目标。现在让我们解释一下我们研究这个问题的动机来自哪里。研究BSDE受控系统的问题并不新鲜。例如，El Karoui and Quenez[39,40]和Hamadène and Lepeltier[47]（另见[38]和其中的参考文献）指出，只有通过受控BSDE族才能表示漂移控制的随机控制问题（其本身可以由具有凸生成器的唯一BSDE来表示）。最近，出于获得完全非线性随机微分方程的概率表示的动机，Soner、Touzi和Zhang[86,87]（另见早期著作[16]和[85]）引入了一种二阶BSDE（s hort的2BSDE），其解实际上可以写成一个上确界，覆盖一系列非支配概率测度（不像[40]中的家族是支配的），标准的BSDE。因此，2BSDE正好属于我们要研究的一类问题，即非线性核的随机控制。[86,87]的作者设法获得了动态规划原理，但在终端条件和BSDE生成器上的强连续性假设w.r.t.ω下，获得了相应随机控制问题的值函数的半鞅分解，从而确保了相关2BSDE的适定性。同样，这些正则性假设是为了先验地获得值函数的连续性，这允许完全避免使用可测选择定理。

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2022-5-9 10:14:38

从那时起，2BSDE理论得到了扩展，允许更一般的生成器、过滤和约束（见[53、54、63、65、79、81]），但在规律性假设方面没有取得任何进展。然而，事实证明，2BSDE（例如参见[66]）为研究所谓的金融泡沫问题提供了一个特别好的框架，该框架由[2,61]引入，并由[27]在更严格的环境中引入。然而，规律性假设对该理论的潜在应用范围造成了很大的限制。我们还想提到彭[78]提出的一个相关理论，该理论是围绕G的概念发展起来的-期望，这导致了G-BSDEs（见[48,49]）。他们不是在一个固定的概率空间中工作，该空间包含与控制相对应的不同概率度量，而是直接在一个次线性期望空间中工作，在该空间中，规范过程已经将不同的度量合并在一起，而不必参考概率设置。尽管他们的证明方法不同，因为他们主要使用PDE参数来构造马尔科夫案例中的解决方案，然后是闭包参数，最终的对象非常接近2BSDE，在规则性方面有类似的限制。此外，他们使用的偏微分方程方法不可能与没有任何规律性的理论兼容，因为他们认为偏微分方程至少需要有一个连续解。

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2022-5-9 10:14:46

另一方面，2BSDE的概率方法更有希望，因为如[73]所示，在线性预期的情况下（即BSDE的生成器为0），只要假设终端条件（Borel）是可测量的，就可以很好地定义一切。第三种理论与2BSDE有着深刻的联系，即完全非线性路径依赖型偏微分方程（简称PPDE）的粘性解，Ekren、Keller、Touzi和Zhang[31,32,33]最近介绍了这一理论。事实上，他们证明了一个2BSDE的解，在一个生成器和一个终端条件一致连续（ω）的情况下，只不过是一个特定PPDE的粘度解，这使得之前的2BSDE理论成为PPDE理论的一个特例。因此，本文的第二个贡献是，我们展示了（一个合适的版本）我们已经获得的值函数。动态规划原理提供了一个2BSDE的解，而不需要任何正则性假设，这是PPDE理论无法涵盖的情况。这就解决了存在性问题，而对于anyp>1，wetackle则通过对解的先验估计来解决唯一性问题。我们强调，在我们考虑的非常一般的情况下，经典的预处理方法失败了（特别是因为我们处理的过滤通常不是准左连续的），并且估计结果来自我们在随附的论文[14]中证明的一般结果。特别是，我们的适定性结果直接包含了BSDEs理论作为特例，这对于[86]的2BSDEs或G-BSDE（事实上，首先必须证明aLusin型结果，该结果表明，固定P的Lp（P）范数的一致连续随机变量空间的闭包实际上是整个空间）。

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2022-5-9 10:14:50

此外，我们可以考虑的概率测度的类别比之前文献中考虑的要普遍得多，即使考虑到扩散系数的退化。这是第四节的主题。本文的其余部分主要关注之前理论的应用。首先，在第5节中，我们使用我们之前的结果来获得一个非线性和稳健的推广，称为超鞅的可选反演（更多细节参见[40,57]和第5节中给出的其他参考文献），这在文献中是新的。这使得我们可以在一个额外的假设下引入一个新的解决方案概念，即我们创造的饱和2BSDE，该假设说明度量族已经足够丰富了。这种新公式的优点是，它允许我们摆脱通常出现在2BSDE定义中的正交鞅（更多细节请参见定义4.1和5.2）。这在某些应用中尤其重要，例如参见[22]。然后，我们给出了非线性和不完全金融市场中未定权益稳健定价的对偶结果。最后，在第6节中，我们回顾了当我们在额外的规律性假设下工作时，2BSDE和PPDE之间的联系。与[32]相比，我们的结果可以适应退化差异。最后，我们想强调一个事实，即我们的新结果具有更深远的应用，而不仅仅是数学上的扩展。

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2022-5-9 10:14:54

事实上，在论文[22]中，我们获得的2BSDE的适定性理论被用于解决契约理论中的一般原则-代理问题，当代理控制相应输出过程的漂移和波动时（我们请读者参阅优秀专著[23]了解契约论的更多细节），这是以前文献中无法用技术评估来解决的问题。这一结果在许多领域都有潜在的应用，从经济学（例如参见[21,62]）到能源管理（参见[1]）。通过本文，我们确定了常数p>κ>1。让N*:= N\\{0}让R*+是一组真正的正数。每一天- 带d的维数向量b∈ N*, 我们用b表示，对于α，β，bdits坐标和∈ Rdwe用α·β表示通常的内积，与normk·k相关，当d等于1时，我们将其简化为|·|。我们还假设1d是坐标都等于1的向量。无论如何(l, c）∈ N*×N*, Ml,c（R）将表示l 带实数条目的×c矩阵。矩阵M的元素∈ Ml,cw将用（Mi，j）1表示≤我≤l, 1.≤J≤c、 M的转置将用M表示. 什么时候l = c、我们让我l（R）：=Ml,l（R）。我们还确认了Ml,1（R）和Rl. M中的单位矩阵l（R）将由I表示l. 让我们≥0d表示所有对称正半有限d×d矩阵的集合。我们定义了一个映射ψ：S≥0d-→ Md（R）是（Borel）可测且满足ψ（a）ψ（a）= a全部a∈ s≥0d，表示a:=ψ（a）。最后，我们用a表示⊕a的Moore-Penrose伪逆∈ s≥0d。

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mingdashike22

2022-5-9 10:14:57

特别是mapa 7-→ A.⊕= limΔ0（a）a+δId）-1a波雷尔是可测量的。1.1概率框架我们首先用规范空间和相关符号展示我们的概率框架。1.1.1正则小空间d∈ N*, 我们用Ohm := C[0，T]路所有Rd的正则空间-[0，T]上的有值连续路径ω，使得ω=0，配备了标准过程X，即Xt（ω）：=ωT，对于所有ω∈ Ohm. 用F=（Ft）0表示≤T≤t由X和byF+=（F+t）0生成的标准过滤≤T≤t F+t:=Ft+=F的右极限∩s> 为了所有人∈ [0，T）和F+T:=英尺。我们装备Ohm 具有一致收敛范数kωk∞:= sup0≤T≤TkωTk，所以Borelσ-领域Ohm 与FT一致。让Pdenote测量Ohm 其中X是布朗运动。让Mdenote集合上的所有概率测度(Ohm, （英国《金融时报》）。请注意，Mis是一个具有弱收敛性的Polishspace。我们用B表示它的Borelσ- 菲尔德。那么有没有P∈ M、用fpt表示完成的σ-FTP下的字段。也指FP完成的过滤=FPtT∈[0，T]和FP+是FP的右极限，因此FP+满足通常的条件。此外，对于P M、我们介绍普遍完成的过滤功能：=未来0≤T≤T、 FP:=FPt0≤T≤T、和FP+：=FP+t0≤T≤T、定义如下：=\\P∈MFPt，FPt:=\\P∈PFPt，t∈ [0，T]，FP+T:=FPt+，T∈ [0，T）和FP+T:=FPT。我们还引入了一个扩大的正则空间Ohm := Ohm × Ohm′, 哪里Ohm′与相同Ohm. 通过滥用符号，我们用（X，B）来表示它的规范过程，i。e、 Xt（\'ω）：=ωt，Bt（\'ω）：=ω′t对于所有的ω：=（ω，ω′）∈Ohm, 乘F=（英尺）0≤T≤t由（X，B）和byfx=（FXt）0生成的规范过滤≤T≤t由X生成的过滤。

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2022-5-9 10:15:06

同样，我们用FX+和F+表示相应的权利——连续过滤，并用FX、P+和FP+表示增强过滤，给出概率度量Ohm.1.1.2半鞅测度我们说概率测度P(Ohm, FT）是半鞅测度，如果X是P下的半鞅，则在正则空间上Ohm , 有一些F-逐步可测量的非递减过程（见Karandikar[52]、Bichteler[8]或Neufeld and Nutz[68，命题6.6]），用hXi=（hXit）0表示≤T≤T、这与每个半鞅测度P下的Xunder的二次变化一致。表示进一步的bat:=lim supε0hXit- hXit-εε.每一个t∈ [0，T]，让PWtdenote表示所有概率测度P的集合(Ohm, FT）等o（Xs）s∈[t，t]是a（P，F）-允许正则分解的半鞅（参见[51，定理I.4.18]）Xs=ZstbPrdr+Xc，Ps，s∈ [t，t]，P- a、在美国，BPA是FP-可预测Rd-有值过程，Xc，Pis是P.下X的连续局部鞅部分hXiss∈[t，t]对于Lebesgue测度在s中是绝对连续的，batakes值在s中是绝对连续的≥0d，P- a、 s.给定一个随机变量或过程λOhm, 我们可以自然地定义它的扩展Ohm（稍微滥用符号，我们仍然用λ表示）用λ（？ω）：=λ（ω），ω := (ω, ω′) ∈Ohm. （1.1）特别是，流程ba可以在Ohm. 给定一个概率测度P∈ PWt，我们在放大的正则空间上定义了一个概率测度POhm 由P:=P P、所以X在(Ohm, FT，P，F）是一个半鞅，具有与中的X相同的三重特征(Ohm, FT，P，F），B是aF-布朗运动，X独立于B。那么对于每一个P∈ 有人-值，F-布朗运动WP=（WPr）t≤R≤（参见。

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可人4

2022-5-9 10:15:09

[89]中的定理4.5.2 Xs=ZstbPrdr+Zstba1/2rdWPr，s∈ [t，t]，P- a、（1.2）其中我们扩展了BPA和ba的定义Ohm 如（1.1）中所述，我们记得ba1/2已在上述章节中定义。注意，当baris非退化P- a、美国∈ [t，t]，我们可以构造布朗运动WPonOhm 如f ollowsWPt:=Ztba-1/2sdXc，Ps，t∈ [0，T]，P- a、并且不需要考虑上述配备独立布朗运动的放大空间来构造WP。备注1.1（关于ba1/2的选择）。可测量的地图是7-→ a1/2在整个文件中固定。第一种选择是将a1/2作为A的唯一非负对称平方根（参见[89]中的引理5.2.1）。我们也可以使用Cholesky分解来获得a1/2A作为低三角矩阵。最后，当d=m+n代表m时，n∈ N*, ba具有下面2.1条中的特殊结构，我们可以用下面的方法取a1/2 A=σσσσ在里面a1/2=σ0In！，有些时候∈ n.（1.3）1.1.3概率测度的条件化和串联我们还记得，对于Ohm 和F-停止时间τ取[0，T]中的值，存在一个规则的条件概率分布（简称r.c.p.d.）（pτω）∈Ohm（参见。

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2022-5-9 10:15:12

Stroock和Varadhan[89]），满足（i）对每个ω的要求∈ Ohm, Pτω是(Ohm, （英国《金融时报》）。（ii）每∈ FT，映射ω7-→ Pτω（E）是Fτ-可测量的（iii）族（Pτω）ω∈Ohm是Fτ上P的条件概率测度的一个版本，即前向可积FT-可测随机变量ξ我们有EP[ξ| Fτ]（ω）=EPτωξ, 为了P- a、 e.ω∈ Ohm.（iv）对于每个ω∈ Ohm, Pτω(Ohmωτ）=1，其中Ohmωτ:=ω ∈ Ohm : ω（s）=ω（s），0≤ s≤ τ (ω).此外，给定一些P和一个（Qω）ω族∈Ohm这样ω7-→ Qω是Fτ-可测与qω(Ohmωτ=1表示所有ω∈ Ohm, 然后可以定义一个串联的概率测度PτQ·byPτQ·A.:=ZOhmQωA.P（dω），A.∈ FT.1.2功能空间和规范我们现在给出本文其余部分所需的空间和规范。我们得到一个固定的族（P（t，ω））（t，ω）∈[0，T]×Ohm上的概率测度集(Ohm, FT），其中P（t，ω）嗯。修好一些t∈ [0，T]和一些ω∈ Ohm. 下面，X:=（Xs）t≤s≤斜纹表示任意过滤Ohm, 任意σ-代数Ohm, P是P（t，ω）中的任意元素。也由XPP表示-与X相关的强化过滤。对于p≥ 1，Lpt，ω（X）（分别是Lpt，ω（X，P））表示所有X的空间-可测标量随机变量ξ，kξkpLpt，ω：=supP∈P（t，ω）EP[|ξP]<+∞,响应。kξkpLpt，ω（P）：=EP[|ξP]<+∞.o Hpt，ω（X）（分别为Hpt，ω（X，P））表示所有X的空间-可预测Rd-有价值的过程Z，定义为BASD- a、 e.在[t，t]上，带kzkphpt，ω：=supP∈P（t，ω）EP“ZTtba1/2sZsdsp#+∞,响应。kZkpHpt，ω（P）：=EP“ZTtba1/2sZsdsp#+∞!.o Mpt，ω（X，P）表示所有（X，P）的空间-带P的可选鞅M- a、 s.cádlág pathson[t，t]，其中Mt=0，P- a、 s.，和KMkPMPT，ω（P）：=EPh[M]pTi<+∞.此外，我们会说一个家庭（MP）P∈P（t，ω）属于Mpt，ω（（XP）P∈P（t，ω））如果，对于anyP∈ P（t，ω），MP∈ Mpt，ω（XP，P）和supp∈P（t，ω）议员Mpt，ω（P）<+∞.o Ipt，ω（X，P）（分别为。

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2022-5-9 10:15:17

Io，pt，ω（X，P））表示所有X的空间-可预测（分别为X-可选）带P的processesK- a、 [t，t]上的s.cádlág和非递减路径，其中Kt=0，P- a、 s.，和kkpipt，ω（P）：=EPKpT< +∞ （分别为kkpio，pt，ω（P）：=EPKpT< +∞).我们会说一个家庭（KP）P∈P（t，ω）属于Ipt，ω（（XP）P∈P（t，ω））（分别为Io，pt，ω（（XP）P∈P（t，ω））如果，对于任何P∈ P（t，ω），KP∈ Ipt，ω（XP，P）（分别为KP）∈ Io，pt，ω（XP，P））和supp∈P（t，ω）金伯利进程Ipt，ω（P）<+∞响应。晚餐∈P（t，ω）金伯利进程Io，pt，ω（P）<+∞!.o Dpt，ω（X）（分别是Dpt，ω（X，P））表示所有X的空间-逐步可测R-带P（t，ω）的值处理Y- q、 s.（分别为P- a、 [t，t]上的cádlág路径，带ky kpppt，ω：=supP∈P（t，ω）EP“supt”≤s≤T|Ys|p#+∞,响应。kY kpDpt，ω（P）：=EP“supt”≤s≤T|Ys|p#+∞!.o 同样，在放大的正则空间上，给出概率测度P和过滤XOhm,我们用Dpt，ω（X，P），Hpt，ω（X，P），Mpt，ω（X，P），。。。此外，当nt=0时，不再依赖于ω，因为ω=0，所以我们通过增加ω来简化符号-依赖和写Hp（X），Hp（X，P），。。。类似的符号也用于大正则空间。1.3假设我们在此提供一类条件，这些条件将在本文中假设。我们应考虑一个随机变量ξ：Ohm -→ R和a生成函数f：（t，ω，y，z，a，b）∈ [0，T]×Ohm ×R×Rd×S≥0d×Rd-→ 简单化bfps（y，z）的R.定义：=f（s，X）·∧s、 y，z，bas，bPs）和bfp，0s:=f（s，X）·∧s、 0，0，bas，bPs）。回想一下，我们得到了一个族（P（t，ω））（t，ω）∈[0，T]×Ohm上的概率测度集(Ohm, FT），其中P（t，ω） pwt（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. 也表示Pt:=∪ω∈OhmP（t，ω）。我们对ξ，f和族（P（t，ω））（t，ω）作如下假设∈[0，T]×Ohm.假设1.1。

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2022-5-9 10:15:21

（i）随机变量ξ为FT-可测的，生成函数f是联合Borel可测的，因此对于每一个（t，ω，y，y′，z，z′，a，b）∈ [0，T]×Ohm ×R×R×Rd×Rd×S≥0d×Rd，f（t，ω，y，z，a，b）- f（t，ω，y′，z′，a，b）≤ CY- y′+Z- z′,对于每个固定的（y，z，a，b），映射（t，ω）为7-→ f（t，ω，y，z，a，b）是f-逐步可测量。（ii）对于固定常数p>1，每（t，ω）有一个∈ [0，T]×Ohm,晚餐∈P（t，ω）EP|ξ| p+ZTtf（s，X）·∧s、 0，0，bas，bPs）pds< +∞. （1.4）（iii）对于每（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 一个有P（t，ω）=P（t，ω）·∧t）和P(Ohmωt）=1∈P（t，ω）。P的图[[P]]，由[[P]]定义：={（t，ω，P）：P∈ P（t，ω）}，在[0，t]×中是解析的Ohm x M.（iv）P在条件下是稳定的，即对于每一个（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 每一个P∈ P（t，ω）与F-停止时间τ取[t，t]中的值，有一个r.c.p.d.（Pw）w族∈Ohm就这样∈ P（τ（w），w），对于P- a、 e.w∈ Ohm.（v） P在串联下是稳定的，即对于每一个（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 和P∈ P（t，ω）与F-停止时间τ取[t，t]中的值，let（Qw）w∈Ohm是一个概率测度家族，比如Qw∈ P（τ（w），w）表示所有w∈ Ohm 和W7-→ Qwis Fτ-可测量，然后是串联概率测度PτQ·∈ P（t，ω）。备注1.2。假设1.1中的条件（i）和（ii）是非常标准的条件，以获得标准BSDE的存在性和唯一性，且具有生成器f和终端条件ξ。这里唯一的变化是（1.4）考虑到我们正在使用一系列测量，因此是上确界。备注1.3。假设1.1中的条件（iii）–（v）基本上用于证明非线性核上控制问题的动态编程原理，并且是这种设置中使用的一般条件（例如参见[73]，以及[80]中给出的扩展）。

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kedemingshi

2022-5-9 10:15:24

注意，当t=0时，任何ω都有P=P（0，ω）s，因为ω=0∈ Ohm.特别是，让我们考虑集合P（t，ω）由受控微分过程诱导的情况。假设U是一些（非空）波兰空间，U表示所有U的集合-价值和F-逐步可测量的过程（u，σ）：[0，T]×Ohm ×U-→ Rd×Sd是漂移和波动系数函数，假设对于某些常数L>0，k（u，σ）（t，0，u）k≤ 我和（u，σ）（t，ω，u）- （u，σ）（t′，ω′，u）≤ Lp|t- t′|+ωt∧·- ω′t′∧·.回想一下，正则空间上的正则过程XOhm 是维纳测度P下的标准布朗运动。我们用St，ω，ν表示SDESt的唯一（强）解，ω，νs=ωt+Zstu（r，St，ω，ν，ν，νr）dr+Zstσ（r，St，ω，ν，νr）dXr，s∈ [t，t]，P- a、 s.，初始条件为St，ω，νs=ωs∈ [0，t]和ν∈ U.然后由PU（t，ω）定义的一组度量的集合PU（t，ω）：=PoSt，ω，ν-1, ν ∈ U满足性假设1.1（iii）- （v）（参见[42]中的定理3.5和引理3.6，或在更简单的上下文中参见[67]中的定理2.4和命题2.2）。我们可以找到更多满足假设1.1（iii）的P（t，ω）的例子- （v）在[42]中，这是由受控SDE的弱/松弛公式引起的。一类非线性随机核的2随机控制∈ [0，T]×Ohm 和P∈ P（t，ω），我们考虑以下BSDEYs=ξ-ZTsfr、 X·∧r、年（ba1/2r）Zr，bar，bPr博士-ZTsZr·dXc公关公司P-ZTsdMr，P-a、其中（RTsZr·dXc，Pr）Pdenotes Z w.r.t.Xc的随机可积性，Punder概率P。继El Karoui和Huang[35]之后，我们将BSDE（2.1）的解定义为三重解YPs，ZPs，MPss∈[t，t]∈ 满足等式（2.1）的Dpt，ω（FP+，P）×Hpt，ω（FP+，P）×Mpt，ω（FP+，P）。

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2022-5-9 10:15:29

特别地，在假设1.1中ξ和f的可积条件下，BSDE（2.1）的解存在唯一（见下面的引理2.2）。也可以考虑停止时间τ和FUτ-可测量的随机变量ζ，考虑BSDE，终端时间τ和终端条件ζ，Yt=ζ-Zτtfs、 X·∧s、 Ys（ba1/2s）Zs、bas、bPsds-ZτtZs·dXc，PsP-ZτtdMs。（2.2）每当上述BSDE（2.2）在上述意义上处于良好位置时，我们将用YP·（τ，ζ）表示其解的Y部分，并设置YP·（τ，ζ）=∞ 否则2.1一类非线性随机ic核的控制与动态规划原理∈ P（t，ω），生成过程X的规律是不同的，因此解也是不同的。然后我们定义，对于每一个（t，ω）∈ [0，T]×Ohm,bYt（ω）：=supP∈P（t，ω）EPhYPti。（2.3）请注意，YPTT是唯一可测量的FPt+，因此我们在服用该药物前会考虑其预期。此外，由于P（t，ω）只依赖于ωt∧·, 因此，byt（ω）也仅依赖于ωt∧·.我们的第一个主要结果是以下动态规划原理。定理2.1。假设假设1.1成立。那么对于所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 一个hasbYt（ω）=bYt（ωt∧·), 和（t，ω）7-→bYt（ω）isb（[0，T]）英尺-普遍可测量。因此，对于所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 和F-停止时间τ取[t，t]中的值，变量τ为fuτ-可测量的此外，对于任何P∈ P（t，ω），EPh按τ圆周率+∞ andbYt（ω）=supP∈P（t，ω）EPhYPtτ、按τi、备注2.1。在某些情况下，s ets P（t，ω）被定义为一系列受控扩散过程诱发的概率测量的集合（回忆备注1.3）。例如，设C（resp.C）表示所有连续路径ω在C（[0，T]，Rn）（resp.ω在C（[0，T]，Rm]）中的正则空间，使得ω=0（resp。

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2022-5-9 10:15:32

ω=0），使用规范过程B，规范过滤F，并让Pbe为相应的维纳测度。设U为抛光空间（u，σ）：[0，T]×C×U-→ Rn×Mn，mbe系数函数，然后，给定（t，ω）∈ [0，T]×C，wedenote by J（T，ω）所有项α的集合：=Ohmα、 Fα，Pα，Fα=（Fαt）t≥0，Wα，（ναt）t≥0，Xα,哪里Ohmα、 Fα，Pα，Fα是一个过滤概率空间，Wα是一个Fα-布朗运动，να是aU-值Fα-可预测过程和Xα求解SDE（在μ和σ上的一些适当附加条件下），初始条件Xαs=ωsfo∈ [0，t]，Xαs=ωt+Zstu（r，Xαr∧·, ναr）dr+Zstσ（r，Xαr）∧·, ναr）dWαr，s∈ [t，t]，Pα- a、在这种情况下，我们可以让d=m+nOhm = C×C将ω=（ω，ω）的P（t，ω）定义为（Xα，Bα）α诱导的所有概率测度的集合∈J（t，ω）。然后，通过选择（1.3）中的ba1/2as，可以直接从中恢复σf，这可能对某些应用有用。此外，请注意，对于ω=（ω，ω），P（t，ω）只依赖于（t，ω），那么（2.3）中的值byt（ω）也只依赖于（t，ω）。2.2定理的证明2.12.2.1关于扩大的正则空间的等式公式我们想以一种等价的方式在扩大的正则空间上公式化BSDE（2.1）。记住这一点Ohm := Ohm × Ohm′对于概率测度POhm, 我们定义P:=P P.然后是P- 上的空事件Ohm 变成P-上的空事件Ohm 如果在放大的空间中考虑。设π：Ohm × Ohm′-→ Ohm 是由π（ω，ω′）定义的投影算子：=ω，对于任何（ω，ω′）∈Ohm.引理2.1。让我们 Ohm 成为…的子集Ohm. 然后说A是P-空集等价于{ω：π（\'）ω）∈ A} 是aP:=P吗 P-空s证明。暂时 Ohm, 表示a:={ω：π（\'-ω）∈ A} =A×AOhm′. 然后通过对productmeasure的定义，很明显p（A）=0<==> P P（A）=0，这是证明的结论。现在我们考虑放大的正则空间上的两个BSDE，w.r.t.两个不同的过滤。

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2022-5-9 10:15:36

第一个是关于(Ohm, FXT，P）w.r.t过滤FX，PYs=ξ（X·）-ZTsfr、 X·∧r、年（ba1/2r）Zr，bar，bPr博士-ZTsZr·dXc公关公司P-ZTsdMr，（2.4）一个解决方案是一个三元组（YPs、ZPs、MPs）∈[t，t]∈ Dpt，ω（FX，P+，P）×Hpt，ω（FX，P+，P）×Mpt，ω（FX，P+，P）满足（2.4）。请注意，在放大图中，布朗运动B独立于X，因此上面的BSDE（2.4）相当于BSDE（2.1）（请参见下面的引理2.2以获得精确的陈述和解释）。然后，我们在放大的空间中引入第二个BSDE(Ohm, FT，P），w.r.t.过滤F，eYs=ξ（X·）-ZTsfr、 X·∧r、 eYr（ba1/2r）eZr，bar，bPr博士-ZTseZr·ba1/2rdWPrP-ZTsdfMr，（2.5）一个解是一个三元组（eYPs，eZPs，fMPs）∈[t，t]∈ Dpt，ω（FP+，P）×Hpt，ω（FP+，P）×Mpt，ω（FP+，P）满足（2.5）。引理2.2。Let（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, P∈ P（t，ω）和P:=P P、那么三个BSDE（2.1）、（2.4）和（2.5）中的每一个都有一个唯一的解，分别用（Y，Z，M）表示，Y、 Z，M和（eY，eZ，fM）。此外，它们的解在某种意义上是一致的，即存在一些函数ψ：=（ψY，ψZ，ψM）：[t，t]×Ohm -→ R×Rd×R，使得ψYandψMare F+-逐步测量和P-a、 s.cádlág，ψZis F-预测表，andYs=ψYs，Zr=ψZr，bardr- a、 e.在[t，s]上，Ms=ψMs，对于所有s∈ [t，t]，P- a、 s.，Ys=eYs=ψYs（X·），Zr=eZr=ψZr（X·），bardr- a、 e.在[t，s]上，Ms=fMs=ψMs（X·），对于所有s∈ [t，t]，P- a、美国证据。（i）（2.5）解的存在唯一性是一个经典结果，我们可以参考[14]中的定理4.1。这样就足以证明三个BSDE在声明中给出的意义上共享相同的解决方案。在不丧失一般性的情况下，我们假设以下t=0。（ii）我们接下来证明（2.4）和（2.5）在(Ohm, FPT，P）。请注意，（2.4）的解决方案显然是（1.2）对（2.5）的解决方案。

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2022-5-9 10:15:39

然后我们证明（2.5）的解也是（2.4）的解。让ζ：Ohm -→ R是外汇，PT-可测量的随机变量，允许一个唯一的鞅表示ζ=EP[ζ]+ZTZζs·dXc，Ps+ZTMζs，（2.6）w.r.t.过滤FX，P+。由于B在放大的空间中独立于X，并且X在这两个空间中加入了相同的半鞅三元组特征，所以上述表示（2.6）w.r.t.FX，P+与w.r.t.FP+相同，它们在aP之前都是唯一的-转瞬即逝的场景。现在请记住，BSDE（2.5）的解实际上是作为上述鞅表示的迭代获得的（例如，参见下面的第2.2.2节）。因此，（2.5）的解显然是（2.4）的解。（iii）我们现在证明（Y，Z，M）到（2.4）的解诱导到（2.1）的解。注意Y和m是FX，P+-可选，Z是FX，P+-可预测的，那么（参见[87]中的引理2.4和[26]中的定理IV.78和注释IV.74）存在一个泛函（ψY，ψZ，ψM）：[0，T]×Ohm -→ R×Rd×RsuchψYandψMare FX+-逐步可测量和P-a、 s.cádlág，ψZis FX-可预测，对于所有t∈ [0，T]，P- a、 s.定义（ψY，0（ω），ψZ，0（ω），ψM，0（ω））：=（ψY（ω，0），ψZ（ω，0），ψM（ω，0）），其中0表示所有t∈ [0，T]。因为（ψY，ψZ，ψM）是FX-函数（ψY，0，ψZ，0，ψM，0）是逐步可测的-逐步可测量，很容易看出它们提供了一个版本的解决方案（2.1）(Ohm, FPT，P）。（iv）最后，假设（Y，Z，M）是（2.1）的解，那么有一个函数（ψY，ψZ，ψM）：[0，T]×Ohm -→ R×Rd×R使得ψYandψMare F+-逐步测量和P- a、 s.cádlág，ψZis F-可预测，对于所有t，Yt=ψt，Zt=ψZt，Mt=ψMt∈ [0，T]，P- a、美国。

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kedemingshi

2022-5-9 10:15:42

SinceP:=P P、很容易看出（ψY，ψZ，ψM）是引理中所需的泛函。引理2.2的主要兴趣在于，当我们研究BSDE（2.1）时，它允许我们与BSDE（2.5）等价地工作，在BSDE（2.5）中，布朗运动显式地出现。在使用线性化参数时，这对我们来说尤为重要。事实上，在这种类型的论证中，通常会引入一个与P等价的新概率测度。但如果我们使用公式（2.1），则必须在新概率测度的Radon–Nykodym密度中明确显示ba的倒数。由于在我们的设置中并不总是定义这样一个逆，因此我们利用扩大的空间公式来绕过这个问题。2.2.2 BSDE（2.1）解的迭代构造在为OREM 2.1中控制问题的动态规划原理的证明做准备时，让我们首先回顾BSDE（2.1）解的YP部分在s一些概率P下的经典构造∈ P（t，ω）表示Picard迭代。让我们首先定义一下≥ 0ξm:=（ξ）∧ m）∨ (-m），fm（t，ω，y，z，a，b）：=（f（t，ω，y，z，a，b）∧ m）∨ (- m）。（i）首先，让YP，0，ms≡ 0和ZP，0，ms≡ 0，对所有人来说∈ [t，t]。（ii）给定一个F族+-逐步可测量的过程YP，n，ms，ZP，n，mss∈[t，t]，我们letYP，n+1，ms:=EPξm-ZTsfm（r，X）·∧r、 YP，n，mr，（ba1/2r）ZP，n，mr，bar，bPr）博士财政司司长, P-a、 s.（2.7）（iii）赋予YP，n+1，mbe权利——持续修改YP，n+1，由YP，n+1，ms定义的YP，n+1，mde:=lim supQR↓sYP，n+1，mr，P- a、 s.（2.8）（iv）注意，YP，n+1，mis是P下的半鞅。让hYP，n+1，m，XiPbe是P下过程YP，n+1，mand X的可预测二次协变量。definezp，n+1，ms:=ba⊕s林素福ε↓0hYP，n+1，m，XiPs- hYP，n+1，m，XiPs-εε.

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mingdashike22

2022-5-9 10:15:47

（2.9）（v）注意序列（YP，n，m）n≥0是范数k（Y，Z）kα=EP的柯西序列中兴通讯αs | Ys | ds+ EP中兴αs（ba1/2s）Zsds,足够大的地方。事实上，这是BSDE经典估计的结果，我们参考了[14]的第4节。然后取一些合适的子序列（nP，mk）k≥1.我们可以定义，ms:=lim supk→∞YP，nP，mk，ms.（vi）最后，我们可以再次使用[14]中给出的估计值（再次参见第4节）来表明序列（YP，m）m≥0是Dp（FP+，P）中的一个柯西序列，因此通过取一次可测子序列（mPk）k≥1.我们可以确定BSDE asYPs的解决方案：=lim supk→∞YP，mPks。（2.10）请注意，[14]的结果适用于放大空间中形式为（2.5）的BSDE。然而，这意味着在原始空间中的收敛结果是相同的。2.2.3关于迭代的可测性问题，在这里，我们表明，第2.2.2节中的迭代可以以可测的方式进行，即参考概率测度P，这允许我们使用可测选择定理来推导动态规划原理。引理2.3。设P是M（P，ω，t）7中的可测集-→ HPt（ω）是一个可测函数，使得对于所有的P∈ P、 HPis右连续，F+-适应和a（P，FP+）-半鞅。然后有一个可测函数（P，ω，t）7-→ hHiPt（ω）使得对于所有的P∈ P、 HHIPSRIGHT–连续，F+-改编与FP+-可预测，dhHiP·是半鞅hpp证明下的可预测二次变化。（i）每n≥ 1.我们定义了以下随机时间序列τP，n（ω）：=0，ω∈ Ohm ,τP，ni+1（ω）：=infnt≥ τP，ni（ω），HPt（ω）- HPτP，ni（ω）≥ 2.-不∧ T、 ω∈ Ohm, 我≥ 0.（2.11）我们注意到τP，都是F+-自HPR正确后的停止时间-连续andF+-改编。然后我们定义[HP]·（ω）：=lim supn→+∞xi≥0HPτP，ni+1∧·(ω) - HPτP，ni∧·(ω).

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2022-5-9 10:15:51

（2.12）很明显，（P，ω，t）7-→ [HP]t（ω）是一个可测函数，对于所有P∈ P、 [HP]是非递减的，F+-改编与FP+-可选择的然后，Karandikar[52]认为[HP]与半鞅在P下的二次变化相吻合。此外，通过在有理时间瞬间上取其右极限，我们可以选择[HP]是右连续的。（ii）最后，使用Neufeld和Nutz[68]的第5.1条，我们可以构造满足所需条件的processhHiPt（ω）。请注意，上述构造也可以通过极化识别hHP，1，HP，2iP对可预测的二次协变量hHP，1，HP，2iP进行定义：=hHP，1+HP，2iP- hHP，1- 惠普，2iP, （2.13）对于满足引理2.3条件的所有可测函数HP，1t（ω）和HP，2t（ω）。Wenow表明，第2.2.2节中的迭代可以以可测量的方式进行w.r.t.P，这为定理2.1的证明提供了一个关键步骤。引理2.4。设m，n>0为固定值，设（s，ω，P）7-→ （YP，n，ms（ω），ZP，n，ms（ω））是一个可测映射，使得对于每一个P∈ Pt，YP，n，mis right–连续，F+-改编与FP+-可选，ZP，n，mis F+-改编与FP+-可预测的我们可以选择一个可测量的映射（s，ω，P）7-→YP，n，ms（ω），ZP，n，ms（ω）s、 t.每P∈ Pt，YP，n+1，右偏-连续，F+-改编和FP+-可选，ZP，n+1，mis F+-改编与FP+-可预测的证据（i）首先，使用Neufeld和Nutz[68]的引理3.1，有一个由（2.7）定义的（YP，n+1，m）版本，例如（P，ω）7-→YP，n+1，msis B 财政司司长-可测量的每一个s∈ [t，t]。（ii）接下来，我们注意到，沿着可数序列取极限并不会失去可测性。

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2022-5-9 10:15:55

然后，对于（YP，n+1，m）的上述版本，很明显，（2.8）定义的族（YP，n+1，ms（ω））在（s，ω，P）中是可测量的，并且对于所有P∈ Pt、YP、n+1、mis F+-改编和FP+-可选择的（iii）然后使用引理2.3以及（2.13）中二次协变量的定义，得出一个可测函数（s，ω，P）7-→ hYP，n+1，m，XiPs（ω），这样对于每一个P∈ Pt，hYP，n+1，m，XiPis右-连续，F+-适应并符合P.（iv）下YP、n+1和X的可预测二次协变量。最后，与上述版本的hYP，n+1，m，XiP, 很明显，（2.9）定义的族（ZP，n+1，ms（ω））在（s，ω，P）和每个P中都是可测量的∈ Pt，ZP，n+1，mis F+-改编和FP+-可预测的引理2.5。每P∈ Pt，有一个右-续，FP+-鞅MP，n+1，P下的morthogonalto X，这样P- a、 s.YP，n+1，mt=ξm-ZTtfm（s，X）·∧s、 YP，n，ms（ba1/2s）ZP，n，ms，bas，bPs）ds-ZTtdMP，n+1，毫秒-ZTtZP，n+1，ms·dXc，PsP.（2.14）证据。利用Doob的上交不等式，极限limr↓sYP，n+1，MRP-几乎可以肯定，每一个P∈ Pt。换句话说，YP，n+1，mis是半鞅YP，n+1，m的右连续修改的一个版本。使用鞅表示，可以得出右连续，FP+-鞅MP，n+1，P下的morthogonal到X，和一个FP+-可预测过程bzp，n+1，msuch thatYP，n+1，mt=ξm-ZTtfm（s，X）·∧s、 YP，n，ms（ba1/2s）ZP，n，ms，bas，bPs）ds-ZTtdMP，n+1，毫秒-ZTtbZP，n+1，ms·dXc，PsP.尤其是bZP，n+1，msatis fieshyp，n+1，m，Xc，Pit=ZtbasbZP，n+1，msds，P- a、此外，根据ZP的定义，n+1，min（2.9），一个hasZtbasZP，n+1，msds=hYP，n+1，m，Xc，Pit=ztbaszp，n+1，msds，P- a、接下来就是ZT（ba1/2s）（ZP，n+1，毫秒）-bZP，n+1，毫秒）ds=Zt（ZP，n+1，ms-bZP，n+1，毫秒）bas（ZP，n+1，ms）-bZP，n+1，ms）ds=0，P- a、因此（2.14）是正确的。引理2.6。

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2022-5-9 10:15:59

有子序列族（nP，mk，k≥ 1）和（mPi，我≥ 1）使得极限YPs（ω）=limi→∞林克→∞YP，nP，mk，MPI所有人的性别歧视者∈ [t，t]，P-几乎可以肯定，对每个人来说∈ Pt和（s，ω，P）7-→ YPs（ω）是一个可测函数。此外，YPDE为每个P提供了BSDE（2.1）的解决方案∈ Pt。证据根据（1.4）中的条件，（YP，n，m，ZP，n，m）n≥1在（P，β）下提供Picard迭代-标准值，对于足够大的β>0（参见[14]第4节），定义为|||||P，β：=EP“supt≤s≤Teβs |~ns |#。因此，YP，n，mconverges（在（P，β）下）-正常）到某个过程YP，mas n-→ ∞, 它解决了BSDE（2.1）的截断终端条件ξ和截断发电机fm。此外，根据[14]第4节（再次参见脚注2）中的估计，（YP，m）m≥1是Dpt中的Cauchysequence，ω（FP+，P）。然后使用[68]中的引理3.2，我们可以找到两个子序列族（nP，mk，k≥ 1，P∈ Pt）和（mPi，i）≥ 1，P∈ Pt）满足要求的性能。2.2.4定理2的证明结束。现在我们可以完成定理2.1中动态规划的证明。首先，让我们为BSDE（2.1）提供一处塔楼物业。引理2.7。Let（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, P∈ P（t，ω），τ是F-[t，t]和[t]中的停止时间取值YP，ZP，MP是P下BSDE（2.1）的一个解，然后一个hasYPt（T，ξ）=YPtτ、 YPτ= 埃及τ、 EPYPτFτ, P- a、美国证据。（i）给出解决方案YP，ZP，MP到P w.r.t下的BSDE（2.1），过滤FP+=（FPs+）t≤s≤T、一则hasYPt=YPτ-Zτtfs、 X·∧s、 YPs（ba1/2s）ZPs、bas、bPsds-ZτtZPs·dXc，PsP-ZτtdMPs，P- a、通过采用条件期望w.r.t。

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