不确定性下的先发制人投资

2022-5-9 11:49:06

战略结构非常明确：最初，等待是最佳的，如果对手不采用，则从增加的L中受益，如果对手不采用，则从F>L>M中受益，然后有一个阶段具有先发制人优势L>F，可能会导致先发制人，并且所有的回报最终都是一致的，并且在减少，因此采用成为主导。tLFMtLFMFigure 1:Fudenberg和Tirole（1985）模型的两个参数化。xlfmxlfm图2：一个典型的随机模型及其确定性极限。左：π（0）=π（1）=0，π（1）=0.03，π（2）=0.012，r=0.02，c（t）=e-（r+a）t，a=0.08。右：相同，除了π（0）=0.006，π（1）=0.022。第4.1节中的模型，D=D=0、D=2.5、D=I=I=1、r=0.1、u=0.08、σ=0.2（左）和σ=0（右）；参见fn。11关于确定性极限。图2中只能看到相同的局部订单，显示了当前值作为典型模型的随机状态x的函数，但没有显示贴现值的动态。在右边的面板中，波动率被设置为零，因此当x在所示范围内根据其规律增长时，可以添加折扣，这再次产生图1的左边面板。在贴现后，例如F是凹的，尽管它在状态下是凸的。图2揭示了有关先发优势或后发优势的状态空间结构，但对于完整的均衡分析，需要比通常情况下更详细地研究贴现值的动态。在这里，我们建立了一个基于收入流的战略投资模型，该模型保持随机维度完全一般，通过具有直接经济意义的基本参数建立子博弈完美均衡的结构。

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2022-5-9 11:49:09

通过直接比较收入流和隐含机会成本，先发制人均衡的验证简化为解决一家企业的单一类非战略最优停止问题。因此，不仅对典型均衡的不完整论点进行了修正，UnifiedView还对其结构提供了更详细的经济见解；文献中许多经济上相当多样化的模型可以嵌套。由于相互优先购买会破坏价值，我们还在一般框架中建立了一些原则，以确定何时可以避免这种情况，并确定何时不可能延迟均衡投资。除此之外，还讨论了实物期权博弈均衡的重要一般问题，例如：o在什么时候，两家公司都可以通过试图先发制人来获得先发优势？o首次投资何时以及如何受到先发制人威胁的影响当一家企业拥有后发优势时，它会愿意投资吗？这些问题的答案将通过研究适当的最优停止问题来找到。通过将一般结果应用于文献中的两个典型状态空间模型，thoseof Grindaier（1996）和Pawlina and Kort（2006），我们展示了它们如何为这些模型和类似的其他模型完成不充分的平衡论证，并且我们识别了一些被忽略的平衡行为，这些行为可以定性地区分此类随机模型和确定性模型。均衡中的常见行为是，一旦国家达到某个临界值，比如某个需求水平，第一次投资就会发生。这一门槛取决于战略考虑，但没有风险等待，因为之前没有一家公司能找到投资的机会。更复杂的行为可能会导致更高的州级别，这些级别太有利可图，无法阻止追随者，但州内的支持度仍在增长。

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2022-5-9 11:49:14

然后，在随机模型中，等待最有利的状态暴露出一种风险，即投资风险，这是因为在较低的水平上存在着过度优势，这意味着反馈效应。我们进一步确定了每个模型的一些被忽略的均衡，这些均衡可能是帕累托改进，因此更合理。更一般地说，这里可以嵌套的一些模型是Reinganum（1981）和Fudenberg and Tirole（1985）的确定性模型，Mason and Weeds（2010）的随机模型，其中收入在几何布朗运动中是线性的，就像Pawlina和Kort（2006）的模型一样，他们增加了投资成本的不对称性，Boyarchenko和Levendorskii（2014）将其进一步扩展到了一个指数Lévy过程；杂草模型（2002年）包括研发成功的泊松到达，掷弹兵模型（1996年）包括施工延迟，但它们在形式上都等价于具有几何布朗运动的对称设置。论文的结构如下。一般模型见第2节。第3节描述了有优先购买权和无优先购买权的平衡，提供了充分和一些必要的平衡条件。典型状态空间模型的含义如第4节所示。这些模型的进一步具体论证有助于详细分析它们的均衡，尤其是迄今为止被忽视的方面。第5节结束。附录A中收集了一些技术结果，附录B中收集了所有其他证据。2模型考虑了两个公司：∈ {1,2}每个人都可以选择何时进行一项不可逆转的投资。例如，我的公司可能希望进入一些新市场，或者通过更新技术或扩大生产能力来改善目前的运营。

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2022-5-9 11:49:17

如果两家公司的市场相互关联，甚至相同，那么两家公司的投资都会对两家公司的收入产生潜在影响。因此，假设只要没有企业进行投资，任何企业在每个时期产生的收入都是由一些随机过程（π0it）给出的。如果i公司先于对手投资，其收入将切换到流程（π-Lit），而如果对手先投资，i公司的收入将切换到流程（π-F-it）。一旦两家公司都进行了投资，第一家公司的收入就会遵循这个过程（π位）。i公司投资后的收入πLi·和πBi·应扣除任何资本化投资成本。所有收入都已贴现为时间0单位。时间是连续的，t∈ R+，所以只有在时间间隔内累积的收入才重要。因此，假设在给定的概率空间内，收入是产品可测量的Ohm, F，P和时域。假设它们实际上是P dt可积，即R∞π0itdt< ∞ 等等，以确保始终有明确的期望。相应地，收入过程之间的任何（in-）等式都被理解为P dt-a.e.-以及随机变量P-a.s.之间的任何动态揭示的关于世界状态的信息由满足正确连续性和完整性的通常条件的filtrationF=（Ft）表示。假设过去的收入（可能）累计到∈ R+是Ft可测量的，即过程（Rtπ0isds）等适用于F。作为进一步的经济假设，对收入施加以下命令。首先，一家公司的任何投资都会损害对手的收入。对于两个i=1，2let因此πLi·≥ πBi·（例如，当落后者投资时，第一投资者失去垄断溢价）和π0i·≥ πfi·（例如。

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2022-5-9 11:49:20

第一个投资者从落后者那里窃取了一些业务）。任何以贴现方式严格降低的投资成本，如Fudenberg和Tirole（1985）中的c（t），都可以通过c（t）=e定义的变量变化进行资本化-ry=R∞耶-rzr dz。如果贴现投资成本是随机的，且在期望值上严格递减（严格的超鞅），则可以使用Doob-Meyer分解的单调部分代替c（t）。例如，如果过程（π0it）等是渐进可测的，即如果限制映射π0i·：Ohm ×[0，T]→ R等是FT B（[0，T]）-可测量所有T∈ R+。π0i的特例·≡ πF i·是市场进入模型的典型代表，并具有将经常指出的额外含义。第二，从投资收益相对落后的角度来看，第二家公司有一个劣势，即形式上的πB2·-πf2·≤ πB1·-πf1·与πL2·-πf2·≤ πL1·-πf1·。这会带来不利影响，例如资本化投资成本较高。考虑到劣势的第一部分，即第二家公司的投资收益落后于第一家公司，第二部分还将得出πLi·- 第二家公司的πBi·并不比第一家公司大，第一家公司是由于落后者的投资而造成的损失。2.1投资时机博弈如果某些公司的投资确实影响其他公司的收益，即如果{πLi·>πBi·}或{π0i·>πF i·}对某些公司有积极的衡量，则公司的投资时机决策是战略性的∈ {1, 2}. 我们将问题建模为连续时间的动态博弈。由于连续时间不是有序的，如果让企业像在游戏中不紧张的形式一样随时在“投资”和“等待”之间进行选择，就不可能确定一致的结果，除非增加反应滞后等限制（见Simon和Stinchcombe，1989年，或Alós-Ferrer和Ritzberger，2008年）。

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2022-5-9 11:49:28

我们遵循游戏时间安排的典型方法，让企业形成“行动计划”，即如果之前没有其他企业投资，则何时进行投资。任何计划最小的公司在该计划日期进行投资，从而解决了最先投资的公司的战略冲突（参见Fudenberg和Tirole，1985年，或Laraki等人，2005年）。计划不是最小的公司的实际投资日期是有条件地在第一个投资者的日期确定的，作为对变化历史的最佳反应。只要观察到没有企业投资的琐碎行动历史，就要执行行动计划。在这里，计划可能取决于其他动态信息：关于不确定性的信息。通过过滤F动态确定状态相关日期的基本数学概念是停止时间，一个随机变量τ：Ohm → R+∪{∞} := [0, ∞] 满足{τ≤ t}∈ 全速飞行∈ R+。信息在任何时候都必须说明是否已到达日期τ（选择“停止”）。让T表示所有停止时间的集合，从而计划。行动计划也必须在游戏路径上形成，以支持子游戏的完美性，尤其是在最初的计划之后。因此，我们也考虑任何停车时间θ∈ T是尚未有企业投资的潜在日期，因此是需要行动计划的子游戏的开始（参见Riedel和Steg，2014）。后者不能在确定的时间t以可测量的方式从（Ft可测量的）计划中组装∈ R+，除非F是可计算的。然而，计划应保持一致。因此，我公司在时间游戏中的策略是一系列计划τiθ，θ∈ T, 需要满足可行性条件τiθ≥ θ为所有人θ∈ T，即一个计划不能在过去日期，且事件{θ上的时间一致性条件τiθ=τiθ≤ τiθ}对于任意两个θ≤ θ∈ T，也就是说，一个计划尚未达成就没有修改。

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2022-5-9 11:49:31

特别是，如果两个子游戏的开始在一些州是一致的，那么这些计划也必须在那里达成一致。2.2收益和均衡为了确定一家公司的最佳反应，该公司的计划不是最小的，因此在第一次投资时产生有条件的收益，假设该公司的对手是任意τ的第一个投资者∈ T那么我可以在任何停止时间进行投资≥ τ、目的是获得条件跟随者payoffi（τ）=Zτπ0isds+ess supτ≥τEZτπF isds+Z∞τπBisdsFτ.（2.1）通过处理器R·τπF isds+R的连续性和可积性∞·πbids要停止，存在一个最新的最佳停止时间τiF（τ）∈ T达到值Fi（τ）。现在假设相反，i公司是τ的第一个投资者∈ T然后是另一家公司j∈ 假设{1,2}\\{i}在τjF（τ）处跟随以实现Fj（τ），这将产生条件前导payoff Li（τ）=Zτπ0isds+EZτjF（τ）τπLisds+Z∞τjF（τ）πBisdsFτ. （2.2）最后，如果两家公司同时投资τ∈ T，企业的条件报酬率i（τ）=Zτπ0isds+EZ∞τπBisdsFτ≤ 闵Fi（τ），Li（τ）. （2.3）特别是，如果没有公司在有限时间内投资，那么公司i将实现盈利(∞) =Z∞π0isds=Fi(∞) = 李(∞).备注2.1（支付过程的规律性）。根据附录A.3中的引理A.4，存在过程（Lit），（Fit）和（Mit），如果在任何停止时间τ进行评估∈ T，分别得出（2.1）、（2.2）和（2.3）的右侧。我们将在下面使用它们，因为它比{Fi（τ），τ等族更方便地处理过程∈ T}。事实上，我们可以假设这些过程有正确的连续路径，因此可以很好地测量。

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2022-5-9 11:49:35

支付也可以有效地积为有界的期望值，这样在任何停止时间的路径极限都会导致相应的期望值极限。给定两个计划τθ，τθ∈ T代表从θ开始的子游戏∈ 然而，在没有投资的情况下，第一次投资发生在min{τθ，τθ}，在τiθ<τjθ时，公司i成为领导者，在τiθ>τjθ时成为追随者，否则同时发生投资。因此，考虑到第一次投资的条件收益，i公司的条件预期收益为θisEhLiτiθτiθiθ<τjθ+Fiτjθτiθ>τjθ+Miτiθτiθi=τjθFθi.（2.4）随机变量是可测的w.r.t.Fτ={A∈ F|T∈ R+：A∩ {τ ≤ t}∈ Ft}如果在τ出现时其值已知。如果随机过程是渐进可测的（参见fn.5），则τ处的随机过程的值是Fτ-可测随机变量，这通过适应性和路径连续性保持（Rtπ0isds）。显然，我只能在任何给定的τjθ之前成为领导者；否则它最多只能在τjθ处成为跟随者。两种策略τθ, θ ∈ T,τθ, θ ∈ T如果存在noi，子博弈是完美均衡吗∈ {1,2}和θ∈ T使得（2.4）可以通过选择任何停止时间τ以正概率增加≥ θ而不是τiθ，即如果任何两个计划τ、τ是从θ开始的子博弈的均衡。3均衡特征不同收入之间的假设顺序对定时博弈的均衡具有重要影响，与任何更具体的不确定性模型无关。

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大多数88

2022-5-9 11:49:38

本节仅通过比较收入流来阐明可能的均衡结构，为特定状态空间模型提供比基于缩减的支付函数形式的分析更详细的经济见解，并提供完整的均衡参数。我们证明，解决一类特定的约束最优停止问题，构造关于任何先动优势的具有抢占权的子博弈完美均衡是有效的。由于相互优先购买可能会不必要地破坏期权价值，因此我们确定在任何均衡中投资都不能延迟的时间。最后，我们考虑避免先占的替代均衡，并提供简化验证的参数。3.1充分均衡条件为了构造子博弈完美均衡，首先确定其中的子博弈中间投资是均衡，可能是由于相互抢占方案。3.1.1同时投资两家公司的即时投资在θ∈ T如果两家公司的跟随者选择都没有价值，即如果两个i=1,2的Fiθ=Miθ。如果一家公司偏离了任何计划τiθ>θ，它将成为跟随者，并实际投资于τIf（θ），这仍然达到Fiθ。特别是，如果两个i=1,2的θ=τif（θ），那么同时投资的单边偏差甚至不会改变实际结果，并且两个公司我仍然获得Liθ=Fiθ=Miθ。请注意，即使在这种情况下——当任何跟随者只是因为犹豫而放弃可盈利的收入时——任何一家公司我都可能只愿意按照τiθ=θ的计划进行积极投资，因为其他公司会这样做。

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2022-5-9 11:49:41

如果一家公司的投资仅由τIf（θ）=θ<τiθ触发，则对手可能希望推迟投资（见下文第3.2节）。假设πB2·-πf2·≤ πB1·-πF 1·，第一家公司的跟随者期权并不比第二家公司更有价值，因此同时投资在θ∈ T如果τ=θ达到Fθ。同样地，企业1的跟随者反应时间永远不会超过企业2的引理3.1。τF（τ）≤ τF（τ）和Fτ- Mτ≤ Fτ- 任意τ的Mτ∈ T引理3.1基于这样一个事实：跟随者等待的机会成本是πBi·- πF i·，这对1号企业而言不少于2号企业。因此，如果第一家公司是追随者，它就不能比第二家公司等得更久。更一般地说，1号企业在等待任何时间时都无法获得比2号企业更多的收益，因此1号企业的期权价值Fτ- Mτ作为跟随者最多是第二家公司的情况。3.1.2先发制人计时游戏的关键阶段是两个玩家都拥有先发优势，即设定P:={L·>F·}∩ {L·>F·} Ohm ×R+。如果任何玩家计划在这一阶段成为领导者，例如，因为没有后续的持续均衡保证至少预期相同的回报，那么就会触发一个抢先方案，两个玩家都试图在对方之前等待成为领导者。因此，P将被称为抢占区域。如果同时停止不是一种平衡，并且如果每个玩家都希望在没有突然压力的情况下等待，那么可能根本就没有平衡，即使是确定性的、非常规则的模型和考虑混合策略的情况下也是如此（见Fudenberg和Tirole，1985）。由于参与者不能计划在连续时间内“立即”停止彼此，因此必须为计划在同一日期停止提供额外的结果。其目的是保持先发制人的效果，即如果有人犹豫不决，各自的另一方将成为领先者。

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kedemingshi

2022-5-9 11:49:44

玩家更喜欢“施加压力”，计划在与另一个玩家相同的日期停止，而不是在前者至少产生预期的跟随者报酬的情况下推迟。为了简化建模，我们在此假设，如果两家公司计划在抢占区域τP（θ）的任何第一次点击时间进行投资：=inf{t≥ θ|（Lt>Ft）∧ （Lt>Ft）}∈ 那么这是由于相互抢占，因此每家公司都会获得其追随者的报酬。这些预期收益来自于对谁首先在τP（θ）进行投资的适当分配，即1号企业、2号企业或两者。然后，任何一家公司我都会成为领导者（这是最好的结果，因为李的连续性是正确的）·- Fi·），跟随者或同时投资者（最坏结果），以及各自的概率。这种分配可以通过扩展策略空间内生化，以捕获离散时间内混合策略的结果限制；关于确定性模型，参见Fudenberg和Tirole（1985），关于随机模型的推广，参见Riedel和Steg（2014，命题3.1）。如果一家公司不愿意在τP（θ）成为领导者或追随者，则例外；然后另一家公司成为领导者。现在平面τθ=τθ=θ是一个平衡点，其中θ=τP（θ）。这里，给定τF（·）≤ τF（·）与πL1假设·- πf1·≥ πL2·- πf2·，表1的第一个移动优势永远不会小于表2，因此P={L·>F·}和τP（θ）=inf{t≥ θLt>Ft}。引理3.2。Lτ- Fτ≥ Lτ- 任意τ的Fτ∈ T引理3.2使用了这样一个事实：领导者和追随者之间的收入差异是πLi·- πF i·直到任何跟随者愿意投资，这对第一家公司来说不少于第二家公司。公司1更倾向于在自己的跟随者反应时间和公司2的反应时间之间充当领导者，因为它获得的是πL1·而不是πB1·。

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2022-5-9 11:49:47

相反，企业2不能在这两次之间成为领导者，因为它只能实现πB2·而不是πf2·这是追随者在自己的反应时间之前从来不会喜欢的。只有当πB1·-πF 1·对fim1来说不太合适：如果θ=τF（θ），那么Lθ=Mθ≤ Fθ。然而，如果τ=τF（θ）不能达到F（977;），那么投资必须在F=τF（θ）的有效范围内，如果τ=τ不能达到F（977;），那么它实际上甚至不在P的边界上，因为收入差异πL2的条件·- πF 2·——企业2从领导者而不是追随者中获得的潜在收益——事实上，企业2只有在启动πL2的最佳时间仍然具有先发优势·- πf2·，见附录A.1。AsπB2·- πf2·≤ πB1·- πf1·，πL2·必须超过πB2·足够。特别是，P= 如果πL2·-πf2·≤ πB1·-πF 1·，因为这样一来，表1将在最新的最佳时间立即开始πL2·- πf2·。后一个非战略停止问题是企业2的垄断问题（3.4），如果π·≡ πf2·，类似于典型的市场进入模型。对于允许这些问题的阈值类型解决方案的状态空间模型，甚至可能需要查看一个阈值，以查看P= （而不是在一个半空间中，停止是最优的），如第4.3.1.3节中的子博弈完美均衡与抢占。随后的均衡构建是由这样一个事实推动的，即独立于抢占区域中出现的情况，当企业拥有第二步优势时，没有企业愿意投资。这一发现是基于这样一种假设，即投资不会使其他公司受益。与文献中的一些建议相比，后发优势通常不足以推迟投资。引理3.3。投资从来都不是任何企业的最佳选择∈ {1,2}其中Fi·>Li·。

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2022-5-9 11:49:50

进一步，等到τP（θ），τF（θ）不限制公司2在子游戏中的支付∈ T针对公司1的任何（甚至混合）战略。菲在哪里·≥ Li·，通过计划在追随者反应时进行投资，我至少可以实现预期的首选追随者回报。事实上，在那之前，追随者的回报不会降低预期（一个子比例）——如果对手同时投资，这不会影响投资者的反应，只能推迟落后的收入πF i·≤ π0i·–在自己的反应时间里，无节制地投资至少和成为追随者一样好。根据引理3.3，我们可以让第二家公司的计划以最低的价格进行投资τP（θ），τF（θ）, 其中先发制人或同时投资是一种均衡。在收入对称的情况下，同样的计划是对第一家公司的最佳回答，但一般来说，第一家公司在τP（θ）之前可能有严格的竞争优势，并且可能想要利用它。考虑到第3.1.2节在τP（θ）和L·=F·=M·在τF（θ）的优先购买权收益，表1可以在orat min之前的任何地方实现L·τP（θ），τF（θ）, 除了在τP（θ）处的L·>F·：表1将得到F·。由于L·>F·实际上仅在τP（θ）处，因此在任何θ处，表1的最佳回答问题∈ 我是你的助手≤τ≤τP（θ）∧τF（θ）EhLτ{Lτ≤Fτ}+Fτ{Lτ>Fτ}Fθi.（3.1）如果问题（3.1）有解τ*（θ），则其值为企业1在θ的均衡收益，而企业2的均衡收益为EFτ*(θ)Fθ, 谁得到跟随者的报酬？在哪里*（θ）=minτP（θ），τF（θ）.我们可以总结如下。Lθ=Mθ<Fθ，因此通过过程的右连续性θ<τP（θ）。定理3.4。

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kedemingshi

2022-5-9 11:49:55

如果有一系列解决方案τ*(θ), θ ∈ T如果（3.1）满足策略的时间一致性条件，则第2家公司使用的是子博弈完美均衡中的第1家公司的策略τ*(θ), θ ∈ T由τ给出*（θ）=minτP（θ），τF（θ）.如果所有收入都是对称的，那么就存在一个对称的子博弈完美均衡，在这个均衡中，两家公司都使用给定的企业2战略。只要有（3.1）的解决方案，就可以确保时间的一致性，因为由于正确的连续性，分别有最早的解决方案。对于状态空间模型，如果τ*（θ）属于阈值类型。然而，（3.1）的解的存在性通常不清楚，因为如果θ<τP（θ）<τF（θ）和LτP（θ）>FτP（θ），则要停止的过程在τP（θ）处具有不连续性；然后通过引理3.2得到LτP（θ）>FτP（θ），抢占导致下降。如果进程L·- F·是下半连续的，因为在{θ<τP（θ）}上的LτP（θ）=FτP（θ），因此（3.1）减少了toess supθ≤τ≤τP（θ）∧τF（θ）弹流润滑τFθi.（3.2）提案3.5。假设我·-F·从左到下半连续。然后存在一个子博弈完美均衡，如定理3.4所述，每个τ*（θ）ESS supθ的最早解决方案≤τ≤τP（θ）∧τF（θ）EZτπsds+Z∞τπL1sdsFθ. （3.3）问题（3.2）的解是概念上更简单的约束垄断问题（3.3）的连续解，因为Lτ中的跟随反应时间τF（τ）对于τ保持不变∈ [θ，τF（θ）]，cf。

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2022-5-9 11:49:58

也就是下面的引理3.7。在这种均衡中，企业要么计划投资，因为各自的另一方（假设双方都有先发优势，要么双方都将作为跟随者投资），要么企业1利用等待占主导地位的企业2，因此其行为像一个受约束的垄断者。只有约束τ≤ τP（θ）在（3.3）中起作用，如果πL1·- π·≥ πB1·- πf1·，类似于带π的市场进入·≡ πf1·，因为解决方案是不迟于τF（θ）进行投资≤ τF（θ）（参见引理3.7之后的讨论）。更一般地说，在无约束垄断问题supτ中，当i=1时，投资（3.3）当然是最优的≥θEZτπ0isds+Z∞τπLisdsFθ. （3.4）家庭τP（θ），θ∈ T和τF（θ），θ∈ T通过构造满足时间一致性条件，因此τ*(θ), θ ∈ T. 由于后者是（3.1）中的约束条件，任何一系列最早的解决方案τ*(θ), θ ∈ T也将是时间一致的。3.2必要的均衡条件在上述均衡中，投资往往是最优的，因为其他公司计划在同一日期进行投资。可能存在其他平衡，双方都会在稍后进行确认，然后双方都会选择，但他们必须在这一点上进行协调。现在，当投资在均衡状态下确实不可避免时，有时会导出。均衡显然与领导者支付过程的最优停止有关，通常受制于某些约束，参见（2.4）。下一个引理表明，假设πLi·≥ πBi·和π0i·≥ πF i·，如果公司拥有优先投资的独家权利，均衡投资不得晚于我将投资的时间，即如果公司考虑到何时成为领导者这一不受约束的问题。由于Liτ中的动态跟随反应，这是一个复杂的问题。

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2022-5-9 11:50:01

当一般情况非常有利，任何垄断者跟随者都会立即投资时，投资可能不是最佳选择：当只能实现πBi·时，跟随者反应滞后时投资可能更好。要以最佳方式成为领导者，垄断者也有必要进行投资。引理3.6。其中τ=θ是最新的停车时间≥θEhLiτFθi（3.5）对于某些i∈ {1,2}，一些企业必须立即投资于子博弈的任何均衡，从θ开始∈ T此外，当τ=θ达到（3.5）时，它也达到（3.4）。引理3.6基于这样一个观察：如果在（3.5）中立即成为领导者是最佳的，那么未来也没有更好的跟随者回报：如果我有选择成为跟随者，通常会选择时间τif（τ）来避免低收入πF i·≤ π0i·。然而，在任何τiF（τ）中，由于πBi，成为跟随者并不比成为领导者好·≤ πLi·。通过在τF（θ）处同时投资等持续均衡，防止以后成为领导者，问题（3.5）变得容易得多。在这种约束下，如果企业2之前进行投资，它的后续行动将始终相同，并且企业1不会蚕食任何收入πL1·过去的τF（θ）。因此，企业1的领导者问题相当于受约束的垄断者问题。对于Lemma 3.6的以下受限版本，同样重要的是，公司1不会后悔通过之前的投资从τF（θ）处获得πB1。引理3.7。假设第二家公司的战略在子博弈中处于均衡状态∈ 不迟于τF（θ）减少投资。

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2022-5-9 11:50:04

然后必须立即进行投资，其中τ=θ是最新的停止时间∈[θ，τF（θ）]弹流润滑τFθi，（3.6）参见附录A.3中关于标准差异模型的垄断者和领导者问题的备注A.6。相反，公司2可能更愿意在τF（θ）处成为跟随者，并在以后进行有效投资。如果表2可以成为τF（θ）之前的领导者，则可能会出现延迟跟随反应和高收益πL2·in（τF（θ），τF（θ）]，并且问题无法简化。该问题的解决方案与ss supτ相同∈[θ，τF（θ）]EZτπsds+Z∞τπL1sdsFθ. （3.7）如果垄断者的投资收益πL1·- π·不小于跟随者的πB1·- πF 1·（类似于π的典型市场进入）·≡ πF 1·），则（3.7）的最新解不超过τF（θ），其中任何延迟只意味着（2.1）中的跟随者放弃了收入，而Fim 1现在作为潜在领导者的损失不会减少。在这种情况下（3.7）的解决方案与（3.4）相同。另一个可能导致早期投资的持续均衡是抢占τP（θ），如第3.1.2节所示。在P（或P=), Fim 2永远无法实现F·，游戏必须在所有最新的最佳时间立即结束，才能成为追随者。事实上，这样的时间必须满足τ=τF（τ）（否则在τF（τ）处成为跟随者并接收π是没有损失的）·≥ πF 2·更长），然后第二家公司可以通过无条件投资来加强Fτ=Lτ=Mτ的支付。满足θ=τiF（θ）的停止时间只能使i公司的跟随者收益最大化，如果它也使同时的投资收益最大化。相反，同时投资的最佳时间也必须是成为跟随者的最佳时间，就像等待前者的机会成本πBi一样·- π0i·，最多是后者的π0i·≥ πfi·。引理3.8。

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大多数88

2022-5-9 11:50:07

每次停车时间τiM≥ θ达到supτ≥θEhMiτFθi=ess supτ≥θEZτπ0isds+Z∞τπBisdsFθ（3.8）对于某些给定的∈ T和我∈ {1，2}也能得到supτ≥θEhFiτFθi.（3.9）如果τiM≥ θ达到（3.9），则τiF（τiM）也达到（3.8）。尤其是，（3.8）和（3.9）中的最新解决方案都是一致的。因此，（3.8）和（3.9）有一个最新的解τiM≥ τiF（θ）。这种不平等可能在总体上是严格的。如果π0i·≡ 然而，与典型的市场进入模型一样，如果（3.9）是最晚达到（3.9）的时间，那么（3.8）等于Fiθ和τ。3.3没有先占的均衡也可以是没有先占的其他均衡，即使两家公司在某些时候都有严格的第一步优势，即如果潜在先占的区域P不为空。先发制人可以通过有效的连续均衡来避免，这将构成帕累托改进。例如，在未来停止时间τJcan bean均衡的联合投资，如果其产生的预期收益至少与在任何较早时间成为领导者的预期收益相同，如图1的右面板所示。如果一方接受在另一方投资时成为跟随者，该公司也可以计划进行顺序投资。然而，这种均衡取决于收益过程的相对大小，因此，命题3.5中的连续性等简单的正则性性质无法保证其存在。相反，如果πfi·≡ π0i·，那么Fi·在期望值上是不增加的（一个超级大变数），因为以后成为跟随者只会带来较少的最佳投资可能性。因此，如果Liθ>Fiθ，那么Fim i严格地倾向于中间投资，而不是等到Fim j投资于某个τj>θ，因为等待最多会产生EFiτjFθ≤ 菲什。因此，有必要发生πF i·<π0i·（例如，由于第一次投资盗窃业务），以使我的公司等到τj发现早期的先发优势。

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2022-5-9 11:50:11

然后，可以在附录A.2中命题A.2确定的非常特定的时间检查偏差，这也避免了直接最大化复杂的领导者薪酬，但使用了更简单的问题，如（3.7）。对于状态空间模型，甚至可以考虑一个阈值的偏差，如第4节中的应用。命题A.2可应用于候选时间τJ≥ θ对于联合投资，i=1，2需要满足FiτJ=MiτJand，以最大化预期的联合投资回报MiτJFθ正如引理3.8所考虑的，至少有一些限制。如果延迟共同投资不可行，那么在与后续投资的均衡中，优先购买权仍然是可以避免的。在定理3.4中P=, Fim 1在τF（θ）同时投资之前的最佳时间成为领导者。简单地忽略非空P中的优先购买权，Fim 1的问题就变成了（3.6）。任意解τS∈ （3.6）或（3.7）的T是表1相对于τF（θ）的最佳回答。表2相对于τS的后者的最优性≤ τF（θ）可通过进一步简化，即附录a.2中的推论a.3进行验证。在额外收入订单下，需要检查[τS]是否不在第4页的应用中。作为说明，之前的一般结果现在将应用于战略实物期权文献中的两个典型模型，以便为文献中广泛讨论的基本均衡提供完整的证据，推导出可能构成帕累托改进的被忽略的平衡，或实际显示出与确定性模型在质量上不同的行为，并论证文献中分析的某些平衡仅在附加限制条件下存在（如果有的话）。Pawlina和Kort（2006）的车型首先作为主要车型。

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2022-5-9 11:50:14

在这里，我们考虑了它的参数之间的弱序，这样就可以嵌套Wilds（2002）和Fudenberg and Tirole（1985）的模型。之后，将使用相同的论点重新审视格兰迪耶（1996）的结果，尽管他在《杂草》（2002）中的经济背景是，投资启动了一个研发项目，成功率h>0。预期收益等于（4.1）中的收益，贴现率r+h而不是r，D=D=0，D=h，D=h（r+h-u）/（r+2h-u）和I=I=K。Fudenberg和Tirole（1985）的模型及其具体的贴现成本函数c（t）=e-（r+a）相当于（4.1），D=π（0），D=π（1），D=π（1），D=π（2），u=a，增加贴现率r+a代替r，σ=0。第4.1节中的解与确定性情况下的解一致，即σ→ 0.尤其是来自fn的β。13增加到r/（u+），因此投资阈值收敛到确定性情况下的β/（β）- 1) → r/（r）- u+，以及州x首次超过阈值x>x，（x/x）β时的预期贴现系数。这是完全不同的。4.1具有不对称成本的不可逆投资Pawlina和Kort（2006）的模型对于实物期权文献来说是相当典型的，但均衡分析并不完整。定理3.4给出了适当的子博弈均衡。我们将对它们进行详细分析，以展示一些显著的被忽视行为，并使这些论点适用于其他模型。

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2022-5-9 11:50:17

公司一的收入来源∈ {1,2}inPawlina和Kort（2006）是π0it=e-rtxtD，πLit=e-rt（xtD- rIi），πF it=e-rtxtD，π位=e-rt（xtD- 瑞伊），（4.1）贴现因子r>0，需求不确定性由几何布朗运动（xt）反映，满足DXT=uxtdt+σxtdBt，（4.2）其中（Bt）为布朗噪声，u<r为预期增长率，σ>0为波动率。常数D≥ D和D≥ D考虑到投资对支持方收入的负面影响≥ 一> 0是企业的固定投资成本，此处资本化。然后，领导者和追随者过程是连续的（作为状态xt的函数），当xt分别超过某些阈值Xifan和xiL时，追随者问题（2.1）和垄断问题（3.4）的当前实例通过投资来解决。因此，同时投资对所有国家都是一种平衡≥ xF。如果此模型中的抢占区域为非空，则其特征是状态空间R+的开放区间（\'x，\'x）与\'x）≤ xF≤ xF（如果I>Iand>D>D，则这两个不等式都是严格的），这样就可以简单地调用（`x，`x）抢占区域。以下命题的证明推广到了受连续马尔可夫过程驱动的其他模型，该过程单调地影响收入。提议4.1。考虑规范（4.1）。

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2022-5-9 11:50:20

有两个数字“x”≤ \'x∈ （0，xF）使Lt>Ft<=> xt∈ （\'x，\'x）对于所有t∈ 根据附录A.1中引理A.1和之后的讨论，只要检查ifL就足够了-F> 0表示x=x, 阈值求解（A.1），如果成本劣势EI/Iis不太大；否则，第二家公司的投资时间比第一家公司晚得多，优先购买权区域为空（特别是如果x≥ xF，其中第一家公司将立即跟进）。他们提出的先发制人均衡投资，以及高成本的2号企业在其后续的Reshold xF投资，只能被视为一种结果，而不是一种均衡策略，因为1号企业只有在存在先发制人威胁的情况下才愿意在先发制人点进行投资。均衡验证也是不完全的，因为——正如在其他论文中一样——关于当前后动优势的论证不足以证明等待的合理性，尽管子博弈的目标是完善，但只考虑初始状态较低的子博弈。如果D>D，那么xiF=ββ-1·Ii（r）-u）D-D、其中β>1是σβ（β）的正根- 1) + uβ - r=0。如果D≤ D、那么xiF=∞. 类似地，xiL=ββ-1·Ii（r）-u）（D）-D） +。这些都是期权定价的标准。精确条件（I/I）β-1<（（1+c）β- 1） /（βc）如果c:=（D- D） /（D）- D）∈ (0, ∞) 我们现在可以描述这个模型的定理3.4的平衡点，它也有Pawlina和Kort（2006）中没有捕捉到的显著结果。由于连续性，命题3.5保证了存在性，它有助于解决更简单的约束单极性问题（3.3）。通过强马尔可夫性质，这相当于在状态空间R+中找到一个区域，在该区域，t=0，supτ的问题中，即时投资是最优的≤τP（0）∧τF（0）EZ∞τe-rs（xs（D）- D）- rI）ds. （4.3）这里的约束形式为min{τP（0），τF（0）}=inf{t≥ 0 | xt∈ （\'x，\'x）∪ [xF，∞)} =inf{t≥ 0 | xt∈ [\'x，\'x]∪ [xF，∞)} （P-a.s.）。

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何人来此

2022-5-9 11:50:23

问题（3.3）在州x到达投资区域{x后通过投资解决∈ R+|τ=0从时间θ起，对于x=x}达到（4.3）。首先考虑一个非空的优先购买区域（\'x，\'x），它连接到无约束的单一投资区域[xL，∞), 对于D=D的模型的市场进入变量，参见引理A.1。那么，对于任何状态x，即时投资在（4.3）中都是最优的≥\'x≥ xL，因为它是在无约束问题中。对于状态x<x，抢占约束（4.3）是一个恒定的上限阈值，因此最好在那里等待，直到x超过约束x或无约束阈值xL，见附录a.3中的引理a.7。在这种情况下，子博弈完美均衡是完整的：没有严格低于Min{x，xL}的州的投资，如第3.1.2节所述的对[\'x，\'x]的先发制人投资，作为[xL，xF]\\[\'x，\'x]领导者的第一家公司投资，[xF]的所有州同时投资，∞).接下来，如果抢占区域为空，则表1仅面临上限约束xFin（4.3）。同样根据引理A.7，当XT超过无约束垄断阈值xL的约束X时，企业1投资是最佳选择。请注意，对于D=D<D的marketentry变体，xL≤ xF<xF<∞. 然而，即使第一家公司使用无限制垄断门槛，它仍然受到第二家公司计划的限制。企业1只能最大限度地提高领导者的薪酬，前提是企业2也积极投资于[xF，∞).如果D=D，就进入市场而言，则无法避免先占权，因此无法同时投资[xF，∞) 通过引理3.8，在前面的每种情况下，平衡是唯一的。

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