考虑规格（4.1）并假设xL<xF（其中D>D）。然后存在一个子博弈完美均衡，当XTE超过xL6时，第一家公司投资，第二家公司计划投资∈ （\'x，\'x）来自提案4.1，其有效性为xL≥ xF<=> （D）- D）+≤ （D）- D） +或（β）-1） 二,+二、1.-β（D）- D） +D- Dβ≥ βD- DD- D-D- DD- D（D）- D） +D- Dβ-1.（4.7）命题4.2中的β>1。（4.7）的LHS在I/I中严格增加，如果xL<xF，则严格为正。最后，如果联合投资延迟到某个阈值xJ>xF，则可能会与提案4.4中的顺序投资或提案4.2中的先发制人进行均衡，这样一来，公司1可以在更大的时间间隔内进行优化，成为领先者。这可能会将序列均衡中的投资区域分为一个企业1作为领导者进行投资的区域和一个同时进行投资的区域，两者之间存在差距。这种平衡更难以明确描述。如果XFI位于两个投资区域之间，则非恒定的动力反应会阻止前面命题中使用的简化。4.1.4领先投资区域的比较为了说明优先购买权对（`x，xF）状态的潜在强烈影响，对于图3中的可变参数值，模型重新参数化如下。首先，r、u和σ确定β1,2，并与比值I/（D）一起确定- D） 此外，企业1的跟随者阈值xF（我们定义了该阈值）是“x”的上限。“x”和“xF”之间的距离，即企业1可以作为领导者投资的区域，在I中不断增长。事实上，xF明显随I而增长，如果抢占区域（\'x，\'x）不为空，则如果Igrows；当I/I=xF/xF达到fn中给定的界时，（\'x，\'x）崩溃。14在c=（D）方面- D） /（D）- D） 垄断企业的损失与跟随者投资时的收益有关。

我们为ISuppose x<xF选择这些限值，这样，企业2的先发优势- 非同小可。如果Iis增加，这对L有两个负面影响- F.首先，它增加了投资成本流e-rtrIup到FIRM 2的固定跟随者投资时间τF（0），这减少了L。第二，它延迟τF（0）。新的收入流差异-rt（xt（D）-D）-前者和新的τF（0）之间的rI（随着I的增加）对新的τF（0）的最优性具有非正预期，因此减少了L- F.60801001401601020000.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2c=D10-D11D11-D01x2Fx1L\'x^xd=D11-D00D11-D01=0.2=> x1M=60060801001401601020000.20.30.40.50.50.6 0.70.8 0.9 1.01.1 1.2c=D10-D11D11-D01x2Fx1L\'x=xd=D11-D00D11-D01=0.6=> x1M=200r=0.08，u=0.02，σ=0.2，内径-D=1000=> xF=120图3：受约束的引线停止区域。为了简单起见，使用了c的两个函数，尽管只使用了“x=”x=x, 阈值求解（A.1）。现在，c也通过x来确定“x”= xF/（1+c）。^x的方程（4.4）可以简化为参数β1,2和xL，即无约束的单纯形阈值，它是^x的上界，其本身满足xL=xF/（c+d），其中d:=（d- D） /（D）- D） 。如果领导者的投资对跟随者的收入没有太大影响，如在市场进入情况下，后一个比率接近1；当领导者从追随者那里窃取大量业务时，比如通过一项重大创新，它就会变得微不足道。dalso通过xM=xF/d控制最佳同时投资阈值。在定理3.4的均衡中，表1可以自由决定何时投资区间（`x，xF）。如果没有先发制人的威胁，它就不会在min{xL，xF}以下投资。然而，考虑到先发制人的威胁，当州超过^x时，公司1已经开始投资，这可能要早得多，如图3所示。

在d值较低的上面板中，抢占的威胁对c非常重要≥ 0.45. 公司1从不选择在较低的面板中等待，d值适中。在XM的联合投资是一种均衡，如果xL≥ xF；对于d=0.6和c，这不是一个平衡≥ 0.45.4.2具有施工时间的战略性房地产开发与之前一样，类似推理一方面表明，格林纳达（1996）中讨论的均衡仅在某些参数限制下存在，另一方面，存在帕累托改进的额外均衡。格林纳迪亚（1996）在两个对称的房地产所有者之间建立了一个实物期权博弈模型，他们可以各自投资重新开发自己的房产，以赚取更高的租金。他的模型需要稍微转换成当前的框架，因为它包含了建设的延迟：如果业主投资，就需要时间≥ 0个时间单位，直到新大楼产生任何收入。在任何所有者进行投资之前，双方都能获得确定的租金≥ 0.成本投资I>0终止该租金，将对手的租金降低至（1）- γ） R加γ∈ [0,1]并在延迟δ后启动新的自有租金dxta。（xt）是几何布朗运动，如（4.2）所示。一旦新建筑完工，每位业主将获得0<D的租金≤ D.掷弹兵的模型在战略上等同于指定π0it=e-rtR，πLit=e-rt（德）-（r）-u）δxt- rI），πF it=e-rt（1- γ） R，π位=e-rt（德）-（r）-u）δxt- rI）在总体框架中。格林纳迪亚（1996）提出的均衡被不充分的论点所证明，即如果当前跟随者支付超过当前领导者支付，等待是最优的。然而，存在一个子博弈完美均衡，如定理3.4中的对称性；它的特点如下。

一旦xte超过阈值xF>0，则跟随者问题（2.1）再次通过投资得到解决，同时投资对于所有状态xθ来说都是不平衡的≥ xF。问题（A.1）通过阈值x解决= xFD/D当且仅当D<D时，抢占区域P实际上是非空的。P可以由状态空间的间隔（\'x，\'x）表示，参数与命题证明4中的参数相同。1，其中现在¨x=xF。4.2.1进一步均衡的定性根据参数值，可能存在其他同时投资延迟和/或无优先购买权的均衡。设xl表示解决无约束垄断问题（3.4）当前实例的阈值。对于\'x=xF以上的州，任何投资都将同时进行。与格林纳达（1996）中的主张相反，同步投资不能延迟超过阈值xM=xLD/D≥ 解决问题（3.8）。事实上，在P中，通过对称性，两个公司在投资时最多获得跟随者的回报。这同样适用于任何只进行联合投资的均衡。InxF=ββ-1·e（r）-u）δ（I+（1）- γ） R/R）（R）- fn中β>1的u）/d。13.xL=ββ-1e（r）-u）δ（I+R/R）（R- fn中β>1的u）/d。13.这不应与XLinGrenadier（1996）相混淆，后者对应于当前的“x”。无论哪种情况，只要状态超过xM，都必须立即进行投资，因为任何延迟都将是引理3.8的损失。在P中发生抢占时，只能考虑延迟区间[`x，xM]内的同时投资，即延迟收入变化π位- π0it=e-rt（德）-（r）-u）δxt- 里-R） 。该问题与命题4中考虑的双边约束问题具有相同的形式。2（也可以回忆第4.1.4节中的插图），带有De-（r）-u）δD-D、 I+R/R替换地面和XM替换xF。

因此，现在给定¨x=xF，如果De-（r）-u）δxF≥ rI+R，如果γ≤里拉+11.-β- 1β（r- u), （4.8）那么，对于xF以上的州，投资根本不能延迟，这是inGrenadier（1996）不承认的。在这种情况下，优先购买权区域延伸到如此高的州，以至于超过它的任何放弃的收入都是一种损失。注意，（4.8）的RHS是严格正的。只有当（4.8）失败时，才会存在解^x∈ [（rI+R）e（R）-u）δ/D，xM）到（4.4）的当前版本，这样可以在（xF，^x）中抑制投资。只有这样，才能出现《掷弹兵》（1996）第五节中广泛讨论的现象，即当需求落在xF时，优先购买权才会发生。然而，如果γ足够大，可以违反（4.8），那么延迟的联合投资可能足够有吸引力，可以完全避免先发制人，这将是帕累托改进w.r.t.掷弹兵（1996）。根据与命题4.3相同的论点，在具有阈值xM的联合投资均衡中，可以避免优先购买权≥ xif且仅当其产生至少x=xL<xF的预期收益，即当且仅当xL≥ xF<=> γ ≥里拉+11.-DD或者如果γ≥里拉+11.- DβD- DDβ- Dββ-1.fnβ>1。13.最后一个对γ的限制确实比前一个弱。5结论第3节中的一般模型的均衡分析直接基于其原始模型，而不是价值函数的衍生分析性质，这在不断增长的实物期权博弈文献中经常发生。从更广泛的角度来看，一方面，忽视任何均衡验证问题的风险较小，另一方面，对其经济结构的看法更为详细。

对于满足本文一般假设的模型，通过基本的经济论证，均衡验证问题的数量已经大大减少，并且仍然需要解决一个企业的单一类最优停止问题。定理3.4适用于文献中更多的例子，以及第4节中重新讨论的例子（例如，导言中列出的例子）。所提出的应用程序具有非常独特的经济特性，显示了一般结果如何在典型的状态空间模型中起作用。通过更完整的方法，一些被忽视的平衡行为被识别出来，从定性上区分随机模型和确定性模型。特别是，当状态随机演化时，双边约束会产生反馈效应。为确定额外平衡点（可能是帕累托改进）而提出的论点也推广到了其他模型，例如不确定性的来源。因此，本文的总体观点为更完整地分析符合框架的优先购买投资模型奠定了基础，并为分析不满足本文假设的收入顺序的进一步模型提供了指导。附录。1.描述抢占区域的特征在查看抢占区域是否为空时，必须考虑对一些简单的停止问题来说是最佳的停止时间。如果π0i，它们是i公司永久单极问题（3.4）的解决方案·≡ πfi·（类似于市场进入模型）。引理A.1。对任何人来说θ∈ T，Lθ>Fθ仅当ELτi- FτiFθ> 0表示所有时间τi∈ Tattainingess supτ≥θEZτπF isds+Z∞τπLisdsFθ（A.1）对于一些人来说∈ {1, 2}.

τ在哪里= θ达到（A.1），因为i=2，那里有Lθ- Fθ≥ ELτ- FτFθ总之τ∈ [θ，τF（θ）]。引理A.1基于这样一个事实：对于任何τ∈ [θ，τF（θ）]，Lθ和Fθon[θ，τ]之间的差异是垄断或双寡头收入与落后者收入之间的差异，即最多πL2·- πf2·。这种差异对于（A.1）的任何解都是非正的，其中τ≤ τF（θ）乘以πL2·≥ πB2·。此外，Lθ和Fθ之间的收入差异[τ, ∞) 最多是在Lτ之间和Fτ, 因为企业2的跟随者反应保持不变，并且通过后来成为领导者，企业2至少在同一时间获得垄断收入。对于第4节中的状态空间模型，我们得到以下特征。首先，如第3.1.2小节所述，无论是公司i，还是公司xiF，都有一个跟随者阈值∈ R、 如果XF的投资对第二家公司来说不是最优的，那么它永远不会被限制在优先购买区域，甚至在关闭时也不会被限制。就像我·≤ F.对于所有高于该xiF的状态，后者必须位于任何非空抢占区域之上。其次，根据引理A.1，对于i=1，2，任何非空抢占区域必须与（A.1）中的停止区域相交；xi说，解决这个问题的门槛∈ R、 不能位于抢占区域之上。特别是，如果x≥ xF，抢占区域必须是空的。第三，如果第二家公司在x没有先发优势, 那么，在穿越xF之前，该状态将不会获得任何值。因此，如果状态，从某个x开始< xF，willHere“抢占区域”指的是在同一状态空间中定义阈值的区域，这当然是对之前定义P的术语的滥用。在达到xF之前获得任何中间值，然后有必要检查在x处是否有Firm 2的先发优势; 否则抢占区域为空，因为不能躺在上面。引理A.1的证明。

首先请注意，有解决方案τi≤ τiF（θ）≤ τF（θ）到（A.1）对于i=1，2，因为要停止的相应过程是连续且可积的。估计值来自于πLi的假设·- πfi·≥ πBi·- πfi·，参见引理3.1的证明。通过τi的最优性在（A.1）中，ERτiθ（πLis）-πF是）dsFθ≤ 因此，作为πL2·-πf2·≤πLi·- πfi·，（B.1）只能是严格正的ZτF（θ）τi（πL2s）- πF 2s）ds+ZτF（θ）τF（θ）（πB2s）- πF 2s）dsFθ> 0（事实上，只有当P[τi< τF（θ）>0），这意味着EHLτi- FτiFθi=EZτF（τi）)τi（πL2s）- πF 2s）ds+ZτF（θ）τF（τi）)（πB2s）- πF 2s）dsFθ> 0asτF（τi）) ≥ τF（θ），τF（τi) = τF（θ）和πL2·≥ πB2·。对于所有停止时间τ∈ [θ，τF（θ）]，实际上τiF（τ）=τiF（θ），i=1，2，因此Lθ- Fθ-ELτ- FτFθ= ERτθ（πL2s）- πF 2s）dsFθ≥ 如果τ为0= θ获得（A.1）。A.2在没有先发制人的情况下验证均衡以下建议有助于减少搜索我可能想要取消企业j的时间，从而验证最佳回复τi*≥ τj*. 它避免了直接最大化领导者薪酬，这是一个复杂的问题，因为追随者的反应。应用于状态空间模型，可能需要考虑单个阈值的偏差。提议A.2。考虑任何给定的θ∈ T和我，j∈ {1,2}，i6=j。

如果j公司计划在停止时间τj进行投资*≥ 那么τi*≥ τj*对于Fim i if Fiτj，这是最好的回答*= Miτj*关于{τi*= τj*} 和（i）EFiτj*Fθ≥ ess supτ∈[θ，τj*]EMiτFθ以及（ii）每次停车时间θ≥ θ，关于{θ<τj*} 一个解τiD（θ）∈ 问题supτ的T∈[θ，τj*∨θEZτπ0isds+Z∞τπLisdsFθ（A.2）满足τiD（θ）≥ τjF（θ）或LiτiD（θ）≤ EFiτj*FτiD（θ）.凡θ达到（A.2），它认为李θ-EFiτj*Fθ≥ E李τ-Fiτj*Fθ对于所有停止时间τ∈ [θ，τjF（θ）]。进一步，如果πL1·- π·≥ πL2·- π·πB1·- π·≥ πB2·- π·Fτ*= Mτ*对于i=1，则τ*= τ*这是最好的回答。条件（i）显然也是必要的，因为终端支付最多为Fiτj*（无需按照第3.1.2节建模的赎回）和Li·≥ 米·。条件（ii）表示，它可以在（A.2）的解τiD（θ）<τjF（θ）处检查表i的偏差，因此在θ=τjF（θ）的情况下不需要检查。接下来的一句话意味着，对于阈值类型的模型，考虑θ=τiD（θ）通常就足够了：如果企业i不想成为那里的领导者，那么在跨越企业j的决定τjF（θ）的跟随阈值之前，状态过程不会达到任何值。对于高于该阈值的州，无需考虑偏差。命题A.2尤其适用于某个时间τJ=τ的联合投资均衡*= τ*≥ θ. 一方面，FτJ=MτJis是必要的，这自动地简化了FτJ=MτJby引理3.1。另一方面，（i）显然是一个必要条件，即τj必须是（至少受约束的）最大化预期联合投资回报的最佳时间MiτJFθ如引理3.8所述。考虑到τJ，可以通过条件（ii）验证均衡，如果额外收入订单成立，则需要考虑表1。命题A.2的证明。

给定τj*≥ θ，确认i从任何停车时间τi获得的预期收益≥ θ是ELiτiτi<τj*+ Miτiτi=τj*+ Fiτj*τi>τj*Fθ≤ ELiτiτi<τj*+ Fiτj*τi*≥τj*Fθ. 后者可通过停止时间τiτi<τj实现*+ ∞1τi*≥τj*, 所以τi*这是对τj的最好回答*i ffiτj*= Miτj*关于{τi*= τj*} τ=τj*获得支持≤τ≤τj*EhLiτ<τj*+ Fiτj*τ≥τj*Fθi.通过迭代期望，这相当于李θ- EFiτj*Fθ≤ {θ<τj上的0*} 对于所有停止时间θ≥ θ. 在条件（i）和（ii）下建立后者≥ θ和letτiD（θ）∈ T获得（A.2）（这样的τiD（θ）通过待停止过程的连续性和可积性而存在），E从何而来RτiD（θ）θ（πLis）- π0is）dsFθ≤ 0.关于{θ<τj*} 然后我们有了Liθ- EhMiτj*Fθi=EZτjF（θ）θ（πLis）- π0is）ds+Zτj*τjF（θ）（πBis）- π0is）dsFθ（A.3）≤ EZτjF（θ）∨τiD（θ）θ（πLis）- π0is）ds+Zτj*τjF（θ）∨τiD（θ）（πBis）- π0is）dsFθ≤ EZτjF（θ）∨τiD（θ）τiD（θ）（πLis）- π0is）ds+Zτj*τjF（θ）∨τiD（θ）（πBis）- π0is）dsFθ= EhτiD（θ）<τjF（θ）LiτiD（θ）- Miτj*+ 1τiD（θ）≥τjF（θ）MiτiD（θ）- Miτj*Fθi.第一个等式使用约定rab·ds=-a<b的Rba·ds。第一个不等式是πLi·≥ πBi·第二个是由于τiD（θ）的最优性。最后一个等式与第一个等式类似，使用迭代期望和τiD（θ）<τjF（θ）=> τjF（τiD（θ））=τjF（θ）。替换Miτj后*作者：Fiτj*在（A.3）的第一项和最后一项中，条件（i）和（ii）使最后一项变为非正（取τiD（θ）处的迭代期望），因此也变为Liθ- EFiτj*Fθ≤ 0.为了证明下一个说法，请注意，对于任何停止时间τ∈ [θ，τjF（θ）]我们有τjF（τ）=τjF（θ），因此有Liθ- E李τFθ= ERτθ（πLis）- π0is）dsFθ≥ 0当θ达到时（A.2）。对于最终索赔，考虑任何停止时间τ*≥ θ使得Fτ*= Mτ*; 然后也是Fτ*=Mτ*引理3.1。进一步假设（i），（ii）保持i=1，所以τ*= τ*这是对表1的最佳回复。

证明τ*也是表2对τ的最佳回复*= τ*如果πL1·- π·≥ πL2·- π·和πB1·-π·≥ πB2·-π·，我们证明了当i=2时，（A.3）不大于i=1时。因此，对于每个i=1，2，Fiτ*= Miτ*暗指ARτiF（θ）τ*（πBis）-πF是）dsFθ= 任何setA为0 {τiF（θ）≥ τ*} （取τ处的迭代期望值）*), 特别是对于A={τF（θ）>τ*}asτF（θ）≥ τF（θ）。此外，EτF（θ）>τ*RτF（θ）τF（θ）（πB2s）- πF 2s）dsFθ≤ 0通过τF（θ）的最优性（以及τF（θ）处的迭代期望），所以EτF（θ）>τ*RτF（θ）τ*（πB2s）- πF 2s）dsFθ≥ 现在，重写i=2的（A.3），我们得到ZτF（θ）∧τ*θ（πL2s）- πs）ds+1τF（θ）≤τ*Zτ*τF（θ）（πB2s）- πs）ds+1τF（θ）>τ*ZτF（θ）τ*（πL2s）- πB2s）dsFθ≤ EZτF（θ）∧τ*θ（πL1s）- πs）ds+1τF（θ）≤τ*Zτ*τF（θ）（πB1s）- πs）ds+1τF（θ）>τ*ZτF（θ）τ*（πL2s）- πF 2s）dsFθ≤ EZτF（θ）∧τ*θ（πL1s）- πs）ds+1τF（θ）≤τ*Zτ*τF（θ）（πB1s）- πs）ds+1τF（θ）>τ*ZτF（θ）τ*（πL1s）- πF 1s）ds+ZτF（θ）τF（θ）（πL1s）- πB1s）dsFθ（A.4）最后一个不等式使用πL1假设·- πf1·≥ πL2·- πf2·以及τF（θ）≤ τF（θ）和πL1·≥ πB1·。使用E重新排列（A.4）τF（θ）>τ*RτiF（θ）τ*（πBis）- πF是）dsFθ= i=1时的0收益率（A.3）。提案A.2对于顺序投资，简化如下。推论A.3。考虑一下∈ T和τS∈ T求解（3.6）。然后是从θ开始的子博弈中的一个均衡，即企业1计划在τ投资*= τ处的τ砂层2*= τF（θ）如果命题A.2的条件（ii）满足形式i=2。进一步，如果πL1·- π·≥ πL2·- π·，然后τD（θ）=τSattains（A.2），其中θ≤ τ*= τS.注意，在推论A.3的设置中，命题A.2的条件（ii）必须认为，在τD（θ）<τF（θ）达到（A.2）时，表2不具有局部先动优势，因为（Ft）是[θ，τF（θ）]上的子鞅。根据Corollary中的额外收入订单，这相当于τSnot处于优先购买区域P。推论A.3的证明。

我们只需要通过应用命题A.2和τ来验证i=2的最优性*= τS≤ τF（θ）=τ*. 那么确实是Fτ*= Mτ*. 此外，条件（i）满足为M·≤ F·and（Ft）是πf2在[θ，τF（θ）]上的子鞅·≤ π·. 因此τ*如果满足剩余条件（ii），则为等时。对于第二项权利要求，请注意，如果πL1·- π·≥ πL2·- π·，然后是ERτSτ（πL2s）- πs）dsFτ≤ERτSτ（πL1s）- πs）dsFτ≤ 0表示任何停止时间τ∈ [θ，τS]通过τS的最优性，参见引理3.7，因此τD（θ）=τS∨ θ获得（A.2）的当前实例。A.3技术成果引理A.4。在第2节的设置中，考虑四个过程（πmt）∈ L（dt） P），m=0，L，F，B，这样每个过程（Rtπmsds）都是适应的，并且τO（τ），τ∈ T做一个停车时间满足τ的家庭≤ τO（τ）≤ τO（τ）a.s.对于所有τ，τ∈ 带τ的T≤ τa.s.然后存在（D）类的可选过程（Lt）和（Ft），它们满足τ=L（τ）：=Zτπsds+EZτO（τ）τπLsds+Z∞τO（τ）πBsdsFτandFτ=F（τ）：=Zτπsds+ess supτ≥τEZτπFsds+Z∞τπBsdsFτa、 对于每τ∈ T特别是，可以选择正确的连续过程（Ft）。IflimτO（τn）=任意τ的τO（τ）a.s∈ T和序列（τn）n∈N T与τn和τa.s，则也可以选择（Lt）为右连续。当每个τO（τ）都是达到F（τ）值的最新停止时间时，或者当每个τO（τ）=τ时，所有条件都满足。证据首先重写F（τ）asF（τ）=Zτπs- πFsds+EZ∞πBsdsFτ+ ess supτ≥τEZτπFs- π-BsdsFτ.（A.5）RHS上的第一项是一个连续过程，在τ处进行评估，τ通过假设进行调整，并以τ为界∞|πs |+|πFs|ds∈ L（P），因此是可选的，属于（D）类。第二项和第三项是（D）类的（超）鞅系统（参见El Karoui，1981年，命题2.26）——尤其是由族约束的（超）鞅系统ER∞|πFs |+|πBs|dsFτ, τ ∈T（D）类学生。

因此，存在（D）类的可选过程，分别聚合两个（超）鞅系统。前者是鞅，可以选择右连续。后者实际上是连续过程（Yt）：=（Rt（πFs- πBs）ds），其中uy是（右-）连续的，因此可能被认为具有正确的连续路径，a.s.L（τ）可以写成（a.5），第三项X（τ）：=ERτO（τ）πLs- π-BsdsFτ.首先假设πLs- π-Bs≥ 0代表所有人∈ 在这种情况下，R+，a.sX（τ）Fτ= X（τ）+EZτO（τ）τO（τ）πLs- π-BsdsFτ≥ 所有停车时间τ的X（τ）≥ τ（asτO（τ）≥ τO（τ）），sox：=X（τ），τ∈ T这是一个子马尔代尔系统。X以ER∞|πLs |+|πBs|dsFτ, τ ∈ T, 因此属于（D）类。一般来说，最后一个论点分别适用于πLs- π-Bs+和πLs- π-Bs-, 证明了X是两个子鞅系统的差，这两个子鞅系统可以由（D）类的两个可选过程聚合。如果任意序列（τn）n的limτO（τn）=τO（τ）a.s∈N T具有τn和τa.s，那么X——类（D）——在期望中是右连续的，并且聚集的子鞅可以具有右连续路径。最后，由于上述过程（Yt）是连续的，τ之后达到F（τ）–τF（τ）–的最新停止时间是斯奈尔包络线单调部分第一次增加。单调部分继承了（Yt）的连续性。因此选择τ≤ τF（τ）≤ {τ上的τF（τ）≤ τ} 对于所有τ，τ∈ T现在考虑一系列的停止时间τn和τa.s，其中τF（τn）在n中减少。通过构造，我们只能得到limτF（τn）>τF（τ）≥ 其中uy的单调部分在（τF（τ），limτF（τn）]上是常数。通过连续性，它必须在[τF（τ），limτF（τn）]上保持不变。然而，uy的单调部分在τF（τ）的定义处增加，因此我们必须有τF（τ）=limτF（τn）a.s.备注a.5。

由于引理A.4的证明依赖于类（D）上鞅的聚集，我们可以进一步假设过程（Lt）和（Ft）在任何时间t都有极限（见El Karoui，1981，命题2.27）。备注A.6。对于单极问题（3.4）和何时成为最佳领导者的问题（3.5），解决方案——尤其是停止区域——通常有所不同。考虑一个模型，在该模型中，利润流由一个差异（Yt）驱动，使得每一个利润流都有一个跟随者阈值，比如yiFsolving（2.1），其中τiF（τ）=inf{t≥ τ| Yt≥ yiF}，而且企业1也有垄断门槛，比如yL≤ YF（3.4），其中LTC可以表示为状态Yt的连续函数。现在我们可以应用Jacka（1993）的论点，它依赖于（Lt）的半鞅性质，引理A.4的证明实际上建立了这个性质。用（At）表示（Lt）的有限变化部分。（Lt）的斯奈尔包络（St），即最佳停止（Lt）的值过程，现在也是连续的（作为状态的函数），其单调递减部分（Bt）由dBt=1St=LtdAt+dLt（St）给出- Lt）。最后一个学期是当地时间（圣路易斯）- Lt）在0时花费（即在停止区域），这是绝对连续的w.r.t.1St=LtdAt≤ 现在假设停止区域{S·=L·}是垄断问题的停止区域{Y·≥ yL}，dLt（圣- 生活在{Y·=yL}的边界上。对于Yt∈ [yL，yF），（Lt）有一个由已放弃的垄断利润流给出的漂移，dAt=-πL1tdt，dLt（St- Lt）≡ 如果（Yt）有跃迁密度，则为0。

杰卡定理6（1993）。As（Lt）属于（D）类，As（St）属于（D）类，因此收敛于S∞= L∞= 0在L（P）中表示为t→ ∞.因此（St）的鞅部分就是E[-B∞| Ft]和St=E[-R∞tSs=LsdAs |英尺]。进一步注意到，对于Yt>yF，（Lt）有一个由前面的双头垄断流给出的漂移，dAt=-πB1tdt，然后我们得到st=EZ∞TY∈[yL，yF）πL1s+1Ys>yFπB1sds-Z∞tYs=yFdAs英尺. （A.6）将类似的推理应用于企业1的垄断问题（3.4），通过τL（t）=inf{s解决≥ t|Ys≥ yL}，它的值是ER∞τL（t）πL1sds英尺= ER∞泰斯≥yLπL1sds英尺, i、 e.eR∞τL（t）Ys<yLπL1sds英尺= 0.因此，如果Yt≥ yL，（A.6）可以在asSt=E时重写Z∞TYs<yFπL1s+1Ys>yFπB1sds-Z∞tYs=yFdAs英尺.在（Lt）的假设停止区域中，也就是St=Lt，尤其是Yt≥ yF≥ yL，St=EZ∞tπB1sds英尺.在停车区域，-1Ys=yFdAs≥ 0，假设πL1·≥ πB1·。此外，Ys=yf是P dt nullset，如果Y有一个跃迁密度，那么等于indeedE中的两个最新刺激表达式Z∞tYs<yFπL1s- πB1sds英尺= 0（和E）-R∞tYs=yFdAs英尺= 0). 这与典型的严格顺序πL1·>πB1·相矛盾。引理A.7。设（xt）是一个几何布朗运动Ohm, F，P, 满足dxt=uxtdt+σxtdbt的布朗运动（Bt）适用于F。进一步，让τx:=inf{t≥ 0 | xt≥ ~x}对于任何给定的常数~x∈ R+。然后是问题supτ∈T，τ≤τxEZ∞τe-rt（Dxt- rI）dt（A.7）r>max{u，0}，D∈ R和I>0由τ求解*:= inf{t≥ 0 | xt≥ ~x∧ 十、*}, wherex*=ββ- 1·I（r）- u）D+和β>1是σβ（β）的正根- 1) + uβ - r=0。证据如果D≤ 0，则（A.7）中的被积函数始终为负，且最新可行的停止时间是最优的，这确实满足τx=τ*现在是x*= ∞. 对于D>0，引理A.7是Steg和Thijssen（2015）中命题4.6的特例，设置它们的Y=Dx，uY=u，σY=σ，X=c=cB=0和yP=（r- uY）（I）- cA/r）=x.B引理3.1的证明。

（2.1）中的停止问题等于常数toess infτ≥τERττ（πBis）-πF是）dsFτ. 因此，τ-iF（τ）和迭代期望的最优性RτiF（τ）τ（πBis）-πF是）dsFτ≤ 0表示所有τ∈ [τ，τiF（τ）]和ERτiF（τ）（πBis）-πF是）dsFτiF（τ）≥ 0表示所有τ≥ τiF（τ），严格地说是{τ>τiF（τ）}，因为τiF（τ）是最近达到（2.1）的时间。因此，τ=min{τF（τ），τF（τ）}和πB2·- πf2·≤ πB1·- πf1·我们有0≤ EZτF（τ）τ（πB2s）- πF 2s）dsFτ≤ EZτF（τ）τ（πB1s）- πF 1s）dsFτ≤ 0.第一个不等式对{τF（τ）<τF（τ）}（直到P-零集）是严格的，所以τF（τ）≤ τF（τ）（P-a.s.）。最后，Fiτ- Miτ=ess supτ≥τE[Rττ（πF）为- πBis）ds | Fτ]在i=1时不大于i=2时。引理3.2的证明。我们有τ- Fτ=EZτF（τ）τ（πL2s）- πF 2s）ds+ZτF（τ）τF（τ）（πB2s）- πF 2s）dsFτ（B.1）和lτ- Fτ=EZτF（τ）τ（πL1s）- πF 1s）ds+ZτF（τ）τF（τ）（πL1s）- πB1s）dsFτ,式中τF（τ）≤ τF（τ）通过引理3.1。通过τF（τ）的最优性来停止流（πB2s）-πF 2s），在（B.1）的RHS上的第二个积分具有非正条件期望，参见引理3.1的证明。现在的说法是基于πL1的假设·-πf1·≥ πL2·-πf2·与πL1·≥ πB1·。引理3.3的证明。我们只使用πLi的假设·≥ πBi·和π0i·≥ πfi·（除了用τP（θ）表示）。设τi1st（θ）=inf{t≥ θLit>Fit}（=τP（θ）表示i=2），例如Mi·≤ 李·≤ Fi·on[θ，τi1st（θ）），所以投资没有比成为跟随者更好的地方了，但如果最后一个不等式是严格的，那么投资确实是次优的。接下来，通过Fiθ和π0i中τif（θ）的最优性·≥ πFi·，Fi·在[θ，τiF（θ）]上的期望值不降低，因此我更喜欢在该时间间隔内尽可能晚地成为跟随者。最后，Liτ≥ τ=min时的Fiττi1st（θ），τiF（θ）–由于Li的右连续性，在τi1st（θ）处·- Fi·和atτiF（θ）由于πLi·≥ πBi·。

因此，如果对手在τ=min之前没有投资τi1st（θ），τiF（θ）（在一定的可能性下），公司至少可以在τ+1/n和n的投资限额内达到其追随者价值→ ∞ （在极限条件下，我得到Fiτ的概率是对手投资于τ和Liτ，否则Li·是右连续的）。引理3.6的证明。当Liθ>E[Liτ| Fθ]对于所有的停止时间τ>θ时，我们也必须有Liθ≥ EFiτFθ对于任何τ≥ 严格地说，{τ>θ}，如下所示。首先注意fiτ- EFiτiF（τ）Fτ= ERτ如果（τ）τ（πF）为- π0is）Fτ≤ 因为τiF（τiF（τ））=τiF（τ）。进一步注意LiτiF（τ）≥ FiτiF（τ）乘以πLi·≥ πBi·。加上这个假设，它必然会认为李娜FiτFθ≥ EMiτFθ关于任意τ的{τ>θ}∈ T和李θ≥ 菲θ≥ Miθ使用τ=θ。然后，如果对手的计划不意味着立即投资的概率为1（否则没有什么可以证明），那么，如果j公司不立即投资，i公司无法获得比Liθ更高的回报，如果j公司立即投资，i公司无法获得比Liθ更高的回报。由于Li·的正确连续性，该上限是FIRMI计划投资于θ+1/n和n的极限→ ∞, 但是，任何不以概率1立即进行投资的计划都无法实现这一目标。对于第二种说法，通过矛盾的方式假设τ=θ达到（3.5），但存在一个停止时间τ≥ θ以至于Rτθ（πLis）- π0is）dsFθ< 0具有正可能性。在那个事件中，Liθ=Zθπ0isds+EZτjF（θ）θπLisds+Z∞τjF（θ）πBisdsFθ<Zθπ0isds+EZτπ0isds+ZτjF（θ）τπLisds+Z∞τjF（θ）πBisdsFθ≤ EhLiτFθiasτjF（τ）≥ τjF（θ）与πLi·≥ πBi·，这与τ=θin（3.5）的最优性相矛盾。备注B.1。τ>θ的F-事件=> Liθ>E[Liτ|Fθ]a.s。

对于所有停止时间τ≥ θ可以按如下方式聚合为Fθ-事件：使用A（τ）：={τ>θ}∈ Fθ和b（τ）：={Liθ>E[LiτFθ]}∈ Fθ对于任何停止时间τ≥ θ，给定的性质可以写成1B（τ）- 1A（τ）=0 a.s.对于所有τ≥ θ（作为B（τ） A（τ））。后者适用于任何F事件，当且仅当它是C的子集：={ess infτ≥θ（1B（τ）- 1A（τ））=0}（直到一个空集）。Asall 1B（τ）- 1A（τ）是Fθ-可测随机变量，ess-infτ也是≥θ（1B（τ）- 1A（τ））。实际上，as 1B（τ）- 1A（τ）≥ ess infτ≥θ（·），也是1B（τ）- 1A（τ）≥ E[ess-infτ≥θ（·）|Fθa.s.适用于所有τ≥ θ因此ess infτ≥θ(·) ≥ E[ess-infτ≥θ（·）|Fθa.s.由ess inf（·）定义。然而，由于左侧和右侧具有相同的期望，等式成立。此外，存在一系列相互不相交的集合（Cn）和一系列停止时间（τn），因此SCN=Ohm \\ C（直到一个空集），infτn≥ 在每个Cn上，τn>θ和Liθ=E[Liτn|Fθ]a.s.这是因为{1B（τ）族- 1A（τ）|τ≥ θ}是向下的，就像所有1B（τ）一样- 1A（τ）是{-1，0}值，对于任何τ，τ≥ θ也τ：=τ+（1A（τ）- 1B（τ））（τ）- τ) ≥ θ是满足1A（τ）的停止时间- 1B（τ）=min（1A（τ）- 1B（τ），1A（τ）- 1B（τ））。因此存在一个序列（τn） 带infτn的T≥ θ和1B（τn）- 1A（τn）和ess-infτ≥θ（1B（τ）- 1A（τ））a.s.，因此P[{1B（τn）=1A（τn）}\\C]&0。现在可以递归地设置Cn=A（τn）\\（B（τn）∪ Cn-1).引理3.7的证明。首先要注意的是，（3.7）存在一个最佳停止时间（也是最新的），因为要停止的过程是连续的和可积的。对于任意停止时间τ∈ [θ，τF（θ）]，τF（τ）=τF（θ），因此Lθ- ELτFθ= ERτθ（πL1s）- πs）dsFθ与（3.7）中θ和τ之间的支付差异相同。因此，当θ在（3.7）中是唯一最优的时，也存在Lθ>ELτFθ关于{τ>θ}。

关于其他可能的支付，如引理3.6的证明中所述，Mτ≤ Fτ≤ EFτF（τ）Fτ≤ ELτF（τ）Fτ, 其中现在τF（τ）≤ τF（τ）=τF（θ）表示τ∈ [θ，τF（θ）]。因此，Lθ严格优于任何未来的支付（θ，τF（θ）），游戏必须以引理3.6证明中的相同论点结束。引理3.8的证明。首先要注意，存在一个最佳停止时间τiM≥ θfor（3.8）也是最新的一个，因为要停止的过程是连续的和可积的。最优τ满足必要和充分条件ERτiMτ（π0is）- π-Bis）dsFτ≥ 关于{τ≤ τiM}和ERτiM（π0is）- π-Bis）dsFτiM≤ {τ上的0≥ τiM}所有停止时间τ≥ θ，最后一个不等式对{τ>τiM}严格，如果τiM是最新解。我们将推导过程的解析性质（Fit）；因此，考虑任意的停止时间τ≥ θ.对于第一个性质，请注意{τ≤ τiM}我们有FiτiM∧τiF（τ）Fτ- Fiτ=EZτiM∧τiF（τ）τ（π0）为- πF是）dsFτ≥ 0byπ0i·≥ πfi·与τiF（τiM）∧ τiF（τ））=τiF（τ）。此外，关于子集{τiM>τiF（τ）}我们有FiτiMFτiF（τ）- FiτiF（τ）=EZτiMτiF（τ）（π0is）- πBis）ds+ZτiF（τiM）τiM（πF）为- π-Bis）dsFτiF（τ）≥ 0通过τi的最优性和τiF（τiM）的定义，参见引理3.1的证明。一起，EFiτiMFτ- Fiτ=EFiτiM- FiτiM∧τiF（τ）Fτ+ EFiτiM∧τiF（τ）Fτ- Fiτ≥ 0.对于第二个属性，请注意FiτiF（τ）Fτ- Fiτ=ERτiF（τ）τ（π0）为- πF是）dsFτ≥ 又是π0i·≥ πF i·和τiF（τiF（τ））=τiF（τ），因此有必要显示FiτiF（τ）FτiM≤ FiτiMon{τ≥ τiM}。这里，其中τiF（τ）≥ τiF（τiM），它认为FiτiF（τ）FτiM- FiτiM=EZτiF（τiM）τiM（π0is）- πF is）ds+ZτiF（τ）τiF（τiM）（π0is）- π-Bis）dsFτiM≤ EZτiF（τiM）τiM（π0is）- πBis）ds+ZτiF（τ）τiF（τiM）（π0is）- π-Bis）dsFτiM≤ 0，其中我们在第一次估计中使用了τiF（τiM）的定义，在最后一次估计中使用了τiM的最优性。

最后一个不等式对{τ>τiM}是严格的，如果τiM是（3.8）的最新解。现在假设停止时间τiM≥ θ从θ最佳停止（配合）∈ T，即它的满意度FiτiMFτ≥ {τ上的Fiτ≤ τiM}和EFiτFτiM≤ FiτiMon{τ≥ τiM}所有停止时间τ≥ θ. 作为EFiτiF（τiM）FτiM≥ FiτiMas如上所述，我们必须有等式，即τiF（τiM）也是最优的，为了简单起见，我们可以设置τiM=τiF（τiM），以显示（3.8）中τiF（τiM）的最优性。因此，再次考虑任意停止时间τ≥ θ.关于{τ≤ τiM}，其中τiF（τ）≤ τ如果（τiM）=τiM，则保持0≤ EFiτiMFτ- Fiτ=EZτ如果（τ）τ（π0）是- πF is）ds+ZτiMτiF（τ）（π0is）- π-Bis）dsFτ≤ EZτ如果（τ）τ（π0）是- πBis）ds+ZτiMτiF（τ）（π0is）- π-Bis）dsFτ通过定义τiF（τ），得到τiMin（3.8）的第一个最优性。关于{τ≥ τiM}，其中τiF（τ）≥ τiM，我们有0≥ EFiτFτiM- FiτiM=EZτiM（π0is）- πBis）ds+Zτ如果（τ）τ（πF）为- π-Bis）dsFτiM≥ EZτiM（π0is）- π-Bis）dsFτiM再次通过定义τiF（τ），得出τiMin（3.8）的第二个最优性。命题4.1的证明。根据强马尔可夫性，必须考虑t=0。如果抢占区域为空，则可以设置“x=”x并在（0，xF）中选取任何数字。非空抢占区域的上界和下界如下所示≤ Ffor all x≥ xF。第二，对于所有x>0，L≤ ER∞E-rsxsD- 里ds=xD/（r）- u) - 伊比·D≥ 丹佛≥ ER∞E-rsxsDds= xD/（r）- u），永远不要作为跟随者投资的价值。因此，我- F≤ x（D）- D） /（r）- u) - 我≤ 非空间隔（0，（r- u）I/（D）- D） +）。现在假设L>F对于某个x=^x∈ （0，xF）以及一些x=ˇx<^x，通过矛盾的方式假设≤ Ffor x=x∈ （ˇx，^x）。

那么我们必须有x>rI/（D）-D） +，否则我- F=ERτe-rsxs（D）- D）- 里ds+ ELτ- Fτ≤ 0如果x=ˇx和x∈ （ˇx，rI/（D）- D）+∧ xF]，其中τ：=inf{s≥ 0 | xs≥ x}≤ τF（0）。通过同样的论证，我们也必须有L>Ffor x=ˇx∨ rI/（D）- D） 但是如果我们设置x=x和^τ：=inf{s≥ 0 | xs6∈ （ˇx∨ rI/（D）- D） ，^x）}≤ τF（0），我们得到L- F=ER^τe-rsxs（D）- D）- 里ds+ EL^τ- F^τ> 0，其中集合{x>0 | L>Fgiven x=x}是凸的。此外，该集合作为L打开- Fis continuousin x.最后假设I=I，抢占区域非空，即通过Lemma。1以及随后的讨论，即阈值求解（A.1）满足x< xF=xF。那么，对于任何x∈ [x], xF），L- F=ERτF（0）xs（D）- D）- 里ds> 0作为x唯一地解（A.1）。命题4.2的证明。\'x<xf可以是（0，∞] 在这个证明中，即我们只假设“x有限”。对于初始状态x∈ （\'x，xF），约束τP（0）∧问题（4.3）中的τF（0）是给定间隔的退出时间，（4.3）相当于upτ≤inf{s≥0 | xs6∈（\'x，xF）}EZ∞τe-rsxs（D）- D）- 里ds. （B.2）如果“x（D- D）≥ rI，在时间0停止和任何可行τ之间的预期支付差异≥ 0是ERτe-rs（xs（D）- D）- rI）ds≥ 0，以便立即停止等时。如果D- D≤ 0，也是ERτP（0）∧τF（0）τe-rs（xs（D）- D）- rI）ds≤ 0表示任意τ≤ τP（0）∧ τF（0），使得等待直到约束是最优的。现在假设0<x（D- D） <rI，从哪里来的D>和xL<∞. 请注意Z∞E-rsxs（D）- D）- 里ds= 除息的- 博士- u- Iis（B.2）中立即停止的值。假设x=x，我们将首先验证问题（B.2）的值函数为v（x）：=A（^x）xβ+B（^x）xβ如果x∈ （\'x，^x），xD-博士-u- 雅思，（B.3）因此（\'x，^x）C在假设^x∈ [rI/（D）-D） ，xF）解决了（4.4）或“≤” 适用于^x=xF。

之后，我们将证明（B.3）中定义的^x.V（x）是连续的，因为（4.5）给出的A（^x）和B（^x）是连续条件A′xβ+B′xβ=’xD的解- 博士- u- 一、 A^xβ+B^xβ=^xD- 博士- u- I.（B.4）V（x）在（`x，xF）上也是两次连续可微分的，除了可能在^x。然而，在^x<xF时，V的第一个导数是连续的，因为（4.4）是可微分条件βA^xβ-1+βB^xβ-1=（D）-D） /（r）-u）乘以^x，减去（B.4）中的第二个连续性条件。因此，我们可以应用它的引理来看到（e-rtV（xt））是一个连续的有界上鞅，直到τ=inf{t为止≥ 0 | xt6∈ （\'x，xF）}，xt为零漂移∈ （\'x，^x）和漂移e-rt（rI）-xt（D）-D） ）对于xt，dt<0∈ （^x，xF）。因为在τ=inf{t，上鞅与支付过程重合≥ 0 | xt6∈ （\'x，xF）}，仍然需要证明V（x）主导了x的支付过程∈ （\'x，xF），它通过构造x来实现∈ [^x，xF]。为了x∈ （\'x，^x），V（x）=xβ-2.β(β-1） A（^x）xβ-β+β(β-1） B（^x）. Asβk（βk-1） >0，k=1，2，差异V（x）-x（D）-D） /（r）-u）+i如果A（^x），B（^x）是凸的≥ 0，并且它在^x两端消失。通过（4.4），差值的导数在^x处为非正，因此差值将取其最小值。因此，它将在所有[\'x，^x]上消失，但V（x）不能在非空（\'x，^x）上消失。所以我们必须有一个（^x）∧ B（^x）<0。如果我们有B（^x）≥ 0，那么A（^x）<0，V（x）在（\'x，^x）上严格递减，与V（^x）相矛盾≥ V（`x）；因此B（^x）<0。回到V（x），它最多可以切换一次符号，它必须在¨x开始严格负性。如果它保持非正性，差异V（x）-x（D）-D） /（r）-u）+Iis凹面，因此在（\'x，^x）上为非负。

如果V（x）最终变为正，那么V（x）的凸部分- x（D）- D） /（r）- u）+如前所述，它在^x处的最小值为0，因此，在过渡处的差异是非负的，因此对于第一个凹面部分是非负的。总之，（e）-rtV（xt））在xt离开（x，xF）之前是一个超级艺人，主导着支付-rt（xt（D）- D） /（r）- u) - 一） ，这与xt一致∈ {x}∪ [^x，xF]，所以latteris是[\'x，xF]中的停止集。接下来，我们证明了存在唯一的阈值^x∈ [rI/（D）- D） ，xL）求解（4.4），然后最终考虑约束xF。作为第一步，注意所有x的B（x）<0 in（4.5）∈ （\'x，xL]。事实上\'xβxβ- xβ\'xβ-1<0表示x>x乘以β>1和β<0，我们有B（x）<0<=>十、-βx（D）- D） /（r）- u) - 我> \'x-β\'x（D- D） /（r）- u) - 我. x的后一个函数的导数可以写成x-β-1.βI- (β- 1） x（D）- D） /（r）- u)> 0表示所有x<xL=β（r- u）I/（（β）- 1） （D）- D） ）。作为第二步，注意A=A（xL）和B=B（xL），我们有A·（xL）β+B·（xL）β=I/（β）- 1） 通过使用xLin（B.4）的定义，从而（β- 1） A·（xL）β+（β-1） B·（xL）β=I+（β- β） B·（xL）β>与（4.4）中的“=”相比。第三步是证明“≤” 对候选人^x=rI/（D）保持（4.4）- D）∈（\'x，xF），其中包含的内容正是当前考虑的情况。通过与上述类似的参数，使用连续性条件（B.4），V（x）然后满足V（x）=EZ∞^τe-rsxs（D）- D）- 里ds, x=x∈ [x，^x]，其中我们让^τ：=inf{s≥ 0 | xs6∈ （\'x，^x）}。对于^x=rI/（D）- D） ，被积函数将严格为负，直到^τ，所以V（x）>x（D）- D） /（r）- u) - Ifor all x∈ （\'x，^x）。然而，Atx=^x，等式由（B.4）和V（^x）决定-) = βA（^x）^xβ-1+βB（^x）^xβ-1.≤（D）- D） /（r）- u).

与（B.4）一起，后一种不平等也意味着≤” 在（4.4）中。作为最后一步，作为函数（β- 1） A（x）xβ+（β- 1） B（x）xβ是连续的，它必须达到某个^x∈ [rI/（D）-D） ，xL）通过第二步和第三步。后一个区间是非空的，因为在证明开始时对xl进行了估计。关于唯一性，假设^x，^x∈ [rI/（D）- D） ，xL）求解（4.4）。正如我们在上面证明的那样，对于任何xF，V（x）是问题（B.2）的值函数≥ xL和（B.2）由^τk:=inf{s求解≥ 0 | xs6∈ （\'x，^xk）}，k=1，2。特别是对于anyx∈ [x，x]，V（x）=xD- 博士- u- I=EZ∞^τe-rsxs（D）- D）- 里ds=> 0=EZ^τe-rsxs（D）- D）- 里ds.因此，让τ：=inf{s≥ 0 | xs≤ ^x}≤ ^τ和x∈ [x，x]，0=EZ^τe-rsxs（D）- D）- 里ds= EZˇτ∧^τe-rsxs（D）- D）- 里ds+Z^τ∧^τe-rsxs（D）- D）- 里ds.第二个积分在预期中会自行消失，而第一个被积函数对于x是严格正的∈ （^x，^x）。因此，后一个间隔必须为空。^x的证明是完整的≤ xF。最后，如果rI/（D）- D） <xF<^x，然后≤” 在（4.4）中，我们推导出了候选x=rI/（D）- D） 必须是严格的，因此xF的“<”也必须包含在（4.4）中，否则为^x≤ （β）的连续性-1） A（x）xβ+（β-1） B（x）xβ。现在，如果我们考虑“x:=xFwith”，则上述验证参数适用≤” 在（4.4）中。命题4.3的证明。停止时间τJ（θ）：=inf{t≥ θxt≥ xJ}，θ∈ T，满足时间一致性θ≤ τJ（θ）=> τJ（θ）=任意两个θ的τJ（θ）≤ θ∈ 这是由建筑造成的。如果命题a.2中的条件成立，τJ（θ）是在θ处的最佳回答。xJ≥ xF，FτJ（θ）=MτJ（θ）。根据当前规范，它需要验证第1家公司的条件（i）和（ii）。条件（i）保持为等待，直到阈值xJ≤ XM对于通过引理A.7阻止Mtup的约束问题是最优的；参见无约束问题（3.8）。

类似地，阈值min{xJ，xL}解决了问题（A.2）。因此，如果xL，条件（ii）成立≥ xFor，使用强Markov属性，如果0≥ DJ（x）：=L-EMτJ（0）给定x=x∈ [xL，xF）。通过命题A.2，如果xL<xF解（A.2），我们让τ（x）=inf{t≥ 0 | xt≥ x}≤ 任意x的τF（0）∈ [xL，xF），然后是DJ（xL）≥ ELτ（x）- MτJ（0）= E[DJ（x）]，其中最后一个标识是由于xτ（x）=x。因此，仍需验证DJ（xL）≤ 0表示xL<xF。如果xL<xF，则前者是有限的，我们可以写出λ：=xJ/xL∈ [1, ∞]. 然后也是xL<xJand（参见Pawlina和Kort（2006）中的方程式（9），（10），考虑到可能的xF=∞)!≥ DJ（xL）=xLDr- u- 我-xF（D）- D） r- uxLxFβ-xLDr- u-xJ（D）- D） r- u- 我xLxJβ=ββ- 1I- 我-ββ- 1ID- DD- D二（D）- D） +D- Dβ-1.-λββ- 1ID- DD- D- 我λ-β.重新排列产量条件（4.6）。（4.6）w.r.t.λ中方括号的导数对于λ是严格负的∈ （0，xM/xL）给定β>1，需要注意的是λ（D- D） <D- D、 因为D>Dfor xL<xf和（D- D） /（D）- D） =xM/xL>λ，如果D>D。使用后一个事实还表明，对于λ=xM/xL，方括号为1- （xL/xM）β≥ 0或1，如果xm不确定，则分别为0或1。最后，DJ（xL）的必要性≤ 0表示xL<xF≤ 很明显。命题4.4的证明。根据假设xL<xf和引理3.7和A.7，问题（3.6）由τS（θ）：=τL（θ）=inf{t解决≥ θxt≥ xL}∈ 任何情况下都不行∈ T表1的这些停止时间满足时间一致性θ≤ τS（θ）=> τS（θ）=任意两个θ的τS（θ）≤ θ∈ t通过构造，以及表2的停止时间τF（θ）=inf{t≥ θxt≥ xF}。验证θ的平衡∈ 根据推论A.3，注意现在πL1·-π·≥ πL2·-π·，问题（A.2）由τD（θ）=τS（θ）求解∨ θ.

所以我们有一个平衡点≥ xF(≥ \'-x）或者，使用强马尔可夫属性，如果0≥ DS（x）：=L- EFτS（0）givenx=x∈ [xL，xF）。根据命题A.2，如果xL<xF，我们让τ（x）=inf{t≥ 0 | xt≥ x}≤ 对于anyx，τF（0）∈ [xL，xF），然后是DS（xL）≥ ELτ（x）- FτS（0）= E[DS（x）]，其中最后一个恒等式是由于xτ（x）=x。因此，仍需验证DS（xL）≤ 0表示xL<xF，即xL6∈ （\'x，\'x）。后一个条件是（参考Pawlina和Kort（2006）中的等式（8）、（9），考虑到可能的yxf=xF=∞)!≥ DS（xL）=xLDr- u- 我-xF（D）- D） r- uxLxFβ-xLDr- u-xF（D）- D） r- u- 我xLxFβ=ββ- 1ID- DD- D- 我-ββ- 1ID- DD- D（D）- D） +D- Dβ-1.-β- 1I二（D）- D） +D- Dβ.重新排列产量条件（4.7）。其LHS w.r.t.I/Iis的导数对于xL<xfβ>1是严格正的，因为- D） +/（D）- D） <1。同样的事实是，（4.7）中的theRHS是严格正的。显示xL6的必要性∈ （\'x，\'x），假设相反，定义为xL<xf和DS（xL）>0。对于任何x≤ xL，DS（x）=EhDS（xL）i+L- EhLτS（0）i=DS（xL）+EZτS（0）（πL2s）- πs）ds= DS（xL）+x（D- D） r- u- 我-xL（D）- D） r- uxxLβ、 它不断收敛到DS（xL）>0作为x→ xL码。因此，对于某些x<xL的情况，DS（x）>0。ReferencesAlós-Ferrer，C.和K.Ritzberger（2008年）。树木和广泛的形式。J.经济。理论143216-250。Boyarchenko，S.和S.Levendorskii（2014）。莱维不确定性下的抢占博弈。游戏经济。比哈夫。88, 354–380.El Karoui，N.（1981年）。随机控制的概率。在P.-L.Hennequin（Ed.）中，圣面粉学院第九届至1979年，第876卷，因马特的课堂讲稿。，第73-238页。柏林海德堡纽约：斯普林格。Fudenberg，D.和J.Tirole（1985年）。新技术采用中的优先购买权和租金均衡。牧师。经济部。螺柱。52 (3), 383–401.格林纳达，S.R.（1996年）。选择权的战略运用：房地产市场的开发级联和过度建设。J

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