指数Léevy模型下两种资产期权的有限元定价

2022-5-9 12:21:00

指数L’EVYMODEL下双资产期权的有限元定价*, 林平+、戴雪成§和周景辉§摘要。本文提出了一种用于部分积分微分方程（PIDE）的有限元方法（FEM），用于对两个资产期权进行定价，其基础价格过程由指数L＠evy过程建模。我们在加权Sobolev空间中给出了一个变分公式，并建立了基于有限元的解的存在唯一性。然后，我们讨论了有限域内主要问题的局限性，并分析了其误差。我们通过PIDE的显式隐式时间离散化来解决局部问题，其中空间离散化通过标准的连续有限元方法完成。对于完全离散的局部问题，假设两个资产具有不相关的跳跃，给出了误差估计。多项式期权和其他两种资产期权的数值实验表明，我们提出的方法具有良好的性能。关键词。L’evy过程，部分积分微分方程，有限元法，指数L’evy模型1。介绍众所周知，当存在正常的市场波动时，差异期权定价模型（参见[6,32,8,12,22,21,20]）在捕捉风险方面存在缺点。最近的实证研究和高冲击市场崩盘表明，资产动态中戏剧性波动的特性应该纳入差异模型（参见[5]）。另一方面，在资产价格建模中包含跳跃已经发展了很多年。默顿（Merton，参见[33]）最初将泊松跳过程引入扩散模型。泊松跳跃扩散模型是指数L’evy模型（ELM）的一个例子，其基本价格动态表示为L’evy过程的指数（参见[4,35,14,38,25,23,19]）。

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2022-5-9 12:21:03

将差异模型扩展到指数evy模型，可以根据期权的市场价格对模型进行校准，并产生各种隐含的波动率偏差/微笑。通常，在微分模型（或BlackScholes-Merton框架）下的期权估值需要解抛物线偏微分方程。详细的治疗方法见[41,40]。假设系统风险可以在指数L’evy模型下分布，我们可以用抛物线积分微分方程（PIDE）的解来表示期权价格，该方程包括一个二阶微分算子和一个非局部积分算子。最近的文献[18,36,10]研究了指数L’evy模型下的期权定价。已经提出了各种有限差分方法来解决一维PIDE*香港理工大学应用数学系，香港九龙红磡(malixun@polyu.edu.hk)。本文作者感谢香港特别行政区普通研究基金（编号：15209614和15224215）的财政支持。+英国苏格兰邓迪大学数学系DD1 4HN(plin@maths.dundee.ac.uk)本文作者感谢中国国家科学基金会第91430106号、中央大学基础研究基金第06108037号和FRF-BR13-023号的资助卑尔根大学数学系，约翰内斯·布伦斯盖特12号，卑尔根5008，挪威(tai@cma.uio.no)§新加坡南洋路21号南洋理工大学物理与数学科学学院数学科学系637371(xctai@ntu.edu.sg, jhzhou@ntu.edu.sg)该研究得到了南洋理工大学SUG 20/07的支持。此外，还感谢教育部二级项目T207N202和IDM项目NRF2007IDM-IDM002-010的支持。2 X.LI，P.LIN，X-C.TAI和J.H。

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2022-5-9 12:21:06

最近（参见[16,2,42,7,1,3,13,15,11,9,34]）。作为等价物，Admin（参见[2]）中采用了双模拟法，用于具有有限跳跃强度的一维跳跃微分模型。Andersen和Andreasen（参见[3]）提出了一种算子分裂方法，其中局部部分用隐式步长处理，非局部部分用显式格式处理。Zhang（参见[42]）为跳差模型开发了一个半隐式有限差分方案，用于美国期权定价。虽然有限差分法对一维定价问题相对有效，但有限元法可以为解决多个资产的定价问题提供更通用的方法。除了有限差分法外，Matache等人（参见[29,30,31]）最近还将变分公式引入了一维PIDE。这些论文对小波-伽辽金有限元方法的一致性、稳定性和收敛性进行了严格分析。他们基于加权Sobolevspace的分析为无限域中的PIDE提供了一个很好的工具。Topper（参见[39]）对期权定价模型使用有限元法进行了广泛讨论。与有限差分方法相比，它在处理域几何、边界条件和解的光滑性方面有几个优势。指数L’evy模型下的多资产定价涉及多种技术：平滑初始和边界条件，处理可能不规则的映射域，将无界域定位到有界域，处理与某些跳跃相关的可能奇异性，在时间和空间变量中离散方程。有几篇论文在ELM框架内讨论了双资产期权的定价问题。带有跳跃的双资产期权通过马尔科夫链方法定价或建模（参见。

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2022-5-9 12:21:10

[28]). Forsyth等人（参见[9]）对二维PIDE使用有限差分方案，但他们的研究中没有对PIDE进行理论误差分析。在本文中，我们提出了一种用于指数L’evy双资产期权定价或二维PIDE的有限元方法。我们将同时考虑看跌期权和看涨期权。第2节介绍了双资产期权的指数L’evy模型和定价方程的一些细节。此外，本节还将构造平滑的初始和边界条件，并估计平滑问题与理论原始问题之间的误差。第3节从加权Sobolev空间中的PIDE的变分公式开始，以及其解的存在性和唯一性。然后我们将有限域定位到有界域。在有界域中，将显式-隐式时间离散与连续有限元方法相结合，用于PIDE，并在假设两个资产具有不相关跳跃的情况下进行误差分析。第四节对多项式期权和其他两种资产期权进行了数值实验。2.两种资产的指数L’evy模型。在指数L’evy模型中，风险资产S（·）=（S（·），S（·））与初始价格（S，S）的随机动力学表示为L’evy过程的指数：Si（t）=Siert+Xi（t），i=1，2，其中r是无风险利率，X（t）=（X（t），X（t））是在风险中性概率Q下从0开始的二维全evy过程。关于L'evy过程的详细信息可在[4,10]中找到。由于没有套利行为，折扣价格会降低-rtS（t）是在这样的测度Q下的鞅。在L’evy It^o分解的上下文中（参见。

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2022-5-9 12:21:14

[35]第119-135页，在Si（·）的FEM 3动力学下，风险中性定价双资产期权由i（t）=Si+ZtrSi（u）给出-)du+ZtσiSi（u-)dWi（u）+ZtZR（eyi）- 1） Si（u）-)JXi（du·dyi），其中σii是Si（·）、W（·）、W（·）的扩散波动率，是由ρ关联的标准布朗运动，JXi是描述xi跳跃的补偿度量。在下面，我们将考虑指数L′evy模型下双资产期权的定价方程以及方程的初始和边界条件。2.1. 双资产期权的积分微分方程。在[6,32,33,10]中的经典鞅定价方法中，欧式期权的价值定义为风险中性概率Q下其最终支付的贴现条件预期。遵循[11,29,30]中关于一维情况的思想，并假设跳跃分量是独立的，我们用以下抛物线积分微分方程来描述时间t的欧式双资产期权的定价问题，其中履约价格为K，到期日为t，付息时间为H（·，·）五、t+rS五、S+rS五、s- rV+σS五、S+ρσSS五、sS+σS五、S+ZRV（t，Sey，S）-V（t，S，S）-（哎- 1） S五、sν（dy）+ZRV（t，S，Sey）-V（t，S，S）-（哎- 1） S五、sν（dy）=0，V（T，S，S）=H（S，S），（2.1），其中νi（dyi）是描述下伏资产Si的跳跃大小yi活动的L’evy度量。V（t，S，S）的正则性和边（2.1）的详细推导可在[43]中找到。表2.1给出了特定两种资产的支付函数H（·，·）。期权类型支付（S，S）篮子买入最大值（（wS+wS）-K、 0）篮下推杆最大值（K）- （wS+wS），0）最差的2个资产最大值（最小值（S，S），0）最差的2个资产最大值（K- min（S，S），0）表2.1部分两种资产选项的支付功能。在用数值方法解决问题（2.1）之前，我们先介绍vari4 X.LI，P.LIN，X.-C。

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2022-5-9 12:21:17

TAI和J.H.ZHOUable变换，并规定了L’evy度量（见[32]），如下所示：τ=T-t、 xi=ln-Si，νi（dyi）=ki（yi）dyi，ki（yi）=λi√2πγiexp-（易）-νi）2γi,h（x，x）=h（ex，ex），u（τ，x）=e-r（T）-t） V（t，ex，ex），（2.2），其中λiI为正态分布跳跃的强度，平均值为νi，方差为γi（参见[10,43]）。我们现在将（2.1）重新表述为一个算子版本，如下所示：uτ=D[u]+J[u]，（τ，x）∈ [0，T]×R（2.3）加上初始条件u |τ=0=h（x），x∈ R、（2.4）其中【u】=· (κu） + · （αu）=Xi，j=1κi，jUxixj+Xi=1αiUxi，J【u】=ZRu（τ，x+ye）-u（τ，x）- （哎- 1)Ux（τ，x）k（y）dy+ZRu（τ，x+ye）-u（τ，x）- （哎- 1)Ux（τ，x）k（y）dy，e=（1,0），e=（0,1），κ=（κi，j）2×2=σρσσρσσσ, α=（α，α）t=（r-σ、 r-σ）坦然u=(U十、Ux） t.2.2。初始和边界条件。为了得到定价方程的解u（τ，x），需要初始条件和边界条件。当τ=0或x时，期权的特定结构可以为u提供此类信息→ ±∞, 十、→ ±∞. 从贴现原理的观点来看，u（τ，x）可以设置为Ex和exas x的合理线性函数→ ±∞ 或者x→ ±∞, 在没有边界的地方跳跃。因此，我们可以考虑基于满足方程（2.3）的形式g（τ，x）=c（τ）ex+c（τ）ex+c（τ）>0的函数的初始和边界条件。将其代入（2.3），我们得到所有x的cex+cex+c=rcex+rcexf。因此c（τ）=erτc（0），c（τ）=erτc（0）和cis常数。现在我们只考虑一个看跌期权作为编写初始和边界条件的例子。认购期权的条件可以相应地写下来。对于欧洲篮筐，Payoff max（K- （wS+wS），0），我们可以选择C（0）=-w、 c（0）=-魔杖c（0）=K。

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大多数88

2022-5-9 12:21:23

然后我们可以写出（τ，x）=K-wex+rτ- wex+rτ+（2.5）在FEM 5和定价方程（2.3）的初始和边界条件下，双资产期权的定价可给出如下公式：-wex- wex）+，x∈ Ohm,g（τ，x）=（K）- wex+rτ- wex+rτ）+，（τ，x）∈ [0，T]×Ohm,（2.6）式中z+=max（0，z），Ohm = 兰德Ohm = {（x）∈ R | x→ ±∞ 或者x→ ±∞}. 根据初始和边界条件的表达式，我们得到了g（0，x）=h（x）。结合初始条件和边界条件（2.6），指数L’evy模型下篮子看跌期权的定价PIDE（2.3）可以写成如下uτ=D[u]+J[u]，u |τ=0=h，x∈ Ohm,u|Ohm= g、 τ∈ （0，T]。（2.7）用于确定初始和边界条件的函数g（τ，x）将在后面的章节中在时间和空间上分别进行一次和两次微分。对于相容性，假设h（x）=g（0，x）。所以我们需要用一个更平滑的函数来近似g（τ，x）。然后，我们将用以下内容替换原来的PIDE~uτ=D[~u]+J[~u]，~u |τ=0=~h，x∈ Ohm,~u|Ohm= ~g，τ∈ [0，T]，（2.8）式中，h（x），~g（0，x）。为了构造一个更平滑的函数g，我们定义了一条曲线C和一个带状区域Ohm沿C.C.方向的δ=十、∈ 雷克-rτ- 前任- ex=0,Ohmδ={x∈ Ohm | 距离（x，C）<δ，δ>0}。对于任何x∈ Ohmδ\\C我们可以找到一个点xo=（xo，xo）∈ 这样，在xo处，片段xxois与C垂直。也就是说，xOsaties exo+rτ+exo+rτ=K和（x-xo）exo+（x-xo）exo=0。现在我们可以通过在中重新定义g来引入一个更平滑的函数Ohm沿法线方向的δ~n=exp（xo）√exp（2xo）+exp（2xo），exp（xo）√exp（2xo）+exp（2xo）C的系数：~g（τ，x）=p（n），x∈ Ohmδg（τ，x），否则，（2.9），其中n=sgn（x- xo）·p（x- xo）+（x- xo）（注意n=±δ对应于原始坐标中的点xo±δ~n），p（n）是一个多项式，定义如下。我们将再次以看跌期权为例。看涨期权的情况也可以这样做。

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2022-5-9 12:21:27

按照[27]中一维情形的思想，多项式alp（n）沿法向n构造，满足p（δ）=0，p（δ）=0，p（δ）=0，p（δ）=0，p(-δ） =g | n=-δ、 p(-δ) =G~n | n=-δ、 p(-δ) =G~n | n=-δ.我们可以显式地把它写成asp（n）=（n）-δ)a+b（n+δ）+c（n+δ）,6李克强、林炳、戴克强和周俊晖=-8δg | n=-δ、 b=-8δ2δg | n=-δ-G~n | n=-δ,c=-16δG~n | n=-δ+δG~n | n=-δ+δg | n=-δ.很容易验证，p（n）沿曲线C的法向NON单调递减，τ中的g的一阶导数和x中的g的二阶导数是连续的。此外，我们有以下关于g和g之间误差的命题。命题2.1。在任意固定τ∈ [0，T]，|g- g|≤ Mδ，十、∈ Ohm,其中M是一个与δ无关的通用常数。此外，p（n）=O（δ），p（n）=O（1），p（n）=O（δ）。。图2.1。非光滑payoff函数max（K）的光滑化- （ex+ex），0）在初始时间。在时间τ=0时，我们可以在图2.1中看到平滑后的函数。我们可以直接将类似的平滑技术应用于原始支付函数h（S）=max（K- （S+S），0）。其平滑版本如图2.2所示。现在，我们使用[17]中给出的最大值原理，估计（2.7）的解（表示为u）和（2.8）的解（表示为u）之间的误差。为此，我们将我们的PIDE运算符表示为[u]=uτ- D[u]- J[u]。FEM 7Fig下的双资产期权定价。2.2. 非光滑payoff函数max（K）的光滑化- （S+S），0）在原始坐标（S，S）中。然后误差e=u-| u满意度A[e]=0，e |τ=0=h-~h和e|Ohm= G-g.算子a是[17]中考虑的算子的特例（对应于a=0和f=0），并且[17]中假设的所有条件都满足我们所考虑的指数L’evy模型。

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nandehutu2022

2022-5-9 12:21:31

简单应用[17]中定理4.1给出的e和-e（注意±e |τ=0≤ |H-~h |和±e|Ohm≤ |G- 和命题2.1，我们得到以下误差估计。提议2.2。对于（2.7）的解u和（2.8）的解u，我们有| u- ~u|≤ 所有τ的Mδ∈ [0，T]和x∈ Ohm,其中M是一个与δ3无关的通用常数。PIDE的有限元方法。在本节中，我们将对无界域的局部化进行误差分析Ohm 到有界域，并在加权Sobolev设置下对PIDE进行时间和空间离散化。3.1. 变化设置。由于初始条件和边界条件在边界处呈指数增长Ohm, 加权Sobolev空间Hη(Ohm) 应该引入新方法来解释这种影响。给定函数η（x）=-（η| x |+η| x |），我们定义了加权Sobolev空间：Lη(Ohm) ,怒族∈ 洛克(Ohm)ueη（x）∈ L(Ohm)o、 Hη(Ohm) ,怒族∈ 洛克(Ohm)ueη（x）∈ L(Ohm), ueη（x）∈L(Ohm)o、我们注意到函数g，h，~g，~h∈ Hη(Ohm) 对于满足ηi>1的η=（η，η），i=1，2。稍后我们将交替使用η和η（x）。对于任何向量和矩阵B，B是B的转置。通过选取一个测试函数v∈ C∞(Ohm) 回顾格林公式，我们考虑（2.8）的变分公式，即to8 X.LI，P.LIN，X.-C.TAI和J.H.Zhofind＠u∈ L[0，T]；Hη(Ohm)真实航向[0，T]；Hη(Ohm)*对于任何τ∈ [0，T]，( ~uτ、 v）Lη(Ohm)+ aη（~u，v）=a[~g]，五、∈ Hη(Ohm),~u（0，x）=0，十、∈ Ohm,~u（τ，x）=0，（τ，x）∈ [0，T]×Ohm.（3.1）其中对于任何功能空间V，V*是V和[g]的对偶-~gτ、五Hη(Ohm)- aη（~g，v），~uτ、五Lη(Ohm)=ZOhm~uτve2η（x）dx，aη（~u，v）=ZOhm(~u）tκ五、- α（x）t~u ve2η（x）dx-ZOhmJ[~u]ve2η（x）dx，α（x）=α+κη、 α=（α，α）t=（r-σ、 r-σ） t.备注3.1。

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大多数88

2022-5-9 12:21:35

如果η（x）定义如下：η（x）=η（|x |+|x |）如果x<0，x<0，η| x |+η| x |如果x<0，x>0，η| x |+η| x |如果x>0，η（| x |+| x |）如果x>0，x>0，（3.2）其中η>1和η>1，则η =η（x）十、η（x）x=(-η, -η） t如果x<0，x<0(-η、 η）tif x<0，x>0，（η，-η）如果x>0，x<0，（η，η）如果x>0，x>0。（3.3）附录A提供了以下特性η（x）满足η的证明∈ Lloc（R），η ∈ （L）∞（R））及θη=η（x+θy）- η（x）≤ η（y），x、 y∈ R、 | |θ| |≤ 1.（3.4）备注3.2。注意，η（~u，v）是一个非对称双线性变分公式。当|ρ|<1，κ=σρσσρσσσ是对称正定义，即存在两个正数0<κ≤ κ使得κ|ξ|≤ ξtκξ≤ κ|ξ|, ξ ∈ R.α（x）也是一致有界的，即，给定α（x）=（α（x），α（x））t，存在α>0使得|αi（x）|≤ α, 十、∈ Ohm, i=1,2。为了考虑非对称双线性形式η（·，·）在处理变分公式（3.1）数值解的唯一性和存在性时的连续性和矫顽力，我们引入以下Garding不等式。为了方便起见，我们表示ηu=■u eη（x）和ηv=veη（x）。提议3.3。让η∈ R+可以任意固定。如果|ρ|<1，则根据FEM 91对双资产期权进行定价。双线性形式aη（·，·）：Hη(Ohm) ×Hη(Ohm) → R是连续的，即存在c>0，使得| aη（u，v）|≤ c | | u | | Hη(Ohm)||v | | Hη(Ohm), u、五∈ Hη(Ohm);2.存在依赖于η和ρ的β>0，因此新的双线性形式η（u，u）+β·（u，u）Lη(Ohm)是强制性的，即存在0≤ C≤ c取决于η和ρ，使得（Garding不等式）aη（u，u）≥ c | | u | | Hη(Ohm)- β| | u | | Lη(Ohm), U∈ Hη(Ohm).证据从a（u，v）的定义，我们知道| aη（u，v）|≤ZOhmu eη（x）tκveη（x）dx+ZOhmα（x）tu eη（x）·veη（x）dx+| aη跳跃（u，v）|，（3.5），其中aη跳跃（u，v）=ROhmJ[u]ve2η（x）dx。对于任何向量ηu，ηv与实数λ，ROhm(ηu+ληv）tκ(ηu+ληv）dx>0。

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2022-5-9 12:21:40

（3.5）中RHS的第一个术语可以写为Ohm(ηu）tκηvdx≤ZOhm(ηu）tκηudx·ZOhm(ηv）tκηvdx≤ κZOhm(ηu）tηudx·ZOhm(ηv）tηvdx= κ ||u | | Lη(Ohm)||v | | Lη(Ohm)≤ κ| | u | | Hη(Ohm)||v | | Hη(Ohm).同样，将（3.5）中RHS的第二项改写为：Ohmα（x）tηu·veη（x）dx≤ αU十、Lη(Ohm)+U十、Lη(Ohm)!||v | | Lη(Ohm)≤ α ||u | | Lη(Ohm)||v | | Lη(Ohm)≤ α| | u | | Hη(Ohm)||v | | Hη(Ohm).（3.6）为了考虑（3.5）中RHS的最后期限，我们需要添加exp(-η| x+θy |-η| x |）和exp(-η| x |- η| x+θy |）至Ux（τ，x+θy，x）和U分别为x（τ，x+θy）。因此会有额外的项exp（ηi（|xi+θiy）|- |满足：exp（ηi（|xi+θiy|- |xi |）≤ exp（ηi | y |）为0≤ θi≤ 1，i=1，2。因此，（3.5）中RHS的最后一项也可以重写为| aη跳跃（u，v）|≤ZOhmZRZUx（τ，x+θy，x）eη（x）veη（x）|y | k（y）dθdydx+ZOhm锆Ux（τ，x）eη（x）veη（x）· |嗯- 1 | k（y）dydx+ZOhmZRZUx（τ，x+θy）eη（x）veη（x）|y | k（y）dθdydx+ZOhm锆Ux（τ，x）eη（x）veη（x）· |嗯- 1 | k（y）dydx10 X.LI，P.LIN，X-C.TAI和J.H.ZHOU≤ CU十、Lη(Ohm)||v | | Lη(Ohm)+ CU十、Lη(Ohm)||v | | Lη(Ohm)≤ 麦克斯（c，c）·||u | | Lη(Ohm)||v | | Lη(Ohm)≤ max（c，c）| | u | | Hη(Ohm)||v | | Hη(Ohm),式中ci=ZReηi | y | y |+ey- 1|ki（y）dy，i=1,2。对于Gaussian ki（y），c，care positive and fine。因此我们得到了aη（u，v）|aη（u，v）|的连续性条件≤ c | | u | | Hη(Ohm)||v | | Hη(Ohm),其中c=κ+α+最大值（c，c）。现在aη（u，u）的矫顽力还有待证明。

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何人来此

2022-5-9 12:21:44

Sinceaη（u，u）=ZOhmu eη（x）tκu eη（x）dx-ZOhmα（x）tu eη（x）·u eη（x）dx-aη跳跃（u，u），然后aη（u，u）≥ZOhmu eη（x）tκu eη（x）dx-ZOhmα（x）tu eη（x）·u eη（x）dx-|η跳跃（u，u）|。（3.7）由于κ在|ρ|<1时为正定义，因此（3.7）的第一项可以简化为Ohm(ηu）tκηudx≥ κZOhm(ηu）tηudx=κU十、Lη(Ohm)+U十、Lη(Ohm)!.（3.8）在（3.6）中，（3.7）中RHS的第二项也可以改写为-ZOhmα（x）tηu·u eη（x）dx≥ -αU十、Lη(Ohm)+U十、Lη(Ohm)!||v | | Lη(Ohm).（3.9）最后，我们分析（3.7）的RHS的最后一个积分项，如下表所示- |aη跳跃（u，u）|≥ZOhmZRZUx（τ，x+θy，x）eη（x）ueη（x）|y | k（y）dθdydx-ZOhm锆Ux（τ，x）eη（x）ueη（x）· |嗯- 1 | k（y）DYDX在FEM下的双资产期权定价11-ZOhmZRZUx（τ，x+θy）eη（x）ueη（x）|y | k（y）dθdydx-ZOhm锆Ux（τ，x）eη（x）ueη（x）· |嗯- 1 | k（y）dydx≥ -CU十、Lη(Ohm)||u | | Lη(Ohm)- CU十、Lη(Ohm)||u | | Lη(Ohm).（3.10）然后从（3.7-3.10）得到η（u，u）≥ κU十、Lη(Ohm)+U十、Lη(Ohm)!-Xi=1（α+ci）UxiLη(Ohm)||u | | Lη(Ohm).对于任何ε>0，我们都有UxiLη(Ohm)||u | | Lη(Ohm)≤ εUxiLη(Ohm)+4ε| | u | | Lη(Ohm).通过选择ε满足κ-ε（α+ci）>0且定义c=κ- εα - εmax（c，c）>0，β=c+4ε（2α+c+c）>0，我们有矫顽力性质：aη（u，u）≥ c | | u | | Hη(Ohm)- β| | u | | Lη(Ohm).提议3.4。对于所有τ，变分公式（3.1）有一个唯一的解u和以下估计∈ [0，T]e-2βτ| | u | | Lη(Ohm)+ cZτe-2βs | | u | | Hη(Ohm)ds≤1+ccZτe-2βs~gsLη(Ohm)+ c | | g | | Hη(Ohm)!ds，其中c和c是命题3.3中的常数。证据

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2022-5-9 12:21:47

自h（x）∈ Lη(Ohm), 可以得到变分公式（3.1）的存在性和唯一性（见[26]）。取v（s，x）=u（s，x）e-2βsin（3.1）并在时间s内积分在0和τ之间，我们得出：-2βτ| | u | | Lη(Ohm)+Zτe-2βsaη（~u，~u）+β·（~u，~u）Lη(Ohm)ds=-Zτe-2βs~gs、 ~uLη(Ohm)ds-Zτe-2βsaη（~g，~u）ds。利用命题3.3中的Garding不等式，我们得到-2βτ| | u | | Lη(Ohm)+ cZτe-2βs | | u | | Hη(Ohm)ds12李克强、林炳、戴克强和周俊华≤ -Zτe-2βs~gs、 ~uLη(Ohm)ds-Zτe-2βsaη（~g，~u）ds≤2.Zτe-2βs~gsLη(Ohm)+ c | | g | | Hη(Ohm)!ds+Zτe-2βs||~u | | Lη(Ohm)+ c | | | u | | Hη(Ohm)ds。因此，我们得到以下估计-2βτ| | u | | Lη(Ohm)+ （2c）-（1+c））Zτe-2βs | | u | | Hη(Ohm)ds≤Zτe-2βs~gsLη(Ohm)+ c | | g | | Hη(Ohm)!ds。允许 =c1+c>0，得到先验估计（3.11）。3.2. 有界域的局部化及其误差估计。因为在无界区域中导出数值解是不可行的Ohm 对于对应于定价方程（2.7）的变量公式（3.1），我们需要截断Ohm 到有界计算域OhmM=[-M、 M]×[-M、 M]。

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2022-5-9 12:21:51

对于一些特殊的选项，例如双屏障选项，域绘制技术是不必要的，它直接导致在自然有界域上的PIDE。而不是在无界域中用平滑的边界条件g求解（2.8）Ohm ×[0，T]，我们将在OhmM×[0，T]：（~uM）τ= ·(κ~uM）+ · （α~uM）+J[~uM]，~uM |τ=0=~h（x），x∈ OhmM、嗯|Ohm= ~g（τ，x），（τ，x）∈ （0，T）×OhmM.（3.11）上述截短PIDE（3.11）的变分公式是∈ L[0，T]；Hη(OhmM）真实航向[0，T]；Hη(OhmM）*对于任何τ∈[0，T]，( 嗯τ、 v）Lη(OhmM） +aηM（~uM，v）=a[~g]，五、∈ Hη(OhmM） ~uM（0，x）=0，十、∈ OhmM~uM（τ，x）=0，（τ，x）∈ [0，T]×OhmM.（3.12），其中ηM（~uM，v）是η（~uM，v）对OhmM、即aηM（u，v）=ZOhmM(u） tκ五、- α（x）tu v型e2η（x）dx-ZOhmMJ[u]ve2η（x）dx。为了方便起见，我们仍然用0表示所有Ohm. （3.1）的近似解u的限制Ohm 到OhmMint产生定位错误eM=~uM- 我们现在估计的u。我们有以下定位误差估计：命题3.5。认为OhmM/2，{x∈ R||x | |≤ M/2}。然后，存在只依赖于T和γ>0的正常数C，这与M无关，因此定位误差eM（τ）满足：|eM（τ，·）|L(OhmM/2）+Zτ| | eM（s，·）| | H(OhmM/2）ds≤ 总工程师-γM.（3.13）在FEM 13Proof下对双资产期权进行定价。命题（3.4）中的先验估计意味着| | u | | Lη(Ohm)被一个独立于M的常数C所限定。

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2022-5-9 12:21:56

同样，e-2βτ| | uM | | Lη(Ohm)+ cZτe-2βs | | uM | | Hη(Ohm)ds≤1+ccZτe-2βs~gsLη(Ohm)+ c | | g | | Hη(Ohm)!ds。（3.14）因此| | eM | | Lη(Ohm), ||eM | | Hη(Ohm)对于任何τ，都以C为界∈ [0，T]，v∈ H(OhmM），定位误差eM=~uM（τ，x）- ~u（τ，x）满足度：ddτeM（τ），vL（R）+a（eM（τ），v）=0，（3.15），其中a（·，·），a（·，·）=aη（·，·）|η=0。定义一个具有以下性质的截断函数φ：φ∈ C∞(OhmM），φ=1OhmM/2和||φ| | L∞(OhmM）≤ C、其中C独立于M。插入v=φ（x）eM（τ，x）∈ Hη(OhmM）在（3.15）中，我们有dτ| |φeM（τ）|L(OhmM） +aφeM（τ），φeM（τ）= ρM（τ），（3.16），其中残余ρM（τ）=aMφeM（τ），φeM（τ）-A.eM（τ），φeM（τ）. 残差ρM（τ）可以改写为ρM（τ）=Xi=1σiZOhm|φxi | | eM | dxdx（3.17）-Xi=1αiZOhmφxiφ| eM | dxdx+ρM（τ），其中ρM（τ）=-ROhmJ[φeM]φeMdx+ROhmJ[eM]φeMdx。（3.2）中定义的加权函数η（x）满足η∈ Lloc（R），η ∈ L∞（R）和满足感θη=η（x+θy）- η（x）≤ η（y），x、 y∈ R、 | |θ| |≤ 1、（3.18）表达式（3.17）中的前两个积分项可以通过Xi=1σiZOhm|φxi | | eM | dxdx-Xi=1αiZOhmφxiφ| eM | dxdx≤ CZOhmM\\OhmM/2 | eM | eη（x）e-η（x）dx≤ 总工程师-γM | | eM | Lη(Ohm),对于正常数C和γ，其中γ与M无关。现在ρM（τ）仍有待估计。表示Ki（z）是L’evy测度Ki的第一个反导数，即Ki（z）=R∞zki（y）dy，如果z>0，-Rz-∞ki（y）dy，如果z<0，（3.19）14x.LI，P.LIN，X-C.TAI和J.H。

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大多数88

2022-5-9 12:22:00

ZHOUthenJ[u]=ZRUx（x+ze）-Ux（x）K（z）dz+ZRUx（x+ze）-Ux（x）K（z）dz+χu、其中e=（1,0），e=（0,1），χ=（χ，χ）和χi=ZR[y- （哎- 1）我们可以将ρM（τ）分解为ρM（τ）=I+I+I+I+I，其中I=-ZRZOhm相对长度单位x（τ，x+ze）φ（x+ze）+eM（τ，x+ze）φx（x+Z）-相对长度单位x（τ，x）φ（x）- eM（τ，x）φx（x）φeMK（z）dxdz，I=-ZRZOhm相对长度单位x（τ，x+ze）φ（x+ze）+eM（τ，x+ze）φx（x+ze）-相对长度单位x（τ，x）φ（x）- eM（τ，x）φx（x）φeMK（z）dxdz，I=ZRZOhm相对长度单位x（τ，x+ze）-相对长度单位x（τ，x）φeMK（z）dxdz，I=ZRZOhm相对长度单位x（τ，x+ze）-相对长度单位x（τ，x）φeMK（z）dxdz，I=-ZOhmχ（φeM）φeMdx+ZOhmχ（eM）φeMdx。在我们分别估计ρM（τ）之前，我们需要重新排列I，I，I，Ias跟随ρM（τ）=I+I+I+I+I，其中I=-ZRZOhm相对长度单位x（τ，x+ze）（φ（x+ze）-φ（x））eMφK（z）dxdz，I=-ZRZOhm相对长度单位x（τ，x+ze）（φ（x+ze）-φ（x））eMφK（z）dxdz，I=-ZRZOhmeM（τ，x+ze）-eM（τ，x）φx（x）φeMK（z）dxdz-ZRZOhmeM（τ，x+ze）φx（x+ze）-φx（x）φeMK（z）dxdz，I=-ZRZOhmeM（τ，x+ze）-eM（τ，x）φx（x）φeMK（z）dxdz-ZRZOhmeM（τ，x+ze）φx（x+ze）-φx（x）φeMK（z）dxdz，I=-ZOhmeMφ·χφdx。在FEM 15We表示为D={x的情况下，双资产期权的定价∈ Ohm|p（x+z）+x≥ M/2}和D={x∈ Ohm|px+x≥M/2}并观察到如果x/∈ D

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nandehutu2022

2022-5-9 12:22:05

因此|我|=-ZDeMφ·χφdx=ZD | eMeη（x）| |φ| |χφ| e-2η（x）dx≤ 总工程师-γM | | eM | Lη(OhmM）。（3.20）注意到如果x/∈ DSDwe haveI=-ZRZDSD相对长度单位x（τ，x+ze）（φ（x+ze）-φ（x））eMφK（z）dxdz。这意味着|我|≤ZR | z | K（z）dzZD相对长度单位x（τ，x+ze）eη（x+ze）· |eM | e-η（x+ze）φdx+ZR | z | K（z）dzZD相对长度单位x（τ，x+ze）·eMeη（x）· E-η（x）dx（3.21）≤ 总工程师-γM相对长度单位xeη（x）L(Ohm)· ||eM | | L(Ohm)+相对长度单位十、L(Ohm)·eMeη（x）L(Ohm)!.同样，上述不等式适用于I，即| I |≤ 总工程师-γM相对长度单位十、Lη(Ohm)· ||eM | | L(Ohm)+相对长度单位十、L(Ohm)· ||eM | | Lη(Ohm)!.（3.22）因为在i中的两个被积函数为零，如果x∈ OhmM/2，我的估算如下|I |≤ZRK（z）dzZD | eM（τ，x+ze）-eM（τ，x）|·φxφ·eMeη（x）· E-η（x）dx+ZRK（z）dzZD | eM（τ，x+ze）|φx（x+ze）-φx（x）φeMeη（x）· E-η（x）dx，≤ 总工程师-γM||eM | | H(OhmM） ·| | eM | Lη(OhmM） +| | eM | L(OhmM） ·| | eM | Lη(OhmM）.（3.23）同样地，|I|≤ 总工程师-γM||eM | | H(OhmM） ·| | eM | Lη(OhmM） +| | eM | L(OhmM） ·| | eM | Lη(OhmM）.（3.24）将（3.16）从0积分到τ，并将其与估计（3.20）、（3.21）、（3.22）、（3.23）、（3.24）相结合，然后使用先验估计（3.11）、（3.14），我们得到（3.13）。时间离散化方案的误差估计。我们将时间区间[0，T]的一部分引入子区间[τn]-1，τn]，n=1，2，···，n，such16 X.LI，P.LIN，X.-C.TAI和J.H.zhou认为0=τ<τ<··<τn=T。我们定义了τn+1和τnas之间的长度τ，τn+1- τ并将定价方程（2.8）考虑为有界域中的uτ=L[u]=D[u]+J[u]（3.25）（例如，OhmM）满足齐次边界条件。通过变量变换u=u（τ，x），该方程离散化得到的任何误差估计都可以很容易地应用于局部问题（3.11）的估计-~g（τ，x）。为了简单起见τ被假定为常数。

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kedemingshi

2022-5-9 12:22:09

让un+1作为Crank-Nicolson schemeun+1产生的以下系统的解决方案- un4τ=Lun+1+un.（3.26）定义误差函数en=un- u（τn）和从τn+处的方程（3.25）中减去方程（3.26），我们得到以下误差方程，en+1- en4τ- Len+1+en= -rn++Lhrn+i，（3.27），其中rn+=u（τn+1）-u（τn）4τ- uτ（τn+），rn+=u（τn+1）+u（τn）- u（τn+）。我们可以通过τn+及其积分形式余数的泰勒展开来估计rn+和rn+：rn+=24τZτn+τnuτ（ξ）（ξ）- τn）dξ+Zτn+1τn+uτ（ξ）（τn+1）- ξ） dξ注册护士+=Zτn+τnuτ（ξ）（ξ）- τn）dξ+Zτn+1τn+uττ（ξ）（τn+1）- ξ） dξ.然后，Cauchy-Schwarz不等式给出了rn+和rn+的估计，如下所示：注册护士+L(OhmM）≤ C（4τ）Zτn+1τn | | uττ（ξ）|L(OhmM） dξ，注册护士+H(OhmM）≤ C（4τ）Zτn+1τn | | uττ（ξ）| H(OhmM） dξ。然后我们有4τXn注册护士+L(OhmM）≤ C（4τ）ZT | | uττ（ξ）|L(OhmM） dξ，（3.28）4τXn注册护士+H(OhmM）≤ C（4τ）ZT | | uττ（ξ）| H(OhmM） dξ。（3.29）FEM 17下的双资产期权定价误差方程（3.27）的变分公式如下：∈ H(OhmM） n=0，1，N、使得u=h（x），对于所有N=1，2。

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kedemingshi

2022-5-9 12:22:14

，N，，代表所有∈ H(OhmM） ,，en+1- en4τ，v+ A.n+1+n，v= -rn+，v- A.rn+，v,（3.30）其中（u，v）=ZOhmM(u） tκ五、- αtu v型dx-ZOhmMJ[u]vdx。定义en=en+1+e，并用e代替v-在变分形式（3.30）中，我们有（见第3.1节中的Garding不等式）an+1+n，e-2βτn+-en≥ E-2βτn+c||en|H(OhmM）- β| | | en | L(OhmM）和en+1- en4τ，e-2βτn+-en=24τE-2βτn+1en+1L- E-2βτn | | en | L+ J、其中（使用1-E-β4τ≥ β4τ -β（4τ）和eβ4τ- 1.≥ β4τ+β（4τ））J=24τ（en+1，en+1e-2βτn+（1）-E-β4τ) -24τ（en，ene）-2βτn+（1）-eβ4τ=24τe-2βτn+（en+1，en+1）（1）-E-β4τ）+（en，en）（eβ4τ）- 1)≥ βe-2βτn+en+1L+| | en | L+β4τ||恩| | L-en+1L≥ βe-2βτn+| | en | L+β4τ||恩| | L-en+1L.因此en+1- en4τ，e-2βτn+-en+ A.n+1+n，e-2βτn+-en≥24τe-2βτn+1en+1L-24τe-2βτn | | en | | L+ce-2βτn+| | | en | H+β4τ||恩| | L-en+1L.我们也可以通过杨氏不等式来估计（3.30）的右边。-rn+，e-2βτn+-en- A.rn+，e-2βτn+-en≤ E-2βτn+注册护士+L||en|L+ce-2βτn+注册护士+H | | | en | H≤ E-2βτn+4ε注册护士+L+ε| | | en | L+ 总工程师-2βτn+4ε注册护士+H+ε| | | en | H=4εe-2βτn+注册护士+L+c注册护士+H+ ε（1+c）e-2βτn+| | | | en | H.18 X.LI，P.LIN，X.-C.TAI和J.H.Zhou因此得到以下不等式-2βτn+1en+1L- E-2βτn | | en | L+β（4τ）||恩| | L-en+1L+ C4τe-2βτn+| | en | H≤2εe-2βτn+4τ注册护士+L+c4τ注册护士+H≤2ε4τ注册护士+L+c4τ注册护士+H,式中C=2（C- ε（1+c））。这里我们可以选择ε<c1+cto使C>0。将上述不等式从n=0到n=m求和，并结合n+和rn+的估计，我们得到-2βτm+1em+1L- E-2βτEL+β4τEL-em+1L+CmXn=0e-2βτn+en+1+enH≤2ε4τmXn=0注册护士+L+c4τmXn=0注册护士+H≤ C（4τ）ZT（||uττ（ξ）|L）(OhmM） +| | uττ（ξ）|H(OhmM））dξ。这里我们注意到初始误差e=0。上述估算可简化如下。

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2022-5-9 12:22:18

如果4τ足够小-2βT-β（4τ）>0那么我们有，对于m=0，1，[T/4τ]：em+1L(OhmM） +M+1Xn=1 | | en | H(OhmM）≤ C（4τ）ZT（||uττ（ξ）|L）(OhmM） +| | uττ（ξ）|H(OhmM））dξ！，（3.31）其中C是一个通用常数，与4τ无关，但取决于T和畴的大小OhmM.这给出了任意有限时间间隔内Crank-Nicolson方案的误差估计。3.4. 有限元法的误差分析。对于有限元空间离散化，我们引入了一种三角形划分方法OhmM.我们用分区的所有不重叠三角形K的集合和K的最长边d（K）表示。然后表示h=maxK∈Thd（K）。然后我们构造一个连续的分段多项式有限元空间Vh，即Vh={v∈ C(OhmM）：v|K∈ Pk（K），K∈ Th，v|OhmM=0}，其中Pk（K）是定义在K上的多项式函数集，其最高阶为K。基于[37]对FEM中投影算子的逼近性质，我们在FEM 19下对双资产期权进行定价可能具有类似的逼近性质∈ Hk+1η(OhmM）有一个项目P，这样Pu∈ Vhand | | u- Pu | | Hsη≤ Chk+1-s | | u | | Hk+1η。（3.32）请注意，我们的域局限于一个有界的域，加权的Sobolev空间并不一定。然而，我们只是用加权的Sobolev空间来陈述结果，通常的Sobolev空间是特例。应用v∈ v在有界区域内的变分形式（3.12）OhmM、我们获得了有限元素解决方案：(UHτ、 v）Lη(OhmM） +aηM（uh，v）=a[~g]，五、∈ Vhuh（0，x）=0，十、∈ OhmMuh（τ，x）=0，（τ，x）∈ [0，T]×OhmM.（3.33）现在我们要估计（3.12）的解u和有限元解uh之间的误差。提议3.6。让eh=u- uh和u有足够的规律性，即u∈Hη(OhmM）。

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2022-5-9 12:22:22

对于VH中的分段线性有限元，我们有以下误差估计：||eh |Lη(OhmM）+Zτ| | eh | | Hη(OhmM） dξ≤ 中国Zτ| | u | | Hη(OhmM） dξ,其中C是一个通用常数，取决于给定的时间τ和Ohm不在h.证明上。设eh=θ+φ，其中θ=u- Pu，φ=Pu- 算符P是Hη的投影(OhmM）到Vh。从（3.33）中减去3.32中的方程式（3.12），我们得到了误差方程式dehdτ，vLη(OhmM） +aηM（eh，v）=0，五、∈ VhLet v=φ。因为（θ，v）Hη(OhmM） =0表示所有v∈ Vh，我们有dτ| |φ| | Lη(OhmM） +aηM（φ，φ）=-aηM（θ，φ）。通过Garding不等式（3.3），我们得到了Dτ| |φ| Lη(OhmM） +c | |φ| | Hη(OhmM）- β| |φ| | Lη(OhmM）≤ c | |θ| | Hη(OhmM） | |φ| | Hη(OhmM）≤c4ε| |θ| | Hη(OhmM） +cε| |φ| | Hη(OhmM）取ε=C2C，将上述不等式乘以e-2βτ，我们有-2βτddτ| |φ| | Lη(OhmM）- 2βe-2βτ| |φ| | Lη(OhmM） +ce-2βτ| |φ| | Hη(OhmM）≤cce-2βτ| |θ| | Hη(OhmM）注意到初始条件为零，并将τ从τ=0积分到s，我们得到了| |φ| Lη(OhmM） +cZsτe-2β(τ-s） | |φ| | Hη(OhmM） dξ≤ccZsτe-2β(τ-s） | |θ| | Hη(OhmM） dξ。因此，结合投影P的近似性质（3.32），我们完成了证明。20李克强、林炳、戴克强和周俊华4。数值实验。在这一部分中，我们将展示本文提出和分析的有限元及其相关技术的性能。我们采用线性有限元素。时间步长是τ = 0.01. 在空间离散化中，我们将计算域（S，S）定位在[0,80]×[0,80]中。我们将为定价PIDE显式地实现积分项，隐式地实现微分项。4.1. 多项式选项的案例研究。为了确保多资产期权定价的有限元方法的准确性，我们以一个简单问题为例测试了该算法，即带支付（S+S）的多项式期权，其在Black-Scholes模型和Merton跳跃扩散模型下的解析解在附录B中给出。

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何人来此

2022-5-9 12:22:25

跳跃扩散模型和多项式选项的参数如表4.1所示。参数值扩散波动率（σ，σ）0.1-0.3, 0.1 -0.3平均跳跃大小（ν，ν）-0.9, -0.9平均跳跃波动率（γ，γ）0.45，0.45跳跃强度（λ，λ）0.1，0.1相关性（ρ）0.3或-0.3基础价格40执行价格80利率0.05到期时间-t） 0.1或0.9表4.1多项式选项的参数：（S+S）τρσBS解析JD解析有限元相对误差0。1 0.3 0.1 0.1 6.4363 6.4899 6.5695 1.23%0.1 0.3 0.1 0.2 6.4421 6.4958 6.4785 0.27%0.1 0.3 0.1 0.3 6.4511 6.5050 6.4434 0.95%0.1 0.3 0.2 0.2 6.4488 6.5026 6.4977 0.08%0.1 0.3 0.2 0.3 6.4589 6.5128 6.4611 0.79%0.1 0.3 0.3 0.3 6.4699 6.5239 6.4646 0.91%0.9 0.3 0.1 0.1 6.7339 7.2753 7.3561 1.11%0.9 0.3 0.1 0.2 6.7892 7.3380 7.2909 0.64%0.9 0.3 0.1 0.3 6.8781 7.4398 7.3828 0.77%0.9 0.3 0.2 0.2 6.8536 7.5208 7.5093 0.15%0.90.30.20.36.9518 7.6412 7.6183 0.30%0.90.30.3 7.0593 7.4098 7.4093 0.01%表4.2正相关多项式期权的结果：ρ=0.3。在表4.2和4.3中，我们报告了两种标的资产的不同波动率的价格：（0.1,0.1），（0.1,0.2），（0.2,0.2），（0.2,0.3），（0.3,0.3），到期时间0。1或0.9，相关性：正（表4.2）或负（表4.3）。我们使用解析法和有限元法计算了两种资产期权在有限元域下的平方定价。并给出了相对误差。从FEM计算出的价格与解析解相差很小。在最新的三角测量中，差异尤其小。

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nandehutu2022

2022-5-9 12:22:28

正相关的价格略高于负相关的价格。τρσBS解析JD解析有限元相对误差0。1.-0.3 0.1 0.1 6.4343 6.4880 6.5622 1.14%0.1 -0.3 0.1 0.2 6.4382 6.4919 6.5573 1.01%0.1 -0.3 0.1 0.3 6.4453 6.4992 6.4784 0.32%0.1 -0.3 0.2 0.2 6.4411 6.4949 6.4699 0.39%0.1 -0.3 0.2 0.3 6.4473 6.5012 6.4816 0.30%0.1 -0.3 0.3 0.3 6.4525 6.5065 6.4540 0.81%0.9 -0.3 0.1 0.1 6.7158 7.2572 7.1881 0.95%0.9 -0.3 0.1 0.2 6.7530 7.3018 7.2686 0.46%0.9 -0.3 0.1 0.3 6.8239 7.3855 7.3250 0.82%0.9 -0.3 0.2 0.2 6.7813 7.3375 7.2680 0.95%0.9 -0.3 0.2 0.3 6.8433 7.4124 7.4990 1.17%0.9 -0.3 0.3 0.3 6.8966 7.4785 7.4422 0.49%表4.3负相关多项式选项的结果：ρ=-0.3 Black-Scholes模型的价格低于其跳跃差异模型。这是因为除了差异波动性之外，跳跃成分还解释了基础波动性。我们可以看到，跳跃式波动解释了价格大约10%的波动。图4.1给出了带跳跃扩散模型的多项式选项的解面。图4.1。默顿跳跃扩散模型下的多项式期权备注4.1。在表4.2和4.3中，价格单位为1000，τ为到期时间。“BS分析”和“JD分析”是提供的分析解决方案22 X.LI、P.LIN、X.-C.TAI和J.H.Zhou参数值扩散波动率（σ，σ）0.3，0.3平均跳跃大小（ν，ν）-0.9, -0.9平均跳跃波动率（γ，γ）0.45，0.45跳跃强度（λ，λ）0.1，0.1相关性（ρ）0.3基础价格（S，S）40，40权重（w，w）0.5，0.5执行价格（K）40利率（r）0.05到期时间（T-t）表4.4篮子看跌期权的参数：K-Pi=1wiSi+在附录B中，FEM是由FEM计算的解，相对误差定义为| F EM-jdAnalytical | jdAnalytical。4.2. 其他多资产选项的案例研究。

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