耦合和连接函数的邀请：及其在多传感器中的应用

2022-5-9 12:23:06

耦合和copula的邀请：本文介绍耦合和copula的随机概念，并将其应用于奥尔登堡的汉斯大学的多传感器建模。耦合是指两个或多个随机变量的联合分布的构造，这些随机变量不需要在同一概率空间中定义，而copula是将多变量分布与其一维边界连接起来的函数。它们在随机建模中的作用通过多传感器感知的例子来说明。提供了更先进和最新的治疗方法。1.引言耦合和copula的概念指的是概率论和统计学的两个相关领域，到目前为止，它们对数学心理学的重要性可能被忽视。本文对这两个概念进行了初步的、非严格的介绍。此外，还介绍了这两个概念在多传感器环境中的应用。简言之，耦合意味着构建两个或多个随机变量的联合分布，网址：www.uni-oldenburg。de/en/hans colonius/（hans colonius）电子邮件地址：hans。colonius@uni-奥尔登堡。2021年7月5日提交给《数学心理学杂志》模板的dePreprint不需要在同一个概率空间上定义，而copula是一个将多元分布与其一维边缘连接起来的函数。经验心理学数据通常是在各种实验条件下收集的，例如反应时（RT）实验中的速度与准确度指令，视觉搜索范式中不同数量的目标和非目标，或检测任务中的点击和假警报。在任何特定条件下收集的数据都被认为是关于潜在概率（样本）空间的一些随机变量的实现。

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2022-5-9 12:23:09

请注意，在不同条件下观察到的随机变量之间没有随机关联的原则性方法：例如，在有n个目标Tn的条件下找到目标的观察时间与有n+1个目标Tn+1的条件下的观察时间。原因很简单，Tn和Tn+1不能在同一试验中观察到，也就是说，它们不是指在同一概率空间中定义的（基本）结果。这并不排除在这两种情况下对平均数据进行数值比较，甚至不排除整个分布函数；然而，任何统计假设，例如关于Tn和Tn+1之间的相关性，都是无效的。另一方面，耦合结构可以实现这一点。例如，如下所示，我们可以将关于两个RT分布的排序的陈述（这两个分布完全是先验非随机相关的）转化为关于公共概率空间上相应随机变量的逐点排序的陈述。然而，特定耦合结构的选择有点随意，根据建模者的具体目标，可能或多或少有用。应该指出的是，耦合是E.N.Dzhafarovand同事（Dzhafarov和Kujala，在出版社）开发的“情境性”总体框架中的一个关键概念。近年来，copula的概念在包括金融在内的多个统计领域引起了极大的兴趣，主要原因如下（见Joe，2015）：它允许人们（i）以“无标度”的方式研究随机相关性的结构，即独立于特定的边际分布，（ii）构造具有特定性质的多元分布族。

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2022-5-9 12:23:14

在最后一节中，我们将演示如何使用copulascan来测试多传感器集成的模型，并得出在给定上下文中发生的多传感器集成量的度量。2.耦合我们从几个常见的定义开始。设X和Y为概率空间上定义的随机变量(Ohm, F、 P），其值在（R，B，P）中。随机变量的“相等”可以用不同的方式来解释。随机变量X和Y在分布上是相等的，但它们受相同的概率度量控制：X=dY<==> P（X）∈ A） =P（Y）∈ A）毕竟∈ B.X和Y在点上相等，但它们在几乎所有基本事件上都一致：Xa。s、 =Y<==> P（{ω| X（ω）=Y（ω）}）=1。如果没有另外说明，本节中关于联轴器的大部分材料取自Thrisson（2000）的专著。这里，a.s.代表“几乎肯定”。设X为分布函数为F（X）的实值随机变量。然后将X的分位数函数定义为q（u）=F-1（u）=inf{x | F（x）≥ u} ，0≤ U≤ 1.（1）每-∞ < x<+∞ 0<u<1，我们有f（x）≥ u当且仅当Q（u）≤ x、因此，如果存在满足F（x）=u的x，则F（Q（u））=u，且Q（u）是满足F（x）=u的x的最小值。如果F（x）是连续且严格增加的，则Q（u）是唯一值x，使得F（x）=u。此外，如果u是标准均匀随机变量（即定义在[0，1]），则x=Q（u）的分布函数为F（x）；因此，任何分布函数都可以被认为是由Q（u）变换的均匀分布所产生的。定义和示例提醒读者：我们按顺序列举定义、定理和示例，因此定义1后面跟着示例2，依此类推。定义1。

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kedemingshi

2022-5-9 12:23:17

随机变量集合{Xi，i]的耦合∈ 一} 是一个联合分布的随机变量族（^Xi:I）∈ 一）使得^Xi=dXi，I∈ 一、注意，^Xineed的联合分布与Xi的联合分布不同；事实上，Ximay甚至没有联合分布，因为它们不需要在公共概率空间中定义。然而，这个家庭（^Xi:i）∈ 一）具有联合分布，其边际等于单个变量的分布。个人^Xi也称为Xi的副本。例2（耦合两个伯努利随机变量）。设Xp，Xqbe为伯努利随机变量，即P（Xp=1）=P和P（Xp=0）=1- p、与Xqde的定义类似。假设p<q；我们可以将xp和Xqasfollows结合起来：假设U是[0,1]上的均匀随机变量，即0≤ a<b≤ 1，P（a<U≤ b） =b- a、定义^Xp=1，如果0<U≤ P如果p<U，则为0≤ 1.^Xq=1，如果0<U≤ Q0，如果q<U≤ 1.那么U是^xp和^Xq的共同随机性来源。此外，^Xp=dXpand^Xq=dXq，Cov（^Xp，^Xq）=p（1- q）。（^Xp，^Xq）的联合分布如表1所示，如图1所示。下面是一个简单但有点基本的耦合：示例3（分位数耦合）。设X为分布函数为F的随机变量，即P（X）≤ x） =F（x），x∈ R.表1：两个伯努利随机变量的联合分布。^Xq0 10 1- q q- 第一页- p^Xp1 0 p p1- 图1：两个伯努利随机变量的联合分布[0，1]上的U是均匀随机变量。然后，对于随机变量^X=F-1（U），P（^X）≤ x） =P（F）-1（U）≤ x） =P（U）≤ F（x））=F（x），x∈ R、也就是说，^X是X的副本，^X=dX。因此，让F在所有分布函数类上运行（使用相同的U），会产生所有不同分布的随机变量的耦合，即分位数耦合。

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2022-5-9 12:23:20

我们可以证明分位数耦合由正相关的随机变量组成。2.2. Strassen定理、耦合事件不等式和最大耦合分位数耦合的一个重要应用是将随机变量之间的随机序简化为逐点（a.s.）序：设X和X分别为具有分布函数F和G的随机变量。如果存在X和X的耦合（^X，^X），则^X在点方向上受^X支配，即^X≤^X（几乎肯定），然后{^X≤ x} {^X≤ x} ，这意味着p（^x≤ 十）≥ P（^X≤ x），和thusF（x）≥ G（x），x∈ 然后X被称为X:X随机支配（或在分布上支配）≤dX。但有人可以证明（Thrisson，2000，第4页），另一个方向也是如此：随机控制意味着逐点控制。因此，我们有一个（简单的）斯特拉森定理（斯特拉森，1965）：定理4（斯特拉森，1965）。设X和Xbe为随机变量。然后≤dXif，且仅当存在X和X的耦合（^X，^X）且a.s.^X≤^X.以下问题是许多可从耦合参数获得的收敛和近似结果的起点。设X和Xbetwo为分布不一致的随机变量。如何构造X和X的耦合（^X，^X），使得P（^X=^X）最大程度地跨越所有可能的耦合？在这里，我们遵循Thrisson（2000）中稍微更一般的公式，但仅限于离散变量的情况（连续情况完全类似）。定义5。假设（^Xi:i）∈ 一）是Xi、I的耦合∈ 一、让C成为一个事件，如果它发生了，那么所有的^Xicoincide，也就是C {^Xi=^Xj，对于所有的i，j∈ 一} 。这种事件称为耦合事件。假设一个有限或可数集合E中的所有Xitake值，其中P（Xi=x）=pi（x）表示x∈ E

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2022-5-9 12:23:25

尽管如此，j∈ 我和x∈ E、我们显然有P（^Xi=x，C）=P（^Xj=x，C）≤ pj（x），因此对于所有我∈ 我和x∈ E、 P（^Xi=x，C）≤ infj∈Ipj（x）。对x求和∈ E产生基本的耦合事件不等式：P（C）≤Xx∈Einfj∈Ipi（x）。（2）作为一个例子，再次考虑两个离散随机变量X和X的耦合情况（^X，^X），并设置C={^X=^X}。然后（^X=^X）≤Xxmin{P（X=X），P（X=X）}。（3）有趣的是，事实证明，至少在原则上，人们总是可以构造一个耦合，使得上面的耦合事件不等式（2）保持恒等式。这种耦合称为极大耦合，称为极大耦合。提议6。（最大耦合）假设Xi，i∈ 一、离散随机变量取有限或可数集合E中的值。然后存在最大耦合，即与耦合事件C的耦合，使得P（C）=Xx∈埃因菲∈Ipi（x）。证据Putc:=Xx∈埃因菲∈Ipi（x）（最大耦合概率）。如果c=0，则取^xi独立，c=. 如果c=1，则取^Xiidenticaland c=Ohm, 样本空间。

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nandehutu2022

2022-5-9 12:23:28

对于0<c<1，这些耦合按如下方式混合：设J，V和Wi，i∈ 一、是独立的随机变量，使得J是伯努利分布的，P（J=1）=c，对于x∈ E、 P（V=x）=infi∈Ipi（x）cP（Wi=x）=pi（x）- cp（V=x）1- c、定义，对于每个i∈ 一、 ^Xi=五、如果J=1，Wi，如果J=0。（4）然后P（^Xi=x）=P（V=x）P（J=1）+P（Wi=x）P（J=0）=P（Xi=x）。因此，Xi的^Xiare a耦合，C={J=1}是一个耦合事件，并且它具有所需的值C。Xi的表示（4）称为分裂表示。我们总结了对耦合的处理，并对最大耦合的主题进行了变化：给定两个随机变量，当应用适当的耦合使它们尽可能接近相同时，它们之间的紧密性度量是什么？两个概率分布u和ν之间的总变化距离Ohm 定义为- νkT V:=maxAOhm|u（A）- ν（A）|，对于所有Borel集A。因此，u和ν之间的距离是两个分布分配给单个事件的概率之间的最大差异。利用耦合不等式，可以证明ku- νkT V=inf{P（X 6=Y）|（X，Y）是u和ν的耦合。（5）类似于前一证明中的拆分表示法确保可以构造联轴器，从而获得最大值（见Levinet al.，2008，第50–52页）。CopulasFrech’et（1951）研究了以下问题，在这里针对二元情况进行了阐述：给定两个随机变量X和Y的分布函数FX和FY定义在同一概率空间上，那么对于边缘为FX和FY的二元分布函数的G类（FX，FY），可以说些什么？显然，类G（FX，FY）是非空的，因为它包含x和Y独立的情况。设F（x，y）是（x，y）的联合分布函数。

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何人来此

2022-5-9 12:23:32

对于每一对实数（x，y），我们可以关联三个数字：FX（x）、FY（y）和F（x，y）。请注意，这些数字都位于区间[0,1]。换句话说，每对（x，y）实数被映射到单位平方[0，1]×[0，1]中的一个点（FX（x），FY（y）），这个有序的配对圈对应于[0，1]中的一个数字F（x，y）。（x，y）7→ （外汇（x）、财年（y））7→ F（x，y）=C（FX（x），FY（y）），R×R-→ [0,1]×[0,1]C-→ [0，1]那么映射C是一个copula的例子（它将二元分布与其边缘“耦合”）。定义、示例和Sklar理论对任何有限维n的直接定义如下：定义7。函数C:[0，1]n-→ 如果存在概率空间，则[0,1]称为n维alcopula(Ohm, F、 P）支持标准均匀随机变量（U，…，Un）的向量，使得c（U，…，Un）=P（U≤ U联合国≤ 联合国，联合国∈ [0, 1].显然，任何copula都是一个分布函数。基于分布函数可以被描述为满足特定条件的函数，而无需参考概率空间这一事实，copula有一种替代的分析定义。定义8。n维copula C是单位n立方[0,1]上的函数，它满足以下性质：1。C的范围是单位间隔[0,1]；2.对于[0，1]中至少有一个坐标为零（接地）的所有u，C（u）为零；3.C（u）=uk，如果u的所有坐标都是1，除了k-坐标；4.C是n-增加的，也就是说，每增加一个a≤ [0,1]n中的b(≤ 定义成分）C分配给n盒[a，b]=[a，b]×·····×[an，bn]的体积为非负。我们可以证明，地基性和n-增长特性足以定义适当的分布函数。

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2022-5-9 12:23:36

此外，copula是一致连续的，其所有偏导数几乎无处不在，这是一个非常有用的性质，尤其是在计算机模拟中（有关证明，请参见Durante和Sempi，2016）。下面是一个非常简单的copula：示例9（独立copula）。对于独立的标准uniformrandom变量U，Unand U=（U，…，Un）P（U）≤ u） =C（u，…，un）=nYi=1是一个copula，称为独立copula。还有另外两个特别重要的连接词：例10（共名连接词）。对于均匀分布在[0,1]上的U，考虑随机向量U=（U，…，U）。那么，对于任何你∈ [0,1]n，P（U）≤ u） =P（u）≤ min{u，…，un}）=min{u，…，un}是一个copula，称为共单调copula。例11（反单调copula）。对于均匀分布在[0，1]上的U，考虑随机向量U=（U，1- U）。那么，对于任何你∈[0,1]，P（U）≤ u） =P（u）≤ u、一,- U≤ u） =max{0，u+u- 1} 是一个copula，叫做反单调copula。共单调copula通常被表示为asMn（u，…，un）=min{u，…，un}，也被称为上Fr′echet-hoeffing-bound copula。类似地，函数wn（u，…，un）=max{u+…+un- （n）- 1）当n=2时，0}被称为下Fr′echet-Hoe-fff-ding-bound copula，但当n>2时，它不是一个常用的连接词。后一种说法的原因是WNN≥3通常不是适当的分配函数（见下文第3.5节）。重要的是，任何copula都遵守Fr’echet-hoeffing界限：定理12（Frech’et（1951））。如果C是任意n维copula，那么∈ [0,1]n，Wn（u）≤ C（u）≤ 锰（u）。证据：参见例如杜兰特和塞姆皮（2016），第27页。虽然Fr’echet Hoe offing lower wn从来不是n的连接词≥ 3，它是以下意义上的最佳可能下界：定理13。

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2022-5-9 12:23:39

对任何人来说≥ 3和任何u∈ [0，1]n，有一个n维的C（u）=Wn（u）的P（依赖于u）。有关证据，请参见Nelsen（2006），第48页。以下著名理论奠定了许多后续研究的基础（有关证明，请参见Nelsen，2006，定理2.10.9）。定理14（斯卡拉定理，1959年）。设F（x，…，xn）是一个n元分布函数，其边距为F（x），Fn（xn）；然后存在ann copula C:[0，1]n-→ [0,1]满足F（x，…，xn）=C（F（x），Fn（xn）），（x，…xn）∈ 注册护士。如果所有单变量边距F，如果是连续的，那么copula是唯一的。否则，C在RanF×RanF×。兰芬。如果F-1.F-1求边距的分位数函数，然后求任意（u，…，un）∈ [0,1]nC（u，…，un）=F（F-1（u），F-1n（un））。边缘离散的连接词也已被定义，但它们的处理不那么直接（有关综述，请参阅Pfeifer和Neˇslehov\'a，2004）。Sklar的定理表明，在基础随机变量的严格递增变换下，copula保持不变。通过分别选择边缘分布和合适的copula，可以构造大范围的多元分布。例15。（二元指数）对于δ>0，分布f（x，y）=exp{-[e]-x+e-Y- （eδx+eδy）-1/δ]}, -∞ < x、 y，<+∞,带边距F（x）=exp{-E-x} F（y）=exp{-E-y} 对应于可可豆（u，v）=uv exp{[(- 日志（u）-δ+(- 日志v）-δ]-1/δ}，一类二元极值copula的例子，其特征是c（ut，vt）=Ct（u，v），对于所有t>0.3.2。如果与Copula C相关的概率测度是绝对连续的（相对于[0,1]n上的Lebesgue测度），那么就存在Copula密度C:[0,1]n-→ [0, ∞] 几乎所有地方都是独一无二的，比如C（u。

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2022-5-9 12:23:43

，un）=uZ···unZc（v，…，vn）dvn。dv，u，联合国∈ [0, 1].这样一个绝对连续的copula是n倍可微的和c（u，…，un）=u··联合国军司令部，联合国∈ [0, 1].例如，独立copula是绝对连续的，密度等于1：∏（u，…，un）=nYk=1uk=uZ···unZ1 dvn。dv。当分布密度F（x，x）存在时，不同的产量sf（x，x）=F（x）F（x）c（F（x），F（x））。这个方程显示了当c与1不同时，独立性是如何被copula密度“扭曲”的。此外，如果X=X：f1 | 2（X | X）=c（F（X），F（X））F（X）（6），这将产生X的条件密度表达式。这是最近一种从成对依赖关系构建高维依赖结构的重要方法（“vine copulas”）的起点。注意，维度n的多元密度可以分解如下，这里以n=3为例：f（x，x，x）=f3 | 12（x | x，x）f2 | 1（x | x）f（x）。将方程式6中的分解应用于方程式6中的方程式6中的每一项这些条款的每一项，将方程式6中的分解应用于每一项这些条款的每一项的收益率，f2 124\\124\\124\\124\\124\\124\\124124124124\\124\\124\\\\\\124\\\\124\\\\124\\\\\\124\\\\\\\\xx x x）x）x（x）x）F（x）x）F（x）F（x）F（x）F（x）F（x）F（x）F（x）x）F（x）f124\\124\\124124\\124\\\\（F（x），F（x））（无条件对）×c13 | 2（F1 | 2（x | x），f3 | 2（x | x））（条件对）。为了可视化这种结构，特别是对于较大的n，我们定义了一系列树（非循环无向图），图2中描述了它的一个简单版本。图2：方程式7中分解的图示。图中的一条线对应于连接两个分布的copula的索引，在上图中是无条件的，在下图中是有条件的。3.3. 生存copula，余copula，对偶和对角部分copula只要描述一个随机向量（X。

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2022-5-9 12:23:46

，Xn）通过其生存分布，即^F（x，…，Xn）=P（x>x，…，Xn>Xn），可以引入它的生存copula，使得Sklar理论的类似物成立，其中^F（x，…，Xn）=^C（^F（x），^Fn（xn）），其中^Fi，i=1，xn是边际生存分布。在连续情况下，copula与其生存copula之间存在一对一的对应关系。对于n=2，此isC（u，u）=^C（1- u、一,- u） +u+u- 1.对于一般情况，我们参考（Mai and Scherer，2012，第20-21页）。另外两个与连接函数和生存连接函数密切相关的函数在响应时间建模环境中很有用。copula C的对偶函数是由C（u，v）=u+v定义的函数- C（u，v）和co copula是函数C*由C定义*（u，v）=1- C（1）- u、一,- v）。这两者都不是一个普遍现象，但当C是一对随机变量X和Y的（连续）copula时，copula和co copula的对偶分别表示涉及X和Y的事件的概率：~C（FX（X），FY（Y））=P（X）≤ x还是Y≤ y） andC*(1 - 外汇（x），1- FY（y））=P（X>X或y>y）。最后，对于标准均匀随机变量U，与对应的copula C（u，…，un）相比，其诊断部分定义为δC（u）=C（u，…，u）。Durante和Sempi（2016，第69页）陈述了函数δ[0,1]的必要条件和有效条件→ [0，1]是somecopula的对角线部分。3.4. 具有奇异分量的copula如果与copula C相关联的概率测度具有奇异分量，那么copula也具有奇异分量，该奇异分量通常可以通过发现点（u，…，un）检测到∈ [0,1]n，其中copula的某些（现有）偏导数有一个不连续点。一个标准的例子是共单调性copulaMn（u，…，un）=min（u，…，un），其中偏导数有一个不连续点；ukMn（u。

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kedemingshi

2022-5-9 12:23:50

，联合国）=1，如果英国<英国-英国+1，如果uk>min（u，…uk），则为0-英国+1，联合国）。与Mn（u，…，un）相关的概率测度将所有质量分配给单位n立方[0，1]n的对角线（“完美正相关性”）。3.5。Copulas和极值依赖在这里，我们更仔细地看看Copulas与随机依赖的关系。对于n=2，定理12简化为例子16（Fr’echet-Hoe fff-ding copula）。设C（u，v）为2-copula；那么，对于u，v∈ [0,1]，W（u，v）≡ 最大{u+v- 1, 0} ≤ C（u，v）≤ min{u，v}≡ M（u，v），M和W也是连接词，即上下两个Fr’echet-hoeff-ding连接词。我们已经看到（例10和11）随机向量（U，U）和（U，1）的二元分布函数- U），其中U是标准均匀随机变量。在这种情况下，我们说M（共单调copula）描述了完全正相关，W（反单调copula）描述了完全负相关。对于联合分布为copula M的U和V标准均匀随机变量，则P（U=V）=1；如果copula是W，那么P（U+V=1）=1。如果X和Y是具有联合分布函数H（X，Y）和保证金FX（X）和FY（Y）的随机变量，那么很容易证明（例如Joe，2015，第47页），对于所有X，Y∈ R、最大{FX（x）+FY（y）- 1, 0} ≤ H（x，y）≤ 最小{FX（x），FY（y）}（8）F-（x，y）=max{FX（x）+FY（y）- 1，0}分别称为下限，F+（x，y）=min{FX（x），FY（y）}分别称为上限Fr\'echet-hoeffing-bound，简称Fr\'echet-bound。当随机变量X和Y的联合分布H等于其Fr’echet-hoeffing界限时，它们能说些什么呢？如果fx和fy都是连续的，那么根据Sklar定理，对应于H的copula是唯一的，Fr’echet界F+和F-分别代表完美的正相关性和负相关性。

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可人4

2022-5-9 12:23:52

在离散情况下，边界有时也可以表示完全依赖，但不具有任何普遍性（见Joe，2015年的示例2.9）。相关性的线性度量最广为人知和使用的相关性度量是皮尔逊的线性相关性，ρ（X，Y）=Cov（X，Y）pVar（X）Var（X）。给定有限的方差，它是一种线性相关性的度量，取值范围为[-1, 1]. 除了需要有限的方差外，ρ在总体环境中的一个明显缺点是它取决于边缘分布；因此，在严格增加变量的非线性变换下，它不是不变的，而copula是不变的。Embrechts等人（2002年）提到了处理线性相关性时的两个“陷阱”：（1）假设边际分布和相关性决定联合分布，以及（2）假设给定边际分布FX和FY，两者之间的所有线性相关-1和1可以通过X和Y的联合分布的适当规定来实现。copula文献中两种假设的反例（例如，Joe，2015；Embrechts等人，2003，2002；Nelsen，2006）。提案17（霍夫丁，1940年）。设X和Y具有有限（非零）方差，且具有未指定的依赖结构。然后1。可能的线性相关性集是一个闭合区间[ρmin，ρmax]，对于极值相关性ρmin<0<ρmaxholds；2.当且仅当X和yar是反单调的，得到了极值相关ρ=ρminis；ρ=ρmax当且仅当X和Y是共单调的。3.ρmin=-1当且仅当X和-Y为同一类型且ρmax=1if，且仅当X和Y为同一类型时（如果我们能找到a>0和b，则X和Y为同一类型）∈ 所以Y=daX+b）。Embrechts等人，2002年（p。

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2022-5-9 12:23:56

24）首先回顾Fr’echet Hoe ffing界限（方程式8），F-= 最大{FX（x）+FY（y）- 1, 0} ≤ H（x，y）≤ min{FX（x），FY（y）}=F+。将上界和下界插入霍夫丁的身份（如Shea，1983）Cov（X，Y）=+∞Z-∞+∞Z-∞[H（x，y）- FX（x）FY（y）]dx-dy（9）立即给出了一组可能的相关性（见Embrechts等人，2002年，（同上）以获得命题的完整证明）。与0≤ λ ≤ 1，混合物λF-+ (1 - λ） F+具有相关性ρ=λρmin+（1- λ） ρmaxand可用于构造边缘为fx和fy且具有任意相关性ρ的联合分布∈ [ρmin，ρmax]。最后，下面的例子表明，小的（线性）相关性不能被解释为意味着随机变量之间的弱相关性。例18（Embrechts等人（2002））。设X为对数正态分布（0，1），Y为对数正态分布（0，σ），σ>0。请注意，虽然logx和logy是相同的，但X和Y不是相同的类型。从命题17中，我们得到ρmin=e-σ- 1p（e）- 1）（e）σ- 1） ρmax=eσ- 1p（e）- 1）（e）σ- 1).让σ→ ∞, 两种相关性都收敛到零。因此，有可能存在一个随机向量（X，Y），其中相关系数几乎为零，即使X和Y是共单调或反单调的，因此具有可能的最强依赖性。3.7. 基于Copula的依赖性度量当线性相关系数不合适或具有误导性时，有几种替代方法。两个重要的是肯德尔·斯塔和斯皮尔曼的rho。对于向量（X，Y），肯德尔的τ定义为τ（X，Y）=P[（X-~X）（Y）-~Y）>0]- P[（X-~X）（Y）-~Y）<0]，其中（~X，~Y）是（X，Y）的独立副本。因此肯德尔的τ是简单的一致概率减去不一致概率。

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nandehutu2022

2022-5-9 12:23:59

当（X，Y）与copula C连续时，可以证明τ（X，Y）=τC=4ZZ[0,1]C（u，v）dC（u，v）- 1.注意，上面的积分可以解释为标准均匀随机变量U和V的函数C（U，V）的期望值，其联合分布为C，即τC=4E[C（U，V）]- 1.在三个已知的二元分布函数的情况下，Kendall的τ给出了相容的必要条件，即三元分布函数与给定的二元边值的存在性。具体而言，提案19。（乔，1997年，第76页）让F∈ G（F，F，F）是一类边缘为F，F，fan且假设Fjk，j<k的三元分布是连续的。设τjk=τkjbe为Fjk的肯德尔τ的值，j6=k。然后不等式-1+|τij+τjk |≤ τik≤ 1.- |τij- τjk |对（1，2，3）的所有置换（i，j，k）都成立，且边界是尖锐的。因此，如果上述不等式对某些（i，j，k）不成立，那么三个二元边值是不相容的。锐度来自特殊的三元正态情形：二元正态的肯德尔τ为τ=（2/π）弧sin（ρ），因此不等式变为- cos（π（τ+τ））≤ sin（πτ）≤ cos（π（τ）- τ），其中（i，j，k）=（1，2，3）。现在让我们来看看斯皮尔曼的rho。对于三个独立向量（X，Y），（X，Y）和（X，Y）具有共同的联合分布H（其边缘为F和G），斯皮尔曼的ρ定义为ρ（X，Y）=3{P[（X- 十）（Y）- Y） >0]- P[（X- 十）（Y）- Y） <0]}。注意，（X，Y）和（X，Y）是一对具有相同边缘的向量，但是（X，Y）具有分布函数H，而（X，Y）的分量是独立的。

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2022-5-9 12:24:09

对于具有copula C的X和Y连续，可以证明（Nelsen，2006）ρ（X，Y）=ρC=12ZZ[0,1]uv-dC（u，v）- 3.此外，斯皮尔曼的ρ与随机变量U=F（X）和V=G（Y）之间的线性相关系数相同：ρ（X，Y）=ρC=12e[UV]- 3=E[UV]- 1/41/12=E[UV]- E[U]E[V]pVar[U]pVar[V]。最后，肯德尔的头和斯皮尔曼的rho之间的关系早就被研究过了。已经证明（例如Kruskal，1958年）总是-1.≤ 3τ - 2ρ ≤ 其中τ是肯德尔的τ，ρ是斯皮尔曼的ρ。4.示例应用：多传感器建模虽然这里讨论的应用指的是多传感器建模的上下文，但在信息处理在两个或多个通道中进行的任何上下文中（例如引言中提到的visualsearch范式），通常都可以找到类似的示例。此外，我们在介绍多传感器应用时并不力求详尽，也不试图深入研究它们。

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何人来此

2022-5-9 12:24:12

相反，我们的目标是鼓励在心理学、神经科学和相关领域迅速获得重要性的领域开展进一步的工作。在多感官范式的行为版本中，有人区分了两种不同的条件：单峰条件：呈现单一模式（视觉、听觉、触觉）的刺激，并要求参与者（i）在检测到刺激（反应时任务）后尽快做出反应（例如，按下按钮或眼球运动），或（ii）指示是否检测到该模态的刺激（检测任务）。双模态或三模态条件：来自两个或三个模态的刺激（几乎）同时呈现，参与者（i）被要求在检测到任何模态的散光时尽快做出反应（冗余信号RT任务），或（ii）指示是否检测到任何模态的刺激（冗余信号检测任务），T作为视觉、听觉或触觉刺激呈现的单峰语境。同样地，VA表示双峰（视觉-听觉）环境等。对于每个刺激或跨峰刺激组合，我们观察代表任何给定试验中测量的反应时间的随机变量样本。设FV（t）、FA（t）、FV A（t）分别表示当呈现特定刺激（组合）时，单峰视觉、听觉或视觉听觉环境中反应时间的（理论）分布函数。类似地，我们定义了检测任务中指标函数的概率：pV=P（检测| V）、pA=P（检测| a）和pV a=P（检测| V a）。为了简单起见，我们编写FV（t）等，而不是FV（t）。注意，从建模的角度来看，每个上下文V、a或varefer都指向不同的样本空间和σ-代数。

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可人4

2022-5-9 12:24:16

因此，在这些不同条件下，（反应时间）随机变量之间不一定存在概率耦合。通常没有明确说明的一个常见假设是，视觉和听觉RT之间确实存在耦合，例如，耦合的边缘，即二元分布^HV A，等于分布Fv和FA。假设存在这种耦合，多传感器模型应明确FV与二元分布^HV a的关系。原则上，这可以通过经验进行检验。然而，在上面描述的多传感器RT范式中，^HV AAR的边缘是不可观察的，只有RTs在双峰上下文中的分布函数FV A是可观察的。因此，测试耦合的存在需要额外假设^HV AandFV Aare如何相关。研究最多的模型是所谓的种族模型。例20（竞赛模型）。设V和A为单峰条件V和A下的随机反应时间，分布函数分别为FV（t）和FA（t）。假设存在耦合，即二元分布函数^HV Afor（^V，^a），使得V=d^V和a=d^a；假设双峰RT由两个峰之间竞争的“赢家”决定：FV A（t）=P（^V）≤ t或^A≤ t）然后FV A（t）=FV（t）+FA（t）-^HV A（t，t）。（10）函数^HV A（s，t）=C（FV（s），FA（t））显然是一个copula函数，根据sklar定理，假设连续单峰分布函数，它是唯一的。此外，我们有上下Fr′echet连接词（例16），这样max{FV（s）+FA（t）- 1, 0} ≤^HV A（s，t）≤ min{FV（s），FA（t）}。

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nandehutu2022

2022-5-9 12:24:19

（11）取这些copula的对角线部分（即，整段设置s=t），从方程10中插入fva（t），然后重新排列得到“种族模型不等式”（Miller，1982）：max{FV（t），FA（t）}≤ FV A（t）≤ min{FV（t）+FA（t），1}，t≥ 上界对应于^Vand^A之间的最大负相关性，下界对应于最大正相关性。经验上违反上限（仅发生在足够小的t）被解释为反对竞争机制的证据（“双峰RT比单峰条件下可预测的更快”），但也可能是反对耦合假设的证据（Colonius和Diederich，2006）。例21（Colonius和Diederich2004集成模型的时间窗口）。整合时间窗（TWIN）模型区分了单峰神经激活相互竞争的第一阶段，以及包含输入神经整合和响应准备的聚合过程的后续阶段。只有当第一阶段的所有外围过程在给定的时间间隔内终止时，才会发生多传感器整合，即“整合时间窗”。交叉模态（视觉-听觉）条件下的总反应时间是第一阶段和第二阶段处理时间的总和：RTV A=W+W，（12），其中Wand Ware在同一概率空间上使用两个随机变量。让我表示积分发生且Icits互补的随机事件，Wand Ware假设是条件独立的，条件是I或Ic。这意味着processingstages之间的任何依赖关系都只由集成事件或其补充生成。

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2022-5-9 12:24:22

对（W，W）的分布，然后isH（W，W）=πHI（W，W）+（1- π） HIC（w，w），（13），其中hi和HIC分别表示Wand ww相对于I和Ic的条件分布，π=P（I）。通过条件独立性，HIA和HIC可以写成其边际分布的乘积，HI（w，w）=FI（w）GI（w）和HIC（w，w）=FIC（w）GIC（w），其中F和G分别指第一和第二阶段（条件）分布。插入方程13 yieldsH（w，w）=πFI（w）GI（w）+（1- π） FIC（西）GIC（西）。（14） Wand W之间的协方差，使用霍夫丁恒等式（方程式9）计算，等式Cov（W，W）=π（1）-π） {E（W|IC）-E（W|I）}{E（W|IC）-E（W|I）}，（15）表明阶段处理时间之间的依赖关系可以是正的、负的或零。参考文献和历史注释概率耦合理论的起源可以追溯到20世纪30年代末沃尔夫冈·多布林（Wolfgang D¨oblin，1938；Lindvall，1991）的工作，但人们对该理论的兴趣在很长一段时间内消长，直到最近才成为概率论中一些标准文本的一部分（例如Gut，2013）。关于耦合理论的高级处理，请参见Lindvall（2002）；索里松（2000）；Jaworski等人（2010年）和Levin等人（2008年）。根据Durante和Sempi（2010年、2016年）的说法，连接词的历史可以追溯到Frech’et（1951年）。然而，术语copula和代表他名字的理论是由Abe Sklar（Sklar，1959）提出的。copula理论的综合处理方法是Joe（1997、2015）；杜兰特和塞姆皮（2016）；Nelsen（2006）、Mai和Scherer（2012）侧重于模拟方面，Denuit等人（2005）和R¨uschendorf（2013）强调了该理论的精算和财务风险背景。

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kedemingshi

2022-5-9 12:24:27

Trivedi和Zimmer（2005）介绍了一种紧凑的、面向应用的方法。据我们所知，耦合和copula（不使用这些术语）概念在反应时建模中的首次应用是Colonius（1990）。对种族模型不平等性的早期调查包括对肯德尔的头和斯皮尔曼的rho的千禧年调查，该模型将在其他地方进行。阿尔弗雷德·德布林（1878-1957）之子，他是一位重要的德国作家，以其小说《柏林亚历山大广场》而闻名。(1982); Ulrich和Giray（1986）；Colonius（1986）；Diederich和Colonius（1987）；迪德里奇（1992年）。Colonius（2015）将耦合/连接概念应用于多感官检测。致谢该工作得到了DFG（德国科学基金会）SFB/TRR31（B4项目）和DFG卓越集群EXC 1077/1 Hearing4all的支持。参考Colonius，H.，1986年。在单独的激活模型中测量通道依赖性。知觉和心理物理学40251-255。科洛尼乌斯，H.，1990年。反应时间的可能相依概率和。数学心理学杂志34253-275。Colonius，H.，2015年。多传感器整合的行为测量：boundson双峰检测概率。大脑地形图28，1-4。Colonius，H.，Diederich，A.，2004年。扫视反应时间中的多传感器相互作用：整合模型的时间窗。认知神经科学杂志16，1000–1009。Colonius，H.，Diederich，A.，2006年。种族模型不平等：解释违规数量的年龄计量测量。心理回顾113148–154。M.德努特，J.达恩，M.古瓦茨，R.卡斯，2005年。独立风险的精算理论。约翰·威利父子有限公司，迪德里奇，A.，1992年。测试分散注意力的单独激活模型的概率不等式。知觉和心理物理学52714-716。迪德里奇，A.，科洛尼乌斯，H.，1987年。

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2022-5-9 12:24:30

运动部件中的感觉间促进？反应时间分析。心理学研究49，23-29。D¨oblin，W.，1938年。cha^ines展览简化了constantes deMarko的主题。重温了《联合报》第2期，77-105页。杜兰特，F.，塞姆皮，C.，2010年。Copula理论：导论，载于：Jaworski，P.，Durante，F.，H¨ardle，W.，Rychlik，T.（编辑），《Copula理论及其应用：2009年9月25-26日在华沙举行的研讨会论文集》，第3-31页。杜兰特，F.，塞姆皮，C.，2016年。copula理论的原理。华润出版社，佛罗里达州博卡拉顿Dzhafarov，E.，J.库贾拉出版社。概率语境。本期《数学心理学杂志》。Embrechts，P.，Lindskog，F.，麦克尼尔，A.，2003年。用copulas建模依赖性及其在风险管理中的应用。爱思唯尔。第八章。第329-384页。Embrechts，P.，麦克尼尔，A.，斯特拉曼，D.，2002年。风险管理：风险价值及其他。剑桥大学出版社，剑桥。第二章风险管理中的相关性和依赖性：特性和陷阱。第176-223页。弗雷切特，M.，1951年。这是一张相互关系的表，而不是玛吉斯·索顿的表。安。里昂大学教派。A 14，53-77。古特，A.，2013年。概率：研究生课程。第二版，纽约州纽约市斯普林格。西霍夫丁，1940年。马ss稳定不变的关系。Schriften Desmatishen Institutes and des Institutes f–ur Angewandte Mathematikder University–位于柏林5181–233。贾沃斯基，P.，杜兰特，F.，哈德尔，W.，雷奇利克，T.（编辑），2010年。Copular理论及其应用：2009年9月25日至26日在华沙举行的研讨会论文集。第198卷《统计学课堂讲稿——会议记录》，斯普林格出版社。乔·H.，1997年。多元模型和依赖概念。查普曼和霍尔，伦敦，英国。乔·H.，2015年。使用连接函数进行依赖建模。华润出版社，泰勒和弗朗西斯出版社，佛罗里达州博卡拉顿克鲁斯卡尔，西，1958年。

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